2.2一元二次方程的解法(1)课件2004年浙教版八年级下
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2.2 一元二次方程的解法(4) 浙教版数学八年级下册课件
复习回顾
2.2一元二次方程的解法（4）
一、用配方法法解下列一元二次方程
1、2x2-6x+5=0
方程得两边同除以2， （即化二次项系数为1）,得
x2 3x 5 0,
2
移项，得x2 3x 5 ,
2
方程的两边同加上
3
2
，得
2
x2
3x
3 2
5
9
2
24
一除 二移
三配
即 x 3 2 1
2.2一元二次方程的解法（4）
用配方法解一般形式的
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)
ax2 bx c 0 x2 b x c 0
aa x2 b x - c
aa
（x
b 2a
）2
b2 - 4ac 4a 2
b
b2 - 4ac
x 2a
4a 2
x - b b2 - 4ac 2a
x2 b x （ b ）2 - c （ b ）2 a 2a a 2a
2
4
左边
x
3
2
0,
而右边
-
1
0
2
4
所以原方程无解.
四开 五求
六定
新知探究
2.2一元二次方程的解法（4）
用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0，a ≠ 0
思路：遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要 将方程的两边都除以二次项系数，转化为能 用配方法解二次项系数是1的一元二次方法。
新知探究
2
1 2
x
x
2x
2
0
即 - 1 x 2 x 2 0
2
2.2一元二次方程的解法(4)公式法课件2004年浙教版八年级下
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 倍 速 课 时 学 练 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =)2 = +( )2
( x +
∴当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( 4. 用直接开平方法解方程 (x+
)2 )2 =
= -q+( -q
)2
倍 速 课 时 学 练
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 ① ② X= ③ 3、代入求根公式 :
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3
倍 速 课 时 学 练
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？
倍 速 课 时 学 练
当 b2-4ac=0 时，一元二 方程有两个相等的实数根。
浙教版八年级下册数学一元二次方程的应用学习课件
北
西C
A
东
B 南
巩固练习：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件 赢利40元。为了扩大销售，增加利润，商场决定采取适 当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元， 商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价 多少元？
变式练习：
某商场销售一批名牌衬衫，每件进价60元,当售价为100 元时，平均每天可售出20件。为了扩大销售，增加利润， 商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬 衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
例1、某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与 每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元; 以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(_x_+__3_)_ 株,平均单株盈利为__(3__-_0_._5_x__)元. 由题意,得
2
892
答:从2000年12月31日至2002年12月31日,我国上 网计算机总台数的年平均增长率为52.8﹪
（2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日 的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的 年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？
想一想:
(1)已知哪段时间 3200 的年平均增长率? 2400
则降价多少元？
（2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售 获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多
少元？(小组合作探究)
2、我校图书馆至去年年底藏书3.2万册,计划到明年年底 藏书达到5万册,若设每年平均增长率为x,则可列出方程 是( C )
西C
A
东
B 南
巩固练习：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件 赢利40元。为了扩大销售，增加利润，商场决定采取适 当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元， 商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价 多少元？
变式练习：
某商场销售一批名牌衬衫，每件进价60元,当售价为100 元时，平均每天可售出20件。为了扩大销售，增加利润， 商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬 衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
例1、某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与 每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元; 以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(_x_+__3_)_ 株,平均单株盈利为__(3__-_0_._5_x__)元. 由题意,得
2
892
答:从2000年12月31日至2002年12月31日,我国上 网计算机总台数的年平均增长率为52.8﹪
（2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日 的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的 年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？
想一想:
(1)已知哪段时间 3200 的年平均增长率? 2400
则降价多少元？
（2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售 获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多
少元？(小组合作探究)
2、我校图书馆至去年年底藏书3.2万册,计划到明年年底 藏书达到5万册,若设每年平均增长率为x,则可列出方程 是( C )
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法复习》公开课课件
) (
x-22)
强化训练
2、比一比，看谁做得快：
① (y+ 2 )(y- 2 )=2(2y-3) y1=y2=2
② 3t(t+2)=2(t+2)
t1=-2,t2=2/3
③ x2=4 3 x-11
x1=2 3 1 x2=2 3 1
④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
x1=-92,x2=-100
无论m取何值，此方程都是一元二次方程
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没
有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号 并整理为一般形式再选取合理的方法。
变1： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0
变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0
再变为： 2(x-2)2+5x-13=0
2(x-2)2+5x-10-3=0
2(x-2)2+5(x-2)-3=0
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b b2 4ac .b2 4ac 0 . 2a
填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0 ⑥ 5(m+2)2=8
6
36
开平方，得: x 5
6
1
x1
2, x2
. 3
新浙教版八下：2.2 一元二次方程的解法(4)ppt课件
2
即
b b 4ac x 2a 2a
2
一元二次方程的 求根公式
b b 4ac x 2-4ac≥0) ( a≠0, b 2a 当b2-4ac＜0时，
2
方程ax2+bx+c=0无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0 ) ,
2
2 b b 4ac 2 如果 b 4ac 0 ,那么方程的两个根为 x 2a 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，
我们可以 由一元二次方程的系数 a、b、c 的值，直接 求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解下列一元二次方程:
(1) 2 x 5 x 3 0
2
(2) 4 x 1 4 x
2
3 2 1 (3) x 2x 0 4 2
(4) x2 x 1 0
4、写出方程的解x1与x2.
鲜花为你盛开，你一定行！
你能编一个有解的一元二次 方程吗？ 试一试，考考你的同学吧！
合作探索
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数根； 3、关于x的一元二次方程x²-mx-5=0。 当m满 足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
思考：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程
的两根为互为相反数？
2.2 一元二次方程的解法(4)
“配方法”解方程的基本步骤：
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项 系数a) 2、把常数项移到方程的右边; 3、把方程的左边配成一个完全平方式; 4、利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程； 5、解一元一次方程，求出方程的两个解。
浙教版数学八下课件2.2一元二次方程解法
练习1、用直接开平方法解下列方程 （1）3x2-75=0（2）x2+4=0
（3） x2 1(a 0) a
例3、解方程：16(x-3)2=25 分析：用换元法，(x-3)看成一个整体。 练习1、解方程9(2x+3)2=(x-3)2
2、方程ax2=c有实根的条件是————
配方法 先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边 配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就 可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
(1)当每辆车的月租金定3600元时,能租出多少辆?
100-（3600-3000）÷50=88（辆）
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益
(租金收入扣除维护费)可达到306600元?
设月租金定为x元，得：
(x 150)(100 x 3000) 306600 (3)3x2=4
x1+x2=3;x1·x2=0 x1+x2=0;x1·x2=－4/3
例3 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是２，求 它的另一个根和k的值．
解：设方程的另一个根为x1 把x＝２代入方程，得 ４－２（k＋１）＋３k＝０, 解这个方程，得 k＝－２,
9.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价
为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x，根据题意所
列方程正确的是() C
A．36（1－x)2＝36－25 B．36（1－2x）＝25
C．36（1－x）2＝25
D．36（1－x2）＝25
12.如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相 等的实数根，那么k的取值范围是() D
怎样解形如与ax 2 0
ax2 c 0
的一元二次方程呢？
（3） x2 1(a 0) a
例3、解方程：16(x-3)2=25 分析：用换元法，(x-3)看成一个整体。 练习1、解方程9(2x+3)2=(x-3)2
2、方程ax2=c有实根的条件是————
配方法 先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边 配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就 可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
(1)当每辆车的月租金定3600元时,能租出多少辆?
100-（3600-3000）÷50=88（辆）
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益
(租金收入扣除维护费)可达到306600元?
设月租金定为x元，得：
(x 150)(100 x 3000) 306600 (3)3x2=4
x1+x2=3;x1·x2=0 x1+x2=0;x1·x2=－4/3
例3 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是２，求 它的另一个根和k的值．
解：设方程的另一个根为x1 把x＝２代入方程，得 ４－２（k＋１）＋３k＝０, 解这个方程，得 k＝－２,
9.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价
为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x，根据题意所
列方程正确的是() C
A．36（1－x)2＝36－25 B．36（1－2x）＝25
C．36（1－x）2＝25
D．36（1－x2）＝25
12.如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相 等的实数根，那么k的取值范围是() D
怎样解形如与ax 2 0
ax2 c 0
的一元二次方程呢？
2.2一元二次方程的解法(2)课件2004年浙教版八年级下
解下列方程:
(1)2 x 18 0
2
(2)(3 x 1) 4
2
倍 速 课 时 学 练
(3)2( x 1) 8
2
一般地，对于形如
（a≥0）的 x a
2
方程，根据平方根的意义，可解得
x a, x a
1 2
倍 速 课 时 学 练
这种解一元二次方程的方法叫做开平 （square root extraction）法
1 (1)5(t 1) 0 5
2
(2)(2 x 3) 5
2
倍 速 课 时 学 练
１、方程 x 2 0.25 的根是
；
２、方程 2 x
2
18 的根是
2
；
；
3、 方程(2 x 1) 9 的根是
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T3
x 10 x 25 9 变形为 ( x 5) 9
2
(2) x 6 5 x
2
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T4
倍 速 课 时 学 练
2
2
x 6x 7 0
2
倍 速 课 时 学 练
变 形 为
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
2
a
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用开平方法 求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
倍Hale Waihona Puke 速 课 时 学 练例题2(1) y 6 y 4 0
(1)2 x 18 0
2
(2)(3 x 1) 4
2
倍 速 课 时 学 练
(3)2( x 1) 8
2
一般地，对于形如
（a≥0）的 x a
2
方程，根据平方根的意义，可解得
x a, x a
1 2
倍 速 课 时 学 练
这种解一元二次方程的方法叫做开平 （square root extraction）法
1 (1)5(t 1) 0 5
2
(2)(2 x 3) 5
2
倍 速 课 时 学 练
１、方程 x 2 0.25 的根是
；
２、方程 2 x
2
18 的根是
2
；
；
3、 方程(2 x 1) 9 的根是
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T3
x 10 x 25 9 变形为 ( x 5) 9
2
(2) x 6 5 x
2
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T4
倍 速 课 时 学 练
2
2
x 6x 7 0
2
倍 速 课 时 学 练
变 形 为
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
2
a
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用开平方法 求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
倍Hale Waihona Puke 速 课 时 学 练例题2(1) y 6 y 4 0
浙教版八年级数学下册课件：专题课堂(二) 一元二次方程的解法及配方法、根的判别式的应用(共张PPT)
①选取二次项和一次项配方如下： x2－4x＋2＝(x－2)2－2； ②选取二次项和常数项配方如下： x2－4x＋2＝(x－ 2)2＋(2 2－4)x， 或 x2－4x＋2＝(x＋ 2)2－(2 2＋4)x；
③选取一次项和常数项配方如下： x2－4x＋2＝( 2x－ 2)2－x2. 根据上述材料，解决下面的问题是： (1)写出 x2－8x＋4 的两种不同形式的配方； (2)已知 x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求 xy 的值．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
类型三：一元二次方程根的判别式的应用 6．已知 a，b，c 为常数，点 P(a，c)在第二象限，则关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
7．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，
解：y1＝7，y2＝2
(4)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2； 解：原方程可变形为 4x2＋4x－5＝0.∴x1＝－1＋2 6，x2＝－1－2 6
(5)25(2x＋3)2＝16(x－1)2. 解：x1＝－169，x2＝－1114 2．(换元法)解下列方程： (1)(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0；
解：(1)答案不唯一，如：原式＝(x－4)2－12 或 原式＝(x－2)2－4x (2)由已知等式变形得 x2＋xy＋14y2＋34y2－3y＋3＝0.
(x＋12y)2＋34(y－2)2＝0，∴x＋12y＝0，y－2＝0， 解得 x＝－1，y＝2.∴xy＝(－1)2＝1
5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4，∵(y＋2)2≥0，∴(y＋ 2)2＋4≥4，∴y2＋4y＋8的最小值是4. (1)求代数式m2＋m＋4的最小值； (2)求代数式4－x2＋2x的最大值；
③选取一次项和常数项配方如下： x2－4x＋2＝( 2x－ 2)2－x2. 根据上述材料，解决下面的问题是： (1)写出 x2－8x＋4 的两种不同形式的配方； (2)已知 x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求 xy 的值．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
类型三：一元二次方程根的判别式的应用 6．已知 a，b，c 为常数，点 P(a，c)在第二象限，则关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
7．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，
解：y1＝7，y2＝2
(4)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2； 解：原方程可变形为 4x2＋4x－5＝0.∴x1＝－1＋2 6，x2＝－1－2 6
(5)25(2x＋3)2＝16(x－1)2. 解：x1＝－169，x2＝－1114 2．(换元法)解下列方程： (1)(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0；
解：(1)答案不唯一，如：原式＝(x－4)2－12 或 原式＝(x－2)2－4x (2)由已知等式变形得 x2＋xy＋14y2＋34y2－3y＋3＝0.
(x＋12y)2＋34(y－2)2＝0，∴x＋12y＝0，y－2＝0， 解得 x＝－1，y＝2.∴xy＝(－1)2＝1
5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4，∵(y＋2)2≥0，∴(y＋ 2)2＋4≥4，∴y2＋4y＋8的最小值是4. (1)求代数式m2＋m＋4的最小值； (2)求代数式4－x2＋2x的最大值；
浙教版数学八年级下册一元二次方程的解法课件
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，
其中答对的是（ C
）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=6x，则x=2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
x2 3x 2
D、若
的值为零，则x 2
x 2
引例：给下列方程选择较简便的方法
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
例3. 解方程 ① (2m+3)2=2(4m+7)
② 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没
有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号 并整理为一般情势再选取合理的方法。
变1： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0
变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0
（1）变方程③为： 2(x-2)2+5(x-2) =3 或 2(2-x)2-5(2-x)-3=0
巩固练习：
① (y+ 2)(y- 2 )=2(2y-3)
② (3-t)2+t2=9 ③ 3t(t+2)=2(t+2)
④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (x－5)2
1、填空：
① x2-3x+1=0
② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ x2 +9=6x ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0
⑧ 2x2+4x-1=0
合适运用开平方法
② 3x2-1=0
⑥ 5(m+2)2=8
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》说课稿1
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程的解法》是浙教版数学八年级下册第2.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法基础上进行讲解的。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是学生进一步学习高中数学的基础。
本节内容主要介绍了一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等，旨在让学生了解并掌握一元二次方程的解法，并能够灵活运用。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了方程的基本概念和解法，对于新的解法可能会有一定的接受难度。
同时，学生对于数学的兴趣和积极性也会影响到本节内容的学习效果。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，引导学生主动探索一元二次方程的解法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用各种方法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：配方法的应用和求根公式的理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生主动探索，提高学生解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板等辅助教学，使教学内容更加直观生动。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习方程的解法，引导学生进入一元二次方程的解法学习。
2.自主探究：让学生自主探究一元二次方程的解法，引导学生发现解法之间的联系。
3.案例教学：通过具体的案例，讲解一元二次方程的解法，让学生理解和掌握。
4.合作交流：学生分组讨论，分享解法的心得体会，互相学习和提高。
5.总结提升：教师引导学生总结一元二次方程的解法，让学生形成系统化的知识结构。
6.巩固练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出一元二次方程的解法。
浙教版数学八年级下册第2章《一元二次方程》复习课件
须先将方程化为一般情势 在写一元二次方程的一般情势时,通常按未知
数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一 次项,最后是常数项。
判断下列方程是一元二次方程吗?
(1) x2 5x 150√
2 (2) x2 5 3
(3) (x 3)2 7 √ (4) x2 2 y 3 0
(5) 3x2 5x 0 √
用开平方法解下列方程:
(1)3x2－48=0;
(2)(x－5)2=9
(3)(2x－3)2=7
3、先配方再开平方法
对于形如x2+ax+b=0的方程,不能
因式分解。用配方法
加上一次项系数一半的平方
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3)x2+13=12x
步骤？
一元二次方程的解法： （1）因式分解法 若A·B=0，则A=0或B=0
做一做：
（1） 27x2 18x 3
（2）(x 2)2 2x 4
（3）4(x 3)2 x(x 3) 0
（4） (7x1)2 4x2 （5）x2 2x 3 0
2、直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a , x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2 4ac＜时0 ，方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,
2
如果 b2 4ac 0 ,
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一 次项,最后是常数项。
判断下列方程是一元二次方程吗?
(1) x2 5x 150√
2 (2) x2 5 3
(3) (x 3)2 7 √ (4) x2 2 y 3 0
(5) 3x2 5x 0 √
用开平方法解下列方程:
(1)3x2－48=0;
(2)(x－5)2=9
(3)(2x－3)2=7
3、先配方再开平方法
对于形如x2+ax+b=0的方程,不能
因式分解。用配方法
加上一次项系数一半的平方
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3)x2+13=12x
步骤？
一元二次方程的解法： （1）因式分解法 若A·B=0，则A=0或B=0
做一做：
（1） 27x2 18x 3
（2）(x 2)2 2x 4
（3）4(x 3)2 x(x 3) 0
（4） (7x1)2 4x2 （5）x2 2x 3 0
2、直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a , x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2 4ac＜时0 ，方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,
2
如果 b2 4ac 0 ,
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
2022年浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法(第3课时)》优课件
你可以先思考以下问题：如果中途没有选手退出比 赛，设一共需比赛n局，怎样列出方程求解？
合作探究
3、用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0
方程两边同时除以a,得
x2+
b a
x+
c a
=0
移项，得 x2+ bax= -
c a
方程两边都加上(
b 2a
)2 ，得
x2+
b a
x+(
2ba)2=
b2-4ac 4a2
( )2
② m x +n =b
其中
a,b 是非负数,
这样的一元二次方程，可用开平方法 直接 得出它的两个解或者将它转化为两个一元一 次方程进行求解.
配方法解一元二次方程的基本步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程;
2.2一元二次方程的解法 (第3课时)
1、一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0(a0) a x 2 二次项， a 二次项系数
c 常数项
b x 一次项， b 一次项系数
2、一元二次方程的解法： （1）因式分解法 （2）直接开平方法 （3）配方法
开平方法解一元二次方程：
• 一般地，对于形如：① x 2 = a
★一除、二移、三配、四化、五解.
例6 用配方法解下列一元二次方程
(1) 2x2+4x-3=0 (2) 3x2-8x-3=0
解：方程两边同除以2，得 解：方程两边同除以2，得
x2+2x-3/2=0
移项，得 x2+2x=3/2
x2-8/3x-1=0
合作探究
3、用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0
方程两边同时除以a,得
x2+
b a
x+
c a
=0
移项，得 x2+ bax= -
c a
方程两边都加上(
b 2a
)2 ，得
x2+
b a
x+(
2ba)2=
b2-4ac 4a2
( )2
② m x +n =b
其中
a,b 是非负数,
这样的一元二次方程，可用开平方法 直接 得出它的两个解或者将它转化为两个一元一 次方程进行求解.
配方法解一元二次方程的基本步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程;
2.2一元二次方程的解法 (第3课时)
1、一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0(a0) a x 2 二次项， a 二次项系数
c 常数项
b x 一次项， b 一次项系数
2、一元二次方程的解法： （1）因式分解法 （2）直接开平方法 （3）配方法
开平方法解一元二次方程：
• 一般地，对于形如：① x 2 = a
★一除、二移、三配、四化、五解.
例6 用配方法解下列一元二次方程
(1) 2x2+4x-3=0 (2) 3x2-8x-3=0
解：方程两边同除以2，得 解：方程两边同除以2，得
x2+2x-3/2=0
移项，得 x2+2x=3/2
x2-8/3x-1=0
浙教版数学八年级下册《开平方法—配方法(1)》课件
.
(x-4)2=20
x-3=1或x-3=-1
x1=4,x2=2
x-4= 20或x-4=- 20
x1=4 + 2
.
5或x2=4-2 5
.
.
（3）x2+x-1=0
解：x2+x=1
1
1
2
x +x+ =1+
4
4
1 2 5
（x+ ） =
2
4
1
x+ =
2
5
4
1
或x+ =−
2
5
4
.
一移、
二配、
.
三开、
四解.
−1+ 5
4.解方程 x2 = p,
（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等
的实数根 x1=
，x2 = −
；
（2）当p=0 时，方程x2 = p有两个相等的实数根 x1=x2=0；
（3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 = p无实数根.
.
5. 用配方法解下列方程：
浙教版八下数学
2.2 一元二次方程的解法 （2）
开平方法+配方法
温故知新：
齐声朗读
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，
用式子表示为：若 2 = ，那么x就是a的平方根，记作 = ±
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得1 = , 2 = −
(a+b)2
几何验证： 利用图形面积验证完全平方公式
ab
b2
八年级数学下册浙教版课件《2.2 一元二次方程的解法(
★配方法解一元二次方程： 一除、二移、三配、四化、五解.
用配方法解一元二次方程: 2x2+6x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0 (a≠0)
x=
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2-5x+3=0
解:
a=2 b=-5 c= 3 ①
求根公式 : X=
若 b2-4ac>0 则原方程有两个不相等的实数根； 若 b2-4ac=0 则原方程有两个相等的实数根； 若 b2-4ac么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解？
布置作业
3、练习:用公式法解方程
（1） x2 -
x
-1=
0
（x1
=
1x2
=-
-2-） 3
（2） x2 - 2 x+2= 0 （x1 = x2 = ）
（3）X( X-1)=(X-2)2 （x1 = 4,x2 =2）
再试一试吧！
自编一个有解的一元二次方 程，让你的同桌解一解吧！
理一理：
解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
∴ b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1 ②
用公式法的一般步骤： 1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
③
X=
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
④
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac=--0--2有、两若个关相于等x的的实方数程根x2-，2n则x+n3=n--+-1-4-或=--0.4
用配方法解一元二次方程: 2x2+6x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0 (a≠0)
x=
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2-5x+3=0
解:
a=2 b=-5 c= 3 ①
求根公式 : X=
若 b2-4ac>0 则原方程有两个不相等的实数根； 若 b2-4ac=0 则原方程有两个相等的实数根； 若 b2-4ac么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解？
布置作业
3、练习:用公式法解方程
（1） x2 -
x
-1=
0
（x1
=
1x2
=-
-2-） 3
（2） x2 - 2 x+2= 0 （x1 = x2 = ）
（3）X( X-1)=(X-2)2 （x1 = 4,x2 =2）
再试一试吧！
自编一个有解的一元二次方 程，让你的同桌解一解吧！
理一理：
解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
∴ b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1 ②
用公式法的一般步骤： 1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
③
X=
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
④
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac=--0--2有、两若个关相于等x的的实方数程根x2-，2n则x+n3=n--+-1-4-或=--0.4
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∴7x－7=0,或 -x－1=0.
∴x1=1, x2=-1
• 能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这 样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解， 否则移项后先化成一般式再因式分解.
倍 速 课 时 学 练
用因式分解法解下列方程：
(1) 4x =12x;
倍 速 课 时 学 练
2
(2) (x -2)(2x -3)=6;
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0, ∴x=0 ,或3x－17=0 解得 x1=0, x2=17／3 (2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0.
倍 速 课 Байду номын сангаас 学 练
将方程的左边分解因式，得
〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0, 即 (7x－7) (-x－1)=0.
一元二次方程的一般式是怎样的？
ax bx c 0（a≠0）
2
倍 速 课 时 学 练
D
（A）A=0； （B）B=0； （C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
倍 速 课 时 学 练
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式
主要方法: (1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2
（2）将方程的左边因式分解； 倍 速 课 时 学 练 （3）根据若A· B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程； 能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的， 移项后能直接因式分解就直接因式分解， 否则移项后先化成一般式再因式分解.
倍 速 课 时 学 练
填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-1
倍 速 课 时 学 练
； 。
（2）x2－25=0的根是 X1=5,
x2=-5
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解(1)
化简方程，得 3x2－17x=0.
2.若一个数的平方等于这个数本身,
你能求出这个数吗(要求列出一
倍 速 课 时 学 练
元二次方程求解)?
解： 方程两边都除以 x，得 3x=1
倍 速 课 时 学 练
解得
1 x 3
能说出你这节课的收获和体验让大家
倍 速 课 时 学 练
与你分享吗？
因式分解法解一元二次方程的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
(4) 9x =(x 1)
2
_
(3) x +9=-6x ;
2
2
x 9 0 (5) 4
2
例3 解方程x2=2√2x－2
解 移项，得 x2 －2√2x+2=0,
即 x2 －2 √2x+(√2)2=0.
∴(x －√2)2=0,
倍 速 课 时 学 练
∴x1=x2=√2
1.解方程 x2－2√3x=-3
倍 速 课 时 学 练
在学习因式分解时，我们已经知道， 可以利用因式分解求出某些一元二次 方程的解
请利用因式分解解下列方程：
（1）y2－3y＝0; (2) 4x2=9
倍 速 课 时 学 练
像上面这种利用因式分解解一元二 次方程的方法叫做因式分解法。它 的基本步骤是：
• 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右 边为零； • 将方程的左边分解因式； • 根据若A· B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程 转化为解两个一元一次方程。