剖析电磁感应中的电容器问题

难点挑战
Җ㊀浙江㊀徐华兵
㊀㊀电容器具有
隔直流㊁通交流 的特点,可以理解为电容器具有 通变化的电流 的特点．实际教学中我
们会发现学生对回路中电流变化的定量问题通常感觉难处理,本文就此类问题的解决办法进行剖析㊁归纳,以飨读者．
１㊀电容器放电模型
１ １㊀基础模型
㊀图１
如图１所示,电阻可忽略的光滑金属导轨与电动势为E 的电源相连,质量为m ㊁电阻为R
的金属棒放在导轨上,一电容通过单刀双掷开关与导轨相连．先将开关扳向左侧给电容器充电,再将开关扳向右侧让电容器通过导体棒放电．１ ２㊀电容器电压和电荷量变化规律
当开关与左侧电源接触时,电容器充电,电容器两极板间获得一个恒定的电压,充电时间很短(数量
级一般为１０－６s )．稳定后电容器两端电压U ＝E ,电荷量Q ０＝C U ＝C E ．
当开关与右侧导轨接触时,电容器通过金属棒放电,有电荷通过金属棒,棒在安培力的作用下向右加速运动．电容器两极板电荷量减少,电压减小;金属棒速度增加,感应电动势增加．当棒切割磁感线产生电动势与电容器两极板间电压相等时,棒匀速运动．电容器不再放电,两极板间电压恒定,此时电容器两极板间电压U ＝B l v m ,电荷量Q ＝C U ＝C B l v m ．导体棒感应电动势㊁电荷量与时间关系图线如图２㊁３所示．
图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３
１ ３㊀导体棒的运动规律
根据牛顿第二定律有B I l ＝m a ,通过棒的电流逐渐减小,棒的加速度逐渐减小,棒做加速度减小的加
速运动,最终以某一最大速度v m 匀速运动．
对棒应用动量定理有B I l Δt ＝m v m －０,
即有B l (C E －C B l v m )＝m v m －０,解得v m ＝B l C E
m ＋B ２l ２
C
．１ ４㊀电路中的能量转化规律
放电过程,电容器储存的电场能减少,棒的动能增加,而系统整个过程中的总能量应守恒．棒获得的动
能E k m ＝１２m v ２m ＝m (B l C E
)２
２(m ＋B ２l ２C )
２．电容器减少的能量
ΔE ＝１２C E ２－１２C (B L v m )２
＝C E ２(m ２＋２m B ２l ２
C )２(m ＋B ２l ２C )
２
．从能量表达式中可以看出,电容器减少的能量比
棒获得的能量要多,多余的能量转化为整个回路产生的热量和回路向外辐射的电磁波．而回路产生的热量和电磁辐射能
E 损＝ΔE －E k m ＝C E ２(m ２＋２m B ２l ２
C )
２(m ＋B ２l ２C )２
－m (B l C E )２２(m ＋B ２l ２C )２＝C E ２m
２(m ＋B ２l ２
C )
．１ ５㊀典型例题剖析
例１㊀电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度,其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮原理图如图４所示,图中直流电源电动势为E ,电容器的电容为C ．２根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l ,电阻不计．炮弹可视为一
质量为m ㊁电阻为R 的金属棒MN ,垂直放在２个导轨间处于静止状态,并与导轨良好接触．首先开关S 接
１,
使电容器完全充电．然后将S 接至２,导轨间存在垂直于导轨平面㊁磁感应强度大小为B 的匀强磁场(图中未画出),MN 开始向右加速运动．求:(１)
磁场的方向;(２)MN 刚开始运动时加速度a 的大小;(３)MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q ．
图４
当开关拨向２时,电容器通过金属棒放电,金属棒在磁场中做加速度减小的加速运动,当
金属棒MN 两端的电压和电容器两极板间的电压相等时,金属棒达到最大速度．
(１
)由左手定则可以判断磁场方向应垂直于导轨平面向下．
(２)
电容器完全充电后,两极板间电压为E ,当开。