几何常用定理

1. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）

2. 射影定理（欧几里得定理）

在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高，则有射影定理如下：①CD 2=AD ·DB;②BC 2=BD ·BA;③AC 2=AD ·AB;④AC ·BC=AB ·CD （等积式，可用面积来证明）。

3. 三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。

4. 四边形两边中点的连线和两条对角线中点的连线交于一点。

5. 间隔的连接六边形的边的中点所做出的两个三角形的重心是重合的。

6. 三角形各边的垂直平分线交于一点。 三角形五心

重心定义：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。

外心定义：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

垂心定义：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

内心定义：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

旁心定义：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

三角形的内心

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形。

三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心 三角形有且只有一个内切圆。

内切圆的半径公式： ()()()s a s b s c r s

−−−=(s 为三角形周长的一半)

三角形的外心

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心

三角形有且只有一个外接圆。

设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL。

三角形的垂心

三角形的三条高线交于一点。

三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。

三角形的旁心

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。

7. （九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中点、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。

8. 欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上，且2OG=GH

9. 库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

10. 中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有22222()AB AC AP BP +=+。

11. 斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有222()n AB m AC BC AP mn ⋅+⋅=⋅+ 。

12. 波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 。

13. 阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上。

14.托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB ×CD+AD ×BC=AC ×BD 。

15.以任意三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC 、△CEA 、△AFB ，则△DEF 是等边三角形。

16. 爱尔可斯定理

定理1：若△ABC 和△DEF 都是正三角形，则由线段AD 、BE 、CF 的重心构成的三角形也是等边三角形。 定理2：若△ABC 、△DEF 、△GHI 都是正三角形，则由三角形△ADG 、△BEH 、△CFI 的重心构成的三角形是等边三角形。

17.梅涅劳斯定理

设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1BP CQ AR PC QA RB

⋅⋅=。 应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q 、∠C 的平分线交边AB 于R ，、∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线。

应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线。

18.塞瓦定理

设△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S 连接面成的三条直线，分别与边BC 、CA 、AB 或它们的延长线交于点P 、Q 、R ，则1BP CQ AR PC QA RB

⋅⋅=。 应用定理1：三角形的三条中线交于一点。

应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点。

19.西摩松定理

从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线（这条直线叫西摩松线）。

20.史坦纳定理

设△ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中点；

应用定理：△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB 的对称点和△ABC 的垂心H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线。

21.波朗杰、腾下定理

设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是：

*2()AP BQ CR n n N π++=∈

推论1：设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点，若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点，则A 、

B 、

C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点。

推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。