2016-2017学年高中数学苏教版必修1学业分层测评3.2.2
高中数学 学业分层测评1 苏教版必修2(2021年整理)
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学业分层测评(一）(建议用时：45分钟）[学业达标]一、填空题1．下列说法中正确的个数是________．①棱柱的面中，至少有两个面互相平行;②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；③棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；④棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形．【解析】棱柱的面中，有两个底面,所以至少有两个面互相平行,故①正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面,②错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，③错误．棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面可能是平行四边形，④错误．【答案】12．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为______(填序号)．图1.1。
11【解析】结合棱锥的定义可知，①不符合其定义，故填①.【答案】①3．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号）①矩形;②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】在正方体ABCD.A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定:①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A。
2016-2017学年高中数学第二章概率2.2超几何分布学业分层测评苏教版选修2-3
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布学业分层测评 苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.【答案】 122．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)【解析】 二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台，其概率为C 13C 397＋C 497C 4100. 【答案】 C 13C 397＋C 497C 41003．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是________． ①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X ；②从7男3女的10名学生干部中选出5名优秀学生干部，女生的人数为X ； ③某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X ；④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时摸球的总次数．【解析】 ①③均为重复试验，不符合超几何分布总体的分类要求；②④总体分为明确的两类，但④中的随机变量X 不是抽取样本中一类元素的个数．【答案】 ②4．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P (X ≤1)＝________.【解析】 由已知X ～H (2,4,26)， 则P (X ＝0)＝C 04C 222C 226，P (X ＝1)＝C 14C 122C 226，故P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 222＋C 122C 14C 226＝319325. 【答案】3193255．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．【解析】 P ＝C 13C 22C 35＋C 23C 12C 35＝910.【答案】9106．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率是________．(用式子表示)【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.【答案】 C 410C 25C 6157．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】281458．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________. 【导学号：29440040】【解析】 用X 表示中奖票数， P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15. 【答案】 15 二、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X ～H (3,6,10)． 则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝23.10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率．【解】 (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.∴P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求概率分布为(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.能力提升]1．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．【解析】 剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P ＝C 22·C 14C 36＝420＝0.2.【答案】 0.22．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本有________本. 【导学号：29440041】【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－m C 27＝12×7－m6－m21＋m 7－m21＝57， ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 43．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为_____________________________________．【解析】 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从超几何分布H (2,2,5)，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.【答案】 354．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的概率分布．【解】 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2＝0.04，解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)．故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 22C 210＝145.所以X 的概率分布为X 0 1 2 P28451645145。
2016-2017学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词学业分层测评 苏教版选修2-1
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词学业分层测评苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题：①所有的菱形都是平行四边形；②每一个三角形的内角和都是180°；③有些偶数不能被5整除；④一切平行四边形的对边都平行且相等；⑤至少有一个x，使得2x＞1.其中是存在性命题的为________(填序号)．【解析】①②④是全称命题，③⑤是存在性命题．【答案】③⑤2．下列全称命题中真命题的个数为________个．①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.【解析】容易判断①②③正确，④中，当x＝y＝0时不成立．【答案】①②③3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题．(1)实数的平方大于或等于0：_______________________________________；(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_____________________________.【答案】(1)∀x∈R，x2≥0(2)∃x0，y0∈R,3x0－2y0＋1≥04．(2016·扬州高二检测)命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．【答案】∃x＞0，x2＋x≤05．(2016·威海高二检测)已知命题p：∃x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为________．【解析】因为存在性命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x＞sin x的否定形式为：∀x∈R，x≤sin x.【答案】∀x∈R，x≤sin x6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.【答案】(－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________. 【导学号：09390015】【解析】由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.【答案】－1<a<38．对下列命题的否定说法错误的是________．①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.【解析】根据含有一个量词的命题的否定知③错误．【答案】③二、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．【解】(1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．【解】法一由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．法二非p：∀x∈1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3. 即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 能力提升] 1．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x－1>0.则下列结论中正确的是________．①命题“且q ”是真命题；②命题“且非q ”是真命题；③命题“非且q ”是真命题；④命题“非p 或非q ”是假命题．【解析】 当a ＝1时，x >0有x ＋1x ≥2成立，取a ＝2时x >0有x ＋2x ≥22>2，故p 是假命题；q 是真命题，故①错误，②错误，③正确，④错误．【答案】 ③2．(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．【解析】 由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.【答案】 13．给出下列三个结论：①若命题p 为真命题，命题非q 为真命题，则命题“p 且q ”为真命题；②命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若xy ≠0，则x ≠0或y ≠0”； ③命题“∀x ∈R,2x ＞0”的否定是“∃x ∈R,2x ≤0”．则以上结论正确的命题为________(填序号)．【解析】 非q 为真，则q 为假，所以p 且q 为假命题，所以①错误；“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”，所以②错误；③正确．【答案】 ③4．(2016·武汉高二检测)设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＞a ；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，如果命题p 真且命题q 假，求a 的取值范围．【解】 ∵命题p 为真命题，∴∀x ∈R ，x 2＋x ＞a ；∵(x 2＋x )min ＝－14，∴a ＜－14. ∵命题q 为假命题，∴∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ≠0， ∴Δ＝4a 2－4×(2－a )＜0⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－14.。
2016_2017学年高中数学学业分层测评19苏教版必修
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．以A (1,2)，B (3,0)的中点为圆心，以5为半径的圆的方程为________． 【解析】 AB 中点为(2,1)，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 【答案】 (x －2)2＋(y －1)2＝52．点P (－2，－2)和圆x 2＋y 2＝4的位置关系是________． 【解析】 ∵(－2)2＋(－2)2＝8>4， ∴P 点在圆外． 【答案】 P 在圆外3．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．【解析】 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.【答案】 x 2＋(y －1)2＝14．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________．【解析】 已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P (0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P 对称的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.【答案】 (x －2)2＋y 2＝55．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是__________. 【导学号：60420079】 【解析】 ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】 相交6．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为__________．【解析】 圆的方程化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ， ∵过点A (a ，a )可作圆的两条切线， ∴点A (a ，a )在圆外，可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.【答案】 (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 7．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是________________．【解析】 设直线端点为B (x 0,0)，C (0，y 0)， 则x 0＋02＝2，∴x 0＝4，0＋y 02＝－3，∴y 0＝－6， r ＝－2＋＋2＝13，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. 【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝138．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)， 那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝－2＋－3－2＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 【答案】 52－4 二、解答题9．已知平面直角坐标系中有四个点A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？【解】 设经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 代入三点的坐标得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b －2＝r 2，a －2＋b －2＝r 2，a －2＋b －2＝r 2，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r 2＝5，所以经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D 点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D 在圆上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上． 10．如图222所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.图222(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解】 (1)法一 以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．则有E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝r 2， ∵F (33，0)，M (0,3)都在圆上，∴⎩⎨⎧32＋b 2＝r 2，02＋－b 2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.法二 以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G ，半径为r ，则点G 在y 轴上，在Rt△GOE 中，|OE |＝33，|GE |＝r ，|OG |＝r －3， 由勾股定理，r 2＝(33)2＋(r －3)2，解得r ＝6， 则圆心G 的坐标为(0，－3)， 圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ， 则|CP |＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得112＋(y ＋3)2＝36，解得y ＝2，或y ＝－8(舍)．所以h ＝|CP |－0.5＝(y ＋|DF |)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)． 即车辆的限制高度为3.5 m.[能力提升]1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．【解析】在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213. 【答案】2132．(2016·徐州高一检测)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点， 且与y 轴相切，则圆C 的方程为__________________. 【导学号：60420080】【解析】 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b 2＝r 2，－a 2＋b 2＝r 2，|a |＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝±3，r ＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.【答案】 (x －2)2＋(y ±3)2＝4 3．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是______________． 【解析】y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图，A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.【答案】 t ≤－32或t ≥344．已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 (1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ， 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取最大值和最小值， 此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.。
2016-2017学年高中数学苏教版必修1学业分层测评3.4.2 函数模型及其应用 含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)［学业达标］一、填空题1．一等腰三角形的周长为40，底边y是关于腰x的函数，它的解析式为________．【解析】由题意得2x＋y＝40，所以y＝40－2x。
∵y>0，∴40－2x〉0，∴x〈20。
又∵三角形两边之和大于第三边,∴错误!解得x〉10，∴10<x<20。
【答案】y＝40－2x（10〈x<20)2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5。
06x－0。
15x2和L2＝2x,其中x为销售量（单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．【解析】依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润S＝5。
06x－0。
15x2＋2（15－x)＝－0。
15x2＋3。
06x＋30（x≥0），所以当x＝10时,S max＝45。
6（万元)．【答案】45.63．图3。
4.7中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t(min)之间的函数关系图象,根据图象填空：通话2 min，需付电话费________元；通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3 min,电话费y（元）与通话时间t（min）之间的函数关系式是________．图3.4。
7【解析】由图知，通话2 min,需付电话费3。
6元;通话5 min付电话费6元；当t≥3时，设y＝kx＋b，则有错误!解得k＝1。
2,b＝0，∴y＝1。
2t(t≥3)．【答案】 3.6 6 y＝1.2t（t≥3)4．一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年，剩留的物质约是原来的错误!。
经过________年，剩留的物质是原来的错误!。
【解析】先求剩留量y随时间x（年）变化的函数关系式,设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×错误!＝错误!，经过2年,y＝错误!×错误!＝错误!2，…,那么经过x年，则y＝错误!x.依题意得错误!x＝错误!，解得x＝3。
2016-2017学年高中数学 学业分层测评1 苏教版必修3
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.(2015·淮安月考)下列四个有关算法的说法中：①算法的某些步骤可以不明确或有歧义，以便使算法能解决更多问题；②正确的算法执行后一定得到确定的结果；③解决某类问题的算法不一定是唯一的；④正确的算法一定能在有限步之内结束.其中正确的是________.(要求只填写序号)【解析】 结合算法的特征可以知道②③④正确，①错误，故填②③④.【答案】 ②③④2.已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法. 第一步 输入实数a .第二步 ______________________________________________.第三步 输出a ＝18.【解析】 从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到.【答案】 若a ＝18，则执行第三步，否则返回第一步3.(2015·镇江检测)在求1＋2＋3＋…＋100的值时，可以运用公式1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2直接计算.下面给出了一个算法. 【导学号：90200003】第一步 ____①____；第二步 ____②____；第三步 输出计算结果.则①处应填________；②处应填________.【解析】 由算法可知只需确定n 的值代入公式计算即可，故①处可填“取n ＝100”，②处可填“计算n n ＋2”.【答案】 取n ＝100 计算n n ＋24.已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求直线AB 的斜率的一个算法如下：第一步 输入x 1，y 1，x 2，y 2的值.第二步 计算Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1.第三步 若Δx ＝0，则输出斜率不存在，否则(Δx ≠0)，k ＝____①____.第四步 输出斜率k .则①处应填________.【答案】 Δy Δx5.完成解不等式2x ＋2＜4x －1的算法第一步，移项，合并同类项，得________；第二步，在不等式的两边同时除以x 的系数，得________.【解析】 由2x ＋2＜4x －1移项合并同类项得－2x ＜－3；两边同时除以－2得x ＞32. 【答案】 －2x ＜－3 x ＞326.对于算法：第一步 输入n .第二步 判断n 是否等于2，若n ＝2，则n 满足条件；若n >2，则执行第三步.第三步 依次从2到(n －1)检验能不能被n 整除，若不能被n 整除，则执行第四步；若能整除n ，则结束算法.第四步 输出n .满足条件的n 是________.【解析】 此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n －1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数.【答案】 质数7.已知点P 0(x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0，y 0；②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ；③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A ，B 和常数C ；⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值.其正确的顺序为________.(填序号)【解析】 利用点到直线的距离公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 【答案】 ①④②③⑤⑥8.如下算法：第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立，则y ＝2x ，否则执行第三步；第三步 y ＝log 2(－x )；第四步 输出y 的值.若输出结果y 的值为4，则输入的x 的值为________.【解析】 算法执行的功能是给定x ，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0，log 2－x ，x <0对应的函数值. 由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4.∴x ＝2或－16.【答案】 2或－16二、解答题9.写出求a ，b ，c 中最小值的算法..【解】 算法如下：第一步：比较a ，b 的大小，当a >b 时，令“最小值”为b ；否则，令“最小值”为a ； 第二步：比较第一步中的“最小值”与c 的大小，当“最小值”大于c 时，令“最小值”为c ；否则，“最小值”不变；第三步：“最小值”就是a ，b ，c 中的最小值，输出“最小值”.10.下面给出一个问题的算法：第一步 输入a ；第二步 若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步 输出2a －1；第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？(2)当输入a 等于多少时，输出的值最小？.【解】 (1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值问题.(2)当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7，当x ＜4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2.∴当x ＝1时，f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时，输出的值最小.[能力提升]1.关于一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是________.(填序号) ①只能设计一种算法；②可以设计至少两种算法；③不能设计算法；④不能根据解题过程设计算法.【解析】 算法具有不唯一性，对于一个问题，我们可以设计不同的算法.【答案】 ②2.给出下列问题：①解方程x 2－2x －3＝0；②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为3的圆的面积；④判断y ＝x 2在R 上的单调性.其中可以设计算法求解的是________.(填上所有正确结论的序号)【解析】 根据算法的特征知，只有④不能设计算法求解.故填①②③.【答案】 ①②③3.下面给出了解决问题的算法：第一步 输入x ；第二步 若x ≤1，则y ＝2x －1，否则y ＝x 2＋3；第三步 输出y .(1)这个算法解决的问题是________；(2)当输入的x 值为________时，输入值与输出值相等.【解析】 (1)根据算法的功能可以知道，该算法是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≤1x 2＋3，x >1的值.(2)当x ≤1时，由2x －1＝x ，得x ＝1；当x >1时，由x 2＋3＝x 知不成立.故x ＝1.【答案】 (1)求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x x 2＋x 的函数值 (2)14.写出求1×2×3×4×5×6的一个算法..【解】 法一 第一步：计算1×2，得到2.第二步：将第一步的运算结果2乘3，得到6.第三步：将第二步的运算结果6乘4，得到24.第四步：将第三步的运算结果24乘5，得到120.第五步：将第四步的运算结果120乘6，得到720.第六步：输出运算结果.法二 第一步：输入n 的值6.第二步：令i ＝1，S ＝1.第三步：判断“i ≤n ”是否成立，若不是，输出S ，结束算法；若是，执行下一步.第四步：令S的值乘i，仍用S表示，令i的值增加1，仍用i表示，返回第三步.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对
第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。
2016_2017学年高中数学学业分层测评10苏教版必修
学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列有四个结论，其中正确的是________． (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； (2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥． 【解析】 (1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．【答案】 (4)2．一个正四棱柱的对角线的长是9 cm ，全面积等于144 cm 2，则这个棱柱的侧面积为________ cm 2.【解析】 设底面边长，侧棱长分别为a cm ，l cm ，⎩⎨⎧a 2＋a 2＋l 2＝9，2a 2＋4al ＝144，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，l ＝7，∴S 侧＝4×4×7＝112 cm 2.【答案】 1123．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________. 【导学号：60420037】【解析】 由题意可知S 侧＝2×5×23＋5×4＝20＋20 3. 【答案】 20＋20 34．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．【解析】 ∵l ＝R ＋r2，∴S 侧＝π(R ＋r )l ＝2πl 2＝32π，∴l ＝4.【答案】 45．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为153，则正三棱台的侧面积S 1与底面积之和S 2的大小关系为__________．【解析】 斜高h ′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤36－2＝2，S 1＝12×(3×2＋3×4)×2＝92，S 2＝34×22＋34×42＝53， ∴S 1>S 2. 【答案】 S 1>S 26．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m ，则全面积的最大值为________． 【解析】 设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πmr . ∴当r ＝πm2π－π＝mπ－时，S 全有最大值πm 2π－.【答案】πm 2π－7．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．【解析】 如图，连结A 1D 1，AD 1，则易知AD 1为正六边形最长的对角线， 由棱柱的性质，得AA 1⊥A 1D 1，在Rt △AA 1D 1中，AD 1＝13，AA 1＝5，A 1D 1＝132－52＝12，由正六棱柱的性质A 1B 1＝12A 1D 1＝6，S 棱柱侧面积＝6×6×5＝180.【答案】 1808．如图132，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．图132【解析】 设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1AB 1C 为四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.【答案】 1∶ 3 二、解答题9.如图133所示，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO ′和较小的棱锥PO ′.图133(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱为12 cm ，小棱锥底面边长为4 cm ，求截得棱台的侧面积和全面积．【解】 (1)设正六棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b ，则截面的边长为a2，∴S 大棱锥侧＝12c 1h 1＝12×6a ×b 2－a 24＝3ab 2－a 24，S 小棱锥侧＝12c 2h 2＝12×3a ×12b 2－a 24＝34a b 2－a 24，S 棱台侧＝12(c 1＋c 2)(h 1－h 2)＝12(6a ＋3a )×12b 2－a 24＝94ab 2－a 24，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3.(2)S 侧＝12(c 1＋c 2)(h 1－h 2)＝1442(cm 2)，S 上＝6×12×4×4×sin 60°＝243(cm 2)， S 下＝6×12×8×8×sin 60°＝963(cm 2)，∴S 全＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝1442＋1203(cm 2)．10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【解】 法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm.即A ′O ′＝x cm ，AO ＝3x cm(O ′，O 分别为上、下底面圆心)，过A ′作AB 的垂线，垂足为点D .在Rt △AA ′D 中，∠AA ′D ＝45°，AD ＝AO －A ′O ′＝2x cm ，所以A ′D ＝AD ＝2x cm ，又S 轴截面＝12(A ′B ′＋AB )·A ′D ＝12×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm 和21 cm.法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA ′，BB ′交OO ′的延长线于点S (O ′，O 分别为上、下底面圆心)．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x cm ， 又SO ′＝A ′O ′＝x cm ，所以OO ′＝2x cm. 又S 轴截面＝12×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm ，21 cm.[能力提升]1．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________． 【解析】 S ＝3π2＋2·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π2＋92π或S ＝3π2＋2·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3π2＋12π.【答案】 3π2＋92π或3π2＋12π2．如图134，三棱锥S ABC 中底面△ABC 为正三角形，边长为a ，侧面SAC 也是正三角形，且侧面SAC ⊥底面ABC ，则三棱锥的侧面积为________. 【导学号：60420038】图134【解析】 取AC 的中点M ，连结SM ，MB .∵△SAC ，△ABC 为全等正三角形， ∴SM ⊥AC ，BM ⊥AC ， 且SM ＝BM ＝32a ，△SAB ≌△SCB .又∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC .SM ⊂平面SAC ，∴SM ⊥平面ABC .过M 作ME ⊥BC 于点E ，连结SE ，则SE ⊥BC . 在Rt △BMC 中，ME ·BC ＝MB ·MC ， ∴ME ＝34a ，可求SE ＝SM 2＋ME 2＝154a . ∴S △SBC ＝12BC ·SE ＝158a 2，∴S 侧＝S △SAC ＋2S △SBC ＝3＋154a 2. 【答案】3＋154a 23．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h 1，h 2，h ，则h 1∶h 2∶h ＝__________.【解析】 由题意可把三棱锥A 1ABC 与四棱锥A 1BCC 1B 1拼成如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为63.而四棱锥A 1BCC 1B 1的高为22，则h 1∶h 2∶h ＝22∶63∶63＝3∶2∶2. 【答案】3∶2∶24．如图135所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m 铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01 m 2)．图135【解】 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1.2－2r ，∴塑料片面积S＝πr 2＋2πr (1.2－2r )＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r )＝－3π(r －0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S 有最大值0.48π，约为1.51平方米．。
2016-2017学年高中数学学业分层测评14苏教版必修3
学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.(2015·徐州高二质检)以下茎叶图234记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).图234已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ＝________，y ＝________. 【解析】 由甲组数据中位数为15知，x ＝5； 而乙组数据的平均数 16.8＝9＋15＋10＋y ＋18＋245，可得y ＝8.故填5,8. 【答案】 5,82.x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，x 11，x 12，…，x 50的平均数为b ，则x 1，x 2，…，x 50的平均数是________.【解析】 由题意知前10个数的总和为10a ，后40个数的总和为40b ，又总个数为50， ∴x 1，x 2，…，x 50的平均数为10a ＋40b 50＝a ＋4b 5.【答案】a ＋4b53.某学校高一(5)班在一次数学测验中，全班数学成绩的平均分为91分，其中某生得分为140分，是该班的最高分.若不包括该生的其他同学在这次测验中的平均分为90分，则该班学生的总人数为________.【解析】 设该班有n 名学生，则有91n －140n －1＝90.∴n ＝50. 【答案】 504.在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：环数 7 89 人数23已知该小组的平均成绩是________.【解析】 设成绩为8环的人数是x ，由平均数的概念，得7×2＋8x ＋9×3＝8.1×(2＋x ＋3)，解得x ＝5.【答案】 55.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系________.【解析】 取m ＝15，则所形成的新数据为0,2，－1，－5,0,2,2,1，－1，－3. ∴a ′＝0＋2－1－5＋0＋2＋2＋1－1－310＝－0.3.∴a ＝15＋(－0.3)＝14.7.数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，中位数b ＝15，众数c ＝17.则大小关系为c ＞b ＞a . 【答案】 c ＞b ＞a6.在一组数据中出现10的频率为0.08，出现15的频率为0.01，出现11的频率为0.2；出现12的频率为0.31.出现13的频率为0.18，出现14的频率为0.16，出现16的频率为0.06，则这组数据的平均数为________.【解析】 由平均数的计算公式可得： x －＝10×0.08＋15×0.01＋11×0.2＋12×0.31＋13×0.18＋14×0.16＋16×0.06＝12.41.【答案】 12.417.(2015·连云港高二检测)如果a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6的平均数为3，那么2(a 1－3)、2(a 2－3)、2(a 3－3)、2(a 4－3)、2(a 5－3)、2(a 6－3)的平均数为________.【解析】 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝3×6＝18，故所求平均数为16[2(a 1－3)＋2(a 2－3)＋2(a 3－3)＋2(a 4－3)＋2(a 5－3)＋2(a 6－3)]＝16[2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)－6×6]＝13×18－6＝0. 【答案】 08.(2015·泰州高一月考)一位教师出了一份含有3个问题的测验卷，每个问题1分.班级中30%的学生得了3分，50%的学生得了2分，10%的学生得了1分，另外还有10%的学生得0分，则全班的平均分是________分.【导学号：90200052】【解析】 设全班学生为n ，则全班平均分为3×30%＋2×50%＋1×10%＝2(分). 【答案】 2二、解答题9.某农科所有芒果树200棵，2014年全部挂果，成熟期一到，随意摘下其中10棵树上的芒果，分别称得重量如下(单位：kg)：10,13,8,12,11,8,9,12,8,9.(1)求样本平均数；(2)估计该农科所2014年芒果的总产量.【解】应用样本平均数的公式计算样本平均数，再估计总体平均数，从而求出该农科所2014年芒果的总产量.(1)样本平均数x－＝110(10＋13＋8＋12＋11＋8＋9＋12＋8＋9)＝10(kg).(2)由样本的平均数为10 kg，估计总体平均数也是10 kg.所以总产量为200×10＝2 000(kg).10.学校对王老师与张老师的工作态度、数学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩如下表：工作态度教学成绩业务学习王老师989596张老师909998(1)评优的依据，你认为谁会被评为优秀？(2)如果三项成绩的比例依次为20%、60%、20%来计算他们的成绩，结果又会如何？【解】(1)王老师的平均分是(98＋95＋96)÷3≈96.张老师的平均分是(90＋99＋98)÷3≈95.7.王老师的平均分较高，评王老师为优秀.(2)王老师的平均分是(98×20%＋95×60%＋96×20%)＝95.8，张老师的平均分为(90×20%＋99×60%＋98×20%)＝97.张老师的得分高，评张老师为优秀.[能力提升]1.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图235所示.则可估计该校学生的平均成绩为________.图235【解析】 x ＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72. 【答案】 722.在一组数据：13,8,1,9,7,6,4,3,18,11中抽去一个，新的一组数据的平均数与原数据的平均数相同，则被抽去的数是________.【解析】 抽去一个数后平均数没有变，说明被抽取的数应是平均数，从而有 13＋8＋1＋9＋7＋6＋4＋3＋18＋1110＝8.【答案】 83.某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%.一段时间后准备打捞出售，第一次从网中取出40条，称得平均每条鱼重2.5 kg ；第二次网出25条，称得平均每条鱼重2.2 kg ；第三次网出35条，称得平均每条鱼重2.8 kg.请你根据这些数据，估计鱼塘中的鱼的总重量约是________ kg.【解析】 先算出三次称鱼的平均数为：2.5×40＋2.2×25＋2.8×3540＋25＋35＝2.53(kg)，所以鱼塘中的鱼的总重量为2.53×(100 000×95%)≈24万(kg). 【答案】 24万4.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图236，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？图236【解】 (1)x －A ＝120(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3(h).x－B＝120(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6(h).从计算结果看，A药服用者的睡眠时间增加的平均数大于服用B药的.所以A药的疗效更好.(2)从茎叶图看，A药的疗效更好.。
高中数学 3.2.2对数函数(一)配套课件 苏教版必修1
小结 此题主要利用对数函数 y＝logax 的定义域为(0，＋∞) 求解．
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跟踪训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log12x；(3)y＝log71－13x；
(4)y＝ log3x.
解 (1)由 1－x>0 得 x<1，
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3.2.2（一）
跟踪训练 3 函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图象经过点 (1,4)，求 a 的值．
解 根据反函数的概念，知函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1)的图象经 过点(4,1)， ∴1＝loga3，∴a＝3.
2
图象的过程，观察图象，并指出这两个函数有哪些相同性质
和不同性质？
答 作图步骤： ①列表， ②描点，③用平滑曲线连接．过程
如下： x
…
1 4
1 2
1
2
4…
y＝log2x … －2 －1 0 1 2 …
y＝ log1 x … 2 1 0 －1 －2 … 2
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所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是 log23.4<log28.5； (2)考虑对数函数 y＝log0.3x，因为它的底数 0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是 log0.31.8>log0.32.7；
(3)当 a>1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数，
于是 loga5.1<loga5.9；
2016-2017学年高中数学学业分层测评10苏教版必修3
学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.某超市想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每日的销量总额，采取如下方法：从某发票的存根中随机抽出一张，如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，…，915号抽出，发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法为________.【解析】 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张.从第一组中抽取15号，以后各组抽15＋50n (n ＝1,2，…，18)号，符合系统抽样的特点.【答案】 系统抽样2.从2 013个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________.【解析】 先从2 013个个体中剔除13个，则分段间隔为2 00020＝100. 【答案】 1003.某班级共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知2号、28号、41号同学在样本中，那么还有一个同学的学号是________.【解析】 由题意知k ＝524＝13，∴还有一个同学的学号为2＋13＝15. 【答案】 154.某企业利用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，若每一个职工入样的可能性为0.2，则该企业的职工人数为________.【解析】 系统抽样中，每个个体被抽到是等可能的，设该企业职工人数为n ，则60n＝0.2，故n ＝300.【答案】 3005.(2015·扬州高一检测)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成二十组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第十六组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________.【解析】 因为第十六组的号码在121～128号范围内，所以125是第十六组的第5个号，因此第一组确定的号码为5.【答案】 56.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生.【解析】 ∵组距为5，∴(8－3)×5＋12＝37.【答案】 377.一个总体有80个个体，编号为0,1,2，…，79，依次将其分成8个小组，组号为0,1,2，…，79，要用系统抽样法抽取一个容量为8的样本，若在第0组随机抽取一个号码为6，则所抽到的8个号码分别为________.【解析】 k ＝808＝10，∴在第1组抽取的号码为16，第2组为16＋10＝26，第3组6＋3×10＝36，…，第7组6＋10×7＝76.则所抽8个号码为6,16,26,36,46,56,66,76.【答案】 6,16,26,36,46,56,66,768.在一次竞选中，规定一个人获胜的条件是：(1)在竞选中得票最多；(2)得票数不低于总票数的一半.如果在计票时，周鹏得票数据丢失，试根据统计数据回答问题：【解析】 根据条件，如果周鹏获胜，周鹏的得票数x 不低于总票数的一半，即x300＋100＋30＋60＋x ≥12⇒x ≥490，且x ∈N 即周鹏得票数至少为490票. 【答案】 490二、解答题9.为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告.你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？【解】 交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量.由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况.改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可.如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.10.某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？【解】 (1)将1 001名普通工人用随机方式编号.(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1 000名职工重新编号(分别为0001,0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含1 00040＝25个个体. (3)在第一段0001,0002，…，0025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码.(4)将编号为0003,0028,0053，…，0978的个体抽出.(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1,2， (20)(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签.(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀.(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号.(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出.以上得到的个体便是代表队成员.[能力提升]1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________.【解析】 抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *.∴24120≤k ＋x 020≤36. ∵x 020∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤120，1， ∴k ＝24,25,26， (35)∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.【答案】 122.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为________. 【导学号：90200038】【解析】 由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人.【答案】 25,17,83.采用系统抽样从含有8 000个个体的总体(编号为0000,0001，…，7999)中抽取一个容量为50的样本，则最后一段编号的范围为________，已知最后一个入样编号是7894，则开头5个入样编号是________.【解析】因8 000÷50＝160，所以最后一段的编号为编号最后的160个编号，即从7840到7999共160个编号.从7840到7894共55个数，所以从0000到第55个编号应为0054，然后逐个加上160得，0214,0374,0534,0694.【答案】7840～7999 0054,0214,0374,0534,06944.一个总体中有1 000个个体，随机编号为0,1,2,3，…，999，以编号顺序将其平均分成10个小组，组号依次为0,1,2,3，…，9，要用系统抽样方法抽取一容量为10的样本，规定：如果在第0小组中随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组中的号码，即第k小组中抽取的号码的后两位数字与x＋33k的后两位数字相同.(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，求x的取值范围.【解】(1)当x＝24时，所抽取样本的10个号码依次为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.由所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，可得x的取值可能为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}.。
高中数学 学业分层测评17 苏教版必修2(2021年整理)
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学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟）[学业达标］一、填空题1．直线l1：x＋by＝1与直线l2：x－y＝a的交点坐标为（0，2），则a＝________，b＝________.【解析】将点(0，2）代入x＋by＝1，得b＝错误!，将点(0,2)代入x－y＝a，得a＝－2.【答案】－2 错误!2．已知a为常数,则直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点坐标为________．【解析】由错误!得错误!所以交点坐标为错误!.【答案】错误!3．已知P1(a1，b1)与P2(a2,b2）是直线y＝kx＋1(k为常数）上两个不同的点,则关于x和y 的方程组错误!的解的情况是________．①无论k,P1，P2如何，总是无解；②无论k，P1，P2如何，总有唯一的解;③存在k，P1，P2，使之恰有两解;④存在k,P1,P2,使之有无穷多解．【解析】由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1，P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则OP1与OP2不平行，因此a1b2－a2b1≠0,所以二元一次方程组错误!一定有唯一解．【答案】②4．若三条直线x＋y＋4＝0，x－y＋1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b的值是__________．【解析】联立｛x＋y＋4＝0，，x－y＋1＝0，解得错误!将点错误!代入x＋by＝0,解得b＝－错误!。
高中数学苏教版必修1课时分层作业1集合的含义
课时分层作业 (一 )(建议用时： 45 分钟 )[学业达标练 ]一、填空题1．以下条件能形成会合的是________．①充分小的负数全体；②喜好飞机的一些人；③某班本学期视力较差的同学；④某校某班某一天全部课程．[ 分析 ]综观①②③ 的对象不确立，惟有④某校某班某一天全部课程的对象确立，故能形成会合的是④.[答案]④2．下边有三个命题，正确命题的个数为________．(1)会合N中最小的数是 1；(2)若－ a 不属于N，则 a 属于N；(3)若 a∈N，b∈N*，则 a＋ b 的最小值为 2.[ 分析 ] (1)最小的数应当是0，(2)当 a＝0.5 时，－ 0.5 ∈/N，且 0.5 ∈/N，(3) 当 a＝0，b＝1 时， a＋b＝1.[ 答案] 03．设 A 表示“中国全部省会城市”构成的会合，则苏州________A；广州________A． (填∈或∈/)[ 分析 ] 苏州不是省会城市，而广州是广东省的省会．[ 答案 ] ∈/ ∈14．已知①5∈R；②3∈Q；③ 0∈N；④π∈Q；⑤－ 3 ∈/Z .正确的个数为________．[ 分析 ]①②③ 是正确的；④⑤ 是错误的．[答案] 35．设直线y＝ 2x＋ 3 上的点的会合为P，则点 (1,5)与会合P 的关系是________，点 (2,6)与会合 P 的关系是 ________.【导学号：48612009】[ 分析 ]点(1,5)在直线y＝2x＋3上，点(2,6)不在直线 y＝2x＋ 3 上．[ 答案 ] (1,5)∈P(2,6) ∈/P6．已知会合 A 是由 0， m，m2－ 3m＋2 三个元素构成的会合，且2∈A，则实数 m 等于 ________．[ 分析 ]由2∈ A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与会合中元素的互异性相矛盾；若 m2－3m＋2＝2，则 m＝0 或 m＝3，当 m＝ 0 时，与会合中元素的互异性相矛盾，当 m＝ 3 时，此时会合 A 的元素为 0,3,2，切合题意．[答案] 37．设不等式 x－a>0 的解集为会合 A，若 2 ∈/A，则 a 的取值范围是 ________．[ 分析 ]由于2∈/A，因此2不知足不等式x－a>0，即知足不等式x－a≤0，因此 2－a≤0，即 a≥ 2.因此实数 a 的取值范围是 [2，＋∞)．[ 答案][2，＋∞ )8．假如有一个会合含有三个元素1， x，x2－ x，则实数x 的取值范围是________.【导学号：48612010】[ 分析] 由会合元素的互异性可得x≠ 1，x2－≠，2－≠，解得≠，x 1 x x x x 0,1,2 1± 52.1± 5[ 答案 ] x∈/ 0，1，2， 2二、解答题9．已知会合 M 是由三个元素－ 2,3x2＋3x－ 4， x2＋x－ 4 构成的，若 2∈ M，求 x.[解 ]当3x2＋3x－4＝2，即x2＋x－2＝0时，得x＝－2，或x＝1，经查验， x＝－ 2，x＝1 均不合题意．当 x2＋x－ 4＝ 2，即 x2＋ x－ 6＝0 时，得 x＝－ 3 或 x＝ 2.经查验， x＝－ 3 或 x＝ 2 均合题意．∴x＝－ 3 或 x＝2.1＋a 10．已知会合 A 的元素全为实数，且知足：若a∈ A，则1－a∈A.(1)若 a＝2，求出 A 中其余全部元素；(2)0 是否是会合 A 中的元素？请说明原因.【导学号：48612011】1＋2[解] (1)由 2∈A，得＝－3∈A；1－2又由－ 3∈A，得1－3 11＋3 ＝－2∈A；1再由－1∈A，得1－2＝1∈A；2 1 31＋2111＋3由3∈A，得1＝2∈A.1－31 1 故 A 中其余全部元素为－ 3，－2，3.(2)0 不是会合 A 中的元素．1＋0若 0∈A，则＝1∈A，1－01＋ a而当 1∈A 时，中分母为0，故0不是会合A中的元素．1－ a[冲 A 挑战练]1．设 P，Q 为两个非空实数会合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有 1,2,6 三个元素，定义会合 P＋ Q 中的元素是 a＋ b，此中 a∈ P， b∈ Q，则 P＋ Q 中元素的个数是 ________．[ 分析 ]由题意知，a＋b能够是0＋1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋1,5＋2,5 ＋ 6 共 8 个不一样的数值．[答案]82．已知会合 A 含有三个元素2,4,6，且当 a∈A 时，有 6－a∈A，则 a 为________．[ 分析 ]若a＝2∈A，则6－a＝4∈ A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a ＝6∈ A，则 6－a＝0 ∈/A.[ 答案] 2 或 43．已知会合 P 中元素 x 知足：x∈N，且 2<x<a，又会合 P 中恰有三个元素，则整数 a＝ ________.[ 分析] ∵ x∈N，且 2<x<a，∴联合数轴 (略)知 a＝6.[ 答案] 614．设 A 为实数集，且知足条件：若a∈ A，则1－a∈A(a≠1)．求证：(1)若 2∈A，则 A 中必还有此外两个元素；(2)会合 A 不行能是单元素集 .【导学号：48612012】[ 证明 ] (1)若 a∈A，则 1 ∈A.1－ a1又∵2∈A，∴＝－1∈A.1－21 1∵－1∈A，∴1－－1＝2∈A.∵1∈A，∴1 ＝∈2 1 2 A.1－21∴A 中还有此外两个元素为－1，2.1 (2)若 A 为单元素集，则a＝，1－ a 即 a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠1，∴会合A不行能是单元素集．1－a。
高中数学(苏教版 选修1-1)学业分层测评16 Word版含答案
学业分层测评(十六)函数的和、差、积、商的导数(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题.设()＝ (>且≠)，则′()＝.【解析】∵()＝＝，∴′()＝( )′＝()′＋( )′＝，故′()＝.【答案】.函数＝(＋)的导数为.【导学号：】【解析】∵＝(＋)＝＋＋，∴′＝＋.【答案】＋.函数＝的导数是.【解析】′＝′＝＝.【答案】.设()＝，若′()＝，则的值为.【解析】′()＝＋·＝＋，因为′()＝，所以＋＝，＝，＝.【答案】.函数()＝(＋)(－)在＝处的导数等于.【解析】()＝(＋)(－)＝＋－－，′()＝＋－，′()＝＋－＝.【答案】.已知()＝＋′()，则′()的值为.【解析】∵′()＝＋′()，∴′()＝＋′()，即′()＝－，∴′()＝′()＝－.【答案】－.若曲线＝－上点处的切线平行于直线＋＋＝，则点的坐标是.【解析】设点的坐标为(，)，′＝－－.又切线平行于直线＋＋＝，所以－－＝－，可得＝－，此时＝，所以点的坐标为(－).【答案】(－ ).设()＝－，且′()＝，′＝，则＝，＝.【解析】∵′()＝－，′()＝－＝得＝－，′＝π＋＝，得＝.【答案】－二、解答题.求下列函数的导数：()＝·; ()＝. ()()＝.【解】()′＝(· )′＝＋·＝＋())).()∵＝＋＋，∴′＝－.()′()＝·.已知函数()＝－＋－.()求曲线()在点(，())处的切线方程；()求经过点(，－)的曲线()的切线方程.【解】()∵′()＝－＋，∴′()＝，又()＝－，∴曲线在点(，())处的切线方程为＋＝－，即－－＝.()设曲线与经过点(，－)的切线相切于点(，－＋－)，∵′()＝－＋，∴切线方程为－(－)＝(－＋)(－)，又切线过点(，－＋－)，∴－＋－＝(－＋)(－)，整理得(－)(－)＝，解得＝或，∴经过(，－)的曲线()的切线方程为－－＝，或＋＝.[能力提升].一质点做直线运动，由始点起经过后的距离为＝－＋，则速度为零的时刻是.【导学号：】【解析】＝′＝－＋.令＝，则＝.【答案】.已知点在曲线＝上，α为曲线在点处的切线的倾斜角，则α的取值范围是.【解析】′＝′＝＝，－≤＜，即－≤α＜，由正切函数图象得α∈.【答案】。
2016-2017学年高中数学苏教版必修1学业分层测评1.3 交集、并集 含解析
学业分层测评（建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．集合A＝{－1，0，2}，B＝｛x｜|x｜＜1｝，则A∩B＝________.【解析】A∩B＝｛－1，0，2｝∩｛x｜－1〈x〈1｝＝｛0｝．【答案】{0｝2．设集合A＝{x|x2－x＝0｝，B＝｛x|x2＋x＝0},则集合A∪B ＝________。
【解析】A＝{0，1}，B＝{－1,0｝，∴A∪B＝{0，1，－1｝．【答案】｛0,1，－1｝3．已知集合A，B满足A∩B＝A，那么下列各式中一定成立的是________．（1)A B；（2）B A;(3）A∪B＝B；（4)A∪B＝A。
【解析】∵A∩B＝A,∴A⊆B，∴A∪B＝B，故(3）正确，(1)中A不一定为B的真子集．【答案】（3）4．已知U＝R，A＝{x|x〉0｝，B＝｛x|x≤－1｝，则（A∩∁U B）∪(B∩∁U A)＝________。
【解析】因为U＝R,A＝{x|x〉0｝,B＝{x|x≤－1｝，所以∁U A ＝{x｜x≤0｝，∁U B＝{x｜x>－1｝,（A∩∁U B）∪（B∩∁U A）＝｛x｜x〉0或x≤－1｝．【答案】｛x｜x〉0或x≤－1｝5．已知集合A＝｛x｜x≥2｝，B＝{x｜x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________。
【解析】∵A∪B＝A，即B⊆A，∴实数m的取值范围为［2,＋∞）．【答案】[2，＋∞)6．如图1.3。
3，I是全集,M，P，S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是________．图1.3.3【解析】阴影部分表示的是在M和P的公共部分中去除S中的元素，故可表示为：{x|x∈M，x∈P且x∉S}＝{x|x∈M，x∈P 且x∈∁I S}＝M∩P∩（∁I S）．【答案】M∩P∩(∁I S）7．若集合A＝｛x｜｜x｜〉1，x∈R｝，B＝{y｜y＝x2，x∈R}，则（∁R A)∩B＝________.【解析】集合A表示不等式|x｜〉1的解集，由不等式|x｜〉1解得x<－1或x>1,则A＝{x｜x〈－1或x>1｝,所以∁R A＝{x｜－1≤x≤1}．集合B 是函数y＝x2的值域，x∈R时，y＝x2≥0，所以B＝{y｜y≥0｝，则（∁R A）∩B＝{x｜－1≤x≤1｝∩｛y｜y≥0}＝{x|0≤x≤1｝．【答案】{x｜0≤x≤1}8．已知集合A＝｛x｜x〈a｝,B＝{x｜1〈x〈2｝，且A∪（∁R B）＝R，则实数a的取值范围是________．【解析】∁R B＝｛x|x≤1或x≥2｝，如图，要使A∪(∁R B）＝R,则B⊆A，故a≥2.【答案】a≥2二、解答题9．已知全集U＝{x∈N｜0<x≤6｝，集合A＝｛x∈N|1〈x<5｝，集合B＝{x∈N|2〈x〈6}．求：(1)(∁U A)∪B；（2）（∁U A）∩（∁U B）．【解】（1）∵U＝{1,2,3,4，5,6｝，A＝{2，3，4｝，∴∁U A＝{1,5，6｝．又∵B＝｛3，4,5｝，∴(∁U A）∪B＝{1,3，4，5,6｝．（2）∵∁U A＝｛1，5，6｝，∁U B＝｛1，2，6｝，∴(∁U A）∩（∁U B)＝{1，6}．10．已知全集U＝R，集合M＝｛x|x≤a－2或x≥a＋3}，N＝{x|－1≤x≤2｝．（1）若a＝0，求（∁U M)∩（∁U N）；（2)若M∩N＝∅，求实数a的取值范围．【解】（1）当a＝0时,M＝｛x|x≤－2或x≥3}，所以∁U M＝{x|－2＜x＜3}，∁U N＝{x｜x＜－1或x＞2}，所以(∁U M)∩（∁U N)＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3｝．(2）若M∩N＝∅，则错误!解得－1＜a＜1.故当M∩N＝∅时,实数a的取值范围是｛a|－1＜a＜1｝．［能力提升］1．已知方程2x2－px＋q＝0的解集为A，方程6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0的解集为B，若A∩B＝错误!，则A∪B＝________.【解析】因为A∩B＝错误!，所以错误!∈A，错误!∈B，故错误!－错误! p＋q＝0,错误!＋错误!（p＋2）＋5＋q＝0,则联立方程,解方程组得p＝－7，q＝－4，则2x2＋7x－4＝0,6x2－5x＋1＝0，故A＝错误!，B＝错误!，则A∪B＝错误!。
高中数学学业分层测评苏教版必修_16
学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．△ABC 三个顶点的坐标A (－3,2)，B (3,2)，C (4,0)，则AB 边的中线CD 的长为________． 【解析】 AB 的中点坐标为D (0,2)，∴CD ＝42＋22＝2 5. 【答案】 2 52．已知点A (－1,4)，B (2,5)，点C 在x 轴上，且|AC |＝|BC |，则点C 的坐标为________． 【解析】 设C (x,0)，则由|AC |＝|BC |，得x ＋12＋42＝x －22＋52，解得x＝2，所以C (2,0)．【答案】 (2,0)3．分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________．【解析】 两直线方程为x ＝－2，x ＝3，d ＝|3－(－2)|＝5.【答案】 54．过点P (2,3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．【解析】 此直线为过P (2,3)且与OP 垂直的直线，k OP ＝32，故直线方程为y －3＝－23(x－2)，即2x ＋3y －13＝0.【答案】 2x ＋3y －13＝05．与直线2x ＋y ＋2＝0平行且距离为5的直线方程为______________． 【解析】 设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0. 由两平行线间的距离公式得|m －2|22＋12＝5，∴|m －2|＝5，即m ＝7或m ＝－3.即所求直线方程为2x ＋y ＋7＝0或2x ＋y －3＝0. 【答案】 2x ＋y ＋7＝0或2x ＋y －3＝06．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A (2,0)与点B (－2,4)重合，若点C (5,8)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值为________．【解析】 点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ，∴n －8m －5＝0－42－－2＝－1，整理得m ＋n ＝13.【答案】 137．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使PA ＋PB 取最小值，则P 点坐标是________. 【导学号：60420074】【解析】 ∵点A (3，－1)关于x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，A ′B 的直线方程为：x －4y －13＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y －13＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，得点P 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫135，－135.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－1358．已知两点M (1,0)，N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，则使PM 2＋PN 2取最小值时点P 的坐标为________．【解析】 因为P 为直线2x －y －1＝0上的点，所以可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得PM 2＋PN 2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m 2－8m ＋4，m ∈R .令f (m )＝10m 2－8m ＋4＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫m －252＋125≥125，所以m ＝25时，PM 2＋PN 2最小，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15二、解答题9．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条平行直线的方程． 【解】(1)如图，当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为d ＝AB ＝6＋32＋2＋12＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0,310]．(2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1k AB ＝－12－－16－－3＝－3，故所求的平行直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.10．直线l 过点P (1,0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程．【解】 若l 的斜率不存在，则方程为x ＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)．∴|AB |＝9，符合要求．若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，3x ＋y －6＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3.∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝91＋k 2k ＋32.由|AB |＝9，得1＋k2k ＋32＝1，∴k ＝－43.∴l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0.综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.[能力提升]1．已知平行四边形两条对角线的交点为(1,1)，一条边所在直线的方程为3x －4y ＝12，则这条边的对边所在的直线方程为____________________. 【导学号：60420075】【解析】 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0， 由题意可得 |－1＋m |32＋－42＝|3－4－12|32＋－42，解得m ＝14或m ＝－12(舍)，所以所求的直线方程为3x －4y ＋14＝0. 【答案】 3x －4y ＋14＝02．一直线过点P (2,0)，且点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，433到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．【解析】 当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，设过P 点的直线为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －433－2k k 2＋1＝4，解得k ＝33. ∴直线的倾斜角为30°. 【答案】 90°或30°3．一束光线自点A (－2,1)入射到x 轴上，经反射后，反射光线与直线y ＝x 平行，则入射光线与x 轴的交点是__________．【解析】 如图，因为A (－2,1)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－1)，又反射光线与直线y＝x平行，所以反射光线的斜率k＝1，则反射光线的方程为y＋1＝1·(x＋2)，即y＝x＋1.令y＝0，得x＝－1，所以入射光线与x轴的交点是(－1,0)．【答案】(－1,0)4．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．【解】由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)则PQ＝a＋22＋b＋22，于是问题转化为PQ的最大、最小值．如图所示，当P与A或B重合时，PQ取得最大值：－2－12＋－2－02＝13.当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.则Q点到直线AB的距离d＝|－2＋－2－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.。
2016_2017学年高中数学学业分层测评12苏教版必修
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法中，正确的是________．①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α；②直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；③若直线的倾斜角为α，则sin α>0；④任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α.【解析】 α＝90°时，①不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故②错；当α＝0°时，sin α＝0，故③错；④正确．【答案】 ④2．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则实数m 的值为__________． 【解析】 根据斜率公式得k AB ＝－1，k AC ＝6－2m 3. ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴6－2m 3＝－1. ∴m ＝92. 【答案】 923．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<135°，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．【解析】 设直线l 的斜率为k ，当0°≤α<90°时，k ＝tan α≥0；当α＝90°时，无斜率；当90°<α<135°时；k ＝tan α<－1，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪[0，＋∞)4．若直线l 过原点，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是________. 【导学号：60420050】【解析】 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．【答案】 90°≤α<180°或α＝0°5．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．【解析】 直线PA 的斜率k PA ＝2，直线PB 的斜率k PB ＝34，结合图象，可知直线l 的斜率k 的取值范围是k ≥2或k ≤34. 【答案】 k ≥2或k ≤346．若过点P (3－a,2＋a )和点Q (1,3a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是__________．【解析】 k ＝tan α＝3a － 2＋a 1－ 3－a ＝2a －2a －2， ∵α为钝角，∴2a －2a －2<0， ∴1<a <2.【答案】 (1,2)7．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角用α表示为________．【解析】 设l 2的倾斜角为θ，当α＝0°时，θ＝0°；当0°<α<180°时，θ＝180°－α.【答案】 0°或180°－α8．已知过点(－3，1)和点(0，b )的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，则b 的取值范围是________．【解析】 因为30°≤α<60°，所以33≤k <3， 又k ＝b －13，所以33≤b －13<3，解得2≤b <4. 【答案】 2≤b <4二、解答题9．△ABC 的三个顶点为A (1,1)，B (2,2)，C (1,2)，试求△ABC 三边所在直线的斜率和倾斜角．【解】 由各点坐标知，三边所在直线的斜率分别为k AB ＝2－12－1＝1，k AC 不存在，k BC ＝2－21－2＝0，故相应的三条直线的倾斜角分别为45°，90°，0°.10．过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－ －3 3－0＝1， ∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值，∵tan α2＝1－ －3 －4－0＝－1， ∴α2＝135°.所以直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1；当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1.所以直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2<0， 解得－2<a <1.【答案】 (－2,1)2．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是__________．【解析】 依题意，作出图形，k AO ＝2，k AB ＝0，由数形结合可知k l ∈[0,2]．【答案】 [0,2]3．若点P (x ，y )在线段AB ：y ＝1(－2≤x ≤2)上运动，则y x的取值范围是________．【解析】如图所示，y x 的几何意义为点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，∴y x ≥12或y x ≤－12. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 4．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，求点Q 的坐标及入射光线的斜率．【解】 点B (4,3)关于y 轴的对称点B ′(－4,3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，从而入射光线的斜率为－13.设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13，解得y ＝53，即Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53.。
2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1学业分层测评2.1 圆锥曲线 含解析
学业分层测评(五）圆锥曲线(建议用时:45分钟）[学业达标]一、填空题1。
下列说法①坐标平面内，到两定点F1（0，－2），F2(0,2)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆；②坐标平面内,到两定点F1(0，－2），F2(0，2）的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆；③坐标平面内，到两定点F1(0，－2），F2（0,2）的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；④坐标平面内，到两定点F1（0，－2)，F2（0，2)的距离相等的点的轨迹是椭圆。
正确的是________(填序号).【解析】2。
若动点P到定点F(－4，0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是________。
【导学号:24830024】【解析】动点P的条件满足抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线。
【答案】抛物线3。
（2016·枣庄高二检测）过点F(0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹为________。
【解析】由题意，知动圆圆心到点F(0，3）的距离等于到定直线y＝－3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线。
【答案】以F(0，3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线4.设定点F1（0，－3),F2（0,3）,动点P满足条件PF1＋PF2＝a＋错误!(a＞0），则点P的轨迹是________。
【解析】PF1＋PF2＝a＋错误!≥6。
∴轨迹为线段或椭圆。
【答案】椭圆或线段5.设动点P到A（－5，0）的距离与它到B(5，0）距离的差等于6,则P点的轨迹是________.【解析】由题意，动点P以A（－5，0）,B（5,0）为焦点的双曲线的右支.【答案】双曲线的右支6。
若点P到F(3，0）的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1,则动点P的轨迹为________。
【解析】由题意知P到F（3，0）的距离比它到直线x＝－4距离小1,则应有P到（3，0）的距离与它到直线x＝－3距离相等。
故P的轨迹是以F(3，0）为焦点的抛物线.【答案】以F（3,0）为焦点的抛物线7。
2016-2017学年高中数学新课标必修1同步学案：2.2第1课时对数的概念 含解析
第1课时 对数的概念一、课前准备 1．课时目标1．理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；2．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力 2．基础预探 (1）对数的概念 如果(0,1)xaN a a =>≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ,其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ，读作 . (2）指数与对数间的关系：0,1a a >≠时，xaN =⇔ 。
（3）log 1a= ， log aa = 。
（4）常用对数以 为底的对数叫做常用对数，通常把10log N,可简记作: .以 为底的对数叫做自然对数，通常把log eN，可简记作： .二、基本知识习题化 1. 若2log3x =,则x =（ ）.A. 4 B 。
6 C 。
8 D 。
9 2.log = ( ）。
A 。
1B 。
－1C 。
2 D. －2 3. 对数式2log(5)a a b--=中，实数a 的取值范围是( ).A ．(,5)-∞B ．（2，5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)4。
若log 1)1x=-，则x =________，若y=,则y =___________。
三、学习引领一、对数概念的理解1、对数式log ax y =实质上是指数式xy a =的另一种表达式，两式底数相同，对数式中的真数y 就是指数式中的幂的值y ，而对数值x 是指数式中的幂指数，对应的关系如下：2、在指数式baN =中，若已知,a N 求幂指数b ,便是对数运算log a b N =.3、对数符号logaN 只有在0,1a a >≠,且0N >才有意义，而对数值log a b N =，尅为任意的实数。
4、对数概念的深入理解对数式logaN 可看作一记号，它表示底为()0,1a a a >≠，幂为N 对应的指数式或方程()0,1baN a a =>≠的解，也可看作一种运算,即已知底为()0,1a a a >≠幂为N ，求幂指数的运算,所以可看作幂运算的逆运算.由于正数的任何次幂都是正数，即0(0)baa >>，故0b N a =>，因此,对于对数式()log 0,1aN a a >≠,只有0N >时才有意义，也就是零与负数无对数。
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在同一坐标系中，函数y ＝log 3 x 与y ＝log 13
x 的图象关于________对称．
【解析】 y ＝log 13
x ＝－log 3 x 与y ＝log 3 x 的图象关于x 轴对称．
【答案】 x 轴
2．若y ＝(log 12
a )x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 由题知0<log 12
a <1，即log 12
1<log 12
a <log 12
12，∴1>a >1
2.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1
3．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为________．(填序号) 【导学号：37590072】
【解析】 将g (x )＝log a x 的图象不动，并将之关于y 轴对称到y 轴左侧，再上移1个单位，即得f (x )的图象．
【答案】 ①
4．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,3a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于________．
【解析】 ∵a ∈(0,1)，∴f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 3a ， 由题知log a 3a ＝13，∴a ＝133
＝3
9.
【答案】 3
9
5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12 x ，x ≥1，
2x ，x <1
的值域为________．
【解析】 x ≥1时，f (x )≤0，
x <1时，0<f (x )<2，故f (x )的值域为(－∞，2)． 【答案】 (－∞，2)
6．函数f (x )＝lg (4x －2x ＋1＋11)的最小值是________． 【解析】 4x －2x ＋
1＋11＝(2x )2－2·2x ＋11＝(2x －1)2＋10≥10，
∴f (x )≥lg 10＝1. 【答案】 1
7．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3 x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．
【解析】 法一：分别做出f (x )，g (x )，h (x )的图象，通过作y ＝a (a <0)可以看出x 2<x 3<x 1.
法二：由题知f (x 1)＝a ＝ln x 1，∴x 1＝e a ，同理x 2＝10a ，x 3＝3a ，结合指数函数y ＝e x ，y ＝10x ，y ＝3x 的图象可知，x 2<x 3<x 1.
【答案】 x 2<x 3<x 1
8．已知f (x )是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2 x )<1的解集为________．
【解析】 由题知－2≤log 2 x <2，∴log 2 2－2
≤log 2 x <log 2 22
，故1
4≤x <4.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
14，4
二、解答题
9．(1)若log a 3
4<1(a >0，a ≠1)，求实数a 的取值范围；
(2)已知f (x )的定义域为[0,1]，求函数y ＝f (log 12
(3－x ))的定义域．
【解】 (1)log a 34<1，即log a 3
4<log a a .
当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调增函数，
由log a 34<log a a ，得a >3
4，故a >1.
当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调减函数，由log a 3
4<log a a ，得a <34，故0<a <34.
综上，实数a
的取值范围为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪⎪⎪
0<a <3
4或a >1
. (2)由0≤log 12
(3－x )≤1得，
log 12
1≤log 12
(3－x )≤log 12
1
2，
所以1
2≤3－x ≤1， 解得2≤x ≤5
2.
所以函数y ＝f (log 12
(3－x ))的定义域为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2，52.
10．已知函数y ＝log a (a 2x )·log a 2 (ax )，当x ∈[2,4]时，y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－18，0，
求实数a 的值．
【解】 y ＝log a (a 2x )·log a 2 (ax ) ＝(log a x ＋2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12(log a x ＋1)
＝1
2[(log a x )2＋3log a x ＋2] ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 令y ＝－18，则log a x ＝－32. ∵x ∈[2,4]，∴0<a <1， ∴log a 4≤log a x ≤log a 2. ∵－1
8≤y ≤0，
则－18≤12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫log a x ＋322－18≤0.
∴0≤⎝ ⎛
⎭⎪⎫log a x ＋322≤14.
∴－12≤log a x ＋32≤12. ∴－2≤log a x ≤－1， 又∵log a 4≤log a x ≤log a 2， ∴⎩⎨⎧
log a 4＝－2，log a 2＝－1， 解得a ＝1
2.
[能力提升]
1．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图3-2-2，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是下列中的________．(填序号)
图3-2-2
【解析】 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1，故g (x )＝a x ＋b 的图象为④. 【答案】 ④
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，
则实数a 的取值范围为________．
【解析】
由题知⎩⎨⎧
a －2>0，
a >1，
(a －2)－1≤log a 1＝0
⇒2<a ≤3.
【答案】 (2,3]
3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若
实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 1
2 a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________. 【导学号：37590073】
【解析】 ∵f (log 2 a )＋f (log 12
a )＝f (log 2 a )＋f (－log 2 a )＝2f (log 2 a )≤2f
(1)，
∴f (log 2 a )≤f (1)，由f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， ∴－1≤log 2 a ≤1，即log 2 1
2≤log 2 a ≤log 2 2， ∴1
2≤a ≤2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2
4．已知函数f (x )＝log 12 1－ax
x －1的图象关于原点对称，其中a 为常数．
(1)求a 的值；
(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 1
2(x －1)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．
【解】 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，
即log 12 1＋ax －x －1＝－log 12 1－ax x －1＝log 12 x －1
1－ax ，
解得a ＝－1或a ＝1(舍)． 所以a ＝－1.
(2)f (x )＋log 12
(x －1)＝log 12
1＋x
x －1＋log 12
(x －1) ＝log 12
(1＋x )，当x ＞1时，log 12
(1＋x )＜－1，
∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 12
(x －1)＜m 恒成立，
∴m ≥－1.
即实数m 的取值范围[－1，＋∞).。