11.6傅利叶级数(2)

( n 1 , 2 , 3 , )
Leabharlann Baidu
f ( x ) bn sin nx
n1

周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
它的傅里叶系数为
an bn
0
1
2

f ( x ) cos nx d x
( n 0 , 1 , 2 , ) ( n 1 , 2 , 3 , )
1 2 4 k 1 2 k 1


1
1
即
1 1 1 1 1 1 2 3 15 35 63 4n 2 1
内容小结
1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理
a0 f ( x ) (an cos n x bn sin n x ) ( x 间断点) 2 n1 1 an f ( x ) cos n xd x (n 0 ,1, 2 ,)
0
2
x 2 cos nxdx
1 bn
0
2
x 2 sin nx dx
2 2 1 x cos nx 2 x sin nx 2 cos nx n 2 3 n n 0
4 2 1 2 0 3 (1 1) n n
f ( x ) 2
f ( x) ,
x 为连续点
狄利克雷条件.
f ( x )
,
x 为间断点
作业:
设 f (x) 是周期为2的周期函数, 试证明f (x)
的傅里叶级数为:
证 : 若 f ( x ) 可积, 且以T 为周期, 则有
a f ( x ) d x 0 f ( x ) d x ,



例1. 将 f ( x ) x 在 [0 , ] 上展开成正弦级数 .
解
将 f ( x ) 延拓成以2 为周期的奇函数 F ( x ) . 奇延拓
y

o

x
f ( x ) sin nx dx
2 bn
0

2 F ( x ) sin nx dx 2
0

0

x sin nx dx

ex ex
ex


sin nx 1 cos nx n 12 sin nx n
n 1 b bn n2 e ( 1 ) 1 n2 n
n n 2 bn 2 n 1 ( 1) e n 1 y 2





n 2n 1 ( 1 ) e 2 ( n 1)
例4
解
将 f ( x ) sin x 在 [ 0 , ] 上展开成余弦级数 .
将 f ( x ) 延拓成以2 为周期的偶函数 F ( x ) .
y

o

D sin x
cos x
x
2 a0 2 an
0


4 , sin xdx
0 sin x cos nxdx
其中


bn
注意: 若
f ( x0 ) f ( x0 ) 为间断点, 则级数收敛于 2

1

f ( x ) sin n xd x
(n 1, 2 ,)

2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数
• 奇函数 • 偶函数 正弦级数 余弦级数
3. 在 [ 0 , ] 上函数的傅里叶展开法 • 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 • 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数
D
D1
4 . n
x2
2x
sin nx
1 cos nx n 12 sin nx n 1 cos nx n3
2 0
a0 8 2 , 3
2
an 42 , n
bn 4 . n
4 1 f ( x) ~ 4 cos nx sin nx . 2 n 3 n n 1 y

x (2k 1) x (2k 1)

( 1)n1 x2 sin nx 在 [ 0 , ) 上成立 . n n1


将 f ( x ) x 在 [ 0 , ] 上展开成余弦级数 . 例2. 解 将 f ( x ) 延拓成以2 为周期的偶函数 F ( x ) . (偶延拓)
4 a0


当n 1时 ,
2 n 1 n 1 2 n 2 ( 1) 1 an 2 2 ( 1) 1 2 ( n 1) n 1 n 2 sin x cos xdx 2 1 2 a1 sin x 0. 0 2 0 n 1 2 2 1 F ( x) 2 1 ( 1) cos nx n2 n 1
复习:
设 f (x) 是周期为2的周期函数, 它的傅里叶系数为:
an
f ( x ) cos nx d x 1 bn f ( x ) sin nx d x

1

( n 0 ,1 , 2 , ) (n 1, 2 , )
它的傅里叶级数为:
a0 f ( x ) ~ an cos nx bn sin nx 2 n1
x
2 bn
0

e x sin nx dx
x x
D1
e e 2 cos nx 2 sin nx n n 0 x 1 2 2 e sin nx dx n 0 n 1 b n2 e ( 1 ) 1 n2 n
f ( x ) sin nx d x 0

a0 f ( x ) an cos nx 2 n1
注 . 正弦级数
a0 余弦级数 an cos nx 的和函数必为以 2 为周期的偶函数 . 2 n1
bn sin nx 的和函数必为以 2 为周期的奇函数 , n1
三、正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数 为 正弦级数, 它的傅里叶系数为
an f ( x ) cos nxdx 0 ( n 0 , 1 , 2 , )
0

bn
0
2

f ( x ) sin nx d x
f ( x ), cos nx , sin nx 均以2为周期,
a T
T
a为任意常数,
例3
将 f ( x ) x 2 在 [ 0 , 2 ] 上展开成Fourier 级数 . 2 8 2 1 2 解 a0 x dx , 0 3
1 an
2 2 1 x sin nx 2 x cos nx 2 sin nx n 2 3 n n 0 D D1 2 2 2 0 n x2 cos nx 42 , 1 sin nx 2 x n n 2 12 cos nx n 0 13 sin nx n
1 2 sin x sin nx n
sin x

D1 cos nx 1 sin nx n 12 cos nx n
1 1 2 2 cos x cos nx n2 n 0
0 sin x cos nxdx
1 1 2 an sin x sin nx 2 cos x cos nx n n 0 1 2 2 sin x cos nxdx n 0 n 2 2 ( 1)(1) 1 12 an n n



o

x
n n (n 2 1) 1 (1) e sin nx n 1 x n n 2 1 ( 1) e sin nx 在开区间( 0 , ) 上 , e 2 n 1( n 1)
2 F ( x) ~





在区间的端点级数收敛于零 .
2 bn
0

x sin nxdx

x 1 2 cos nx 2 sin nx n n 0 2 . ( 1)n 1 n
D x
1
0
D1 sin nx 1 cos nx n 12 sin nx n
n 1, 2 , 3,
( 1)n 1 F ( x) F ( x) ~ 2 sin nx n 0 n 1
2
取 x 0 , 则 4 4 12 2 2
3 n n 1
2
2

?
收敛定理!
4 12 2 3 n n 1

2 1 2 6 n n 1

2 1 1 1 1 2 2 2 8 3 5 7
1 2 n2 6 n 1

1 1 1 1 2 2 2 2 2 . 24 2 4 6 8
y

o

D x

x
2 a0 2 an
0

xdx , x cos nx dx
0

x 1 2 0 n sin nx 2 cos nx n 0 4 n 1, 3, 5 , n 2 2 2 ( 1) 1 n n 0 n 2, 4, 6,
1
D1 cos nx 1 sin nx n 12 cos nx n


a0 ,
4 n 2 an 0 y
n 1, 3 , 5 , n 2, 4, 6,

o

x
4 F ( x) ~ 2
1 (2k 1) 2 cos(2k 1) x F ( x) k 1
o
2
x
和函数 s( x ) 的图形如上图 , 所以 , 当 0 x 2 时 ,
1 4 f ( x) 4 cos nx sin nx . 2 n 3 n n 1
2
y
o
2
x
当 0 x 2 时 ,
1 4 f ( x) 4 cos nx sin nx 2 n 3 n n 1


4 x 2

1 2 cos ( 2k 1) x 在 [ 0 , ] 上成立 ( 2k 1) k 1

#
例3
解
将 f ( x ) e 在 [ 0 , ] 上展开成正弦级数 .
x
将 f ( x ) 延拓成以 2 为周期的奇函数 F ( x ) .
y

o

D






2 4
k 1
4k 2 1 cos 2kx . n 2k 取偶数
1

所以, 当 x [ 0 , ] 时 ,
2 4 sin x
k 1
4k 2 1 cos 2kx .

1
#
令 x 0,则
2 4
k 1
4k 2 1 0