(徐)多项式与多项式相乘
多项式与多项式的乘法
实质上是转化为单项式×多项式 的运算
不要漏乘；正确确定各符号；结 果要最简
(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.
[义务教育教科书]( R J ) 八 上 数 学 课 件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第3课时 整式的除法
导入新课
例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值． 解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法， 对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
解：去括号，得40x－8x2=34－8x2+6x， 移项，得40x－6x=34， 合并同类项，得34x=34， 解得 x=1.
拓展提升
8.某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，算成了加
上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1，那么正确
的计算结果是多少？ 解：设这个多项式为A，则
A＋(－3x2)＝x2－2x＋1， ∴A＝4x2－2x＋1.
am ÷an=am-n
验证：因为am-n ·an=am-n+n=am,所以am ÷an=am-n.
知识要点 同底数幂的除法
一般地，我们有
am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
想一想：am÷am=? (a≠0) 答：am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0.
3.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么a、b
满足（ C ）
多项式的乘法
多项式的乘法在代数学中，多项式的乘法是一项基本的运算。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式。
本文将介绍多项式乘法的定义、运算法则以及一些实例应用。
一、多项式乘法的定义多项式乘法是指将两个或多个多项式相乘的过程。
一个多项式可以写成如下形式：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ... , a_1, a_0为常数系数，x为自变量，n为多项式的次数。
对于两个多项式：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0Q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0) * (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0)二、多项式乘法的运算法则多项式乘法遵循以下运算法则：1. 每一项的指数相加：两个同类项的指数相加，如x^m * x^n =x^{(m+n)}。
2. 常数系数相乘：两个同类项的常数系数相乘，如a_i * b_i。
3. 扩展运算：将每个项与另一个多项式的所有项进行相乘。
多项式的每一项都与另一个多项式的所有项进行相乘，并将结果相加。
三、多项式乘法的实例应用多项式乘法在数学和科学领域有广泛的应用。
以下是一些实例：1. 几何应用：在几何学中，多项式乘法用于计算多项式函数的图像和方程。
例如，通过将两个多项式相乘，可以得到一个表示曲线的方程。
2. 物理学应用：多项式乘法用于描述物理现象中的变化。
例如，通过将时间和速度的多项式相乘，可以得到物体的位移多项式。
3. 统计学应用：多项式乘法被用于计算和分析统计数据。
例如，在回归分析中，通过将自变量和系数的多项式相乘，可以找到一个最佳拟合的多项式函数。
《多项式与多项式相乘》
相同项合并
总结词
在两个多项式相乘的结果中，对于两个多项式中相同 的项，将其系数合并。
详细描述
例如，假设有两个多项式A(a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an)和B(b1x^n + b2x^(n-1) + ... + bm)，其中 an=bm，那么在它们相乘的结果中，这一项的系数就 是两个多项式相应项系数的乘积再加上余项的系数。 例如，如果an=bm=5，那么这一项的系数就是 5*5+1=26。
排列的计算
多项式相乘可以用于计算排列数，即将n 个不同元素全部排列在一起，共有多少种 排列方式。
VS
组合的计算
多项式相乘也可以用于计算组合数，即将 n个不同元素中取出m个元素进行组合， 共有多少种组合方式。
05
多项式相乘的例子
两个二次三项式的相乘
例子1
$多项式A:2x^2+3x+1$，$多项式 B:x^2+2x+3$，相乘结果为： $2x^4+7x^3+9x^2+6x+3$。
展开平方差公式
利用平方差公式可以将多 项式中的某些项进行展开 ，简化多项式的形式。
微积分中的近似计算
泰勒级数展开
利用多项式相乘可以将一个函数展开成泰勒级数，从而近似计算函数的值。
近似计算
在进行微积分中的近似计算时，可以利用多项式相乘来近似表达一个函数， 提高计算的精度。
组合数学中的排列与组合计算
03
多项式相乘的步骤
确定多项式的项数和次数
确定第一个多项式的项数和次 数。
确定第二个多项式的项数和次 数。
计算两个多项式的项数和次数 的乘积，得到相乘后的多项式
多项式与多项式相乘
xx年xx月xx日
contents
目录
• 多项式与多项式相乘概述 • 多项式相乘的原理 • 多项式相乘的算法实现 • 多项式相乘的应用实例 • 多项式相乘的注意事项与总结
01
多项式与多项式相乘概述
多项式的定义与表示方法
多项式的定义
多项式是由若干个单项式组成的数学表达式。每个单项式由 系数和字母组成，且每个单项式的次数不超过给定的多项式 的次数。
多项式的表示方法
多项式通常用括号括起来的表达式表示，例如：$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$。其中，$x^2$表示$x$的平方，$x$表示 $x$的一次方，常数项表示没有字母的项。
多项式相乘的定义与计算方法
多项式相乘的定义
两个多项式相乘，即是将两个多项式的每一项分别相乘 ，再合并同类项得到一个新的多项式。
高次多项式相乘的例子
总结词
这是一个较为复杂的多项式相乘的例子，通过这个例 子，我们可以了解如何处理高次多项式的相乘和需要 注意的问题。
详细描述
假设我们有两个高次多项式 $f(x)=x^4+2x^3+3x^2+4x+5$和 $g(x)=x^3+x^2+x+2$，那么它们的乘积可以表示 为$f(x) \times g(x)$。通过这个例子，我们可以看到 处理高次多项式相乘的基本步骤和需要注意的问题， 例如如何合并同类项、如何处理符号以及如何进行项 的排列等。
确定多项式的各项数
首先需要确定两个多项式的各项数，即每个多项式有多少个系数不同的项。
对应项相乘
将两个多项式的对应项相乘，得到一个新的多项式。例如，第一个多项式的第一项与第二个多项式的第一项相乘，第二个 多项式的第二项与第一个多项式的第二项相乘，以此类推。
教学课件：七下湘教.4多项式的乘法(第2课时多项式与多项式相乘)
2.1 整式的乘法
2.1.4
多项式的乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
学习目标
1 理解并经历探索多项式乘多项式法则的过程，能熟练应用
多项式乘多项式的法则解决问题.（重点）
2 培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的
能力.
知识回顾
单项式乘单项式
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂
解：(1)去括号，得x2-5x+6+18=x2+10x+9.
移项、合并同类项，得15x=15.
解得x=1.
(2)去括号，得9x2-36＜9x2+9x-54.
移项、合并同类项，得9x＞18.
解得x＞2 ．
课堂小结
多项式乘多项式
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每
一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2
2
22 x 7 xy 14 y .
当x=1，y=-2时，
原式=22×1-7×1×（-2）-14×(-2)2
=22+14 -56
=-20.
随堂训练
5.已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，
也不含x项，求系数a，b的值．
解： (ax2＋bx＋1)(3x－2)
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2
பைடு நூலகம்
（2） ( + )
= ( + )( + )
= + + +
= + +
= − +
知识讲授
注意：
1.运算要按一定顺序，做到不重不漏.
14.1.4 第2课时 多项式与多项式相乘(课件)-2024-2025学年人教版数学八年级上册
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2，
∵积不含x2的项，也不含x的项，
∴22ab
3b 0, 3 0,
∴a b
9, 4 3. 2
运用多项式乘法法则，要有 序地逐项相乘，不要漏乘， 并注意项的符号．
最后的计算结果要化简￣￣￣ 合并同类项．
当堂练习
1.计算(x-1)(x-2)的结果为（ D ） A．x2+3x-2 B．x2-3x-2 C．x2+3x+2 D．x2-3x+2 2.下列多项式相乘，结果为x2-4x-12的是（ B ） A．(x-4)(x+3) B.(x-6)(x+2) C．(x-4)(x-3) D.(x+6)(x-2)
2、在x2 px 8与x2 3x q的积中不含x3与x项， 求p, q的值。
2.试一试，计算： (a+b+c)(c+d+e)
注意!
1.计算(2a+b)2应该这样做
(2a+b)2=(2a+b)(2a+b)
切记 一般情况下
(2a+b)2不等于4a2+b2 .
2.多项式乘以多项式,合并同类项前,积 的项数等于两个多项式的项数之积.
2x2 4x 6 x2 2x 1 x2 2x 5;
3x
（2）(2x 3)( x 2) ( x 1)2 ;
解：原式 2x 2 4x 3x 6 (x 2 12 )
2x2 7x 6 x2 1
x2 7x 7.
(x 1)(x 1)
(x2 2x 1)
4. 计算:(1)(3x+1)(x+2)；
3.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么a、b
多项式乘多项式(1)
5.已知x²+x+a=(x-3)(x+b),求a-b的值.
课堂小结 多项式乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加．
注意：（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式； （2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没有
合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的有 效方法.
（3）多项式与多项式相乘的结果中,要把同类项合并.
1.填空： 2(1)(x+3)与(2x-m)的积中不含x的一次项，则m=__6__
_________ ．
(2)( x3＋3x2＋4x-1)(x2-2x＋3)的展开式中x4的系数 是 ___1___
（3）若(x+5)(x-7)=x2+mx+n,则 m=__-2__ , n= __-_35__.
且(x+4)(x-6)=x²+ax+b ∴x²-2x-24=x²+ax+b ∴a=-2,b=-24 ∴a²+ab=(-2)²+(-2)×(-24)
=52
练习3. 已知(x-6)(x-p)=x2+mx+36,求p,m的值
题型四：多项式乘法与图形结合
例4：计算(x+a)(x+b)
解 ：(x+aபைடு நூலகம்(x+b) 如果我们把a,b看作
练习2. 先化简，再求值： (2a-3)2-(a+3)(a-1)，其中a=1.
多项式乘法和加减的混合运算，通常先算出 乘法的结果，注意括号的运用和符号的变化
题型三：求待定字母的值
例3.(x+4)(x-6)=x²+ax+b,求a²+ab的值.
多项式的乘法和除法
多项式的乘法和除法多项式是数学中常见且重要的一种代数表达形式。
在代数学中，多项式是由一系列的项组成的，每个项包含了一个系数和一个变量的幂次。
多项式的乘法和除法是数学中常用的运算方法，用于求解各种实际问题以及推导出更复杂的表达式。
一、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式相乘的运算。
多项式的乘法有以下几个要点：1. 每个项与其他多项式的每个项进行乘法运算，然后将结果相加。
例如，对于多项式A和多项式B相乘，结果可以表示为A *B = (a0 * b0) + (a1 * b0 + a0 * b1) + (a1 * b1) + ...2. 在乘法运算中，需要使用代数学中的乘法法则，即将两个项的系数相乘，将两个项的幂次相加。
例如，对于两个项：a * xn 和b * xm，它们相乘的结果为：(a * b) * xn+m。
3. 多项式乘法的结果是一个新的多项式，其中包含了之前的多项式的所有项的乘积和。
在计算过程中，需要将同类项进行合并，即将具有相同幂次的项的系数相加。
举例来说，我们有两个多项式：A = 2x^2 + 3x + 1 和 B = 4x + 1。
我们可以按照上述步骤进行乘法运算：A *B = (2x^2 * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 1) +(1 * 4x + 1 * 1)= 8x^3 + 2x^2 + 12x^2 + 3x + 2x^2 + 3x + 4x + 1= 8x^3 + 16x^2 + 10x + 1根据上述计算，我们得到了多项式 A 和 B 相乘的结果为 8x^3+ 16x^2 + 10x + 1。
二、多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。
多项式的除法有以下几个要点：1. 除法的核心思想是通过多项式的乘法来逆转乘法运算。
具体而言，如果多项式 A 除以多项式 B 的结果为多项式 C，那么 C 与B 相乘的结果应该等于 A。
多项式与多项式相乘
记为： (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.
2、一个规律： (x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq
3、两种能力： 会用整式表示问题的结果； 会用整式进行运算从而解决实际问题！
学以致用
计算： ①(3x-y)(x+y)
解:原式=3x·x+3x·y+(-y)·x+(-y)·y =3x²+3xy-xy-y² =3x²+2xy-y²
②(x+y)(x2-xy+y2)
解：原式= x³-x²y+xy²+yx²-xy²+y³
=x³+y³
小结：1、相乘时不重项，不漏项.
2、注意确定积中每一项的符号.
如果(x+m)(x²+3x)展开后不含x²项, 你能确定m的值吗？
解：(x+m)(x²+3x)
=x³+3x²+mx²+3mx =x³+(3+m)x²+3mx
当 3+m=0，即m=-3时，
(x+m)(x²+3x)展开后不含x²项.
规律探索
谁是速算王？
1、(x+2)(x+3)=__x_²+_5__x_+_6_____.
4、数学思想：整体思想、转化思想、归纳思想.
作业
（必做题） 1、计算：①(m+2)(m-5);②(a+b)²;
③(2x-5y)(3x-y); ④(x²-2x-3)(x+y).
《多项式与多项式相乘》
多项式的运算规则
加法
多项式相加是指相同字母的系数相加，相同字母的次数不变。例如，$(3x^{2} + 4x) + (2x^{2} - x) = 5x^{2} + 3x$。
减法
多项式相减是指相同字母的系数相减，相同字母的次数不变。例如，$(3x^{2} + 4x) (2x^{2} - x) = x^{2} + 5x$。
04
多项式相乘的应用
代数方程的求解
01
02
03
提取公因式
将多项式中的公因式提取 出来，便于进一步化简或 求解。
合并同类项
将多项式中相同的项合并 起来，使多项式更加简洁 ，便于操作。
因式分解
将多项式分解成若干个因 式之积，从而可以直接求 解代数方程。
函数的分析与求解
函数的零点
通过多项式相乘可以求出 函数的零点，即函数值为0 的点。
《数学年刊》
该期刊发表了一些重要的数学研究成果，包 括多项式相乘的某些特殊情况和性质的研究 。
感谢您的观看
THANKS
级数展开
通过多项式相乘可以将函数展开成 无穷级数，从而可以更好地分析函 数的性质。
05
多项式相乘的注意事项
符号问题
保持符号的一致性
在多项式相乘时，要注意保持各项符号的一致性。例如， $(x^2 + 2x) \times (x^2 - 4)$中，$x^2$的系数是正数， $2x$的系数是负数，相乘时要注意各项符号的一致性。
函数的极值
通过多项式相乘可以判断 函数的极值点，即函数值 发生变化的点。
函数的单调性
通过多项式相乘可以判断 函数的单调性，即函数值 增大或减小的趋势。
多项式的基本运算规则是什么
多项式的基本运算规则是什么多项式的基本运算规则有加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这些基本运算规则。
一、多项式的加法运算规则：两个多项式相加时，需要将同类项的系数相加，并保持各项的次数不变。
例如：多项式A(x) = 3x^3 + 4x^2 - 2x + 5 和多项式B(x) = 2x^3 +x^2 + 3x + 1 相加的结果为C(x) = 5x^3 + 5x^2 + x + 6。
二、多项式的减法运算规则：两个多项式相减时，需要将被减多项式的各项的系数对应相减，并保持各项的次数不变。
例如：多项式D(x) = 7x^3 + 2x^2 + 5x + 3 和多项式E(x) = 4x^3 -x^2 + 2x - 1 相减的结果为F(x) = 3x^3 + 3x^2 + 3x + 4。
三、多项式的乘法运算规则：两个多项式相乘时，需要将每一项的系数相乘，并将次数相加。
例如：多项式G(x) = (2x^2 + 3x - 4) 和多项式H(x) = (x^3 + 2x + 1)相乘的结果为I(x) = 2x^5 + 4x^3 + 2x^2 + 3x^4 + 6x^2 + 3x - 4x^3 -8x - 4。
四、多项式的除法运算规则：多项式的除法可以使用长除法进行计算。
首先找到被除式的最高次项与除式的最高次项相除的商，然后将商乘以除式，并与被除式相减，得到一个新的多项式。
然后再将新的多项式与除式的最高次项相除，如此进行下去，直到无法再继续进行除法运算为止。
例如：多项式J(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 1 除以多项式K(x) = x^2 + 2x+ 1 的长除法运算结果为商多项式L(x) = 3x - 4 和余数为多项式M(x) =-x + 5。
综上所述，多项式的基本运算规则包括加法、减法、乘法和除法。
通过正确应用这些运算规则，可以对多项式进行各种数学运算，实现多项式的化简、合并以及计算等操作。
多项式与多项式相乘
3 多项式与多项式相乘课前知识管理1、单项式乘以多项式运算法则：单项式乘以多项式,只要将单项式分别乘以多项式的各项,再把所得的积相加.字母表达式：()cm bm am c b a m ++=++.几何背景图：大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和，即()cm bm am c b a m ++=++.单项式与多项式相乘的实质是乘法的分配律，运算时要注意：①利用分配律将单项式与多项式相乘转化为单项式乘以单项式时，每一项均要带着该项的符号进行分配计算，然后进行整式的加、减运算.②单项式乘以多项式，其结果的项数与多项式的项数相同.③注意运算中的符号问题.2、多项式乘以多项式运算法则：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加．字母表达式：()()nb na mb ma b a n m +++=++.几何背景图：大长方形的面积=四个小长方形的面积之和，即：()()nb na mb ma b a n m +++=++ 多项式与多项式相乘，要注意以下几点：①运算时要按照一定顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项以前，应是两个多项式项数的积.②运算结果有同类项的要先合并同类项，并按某个字母的降幂或升幂排列.③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘有公式为：()()x a x b ++2()x a b x ab =+++.④注意运算时的符号.名师导学互动典例精析：知识点1：单项式乘以多项式的法则例1、计算：（1）2a 2b （12ab -3ab 2）； （2）（13x -34xy ）·（-12y ）． 【解题思路】（1）单项式与多项式相乘时，注意不要漏乘多项式中的常数项；（2）相乘时，注意符号．【解】（1）2a 2b （12ab -3ab 2）=2a 2b ·12ab+2a 2b ·（-3ab 2）=a 3b 2-6a 3b 3； （2）（13x -34xy ）·（-12y ）=13x ·（-12y ）+（-34xy ）·（-12y ）=－4xy+9xy 2． 【方法归纳】单项式的乘法运算的基础就是同底数幂的乘法运算．对应练习： (－2xy 2)·(21xy +x 2y －3y 2)知识点2：单项式乘以多项式的应用例2、先化简，再求值：()()12322+-+-x x x x x ，其中3=x .【解题思路】按照单项式乘以多项式的法则先化简后，再代入x 的值求值.【解】原式=112322332+=+-+-x x x x x ，当3=x 时，原式=()4132=+. 【方法归纳】符号的确定是解题的关键，在计算过程中，可把多项式写成单项式和的形式，把单项式乘以多项式的结果用“+”号连结，最后写成省略加号的代数和.对应练习：化简：()()432832a a a a a +-. 知识点3：单项式乘以多项式的实际应用例3、一块长方形的铁皮，长为()2245ba +米，宽为26a 米，在它的四个角上都剪出一个边长为2a 米的小正方形，然后拼成一个无盖的盒子，问盒子的表面积是多少？【解题思路】盒子的表面积=长方形铁皮的面积－4个小正方形的面积.【解】()2245b a +×26a －42a ×2a =2244224242642430b a a a b a a +=-+.答：盒子的表面积为（2242426b a a +）平方米.【方法归纳】在计算过程中，注意不要因漏乘造成漏项.对应练习：一个长方体的长、宽、高分别为()x x x 2,,24-，求长方体的体积.知识点4：多项式乘以多项式的法则例4 计算：(x －5y )(3x +4y )【解题思路】多项式乘以多项式,实际上是转化为单项式与单项式的乘法运算来完成的．【解】(x －5y )(3x +4y )=3x 2+4xy －15xy －20y 2=3x 2－11xy －20y 2．【方法归纳】(1)多项式的每一项包括其前面的符号．注意同号得正,异号得负．(2)多项式与多项式相成的结果仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积．如：两项×三项=六项．注意在计算时不要漏项．(3)注意结果中如果有同类项,要合并同类项,将结果化为最简．对应练习：计算：()212-ab 知识点5：多项式乘以多项式的应用例5、若()()6++x m x 的积中不含x 的一次项，则m 的值等于什么？【解题思路】积中不含x 的一次项，即一次项的系数为0.【解】()()6++x m x =()m x m x m mx x x 666622+++=+++，因为积中不含x 的一次项，所以6+m =0，即m =－6.【方法归纳】注意要结合一元一次方程的知识去求m 的值.对应练习：若()()1-+x m x 的展开式中不含x 项，则m = .知识点6：多项式乘以多项式的实际应用例6、已知一个三角形的底边长为()b a 23+，这条边上的高为()b a 24-，则这个三角形的面积为 .【解题思路】三角形的面积=底×底边上的高×21. 【解】()()2226232421b ab a b a b a -+=+-. 【方法归纳】注意本题既可以先计算前两项，然后再与第三个因式相乘，但前两项计算出的结果必须添加括号后方可与最后一项相乘；也可以先计算后两项，再作为一个整体与21相乘. 对应练习：现将一块长为a ，宽为b 的矩形铁皮四个角各剪去边长为c 的小正方形，然后将各边折起，得到一个无盖的长方体盒子，求长方体的体积.知识点7：解方程（或不等式）例7、解方程：()()()x x x x x x --=+--12563452；【解题思路】在应用单项式与多项式的乘法运算时，要注意每一项的结果的符号的确定，并且不要漏乘任何一项.【解】由题意，得x x x x x x --=---51018381022，∴185=-x ，解得518-=x . 【方法归纳】解方程（或不等式）的关键是先做单（多）项式乘多项式，去括号后，再移项合并同类项.对应练习：()()()32621->-++x x x x易错警示1、漏乘例8、计算：)12(32+-y x x错解：)12(32+-y x x xy x x 3232-⋅= .363xy x -= 错解分析：错解在3x 与1没有相乘，即漏乘了最后一项。
多项式的加减法与乘法
多项式的加减法与乘法在代数学中，多项式是由单项式相加或相减而得到的一个表达式。
它在数学和科学的各个领域中扮演着重要的角色，因为它能描述和解决许多实际问题。
本文将讨论多项式的加减法与乘法，介绍相应的规则和方法。
一、多项式的加法多项式的加法是将同类项相加得到一个新的多项式。
同类项是具有相同变量的相同幂次的项。
例如，下面是一个多项式的示例：P(x) = 3x^2 + 2x - 5Q(x) = 2x^2 - 4x + 7要将这两个多项式相加，我们只需将同类项的系数相加。
即：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x - 5) + (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 + 2x - 5 + 2x^2 - 4x + 7= (3x^2 + 2x^2) + (2x - 4x) + (-5 + 7)= 5x^2 - 2x + 2所以，P(x) + Q(x) = 5x^2 - 2x + 2二、多项式的减法多项式的减法与加法类似，只需将减数取相反数，再进行加法运算。
例如：R(x) = P(x) - Q(x)= (3x^2 + 2x - 5) - (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 + 2x - 5 - 2x^2 + 4x - 7= (3x^2 - 2x^2) + (2x + 4x) + (-5 - 7)= x^2 + 6x - 12所以，R(x) = x^2 + 6x - 12三、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式的每一项两两相乘，并将同类项合并得到一个新的多项式。
例如：S(x) = P(x) * Q(x)= (3x^2 + 2x - 5) * (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 * 2x^2 + 3x^2 * (-4x) + 3x^2 * 7 + 2x * 2x^2 + 2x * (-4x) + 2x * 7 + (-5) * 2x^2 + (-5) * (-4x) + (-5) * 7= 6x^4 - 12x^3 + 21x^2 + 4x^3 - 8x^2 + 14x - 10x^2 + 20x - 35= 6x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 34x - 35所以，S(x) = 6x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 34x - 35通过以上的讨论，我们可以总结出多项式的加减法与乘法的基本规则：1. 加法：将同类项的系数相加，保留相同的变量和幂次。
多项式乘多项式(解析版)
9.3多项式乘多项式题型一：多项式乘以多项式计算【例题1】（2021·广西）计算：()()36x x -+． 【答案】x 2+3x -18【分析】根据多项式乘以多项式的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（x -3）（x +6）=x 2+6x -3x -18 =x 2+3x -18．【点睛】本题考查多项式乘以多项式的计算方法，掌握多项式乘以多项式的计算法则，是解决问题的关键． 变式训练【变式1-1】（2021·陕西）计算：()()()241221x x x x +---． 【答案】92x -【分析】先根据多项式与多项式乘法及单项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：()()()241221x x x x +--- =4x 2-x +8x -2-(4x 2-2x ) =4x 2-x +8x -2-4x 2+2x =92x -．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，知识点管理 归类探究再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 【变式1-2】（2021·江西南昌·八年级期末）计算：（1）()()211x x x -++；（2）()()()321x x x x +---． 【答案】（1）31x -；（2）26x -【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式3221x x x x x =++---31x =-．（2）解：原式22236x x x x x =-+--+26x =-．【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则是解题的关键． 【变式1-3】（2021·湖南七年级期中）计算： （1）222(35)a a b - （2）(53)(32)x y x y +-．【答案】（1）42610a a b -；（2）22156x xy y --【分析】（1）根据单项式乘多项式的计算方法及同底数幂的乘法运算直接计算； （2）根据多项式乘多项式的计算方法及同底数幂的乘法运算，合并同类项直接计算． 【详解】解：（1）22422(35)610a a b a a b -=-， （2）22(53)(32)151096x y x y x xy xy y +-=-+- 22156x xy y =--．【点睛】本题考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式，解题的关键是掌握基本的运算法则． 题型二：(x+a)(x+b)型多项式相乘【例题2】（2021·福建省宁化县教师进修学校七年级月考）（Ⅰ）计算，将结果直接填在横线上： (1)(2)x x ++=______．(1)(2)x x --=______． (1)(2)x x -+=______．(1)(2)x x +-=______．（Ⅰ）认真观察（Ⅰ）中的算式与计算结果的特征，总结其中运算规律，用公式来表示这种运算规律（用a ，b 表示常数，）．【答案】（1）x 2＋3x ＋2，x 2−3x ＋2，x 2＋x −2，x 2−x −2；（2）（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab 【分析】（1）根据多项式乘法的法则逐一计算即可，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）根据（1）计算的结果，式子的一般形式是（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab ． 【详解】解：（1）（x ＋1）（x ＋2）＝x 2＋3x ＋2， （x −1）（x −2）＝x 2−3x ＋2， （x −1）（x ＋2）＝x 2＋x −2， （x ＋1）（x −2）＝x 2−x −2．故答案是：x 2＋3x ＋2，x 2−3x ＋2，x 2＋x −2，x 2−x −2；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab 结构． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2019·全国七年级单元测试）若(x ＋a )(x ＋2)＝x 2－5x ＋b ，求a ＋b 的值． 【答案】－21.【分析】先根据多项式乘多项式法则把多项式的左边展开，合并同类项后再根据多项式两边相同字母的系数相等，列出方程，求出a ，b 的值即可．【详解】解：()()222225x a x x ax x a x x b ++=+++=-+，则252a a b +=-=，， 解得714.a b =-=-， 则21.a b +=-【点睛】考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键. 【变式2-2】（2021·福建）阅读理解： （1）计算()()21232x x x x ++=++，()()12x x --=____________________， ()()12x x -+=_______________，()()12x x +-=___________________，()()()2x a x b x x ++=++_____________；（ 2）应用已知a 、b 、m 均为整数，且()()212x a x b x mx ++=++，则m 的可能取值有_____________个．【答案】（1）232x x -+，22x x +-，22x x --；a b +，ab ；（2）6【分析】（1）根据多项式乘法的法则逐一计算即可，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）根据（1）计算的结果，式子的一般形式是2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，121122634(1)(12)(2)(6)(3)(4)=⨯=⨯=⨯=-⨯-=-⨯-=-⨯-，故m 的取值6个．【详解】解：（1）2(1)(2)32x x x x ++=++， 2(1)(2)32x x x x --=-+，2(1)(2)2x x x x -+=+-，2(1)(2)2x x x x +-=--；()()()2x a x b x a b x ab ++=+++（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合2()()()x p x q x p q x pq ++=+++结构，因为12可以分解以下6组数，112a b ⨯=⨯，26⨯，34⨯，(1)(12)-⨯-，(2)(6)-⨯-(3)(4)-⨯-，所以m a b =+应有6个值．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2-3】（2020·厦门外国语学校海沧附属学校八年级期中）已知(x+a)(x+b)=x 2+mx+n （1）若a=1，b=2，则m=______，n=_______ （2）若a=6，b=-3，求2m+2n 的值 【答案】（1）m=3，n=2；（2）-28【分析】把已知式子展开，得出m ，n 和a ，b 的关系式，带入求解即可；【详解】Ⅰ()()()22x a x b x a b x ab x mx n ++=+++=++，Ⅰa b m +=，ab n =， （1）Ⅰa =1，b =2，Ⅰ123m =+=，122n =⨯=， 故答案是：3，2． （2）Ⅰa =6，b =-3，Ⅰ()633m =+-=，()6318n =⨯-=-，Ⅰ()322221883628m n +=+⨯-=-=-．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确利用整式乘法展开计算是解题的关键． 题型三：多项式乘以多项式化简求值【例题3】（2021·江苏鼓楼·七年级期中）先化简，再求值：(1)(2)3(3)2(2)(1)x x x x x x ---+++-，其中12x =． 【答案】102x --； 7-【分析】多项式乘以多项式，单项式乘以多项式展开，合并同类项对整式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：(1)(2)3(3)2(2)(1)x x x x x x ---+++-()2223239222x x x x x x x =-+--++--，222122224x x x x =--+++-， 102x =--，当12x =时，原式110272=-⨯-=-． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式展开，合并同类项代入求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 变式训练【变式3-1】（2021·江苏省江阴市第一中学七年级阶段练习）先化简，再求值：(3)(4)2(1)(5)y y y y +---+，其中2y =-【答案】292y y ---；12．【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把y 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：(3)(4)2(1)(5)y y y y +---+22(12)2(45)y y y y =---+- 22122810y y y y =----+ 292y y =---，当2y =-时，原式()()22922=---⨯--12=．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则，准确计算是解本题的关键．【变式3-2】（2021·浙江七年级期中）先化简，再求值：()222242(()3)m m m m m -++--，其中2m =-【答案】368m m -+-，12-【分析】先分别根据多项式乘多项式、单项式乘单项式计算，再合并同类项，最后代入2m =-即可求解． 【详解】解：原式322382++44622m m m m m m m ---+-=33826m m m -=-+368m m =-+-，当2m =-时，原式()()32628=--+⨯--8128=--12=-【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式、单项式乘单项式计算法则． 【变式3-3】（2020·江苏省盐城中学新洋分校七年级期中）先化简，再求值：（x+2）（x -1）-2x （x+3）,其中x=-1.【答案】252x x ---，2．【分析】原式利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式=222226x x x x x -+---， =252x x ---， 当x=-1时， 原式=-1+5-2=2．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型四：已知多项式乘积不含某项求字母的值【例题4】（2017·江苏·兴化市海河学校七年级阶段练习）若（x 2+ax +8）（x 2﹣3x +b ）的乘积中不含x 2和x 3项，求a ，b 的值． 【答案】a =3，b =1【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则，进而利用合并同类项法则得出x 2和x 3项的系数为零进而得出答案．【详解】解：（x 2+ax +8）（x 2-3x +b ） =x 4-3x 3+bx 2+ax 3-3ax 2+abx +8x 2-24x +8b=x 4+（-3+a ）x 3+（b -3a +8）x 2+（ab -24）x +8b ， Ⅰ（x 2+ax +8）（x 2-3x +b ）的乘积中不含x 2和x 3项， Ⅰ-3+a =0，b -3a +8=0， 解得：a =3，b =1．【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 变式训练【变式4-1】（2021·江苏·常熟市第一中学七年级阶段练习）若关于x 的多项式()2(3)x x m mx +-⋅-的展开式中不含2x 项，求4(1)(2)(25)(3)m m m m +--+-的值． 【答案】16【分析】将多项式展开，合并同类项，根据不含2x 项得到m 值，再代入计算．【详解】解：原式()2(3)x x m mx =+-⋅-3222333mx x mx x m x m =-+--+()322(3)33mx m x m x m =+--++由题意得30m -=， Ⅰ3m =，Ⅰ原式4(31)(32)(235)(33)16=⨯+⨯--⨯+⨯-=．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，多项式的应用，解此题的关键是能根据整式的运算法则进行化简，难度不是很大．【变式4-2】（2021·江苏·昆山市第二中学七年级阶段练习）若()2(2)x x ax b -++的积中不含x 的二次项和一次项，求2(32)2a b ab -+的值． 【答案】20【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，由积中不含x 的二次项和一次项，求出a 与b 的值，再把a 、b 的值代入计算可得．【详解】解：（x -2）（x 2+ax +b ）=x 3+ax 2+bx -2x 2-2ax -2b =x 3+（a -2）x 2+（b -2a ）x -2b ， Ⅰ（x -2）（x 2+ax +b ）的积中不含x 的二次项和一次项， Ⅰa -2=0且b -2a =0， 解得：a =2、b =4，将a =2、b =4代入2(32)2a b ab -+=2(3224)224⨯-⨯+⨯⨯ =4+16 =20．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 【变式4-3】（2021·江苏省江阴市第一中学七年级阶段练习）若()2133x p x x q ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与2x 项（1）求p 、q 的值； （2）求代数式20192020p q 的值 【答案】（1）13p =，3q =；（2）3 【分析】（1）先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p 、q 看作常数合并关于x 的同类项，令x 2及x 的系数为0，分别求出p 、q 的值． （2）把p 、q 的值代入求解即可． 【详解】解：（1）21(3)()3x p x x q +-+=2321333x x qx px px pq -++-+=23131)(3+3()x p x q p x pq -+-+又Ⅰ式子展开式中不含x 2项和x 项， Ⅰ310p -=，13=03q p -解得，13p =，3q = （2）当13p =，3q =时，20192019201920201=()(3)31333p p q q q =⨯⨯=⨯= 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．题型五：多项式乘以多项式面积问题【例题5】（2020·江苏·泰兴市实验初级中学七年级期中）如图是火箭模型截面图，上面是三角形，中间是长方形，下面是梯形．（1）用含有a 、b 的代数式表示该截面的面积S ；（需化简） （2）当a ＝8cm ，b ＝5cm 时，求这个截面图的面积．【答案】（1）S=2a 2+2ab ；（2）208【分析】（1）先算出上面三角形的面积，中间长方形的面积，下面梯形的面积，即可表示出横截面的面积； （2）把a ，b 代入（1）式中求解即可；【详解】（1）上面三角形的面积为12ab ，中间长方形的面积为22a ，下面梯形的面积为()13222a b b ab +=，则该截面的面积为221322222S ab a ab a ab =++=+； （2）当a ＝8cm ，b ＝5cm 时，22226428512880208S a ab =+=⨯+⨯⨯=+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键． 变式训练【变式5-1】（2021·江苏淮安·七年级期末）如图，某市有一块长(3)a b +米，宽为(2)a b +米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处将修建一座雕像．（1）求绿化的面积是多少平方米． （2）当2,1a b ==时求绿化面积． 【答案】（1）5a 2+3ab ；（2）26平方米【分析】（1）绿化面积=长方形的面积-正方形的面积； （2）把a =2，b =1代入（1）求出绿化面积．【详解】解：（1）S 绿化面积=（3a +b ）（2a +b ）-（a +b ）2 =6a 2+5ab +b 2-a 2-2ab -b 2=5a 2+3ab ；答：绿化的面积是（5a 2+3ab ）平方米； （2）当a =2，b =1时，绿化面积=5×22+3×2×1 =20+6 =26．答：当a =2，b =1时，绿化面积为26平方米．【点睛】本题考查了多项式乘多项式及代数式求值，看懂题图掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 【变式5-2】（2021·江苏滨湖·七年级期中）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解决下列问题．（1）在图4中，黑色瓷砖有 块，白色瓷砖有 块；（2）已知正方形白色瓷砖边长为1米，长方形黑色瓷砖长为1米，宽为0.5米．现准备按照此图案进行装修，瓷砖无需切割，恰好能完成铺设．已知白色瓷砖每块100元，黑色瓷砖每块50元，贴瓷砖的费用每平方米15元．请回答下列问题： Ⅰ铺设图2需要的总费用为 元；Ⅰ铺设图n 需要的总费用为多少元？（用含n 的代数式表示） 【答案】（1）20；20；（2）Ⅰ1380； Ⅰ2115345230n n ++．【分析】（1）通过观察发现规律得出，第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +，将4n =代入即可求解；（2）Ⅰ求得图2的白瓷砖的块数和黑色瓷砖的块数，然后再求得占用的面积，根据费用求解即可；Ⅰ求得图n 的白瓷砖的块数和黑色瓷砖的块数，然后再求得占用的面积，根据费用求解即可； 【详解】解：（1）通过观察图形可知，1n =时，黑色瓷砖的块数为8，白色瓷砖的块数为22n =时，黑色瓷砖的块数为12，白色瓷砖的块数为6 3n =时，黑色瓷砖的块数为16，白色瓷砖的块数为12则第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +当4n =时，黑色瓷砖的块数为20，白瓷砖的块数为20故答案为20，20（2）Ⅰ图2，黑色瓷砖的块数为12，白色瓷砖的块数为6，所占用的面积为1210.561112⨯⨯+⨯⨯=（平方米）所需的费用为1250610012151380⨯+⨯+⨯=（元）故答案为1380Ⅰ第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +占用的面积为4(1)10.5(1)112(1)(1)(1)(2)n n n n n n n n +⨯⨯++⨯⨯=+++=++所需的费用为24(1)50(1)10015(1)(2)115345230n n n n n n n +⨯++⨯+⨯++=++故答案为2115345230n n ++【点睛】此题考查了图形类规律的探索问题，涉及了列代数式，整式的乘法等运算，解题的关键是根据前面图形，找到规律．【变式5-3】（2021·江苏徐州·七年级期中）（1）探究：我们小学时学过乘法分配律a （b +c ）＝ab +ac ． 下面我们用等积法证明乘法分配律：如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为a ，另一边长为（b +c ），所以长方形ABCD 的面积为a （b +c ）；方法二，长方形ABFE 的面积为ab ，长方形CDEF 的面积为ac ，所以长方形ABCD 的面积为（ab +ac ），所以a （b +c ）＝ab +ac ．我们把这种用两种不同的方式表示同一图形面积的方法称为等积法．（2）应用请你用等积法，画出图形，并仿照上面的说理方法证明：（a +b ）（c +d ）＝ac +ad +bc +bd ；（3）拓展请直接写出（a +b ）（c +d +e ）＝ ．【答案】（2）证明见解析；（3）ac ad ae bc bd be +++++【分析】（2）画出图形，并仿照（1）的说理方法证明即可；（3）根据（1）的方法画出图形，进行计算即可．【详解】（2）如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为()a b +，另一边长为()c d +，所以长方形ABCD 的面积为()()a b c d ++； 方法二，长方形AGOE 的面积为ac ，长方形EODH 的面积为ad ，长方形GOFB 的面积为bc ，长方形OFCH 的面积为bd ，所以长方形ABCD 的面积为（ac ad bc bd +++），所以()()a b c d ac ad bc bd ++=+++．（3）如图，同理可得：方法一可得长方形ABCD 的面积为()()a b c d e +++，方法二可得长方形ABCD 的面积为ac ad ae bc bd be +++++∴()()a b c d e ac ad ae bc bd be +++=+++++故答案为：ac ad ae bc bd be +++++【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积的关系，数形结合是解题的关键．题型六：多项式乘以多项式规律问题【例题6】（2021·常熟市第一中学七年级月考）观察下列各式：223324(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)1x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-（1）根据以上的规律得：123(1)(1)_______m m m x x x x x ----+++++=（m 为正整数）（2） 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：Ⅰ23468691222222+++++++Ⅰ（﹣2）50＋（﹣2）49＋（﹣2）48＋…＋（﹣2）＋1【答案】（1）x m -1；（2）Ⅰ7021-；Ⅰ51213+ 【分析】（1）归纳出一般规律可得；（2）Ⅰ原式乘（2-1），用规律即可得出结论；Ⅰ将原式变形为()()()()()5049481121222213++⎦⎡⎤-⨯---+--⋯+-+⎣，再依照所得规律计算即可． 【详解】解：（1）（x -1）（x m -1+x m -2+…+x +1）═x m -1（m 为正整数）；（2）Ⅰ23468691222222+++++++ =()()2346869212222221+++++++- =7021-；Ⅰ()()()()50494822221---⋯++-+++ =()()()()()5049481121222213++⎦⎡⎤-⨯---+--⋯+-+⎣ =()511123⎡⎤--⨯-⎣⎦ =51213+ 【点睛】本题考查找规律解题，仔细观察，找出规律是求解本题的关键．变式训练【变式6-1】（2021·利辛县第四中学七年级期中）（1）计算：(1)(1)______a a -+=；2(1)(1)____a a a -++=；......猜想：9998972(1)(......1)_____a a a a a a -++++++=；（2）请你利用上式的结论，求199198212+2++2+2+1的值；（3）请直接写出202020192018213+3+3+3+3+1+的值．【答案】（1）231;1;a a --1001a -；（2）20021-；（3）20211(31)2⋅-． 【分析】（1）根据多项式乘多项式可进行求解；（2）由2-1=1及（1）中结论可直接进行求解；（3）根据（1）中结论可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：2(1)(1)1a a a -+=-，23223(1)(1)11a a a a a a a a a -++=++---=-，……猜想：9998972100(1)(......1)1a a a a a a a -++++++=-；故答案为231,1,a a --1001a -；（2）由（1）可得：原式=()()19919819720021222......2121-+++++=- （3）由（1）的结论可得：原式=()()2020201928201210211)3+3+3131(31221+3+3+-+=⨯⨯⋅-． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．【变式6-2】（2021·辽宁）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a +b ）n （n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3展开式中各项的系数等等．（1）根据上面的规律，（a +b ）4展开式的各项系数中最大的数为 ；（2）求出25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5的值；（3）若（x ﹣1）2020＝a 1x 2020+a 2x 2019+a 3x 2018+……+a 2019x 2+a 2020x +a 2021，求出a 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020的值．【答案】（1）6；（2）﹣1；（3）﹣1【分析】（1）由“杨辉三角”构造方法判断即可确定出（a+b ）4的展开式中各项系数最大的数；（2）将原式写成“杨辉三角”的展开式形式，即可的结果；（3）当x ＝0时，a 2021＝1，当x ＝1时，得到a 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020+a 2021＝0，即可得到结论．【详解】解：（1）第五行即为1、 4、 6、 4 、1对应（a +b ）4展开式中各项的系数，Ⅰ（a +b ）4展开式的各项系数中最大的数为6，故答案为6；（2）Ⅰ（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，．．．．．．根据展式中的2最大指数是5，首项a =2，末项b =-3,Ⅰ25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5＝[2+（﹣3）]5＝（2﹣3）5＝﹣1；（3）Ⅰ（x ﹣1）2020＝a 1x 2020+a 2x 2019+a 3x 2018+……+a 2019x 2+a 2020x +a 2021，Ⅰ当x ＝1时，（1﹣1）2020＝a 1×12020+a 2×12019+a 3×12018+……+a 201912+a 2020×1+a 2021，即a 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020+a 2021＝0，当x ＝0时，（0﹣1）2020＝a 1×02020+a 2×02019+a 3×02018+……+a 2019×02+a 2020×0+a 2021，即a 2021＝1，Ⅰa 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020= a 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020+a 2021- a 2021＝0﹣1＝﹣1．【点睛】本题考查完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应a b n +（）中，相同字母a 的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高． 【变式6-3】（2021·河南省淮滨县第一中学）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：14(25)(36)2x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的结果是一个多项式，并且最高次项为：312332x x x x ⋅⋅=，常数项为：45(6)120⨯⨯-=-，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：15(6)2(6)434532⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯=-，即一次项为3x -． 请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算()()()23153x x x ++-所得多项式的一次项系数为______．（2）若计算()()2213(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，求a 的值；（3）若202120212020201901220202021(1)x a x a x a x a x a +=+++⋯++，则2020a =______．【答案】（1）-11；（2）3a =-；（3）2021．【分析】根据题意可得出结论多项式和多项式相乘所得结果的一次项系数是每个多项式的一次项系数分别乘以其他多项式的常数项后相加所得．（1）(2)(31)(53)x x x ++-中每个多项式的一次项系数分别是1、3、5，常数项分别是2、1、-3，再根据结论即可求出(2)(31)(53)x x x ++-所得多项式的一次项系数．（2）22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-中每个多项式的一次项系数分别是1、-3、2，常数项分别是1、a 、-1，再根据22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-所得多项式的一次项系数为0，结合结论即可列关于a 的一元一次方程，从而求出a ．（3）2021(1)x +中每个多项式一次项系数为1，常数项系数也为1，2020a 为2021(1)x +所得多项式的一次项系数．所以根据结论2020a 为2121个11⨯相加，即可得出结果．【详解】（1）根据题意可知(2)(31)(53)x x x ++-的一次项系数为：()()11333252111⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯=-．故答案为-11．（2）根据题意可知22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-的一次项系数为：()()()11311213a a a ⨯⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯=+Ⅰ该多项式不含一次项，即一次项系数为0，Ⅰ30a +=解得3a =-．（3）根据题意可知2020a 即为2021(1)x +所得多项式的一次项系数．Ⅰ20202021(11111111)2021a =⨯+⨯+⨯++⨯=故答案为2021【点睛】本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．【真题1】（2019·江苏南京·中考真题）计算22()()x y x xy y +-+．【答案】33x y +【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a ＋b ）（m ＋n ）＝am ＋an ＋bm ＋bn ，计算即可．【详解】解：()()22x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+33x y =+.【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．【真题2】（2013·江苏南京·中考真题）计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++++------+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果是_______． 【答案】16【详解】设11112345x +++＝， 则原式()111166x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ 22115666x x x x x +---+＝ 16＝ 【真题3】（2015·江苏连云港·中考真题）已知m +n =mn ,则(m -1)(n -1)=_______.【答案】1【详解】试题分析：根据乘法公式多项式乘以多项式，用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，可求(1)(1)m n --=mn -m -n+1=mn -（m+n ）+1，直接代入m+n=mn 可求得(1)(1)m n --=1.考点：整体代入法【真题4】（2019·台湾·中考真题）计算()()2334xx +﹣的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A ．74x -+B ．712x --C ．2612x -D ．2612x x --【答案】D【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再链接中考把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积．【详解】解：由多项式乘法运算法则得()()22233468912612x x x x x x x-+=+---=-．故选D．【点睛】本题考查多项式乘法运算法则，牢记法则，不要漏项是解答本题的关键．【拓展1】（2021·江苏阜宁·七年级期中）如图，长方形的长为a，宽为b，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为c，则空白部分的面积是___．【答案】2ab ac bc c--+【分析】先把阴影的为平行四边形的面积化为长方形的面积，然后经过平移得到空白部分的为长方形，长为a-c，宽为b-c，根据长方形面积公式列式计算即可求解即可求解．【详解】解：原图形可化为图1，将阴影部分平移得到图2，所以空白部分的面积为：()()2=a cbc ab ac bc c----+．故答案为：2ab ac bc c--+满分冲刺【点睛】本题考查了列代数式，平移，多项式乘以多项式等知识，根据题意，将平行四边形的面积转化为长方形的面积，进而进行平移，将空白部分面积转化为长方形的面积是解题关键．【拓展2】（2020·江苏徐州·七年级期中）阅读以下材料：2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-； ()324(1)11x x x x x -+++=-（1）根据以上规律，()123(1)1n n n x x x x x ----+++++= ；（2）利用（1）的结论，求2345201820192000155555555+++++++++的值 【答案】（1）1nx -；（2）2021514- 【分析】（1）仔细观察上式就可以发现得数中x 的指数是式子中x 的最高指数减1，根据此规律就可求出本题.（2）不难看出所求式子是材料中等号左边式子的一个因式，将所求式子转化成()123(1)1n n n x x x x x ----+++++形式，即可利用（1）的结论进行求解.【详解】（1）()123(1)1n n n x xx x x ----+++++中最高次项为1n n x x x -•=， 所以()123(1)1n n n x x x x x ----+++++=n x -1；（2）2345201820192000155555555+++++++++ =14（5-1）（2345201820192000155555555+++++++++） =2021514- 【点睛】仔细观察式子，总结出运算规律，是解决此类题的关键.【拓展3】（2020·江苏·南通市八一中学八年级期中）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数.延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，故答案为1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．。
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(a+b)(p+q) =a (p+q) +b(p+q) =ap+aq+bp+bq 因此， (a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每 一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得 到的，即
(a + b)(p + q)= ap +aq+bp +bq
(a + b)(p + q)= ap +aq+bp +bq
2
2
x mx n
多 项 式 与 多 项 式 相 乘
课后作业 1、课后练习1.（5），（6）小题和 第 2题
2、（选作） 小东找来一张挂历画包数学课本，已 知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本 封面与封底的每一边都包进去m厘米。问小东应在挂 历画上裁下一块多大面积的长方形？
多 项 式 Biblioteka 多 项 式 相 乘当x=p+q 时, (a+b)x=?
ax+bx (a+b)x= (a+b)(p+q) ?
= ?
学习目标
1、经历探索多项式乘多项式法则的过程，通过 几何和代数两方面了解多项式乘法的意义。
教师点拨，评价总结
刚才做多项式乘多项式的题时需要注意的问题有哪 些？
注意：
1、两个多项式相乘时，必须做到不重复，不遗漏。检查办 法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数 应该是这两个多项式项数的积。 2、注意确定积中每一项的符号.多项式里的每一项都包含前 面的符号，两项相乘时要先判断积的符号。
活动& 探索
填空： x 2)( x 3) x 2 __ x __ 5 6 (
( x 2)( x 3) x __ x (-6) __ 1 2 ( x 2)( x 3) x (-1) x (-6) __ __ 2 6 ( x 2)( x 3) x (-5) x __ __
多项式与多项式相乘，先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加．
展示交流 应用新知
多 项 式 与 多 项 式 相 乘
例题：（1）（x-8y）(x-y)
(2) (x+y)(x2–xy+y2)
（3）（1-x）(0.6-x)
3、结果应化为最简式。也就是有同类项，应合并同类项，得 出最简结果。
多 项 式 与 多 项 式 相 乘
计算：
1、（-a-b）(-a+b) ２ 2、（x-2y）
多 项 式 与 多 项 式 相 乘
通过本节课的学习，你有什么收获？
2、能利用多项式乘多项式的法则进行简单的多 项式乘法的运算．
为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原 长a米、宽p米的长方形绿地，加长了b米，加 宽了q米。你能用几种方法求出扩大后的绿地 面积？ a
b
p
q
b
计算(a+b)(p+q)，可以先把p+q看成一个整体，运 用单项式与多项式相乘的法则，得
2
观察上面四个等式，你能发现什么规律？ 你能根据这个规律解决下面的问题吗？
( a b) ab ( x a)( x b) x _____x _____ 口答：
2
( x－7)( x＋5) x __） __ （－2 x （－35）
2
计算：
(1) (x+y)(a+2b) （2）(2a-3)(3a+1) （3）(x–1)(x²+x+1) （4）(3a–2)(a–1) （5）(2a+3b)²
2 . 计 算 (2 x 3)( x 2) ( x 1) 3 . 已 知 ( x 5)( x 20) 求 m , n 的 值