绝对值三角不等式 (2)

ab a b?
当ab 0时,则a 0或b 0，
ab a b
综上所述：如果a,b是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0， 等号成立.
平方法
分析法
ab a b?
要证|a+b|≤|a|+|b| 只要证|a+b|2≤(|a|+|b|)2
即证a2+2ab+b2≤|a|2+2|a||b|+|b|2 即证|a|2+2ab+|b|2≤|a|2+2|a||b|+|b|2
ab a b
a (2)a 0,b 0
-b 0 b
ab a b
b 0 -b
a
ab a b
几何法
ab
当ab 0时 (1)a 0,b 0
a
a-b
0
a
a
b
a b?
ab a b
-b 0 b (2)a 0,b 0
a
ab a b
a
b 0 -b
ab a b
几何法
a
a+b
y
rr
a
b
r b
r a
O
r b至为少零有向一量个或为两零
个向向量量或如两果个方向向量 相如反果，方则向它相们同的， 和则向它量们的的模和长向就量 等的于模两长个就向等量于模两 长个的向差量。模长的和。
x
rr
r
r
|
a r
b |r|
a
| r
|
b| r
| a | | b || a b |
两个向量和的模不小于两个向量模的和：
如果a,b是实数，则 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，
ab≤0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ab≥0
注：向量和复数都满足绝对 值三角不等式
典例赏析： 例1、已知ε>0，|x-a|<ε，|y-b|<ε， 求证：|2x+3y-2a-3b|<5ε. 证明： |2x+3y-2a-3b|
=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)| ≤|2(x-a)|+|3(y-b)|
绝 不等式和对 值 不 等
式
不等式选讲
二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式
y
r b
r a
rr ab
大家学过三角形三 边的什么关系呢？
不等式中等号
O
x 是否取到呢？
三角形r中，任r意两边之r 和大于第三r 边： | a b || a | | b |
三角形r中，任意两r边之差小r于第三r 边： | a | | b || a b |
将b赋值成-y 则a+b=(x+y)+(-y)
思考：等号什 么时候取呢？
=x
|x|-|-y|≤|x+y| a b a b
|x|-|y|≤|x+y|
|a|-|b|≤|a+b|
ab≤0
即证2ab≤2|ab|
当ab≥0时，
2ab≤2ab 成立
当ab<0时， 负数≤正数 成立
当且仅当ab 0时，等号成立.
| a | | b || a b | ?
思考：能否利用刚学习的不等式帮助我
们证明呢？
|a+b|≤|a|+|b| |a+b|-|b|≤|a| 将a赋值成x+y，
|b|-|a|≤|b+a| 也是成立的.
所以 ymin=3
典例赏析： 例2、对任意实数x，|x+1|-+||22--xx||>>aa 恒成立，求a的取值范围.
解：y=|x|x++11|+|-|2-x|| ≤≥||((xx++11))++((22--xx))||=1
-3所=≤3|以x+1|a-|<21-x|≤3 所以 a<-3
课时小结： 1、两种思想： 绝对值的代数意义：讨论去绝对值 绝对值的几何意义：数轴上的距离
rr
rr
rr
a b aa bb aa bb
思考：在向量中，我刚才发现两个向量和 的模一定不大于两个向量模的和。那如果 将向量换成实数，这样的结论还会成立吗？
a b ab a b
| a b || a | | b | ?
代数法
几何法
| a | | b || a b | ?
绝对值三角不等式：
=2|(x-a)|+3|(y-b)| <2ε+3ε=5ε
所以 |2x+3y-2a-3b|<ε
变式训练： 试求y=|2-cosx|+|cosx-3|的最小值.
解：y=|2-cosx|+|cosx-3| ≥|(2-cosx)+(cosx-3)| =1
所以 ymin=1
解：y=|2-cosx|+|cosx-3| =2-cosx+3-cosx =5-2cosx
2、两个不等式： |a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab≥0，等号成立 ||a|-|b||≤|a+b| 当且仅当ab≤0，等号成立
代数法
a2 a 2
a a2
ab a b?
当ab 0时，ab ab ，所以 当ab 0时，ab ab ，所以
a b (a b)2
a b (a b)2
a2 2ab b2 a 2 2 ab b 2
a2 2ab b2 a 2 2 ab b 2
( a b )2 ab
a 2 2 ab b 2 ( a b )2
ab
当且仅当ab 0时，等号成立.
几何法
ab
当ab 0时 (1)a 0,b 0
a
a-b
0
a
a
b
a b?