2015-2016学年上海市南洋模范中学高二(上)数学期中试卷带解析答案
【全国百强校】上海市上海师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________． 【答案】230x y +-=考点：直线关于点，直线对称的直线方程.【方法点睛】直线关于x 轴对称直线方程求法有多种（1）可利用函数的观点，直线)(x f y =关于x 对称的直线方程为)(x f y -=；（2）可设关于x 轴对称的直线的点为),(y x ，其关于x 轴对称的点),(y x -在原直线上；（3）可在原直线上任找两点，找出其与x 轴对称点的坐标，利用两点式写出直线方程. 2.向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __. 【答案】3 【解析】试题分析：由数量积的定义||||=⋅，所以.3010413||||22=+⨯+⨯==b考点：向量的数量积.3.已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．【答案】【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以0=⋅，所以04=-x 解得4=x ， b ＝522422=+考点：向量模的运算.4.已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．【答案】2考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义.5.若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．【答案】2 【解析】试题分析：因为2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以⎩⎨⎧=+--=10322y x x 解得⎩⎨⎧=-=31y x ，所以x y +=2考点：矩阵的含义.6.若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为 __ ____．(用弧度制表示) 【答案】4π 【解析】试题分析：设经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为α,由题意经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的斜率为1=---+=a b a c c b k ，即角α正切值为1， πα<≤0 ，4πα=∴考点：直线的倾斜角及斜率. 7. 若行列式212410139x x =-，则=x．【答案】2或3- 【解析】试题分析：由题意得0|311|4|911|2|93|22=-⨯+⨯+-xx x x ，所以062=+-x x ，解得=x 2或3-.考点：三阶行列式的应用.8.直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 【答案】-4 【解析】试题分析：直线2x －3y ＋4＝0与y 轴的交点是)34,0(，由题意得点)34,0(也在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上，所以0343=+⨯c ，解得4-=c . 考点：两直线的交点.9.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 【答案】2 【解析】试题分析：由题意()(n m -=+==+-=+=λλλ,所以,21,λλ==m n 所以n m =2考点：向量的加法运算10.已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .【答案】31-或3考点：两直线的夹角.11.下面结论中，正确命题的个数为_____________． ①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于1k-，且线段AB 的中点在直线l 上.【答案】3考点：命题的真假判断.12.直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．【答案】50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：直线023cos =++y x θ的斜率为3cos θ-，所以333cos 33≤-≤-θ，直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：直线的倾斜角及斜率.13.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC =AO BC ⋅=________.【答案】52考点：向量在几何中的应用.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积.运用向量的几何运算求BC AO ⋅，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积几何意义计算A A ⋅-⋅，体现了数学几何意义的运用，.是思维能力与计算能力的综合体现.14.设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈ ，定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ． 那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有 向量a的序号）． 【答案】①③④ 【解析】考点：向量的数量积的运算律.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15.“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若“a=2”成立，则两直线2x+2y-1=0与直线2x+2y=-2平行；反之，当“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行，可得2±=a ，所以““2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的充分不必要条件. 考点：两直线平行的条件和性质.【方法点睛】判定p 是q 的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件P 能否推得q ；二是由条件q 能否推得p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】(A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同【答案】B 【解析】试题分析：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，所以a b c 、、两两平行，答案为B.考点：二元线性方程组的增广矩阵的涵义.17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18. 【答案】D考点：程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断 .【名师点睛】本题是已知程序框图问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，输出结果，主要考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义.识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、)(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、【答案】D考点：相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19.（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）． 三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明． 【答案】见解析.考点：行列式知识的应用.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．【答案】(1)2x+y －5=0;(2)20x y -+=.考点：直线方程的求法.【方法点睛】在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况21.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π． 【答案】(1) 42-a ;(2) 6± 【解析】考点：一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算.【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ；(2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．【答案】(1) h a b c =++;(2)证明见解析；（3）(2h ==-考点：向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义. 【方法点睛】（1)当向量与是坐标形式给出时，若证明⊥，则只需证明02121=+=⋅y y x x b a ；（2）当,是非坐标形式时，要把,用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明0=⋅；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N .（1）若1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且k S MON 1Δ=，当P 变化时，求||OT 的取值范围． 【答案】x（3）设),(y x T ，),(ka a M 、),(kb b N -（0>a ，0>b ，0>k ）， 根据题意可知：21||k a OM +=，21||k b ON +=其中212sin kk MON +=∠ k MON ON OM S MON 1sin ||||21Δ=∠⋅=，即21kab =……（*） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2)(2b a k y b a x ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222)(2b a k b a OT ()()()222212121k ab k b a -+++考点：三角形面积公式与基本不等式 .：。
2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷
6.关于x，y的二元线性方程组nx−3y=2的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为22tanθ−sinθ=0有两个不等实根a和b，那么过点A a,a2，B b,b2的直线与圆2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.已知A4,6，B−3,−1，C5,−5三点，则经过点A且与BC平行的直线l的点斜式方程为．2.已知a=1，b=2，且λa+b⊥2a−λb，a与b的夹角为60∘，则实数λ=3.直线x+3y+2=0与直线x+1=0的夹角为．y≥0,4.设变量x，y满足约束条件x−y+1≥0,则z=2x+y的最大值为．x+y−3≤0,5.圆心为1,2且与直线5x−12y−7=0相切的圆的方程为．．2x+my=5,103011则m=．n7.对任意实数m，圆x2+y2−2mx−4my+6m−2=0恒过定点，则其坐标为．，2x74x8.在行列式4−34中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f x，则y=1+f x的零65−1点是．9.已知定点A0,−5，P是圆x−22+y+32=2上的动点，则当PA取到最大值时，P点的坐标为．10.已知P是△ABC内的一点，且满足PA+3PB+5PC=0，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1:S2:S3=．11.若直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则实数b的取值范围是．12.已知a>1，x≥1，y≥1，且loga x+logay=logaa4x4+logaa4y4，则logaxy的取值范围是．二、选择题（共4小题；共20分）x y113.已知直线方程为351=0，则下列各点不在这条直线上的是 −231A.−2,3B.4,7C.3,5D.0.5,414.直线2x+3y−6=0关于点1,−1对称的直线方程是 A.2x+3y+7=0 C.2x+3y+8=0B.3x−2y+2=0 D.3x−2y−12=015.若O为△ABC的内心，且满足OB−OC⋅OB+OC−2OA=0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对16.已知方程x2+x1x2+y2=1的位置关系是 A.相交B.相切C.相离D.随θ值的变化而变化三、解答题（共5小题；共65分）mx+y=−1,17.利用行列式解关于x，y的二元一次方程组3mx−my=2m+3.18.设两个向量a，b满足a=2，b=1，a，b的夹角为60∘，若向量2t a+7b与向量a+t b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．19.已知直线l过点1,3，且与x轴、y轴都交于正半轴，求：（1）直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值及此时直线l的方程；（2）直线l与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l的方程．20.已知A0,2是定圆C:x2+y2=16内的一个定点，D是圆上的动点，P是线段AD的中点，求：（1）P点所在的曲线方程E；（2）过点A且斜率为−3的直线与曲线E交于M，N两点，求线段MN的长度．421.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，r（r>0）为半径的定圆C，与过原点且斜率为k1（k≠0）的动直线交于P，Q两点，在x轴正半轴上有一个定点R m,0，P，Q，R三点构成三角形，求：（1△）PQR的面积S1的表达式，并求出S1的取值范围；（2△）PQR的外接圆C2的面积S2的表达式，并求出S2的取值范围．3− 2 2【解析】关于 x ，y 的二元线性方程组 nx − 3y = 2 的增广矩阵经过变换可化为：2x + my = 5, x = 3, 6 + m = 5,答案第一部分1. y − 6 = − 1 x − 42【解析】k BC = −1+5 = − 1，利用点斜式可得：y − 6 = − 1 x − 4 ．2. −1 ± 3【解析】因为 λa + b ⊥ 2a − λb ， 所以 λa + b ⋅ 2a − λb = 0，所以：2λa 2 + 2 − λ2 a ⋅ b − λb 2 = 0，所以 2λ × 1 + 2 − λ2 × 1 × 2 × 1 − λ × 22 = 0， 2所以 λ2 + 2λ − 2 = 0，解得 λ = −1 ± 3． 3. 60∘【解析】因为直线 x + 3y + 2 = 0 的斜率为 − 13= − 3 ，故它的倾斜角为 150∘，3因为直线 x + 1 = 0 的斜率不存在，故它的倾斜角为 90∘，故直线 x + 3y + 2 = 0 与直线 x + 1 = 0 的夹角为 150∘ − 90∘ = 60∘．4. 6y ≥ 0,【解析】由约束条件 x − y + 1 ≥ 0, 得如图所示的三角形区域，x + y − 3 ≤ 0三个顶点坐标为 A 1,2 ，B −1,0 ，C 3,0 ，由 z = 2x + y 可得 y = −2x + z ，则 z 表示直线 y = −2x + z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大，直线 z = 2x + y 过点 C 3,0 时，z 取得最大值为 6． 5. x − 1 2 + y − 2 2 =4【解析】所求圆的半径就是圆心 1,2 到直线 5x − 12y − 7 = 0 的距离：d = 所以圆的方程： x − 1 2 + y − 2 2 = 4． 5×1−12×2−7 52+ −12 2= 2，6. − 352x + my = 5, 1 0 3 0 1 1m = −1,故 y = 1 是方程组 nx − 3y = 2 的解，即 3n − 3 = 2, 解得： n = 5 ,3，A 32 = − 2 93所以 m = − 3．n57. 1,1 或 1 , 75 5【解析】x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 6m − 2 = 0，所以 x 2 + y 2 − 2 = 2x + 4y − 6 m ，所以x 2 + y 2 − 2 = 0,2x + 4y − 6 = 0,解得 x = 1，y = 1 或 x = 1，y = 7．55所以定点的坐标是 1,1 或1 , 7 5 5．8. −1【解析】第 3 行第 2 列的元素的代数余子式x 4x4 4= −4 × 2x + 4 × 4x = −2x +2 1 − 2x . 所以 f x = −2x +2 1 − 2x ，y = 1 + f x= 1 − 2x +2 1 − 2x .令 y = 0，即 2x +2 1 − 2x = 1，解得：x = −1．9. 3, −2【解析】由题意，当 PA 取到最大值时，直线 PA 过圆心 2, −3 ，则直线 PA 的斜率为 1，直线方程为 y = x − 5，与圆的方程联立，可得 x − 2 2 + x − 2 2 = 2，所以 x = 3 或 1，根据题意，当 PA 取到最大值时，P 点的坐标为 3, −2 ．10. 5: 1: 3【解析】记 △ ABC 的面积为 S ，因为 PA + 3PB + 5PC = 0，所以 − 1 PA = 3 PB + 5 PC = PD ，888则 D 在 BC 上，且 BD : CD = 5: 3，故 PD : AD = 1: 9，即当以 BC 为底时，△ BCP 的高是 △ ABC 的 1，9所以 S 2 = 1 S ，9同理：S 1 = 5 S ，S 3 = 1 S ， 所以 S 1: S 2: S 3 = 5: 1: 3． 11. 1 − 2 2, 3【解析】在同一平面直角坐标系中画出曲线 y = 3 − 4x − x 2（注：该曲线是以点 C 2,3 为圆心、 2 为半径的圆不在直线 y = 3 上方的部分）与直线 y = x 的图象如图所示，2=2，b=1−22．2222平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点0,3的过程中的任何位置，相应的直线与曲线y=3−4x−x2都有公共点；注意到与y=x平行且过点0,3的直线的方程是y=x+3；当直线y=x+b与以点C2,3为圆心、2为半径的圆（圆不在直线y=3上方的部分）相切时，有2−3+b结合图形可知，b的取值范围是1−22,3．12.23+2,4+42【解析】由题意：logax+logay=logaa4x4+logaa4y4，化简可得：logax−4logax+logay−4logay=8，令m=log a x，n=log a y，则有：n2+m2−4m−4n=8，且log a xy=n+m．因为a>1，x≥1，y≥1，所以n≥0，m≥0，因为n2+m2−4m−4n=8⇒n−22+m−22=42表示为2,2为圆心，半径为4的圆．令m+n=Z Z≥0，则n+m−Z=0．数形结合法：如图：当直线m+n−Z=0过B点或A点时最小．当直线m+n−Z=0过C点时最大．可知：A23+2,0，故得Z min=23+2，即为log a xymin=23+2．当过C点时，直线与圆相切，d=r=4=4−Z2，解得：Zmax=4+42，即为logaxymax=4+42．所以：logaxy的取值范围是23+2,4+42．第二部分22+32 ．化简得： c − 1 = 7．即 c = −6 或 c = 8． sin θ = 0的两个不等的实根，得到 a + b = −tan θ −tan θ，sin θ ，所以直线 l AB : y = b + a x − a +b + a +b ．x y 113. B 【解析】 3 5 1 = 5x − 2y + 9 + 10 − 3y − 3x = 0，整理得：2x − 5y + 19 = 0．−2 3 1由当 x = −2，y = 3 时，2x − 5y + 19 = −2 × 2 − 5 × 3 + 19 = 0，故 −2,3 在直线上，当 x = 4，y = 7 时，2x − 5y + 19 = 8 − 35 + 19 = 8 ≠ 0， 所以 4,7 不在直线上，当 x = 3，y = 5 时，2x − 5y + 19 = 6 − 25 + 19 = 0， 所以 3,5 在直线上，当 x = 0.5，y = 4 时，2x − 5y + 19 = 1 − 20 + 19 = 0， 所以 0.5,4 在直线上． 14. C 【解析】解法一：因为直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线斜率不变， 故设对称后的直线方程 l ʹ 为 2x + 3y + c = 0， 又因为点 1, −1 到两直线距离相等．所以 2−3+c 22+32= 2−3−6所以 l ʹ 方程为 2x + 3y − 6 = 0（舍）或2x + 3y + 8 = 0， 直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线方程是 2x + 3y + 8 = 0． 解法二：在直线 2x + 3y − 6 = 0 上任选两点，比如 A 0,2 ，B 3,0 ， 所以点 A ，B 关于点 1, −1 对称的点 Aʹ，Bʹ 在所求直线上． 因为 A 与 Aʹ 的中点为点 1, −1 ，所以点 Aʹ 2, −4 ，同理可得 Bʹ −1, −2 ． 由两点式得直线 AʹBʹ 方程为：2x + 3y + 8 = 0．15. A【解析】由已知得 CB ⋅ AC + AB = 0，即 BC 边的中线即为高，所以 AB = AC ．16. B 【解析】由 a 和 b 为方程 x 2 + x 1 1ab = −1又 A a , a 2，B b , b 2 ， 得到直线 AB 的斜率 k = a2−b 2a−b= a + b ，线段 AB 的中点坐标为a +b , a 2+b 2 2 2，2 22 2由圆 x 2 + y 2 = 1，得到圆心坐标为 0,0 ，半径 r = 1，则圆心到直线 AB 的距离a 2+b 2 − −3m −m = −m 2 − 3m = −m m + 3 ，= −m − 3，D y = 1 设 2t a + 7b ≠ −k ⋅ a + t b （k > 0），则 7 ≠ −kt , 得 t ≠ ± 14，d==a +b 2 2 2 12 + a + b 2a +b 2−2ab a +b 22 2 12 + a + b 2===1 = r .ab12 + a + b1 sin θ1 1+tan 2θ2所以直线 AB 与圆的位置关系是相切．第三部分17. 由题意得，D = m 1则 D x = −1 1 m −1 2m + 3 −m 3m 2m + 3= 2m 2 + 6m = 2m m + 3 ，（1）当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，D ≠ 0，原方程组有唯一组解，所以 x =1 D × D x = m ，y =1 D× D y = −2，（2）当 m = 0 时，D = 0，D x = −3 ≠ 0，原方程组无解；（3）当 m = −3 时，D = 0，D x = 0，D y = 0，原方程组有无穷组解．综上，当 m = 0 时，无解；当 m = −3 时，无穷解；当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，有唯一解，x = 1 ， my = −2．18. 由题意可得 a ⋅ b = 2 × 1 × cos60∘ = 1，设向量 2t a + 7b 与向量 a + t b 的夹角为 θ，则 θ ∈ 90∘, 180∘ ，则有 cos θ < 0，且 cos θ ≠ −1．即 2t a + 7b 与向量 a + t b 的不能反向共线，且向量数量积 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，2t ≠ −k , 2由 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，得 2t a 2 + 7t b 2 + 2t 2 + 7 a ⋅ b < 0， 所以 2t 2 + 15t + 7 < 0，解得 −7 < t < − 1 且 t ≠ ±14， 22故实数 t 的取值范围为 t− 7 < t < − 1 , 且t ≠ −214 2．19. （1） 设直线 l 的方程为：y − 3 = k x − 1 k < 0 ，可得与坐标轴的交点分别为 A 0,3 − k ，B 1 − 3 , 0 ．k所以第7页（共9页）−k ≥4+2−k−k=3+3=1．，2所以△PQR的外接圆C2的半径的平方=m+4k2，4k2=m2π1+k2>1，所以S2>mπ．13△??ABO=3−k1−2k19=−k++62−k19≥2−k×+62−k=6,当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值为6，此时直线l的方程为：y−3=−3x−1，化为3x+y−6=0．（2）由（Ⅰ）知直线l与两坐标轴截距之和=3−k+1−3=4+−k+k4+23，当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴截距之和的最小值为4+23，所以此时直线l的方程为：x+y1+33⋅320.（1）设AD中点为P x,y，由中点坐标公式可知，D点坐标为2x,2y−2，因为D点在圆x2+y2=16上，所以2x2+2y−22=16．故线段AD中点的轨迹方程为x2+y−12=4．（2）过点A且斜率为−3的直线方程为3x+4y−8=0，由（1）知，曲线E是以0,1为圆心，42为半径的圆，所以圆心到直线3x+4y−8=0的距离d=所以线段MN的长度为24−16=421．2554−832+42=4，521.（1）由题意，设tanα=k，则sinα=kk2+1所以△PQR的面积S1=2×1×因为0<k<1，1+k2kk2+1rm=k rm，k2+1所以0<S1<mr．（2）由题意得，PQ的垂直平分线方程为y=−1x，OR的垂直平分线方程为x=m，k2联立可得△PQR的外接圆C2的圆心坐标为m2,−m，2k24m2所以S2=π⋅m2+m21．4第8页（共9页）第9页（共9页）。
【小初高学习】高二数学上学期期中试卷(含解析)2
2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
上海市南洋模范中学2016-2017学年高二上学期期中考试化学试题 Word版含答案
2016学年第一学期南模中学高二年级化学学科期中考试卷（等级考）可能用到的相对原子质量：Na-23 C-12 H-1 O-16 Na-23 Al-27一、选择题（本题共40分，每小题2分，只有一个正确选项）1、符号“3P x”没有给出的信息是（）A、电子层B、电子亚层C、电子云的伸展方向D、电子的自旋2、某元素的离子带2个单位正电荷，它的核外电子排布为此元素在周期表中的位置是（）A、第二周期零族B、第三周期ⅡA族C、第二周期ⅥA族D、第三周期IIA3、下列有关金属的描述正确的是（）A、金属都是银白色、都有金属光泽，能导电、导热，有延展性B、金属在常温下都是固体C、短周期中，导电导热性最好的金属是AlD、在周期表中就是的种类比非金属少4、下列各项中，能得到氢氧化铝的是（）A、氧化铝加到热水中B、NaAlO2溶液中加入足量CO2C、铝投入氨水中D、NaOH溶液中滴入少量AlCl3溶液5、化学与生产、生活息息相关,下列叙述错误的是（）A、铝罐久盛食醋B、氢氧化铝可做胃酸的中和剂C、铁表而镀锌可以增强其抗腐蚀性D、含重金属离子的电镀废液不能随意排放6、元素性质呈现周期性变化的根本原因是（）A、元素原子电子层数增大B、元素的化合价呈现周期性变化C、元素原子最外层电子数呈现周期性变化D、核电荷数依次增大7、上海世博园地区的一座大型钢铁厂搬迁后，附近居民将不再受到该厂产生的棕红色烟雾的困扰。
你估计这一空气污染物可能含有（）A、FeO粉尘B、Fe2O3粉尘C、Fe粉尘D、碳粉8、最近，科学家冶炼出了纯度高达99.999 9%的铁，你估计它不会具有的性质是()A、硬度比生铁低B、与4 mol·L-1的HCl反应时速率比生铁快C、在冷的浓硫酸中可钝化D、在潮湿的空气中不易生锈9、在下列混合溶液中,加入过量的氨水产生沉淀,再加入过量的氢气化钠溶液,沉淀消失的是()A、NaCl和MgCl2B、NaNO3和AgNO3C、K2SO4和Al2(SO4)3D、MgCl2和AlCl310、要从含Al3+、Fe3+、Ba2+、Ag+的溶液中分别沉淀出Fe3+、Ba2+、Ag+，加入试剂的顺序正确的是（）A、HCl、H2SO4、NaOHB、NaOH、HCl、H2SO4C、HCl、H2SO4、NH3·H2OD、HCl、NaOH、H2SO411、在前一种分散系中慢慢滴加后一种试剂，能观察到先有沉淀生成后变澄清的是()①氯化铝溶液中滴加氢氧化钠溶液②偏铝酸钠溶液中滴加盐酸③氢氧化钠溶液中滴加氯化铝溶液④氯化铝溶液中滴加氨水A．①②B．②③④C．①②④D．③④12、人体正常的血红蛋白中应含Fe2＋。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分 得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为 。
2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是 。
3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为 。
4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。
5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。
6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是 。
7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是 。
8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为 。
9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。
10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =， 上述命题中，真命题的个数是 。
11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为 。
12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是 。
上海市南洋模范中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学试卷(word版含答案)
2016年南模中学高二第二学期期中考试试卷2017.04一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 两两平行的三条直线，最多可以确定 个平a 面.2. 若()()12z i a i =--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 .3.若()()1,,2,2,1,1a b λ==- ，a 与b 的夹角为60 ，则λ的值为 .4.若复数z 满足()2z i z =-（i 为虚数单位），则z = .5．若一个长方体顶点的三个面的面对角线分别是a,b,c ，则长方体的体对角线长是 . （用a,b,c 表示）6.关于x 的方程()220x mx m R ++=∈的一个根是()1m m R ++∈，则m n += .7.若圆锥的底面周长是2π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 .8.一个水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形ABCD,如图所示，45,1,ABC AB AD DC BC ∠===⊥ 则原平面图形的周长为 .9.设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V = . 10.如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在平面上，AB=AC=1，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则半球（不含底面）的面积为 .11.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大的面积为 .12.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可以用来求螺旋体的体积.现介绍用祖暅原理求球体体积的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .二、选择题：13．若,a b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题是A. 若,a a b α⊥⊥，则//b αB. 若//,a a b α⊥，则b α⊥C.若,a b αα⊥⊆，则a b ⊥D. 若//,//a b αα，则//a b14．已知命题：“若,a b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线,a b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若,a b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与,a b 均异面且距离也为d 的直线的条数为A. 0条B. 1条C. 多于1条，但为有限条D.无数多条15．如图，在正方体ABCD 中，,E F 分别为线段,AD BC 上的点，20,30ABE CDF ∠=∠=,将ABE ∆绕直线BE ，将CDF ∆绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转的过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为A. 40B. 50C. 60D. 7016．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成角分别是12,θθ（12,θθ均不为0），若12θθ=，则动点P 的轨迹是那种曲线的一部分A. 直线B. 圆C. 椭圆D.抛物线三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）在北纬30 线上有A,B 两点，它们分别在东经50 与东经140 的经线上，又有点C 在东经50 ，南纬15 线上，设地球半径为R ，求（1）A,C 两地的球面距离；（2）A,B 两地的球面距离（用R 表示）.18.（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,.4AB AC AA AB AC ABC π⊥===∠=,,D M N 分别是111,,CC A B BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面AND 的距离.19.（本题满分14分）已知z C ∈，且满足()252.z z z i i ++=+（1）求z ；（2）若m R ∈，zi m ω=+，求证：1ω≥.20.（本题满分16分）如图，在直角梯形PBCD 中，PB//DC,DC BC ⊥,PB=BC=2CD=2，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAD θ∠=.（1）当θ为直角时，求直线PC 与平面PAD 所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P-ABD （3）在（2）的条件下，求此时二面角D PB A --的大小.21.（本题满分16分）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系O xyz -中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程(),,0F x y z =.（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点()000,,P x y z ，法向量为(),,n A B C = 的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在,,x y z 轴上的截距分别为a,b,c 的平面的截距式方程（不需要证明）；（2）设12,F F 为空间中的两个定点，122F F C =，我们将曲面Γ定义为满足122()PF PF a a c +=>的动点P 的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系O xyz -，求曲面Γ的方程；（3）对（2）中的曲面Γ，指出和证明曲面C的对称性，并画出曲面Γ的直观图.。
2023-2024学年上海市南洋模范中学高二上学期期中考试数学试卷含详解
南模中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知空间中两条直线,a b ，“a b ⊥ ”是“a 与b 相交”的__________条件.（选填“充分非必要”，“必要非充分”，“既非充分又非必要”，“充要”）2.已知()()0,1,,0,,3a m b n ==-分别是平面,αβ的法向量，且//αβ，则mn =__________.3.若圆锥高为3，且母线与底面所成角为4arccos5，则该圆锥的侧面积为______.4.已知,a b均为空间单位向量，且它们的夹角为60︒，则2a b +=r r ______．5.如图，点C 在圆锥PO 的底面圆O 上，AB 是直径，8AB =，30BAC ∠=︒，圆锥的母线与底面成的角为60︒，则点A 到平面PBC 的距离为_____．6.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．7.现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知116,2AB A B ==，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时________分钟．8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E ､F ､G 分别为棱AB ､1AA ､11C D的中点，则下列结论中（1）过E ､F ､G 三点作正方体的截面，所得截面面积为334（2）1B C与平面11B D DB所成的角为：60︒（3）异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22（4）四面体11A CB D -的体积等于12；其中正确的结论________；9.用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为[]1.52cos ,,y x x ππ=+∈-，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是__________.10.如图，棱长为1的正方体12345678A A A A A A A A -的八个顶点分别为128,,,A A A ，记正方体12条棱的中点分别为91020,,,A A A ，6个面的中心为212226,,,A A A ，正方体的中心为27A .记117j jm A A A A =⋅ ，}7{1,22j ∈⋯，，，其中17A A 是正方体的体对角线.则1227m m m ++⋯+=________.11.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____.12.空间内存在三点A 、B 、C ，满足1AB AC BC ===，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A 、B 、C 可以组成正四棱锥，求方案数为______．二､选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则BM =（）A.1122-+ a b c B.1122++a b c C.1122--+ a b cD.1122a b c-++ 14.有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为10cm ，圆柱部分高度为2cm ，则初始状态的沙子高度h 为（）A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm15.已知两个不同平面,αβ和三条不重合的直线,,a b c ，则下列命题：（1）若b αβ= ，a b ，则a α且aβ.（2）若平面α内有不在同一直线的三点A B C ､､到平面β的距离都相等，则α β；（3）若,αβ分别经过两异面直线,a b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交；（4）若,,a b c 是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与,,a b c 都相交.其中正确的命题是（）.A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（2）（4） D.（3）（4）16.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有．A.4个B.6个C.10个D.14个三､解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分）17.已知空间中三点()2,0,2A -、()1,1,2B --、()3,0,4C -，设a AB = ，b AC =．（1）若3c = ，且//c BC ，求向量c；（2）求以a 、b为一组邻边的平行四边形的面积S ．18.亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥1P O -与一个圆柱1OO 构成的几何体Ω（如图2）.一般地，设圆锥1P O -中母线与底面所成角的大小为α，当2035α︒<<︒时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米.（1）求几何体Ω的体积；（2）如图2，设E 为圆柱底面半圆弧CD 的三等分点，求圆柱母线EF 和圆锥母线PB 所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.19.在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，且BC AB BD ==，MCB MCD ∠=∠．（1）求异面直线BD 与MC 所成角的余弦值；（2）若2CM =，2CD =，二面角B CM D --的平面角的余弦值为725，求DCM ∠的正弦值．20.如图，在等腰梯形ABCD 中，BC AD ∥，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，点O ，F 分别为BE ，DE 的中点，将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，使得平面1A BE ⊥平面BCDE （如图）.（1）求证：1AO CE ⊥；（2）求直线1A B 与平面1A CE 所成角的正弦值；（3）侧棱1AC 上是否存在点P ，使得BP ∥平面1A OF ？若存在，求出11A PA C的值；若不存在，请说明理由21.在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB A C 分别交于点F ，G．（1）若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；（3）设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．南模中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知空间中两条直线,a b ，“a b ⊥ ”是“a 与b 相交”的__________条件.（选填“充分非必要”，“必要非充分”，“既非充分又非必要”，“充要”）【答案】既非充分又非必要【分析】根据空间中的直线位置关系及两直线的向量关系，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】对于空间中两条直线,a b ，若a b ⊥ ，则a b ⊥r r ，此时直线a 与b 垂直，但不一定相交，异面直线垂直也叫直线互相垂直，所以“a b ⊥”推不出“a 与b 相交”；反之，若直线a 与b 相交，则两直线夹角不一定为直角，即a b ⊥r r不一定成立，所以“a 与b 相交”推不出“a b ⊥”；所以“a b ⊥”是“a 与b 相交”的既非充分又非必要条件.故答案为：既非充分又非必要2.已知()()0,1,,0,,3a m b n ==-分别是平面,αβ的法向量，且//αβ，则mn =__________.【答案】3-【分析】利用平面法向量的定义以及面面平行的性质可知//a b，再由向量平行的坐标表示即可得3=-mn .【详解】根据题意可知，若//αβ则可知//a b，又()()0,1,,0,,3a m b n ==-可得13m n =-，即可得3=-mn .故答案为：3-3.若圆锥高为3，且母线与底面所成角为4arccos 5，则该圆锥的侧面积为______.【答案】20π【分析】由题意求出底面半径，进而求母线长、底面周长，应用扇形面积公式求圆锥侧面积.【详解】若底面半径为r45=，可得4r =，所以，底面周长为2π8πr =5=，故圆锥侧面积为18π520π2⨯⨯=.故答案为：20π4.已知,a b均为空间单位向量，且它们的夹角为60︒，则2a b +=r r ______．【分析】根据条件可求出a b ⋅，然后根据2a b +=进行数量积的运算即可求解.【详解】因为1a b == ，,60a b =︒，所以1cos ,2a b a b a b ⋅== ，2a b +=5.如图，点C 在圆锥PO 的底面圆O 上，AB 是直径，8AB =，30BAC ∠=︒，圆锥的母线与底面成的角为60︒，则点A 到平面PBC 的距离为_____．【答案】8155【分析】先根据题意得到各棱长的长度，再利用等体积法P ABC A PBC V V --=求解点A 到平面PBC 的距离d 即可.【详解】依题意可知，底面直角ABC 中，8,4,AB BC AC ===，PO ⊥底面ABC ，圆锥的母线与底面成的角为60︒，即60PBA ∠=︒，故8PC PA PB AB ====，PO =，设点A 到平面PBC 的距离为d ，则利用等体积法P ABC A PBC V V --=，故1111443232d ⎛⎛⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝⎝，解得8155d =.故答案为：8155.6.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．【答案】144π【分析】设球心为O ，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可.【详解】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则OA =，由截面圆的周长为6π，得26AB ππ⨯=，∴3AB =，6==．所以该球的表面积为246=144ππ⨯.故答案为：144π.7.现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知116,2AB A B ==，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时________分钟．【答案】19.【分析】不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为2h ，由题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，则答可求，【详解】不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为2h ，由116,2AB A B ==，正四棱台的中截面是边长为4的正方形，当水的高度是四棱台高度的一半时，甲容器内水的容积为()128481633h h ++=设水流速度为v ，则2873v h =，43v h =当乙容器中水的高度是四棱台高度的一半时，水的容积为()71362433616h h ++=当水的高度是四棱台高度的一半时用时为3193764hh =分钟.故答案为：19.8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E ､F ､G 分别为棱AB ､1AA､11C D 的中点，则下列结论中（1）过E ､F ､G 三点作正方体的截面，所得截面面积为4（2）1B C 与平面11B D DB 所成的角为：60︒（3）异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2（4）四面体11A CB D -的体积等于12；其中正确的结论________；【答案】（1）（3）【分析】对于（1），作出截面，直接计算其面积即可；对于（2），连接BD ，交AC 于O ，连接1OB ，则1OB C ∠是1B C 与平面11B D DB 所成的角，然后计算即可；对于（3），连接1A B ，则11A BD ∠异面直线EF 与1BD 所成角，然后计算；对于（4），由于1111A CB D B ACD V V --=，所以计算11B ACD V -即可【详解】解：（1）如图，过E ､F ､G 三点的截面为正六边形EFHGKL ，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以正六边形EFHGKL 的边长为22，所以正六边形EFHGKL 的面积为26424⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，所以（1）正确；对于（2），连接BD ，交AC 于O ，连接1OB ，因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，因为AC BD ⊥，1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11B D DB ，所以1OB C ∠是1B C 与平面11B D DB 所成的角，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以11222B C OC AC ===，所以111sin 2OC OB C B C ∠==，所以130OB C ∠=︒，所以（2）错误；对于（3），连接1A B ，因为点E ､F 分别为棱AB ､1AA 的中点，所以EF ∥1A B ，所以11A BD ∠是异面直线EF 与1BD所成角，则111112tan 2A D A BD A B ∠===，所以异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22，所以（3）正确；对于（4），因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以点1B 到平面1ACD 的距离为11333DB =，所以111112111333436A CB D B ACD ACD V V S --==⋅=⨯⨯⨯= ，所以（4）错误，故答案为：（1）（3）9.用一个平面将圆柱切割成如下图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为[]1.5,,y x x ππ=+∈-，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是__________.【答案】3【分析】根据已知画出 1.5y x =+在[π,π]-上的图象，直观想象侧面展开图与几何体的关系确定截面最高、低高度差及底面半径，即可求二面角正弦值.【详解】由 1.52cos y x =+在一个周期[π,π]-上图象如图，其最大值与最小值相差22，即截面的最高处与最低处的高度差为22，底面周长为2π，即底面半径为1，故直径为2，所以平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是222263(22)2=+.故答案为：6310.如图，棱长为1的正方体12345678A A A A A A A A -的八个顶点分别为128,,,A A A ，记正方体12条棱的中点分别为91020,,,A A A ，6个面的中心为212226,,,A A A ，正方体的中心为27A .记117j j m A A A A =⋅，}7{1,22j ∈⋯，，，其中17A A 是正方体的体对角线.则1227m m m ++⋯+=________.【答案】812##40.5【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算，可求1227m m m ++⋯+的值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0A ，()21,0,0A ，()31,1,0A ，()40,1,0A ，()50,0,1A ，()61,0,1A ，()71,1,1A ，()80,1,1A ，设向量()1,,j A A x y z = ，而()171,1,1A A =，故117j j m A A A A x y z =⋅=++，故1227m m m ++⋯+表示各点的坐标和的和.现各点的横坐标之和为X ，纵坐标之和为Y ，竖坐标之和为Z ，根据对称性可得1271990922X Y Z ===⨯+⨯+⨯=，故12272781322m m m ++⋯+=⨯=，故答案为：812.【点睛】方法点睛：对于一些较为复杂的计算问题，如果直接算比较麻烦，则可以换一个等价的计算方法，从而使得问题得以简化.11.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____.【答案】22123+【分析】首先确定半球形容器的半径最小时，三个小球与半球、及三个小球之间的位置关系，进而确定球心、切点的位置关系，根据已知求容器半径.【详解】当半球形容器的半径最小，即三个小球与半球球面都相切，且各切点与对应小球球心、半球球心共线，各小球两两也相切，此时三个小球球心在桌面上投影所成正三角形的中心，即为半球最大圆的圆心（也为球心），如下图示：,,A B C 为三个小球球心，,,D E F 分别为它们在桌面上的投影，O 为半球球心，所以,ABC DEF 为边长为4的等边三角形，故2343323DO DF =⨯⋅=，而2AD =，故3AO ===，所以半球最小半径为223AO +=+.故答案为：22123+12.空间内存在三点A 、B 、C ，满足1AB AC BC ===，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A 、B 、C 可以组成正四棱锥，求方案数为______．【答案】9【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论ABC 为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合ABC 三边的轮换对称性即可得解.【详解】因为空间中有三个点、、A B C ，且1AB BC CA ===，不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑ABC 三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：第一种：ABC 为正四棱锥的侧面，如图1，此时,,AB BC AC 分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;不妨以BC 为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，考虑到ABC 三边的轮换对称性，故而总情况有6种；第二种：ABC 为正四棱锥的对角面，如图2，此时,,AB BC AC 分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;不好以BC 为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，考虑到ABC 三边的轮换对称性，故而总情况有3种；综上所述：总共有9种情况.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到ABC 为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合ABC 三边的轮换对称性即可得解.二､选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则BM = （）A.1122-+ a b c B.1122++a b c C.1122--+ a b cD.1122a b c-++ 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.【详解】1111111111111()()()22222BM BB B M BB A D A B AA AD AB c b a a b c =+=+-=+-=+-=-++.故选：D14.有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为10cm ，圆柱部分高度为2cm ，则初始状态的沙子高度h 为（）A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm【答案】C【分析】先根据题意求得圆锥高度2h ，再利用体积相等求得初始状态圆柱部分沙子的高度h '，由此得解.【详解】如图，设初始状态圆柱部分沙子的高度为h '，沙漏下半部分的圆柱高度为1h ，圆锥高度为2h ，上、下底面半径为r ，则12cm h =，又沙漏总高度为10cm ，则()2111023cm 2h h ==-，所以222211πππ3r h r h r h '⋅+⋅=⋅，即2221π3ππ23r r h r '⨯+⋅=⨯，解得1'=h ，所以初始状态的沙子高度为24cm h h '+=.故选：C.15.已知两个不同平面,αβ和三条不重合的直线,,a b c ，则下列命题：（1）若b αβ= ，a b ，则a α且aβ.（2）若平面α内有不在同一直线的三点A B C ､､到平面β的距离都相等，则α β；（3）若,αβ分别经过两异面直线,a b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交；（4）若,,a b c 是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与,,a b c 都相交.其中正确的命题是（）.A.（1）（3）B.（2）（4） C.（1）（2）（4） D.（3）（4）【答案】D【分析】简单的反例可以否定（1），（2），利用反证法，借助平行公理可以判断（3），通过较为复杂的构造与证明，可以判断（4）.【详解】对于（1），若,b a αβ⋂= b ，则a α或aβ，或,a a αβ⊂⊂，故（1）错误；对于（2），一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面可能相交也可能平行，例如：在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别为棱1111,,,AD BC B C A D 的中点，记平面ABCD 为平面α，平面MNPQ 为平面β，如图：平面ABCD 中的点,,A B C 到平面MNPQ 的距离均相等，但是平面ABCD 与平面MNPQ 相交，不平行，故（2）错误；对于（3），假若c既不与a相交，也不与b相交，由于a,c都在α内，故a,c平行，同理b,c平行，根据平行公理得到a,b平行，与已知a,b为异面直线矛盾，故（3）正确；对于（4），如图所示，a，b，c是异面直线，上下两个平面α，β是分别通过a,c中的一条而与另一条平行的平面，直线b与这两个平面都相交，交点A,B都不在直线a,c上.∉，则直线a与点P确定一个平面，在直线b上任取一点不同于A,B的点P，由于a,b异面，所以P a可知这平面与直线c相交，设交点为Q,连接PQ的直线与直线a必然相交（否则，这条线必在平面β内)，由于P点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a,b,c都相交，故（4）正确.故选：D-表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合16.如图，设P为正四面体A BCD记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有．A.4个B.6个C.10个D.14个【答案】C【详解】试卷分析：分以下两种情况讨论：（1）点P到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点P位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点P在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C.考点：新定义三､解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分）17.已知空间中三点()2,0,2A -、()1,1,2B --、()3,0,4C -，设a AB = ，b AC =．（1）若3c = ，且//c BC ，求向量c；（2）求以a 、b为一组邻边的平行四边形的面积S ．【答案】（1）()2,1,2-或()2,1,2--（2）3【分析】（1）首先求出BC 的坐标，由//c BC ，可设c mBC =，利用3c = ，求出参数的值，即可求出结果．（2）求出()1,1,0AB =-- ，()1,0,2AC =- ，()2,1,2BC =- ，cos ,||||AB ACAB AC AB AC ⋅<>=⋅，再由同角三角函数的基本关系求出sin ,AB AC <>，最后由面积公式求解.【小问1详解】因为()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，a AB = ，b AC =，所以()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=-- ，()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-，(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-，3c = ，且//c BC ，设c mBC = ∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-，33c m ∴===，解得1m =±，∴()2,1,2c =-r 或()2,1,2c =--．【小问2详解】因为()1,1,0AB =-- ，()1,0,2AC =- ，()2,1,2BC =-1AB AC ∴⋅=- ，AB =AC =10cos ,10||||AB ACAB AC AB AC ⋅∴<>==--⋅，310sin ,10AB AC ∴<>=== ，sin ,S AB AC AB AC ∴=⨯⨯<>3=.18.亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥1P O -与一个圆柱1OO 构成的几何体Ω（如图2）.一般地，设圆锥1P O -中母线与底面所成角的大小为α，当2035α︒<<︒时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米.（1）求几何体Ω的体积；（2）如图2，设E 为圆柱底面半圆弧CD 的三等分点，求圆柱母线EF 和圆锥母线PB 所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.【答案】（1）15.125π（2）53，该亭子满足建筑要求【分析】（1）利用柱体，锥体的体积公式计算即可；（2）连接1PO ，1BO ，可得1BPO ∠为圆柱母线EF 和圆锥母线PB 所成的角，求解即可．【小问1详解】圆柱的体积221ππ2312πV r h ==⨯⨯=，圆锥的体积为222111π 2.5 1.5 3.125π33V R h =⋅=⨯⨯=，∴几何体Ω的体积1215.125πV V V =+=；【小问2详解】连接1PO ，1BO ，根据题意可得1//PO FE ，1BPO ∴∠为圆柱母线EF 和圆锥母线PB 所成的角，1 2.5BO = ，1 1.5PO =，342PB ==，1 2.55tan 1.53BPO ∴∠==，∴圆柱母线EF 和圆锥母线PB 所在异面直线所成角的正切值为53.又1334sin 0.514534PO PB α===≈，因为sin 350.5736︒≈，所以3035α︒<<︒，故该亭子满足建筑要求.19.在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，且BC AB BD ==，MCB MCD ∠=∠．（1）求异面直线BD 与MC 所成角的余弦值；（2）若2CM =，2CD =，二面角B CM D --的平面角的余弦值为725，求DCM ∠的正弦值．【答案】（1）0；（2）56.【分析】（1）首先设AC 与BD 的交点为O ，连接MO .根据已知及三角形全等的性质可证明BD ⊥面MAC ，即可得到异面直线BD 与MC 所成角的余弦值.（2）首先作DF CM ⊥于点F ，连接BF ，易证CDF CBF ≌，得到BF CM ⊥，即BFD ∠为二面角B CM D --的一个平面角，再利用余弦定理即可得到DCM ∠的正弦值.【详解】（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO.因为四边形ABCD 是平行四边形，且BC AB CD ==，所以四边形ABCD 是菱形.因为MCB MCD ∠=∠，BC CD =，MC MC =，所以MCB MCD ≌，MB MD =.又因为BO DO =，MO MO =，及MB MD =，所以MOB MOD ≌，2BOM DOM π∠=∠=，即MO BD ⊥，MO BD AC BD BD AC MO O ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面MAC BD MC ⇒⊥.故异面直线BD 与MC 夹角的余弦值为0.（2）作DF CM ⊥于点F ，连接BF，因为MCB MCD ∠=∠，CB CD =，CF CF =，所以CDF CBF ≌，所以DFC BFC ∠=∠，BF DF =，BF CM ⊥，即BFD ∠为二面角B CM D --的一个平面角，设DCM θ∠=，则2sin BF DF θ==，222222(2sin )(2sin )47cos 22(2sin )25BF DF BD BFD BF DF θθθ+-+-∠===⋅，解得，5sin 6θ=.所以DCM ∠的正弦值为56．【点睛】本题第一问考查异面直线成角问题，第二问考查二面角的计算，属于中档题.20.如图，在等腰梯形ABCD 中，BC AD ∥，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，点O ，F 分别为BE ，DE 的中点，将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，使得平面1A BE ⊥平面BCDE （如图）.（1）求证：1AO CE ⊥；（2）求直线1A B 与平面1A CE 所成角的正弦值；（3）侧棱1AC 上是否存在点P ，使得BP ∥平面1A OF ？若存在，求出11A P A C的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）155；（3）1113A P A C =.【分析】（1）要证1AO CE ⊥，只需证明1A O ⊥平面BCDE 即可；（2）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，确定出点1,,,A B C E 坐标，求出平面1A CE 的法向量坐标，即可求解；（3）假设满足条件的点P 存在，设11A P A C λ= ，[]0,1λ∈，由四边形BCDE 为菱形，且EC BD ⊥，结合（1）可知，EC ⊥平面1A OF ，得到EC 为平面1A OF 的一个法向量，据此可求解11A P A C 的值.【详解】（1）如图1，在等腰梯形ABCD 中，由BC AD ∥，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，所以ABE 为等边三角形.如图2，因为O 为BE 的中点，所以1A O BE ⊥，又因为平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE Ç平面BCDE BE =，所以1A O ⊥平面BCDE ，所以1AO CE ⊥.（2）连结OC ，由已知得CB CE =，又O 为BE 的中点，所以OC BE ⊥，由（1）知1A O ⊥平面BCDE ，所以1A O BE ⊥，1A O OC ⊥，1A O ∴，OB ，OC 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系（如图），(1,0,0),(1,0,0)B C E -，111(1,0,A A B EC EA === ，设平面1A CE 的法向量为(,,)n x y z =，100n EC n EA ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，则1x z ==，∴平面1A CE的一个法向量为(n = ，设1A B 与平面1A CE 所成角为α，111||15sin |cos ,|5||||A B n A B n A B n α⋅=<>=== ，所以直线1A B 与平面1A CE 所成角的正弦值为155；（3）假设侧棱1AC 上存在点P ，使得BP ∥平面1A OF ，设[]11,),0,1A P A C λλ==∈，11()BP BA A P =+=- ，由四边形BCDE 为菱形，∴EC BD ⊥，,O F 分别为,EB ED 中点，,OF BD OF EC ∴∴⊥ ，由（1）得11,,A O EC A O OF O CE ⊥=∴⊥ 平面1A OF ，CE ∴ 是平面1A OF 的一个法向量，BP 平面1A OF ，1130,3EC BP λλ∴⋅=-+== ，所以满足条件的点P 存在，且1113A P A C =【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，证明直线与直线垂直、用向量法求直线与平面所成的角以及存在性问题，注意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.21.在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB A C 分别交于点F ，G．（1）若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；（3）设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【答案】（1）点G 为棱11A C 上靠近点1C 的三等分点，理由见解析（2）213（3）94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）延长1CC ，FE 相交于点P ，证明113GC AC =，可确定点G 的位置；（2）利用几何方法找到截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值；（3）由()22120121212212S S S S S S S S S S S +==++，通过构造函数，利用单调性求取值范围．【小问1详解】在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11A C 上靠近点1C 的三等分点．【小问2详解】在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以GM AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60ACB ∠= ，132222ABC S =⨯⨯⨯=△，332AQC S = ，由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ =33122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得7CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值为213.【小问3详解】设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG m GA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S S S S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212*********t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以20121221924,2S S S S S S S ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：空间图形中确定点在直线上的位置，三角形相似和比例线段比较常用；作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；边长比、面积比的限值范围，可以通过构造函数，利用单调性解决.。
上海南洋模范高三数学期中考试题
上海南洋模范高三年级数学学科期中考试题（时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1、已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=________________.2、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=_________________.3、函数41y x x =+-的值域为__________________, 4、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为____________.5、设(),0,ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则12g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______________.6、某班委由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一名女生当选的概率________________（用分数作答）。
7、若偶函数()f x 在(],0-∞上为增函数，则不等式()()212f x f x +>-的解集____. 8、函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，若()1y f x -=是()y f x =的反函数，则()122y f x x -=-的单调递增区间是____________________.9、将函数2log y x =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的(0)m m >倍，得到图象C ，若将2log y x =的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m =_____. 10、如果4x π≤，那么函数()2cos sin f x x x =+的最小值是_______________.11、设()(),22x x x xe e e ef xg x --+-==，计算()()()()()13134f g g f g +-=______，()()()()()32325f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是此等式的特例，这个等式是_________________. 12、函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =_______. 13、已知函数()[]23,1,8f x x x =∈-，函数()[]2,1,8g x ax x =+∈-，若对任意[]11,8x ∈-，总存在[]21,8x ∈-使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是______. 14、（文）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若集合[]{}2110,242x A x x x B x ⎧⎫=--==<<⎨⎬⎩⎭，则A B =______________.14、（理）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若函数()()0,11x x a f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_________. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、15-16、设(),a -∞为()122xf x x -=-反函数的一个单调递增区间,则实数a 的取值范围为( )A 、2a ≤B 、2a ≥C 、2a ≤-D 、2a ≥- 17、如果一个函数()f x 满足：（1）定义域为R ；（2）任意12,x x R ∈,若120x x +=，则()()120f x f x +=；（3）任意x R ∈，若0t >,则()()f x t f x +>，则()f x 可以是( )A 、 3y x =B 、 3x y =C 、 31y x =+D 、 2y x = 18、现有两个命题：（1）若()lg lg lg x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()(),1,1xf x x x =∈+∞-的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q 。
上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．空间两直线所成的角大小的取值范围是.2．如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，则平面11A B C 与平面ABC 所成的锐二面角的大小为.3．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则l r =.4．以下四个命题中，所有真命题的序号为.①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形.5．正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为11A B 的中点，则异面直线AM ，1BD 所成的角的大小为.6．已知在圆锥SO 中，底面圆O 的直径2AB =，SAB △的面积为，点M 在母线SB 上，且13SM SB =，一只蚂蚁若从A 点出发，沿圆锥侧面爬行到达M 点，则它爬行的最短距离为.7．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12BB =，1AB AD ==，E 为1AA 的中点，则1A 点到平面DCE 的距离为.8．已知αβ､是两个相交平面，空间两条直线12l l ､在α上的射影是直线1212,,S S l l ､在β上的射影是直线12t t ､.用1S 与2S ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件：.9．已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为34R 和R ，高为2R ，将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中（不考虑外包装的厚度），则外包装盒的表面积的最小值为.10．已知正四面体ABCD 中，2AB =，1P ，2P ，L ，n P 在线段AB 上，且112AP PP ==1n n n PP P B -⋅⋅⋅==，过点()1,2,,k P k n =⋅⋅⋅作平行于直线AC ，BD 的平面，截面面积为k a ，则所有截面积之和为.（公式：()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）11．在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M 是棱1CC 的中点，N 是侧面11B BCC 内的动点，且满足直线1//A N 平面1AD M ，当直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小时，记过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为Ω，所有Ω的面积组成的集合记为S ，则S =．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,F P 分别为线段1AC 和平面1111D C B A 上的动点，点G 为线段1B C 的中点，则PGF 周长的最小值为.二、单选题13．如图、用斜二测画法作△ABC 的直观图得△111A B C ，其中1111A B B C =，11A D 是11B C 边上的中线，由图形可知，在△ABC （D 是BC 的中点）中，下列结论中正确的是（）A ．AB BC AC ==B ．AD BC⊥C ．AC AD AB BC>>>D ．AC AD AB BC>>=14．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B15．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为1V ､2V ､3V ，则（）A ．123V V V =+B ．222123V V V =+C ．222123111V V V =+D ．123111V V V=+16．已知P 是正方体1111ABCD A B C D -的中心，过点P 的直线l 与该正方体的表面交于E 、F 两点，现有如下命题：①线段EF 在正方体6个表面的投影长度为()1,2,,6i t i =⋅⋅⋅，则61i i t =∑为定值；②直线l 与正方体12条棱所成的夹角的()1,2,,12i i α=⋅⋅⋅，则1212cos i i α=∑为定值.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题17．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AD AB ==，12AA =，E ，F 分别是AB ，11A D 的中点.（1）求证：直线//EF 平面11BB D D ；（2）求直线EF 与平面11BCC B 所成角的正弦值.18．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点A 的曲率为2π3，N ，M分别为AB ，1CC 的中点，且AB AC =，12AA AB =.(1)求异面直线CN 和1B M 所成角；(2)求二面角11A MB C --的正切值.19．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数()21xf x x =+，()0x >的图像上，设C 、D 的纵坐标为t .(1)求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积()V t 和表面积()S t 关于t 的表达式；(2)求()V t 、()S t 的取值范围.20．对于函数()y F x =和数列、，若()n a F n =，()n F b n =，则称为函数=的“影数列”，为函数=的一个“镜数列”.已知()2f x x =，()2log g x x =，()2x h x x =+.(1)若为=的“影数列”，为=的“镜数列”，求24a b +的值；(2)在（1）的条件下，当5n ≥，n ∈N 时，比较n a 和n b 的大小，并说明理由；(3)若{}n c 为函数()y h x =的“影数列”，{}n d 为函数()y h x =的“镜数列”，现将{}n c 与{}n d 的公共项按从小到大的顺序重新构成数列{}n e ，试问在数列{}n e 中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.21．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AD =，2CD =，1A D ⊥平面ABCD ，1AA 与底面ABCD 所成角为θ，设直线1AC 与平面11AA D D ､平面ABCD ､平面11AA B B 所成角的大小分别为α，β，γ.(1)若2ADC θ∠=，求平行六面体1111ABCD A B C D -的体积V 的取值范围；(2)若2ADC θ∠=且4πθ=，求α，β，γ中的最大值；(3)若2ADC π∠=，()(){g max θαθ=，()βθ，()}γθ，（其中{max a ，}b 是指a ，b 中的最大的数），求()g θ的最小值.。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分得分值一、填空题： (本题共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分)21. 若 P 1PPP 2 ，设 5P 1P 2 PP 1 ，则 的值为 。
a 1x a 2 y a 42. 已知 { a n } 是等比数列，则方程组的解的个数是 。
a 5 x a 6 y a 83. 已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，sintan 3 )，则行列式1cos的值为。
4. 等边△ ABC 边长为 1，则 AB BC BC CA CA AB =。
5. 向量x 经矩阵y0 1 变换后得到矩阵1 02 ，则 x y。
36. 执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是 7，则输出 S 的值是。
7. 如果 3nlimn 11 n，那么 a 的取值范围是。
x3(a 1)38. 用数学归纳法证明 “ (n1)(n 2)...(n n) 2n1 3...(2 n 1) ”，从“ k到 k1 ”左端需增乘的代数式为。
9. 已知等差数列 { a n } 前 n 项和为S n ，若 OB a 1007 OA a 1008 OC ，且 A ， B ， C 三点共线 (不过原点 )，则S 2014 =。
10. 已知 a 与 b 均为非零向量， 给出下列命题： ①( a b) ( a) 2(b)2；② | a | a (a)2； ③若 a c b c ，则 a b ；④ (a c) b a (c b) ，上述命题中，真命题的个数是。
11. 在等差数列 { a n } 中， a 113 ，前 n 项和为 S n ，且 S 3 S 11 ，则使得 S n 最大的正整数 n 为。
12. 已知 A ， B ， C ， D 四点的坐标分别为 A(-1 ， 0)， B(1 ， 0)，C(0 ， 1)， D(2 ， 0)， P 是线段 CD 上的任意一点，则 AP BP 的最小值是。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案
4、计算： lim 4n n (2 n
2= 1)2
．
5、已知等比数列 an 中， a1 3, a4 81, 则该数列的通项 an
．
6、设 a 2, 3 , b 1,1 ， c 是 a b 的单位向量，则 c 的坐标是 7、等差数列 a n 中， a1 a4 a8 a12 a15 20 ，则 S15
（C） 65
（D） 65 5
16、一条曲线是用以下方法画成： ABC 是边长为 1 的正三角形，曲线 CA1、 A1A2、 A2 A3 分别
以 A、B、C 为圆心， AC、 BA1、 CA2 为半径画的弧， CA1A2A3 为曲线的第 1 圈，然后又以 A
为圆心， AA3 为半径画弧 ，这样画到第 n 圈，则所得曲线 CA1A2A3 A3n 2 A3n 1A3n 的总长
2.
10、 已知数列 an ，an
n 2 kn ，若 an 是递增数列， 则 k 的取值范围是 _____(
3 , ) ______
2
11、数列 an 中， a1 1,an 1 3an 2 ，则通项 an ______ 2 3n 1 1 _______ 。
12、如图所示：矩形 AnBn PnQn 的一边 An Bn 在 x 轴上，另两个顶点 Pn , Qn 在函数 f (x)
lim
n
Sn =
.
y
1 Qn
O An 1
Pn
Bn
x
1
二、选择题（每题 4 分，共 16 分）
13、用数学归纳法证明： 1
1
n1 n 2
1 nn
从“ k 到 k 1 ”左端需增加的代数式为
1 A
2k 1
1 B
[推荐学习]高二数学上学期期中试卷(含解析)2
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2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2015-2016年上海市南洋模范中学高二(上)期中数学试卷和答案
2015-2016学年上海市南洋模范中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）已知方程组，则其增广矩阵为．2．（4分）在三阶行列式中，5的余子式的值为．3．（4分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），则||等于．4．（4分）已知向量，则向量在向量的方向上的投影为．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为；6．（5分）经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量的直线l的点方向式为．7．（5分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．8．（5分）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x﹣y+1=0切与点P（2，﹣1）的圆的标准方程．9．（5分）设n∈N*，圆C n：（x﹣）2+（y﹣1）2=的面积为S n，则=．S10．（5分）（理）若圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6与圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的两个交点始终为圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的直径两个端点，则动点M（a，b）的轨迹方程为．11．（5分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．12．（5分）如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为．二、选择题（满分19分）13．（3分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1﹣，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．（﹣1﹣，﹣1）D．（﹣∞，﹣﹣1）15．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．+y2=116．（3分）已知数列{a n}的通项公式，则=（）A．﹣16096 B．﹣16104 C．﹣16112 D．﹣1612017．（3分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）18．（4分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R三、解答题（本大题满分75分）19．（12分）设A（﹣1，0），B（1，4），动点P满足•=4，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）若点Q是关于直线P关于直线y=x﹣4的对称点，求动点Q的轨迹方程．20．（16分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（13分）（1）已知△ABC的顶点A（1，1），B（3，2），C（2，4），求△ABC 的面积．（2）若△ABC的顶点A在直线y=x上运动，顶点B（6，8），顶点C在线段y=2x （3≤x≤5）上运动，且A、C、B三点的横坐标成等差数列，问△ABC的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．22．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且椭圆C过点（﹣，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB 的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．2015-2016学年上海市南洋模范中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）已知方程组，则其增广矩阵为．【解答】解：由题意，方程组可化为∴其增广矩阵为故答案为2．（4分）在三阶行列式中，5的余子式的值为﹣21．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．3．（4分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），则||等于．【解答】解：因为向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），所以=（2，1），所以||=；故答案为：．4．（4分）已知向量，则向量在向量的方向上的投影为．【解答】解：因为向量，而向量在向量的方向上的投影为：，∵又=，∴向量在向量的方向上的投影为：=．故答案为：．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为0；【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1S=3，i=2，不满足条件i＞4，S=4，i=3不满足条件i＞4，S=1，i=4不满足条件i＞4，S=0，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为0．故答案为：0．6．（5分）经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量的直线l的点方向式为．【解答】解：∵直线l经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量，故直线l的点向式方程为：，即，故答案为：7．（5分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，故答案为：．8．（5分）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x﹣y+1=0切与点P（2，﹣1）的圆的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2=2．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在2x+y=0上，∴2a+b=0，（1）∵CM与切线垂直，∴=1，（2），由（1）、（2），得a=1，b=﹣2，又∵M点在圆上，代入圆的方程得r2=2，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2=2．9．（5分）设n∈N*，圆C n：（x﹣）2+（y﹣1）2=的面积为S n，则S n=π．【解答】解：根据圆的标准方程得圆的面积；∴==．故答案为：π．10．（5分）（理）若圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6与圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的两个交点始终为圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的直径两个端点，则动点M（a，b）的轨迹方程为（a+1）2+（b+1）2=1．【解答】解：过圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6的圆心坐标M（a，b），圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的圆心（﹣1，﹣1），∴圆心距为：，∴；即：（a+1）2+（b+1）2=1．动点M（a，b）的轨迹方程为：（a+1）2+（b+1）2=1．故答案为：：（a+1）2+（b+1）2=111．（5分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．12．（5分）如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为[﹣，] ．【解答】解：设M（cosα，sinα），∵⊥，∴•=0，∴N（﹣sinα，cosα），∴=（﹣sinα，cosα），=（cosα，sinα），∴=（cosα﹣2，sinα），∴•=﹣sinα（cosα﹣2）+sinαcosα=sinα，∵sinα∈[﹣1，1]，∴sinα∈[﹣，]，∴•的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．二、选择题（满分19分）13．（3分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0k2+8k﹣9=0，k=﹣9或k=1，当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，∴l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B．14．（3分）P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1﹣，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．（﹣1﹣，﹣1）D．（﹣∞，﹣﹣1）【解答】解：设圆上任一点P的坐标为（cosα，sinα+1），即x=cosα，y=sinα+1，则x+y+c=cosα+sinα+1+c=[cosα+sinα]+1+c=sin（）+1+c≥0，即c≥﹣1﹣sin（），又因为﹣1≤sin（）≤1，所以得到：﹣1﹣≤﹣1﹣sin（）≤﹣1+，则c≥﹣1+．故选：B．15．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．+y2=1【解答】解：∵|BF2|=|F1F2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为+=1．故选：A．16．（3分）已知数列{a n}的通项公式，则=（）A．﹣16096 B．﹣16104 C．﹣16112 D．﹣16120【解答】解：∵数列{a n}的通项公式，∴=（a1a4﹣a2a3）+（a2a5﹣a3a4）+（a3a6﹣a4a5）+…+（a2012a2015﹣a2013a2014）==（﹣8）×2012=﹣16096．故选：A．17．（3分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．18．（4分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A．三、解答题（本大题满分75分）19．（12分）设A（﹣1，0），B（1，4），动点P满足•=4，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）若点Q是关于直线P关于直线y=x﹣4的对称点，求动点Q的轨迹方程．【解答】解：（1）设P（x，y），∵•=4，∴（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，4﹣y）=4，∴（﹣1﹣x）（1﹣x）+（﹣y）（4﹣y）=4，∴x2+y2﹣4y﹣5=0，（2）设Q（a，b），则∵点Q是点P关于直线y=x﹣4的对称点，∴，∴x=b+4，y=a﹣4，∴（b+4）2+（a﹣4）2﹣4（a﹣4）﹣5=0，即（y+4）2+（x﹣4）2﹣4（x﹣4）﹣5=0为Q的轨迹方程．20．（16分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．21．（13分）（1）已知△ABC的顶点A（1，1），B（3，2），C（2，4），求△ABC 的面积．（2）若△ABC的顶点A在直线y=x上运动，顶点B（6，8），顶点C在线段y=2x （3≤x≤5）上运动，且A、C、B三点的横坐标成等差数列，问△ABC的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由两点间的距离公式可得，AB=，BC=，AC=∴AB2+BC2=AC2即AB⊥BC=（2）由题意可设A（a，a），C（b，2b）（3≤b≤5）A、C、B三点的横坐标成等差数列可得2b=a+6∴b=且由3≤b≤5可得0≤a≤4即C（）设C，A到直线OB：y=的距离分别为h1，h2，点C到直线y=x的距离为h3则，S△ABC=S△OAB+S△OBC﹣S△OAC====的面积最大值当a=1时，S△ABC22．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且椭圆C过点（﹣，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB 的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．【解答】解：（1）由已知可得，解得a2=6，b2=2．∴椭圆C的方程的方程为；（2）由（1）知，F2（2，0），则直线l的方程为y=x﹣2，联立，得2x2﹣6x+3=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|==；（3）设AB的中点为M（x0，y0）．∵x1+x2=3=2x0，∴，∵y0=x0﹣2，∴．线段AB的中垂线l1斜率为﹣1，∴l1：y=﹣x+1，设P（t，1﹣t），∴|MP|==|，当△ABP为正三角形时，|MP|=|AB|，得=，解得t=0或3．∴P（0，1），或P（3，﹣2）．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．【解答】解：（1）∵S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，=0，即a n=a n﹣1．∴a n+a n﹣a n﹣1当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n=2•（）n﹣1=22﹣n．（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．②．a1=﹣=，①﹣②可得b n+1=，∴b n+1∴b n=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，b n=，也适合．∴b n=，（n∈N*）是等差数列．。
上海华东模范中学数学高二上期中经典测试题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．142．(0分)[ID ：12985]某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件3．(0分)[ID ：12978]从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥4．(0分)[ID ：12975]有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．155．(0分)[ID ：12974]若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A ．“甲站排头”与“乙站排头” B ．“甲站排头”与“乙不站排尾” C ．“甲站排头”与“乙站排尾” D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”6．(0分)[ID ：12966]用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ） A ．83B ．82C ．166D ．1677．(0分)[ID：12947]将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A=“三个点数之和等于15”，B=“至少出现一个5点”，则概率()|P A B等于（）A．5108B．113C．17D．7108．(0分)[ID：12943]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A．6B．10C．8D．49．(0分)[ID：12941]某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A．15B．24125C．48125D．9612510．(0分)[ID：12938]某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为1 50；④中部地区学生小张被选中的概率为1 5000A．①④B．①③C．②④D．②③11．(0分)[ID：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥12．(0分)[ID ：12933]将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，813．(0分)[ID ：12931]已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67214．(0分)[ID ：13021]抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5615．(0分)[ID ：13015]某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题16．(0分)[ID ：13113]如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．17．(0分)[ID ：13110]在区间[-3，5]上随机取一个实数x ，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．18．(0分)[ID ：13109]某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．19．(0分)[ID ：13092]某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个.20．(0分)[ID ：13084]一盒中有6个乒乓球，其中4个新的，2个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒子中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X =的值为___________.21．(0分)[ID ：13080]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则s 1、s 2、s 3的大小关系是_________. 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 78910环数 78910环数 78910频数5 5 5 5 频数6 4 4 6 频数4 6 6 422．(0分)[ID ：13075]已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．23．(0分)[ID ：13066]以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.24．(0分)[ID ：13035]正四面体的4个面上分别写着1、2、3、4，将3个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率是_____________．25．(0分)[ID ：13105]已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b =，三内角A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；三、解答题26．(0分)[ID ：13203]近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数；（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.27．(0分)[ID：13196]某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，28．(0分)[ID：13189]自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：20以下[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]70以上使用人数312176420未使用人数003143630（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？29．(0分)[ID：13157]为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考数据：()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82830．(0分)[ID ：13147]某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C2．D3．B4．C5．A6．A7．B8．C9．C10．B11．A12．D13．C14．A15．B二、填空题16．30【解析】【分析】根据程序框图可知和分别为中最大和最小的数通过已知中的取值得到和的具体值从而求得差值【详解】由于且时将值赋给因此为中最大的数由于且时将值赋给因此为中最小的数本题正确结果：【点睛】本17．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的18．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是19．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n首先求出高一年级人数占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生数【详解】设应在高一年级抽取学生数为n因为某校高一年级有60020．【解析】【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球要求开始取的3个球1个是用过的2个没有用过的结合组合知识根据古典概型公式可得到结果【详解】从盒子中任取的3个球使用用完全后装回盒子中要使盒子中恰好有4个21．【解析】分析：先求平均数再求标准差最后比较大小详解：因为所以因为所以因为所以因此点睛：22．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实23．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不24．【解析】将3个正四面体同时投掷于桌面时共有种情况与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除时则这3个数的乘积为4的倍数（1）这3个数为122时有3种情况；（2）这3个数为124时有种；（3）这3个25．1【解析】ABC成等差数列所以三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.2．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+上且2b =-，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项． 【详解】A 为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B 为三件产品全是次品，C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A 与B 是互斥事件；A 与C 是包含关系，不是互斥事件；B 与C 是互斥事件，故选B ． 【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用． 4．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些. 5．A解析：A【解析】【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件；故选A．【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．6．A解析：A【解析】【分析】利用秦九韶算法，求解即可.【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x=+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x=时的值：07v=172519v=⨯+=2192341v=⨯+=3412183v=⨯+=故选：A【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题. 7．B解析：B【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案.【详解】3311166617()216A P AB C C C +==，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k ，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.10．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.13．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止， 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．14．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．15．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题16．30【解析】【分析】根据程序框图可知和分别为中最大和最小的数通过已知中的取值得到和的具体值从而求得差值【详解】由于且时将值赋给因此为中最大的数由于且时将值赋给因此为中最小的数本题正确结果：【点睛】本 解析：30 【解析】 【分析】根据程序框图可知A 和B 分别为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最大和最小的数，通过已知中的取值得到A 和B 的具体值，从而求得差值.【详解】由于k x a =，且x A >时将x 值赋给A ，因此A 为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最大的数由于k x a =，且x B <时将x 值赋给B ，因此B 为12,,,⋅⋅⋅N a a a 中最小的数98A ∴=，68B = 30A B ∴-=本题正确结果：30【点睛】本题考查根据程序框图判断框图的作用，属于中档题.17．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的解析：38【解析】【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率．【详解】设事件A表示11|422xx⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭得2111222x-⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x-≤≤，即构成事件A的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+，所以事件A的概率3 ()8 P A=.故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．18．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是解析：16【解析】高一、高二、高三抽取的人数比例为300300400=334：：：：，所以高三抽取的人数是440=16. 3+3+4⨯19．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n首先求出高一年级人数占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生数【详解】设应在高一年级抽取学生数为n因为某校高一年级有600解析：24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n ，首先求出高一年级人数占总人数的百分比，然后通过分层抽样的性质，由此能求出应在高一年级抽取学生数。
上海市南洋模范中学09-10学年高二数学上学期期中考试试卷 沪教版 新课标
2009学年度第一学年南模中学高二年级数学学科期中考试试卷一、填空题. （本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1． 将式子b 2-4ac 表示成行列式_________.2． 在三阶行列式087654321中，5的余子式的值为________. 3． 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+=++6624232153z y x y x z y x ，则其增广矩阵为_______.4． 已知平行四边形ABCD 中，),3,2(),7,3(-==AB AD 对角线AC,BD 交于点O,则CO 的坐标为_________.5． ),4,3(),1,2(==b a 则向量a 在向量b 方向上的投影是______.6． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)、B(-1, 3),若点C(x,y)满足),1,,(,=+∈+=βαβαβα且R OB OA OC 则点C(x,y)的轨迹方程为_______.7． 力单位：牛顿）)(3,3(),1,2(21==F F 作用于物体M,使其从点A(1,0)移至点B(3,4)(单位：米) ，则合力F 所作的功为_________________(焦耳)。
8.已知直线,:0325=++y x l 直线1l 经过点P(2,1),且与l 夹角等于045,则直线1l 的方程为_____________.9．已知方程kx x =-1有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是____________.10.如图:在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°， D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =·___________．ABDC11.阅读右图的程序框图， 若输入4m =，6n =， 则输出a = ，i = _____ （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）12．设M 是︒=∠=⋅∆3032BAC AC AB ABC ,,且内一点,),,,()(p n m M f =定义其中pn m 、、分别是,,MCA MBC ∆∆MAB ∆yx y x M f 4121+=则若的面积),,()(,的最小值是___________。
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2015-2016学年上海市南洋模范中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）已知方程组，则其增广矩阵为．2．（4分）在三阶行列式中，5的余子式的值为．3．（4分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），则||等于．4．（4分）已知向量，则向量在向量的方向上的投影为．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为；6．（5分）经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量的直线l的点方向式为．7．（5分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．8．（5分）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x﹣y+1=0切与点P（2，﹣1）的圆的标准方程．9．（5分）设n∈N*，圆C n：（x﹣）2+（y﹣1）2=的面积为S n，则=．S10．（5分）（理）若圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6与圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的两个交点始终为圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的直径两个端点，则动点M（a，b）的轨迹方程为．11．（5分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．12．（5分）如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为．二、选择题（满分19分）13．（3分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1﹣，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．（﹣1﹣，﹣1）D．（﹣∞，﹣﹣1）15．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．+y2=116．（3分）已知数列{a n}的通项公式，则=（）A．﹣16096 B．﹣16104 C．﹣16112 D．﹣1612017．（3分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）18．（4分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R三、解答题（本大题满分75分）19．（12分）设A（﹣1，0），B（1，4），动点P满足•=4，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）若点Q是关于直线P关于直线y=x﹣4的对称点，求动点Q的轨迹方程．20．（16分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（13分）（1）已知△ABC的顶点A（1，1），B（3，2），C（2，4），求△ABC 的面积．（2）若△ABC的顶点A在直线y=x上运动，顶点B（6，8），顶点C在线段y=2x （3≤x≤5）上运动，且A、C、B三点的横坐标成等差数列，问△ABC的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．22．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：+=1（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，且椭圆C过点（﹣，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB 的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．2015-2016学年上海市南洋模范中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）已知方程组，则其增广矩阵为．【解答】解：由题意，方程组可化为∴其增广矩阵为故答案为2．（4分）在三阶行列式中，5的余子式的值为﹣21．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．3．（4分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），则||等于．【解答】解：因为向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），所以=（2，1），所以||=；故答案为：．4．（4分）已知向量，则向量在向量的方向上的投影为．【解答】解：因为向量，而向量在向量的方向上的投影为：，∵又=，∴向量在向量的方向上的投影为：=．故答案为：．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为0；【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1S=3，i=2，不满足条件i＞4，S=4，i=3不满足条件i＞4，S=1，i=4不满足条件i＞4，S=0，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为0．故答案为：0．6．（5分）经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量的直线l的点方向式为．【解答】解：∵直线l经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量，故直线l的点向式方程为：，即，故答案为：7．（5分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，故答案为：．8．（5分）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x﹣y+1=0切与点P（2，﹣1）的圆的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2=2．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在2x+y=0上，∴2a+b=0，（1）∵CM与切线垂直，∴=1，（2），由（1）、（2），得a=1，b=﹣2，又∵M点在圆上，代入圆的方程得r2=2，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2=2．9．（5分）设n∈N*，圆C n：（x﹣）2+（y﹣1）2=的面积为S n，则S n=π．【解答】解：根据圆的标准方程得圆的面积；∴==．故答案为：π．10．（5分）（理）若圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6与圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的两个交点始终为圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的直径两个端点，则动点M（a，b）的轨迹方程为（a+1）2+（b+1）2=1．【解答】解：过圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6的圆心坐标M（a，b），圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的圆心（﹣1，﹣1），∴圆心距为：，∴；即：（a+1）2+（b+1）2=1．动点M（a，b）的轨迹方程为：（a+1）2+（b+1）2=1．故答案为：：（a+1）2+（b+1）2=111．（5分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．12．（5分）如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为[﹣，] ．【解答】解：设M（cosα，sinα），∵⊥，∴•=0，∴N（﹣sinα，cosα），∴=（﹣sinα，cosα），=（cosα，sinα），∴=（cosα﹣2，sinα），∴•=﹣sinα（cosα﹣2）+sinαcosα=sinα，∵sinα∈[﹣1，1]，∴sinα∈[﹣，]，∴•的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．二、选择题（满分19分）13．（3分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0k2+8k﹣9=0，k=﹣9或k=1，当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，∴l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B．14．（3分）P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1﹣，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．（﹣1﹣，﹣1）D．（﹣∞，﹣﹣1）【解答】解：设圆上任一点P的坐标为（cosα，sinα+1），即x=cosα，y=sinα+1，则x+y+c=cosα+s inα+1+c=[cosα+sinα]+1+c=sin（）+1+c≥0，即c≥﹣1﹣sin（），又因为﹣1≤sin（）≤1，所以得到：﹣1﹣≤﹣1﹣sin（）≤﹣1+，则c≥﹣1+．故选：B．15．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．+y2=1【解答】解：∵|BF2|=|F1F2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为+=1．故选：A．16．（3分）已知数列{a n}的通项公式，则=（）A．﹣16096 B．﹣16104 C．﹣16112 D．﹣16120【解答】解：∵数列{a n}的通项公式，∴=（a1a4﹣a2a3）+（a2a5﹣a3a4）+（a3a6﹣a4a5）+…+（a2012a2015﹣a2013a2014）==（﹣8）×2012=﹣16096．故选：A．17．（3分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．18．（4分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A．三、解答题（本大题满分75分）19．（12分）设A（﹣1，0），B（1，4），动点P满足•=4，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）若点Q是关于直线P关于直线y=x﹣4的对称点，求动点Q的轨迹方程．【解答】解：（1）设P（x，y），∵•=4，∴（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，4﹣y）=4，∴（﹣1﹣x）（1﹣x）+（﹣y）（4﹣y）=4，∴x2+y2﹣4y﹣5=0，（2）设Q（a，b），则∵点Q是点P关于直线y=x﹣4的对称点，∴，∴x=b+4，y=a﹣4，∴（b+4）2+（a﹣4）2﹣4（a﹣4）﹣5=0，即（y+4）2+（x﹣4）2﹣4（x﹣4）﹣5=0为Q的轨迹方程．20．（16分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．21．（13分）（1）已知△ABC的顶点A（1，1），B（3，2），C（2，4），求△ABC 的面积．（2）若△ABC的顶点A在直线y=x上运动，顶点B（6，8），顶点C在线段y=2x （3≤x≤5）上运动，且A、C、B三点的横坐标成等差数列，问△ABC的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由两点间的距离公式可得，AB=，BC=，AC=∴AB2+BC2=AC2即AB⊥BC=（2）由题意可设A（a，a），C（b，2b）（3≤b≤5）A、C、B三点的横坐标成等差数列可得2b=a+6∴b=且由3≤b≤5可得0≤a≤4即C（）设C，A到直线OB：y=的距离分别为h1，h2，点C到直线y=x的距离为h3则，S △ABC=S△OAB+S△OBC﹣S△OAC====的面积最大值当a=1时，S△ABC22．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：+=1（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，且椭圆C过点（﹣，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB 的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．【解答】解：（1）由已知可得，解得a2=6，b2=2．∴椭圆C的方程的方程为；（2）由（1）知，F2（2，0），则直线l的方程为y=x﹣2，联立，得2x2﹣6x+3=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|==；（3）设AB的中点为M（x0，y0）．∵x1+x2=3=2x0，∴，∵y0=x0﹣2，∴．线段AB的中垂线l1斜率为﹣1，∴l1：y=﹣x+1，设P（t，1﹣t），∴|MP|==|，当△ABP为正三角形时，|MP|=|AB|，得=，解得t=0或3．∴P（0，1），或P（3，﹣2）．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．【解答】解：（1）∵S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，∴a n+a n﹣a n=0，即a n=a n﹣1．﹣1当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n=2•（）n﹣1=22﹣n．（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．②．①﹣②可得b na1=﹣=，+1=，∴b n+1∴b n=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，b n=，也适合．∴b n=，（n∈N*）是等差数列．。