高三数学优质课堂教学的实践——圆锥曲线第二轮复习课例分析

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高三数学二轮复习圆锥曲线课件

考查
内容
难度
中等
圆锥曲线的方程与性质、弦
长问题.
考点1：圆锥曲线的定义及
标准方程
【例1】（1）已知P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x‒3)2＋(y‒1)2＝1上
的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( A )
A．3
B．4
y
C．5
Pபைடு நூலகம்
H
Q
1
O
x=-1
N
3
x
D． 2 ＋1
2
2
2
− 2

= 1 (a>0，
b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆
A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两
点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为
2 3
________．
3
M
N
A
x
（2）在平面直角坐标系xOy中，双曲线
2
2
2
− 2

y
B
= 1 (a＞0，b＞0)的右支与焦点为F
•
计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2 ，b 2 或p．另外，当焦点位置无法确定时，
抛物线常设为y 2 ＝2px或x 2 ＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx 2 ＋ny 2 ＝1(m>0，n>0)，双
曲线常设为mx 2 －ny 2 ＝1(mn>0)．
考点2：圆锥曲线的几何性质
y
【例2】（1）已知双曲线C：
2
（2）已知双曲线 2

2
− 2

= 1 (a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为 2 .若经过F
和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )

高三第二轮专题复习课案例分析——圆锥曲线定义的应用

２通过问题探究，掌握解决与圆锥曲线定义相．２关问题的基本方法求动点轨迹，如果出现两定点或一条定直线，
可以通过图形的几何性质，如线段中垂线、角平分线、切线长等性质，应用平面几何思想，把问题转化为应用圆锥曲线的定义来求轨迹，也是解决此类问题的通法．
切线方程为Ｙ＝２一２ｔ．ｐ
Ｍ（Ｙ）因为９＝ＡＡ，由定比分点坐标公式得ｘ，则Ｑ
高三第二轮专题复习课案例分析
— —
圆锥曲线定义的应用
肖
骁
福建省厦门外国语学校（６０２３１１）构，重应试训练，导致我省基础教育大大落后．注 ”
一
３。Ｙ）＋＝４外切的动圆圆心Ｐ轨迹方程．
段为直径的圆，与以双曲线实轴为直径的圆相
２１０２年第３期
福建中学数学
１７
切．（证法与例２相似）（）连结抛物线上任一点与其中一个焦点的线２段为直径的圆，与Ｙ轴相切．
ａ— Ｄ
Ｐ作
方程．
的平分线上的垂线于Ｇ，求点Ｇ的轨迹
探究３已知ＡＢＡＣ的内切圆边ＢＣ于Ｄ，且
ＢＤ＝８，Ｃ＝２，求点的轨迹方程．Ｄ
探究４中心在原点，焦点在Ｘ的双曲线的两轴
焦点，ｃ，是双曲线右支上任意一点，则
关的通性问题．这样不仅可以提高综合解题能力，同时可以激发学生的兴趣和热情，从而提升学生的数学素养．例３求证连结椭圆上任一点与其中一个焦点的

高三数学第二轮专题讲座复习：圆锥曲线综合题.doc

高三数学第二轮专题讲座复习：圆锥曲线综合题高考要求圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整重难点归纳解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值典型题例示范讲解例1已知圆k 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心k 在抛物线C y 2=2ax 上运动，MN 为圆k 在y 轴上截得的弦(1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化？(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系？命题意图本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力知识依托弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识错解分析在判断d 与R 的关系时，x 0的范围是学生容易忽略的技巧与方法对第(2)问，需将目标转化为判断d =x 0+2a 与R =a x +20的大小解 (1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02=2ax 0,圆k 的半径R =|AK |=2202020)(a x y a x +=+-∴|MN |=2202202022x a x x R -+=-=2a (定值)∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化(2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k (x －x 0)2+(y －y 0)2=x 02+a 2中，令x =0，得y 2－2y 0y +y 02－a 2=0，∴y 1y 2=y 02－a 2∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项 ∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a又|MN |=|y 1－y 2|=2a ， ∴|y 1|+|y 2|=|y 1－y 2| ∴y 1y 2≤0，因此y 02－a 2≤0,即2ax 0－a 2≤0 ∴0≤x 0≤2a 圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+2a ≤a ,而圆k 半径R =220a x +≥a 且上两式不能同时取等号，故圆k 必与准线相交例2如图，已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD ||D CB A oy x(1)求f (m )的解析式； (2)求f (m )的最值命题意图本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合知识依托直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值错解分析在第(1)问中，要注意验证当2≤m ≤5时，直线与椭圆恒有交点技巧与方法第(1)问中，若注意到x A ,x D 为一对相反数，则可迅速将||AB |－|CD ||化简第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a 、b 、c ，则a 2=m ,b 2=m －1,c 2=a 2－b 2=1 ∴椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0) 故直线的方程为y =x +1,又椭圆的准线方程为x =±c a 2,即x =±m ∴A (－m ,－m +1),D (m ,m +1)考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=11122m y m x x y , 消去y 得 (m －1)x 2+m (x +1)2=m (m －1)整理得 (2m －1)x 2+2mx +2m －m 2=0Δ=4m 2－4(2m －1)(2m －m 2)=8m (m －1)2∵2≤m ≤5,∴Δ＞0恒成立，x B +x C =122--m m 又∵A 、B 、C 、D 都在直线y =x +1上∴|AB |=|x B －x A |=2=(x B －x A )·2,|CD |=2(x D －x C ) ∴||AB |－|CD ||=2|x B －x A +x D －x C |=2|(x B +x C )－(x A +x D )|又∵x A =－m ,x D =m ,∴x A +x D =0∴||AB |－|CD ||=|x B +x C |·2=|mm 212--|·2=m m 222 (2≤m ≤5)故f (m )=m m 222，m ∈［2,5］ (2)由f (m )=m m 222，可知f (m )=m1222-又2－21≤2－m 1≤2－51，∴f (m )∈［324,9210］故f (m )的最大值为324，此时m =2;f (m )的最小值为9210，此时m =5 例3舰A 在舰B 的正东6千米处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是3320g 千米/秒，其中g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少？命题意图考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力知识依托线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程错解分析答好本题，除要准确地把握好点P 的位置(既在线段BC 的垂直平分线上，又在以A 、B 为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚技巧与方法通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程300B A C Po y x解取AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系由题意可知，A 、B 、C 舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，23) 由于B 、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为P ，则|PB |=|PC | 于是P 在线段BC 的中垂线上，易求得其方程为3x －3y +73=0 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB |－|P A |=4，故知P 在双曲线5422y x -=1的右支上直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P 的位置，利用两点间距离公式，可得|P A |=10 据已知两点的斜率公式，得k P A =3,所以直线P A 的倾斜角为60°,于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°设发射炮弹的仰角是θ，初速度v 0=3320g ，则θθcos 10sin 200⋅=⋅v g v ,∴sin2θ=231020=v g ,∴仰角θ=30° 例4若椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)与直线l x +y =1在第一象限内有两个不同的交点，求a 、b 所满足的条件，并画出点P (a ,b )的存在区域解由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112222b y a x y x 消去y ,整理得 (a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2)=0①则椭圆与直线l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f (x )=(a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><<<<>+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>><+<>-+-=>-=>-+-=∆010101 0100)1()1(0)1()0(0)1)((442222222222222222b a a b b a b a b a a b a a b f b a f b b a a a 同时满足上述四个条件的点P (a ,b )的存在区域为如图所示的阴影部分学生巩固练习 1 已知A 、B 、C 三点在曲线y =x 上，其横坐标依次为1，m ,4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( )A 3B 49 C25 D 23 2 设u ,v ∈R ，且|u |≤2,v ＞0,则(u －v )2+(v u 922--)2的最小值为( ) 11o y xA 4B 2C 8D 22 3 A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A =2π,则椭圆离心率的范围是_________4 一辆卡车高3米，宽1 6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a 米，则能使卡车通过的a 的最小整数值是____5 已知抛物线y =x 2－1上一定点B (－1，0)和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，BP ⊥PQ ，则Q 点的横坐标的取值范围是_________参考答案: 1 解析由题意知A (1，1)，B (m ,m ),C (4,2) 直线AC 所在方程为x －3y +2=0,点B 到该直线的距离为d =10|23|+-m m|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵m ∈(1,4),∴当23=m 时，S △ABC 有最大值，此时m =49答案 B 2 解析考虑式子的几何意义，转化为求圆x 2+y 2=2上的点与双曲线xy =9上的点的距离的最小值答案 C 3 解析设椭圆方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆 x 2－ax +y 2=0,两式联立消y 得222a b a -x 2－ax +b 2=0 即e 2x 2－ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=2e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜2e a －a ＜a 22⇒＜e ＜1 答案 22＜e ＜1 4 解析由题意可设抛物线方程为x 2=－ay ,当x =2a 时，y =－4a ；当x =0 8时，y =－a 64.0 由题意知aa 64.04-≥3,即a 2－12a －2 56≥0 解得a 的最小整数为13 答案 13 5 解析设P (t ,t 2－1)，Q (s ,s 2－1)∵BP ⊥PQ ,∴ts t s t t ----⋅+-)1()1(11222=－1, 即t 2+(s －1)t －s +1=0∵t ∈R ,∴必须有Δ=(s －1)2+4(s －1)≥0 即s 2+2s －3≥0,解得s ≤－3或s ≥1 答案 (－∞,－3]∪[1,+∞)。

高考数学二轮复习精品教学案专题09-圆锥曲线(教师版)

例1、过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、B (－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ 为定值．所以D 点坐标为(837，－17)．故|CD |＝837－2＋－17－2＝167.【变式探究】若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．例2、已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝1 B.x29－y227＝1C.x2108－y236＝1 D.x227－y29＝1【变式探究】设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3例3、如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【变式探究】已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为： 12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C难点一圆锥曲线的定义与标准方程例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 【变式探究】(1)已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.45C.43D.34(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．【答案】(1)B (2)x 216＋y 28＝1【解析】 (1)根据三角形面积公式把S △IPF1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2转化为焦点三角形边之间的关系．根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，得|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝2λc ，则λ＝a c ＝45.注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距离相等．(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为离心率为22，所以22＝1－b 2a2，解得b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.难点二圆锥曲线的几何性质例2、已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2【变式探究】已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】y ＝±2x【解析】根据已知|PF 1|＝2·b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2·b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba ＝ 2.难点三直线与圆锥曲线的位置关系例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A (0,2)，右焦点F 与点B (2，2)的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在经过点(0，－2)的直线l ，使直线l 与椭圆相交于不同的两点M ，N 满足|AM →|＝|AN →|？若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，请说明理由．(2)由题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2(k ≠0)，由|AM |＝|AN |知点A 在线段MN 的垂直平分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 24＝1消去y 得x 2＋3(kx －2)2＝12，即可得方程(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，()由k ≠0得方程()的Δ＝(－12k )2＝144k 2>0，即方程()有两个不相等的实数根．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 1，x 2是方程()的两个不等的实根，故有x 1＋x 2＝12k1＋3k 2.从而有x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2，y 0＝kx 0－2＝6k 2－＋3k 21＋3k 2＝－21＋3k 2. 于是，可得线段MN 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.又由于k ≠0，因此直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k 1＋3k 2＝－2－＋3k 26k .由AP ⊥MN ，得－2－＋3k 26k×k ＝－1，即2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，即tan α＝±33.又0≤α<π，故α＝π6或α＝5π6.综上可知存在直线l 满足题意，其倾斜角为α＝π6或α＝5π6.【点评】本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系．在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据两点间距离公式得到点M ，N 的坐标满足的关系式，即x 21＋(y 1－2)2＝x 22＋(y 2－2)2，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2－4)(y 1－y 2)＝0，由于点M ，N 在直线上，y 1＝kx 1－2，y 2＝kx 2－2，代入(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2－4)(y 1－y 2)＝0，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(kx 1＋kx 2－8)(kx 1－kx 2)＝0，直线斜率存在，则x 1≠x 2，所以(x 1＋x 2)＋k [k (x 1＋x 2)－8]＝0，然后根据韦达定理整体代入即可求出k 值．【变式探究】如图所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【规律技巧】1．离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．2．抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .同样可得抛物线y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py 类似的性质．3．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入．【历届高考真题】【2012年高考试题】1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b ca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b ac x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。

高中数学高考二轮复习专题教案圆锥曲线方程

2013年高考数学二轮复习专题教案圆锥曲线方程【考纲考情分析】一、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。

④理解数形结合的思想。

⑤了解圆锥曲线的简单应用。

【专题知识网络】圆锥曲线的定义圆锥曲线的内容：椭圆、双曲线、抛物线（定义、性质、方程）直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线综合问题（弦长、中点、最值、参数问题）【剖析高考真题】（2012年高考陕西卷）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.（2012年高考安徽卷）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。

【答案】32【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3，得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+。

（2012年高考天津卷）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = b =【答案】1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-b y a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。

（2012年高考新课标卷）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（） A ．12 B. 23C ．34D ．45（2012年高考广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b+=，得211b =，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=.弦长问题抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，而且被直线2x －y ＋1＝0所截得的弦长等于15，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－12x 或y 2＝4x B ．y 2＝－4x 或y 2＝12x C ．y 2＝－10x 或y 2＝4x D ．y 2＝－6x 或y 2＝10x 【解析】设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ∈R 且a ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，2x －y ＋1＝0，得2y 2－ay ＋a ＝0. 若弦两端点纵坐标分别为y 1和y 2，则|y 1－y 2|＝12a 2－8a ，于是弦长54a 2－8a ＝15，解得a ＝12或a ＝－4.由2112222px 2px y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得211221()()()y y y y k x x -+=-，得21k m ⋅= 所以直线的方程为1()2y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220x my m m y x⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，整理得22220y my m m -+-=，所以244m m =- ，122y y m +=，2122y y m m =-.从而得12AB y y =-=。

习题教学中落地数学核心素养——圆锥曲线二轮复习的教学与反思

习题教学中落地数学核心素养∗圆锥曲线二轮复习的教学与反思Ә张义斌㊀㊀(镇海中学ꎬ浙江宁波㊀３１５２００)㊀㊀摘㊀要: 加强习题教学的有效性是数学核心素养扎根于课堂的重要途径之一.在教学的潜移默化中ꎬ发展学生的数学核心素养ꎬ重点在于促进学生学会学习㊁获取思路㊁整体把握㊁反思内化.关键词:习题教学ꎻ高效ꎻ发展ꎻ数学核心素养中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０７￣００２４￣０３㊀㊀在二轮复习的课堂中ꎬ提高习题教学的质量非常重要.«普通高中数学课程标准(２０１７版)»指明了构建高效课堂的方式:把握数学本质㊁启发思考㊁改进教学.美国数学家哈尔莫斯曾说过:问题是数学的心脏.因此ꎬ在习题教学中应注重选择合适的问题ꎬ引领复习方向ꎬ承载复习内容ꎬ通过抓住问题的本质ꎬ建立知识之间的关联ꎬ达到加强学生的解题能力㊁提升学生的数学思维能力之目标.习题教学的效率某种程度上决定着高考复习质量的高低ꎬ影响着高考的成败.但在习题教学的具体实践中ꎬ还是有不少教师信奉题海战术兼灌输式讲授ꎬ这样非但不能提升学生的解题能力ꎬ久而久之还会挫伤学生的学习积极性ꎬ使学生产生厌学情绪ꎬ出现简单题不肯做㊁难题又不会做的情况.笔者一直在探寻高效的习题教学之路ꎬ让学生能在潜移默化中提升数学核心素养.本文以二轮复习中圆锥曲线复习课为例ꎬ谈谈如何渗透数学核心素养ꎬ提升学生的思维能力ꎬ杜绝学生在解题中出现只会埋头拉车ꎬ却不抬头看路的糟糕现象.１㊀教学过程１.１㊀复习回顾师:同学们经历了圆锥曲线的一轮复习ꎬ也做了不少题目ꎬ大家到底学了哪些知识?(学生各抒己见ꎬ教师进行总结.)师:我们学到的知识有:１)曲线分类ꎻ２)曲线的性质ꎻ３)性质应用.基本的研究思想是用代数研究几何ꎬ而最常用的方法是设点法和设线法ꎬ并借助韦达定理解决问题.我们不仅可以从定义上区分曲线ꎬ还可以从曲线的性质上加以区分.比如教材中提到的光学性质ꎬ该性质有怎样的几何特征?设计说明㊀在复习回顾中ꎬ与学生一起梳理圆锥曲线的知识结构与体系ꎬ厘清基本思想与常用方法ꎬ掌握概念的内涵和外延ꎬ使知识的展开不再是无源之水㊁无本之木ꎬ提高习题教学的效率ꎬ同时发展学生数学抽象的核心素养ꎬ引领学生学会学习ꎬ养成良好的学习习惯.生１:从椭圆一个焦点出发的光线经反射后聚焦于另一个焦点ꎬ而双曲线反射后发散ꎬ其反向延长线过另一个焦点ꎬ经抛物线反射后平行射出.师:这些性质均与焦点有关ꎬ体现了圆锥曲线的统一美ꎬ但它们也有差异性ꎬ分别为聚焦㊁发散㊁平行.再看它们的这些反射面ꎬ表现为圆锥曲线的切线ꎬ那么这些切线又有怎样的性质呢?生２:由曲线外的某定直线(准线)上一点出发引曲线的两条切线ꎬ则切点弦必过定点(对应焦点)ꎬ反之亦成立.师:这个性质在图形中的体现非常优美ꎬ因此同学们留下了较深的印象.我们对这类性质的理解越深㊁对图形的分析越透ꎬ对我们的解题就越有帮助.１.２㊀引例示范例１㊀已知抛物线Ｃ的方程为ｘ２＝４ｙꎬＦ为其焦点ꎬ过不在抛物线上的一点Ｐ作此抛物线的切线ＰＡꎬＰＢꎬ点ＡꎬＢ为切点ꎬ且ＰＡʅＰＢ.１)求证:直线ＡＢ过定点ꎻ２)直线ＰＦ与曲线Ｃ的一个交点为Ｒꎬ求ＡＲң ＡＢң的最小值.(２０１８年浙江省宁波市高三数学期末试题第２１题)师:已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ的两条切线ＰＡꎬＰＢꎬ４２中学教研(数学)２０１８年第７期∗收文日期:２０１８￣０４￣０７ꎻ修订日期:２０１８￣０５￣０８作者简介:张义斌(１９８８－)ꎬ男ꎬ浙江宁波人ꎬ中学一级教师.研究方向:数学教育.就有以下三者互相推证:１)弦ＡＢ过焦点ꎻ２)切线ＰＡʅＰＢꎻ３)点Ｐ在准线上.我们可以敏锐地发现:当ＰＡʅＰＢ时ꎬ点Ｐ在准线上.联结ＰＦꎬＡＲң ＡＢң该如何表示呢?生３:可以先求出点Ｒ的坐标ꎬ然后进行表示.师:直译目标ꎬ但不简便ꎬ能否简化问题?生４:从图形分析ꎬ感觉ＰＦʅＡＢꎬ可用数量积验证ꎬ进而转化成ＡＲң ＡＢң＝｜ＡＦ｜｜ＡＢ｜.师:很好!还能进一步简化吗?生５:由ＰＡʅＰＢꎬＰＦʅＡＢꎬ根据射影定理可转化成｜ＰＡ｜２.师:非常好!抓住图形的几何特征ꎬ回归问题的本质ꎬ将问题转化成更简单的形式:过抛物线ｘ２＝４ｙ上一点Ａ作切线与准线ｙ＝－１交于点Ｐꎬ求｜ＰＡ｜２的最小值.有了知识的沉淀ꎬ学会欣赏图形之美ꎬ就可以启发我们思考ꎬ引领解题方向.设计说明㊀以学生考过且不理想的问题作引例ꎬ不仅能拉近与学生的距离ꎬ还能引起学生的共鸣ꎬ从而启发解题思考ꎬ转化问题ꎬ简化运算ꎬ提高解题效率.同时突出主题ꎬ注重几何图形对解题的引领作用ꎬ在解题中遇到瓶颈之时ꎬ应当回归本质ꎬ分析图形ꎬ获取思路ꎬ突破瓶颈.图１１.３㊀例题探究例２　已知椭圆Ｃ１:ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬ☉Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＝４５ꎬＯ为坐标原点ꎬ直线ｌ与Ｃ２相切ꎬ交Ｃ１于点ＡꎬＢꎬ求｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜的最大值.师:请同学们梳理下解题思路.生６:设直线得参数关系ң联立椭圆方程ң表示距离并消元ң代入韦达定理建立目标函数ꎬ求最值.师:思路很清晰ꎬ但计算令人崩溃ꎬ可否简化呢?生７:根据图形猜测ＯＡʅＯＢꎬ可用数量积验证.师:由ＯＡʅＯＢꎬ知可将目标转化为｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜＝２５｜ＡＢ｜.图形引领我们解题方向ꎬ实现运算的简化ꎬ使解题变得更加高效.师:以上是间接用ｋꎬｍ表示相切和长度ꎬ可否考虑寻找｜ＯＡ｜ꎬ｜ＯＢ｜的直接关系呢?请大家以小组为单位进行探究.设计说明㊀数学探究是课堂教学活动的重要形式之一ꎬ是培养学生独立思考能力的重要方式ꎬ是提升数学核心素养的重要载体ꎬ也能体现学生的主体作用.因此ꎬ设计能使学生全面参与的数学探究活动可激发学生自主学习兴趣ꎬ调动学生学习的积极性.在师生互动和生生互动的过程中ꎬ教师适时地加以点拨ꎬ让学生切实参与到知识的发生与发展中ꎬ形成适时的思维碰撞ꎬ有助于学生理解知识ꎬ同时可向学生渗透直观想象的数学核心素养.１.４㊀合作交流师:可设Ｈ２５ｃｏｓθꎬ２５ｓｉｎθæèçöø÷ꎬ结合诱导公式知直线ＡＢ的斜率为ｔａｎα＝ｔａｎθ－π２æèçöø÷ꎬ由｜ＯＡ｜＝ｆ(θ)ꎬ｜ＯＢ｜＝ｇ(θ)ꎬ消去单变量θꎬ得｜ＯＡ｜与｜ＯＢ｜的直接关系.接着进一步回归图形ꎬ着眼于垂足落在定圆这一条件ꎬ大家是否有过这样的经历呢?生８:已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ直线ｌ交椭圆Ｃ于点ＡꎬＢꎬ且ＯＡʅＯＢ.过点Ｏ作ＯＨʅＡＢꎬ则点Ｈ在定圆上.设计说明㊀解决数学问题需要一定的解题经验为依托ꎬ这就需要学生在平时注重反思内化.教师将问题设计在学生的最近发展区ꎬ让学生体会用数学的乐趣ꎬ感受数学知识各部分之间的联系ꎬ同时养成良好的数学学习习惯ꎬ这不仅符合数学课程标准的要求ꎬ而且发展了运算㊁数据分析等数学核心素养.师:同学们对优美图形的认识很深刻ꎬ可分两步对例２进行证明:１)当ＯＡʅＯＢꎬ则１｜ＯＡ｜２＋１｜ＯＢ｜２＝１ａ２＋１ｂ２ꎻ２)１｜ＯＡ｜２＋１｜ＯＢ｜２＝１｜ＯＨ｜２.本题有个隐含的条件可挖掘ꎬ即圆半径满足１ｒ２＝１｜ＯＨ｜２＝１ａ２＋１ｂ２＝５４ꎬ因此有线索指向可先证ＯＡʅＯＢ.证明㊀如图２ꎬ过点Ｏ作ＣＤʅＯＡꎬ联结ＡＣꎬＡＤꎬ并作ＯＨ１ʅＡＣ于点Ｈ１ꎬＯＨ２ʅＡＤ于点Ｈ２.因为ＣＤʅＯＡꎬ所以１｜ＯＨ１｜２＝１｜ＯＨ２｜２＝１ａ２＋１ｂ２＝５４＝１ｒ２ꎬ图２从而ＡＣꎬＡＤ为☉Ｏ的两条切线ꎬ点Ｂ必与点Ｃ或点Ｄ重合ꎬ因此ＯＡʅＯＢ.因此ꎬ例２可转化为更简单的形式:已知１｜ＯＡ｜２＋１｜ＯＢ｜２＝５４且｜ＯＡ｜ꎬ｜ＯＢ｜ɪ５２２０１８年第７期中学教研(数学)[１ꎬ２]ꎬ求｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜的最大值.生９:例２转化成了二元最值问题ꎬ可利用函数思想解决问题.１.５㊀总结提炼师:在今天的课堂上你有什么收获呢? (学生们阐述自己的课堂收获.)设计说明㊀层层递进式的设计将一个繁琐的运算问题ꎬ通过几何特征的挖掘ꎬ逐步转化为学生所熟悉的问题模型ꎬ这不仅增强了学生解决问题的信心ꎬ培养了数学学习的兴趣ꎬ还让学生掌握了圆锥曲线问题的研究方式:代数研究几何㊁几何辅助代数.学生通过亲身经历ꎬ切身体会了优美的图形对解题的帮助ꎬ对欣赏图形之美ꎬ启发思考ꎬ引领方向有了更深刻的认识ꎬ同时提高了学生的解题能力ꎬ进一步落实了直观想象的数学核心素养.２　教学反思习题教学是数学教师必须要面对的课题ꎬ尤其是在高三的二轮复习中.如何在枯燥的习题讲评中让学生获得一点新的感悟ꎬ让学生在解题中有种豁然开朗的感觉ꎬ需要我们教师去精心设计课堂环节ꎬ不断探索习题教学的高效方式ꎬ争取让学生在不知不觉中发展数学核心素养.２.１㊀发展数学核心素养重在促进学生学会学习俗话说: 授人以鱼ꎬ不如授人以渔. 教师在教学过程中不仅要传授学生学习经验ꎬ加强学习指导ꎬ还应积极探索多样化的教学方式ꎬ倡导独立思考㊁动手实践㊁自主探索㊁合作交流等学习方式.当解题遇阻时ꎬ引导学生重新回到图形ꎬ认真审视条件ꎬ启发思考ꎬ引领解题方向.当遇到美妙的性质与图形关系时ꎬ点拨学生及时地体会和理解ꎬ促进学生提升对问题的认识高度ꎬ而不只是就题论题ꎬ限制想象空间ꎬ只有会当凌绝顶ꎬ才能一览众山小.同时应该提高作业质量ꎬ提升学生作业的时效性和自主性ꎬ及时解决和整理其中的问题ꎬ做学习的主人.这样就能在平时不断提升并充实自我ꎬ最终发展数学核心素养.２.２㊀发展数学核心素养重在促进学生获取思路数学解题的推理和运算ꎬ实质都是转化与化归ꎬ方向都是化繁为简㊁化抽象为具体㊁化未知为已知.思路的获取需要在条件和结论中架起桥梁ꎬ而我们能做的只能是通过分析题目的已知与待求之间的差异ꎬ并努力消除这些差异ꎬ从中落实数学核心素养.获取思路具体要经历４个步骤:理解题意㊁提取信息㊁联系旧知㊁重组结构.理解题意是解题的基础ꎬ决定着解题方向ꎬ决定着能否提取到有效的信息.当学生在解题中遇到瓶颈之际ꎬ我们应该提醒学生回归题设ꎬ包括数量关系㊁图形关系以及一些隐性的关系ꎬ从中获取启发ꎬ进而联系旧知ꎬ实现重构ꎬ突破难题.掌握了思考的方式ꎬ学生就能直面问题ꎬ不断探索ꎬ进一步认识数学ꎬ发展数学核心素养.２.３㊀发展数学核心素养重在促进学生反思内化在数学学习过程中ꎬ反思是实现新旧知识相互交融㊁互相比较的有效途径ꎬ是学生提升思维最有效的方法.因此ꎬ反思内化是发展数学核心素养的关键环节ꎬ在课堂教学中不仅要让学生知道问题是怎么解决的ꎬ更要知道是怎么想到这个解决办法的ꎬ以便学生在反思中对分析问题㊁解决问题有更深入的认识ꎬ这样才能逐步学会用数学的眼光观察世界㊁用数学的思维思考世界㊁用数学的语言表达世界.经常进行多层次的反思内化ꎬ是对知识框架的重新架构和再次完善ꎬ能使所学知识由会到懂再到悟 ꎬ直到最终的活 ꎬ才能让学生知其然ꎬ知其所以然ꎬ更知何由以知其所以然.２.４㊀发展数学核心素养重在促进学生整体把握回归概念和定义ꎬ厘清知识的来龙去脉ꎬ是解题的保证ꎬ也是提升解题能力的利器.离开了知识的整体结构谈数学核心素养就成了无稽之谈.不少学生的数学知识是碎片化的ꎬ缺少必要的整合ꎬ这就需要教师在教学中分析知识点的内在联系ꎬ给学生示范知识的梳理ꎬ促进学生理解基本知识㊁掌握基本技能㊁体会基本思想㊁积累数学活动经验ꎬ这样才能让数学核心素养扎根于课堂.因此ꎬ在复习教学中ꎬ教师应当帮助学生厘清各知识点在整个高中数学学习中的地位与作用ꎬ与此同时ꎬ挖掘教学内容之间的内在联系ꎬ培养学生系统的思维习惯.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀王开林.让数学核心素养根植于课堂指数函数的教学与思考[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(１１):１０￣１３.[２]㊀范东晖.入乎其内ꎬ出乎其外让习题教学更有效[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１８(１１):４７￣４９.[３]㊀郑花青.回归本质:从解题教学谈高考复习[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(１０):５６￣５８. [４]㊀张彬ꎬ於有海.反思:优化解题思路ꎬ简化解题过程[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１８(３):５７￣６０.６２中学教研(数学)２０１８年第７期。

高考数学第二轮专题复习圆锥曲线教案

高考数学第二轮专题复习圆锥曲线教案一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔f 2(x 0,y 0) =0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2.圆圆的定义点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是24F-E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交⇔有两个公共点直线与圆相切⇔有一个公共点直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.椭圆双曲线抛物线轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆形标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶点 A 1(-a,0),A 2(a,0); B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)轴对称轴x=0,y=0长轴长：2a 短轴长：2b对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=焦点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上F(2P，0) 曲线性质焦点对称轴上焦距｜F 1F 2｜=2c ，c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2准线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(x a +22k)-(y b=1 (±c+h,k)x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a=1 (h,±c+k) y=±ca 2+kx=h y=k二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。

依托技术引导方法把握本质--以一节高三圆锥曲线第二轮复习课为例

依托技术引导方法把握本质--以一节高三圆锥曲线第二轮复习课为例余建国【摘要】解析几何解答题看似变化多端，运算复杂，技巧繁芜，在积累了一定经验后的高三第二轮复习中，依托软件，尝试让学生提出问题，寻找解决方法，并在互动中优化、分享成果，继而从不同的角度提出新的问题，巩固方法，体会这类问题的本质。

课堂实践表明，依托技术，变革教学方式，将复习变成研究，更能提高复习效益。

【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》【年(卷),期】2016(000)011【总页数】4页(P39-42)【关键词】解析几何;信息技术;不变性证明;教学反思【作者】余建国【作者单位】江苏省南京市大厂高级中学【正文语种】中文通过对数学学习成绩中等的学生进行的课堂提问、问卷调查、作业面批、个别访谈等得知，他们感觉解析几何解答题的学习困难是：题目变化多端，运算不知道从哪下手，运算复杂难以算到底，遇到困难时缺乏调整思路的经验，等等.此时，如果我们置学情于不顾，仍然一味地进行方法的机械总结、题型的重复训练，必将不断挫伤学生学习的积极性，学生越怕越算不出来，越算不出来越不想算，从而无法突破“中等分”的瓶颈.事实上，即使是数学复习课，也要让学生在理解解析几何的本质——解析法的基础上，依托形象直观的几何画板软件，让学生自己编拟问题，选择合理的运算途径解决问题.让学生在“观察现象—发现问题—提出问题—解决问题—新的发现……”的认知循环中，螺旋上升，积累更多、更新、更高层次的问题解决模式.基于以上认识，笔者以“感受解析几何中的变与不变”一节研究课为例，说明高三解析几何复习课教学的一些做法，以期抛砖引玉.1.观察软件，自编问题题目如图1，已知椭圆E：长轴的左、右端点分别是点A，B，直线m过点B且与x轴垂直，点P在m上移动，直线AP与椭圆E相交于点M.屏幕左上角显示xP，yP，xM，yM及xPxM＋yPyM的值.师：xPxM＋yPyM对应什么概念的运算？生：师：请将看到的变与不变现象编写成一道定值证明题.形式：已知……，求证…….用实物投影展示学生自拟的问题：已知椭圆E：长轴的左、右端点分别是点A，B，直线m过点B且与x轴垂直，……问题1：点P在m上移动，求证：问题2：过点A作直线l，与椭圆E交于点M，与直线m交于点P，求证：问题3：点M在椭圆E上，直线AM与m交于点P，求证：【评析】不出笔者所料，大部分学生编拟出问题1，并急于开始用解析法证明，此时笔者引导学生：我们可以换个角度观察，软件中哪些几何元素在变化？学生很快编拟出问题2、问题3.笔者的设计目的不仅仅是编拟出不同的问题，而是要让学生自己去发现、总结解析几何中有哪些方法描述运动变化，养成用不同视角看问题的习惯.显然，变化和动态显示的几何画板软件的作用不可或缺.2.尝试证明，各显神通师：大家以不同的视角编拟了三个定值证明题，现在请思考证明方法.全班分四组，前三组分别解决问题1、问题2、问题3，第四组自选.5分钟后用实物投影展示学生的证明.师：在解析几何试题中，运动型题目精彩纷呈，点动、线动、图形动，表现方式丰富多彩，既扑朔迷离，又因其蕴含了某种相对静止的美而令人赏心悦目.我们不妨称这类问题为定性问题.既有定值、定点、定曲线，也有定平行、定垂直等定关系.请大家总结一下定值问题的证明方法.学生总结：（1）先动后定——即取动点的坐标、动直线的斜率等为参变量，通过代数运算，消去这些参变量，从而得到“定值”；（2）设曲线上的动点坐标，往往对后面的代数运算有简化作用.【评析】从不同的观察视角编拟出不同的表述，不同的表述蕴含不同的解析法证明思路.这样的教学设计，一方面，让学生自己去体会如何根据问题的表述方式寻找证明路径，解决入口难的问题；另一方面，全班同学的合作学习、相互借鉴，在方法选择上有了真实的体验，解决优化思路的问题.3.继续挖掘，巩固方法在上述题目的基础上连接OP，BM，再次运动点P.师：图中还有什么不变性？生：OP⊥BM.在几何画板软件中用度量工具，得kOP，kBM，计算显示kOP·kBM的值，再次运动点P，确实有kOP·kBM=-1.师：请大家在刚才编拟的问题中添加问题：连接BM，OP，求证：OP⊥BM.利用前面的结论（动点坐标），每组学生都很快用解析法证明了OP⊥BM.师：大家注意观察老师的（在几何画板软件中）画图.Setp1：删去直线OP；Setp2：以MP为直径画圆；Setp3：记该圆与BM的交点为点D；Setp4：连接PD；Setp5：点P在直线m上运动.如图2所示.师：大家能否根据图2，再编拟一道不变性证明题.生1：求证：动直线PD过定点O.师：你怎么看出动直线PD过定点O的？生1：直径所对的圆周角是直角，所以这个PD就是刚才的OP.学生用前面的动点坐标结论，每组都会证明.师：怎么知道要令y＝0的？生2：我已经知道这个定点了.师：如果事先不知道呢？生3：那就对直线方程分离参变量来处理.师：如果直线PD的方程也没有，能知道定点的大致位置吗？生4：根据椭圆的对称性，定点一定在x轴上.在几何画板软件中，追踪动直线PD，尾曵直观地显示出定点为O.学生总结定性（定点、定关系）问题的证明方法：（1）先动后定：即取动点的坐标、动直线的斜率等为参数，表示出几何量，通过计算表明，性质与参数变化无关；（2）对称性有助于直觉判断定点的大致位置，对代数运算有指向作用.【评析】正如前一环节定值本质的动态显示，几何画板软件简单、直观地给学生提供了“发现—猜想—验证”的有效探究途径.同时，垂直、定点的不变性证明巩固了先动后定的解析法证明路径.通过将线线垂直与圆的直径所对圆周角为直角的联系，再一次转换视角改编问题，引入动直线过定点问题，既拓展了研究的类型，又巩固了研究的方法，从而提高了课堂学习的效率.4.逆向思考，领悟本质师：现在我们反过来思考，难道就只有椭圆才有这样的不变性？换个其他的椭圆，如改变a，b，c，e等基本量的值，像上面所说的向量的数量积、两条动直线垂直等还能不变吗？生5：当与椭圆E的离心率相同时都有这样的不变性.这就如在office中处理图片，只要锁定纵横比，图形都是相似的.师：很好，也就是说如果我们约定还是这样作图，要保证OP⊥BM，或者要保证为定值，就可以求椭圆的离心率.请大家自拟题目，并进行探究.探究1：已知椭圆长轴的左、右端点分别是点A，B，直线m过点B且与x轴垂直，动点P在直线m上，AP与椭圆交于点M，若恒有BM⊥OP，求椭圆的离心率. 【评析】圆锥曲线的定义告诉我们，离心率决定了曲线的形状，那些定性都与形状密切相关.通过逆向思考、探究和实证，学生发现了一类椭圆的性质，在此基础上加深了对圆锥曲线定义的理解.5.余音绕梁，不绝于耳师：到现在为止，我们一直研究过椭圆右顶点的直线m，不过我们最熟悉的直线是什么？生6：准线.师：如果将直线m移至右准线位置，情况又如何？我们先用几何画板软件看看.以椭圆为例，右准线：观察发现，不是定值；OP与BM也不垂直，但神奇的是kOP·kBM仍然是一个定值，几何画板软件显示值为-0.86；过点P与直线BM垂直的直线仍然过x轴上的一个定点.学生沿用先动后定的策略，很快找到定值kOP·定点坐标受此启发，学生兴致勃勃，有的说可以将问题一般化，有的说直线m是任意位置怎么样……下课了，学生仍然在讨论.【评析】虽然一节课的时间是有限的，但在有限的时间内，借助几何画板软件，点燃了学生探究的热情，使其学会了一类问题的证明方法，更重要的是学会了提出问题，并有兴趣尝试证明或否定自己所提出的问题的正确性，这无疑也加深了其对数学的理解.这节课以基本图形为载体，并借助几何画板软件中的运动、度量、计算等功能，从正、反两个思维方向引导学生不断提出定值、定点、定关系（垂直）等不变性问题，并探究定性问题背后所隐含的椭圆本质——离心率，使学生获得对椭圆再学习的提升.1.技术搭建探究的平台本节课借助几何画板软件，首先动态展示椭圆的变化中的不变性，简单、直观、易于被接受，也很容易将看到现象及从不同的角度描述运动的过程，不同的描述带来不同的证明路径；即使改变直线m的位置，也一样可以轻而易举地探究结论是否成立，即使不成立也容易找到正确的、新的结论.几何画板软件给学生提供了验证猜想合理性的有效途径，所以笔者认为教师对现代教育技术的应用并不是纯粹的展示，而是要注重结合理性分析，揭示直观现象背后的本质，为探究活动搭建平台. 在逆向探究恒有OP⊥BM，求椭圆的离心率时，笔者原来设想直接在几何画板软件中拖动单位点，从而改变单位长度大小，椭圆变大或变小，但线线垂直关系不变.后来发现，虽然能看到椭圆变大或变小了，但仅仅是单位长度变大或变小，即椭圆的方程不变，这种操作不能说明椭圆大小在变，但离心率不变的道理.仔细钻研几何画板软件功能，完全可以设计出方程与图形都在变的图形，从而将学生的描述：这就如在office中处理图片，只要锁定纵横比，图形都相似的现象直观地展示出来.2.发现激发研究的兴趣爱因斯坦认为，提出（发现）一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.高三复习课中的一个普遍现象是刷题，学生从未想过自己来编拟试题，机械、重复地刷题得到的经验是短暂的.本节课笔者设计使用几何画板软件，让学生观察现象，猜想结论，编拟问题，尝试解决，使学生不仅能解决问题，而且还能发现问题，这样对培养学生的创新能力是很有帮助的.追问是否就只有椭圆才有这样的不变性再次引导学生理性思维，使其经历从特殊到一般的研究过程，回到“观察现象—提出问题—尝试解决”的研究套路上来，一步步、一层层，学生学会合理改编问题、提出问题、猜想结论，像数学家那样思考.3.文化浸润数学的审美数学中充满了美，如图形之美、结构之美、公式之美、方法之美、思维之美等.数学美有对称美、和谐美、简单美、奇异美等.庞加莱认为，能够做出数学发现的人就是具有能够感受到所谓数学美的这种感性的人.换言之，这种人具有数学秩序的感觉，并且以这种感觉去预知数学中隐藏着的关系，只有具有这种直觉、这种难以言状的感觉的人，才能做出数学发现.与数学美异曲同工的是文化艺术.自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也.这段话淋漓尽致地描述了变与不变的真谛.数学课堂设计中若能融入哲学、文学，不仅能够增强课堂的艺术气氛，而且可以通过数学学习，更加深刻地理解文化艺术中的意境；反过来，文学艺术的审美也能促进学生理解数学.【相关文献】［1］余建国.基于算法思想的解析几何运算策略案例研究［J］.中学数学（高中版），2015（5）：95-97.［2］陶冶.在“变与不变”中凸现本质呈现规律：以椭圆内接四边形的复习教学为例［J］.中学数学（月刊），2015（9）：21-24.［3］余建国.斐波那契数列的通项公式探究教学启示［J］.中国数学教育（高中版），2014（10）：19-22，28.。

2022江苏高考数学二轮复习教学案(祥解)--圆锥曲线(含轨迹问题)

2022江苏高考数学二轮复习教学案（祥解）--圆锥曲线（含轨迹问题）本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B 级考点，其余差不多上A 级考点，但高考必考．在明白得定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，专门是圆锥曲线中的离心率运算(含范畴)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 把握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；把握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．1. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．3.双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范畴是________．【例1】已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1) 求椭圆G 的方程； (2) 求△PAB 的面积．【例2】直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．【例3】已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若只是定点，请说明理由．【例4】 (2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：(x －1)2＋y 2＝16与点A(－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M 、N ，连结QM 、QN ，分别交直线x ＝t(t 为常数，且t ≠2)于点E 、F ，设E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，求y 1·y 2的值(用t 表示)．1. (2011·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为__________．2.(2010·全国)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D 点，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．3.(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好通过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范畴为________．5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.(1) 当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA ⊥PB.6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求出F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 假如BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求现在椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0.(1分)AT ：x a 2c＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y －b ＝1 ③，(3分) 联立①②③解得：交点C ⎝⎛⎭⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得(4分)⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋(a 2－c 2)2(a 2＋c 2)2＝1，(5分)满足①式，则C 点在椭圆上，A 、C 、T 三点共线．(6分) (2) 解：过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，△OBF ∽△ECF.∵BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b 2＝1，∴ a 2＝2c 2，b 2＝c 2.(7分)设P(x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.(8分)现在C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c·4c 3＝43c 2，(9分) 直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c|5＝x 0＋2y 0－2c5， S △APC ＝12d·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c 3·c.(10分) 只需求x 0＋2y 0的最大值．(解法1)∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)(11分)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c.(12分)当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c.(13分)(解法2)令x 0＋2y 0＝t ，代入x 2＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.(11分)Δ＝(－4t)2－24(t 2－2c 2)≥0，得t ≤6c.(12分) 当t ＝6c ，代入原方程解得：x 0＝y 0＝63c.(13分)∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，(14分) ∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，(15分)现在椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.(16分)第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)1. 已知方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范畴是________，若该方程表示双曲线，则m 的取值范畴是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞)2. 点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1 ，F 2为椭圆的焦点，假如∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．【答案】 633. 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－14. 设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．【答案】 1＋362 解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，因此只要求|CQ|的最大值．设Q(x ，y)，∴ |CQ|＝x 2＋(y －2)2＝9(1－y 2)＋(y －2)2＝－8y 2－4y ＋13， ∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，|CQ|max ＝272＝362，∴ |PQ|max ＝1＋362.5. (2011·南京二模)如图，椭圆C ：x 216＋y 24＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点． (1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．(1) 证明：由题意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)．因此直线DE 的方程为y ＝x －2，直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝65，因此直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫165，65.因为⎝⎛⎭⎫165216＋⎝⎛⎭⎫6524＝1，因此点⎝⎛⎭⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上．即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2) 解：直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k 11＋4k 21，y ＝2－8k 211＋4k 21，因此点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21. 因为k 1k 2＝－14，因此直线BS 的斜率k 2＝－14k 1，直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－14k 1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k 11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21.因此点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21. (若写成“同理可得点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”也能够) 因此R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O.6. (2011·扬州三模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24 (c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 通过两点⎝⎛⎭⎫1，423、⎝⎛⎭⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 通过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范畴．解：(1) 令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b 2，得⎩⎨⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1，因此m ＝19，n ＝14，即椭圆为x 29＋y 24＝1. (2) 直线AB ：x －a ＋yb ＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫x 02，y 02，因此点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝x 20＋y 24，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y 2＝c 24作差，即有直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c 24. 因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，因此x 0－a ＋y 0b ＝1，因此x 0⎝⎛⎭⎫x ＋b a y ＋⎝⎛⎭⎫by －c 24＝0，因此⎩⎨⎧x ＋ba y ＝0，by －c24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c 24b ，故定点E ⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ，OP →·OE →＝⎝⎛⎭⎫x0，b a x 0＋b ·⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ＝c 24.(3) 直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的半焦距)相离，则ab a 2＋b 2＞c2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)，得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，因此0＜e 2＜3－ 5.①连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt △OPN 中，OP ＝2ON＝2r ＝c ，因此aba 2＋b 2≤c ，a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)，a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0. 因为0＜e ＜1，因此3－52≤e 2＜1.②由①②，得3－52≤e 2＜3－5，因此5－12≤e ＜10－22. 基础训练1. 3或2532. 32 3. 26＋44. [2－1,1) 解析：∵ PF 1PF 2＝e, ∴ PF 1＝ePF 2＝e(2a －PF 1)，PF 1＝2ae1＋e ，又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴ a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a(1－e)≤2ae 1＋e ≤a(1＋e)，1－e ≤2e1＋e ≤1＋e ，解得e ≥2－1.又0＜e ＜1, ∴ 2－1≤e ＜1.例题选讲例1 解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 因此椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，因此PE ⊥AB.因此PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.现在方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.因此y 1＝－1，y 2＝2. 因此|AB|＝3 2.现在，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，因此△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92. 例2 解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3. 因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，因此812＋1b 2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)．由AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，① 又A 、B 在椭圆C 上，因此⎩⎨⎧(－3x 2＋12)212＋(－3y 2)23＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝103，y 2＝23.因此B ⎝⎛⎭⎫103，23，代入①得A 点坐标为(2，－2)．因为OA →·AB →＝0，因此OA ⊥AB. 因此过O 、A 、B 三点的圆确实是以OB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.变式训练已知点P(4,4)，圆C ：(x －m)2＋y 2＝5(m<3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1) 求m 的值与椭圆E 的方程；(2) 设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范畴．解：(1) 点A 坐标代入圆C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m ＜3，∴ m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0.∵ 直线PF 1与圆C 相切，∴ |k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴ c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0). 2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2.椭圆E 的方程为：x 218＋y 22＝1.(2) AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵ x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18，而x 2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy ≤3. 则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范畴是[0,36]. x ＋3y 的取值范畴是[－6,6]．∴ AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范畴是[－12,0]. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)例3 解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0，解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ M ⎝⎛⎭⎫－65，45.(2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0.∵ k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可运算得k PN ＝5k4－4k 2.∴ 直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0.变式训练在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其焦点在圆x 2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆的方程；(2) 设A 、B 、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cosθOA →＋sinθOB →.① 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； ② 求OA 2＋OB 2.(1) 解：依题意，得c ＝1.因此a ＝2，b ＝1.因此所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2) ①证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②.又设M(x ，y)，因OM →＝cosθOA →＋sinθOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cosθ＋x 2sinθ，y ＝y 1cosθ＋y 2sinθ. 因M 在椭圆上，故(x 1cosθ＋x 2sinθ)22＋(y 1cosθ＋y 2sinθ)2＝1. 整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cosθsinθ＝1.将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0. 因此k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．② 解：(y 1y 2)2＝⎝⎛⎭⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1. 又⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2.因此OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3.例4 解：(1) 连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4，因此RA ＋RB ＝4＞AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2) 设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，－y 0)，QM 、QN 的斜率分别为k QM 、k QN ，则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2，因此直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)．令x ＝t(t ≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)，又(x 0，y 0)在椭圆x 204＋y 203＝1上，因此y 20＝3－34x 20.因此y 1·y 2＝y 20x 20－4(t －2)2＝⎝⎛⎭⎫3－34x 20(t －2)2x 20－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t ≠2.高考回忆1. x 29－y 227＝1 解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1.因此c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，因此λ＝27.因此双曲线的方程x 29－y 227＝1.2. 33 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，设D(x 2，y 2)，B(0，b)，C(c,0)，BF →＝(c ，－b)，FD →＝(x 2－c ，y 2)⎩⎨⎧x 2＝32c ，y 2＝－b 2.∴ 1a 2·94c 2＋1b 2·b 24＝1，∴ 94e 2＝34，∴ e ＝33.3. x 25＋y 24＝1 解析：作图可知一个切点为(1,0)，因此椭圆c ＝1.分析可知直线AB 为圆x 2＋y 2＝1与以⎝⎛⎭⎫1，12为圆心，12为半径的圆的公共弦．由(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝14与x 2＋y 2＝1相减得直线AB 方程为：2x ＋y －2＝0.令x ＝0，解得y ＝2，∴ b ＝2，又c ＝1，∴ a 2＝5，故所求椭圆方程为：x 25＋y 24＝1.4. (1，2) 解析：由题可知A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ，c －a 2c <ab c ，∴ b<a ，∴ c 2－a 2<a 2，∴ c a <2，即1<e< 2.5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－2)，M 、N 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22，直线PA 平分线段MN ，又直线PA 通过原点，因此k ＝22.(2) 直线PA ：y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋2y 2＝4，得P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43，C ⎝⎛⎭⎫23，0，AB 方程：y －43＝x －23－23－23，即：x －y －23＝0，因此点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－232＝223.(3) (解法1)由题意设P(x 0，y 0)，A(－x 0，－y 0)，B(x 1，y 1)，则C(x 0,0)，∵ A 、C 、B 三点共线，∴ k AC ＝k AB ，y 02x 0＝y 1＋y 0x 1＋x 0，又因为点P 、B 在椭圆上，∴ x 204＋y 202＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1＝－x 0＋x 12(y 0＋y 1)，∴ k PA k PB ＝y 0x 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 0＋x 12(y 0＋y 1)＝－(y 1＋y 0)(x 0＋x 1)(x 1＋x 0)(y 0＋y 1)＝－1，∴ PA ⊥PB.(解法2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点T(x 0，y 0)，则P(－x 1，－y 1)，C(－x 1,0)，∵ A 、C 、B 三点共线，∴ y 2x 2＋x 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 12x 1＝k AB ，又因为点A 、B 在椭圆上，∴ x 224＋y 222＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：y 0x 0＝－12k AB ，∴ k OT k PA ＝y 0x 0·y 1x 1＝－12k AB ×2k AB ＝－1，∵ OT ∥PB ，∴ PA ⊥PB. (解法3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k 1＋2k 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，0， k AC ＝2k1＋2k 241＋2k 2＝k 2，直线AC ：y ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 1＋2k 2，代入x 24＋y 22＝1得到⎝⎛⎭⎫1＋k 22x 2－2k 21＋2k 2x －4＋6k 21＋2k 2＝0，解得x B ＝4＋6k 2(2＋k 2)1＋2k 2，k PB ＝y B －y P x B －x P ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B－21＋2k 2x B －21＋2k 2＝－4k 4k 2＝－1k .∴ k PA ·k PB ＝k·⎝⎛⎭⎫－1k ＝－1，∴ PA ⊥PB. 点评：本题要紧考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判定．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力，考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综合解题能力，属难题．6. 解：(1) 由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2) 设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得 (x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，因此x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，因此x 2＋2y 2＝20.因此P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．。

数学二轮复习教案：第一部分专题五解析几何第三讲第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题

第三讲圆锥曲线的综合应用第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题圆锥曲线中的定点问题［方法结论]定点的探索与证明问题（1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b,k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；（2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．[典例］（2017·洛阳模拟)设椭圆E：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的右焦点为F,右顶点为A,B,C是椭圆上关于原点对称的两点（B，C均不在x轴上）,线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．（1）求椭圆E的离心率；(2）设F(1,0），过F的直线l交E于M，N两点，直线MA,NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.解析：(1)法一：由已知A（a,0），F（c,0)，设B(x0，y0)，C（－x0－y0)，则D（错误!,－错误!）,∵B，F，D三点共线，∴错误!∥错误!，又错误!＝(c－x0，－y0)，错误!＝(错误!，－错误!），∴－错误!y0（c－x0)＝－y0·错误!,∴a＝3c,从而e＝错误!。

法二:设直线BF交AC于D,连接OD，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD綊错误!AB，∴错误!∥错误!，∴△OFD∽△AFB.∴错误!＝错误!，解得a＝3c,从而e＝错误!。

（2）∵F的坐标为(1，0)，∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8。

∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。

设直线l的方程为x＝ny＋1，（n≠0）由错误!⇒（8n2＋9)y2＋16ny－64＝0,∴y1＋y2＝－16n8n2＋9，y1y2＝错误!，其中M（ny1＋1，y1),N（ny2＋1，y2)．∴直线AM的方程为错误!＝错误!,∴P(9，错误!），同理Q（9，错误!)，从而错误!·错误!＝（8，错误!)·(8，错误!）＝64＋错误!＝64＋错误!＝64＋错误!＝0。

∴FP⊥FQ,即以PQ为直径的圆恒过点F.［类题通法］定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明,求解的方法常见的有如下两种：（1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程求出定点；(2）曲线过定点，先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点，与变量无关．[演练冲关］（2017·高考全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:错误!＋y2＝1上,过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（1）求点P的轨迹方程；（2)设点Q在直线x＝－3上，且错误!·错误!＝1,证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析：(1）设P（x,y）,M(x0，y0)，则N(x0，0），错误!＝（x－x0,y)，错误!＝（0,y0），由错误!＝错误!错误!得x0＝x，y0＝错误!y.因为M(x0,y0)在C上，所以错误!＋错误!＝1。

高三数学二轮复习圆锥曲线备课资料人教版

高三数学二轮专题复习——圆锥曲线一、教学目标:1．掌握圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质． 2．简单几何性质的灵活应用． 3．进一步体会数形结合思想及方程思想二、学情分析：由于我校学生基础差，学习解析几何较困难、学习程度也较浅，学生对坐标法解决几何问题掌握还不够。

这部分知识内容多，知识交汇点多。

教学时应多引导多启发，以提高学监决问题的能力。

三、教学方法:详细复习知识点之后，讲练结合完陈教学目标四、重难点圆锥曲线定义及简单几何性质的灵活运用；求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。

五、本专题知识总结圆锥曲线的定义1 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{2a2a1F2a2a1F 22221x y a b +=22221y x a b +=22221x y a b -=22221y xa b -=22221x ya b +=2a x c =±22221x y a b -=c e a =2ax c=±b y x a =±2p 2p 222122=ac 21222=-a b a .)(221212121y y x x x x y y ++-=--002y x 2121002y x ⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则89,1692=a 2291698y x +21,22222=-=ab a ac 得22214k k +2212k k +212,22121y y x x ++2222122121k k k k+⋅=+-232323232323232121x x y y --2A 2C ，求m 的取值范围命题意图本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强知识依托椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法1y=12x BAoyx-1121QPo yxF 1F 2B'CBAo yx错解分析第三问在表达出“=36250”时，忽略了“=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系技巧与方法第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义即焦半径公式求解，第三问利用m 表示出弦AC 的中点的范围解 1由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B ||F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3 故椭圆方程为92522y x +=1 2由点B 4,B 在椭圆上，得|F 2B |=|B |=59 因为椭圆右准线方程为=425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=学思想的渗透。

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投稿邮ｓｊｖ３ｏ箱：ｋｉ１ｒｘ
教学研究＞反思教学
一
个顶点到它的一条渐近线的距离为
＇
法的联系．大量的知识点或习题 “ 缩 ” 把浓到一个具体的题目上．分挖掘知识的内充
（）Ａ＂Ｆ１与切线有关的题目）１ｋｏ一（；
（）．＝（韦达定理联系的题２ｏ与
目）；
原到线距为ｃＩ线圆心的轨迹方程．点直ｆ离＿，双的罕贝曲Ｊ
的离心率为一解通过上面几个题目的练习，生加深学
涵和外延，能做到 “ 题多变 ” 题多才一．一
㈤用点的利
值范围：
标范围坐标范围』
数的取
１
，
则ｍ等于（
Ａ．１
）
Ｃ．３Ｄ．４
）
（）目中的已知条件ｊ参数的取值３题
范围：
Ｂ．２
变式２若动圆过定点Ａ（，）定圆Ｏ４和Ｃ：２（＋）外切，动圆圆心Ｐ２＋４求的轨迹
时要注意引导学生思考，发学生自己处启
理这些问题的大策略、思维．要让学生大
在对各章节知识的理解和应用中，断渗不
设动圆圆心为Ｐ．径为ｒ则半。
ＩｃＩ８ＩＩ２ｒ故ｌ。Ｐ＝船＝＋，
１ｎ
ｌ＝
了对该部分知识的印象．果非常好！效教师将讲授的知识点组合成知识体系，步逐形成扩展的知识结构系统．学生能在大使
２５９
５．定值问题（括求定点和定直线包
的问题）．
变式１已知动圆Ｃ定圆Ｃ：＋ｙ和．２（一ｘ４６￣切，定圆Ｃ：＋４４外）４１和＝－２（＋）也＝
６弦ｄＶ．长＝
ｚ、１ｌＩ／＿＝＋
１０为长轴长的椭圆．ａ５，＝所以ｂ３，＝Ｃ４，：
所以动圆圆心的轨迹方程是＋：．１
个条理化、序化、络化的有机体系．有网这样在解题时．根据题目提供的信息得能到启示，记忆系统中 “ 出 ” 关信息进从拿有
的一元二次方程，用韦达定理求出弦长）．
７．存在性：般情况，直线方程与一由
曲线方程联立得一元二次方程，虑的考 △ ０韦达定理．＞和归纳知识点，师可以通过题目来进教
Ｉ・ｌ６方程是－＝（＜）ｌＪＩ，－ｐ＝ｃ９＿１ｙ０）Ｚｘ
变，当地变化原题的问题条件、程和适过
结论，以便沟通不同知识点问的联系，深化对数学概念、律的理解与应用，效规有
（）知抛物线。１焦点是坐４已＝一的
（）题过程中推得的条件ｊ参数的４解
取值范围．
标原点．以抛物线与两坐标轴的三个交则
点为顶点的三角形面积为一（）双曲线２５设Ｘ
一
地提高思维的各种品质．例如．讲解用定义法求轨迹方程在
时．出现了这样一道题目：已知动圆Ｃ和定圆Ｃ：％（－）６．ｘｙ４２４－＝切，和定圆：（４）－￣切，动圆而＋ｙ．２４ｂ求４－
透、断总结归纳，白当教师解答习题不明
方程．类似可得ＩｃＩｌ４＝，方程是（尸２ —尸ｌ｝
２
产＝（）１）
１）
时，能用自己的计算和推理知道教师要干什么，当题目的答案给出时，花一定的会
脑记忆系统中构建数学认知结构，成一形
（）ｏＩ１ｏＩｓ容易写出３Ｉ８ｌａＩａ＋：（
各线段长度的题目）；
（）直，圆中有特殊的处理方法，４垂在用垂径定理．
所以，的轨迹是以Ｃ，２焦点，点Ｐｌｃ为
时间进行认真总结、纳、解、忆，归理记努
行巩固加强，如在归纳几何性质时，例教
师可以让学生通过教辅资料的题目进行
ｋ２
行整合，找解题途径，够选出与题目寻能
的信息构成最佳组合的信息，化解题过优
切，动圆圆心的轨迹方程．类似可得求（
ｌ—２（Ｙ＿ｌｙ分别整理出的一元二次方程或Ｙ程．在高三数学复习中．师在讲授的同Ｊ教
４垂直问题相同意义：Ｂ是圆０的直径；ＡＡ０上
＝
１Ｏａ６的半（＜＜）
０
Ｂ；ＯＢ－．ＯＡ．＆Ｏ－－－－
解决这类问题的思路：
焦距为ｃ直线ｌ（，）（，）点，，过口０，０ｂ两已知