材料力学电子教案 03扭转PPT课件
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材料力学第四版 第三章 扭转PPT课件
也不变，各纵向线倾斜同一角度.
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
材料力学 电子课件 第三章 扭转
扭转实验技术
探索弹性复合材料的扭转试验、微型扭转试验，以及反复扭转试验。
扭转的应用
展示扭转在应用领域和对象中的应用，以及其在设计、制造、研究和开发中的应用。
扭转的挑战和前景
探讨扭转对材料力学学科的挑战和发展，未来的前景和应用趋势，以及其对 材料科学的贡献和价值。
材料力学 电子课件 第三章 扭 转
扭转概述
定义和描述扭转，扭矩和角位移的关系，扭转变形和应变的特点。
立方体的扭转
探讨立方体的基本几何形状、方程，扭转实验和几何形状、方程，扭转实验和现象，以及圆柱的切应力和张应力。
圆棒的扭转
研究圆棒的几何形状、方程，扭转实验和现象，以及圆棒的切应力和张应力。
材料力学 第三章 扭转 PPT课件
§3.1扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算、扭转和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d
2π( 4
)
d/2
πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d
2π( 4
)
d/2
πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
《扭转》PPT课件
T
O
O
其中： A0 r02
Gg
……剪切胡克定律 （线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
另外有：
G
E （2 1
）
扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力 a
b
Me
1、变形几何关 系g
Me
T
g
O2
g
dj
T
dx
a
dx
b
g
dj
dx
2、物理关系(剪切虎克定律)
Gg
Gg
G
dj
dx
3、力学关系
mA
mB
mC
l
l
解： 1．扭转变形分析
AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m
设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
AB
T1l GI
(180 N m)(2m)
(80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m4 )
1.50 10 2 rad
BC
T2l GI
AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：
d
dx
T1 GI
(80
10 9
180 N m Pa)(3.0 105
10 12
m4
)
180 π
0.430 /m θ
该轴的扭转刚度符合要求。
圆轴扭转时横截面上的剪应力
例2:
已知：N＝7.5kW, n=100r/min,许用切应力＝
32ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Wp
d 3
16
Ip
32
D4 d 4
D4 (1 4 )
材料力学-扭转ppt课件
´
a
b
dy
´
c
d
T
①无正应力 dx
②横截面上各点处只产生垂直于半径
的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小
不变，. 方向与该截面的扭矩方向一19 致。
二、薄壁圆筒剪应力
根据实验观测的结果，圆轴截面
上应力应该如右图分布:
且扭矩T应该是截面上所有剪切
力对圆心的矩的总和。因此有
T
AdAr0 T
r0 AdAr02r0tT
由 m 0 x
m2 1 m3 2
T1
A1 B2
m1 3 m4
x
C 3D
分别有
T1m2 0 T1m2 4.78kNm
.
13
②求扭矩（扭矩按正方向设）
利用截面法: 分别用1-1 ， m2
2-2 ， 3-3截面将AB ， BC与CD段截开,选研究 对象，画受力图：
由 m 0 x
A
m3 2 m1
T2
.
21
四、薄壁圆筒扭转变形
L
A
A'
在圆轴截面上 AA' R
在圆轴表面上 AA' L
RL
.
22
五、剪切虎克定律：
T=m
T ( 2A0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系:
.
23
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
薄壁圆筒横截面
T T 2 r02 t 2A0 t
扭转剪应力的计
算公式
其中A0：平均半径所作.圆的面积。
材料力学 第三章 扭转PPT课件
8
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
材料力学(扭转) PPT课件
y
3、斜截面上的 应力分析
x
n
x
z
t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形
Mnl GI p
强度条件 max
Mn Wp
刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转
3第三章扭转PPT课件
11
三、扭矩图:
T
1
3T 2
T
3T
1
2
A T1
B
C
Mx1
1
T
1
3T 2
1
T
1
Mx2
2
3T 2 T
1
2
A
B
C
3
D Mx1 = T
Mx2 =T-3T= -2T
3T
Mx3
3
Mx3 =T-3T+T= -T
3
Mx3
3
或Mx3=-T
12
扭矩随截面位置的改变而变化的图形---扭矩图。
T
1
3T
2
T
3T
1
A
B
2
C
D 4 1 4 32
( d )
D
dρ ρ
d D
Wp
Ip
D
2
D 3 1 4 16
24
3、薄壁圆环截面 r0>>δ
D=2r0 + d=2r0 -
δ r0
I p 2 r03
d
D
Wp 2 r02
Wp 2A0
A0——中线包围的面积 25
推广：任意形状的薄壁截面
Wp 2A0
φ
纵线
dx
相对转动。
B、所有纵线转过同一角度γ。
矩形 平行四边形
（2）假 设
横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆 轴线旋转过一个角度——刚性平面假设。
15
（3）应变分布规律
O1 a
γ
b
Mx
O2 c
c′
dφ
d d′
dx
周线
T
三、扭矩图:
T
1
3T 2
T
3T
1
2
A T1
B
C
Mx1
1
T
1
3T 2
1
T
1
Mx2
2
3T 2 T
1
2
A
B
C
3
D Mx1 = T
Mx2 =T-3T= -2T
3T
Mx3
3
Mx3 =T-3T+T= -T
3
Mx3
3
或Mx3=-T
12
扭矩随截面位置的改变而变化的图形---扭矩图。
T
1
3T
2
T
3T
1
A
B
2
C
D 4 1 4 32
( d )
D
dρ ρ
d D
Wp
Ip
D
2
D 3 1 4 16
24
3、薄壁圆环截面 r0>>δ
D=2r0 + d=2r0 -
δ r0
I p 2 r03
d
D
Wp 2 r02
Wp 2A0
A0——中线包围的面积 25
推广：任意形状的薄壁截面
Wp 2A0
φ
纵线
dx
相对转动。
B、所有纵线转过同一角度γ。
矩形 平行四边形
（2）假 设
横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆 轴线旋转过一个角度——刚性平面假设。
15
（3）应变分布规律
O1 a
γ
b
Mx
O2 c
c′
dφ
d d′
dx
周线
T
材料力学第3章 扭转幻灯片PPT
对于承受几个外力偶矩作用的轴，其不同横截面上的扭 矩不尽一样。为了表示扭矩的大小和正负随截面位置的变化， 可用扭矩图来形象描述之。
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件
材料力学第三章_扭转 PPT课件
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
极惯性矩I p 2dA
A
实心圆轴
Ip
D 4
32
d
o
D
空心圆轴
Ip
（D4
32
d4）
D
4
（1
4）
32
dD
d
o
d D
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
强度条件：
max
T WP
圆轴扭转强度条件：
max
例6-3 图示轮C为主动轮，
A、B、D轮为从动轮，转 速为n=300r/min，TA=351N•m， TB=351N•m， TC=1170N•m， TD=468N•m， G=80GPa，
[]=40MPa，[]=0.3°/m，
试设计传动轴的直径d。
解： 1.绘扭矩图 Mnmax=702 N•m
2. 按强度条件设计直径d
参考坐标系如图所示，矩形1和2的面
积及形心位置分别为:
120 1
A1=10120=1200 mm2
A2=1070=700 mm2
2
10 z yc1 =120/2=60 mm
80
zc1 =10/2=5 mm
yc2 =10/2=5 mm，zc2 =10＋70/2=45 mm
zc
Sy A
S y1 S y2 A1 A2
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
扭转平面假设：圆杆的横截面变形后仍保持为平面，直径变形后 仍为直径 推论：横截面上只有切应力，没有正应力
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
（二）圆轴扭转应力
chap3-扭转 PPT课件
由
T
Ip
知：当
R
d 2
,
max
max
T
d 2
Ip
T Ip
d 2
T Wt
(令W I p
d 2
)
max
T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面：Wt Ip R D3 16 0.2D3 对于空心圆截面：Wt Ip R D3(14) 16 0.2D3(1-4)
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
，沿周向大小不变，方向与
该截面的扭矩方向一致。
4 ． 与 的关系：
´
a
b
dy
´
c
d
dx
L R
RL
材料力学 第三章 扭 转
5 ．薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r T
r AdA r 2 r T
式中， [l]代表许用拉应力。
轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切 状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。
材料力学 第三章
强度计算三方面：
扭转
① ②
校核强度：
max
Tm a x Wt设计截面尺寸： NhomakorabeaWt
Tm a x
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
电机每秒输入功： W Pk 1000(N.m)
外力偶作功完成： W
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解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
M x T 9 5 4 9 P n 9 5 4 9 1 7 0 .5 0 7 1 6 .2 N m
2
2
比能为
udU dW dW 1 (b )
dVdVdxd2 ydz
将 G 代如上式得
u 1τγ 2
(3—19a)
z
uG22
(31b 9 ,c)
2 2G
y
'
d
a
x
b
dx
dx
图3-13
29
等直圆杆扭转时应变能的计算
2
UVudV l AudAd u Gxγ 2 τ
2 2G
U 2dA d(xIT P)2dA d l (T x)2 2d AT2l
其单位是 Pa。
G E
2(1 )
(a) T
o
(b)
o
图 3-4
25
剪切胡克定律 只有在剪应力不超过材料的剪切比例 极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。
26
思考题：指出下面图形的剪应变
剪应变为 2
剪应变为 0
27
纯剪切应力状态下的比能
假设单元体左侧固定， 因此变形后右侧将向下 移动 dx。
13
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩图
14
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 例题4-1
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
15
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
16
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
17
§3-3、薄壁圆筒的扭转 纯剪切
薄壁圆筒的壁厚 t 远小于其平均半径 r0 （即
(4-4)
23
三、 剪切胡克定律
由图（c）所示的几何 关系得到
m
A B
D C
m
γ r
l
(3-2)
l
式中， r为薄壁圆筒的外半徑
(c)
薄壁圆筒的扭转 试验发现，当外力偶 m 在某一范围内
时， 与 m （在数值上等于 T ）成正比。
24
由 、、 间的线性关系，可推出
τ G γ （3-3）
该式称为材料的 剪切胡克定律 G 称为材料的 剪切弹性模量 。
圆筒两端截面之间相对转
动的角位移，称为 相对 扭转角 ，用 表示。
圆筒表面上每个格子的直角
的改变量，称为 剪应变。
用 表示 (c,d) 。
m
A B
D C
由设想推知
圆周各点处剪应力的方向于圆周相 切，且数值相等。近似的认为沿壁 厚方向各点处剪应力的数值无变化。
(c)
A
(d) B
m
D
'
C
22
'
推导公式
WPk10(0N0.)m
WMe
2
n 60
Pk
Pk
8
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图
T = Me
9
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
T = Me
10
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
12
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
m
n
由上述分析，就可得出薄壁筒
扭转时，横截面上任一点处的
剪应力 都是相等的，而其方
向于圆周相切。
x
τ dA
于是由静力关系，得到
n
(b)
A d r A r 0 A d r A 0 ( 2 r 0 t ) T
引入 =，A0为以薄壁圆筒平均半径 r0 所作圆的面积。
得到
Τ τ 2Α0 t
第三章 扭转
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
§3-1、概述
汽车传动轴
一、概
3
述
§3-1、概述
汽车方向盘 4
§3-1、概述
丝锥攻丝
5
§3-1、概述
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用 ,使杆件的横截面绕轴线产生转动。
l A2 G l A 2 G
2 GIP A
2 G PI
U m2l 2G I P
30
将 Tl ml 代入上式得
GIP GIP
U
GIP
2
φ
2l
31
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
几何关系
32
圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前的横截 面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变， 半径保持为直线；且相邻两截面间距离不变。
空心轴
令
则
39
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
40
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题4-2
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
因为 很小，所以在变形过程 中上，下两面上的外力将不作 功。只有右侧面的外力(dydz) 对相应的位移 dx 作了功。
(a)
y
'
d
a
x
b
z
dx
dx
图3-13
28
当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，
单元体上外力所作的功为
dW 1(dy)(d) x z1(d x)dy(a d ) z(a)
t
20
r0
）
薄壁圆筒扭转时其横截面上的内力，可用截面法求得。
一、用截面法求任一横截面 n—n 上的内力
mn
m
m
n
(a) nl
T
(b)
n
18
薄壁筒的扭转
19
薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力是一作用在 该横截面上的力偶，该内力偶称作扭矩 T。由内力与应力的
关系可知，横截面上的应力只能是切应力。
33
静力关系 （1）
34
静力关系 （1）
变形几何关系
由（4）代入（1）：
物理关系
（2） 令
（3） 由（2）代入（3）：
（4）
（5）
35
由（5）代入（4）：
36
横截面上沿水平直径转时截面上的应力计算
2. Ip 与 Wp 的计算
实心轴
38
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
6
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 直接计算
7
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
mn
(a) nl
m
m
n
T
(b)
n
20
二、求横截面上的切应力
薄壁圆筒扭转试验
m
m
预先在圆筒的表面画上等间距
的纵向线和圆周线，从而形成
一系列的正方格子。
观察到的现象
圆周线保持不变；纵向线发生倾斜 (c)
设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面， 相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
横截面上各点处的剪应力的方向必与圆周相切。 21