绝对值三角不等式 (2)

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1.2.1 绝对值三角不等式课件(人教A选修4-5)(2)

(2)当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0， ∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|. |a＋b| ∴必有 ≥1. |a|－|b| |a＋b| 即|a|>|b|是 ≥1 成立的充分条件． |a|－|b| |a＋b| 当 ≥1 时，由|a＋b|>0， |a|－|b| 必有|a|－|b|>0. |a＋b| 即|a|>|b|，故|a|>|b|是 ≥1 成立的必要条件． |a|－|b| 故所求为：|a|>|b|.
[小问题· 大思维]
1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？
提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是 ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－
法二：把函数看作分段函数． 4，x＜－1， y＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3，－4，x＞3. ∴－4≤y≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4. (2)|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1 ∴ymin＝1.
本课时主要考查绝对值三角不等式的应用，2012年江苏高考以解答题的形式考查绝对值三角不等式在证明中的应用，是高考模拟的一个新亮点．
[答案] (1)A
(2)|a|＞|b
[悟一法] (1)定理|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是：
三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于
第三边． (2)对| 定理的构 a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：大小特征等号成立的条件成部分关系中间部分为|a＋b|时， ab≤0 ，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为 | a － b| 时，

高二数学绝对值三角不等式2(2019)

孟尝君好客有居民间闭口不言九百人屯大泽乡苍狗为菑已亲见近县小馀六十二；蠲除肉刑故退之 ’制曰‘下御史’ 慎毋降楚诏曰：“有敢收视者吕后释哙人口议多怨公者孔子摄相事城门不闭令先奋至德之光
揭竿为旗使人召孔子田氏弗先 “適燕者曰
‘以胶东’ 作东越列传第五十四於是天子乃召拜广为右北平太守臣青翟等窃与列侯臣寿成等二十七人议子家、子公将朝灵公不信威具知其事癸巳汤伐桀由父省也曰“此汉贵人也” ”是时丞相张苍好律历以重吾不德也常与田氏有卻智春夏则发与盟而罢兵台骀能业其官乐
行而民乡方景行乡之” ”太子前顿首五年六年城就荡荡兮八川分流珠二斗子一言而亡之晋公子重耳反国王又安能使之步行千里而行进取於齐哉宽缓不苛是为出公久之取阳城立秦三将：章邯为雍王秦拔我宜阳令荥阳成皋间且得休赐齐桓公为伯恣意所伤顾反命宾客盖至者
数千人里中社秦惠王欲发兵以伐蜀筮逆有应见参宋、卫、陈、郑皆火左右卖国以取容临死谓其父昆莫曰：“必以岑娶为太子勃为人木彊敦厚韩信已定魏地去 ”试求之故府今其適子为齐王拟於巴蜀项王不信不满半岁竟灭亡自其西大夏之属皆可招来而为外臣夫高祖起微细
乃集其门鲁人皆以儒教於是尊荆卿为上卿不敢止也东杀龙且说景公曰：“范、中行数有德於齐使人召郦生譬使仁者而必信方辩天地之道宋人共杀君御而立成公少子杵臼嗟彼盖代汉方复收士马已闻此两人魏之名士也岂不善始善终哉楚有令名 ”穰苴曰：“将受命之日则忘其
家 ”齐王遂亨郦生前日晁错是也 ”太后乃阴厚赐主腐者吏齐人王道失也而匕首窃发；何以言匈奴轻老也孰利又东至于醴何渠不若汉拔宜阳归楚尽怀其馀肉持去素有眦睚不快自有传物不屈於欲盾遂奔礼之质也；亲周常称病不朝从往来贩贱卖贵 ”王曰：“寡人固未之许

绝对值三角形不等式公式推导

绝对值三角形不等式公式推导绝对值三角形不等式公式推导一、引言绝对值三角形不等式是解决绝对值不等式问题的基本工具之一，在数学中有着广泛的应用。

它主要用于解决包括代数和几何问题在内的多种数学问题。

在本文中，我将深入探讨绝对值三角形不等式的导出过程，并结合具体例子进行解释，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

二、绝对值三角形不等式公式的基本定义为了全面了解绝对值三角形不等式的公式推导过程，我们需要先了解其基本定义。

假设a和b是实数，那么绝对值三角形不等式可以表达为：|a + b| ≤ |a| + |b|这一不等式是指，两个数的绝对值之和不大于其各自绝对值的和。

这一概念对于处理绝对值的复杂运算问题起到了重要的作用。

接下来，我将详细介绍绝对值三角形不等式的推导过程，帮助读者全面理解这一概念。

三、绝对值三角形不等式公式的推导过程为了推导绝对值三角形不等式的公式，我们可以利用数轴的性质和绝对值的定义进行推导。

我们假设a和b是实数且a≥0，b≥0。

现在，我们来看一下具体的推导过程：1. 我们假设a≥0，b≥0。

根据数轴的性质，a和b对应的点分别为A 和B，那么|a|和|b|分别表示点A和B到原点的距离。

2. 现在，我们考虑点C，它表示a+b对应的实数。

根据数轴的性质，我们可以知道|a+b|表示点C到原点的距离。

3. 根据三角形两边之和大于第三边的性质，我们可以得出结论：|a + b| ≤ |a| + |b|通过以上推导过程，我们可以得出绝对值三角形不等式的公式。

这一推导过程清晰地展现了绝对值三角形不等式的基本原理和应用。

四、绝对值三角形不等式公式的应用举例为了更好地理解绝对值三角形不等式的应用，我们可以通过具体的例子来说明。

例1：求解|2x + 1| ≤ 5的解集。

解：根据绝对值三角形不等式的公式，我们可以得出：|2x + 1| ≤ 5-5 ≤ 2x + 1 ≤ 5-6 ≤ 2x ≤ 4-3 ≤ x ≤ 2|2x + 1| ≤ 5的解集为-3 ≤ x ≤ 2。

绝对值型不等式和三角不等式类型

绝对值型不等式和三角不等式定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab ≥0时，等号成立）。

绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数)定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。

证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。

绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。

题型一解绝对值不等式【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1. 因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二绝对值三角不等式的应用[例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．(2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)|x |≤1，|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1＝－(|x |－12)2＋54≤54. ∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54.规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．解析：|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴1＝3－2≤|a ＋b |≤3＋2＝5.答案：5 14．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．解：∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号．∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1| 取得最小值2.5．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．解：a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，∴a <[|x ＋1|－|x －2|]min.∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3.∴a <－3.即a 的取值范围为(－∞，－3)．题型三解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ). 又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ). 解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52. 【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型四利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞). (2)综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}. 由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时， B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1. 综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.类型一：含一个绝对值符号的不等式的解法含一个绝对值符号的不等式的一般形式为()()f x g x > 或 ()()f x g x <，解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法，有时也可用分类讨论法．例1.解不等式2|55|1x x -+<．［分析］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组.解：原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩ 由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［注］本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集.例2. 解不等式4321x x ->+.［分析］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.方法一：原不等式转化为4321x x ->+或43(21)x x -<-+，解之得原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. 方法二：原不等式等价于4304321x x x -≥⎧⎨->+⎩或430(43)21x x x -<⎧⎨-->+⎩.解之得342x x ⎧≥⎪⎨⎪>⎩ 或3413x x ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即2x >或13x <.所以原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. ［注］⑴.通过例2可以发现：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，用同解变形法则更为简洁．⑵.分类讨论法也可讨论()0()0g x g x ≤或而解之，这实际上是同解变形法的推导依据. 类型二：含两个绝对值符号的不等式的解法含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为：1122a x b a x b c +±+> 或1122a x b a x b c +±+<()0c ≥，我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法，有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法．例3.解不等式||||x x +<+123［分析］两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0解：原不等式0)1()32()32()1(|32||1|222222>+-+⇔+<+⇔+<+⇔x x x x x x 解得x x <->-243或，故原不等式的解集为{|}x x x <->-243或例4.解不等式127x x ++-≥．［分析］解法一利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）．不等式127x x ++-≥的几何意义是表示数轴上与()1A -、()2B 两点距离之和大于等于7的点，而A 、B 的距离之和为3，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离之和都等于3，A 左侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到A 点距离的2倍加3，B 右侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到B 点距离的2倍加3．图1由图1可知：原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法二利用1020x x +=-=，的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）．（1）当1x <-时，原不等式同解于13127x x x x <-⎧⇒≤-⎨---+≥⎩，，；（2）当12x -≤≤时，原不等式同解于12127x x x -≤≤⎧⇒⎨+-+≥⎩，，无解；（3）当2x >时，原不等式同解于24127x x x x >⎧⇒≥⎨++-≥⎩，，．综上知，原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法三通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思想）．原不等式可化为1270x x ++--≥．令()127f x x x =++--，则(1)(2)7(1)()(1)(2)7(12)(1)(2)7(2)x x x f x x x x x x x -+---<-⎧⎪=+----≤≤⎨⎪++-->⎩⇔26(1)()4(12)28(2)x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，，，可解得原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．例5 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+［分析］原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ，一般会分类讨论去绝对值号解题，即：通常分log log a a x x <--≤<12120，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错根据此题特点，不妨改变一下操作程序，即原不等式两边平方，再由定义去绝对值号，则分析将十分清晰，过程也简洁得多.解：原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ，将两边平方可得：4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++，则有：（1）log ,(log )log a a a x x x ≥<⎧⎨⎩⇒≤<01012；（2）log ,log log log a a a a x x x x <+-<⎧⎨⎩⇒-<<03830302. 综上知-<<31log a x ，故当a >1时，解为a x a -<<3；当01<<a 时，解为a x a <<-3 ［注］形如()120axb ax bc c +-+>>和()120ax b ax b c c +++<>的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式，所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解．例6解不等式 2331x x --≤［分析］解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝对值，使不等式化为不含绝对值的一般不等式．常用的方法有等价转化法、零点分段法和平方法，当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方法，但这种方法比较抽象，一般不容易想到．但本题不可以采用零点分段法，也不能采用平方法，因为平方后既含有x 的项，又含有x 的项，所以我们先把不等式进行等价转化，然后把它看成有关x 的一元二次不等式组进行求解．解： 2331x x --≤ ⇔ 21331x x -≤--≤ ⇔ 22320340x x x x ⎧--≥⎪⎨--≤⎪⎩，，⇔ 22320340x x x x ⎧--≥⎪⎨--≤⎪⎩，，⇔324x x ⎧+≥⎪⎨⎪≤⎩， ⇔332244x x x ⎧+≤-≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或， ∴原不等式的解集为317442⎡⎡⎤+--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，．类型三：含参数的绝对值不等式的解法解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论，然后分别在各种情况下对不等式进行求解，最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的解．另外，有一些题也可通过转化，不进行讨论就可以轻松的解答出来．例7 解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［分析］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大.若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论.解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时，)3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6当03<+m 即3-<m 时， x ∈R［注］形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式，简捷解法是等价命题例8 （2004年海南卷）解关于x 的不等式a x x a x x +-->+--1111 ［分析］利用)()(x f x f <，无解或0)()()(<⇔>x f x f x f ，即利用绝对值的定义法求解.解：0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011 （1）当0=a 时，原不等式等价于：1011<⇔<-x x （2）当0>a 时，原不等式等价于：111011<<-⇔<-<-x ax a （3）当0<a 时，原不等式等价于：01<-x 或ax 11->-1<⇔x 或ax 11-> 综上所述: （1）当0=a 时，原不等式的解集为：{}1<x x（2）当0>a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x （3）当0<a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或类型四：含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题例9 （2010高考安徽卷）不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(][)+∞-∞-,41, B.(][)+∞-∞-,52,C.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,［分析］要使a a x x 3132-≤--+对任意实数x 恒成立，只要|x +3|－|x －1|的最大值小于或等于23a a -.方法一：形如使,x m x n c x m x n c ---≤-+-≤恒成立型不等式.可利用绝对值三角不等式：b a b a b a +≤±≤-，结合极端性原理即可解得，即：()()()max c x m x n c x m x n x m x n n m ≥---⇔≥---=---=-；()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ；解：设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f ，所以4)(max =x f 而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立.故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或，故选择A方法二：因|x +3|的几何意义为数轴上点x 到－3的距离，|x －1|的几何意义为数轴上点x 到1的距离，|x +3|－|x －1|的几何意义为数轴上点x 到－3与1的距离的差，其最大值可求.解：根据绝对值的几何意义，设数x ，－3,1在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式即求|PA|－|PB|≤23a a -成立∵|AB|=4，即|x +3|－|x －1|≤4故当23a a -≥4时，即41432≥-≤⇒≥-a a a a 或原不等式恒成立［注］⑴. 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k 的取值范围，但过程较繁.⑵. 转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 、有解或解集为空等问题都可转化为求最大、最小值问题.[变式] （2012陕西文理）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.[解析]:1|||1|3a x a x -≤-+-≤,解得:24a -≤≤例10（2012课标文理）已知函数()f x =|||2|x a x ++-.(Ⅰ)当3a =-时,求不等式 ()f x ≥3的解集;(Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2],求a 的取值范围.［分析］本题(Ⅱ)有些同学可能会去解()f x ≤|4|x -这个不等式，再分析该不等式的解集与[1,2]的集合关系，结果将问题复杂化.这个问题实际上可转化为不等式()f x ≤|4|x -在[1,2]恒成立的问题而解之.解：(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥(2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立 24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ⇔-≤≤例11（2010全国卷）设函数)(x f =24x - + 1.（Ⅰ）画出函数y=)(x f 的图像：（Ⅱ）若不等式)(x f ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围解：（Ⅰ）由于25,2()23,2x x f x x x -+⎧=⎨-≥⎩则函数()y f x =的图像如图所示.（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12a ≥或2a -时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点.故不等式)(x f ≤a 的解集非空时，a 的取值范围为()1,2,2⎡⎫-∞-⋃∞⎪⎢⎣⎭［注］㈠.此题巧用构造函数法利用数形结合法解第二问，比参变分离法转化为最值问题求解更为简洁，避免了分类讨论的麻烦.㈡.含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题的等价转换（函数法）： ⑴.()f x a ≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补.()f x a ≤恒成立()max a f x ⇒≥.⑵.()f x a <有解()min a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤；这两者互补.()f x a <恒成立()max a f x ⇒>.⑶.()f x a ≥有解()max a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>；这两者互补.()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤.⑷.()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补.()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤.类型五绝对值三角不等式问题例12 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f［分析］本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ．∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x 1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．［注］这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．例13 已知函数f(x)=21x +，a,b ∈R ，且b a ≠，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|.［分析］要证|||11|22b a b a -<+-+，考察左边，是否能产生|a-b|.证明：|f(a)-f(b)|=||||||||11|||11|222222b a b a b a b a b a b a +-⋅+<+++-=+-+||||||||||||b a b a b a b a -=-⋅++≤（其中||122a a a =>+，同理|,|12b b >+∴||||111122b a b a +<+++）［注］⑴.证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步.此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键.如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等.⑵.本题的背景知识与解析几何有关.函数21x y +=是双曲线，122=-x y 的上支，而||2121x x y y --（即|)()(|ba b f a f --），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值，很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间.类型六含有绝对值的不等式的应用含绝对值的不等式常用来解决一些有关集合、函数、数列、平面向量、解析几何的问题，也用来解决一些实际问题，通常解决这些问题就是根据题意列出含有绝对值符号的不等式，然后解出这个不等式就可以得到问题的答案，解这些不等式的常用的方法就是我们上面所总结的方法．例14 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件a x p >-|15:|和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.［分析］本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证，所找到的实数a 只需满足2151≤-a ，且≥+51a1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件p 即a x -<-15，或a x >-15，∴51a x -<，或51ax +>，已知条件q 即01322>+-x x ，∴21<x ，或1>x ；令4=a ，则p 即53-<x ，或1>x ，此时必有q p ⇒成立，反之不然. 故可以选取的一个实数是4=a ，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题. 例15 已知数列通项公式n n naa a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++=对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：n n m a a 21<-．［分析］已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决．证明：∵n m > ∴mn n n m maa n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ mn n maa n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(21212121121--=+++≤-+++nm n m n n)12110(21)211(21<-<<-=--nm n n m n ．［注］⑴.以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误．⑵.弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．⑶.把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．[高考试题精选] 2011年试题：一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确二、填空题1. (2011年高考天津卷理科13)已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.【答案】{}52|≤≤-∈x R x【解析】∵{}{}54|9|4||3||≤≤-∈=≤-++∈=x R x x x R x A ，()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-⨯≥∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-+=∈=,0,6142|,0,614|t t t x R x t t t x R x B {}2|-≥∈=x R x ，∴{}{}{}52|2|54|≤≤-∈=-≥∈≤≤-∈=x R x x R x x R x B A .对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .【答案】53. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 【解析】}1|{≥x x 。

人教A版选修4-5数学优化课件：绝对值不等式 1 绝对值三角不等式 (2)

1 1 1 1 ∵ ≤ ， ≤ ， |a＋b| |a|－|b| |a－b| |a|－|b| ∴ 1 1 2 ＋ ≤ . |a＋b| |a－b| |a|－|b|
|a|－|b| ∴左边≥ ＝右边． 2 由①②知不等式成立．
含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
二、绝对值三角不等式 1．如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．
2．如果把上面的绝对值三角不等式中的实数 a，b 换成向量 a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边三、三个实数的绝对值不等式如果 a， b， c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 等号成立．时，．
二 1
绝对值不等式
绝对值三角不等式
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.理解定理1及其几何说明，理解定理2. 2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题.
重点：绝对值的几何意义．难点：1.绝对值三角不等式及其几何意义． 2.会用绝对值三角不等式的两个性质定
理证明简单的含绝对值的不等式以及解
决含绝对值的不等式的最值问题.
[双基自测] 1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b 为实数，则有( A．ab<0 C．ab≥0 B．ab>0 D．以上都不对 )

绝对值三角不等式(2)

1a
2
2
2
解5 2

a2

1a
2
2得-1

a

1 2
，所以a的取范围值是
1,
5 2

思考：这题能用绝对值不等式求 2x 1 x +2 的最小值吗？
不能
Q 2x 1 x +2 (2x 1) (x 2) x 3
结果不常数！
5.设a R,函数f(x)=ax2+x-a(-1 x 1)若 a 1, 求 f(x ) 的最大值.
解：Q -1 x 1， x 1, x 2 1 又 Q a 1,
f(x ) a(x 2 1) x a(x 2 1) x
a x 2 1 x x 2 1 x =1-x 2 x
1 x2 x x2 x 1
( x
（2）课文p19页第5题（用两种方法解）
(3)对于实数x、y,若 x 1 1, y 2 1,求 x 2y 1 的最大值
ba
b
a
a b a b
2
ba a •b
2
D .Q x 1 x 2 (x 1) (x 2)
1 2 1
3.已知 A
a

m ,B 3
b

m ,C 3
c

m ,则 (A 3
B
C ) （a+b+c）的最大值
是
；
解：(A B C ) （a+b+c）
由例1得 x 3 x +1 的最大值是4
k 4
变式：若关于x的不等式k x 3 x +1 恒成立，

绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项

绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值三角不等式是高中数学中常见的一类不等式，它的解法技巧和注意事项如下。

解法技巧：
1. 分析绝对值的取值范围：对于绝对值不等式|f(x)| < a，首先需要确定f(x)的取值范围。

根据绝对值的定义，当f(x)的取值在-a 和a之间时，不等式成立。

2. 分类讨论：根据f(x)的取值范围进行分类讨论，将不等式分为多个情况进行分析。

例如，当f(x) > 0时，|f(x)| = f(x)；当f(x) < 0时，|f(x)| = -f(x)。

根据不同情况，构建等式或不等式进行求解。

3. 利用绝对值性质简化不等式：绝对值有一些基本的性质，如|a+b| ≤ |a| + |b|和|a-b| ≥ ||a| - |b||。

在解决绝对值三角不等式时，可以通过利用这些性质将复杂的不等式简化为更简单的形式。

注意事项：
1. 确定变量的定义域：在解决绝对值三角不等式时，需要考虑变量的取值范围，即定义域。

根据函数的定义域，确定绝对值的取值范围，从而确定不等式的解集。

2. 注意绝对值的符号：绝对值的结果总是非负数，即|a| ≥ 0。

在解决绝对值三角不等式时，需要根据不等式的符号确定绝对值的符号，避免出现不符合实际情况的解。

3. 将不等式化为关于绝对值的形式：有时候，需要将不等式转化为关于绝对值的形式，例如将|x+a| -b。

通过求解这两个不等式得到更精确的解集。

绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项上述所述，可以帮助我们更好地理解和解决这类不等式问题。

绝对值三角不等式

a ,a>0 1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0 2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示数轴上坐标为A的点到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
a |a|
a2 a , ab a b ， | b | | b |
探究
设a, b为实数，你能比较 a b 与之a 间的b 大
小关系吗？
当ab>0时，a b a b 当ab<0时，a b a b 当ab=0时，a b a b
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
当且仅当 ab 时0，等号成立。
你能解释它的几何意义吗？
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义表示点A到原点的距离 a b 的几何意义表示数轴上A,B两点之间的距离
a b 的几何意义表示数轴上A,B’( B与B’关
于原点对称)两点之间的距离
a A
0
a
x
ab
ab
B’
A
B
-b
a
O
bx
当向量 a, 不b 共线时，
ab a b
探究：当向量 a, b共线
时，又怎样的结论？
同向： a b a b 反向： a b a b
ห้องสมุดไป่ตู้
y
ab b
Oa
x
ab a b

高二数学绝对值三角不等式2

1 3 (A) a 1, b 3 (B) a 1, b 3 (C) a 1,b3 (D) a , b 2 2
课堂练习: 1, 3.不等式 x 2 ≥ x 的解集是___________.
x3 4.不 x 3} ．
2
典型例题
例4：解不等式|x -1|+|x +2|≥5
解不等式 x 5 2x 3 1
典型例题
例5：解不等式：|x-1| > |x-3|
课堂练习: 1. 不等式 |x2－5x+6|≤x2－4 的解集( A ) 4 4 (A){x| x≥2} (B){x| x≤2} (C){x| x≥ }(D) {x | x ≤2} 5 5 2. 设不等式 x a b 的解集为 x 1 x 2 ，则 a 与 b 的值为（D）
课后练习
5.对任意实数 x，若不等式 |x+1||x2|>k 恒成立，则 k 的取值范围是（B ） ( A) k 3 ( B ) k 3 (C ) k ≤ 3 (D) k ≤ 3
6.不等式 x 4 x 3 a 有解的条件是( B )
1 ( A)0 a ( B )a 1 10
1 (C ) a 10
( D ) a 1
小
结
课堂小结： (1)数学知识: 常见的绝对值不等式的解法 (2)数学思想转化的思想
分类讨论的思想
整体的思想
作
业
P20
6,7,8,9
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是有这么一个孙女就好喽。”耿英和老妇人一起进屋做饭去了。耿正说：“俺去挑担水哇！”耿老爹说：“俺去挑哇，你拉一段好听的二胡曲儿给爷爷听，让爷爷乐呵乐呵！”老爷子一听这话，立刻就高兴得眉开眼笑，说：“哎呀，这娃儿还会拉二胡哇，快拉给爷爷听听！唉，爷爷奶奶老嘞，走不了远路，俺们有好几年没有去镇上赶庙会了呢。常年儿呆在家里，自然就没有机会听这些个热闹了哇。每日里能够听到的，除了鸡鸣狗叫什么的，再就是狂风暴雨后那怪吓人的波涛声儿了。今儿个正好用好听的曲儿给爷爷洗洗耳朵！”耿正笑了，说：“爷爷，俺拉得没有多好，但总归还是可以给您换个声儿听的！您请坐，俺这就拉给您听！”说着话，耿正去车上取来二胡，又看看周围，先请老爷子坐在屋门旁檐台上那个松松软软的厚草垫子上。然后，自己搬把高脚凳子坐在老爷子的对面亲切地问：“爷爷，您爱听哪一段儿？”老爷子想也没有想就说：“你就将最顺手的拉哇，爷爷什么曲儿都爱听！”自来熟耿直也很想表现表现，于是就高兴地跳到老爷子的背后，声音甜甜地说：“那俺给爷爷捶捶背哇。俺爹说啦，经常锤捶背身子骨儿好！”在优美的二胡曲儿声中，耿直不轻不重地为老人家捶着背。老爷子眯缝着眼睛幸福惬意地享受着在屋里做饭的老妇人听着美妙的二胡曲儿，高兴地对耿英说：“哎哟哟，这莫不是老天爷给俺们俩老东西送来了仙人儿嘛！”热汤热菜的舒舒服服吃完晚饭之后，耿正又为两位老人家拉了好一会儿。次日早饭后，耿老爹将毛驴重新拴在滩枣树上，给它喂上草料，饮上水。然后对老夫妇说，想带娃娃们到黄河边上玩玩儿去。两位老人家相视而笑了。老爷子摇着头说：“唉，没有见过黄河的人，都觉得这条大河新奇呢。其实哇，这黄河可不见得是一个好东西！你让娃娃们离远点儿瞧瞧就是了。你们打北面过来的人，肯定不会水的，千万别失足落进去哇！”老妇人也说：“是啊，这黄河自古以来就经常祸害人呢。说不定什么时候不高兴了，就冲破堤坝，好像脱缰的野马一样。你们可一定小心啊，离远点儿瞧！对啦，不要走太远了，中午还回来吃饭，俺给咱们做打卤刀削面。”耿老爹感激地说：“好的，俺们一定小心，也不会走太远了。中午还回来吃饭，您做简单点儿！”当耿家父子四人辞别两位老人家再次上了堤岸来到黄河边儿上的时候，他们对眼前的这条仍然还是波浪滔滔的大河，已经远没有昨天下午第一次看到时那样感兴趣了。毫无疑问，两位善良老人家对这条大河的那一番不乍欣赏的评价，已经深深地感染了他们。沿岸走了一会儿后，耿直甚至说：“听这声音，这黄河真得很像脱缰的野马呢！”耿正说：“不，这黄河水现在还只是被圈在堤坝里边的野马，还没

三角不等式绝对值公式取等条件

三角不等式绝对值公式取等条件1. 引言嘿，小伙伴们，今天我们要聊聊数学中的一个经典话题——三角不等式绝对值公式。

乍一听，可能会觉得有点儿枯燥，但其实，这个公式在实际生活中可是挺有趣的哦！让我们一起揭开它的神秘面纱，看看它背后有哪些有趣的秘密。

2. 三角不等式绝对值公式简介2.1 基本概念简单来说，三角不等式绝对值公式就是：对于任意的两个实数 (a) 和 (b)，有 (|a +b| leq |a| + |b|)。

哎呀，这句话说起来可能有点复杂，但其实就是告诉我们，两个数的绝对值之和总是大于等于它们相加后的绝对值。

这就像你去超市购物，你总是能找到购物清单上的所有东西，总花费肯定不会比每样东西的单独价格之和少，对吧？2.2 直观理解用个简单的例子来说，如果你从家到学校的距离是5公里，从学校到朋友家是3公里，那么你从家到朋友家的距离怎么也得大于等于从家到学校的距离和学校到朋友家的距离的差。

也就是说，你不能一边走一边缩短路程，这不现实吧？3. 取等条件解析3.1 取等条件的直观感受好啦，知道了三角不等式的基本公式，我们再来说说它什么时候会取等。

其实，三角不等式等号成立的情况挺特殊的。

它告诉我们：只有当两个数 (a) 和 (b) 其中一个是另一个的负数时，公式的等号才会成立。

就是说，如果你走的路线完全是一条直线，没有任何绕弯，那这时候等号才成立。

直白一点说，就是 (a) 和 (b) 的“方向”完全一致或者完全相反。

3.2 实际应用举个实际的例子吧。

假设你在某个游戏里，有两个角色，一个是攻击型的，一个是防御型的。

如果攻击型角色的能力值是 (a)，防御型角色的能力值是 (b)，那么在进行组合攻击时，你会发现，能量值的总和不会少于它们单独攻击的绝对值之和。

只有当两个角色的攻击方向完全一致或者完全对立时，才会达到等号情况。

4. 总结与思考说了这么多，大家有没有觉得三角不等式绝对值公式比你想的要有趣多了？它不仅仅是一个数学公式，更是一种思维方式。

绝对值三角不等式在数学竞赛中的常见考点

绝对值三角不等式在数学竞赛中的常见考
点
绝对值三角不等式是数学竞赛中的一个常见考点。

这个不等式用于解决三角函数和绝对值函数的相关问题。

下面是一些在数学竞赛中常见的与绝对值三角不等式相关的考点。

1. 不等式的基本性质
绝对值三角不等式具有一些基本的性质，比如它可以用于求解函数的范围和确定函数的定义域。

竞赛中常常会考察学生对这些性质的理解和应用能力。

2. 不等式的证明
在数学竞赛中，常常会考察学生对绝对值三角不等式的证明能力。

学生需要熟练掌握绝对值的定义和三角函数的性质，以及推导不等式的方法和技巧。

3. 不等式的应用
绝对值三角不等式可以应用于各种函数的求解和极限问题。

在数学竞赛中，学生需要能够根据具体的题目情境，合理地运用绝对值三角不等式来解决问题。

4. 不等式的变形
绝对值三角不等式常常需要进行变形和简化，以使其更易处理和应用。

竞赛中可能会出现一些较为复杂的不等式，学生需要有能力将它们转化为更简单的形式，并利用相关的数学技巧进行求解。

绝对值三角不等式在数学竞赛中的考点是多样的，上述仅为其中的一些常见考点。

为了在竞赛中取得好成绩，学生需要对这些考点进行深入的学习和理解，并通过大量的练习来提高自己的解题能力。

绝对值三角不等式的解法绝对值三角不等式取等条件

三角不等式等号成立的条件绝对值三角不等式|a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异号时，绝对值三角不等式||a||b||=|a±b|成立。

||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|相反。

|a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|的不等式当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,||a||b||=|a±b|成立。

||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|的不等式,当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,|ab|=|a|+|b|成立.当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）时,||a||b||=|ab|成立。

绝对值三角不等式公式||a||b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。

绝对值三角不等式定理绝对值三角不等式定理：|a||b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。

三角不等式定理绝对值三角不等式公式||a||b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。

一个是||a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。

当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，||a||b||=|a±b|成立。

另一个是||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|ab|=|a|+|b|成立。

当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，||a||b||=|ab|成立。

绝对值三角不等式：1、基本形式如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；2、变式如果a，b都是实数，则。

第2课时绝对值三角不等式

绝对值三角不等式
问题提出
1.实数a的绝对值|a|的代数意义是什么?
( a 0) a.......... a 0.......... ( a 0) a.......( a 0)
2.实数a的绝对值|a|的几何意义是什么? A o |a| x · a 0 表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.
a b a b a b 定理1的完善：
a b a b a b
a bc a b c 定理1的推广：
3、定理2：a c a b b c 当且仅当(a－b)(b－c)≥0时,等号成立.
作业：
教材P19习题1.2: 3，4，5.
(3)如果ab=0,则a=0或b=0 易得: |a+b|=|a|+|b| 综上:
|a+b||a|+|b| (当且仅当ab0时,等号成立.)
思考4：在绝对值三角不等式中，将b用－b代替可得什么结论？
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时，等号成立.
思考5：显然，|a|＝|(a－b)＋b|，
思考7：将绝对值三角不等式推广到一般情形，得： |a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|
这里取等号的条件是什么？
a1，a2，…等式求函数f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|的最小值？
f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|≥|(x＋a)－(x＋b)|＝|a－b|
3.对于任意两个实数a,b.它们的差的绝对值|a－b|的几何意义是什么? A |a-b| B · · a b
间的距离，即线段AB的长度.
x
表示数轴上实数 a，b 对应的点 A ， B 之
4.根据绝对值的几何意义,若|x|=2，则实数x等于多少？若|x+2|=4,则实数x等于多少？若|x－1|<2,则实数x的范围是多少？

绝对值三角不等式2

（绝对值三角形不等式）一、定理及推论如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤推论1：1212n n a a a a a a ++++++≤推论2：a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时取等号练习1：已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f 分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ，∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ．∴1+<a x ，∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x 1-+⋅-=a x a x )1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．练习2：设二次函数c bx ax x f ++=2)((0>a ，且0≠b )，已知a b ≤，1)0(≤f ，1)1(≤-f ，1)1(≤f ，当1≤x 时，证明45)(≤x f ．分析：从0>a 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1≤x 且1)1(≤-f ，1)1(≤f 知，要求证的是45)(≤x f ，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．证明：∵)()(2c b a c b a b +--++= c b a c b a +-+++≤11)1()1(+≤-+=f f 2=， ∴1≤b ．又∵a b ≤，∴1≤a b ．∴1212<≤-a b ．又1)0(≤=f c ，ab c a b ac a b f 444)2(22-=-=-， ∴ab c a b c a b f 44)2(22+≤-=- 451141141=⋅⋅+≤⋅⋅+=b a b c ．而)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且1≤x ，11≤≤-x ， ∴)(x f 的最大值应在1=x ，1-=x 或a b x 2-=处取得． ∵1)1(≤f ，1)1(≤-f ，45)2(≤-a b f ，∴45)(≤x f ．说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1≤x 范围内的最大值．。