量子信息导论作业1

量子信息导论第一章作业
（*标记者为选做题）
1：计算二元对称信道的信道容量。

2：{}{}变换。

，试构造出该＝，使得，则存在幺正变换、态中存在两组正交归一化空间U ~U U ~i
i i i ψψψψH 3：{}{变换。

，并构造出该＝，使得请证明，则存在＝，有，它们满足：、中存在两组归一化态空间U ~U U ~~j i, ~i
i j i j i i i ψψψψψψψψ∀H 4：对两比特态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B A B B A 121023121123021021φ i)求约化密度矩阵B A ρρ,；ii)求φ的Schmidt 分解形式。

5：对三粒子系统纯态ABC φ，在空间C B A H H H ⊗⊗中是否存在C B A H H H ,,中的正交基{}{}{}C B A i i i ,,，
使得C B A i
i ABC i i i p ⊗⊗=∑φ一定成立?给出理由。

6：设ψ为量子比特态，在Bloch 球面上均匀随机分布。

i) 随机地猜想一个态φ，求猜测态相对于ψ的平均保真度>=<2ψφF 。

ii) 对此量子态做正交测量{}I P P P P =+↓↑↓↑,,。

测量后系统被制备到：
ψψψψρ↓↓↑↑+=P P P P ，求ρ与原来的态ψ的平均保真度。

（>=<ψρψF ）
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：123021,123021,0321--=+-==ψψψ。

现令i i i F ψψ32=，则{}3,2,1=a a F 构成二维空间中的POVM 。

现引入一个辅助的qubit ，试在扩展空间中
实施一个正交测量，从而实现此POVM 。

8*：证明超算符仅在幺正条件下才是可逆的。

9：证明()011021
-=-ψ在()()n U n U ,,ϑϑ⊗下是不变的。

10*：证明 ()()()()BC AC B A S S S S ρρρρ+≤+。

11：考虑2－qubit 系统--+⊗=ψψρ2181I I AB ，分别沿m n ,方向测A,B 粒子的自旋。

其中ϑcos =•n m ，则测量结果均为向上的联合概率是多少？由Peres
－Horodeski 判据，确定AB ρ是否为可分量子态。