高二水平考试专题讲座：数列

令 ,则可化为 .然后转化为类型3来解，
iii.待定系数法：
设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.
例4.在数列 中， 求通项 .
解： ， ①
时， ，
两式相减得 .令 ,则
利用类型3的方法知 即 ②
再由累加法可得 . 亦可联立①②解出 .
变式练习1. 在数列 中， ,求通项 .
解：原递推式可化为
5.已知各项不为0的等差数列 满足 ,数列 是等比数列,且 ,则 等于()
(A)16 (B)8 (C)4 (D)2〖解〗A
6.已知等差数列 ,等比数列 ,则该等差数列的公差为( )ALeabharlann 3或 B.3或 C.3D. 〖解〗C
二、考点知识
等差数列与等比数列的有关知识比较一览表
等差数列
等比数列
定
义
一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫公差．
故 .
评注：本题的关键是两边同除以3 ，进而转化为类型3，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.
证法3：用待定系数法
设 , 即: ,
比较系数得： ,所以 所以 ,
所以数列 是公比为－2，首项为 的等比数列.
即 .
5.形如 （ ）型
方法：取倒数法.
例6. 已知数列 中， ， ，求通项公式 。
3.（2011广州市18）.（本小题满分14分）
已知等差数列 的前 项和为 ，且 , ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求证： .
4.(2010广州市18)．（本小题满分14分）已知数列 是首项为1，公比为2的等比数列，数列 的前 项和 ．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .
例1.求 的值
解：设 ………….①
将①式右边反序得
…………..②（反序）
又因为
①+②得（反序相加）
＝89
∴S＝44.5
2.错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
,所以 所以有：
因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列，
所以 即： .
规律：将递推关系 化为 ,构造成公比为c的等比数列 从而求得通项公式
例3．已知数列 中， 求通项 .
分析：两边直接加上 ,构造新的等比数列。
解：由 得 ,
所以数列 构成以 为首项，以 为公比的等比数列
所以 ,即 .
4.形如 型
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
由 得 时， ，
=f(n)f(n-1) .
例2．数列 中, 求此数列的通项公式.
解:
把这n-1个式子两边分别相乘可得
即
故 的通项公式为
.令n=1,2,3,4,5得a1=1,
变式练习
练习1.设 是首项为1的正项数列，且 （ =1，2，3，…），则它的通项公式是 =________.
例2．求和： ………………………①
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
当 ，
当
设 ……………………….②（设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
3.裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解成两项之差，然后累加，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 . 即：
故 .
例5.（2003天津理）
设 为常数，且 ．证明对任意 ≥1， ；
证法1：两边同除以（-2） ,得 令 ,则
= =
=
.
证法2：由 得 .设 ，则b . 即： ,
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
则 = ,即： ,
.(1)若 (其中k,b是常数，且 )
方法指导：相减法,通过构造数列转化为类型3与1
(2)若 (其中q是常数，且n 0,1)（★★★★★.重点掌握）
①若p=1时，即： ，利用累加法
②若 时，即： ，
方法指导：有三种思路：i. 两边同除以 .
即： ,令 ，则 ,然后如类型①，累加求通项.
ii.两边同除以 .即： ,
常用的通项分解（裂项）有：
（1）
（2）
（3）
（4）
(5)
(6)
例3．求数列 的前n项和.
解：设
则
＝
＝
变式练习1在数列{an}中， ，又 ，求数列{bn}的前n项的和.
解：∵
∴
∴数列{bn}的前n项和
＝ ＝
四、小结
五、课外练习
1.数列{ }的前 项和 ,则
A. 11 B.15 C. 17 D.20〖解〗A
A.810 B.805 C.800 D.795〖解〗D
2等差数列 中, ,则 的值为( )
A．130 B．260 C．156D．168〖解〗A
3.已知等差数列{ }中, 则 的值为()
A. 15 B.33 C.55 D. 99〖解〗C
4.若等比数列 满足 ,则公比为()A.2B.4C.8D.16〖解〗B
.
②. .
③若 、 分别为两等差数列，则
为等差数列.
①若p+q=s+r, p、q、s、r N*,则
.
② .
③若 、 为两等比数列，则 为等比数列.
三、精讲巧练
（一）利用递推关系求数列通项的几种常见类型及解法
1.形如 型
（1）若f(n)为常数,即： ,此时数列为等差数列，则 = .
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.（★★★★★.重点掌握）
解：取倒数：
变式练习1已知数列｛an｝满足条件a1=1,an+1= ，求数列的通项公式.
(二)已知前n项和公式，求通项公式
例7.已知数列 的前 项和 ，求数列 的通项．
〖解〗
变式练习1.已知数列 的前 项和为 ，以 为坐标的点在函数 的图象上，求数列 的通项。
〖解〗
（三）数列求和的三种重要方法
1.倒序相加法
4．数列 的前 项和为 ,若 ,则 =(B)A.1 B. C. D.
5.设 为等差数列，Sn为数列 的前n项和，已知S7= 7,S15= 75.记Tn为数列 的前n项和，求Tn.
解：.设等差数列 的公差为d，则 ( I )
∵ ∴
解得
代入（I）得 （II）
∵
∴数列 是首项为－2，公差为 的等差数列，∴
6.求数列 的前项和
解：Sn=
7.在数列 中， 证明数列 是等差数列，并求出Sn的表达式.
【证明】∵ ∴.
化简，得Sn-1－Sn= 2SnSn-1
两边同除以.SnSn-1，得
∴数列 是以 为首项，2为公差的等差数列.
∴ ∴
8.数列{ }的前n项和为 ，且满足
（I）求 与 的关系式，并求{ }的通项公式；
（II）求和
（I）
（II）
9.已知数列 的各项为正数，其前n项和 ，
（I）求 之间的关系式，并求 的通项公式；
（II）求证
（I） ①，而 ②，
①—②得
的等差数列，
（II）
六、感悟历届水平考试试题：
1.（2009广州市11.5分）.已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，则通项公式 .
2.（2008广州市11）在等差数列 中，已知 ， ，则公差 的值为．
若令 ,则问题进一步转化为 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
3．形如 ,其中 )型
（1）若c=1时，数列{ }为等差数列;
（2）若d=0时，数列{ }为等比数列;
（3）若 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设 ,（★★★★★.重点掌握）
得 ,与题设 比较系数得
方法如下： 由 得：
时， ，
=
即： .
例 1.（2003天津文） 已知数列｛an｝满足 ,
证明
证明：由已知得：
= .
变式练习.1.已知数列 的首项为1，且 写出数列 的通项公式.
答案：
2.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. 答案：
小结：已知 , ，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 .
课题
高二水平考试专题讲座：数列
教学
目标
1.掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式；
2.掌握数列通项公式的求法
3.掌握数列求和的重要方法
重点
难点
利用递推关系求数列通项公式的方法，数列求和的方法
授课内容：
一、课前检测
1.在数列{an}中,已知前n项的和Sn= 4n2-n,那么a100等于().
5.（2009广州市20）.(本小题满分14分)已知二次函数 在区间 上的最小值为 .
(1)求 的值;
(2)记 为数列 的前 项和,且 N ，点 在函
数 的图象上,求 的表达式.
6.(2008广州市20)．（本小题满分14分）
设数列 满足 ， ， ， 为常数．
（1）若 ，求 的值；
（2）是否存在实数 ，使得数列 为等差数列，若存在，求数列 的通项公式，若不存在，请说明理由；
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;