一元二次方程小结
一元二次方程小结
第二十二章《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程*（4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•将a、b、c代入求根公式x=a2ac 4bb2-±-（b2-4ac≥0）就得到方程的根．（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一、 一元二次方程的定义1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 二、 一元二次方程的解1. 方程解的含义解题方法：将方程的根带入方程求出参数.三、 解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）1. 直接开平方法：适用于)0()()0(22≥=+≥=b b a x a a x 或形式的方程. 2. 配方法：2222244)2(0)0(0a ac b a b x b c x a b x a c bx ax -=+⇒=++⇒≠=++. 注意：用配方法解方程时必须注意在方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.3. 公式法：a ac b b x ac b c bx ax 24040222-±-=≥-=++时当. 4. 因式分解法：将一元二次方程化简成一般式后，把等号左边的多项式进行因式分解，再根据“如果，0=ab ，那么00==b a 或”进行求解.注意：利用因式分解法解方程时,将方程的一边分解因式而方程的另一边必须化为零;四、 判别式与一元二次方程解的个数的关系1. 一元二次方程解与判别式的关系：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况可由根的判别式△=ac b 42-的值来决定,它的值与一元二次方程的根的关系是:①042>-ac b ⇔方程有两个不等的实数根.②042=-ac b ⇔方程有两个相等的实数根.③042<-ac b ⇔方程没有实数根.五、 一元二次方程的应用题（增长率、面积、握手、传染）1. 增长率问题：设a 为原量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则nx a b )1(+=.2. 面积问题：先通过平移变换，再根据面积公式列出方程.3. 握手问题：n 个人见面，任意两人都要握手一次，一共握手2)1(-n n 次. 4. 传染问题：一人感染，一人传染x 人，第一轮：1＋x ；第二轮：1＋x ＋x （1＋x ）.六、 根与系数的关系1. 根与系数的关系：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x 则a cx x a b x x ==+2121-，.注意：使用根与系数的关系时需要先检验△。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一元二次方程知识点总结一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如ba x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
(2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，acb 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△<0时，一元二次方程没有实数根 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax的两个实数根是21x x ，，那么ab x x-=+21，ac xx =21。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
一元二次方程解法总结
一元二次方程解法总结一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有以下几种：公式法、配方法、因式分解法和图像法。
1. 公式法：公式法是解一元二次方程最常用的方法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的解可以用下面的公式表示：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
这个公式称为一元二次方程的求根公式，通过将方程中的a、b、c带入公式中，可以计算出方程的两个解x1和x2的值。
其中，b^2-4ac称为判别式，通过判别式的值可以判断方程的解的性质：- 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；- 当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；- 当判别式小于0时，方程没有实数解，有两个共轭的复数解。
2. 配方法：配方法是一种通过将方程变形的方法来解一元二次方程的方法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过配方法将其变形为(x+p)^2=q的形式，然后通过开平方的方式求解。
具体步骤如下：- 将方程移到等号右边，即ax^2+bx=-c；- 对方程进行配方，即在方程两边同时加上一个适当的常数p，使得左侧可以完全平方；- 然后再次移项得到(x+p)^2=q的形式，其中q=c-(b^2)/(4a)；- 对方程两边同时开平方，得到x=-p±√q；通过配方法得到的解与公式法得到的解是一致的。
3. 因式分解法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果能够将它因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，那么方程的解就可以通过因式分解得到。
具体步骤如下：- 对方程进行因式分解，即将方程因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式；- 然后求解方程(a1x+b1)=0和(a2x+b2)=0，得到x的值；由于一元二次方程的解要满足原方程，因此需要将求得的x值代入原方程进行检验。
4. 图像法：图像法是通过观察一元二次方程在坐标系上的图像来解方程的方法。
一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要概念，它在数学和实际问题中应用广泛。
在本文中，我们将对一元二次方程进行归纳总结，包括定义、解的性质、解的判断和应用等方面。
一、定义一元二次方程是指形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
其中，x表示未知数，该方程的图像是平面上的抛物线。
二、解的性质1. 解的个数一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
判别式Δ=b^2-4ac反映了方程的解的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
2. 解的性质对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，假设它的两个实数根为x1和x2，则有以下性质：- x1+x2=-b/a，其中a≠0；- x1*x2=c/a，其中a≠0。
三、解的判断解一元二次方程时，可以通过以下方法来确定方程的解的情况：1. 利用判别式Δ=b^2-4ac进行判断；2. 利用一元二次方程的图像进行判断，即通过方程的平移、伸缩、翻转等变化来观察是否与x轴相交。
四、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 二次函数的图像：将一元二次方程与平面上的抛物线联系起来，研究其图像的性质，如开口方向、顶点坐标等；2. 物理问题：抛体运动、自由落体等问题可以通过建立一元二次方程来求解；3. 经济问题：例如某公司销售利润的变化与时间的关系可以建立一元二次方程来表达；4. 工程问题：建筑、桥梁等工程中的抗压强度等问题可以通过一元二次方程进行分析。
综上所述，一元二次方程作为高中数学中的重要内容，其定义、解的性质、解的判断和应用等方面需要我们进行归纳总结。
通过深入理解和应用一元二次方程，可以帮助我们更好地掌握和应用数学知识，提升解决实际问题的能力。
无论是在学术领域还是日常生活中，一元二次方程都扮演着重要的角色。
一元二次方程知识归纳总结
一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。
在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。
2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。
三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。
2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。
4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。
四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。
它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。
一元二次方程的知识点总结
一元二次方程知识点的总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为 的一元.二次方程(2) 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）， 则a=0或(3） 法 （4) 法,其中求根公式是 当 时,方程有两个不相等的实数根.（5) 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值题（1） 一元二次方程的应用 (2） （3) 可用于解决实际问题的步骤 （4）（5）（6） 知识点归类建立一元二次方程模型知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式.例 下列关于的方程,哪些是一元二次方程？ ⑴；⑵；（3)；（4)；（5）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为(a ，b ，c 是已知数，)。
其中a ，b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.注意:（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
（3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）; （2）； （3)例2 已知关于的方程是一元二次方程时,则知识点三 一元二次方程的解一元二次方程使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
解一元二次方程数学知识点总结
解一元二次方程数学知识点总结
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c都是已知实数，并且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程主要包括以下几个知识点：
1. 二次方程的根：一元二次方程的解也称为方程的根。
如果方程有解，那么可能有两个实数解、一个实数解或者没有实数解。
2. 判别式：判别式是b^2 - 4ac，用来判断一元二次方程的解的情况。
如果判别式大于0，方程有两个不同的实数解；如果判别式等于0，方程有两个相等的实数解；如果判别式小于0，方程没有实数解，但可能有复数解。
3. 求解方法：解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式。
因式分解法适用于一些特殊情况，如方程可以被整除，可以提取公因式等。
配方法适用于一般情况，通过变形将方程配方成一个平方。
求根公式是一元二次方程的一般解法，根据判别式来计算方程的解。
4. 图像和性质：一元二次方程的解与二次函数的图像有关。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次系数a的正负确定。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
方程的解对应于抛物线与x轴的交点。
总结起来，解一元二次方程需要掌握判别式的计算和判断、求解方法的应用以及与二次函数图像的关系。
同时，还要注意一些特殊情况的处理，如方程没有实数解、有重根或复数解等。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程一、定义1.一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
2.一般式：)0(02≠=++a c bx ax其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项。
3.根：如果0x 满足)0(0020≠=++a c bx ax ，则0x 就是方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根。
判断一个方程是否是一元二次方程，（从定义出发），必须符合以下四个标准：（1）整式方程；（2）方程中只有一个未知数；（3）化简后方程中未知数的最高次数是2；（4）未知数次数为2的项系数不为0。
二、一元二次方程的解法I 一般解法1.直接开平方法对于形如m x =2或)0,0()(2≥≠=+m a m b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
例：2(3)81x +=，直接开平方,39x +=±2.配方法通过配方把一元二次方程转化成形如m b ax =+2)(的方程，再运用直接开平方法的方法求解。
例：22840x x ++=，配方，22(2)4x +=3.因式分解法因式分解法分解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0。
即：若0=ab ，则0=a ，或0=b 。
对于二次三项式)0(02≠=++a c bx ax 如果可以因式分解，则必可以分解成))((21x x x x a --，其中21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根。
当一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根时，二次三项式)0(02≠=++a c bx ax 无法在实数范围内分解。
因式分解法一般步骤：（1）将方程化成一元二次方程的一般形式；（2）把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；（3）令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；（4）解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
完整版一元二次方程归纳总结
( )2x i X2•元二次方程归纳总结注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：③代公式：X,,2 —一b一4ac(要注意符号) 3、一元二次方程的根与系数的关系2法1 :一元二次方程ax bX c 0 (aX i b 后4ac----------- ,X22a所以：X i X22ab 4ac2a b 4ac b2ab 4b4ac b J b2 4ac ( b)22a (2a)2 2a 4ac 4a221、一元二次方程的一般式：ax bX c0 (a 0)，a为二次项系数，b为一次项系数, c为常数项。
2、一元二次方程的解法(1)直接开平方法2①Xa(a 0) 解为：X②(X a)2b(b 0) 解为：X a③(ax b)2c(c 0) 解为：ax b④(ax b)2(cx 2d) (a c) 解为: ax b(cxd)(3)公式法: 一元二次方程2ax2 bX c 0 (a 0)，用配方法将其变形为: (X2a)2b2 4ac4a2①当4ac②当b24ac③当b24ac 0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根:0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根:0时，右端是负数.因此，方程没有实根。
X l,2v b4ac2a2a①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式:2ax bx c 0 ( a 0)，并确定出a、b、②求出2b 4ac，并判断方程解的情况。
2a0)的两个根为:(也可以使用因式分解法)(2)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法24、应用题定理：如果一元二次方程 axbx c 0 (a 0)定的两个根为X 1, X 2，那么:法2:如果一元二次方程 2 ax X i bx 2ax bx c 0 a(x X i )(X X 2 X 2 法3: 如果一元二次方程 ax 2 bcX 2 -, X 1X 2 -a a c 0 (a 0)定的两个根为X i ,X 2；那么 X 2) 0 两边同时除于a ，展开后可得: (X i X 2)X X i gX 2 0 X 1 X 2bc -；X 1 ?X 2a bX 0(a 0)定的两个根为 X 1,X 2 ;那么 ax-,2bx 1 c ax 22bx 2 c 0L 常用变形: 2X 1 2 X 2 (X 1 0L |X 1 X 2 | ②得：X , x 2 (余下略) X 2)2 2X I X 2， X2(X1X 2)2 (X 1 X 2)2 4X 1X 2，X i X 2 XX 2A /C X X 2p 4X 1X 2，2X 1X 2X 12X 2 x 1 x 2(x 1X 2)，X 2 X 1 X 1X 2 2 2/ \2X 1 X 2 (X 1 X 2)4X 1X 2 练习: 【练习 11 2(1) X 1 【练习21X 1X 2 X 1X 2 若X 1, X 2是方程X 2 2X 2；1⑵—X 1 已知关于X 的方程x2x X 22(k20071)X 0的两个根，试求下列各式的值: (X 1 5)(X 25)；⑷|X 1^k 21 0，根据下列条件，分别求出 k 的值.4(1)方程两实根的积为5 ；(2)方程的两实根X 1, X 2满足| X 1|X 2.2【练习31已知X 1, X 2是一元二次方程4kx 4kx k0的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使(2为 x 2)(x-i 2X 2 )成立？若存在，求出 k 的值；若不存在,请您说明理由.(2)求使 生 生 2的值为整数的实数 k 的整数值.X 2 X 1(1)平均增长率的问题：a(1 x)nb 其中：a 为基数,X 为增长率，n 表示连续增长的次数,b 表示增长后的数量。
一元二次方程题型归纳总结
一元二次方程题型归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，其解题过程繁多且多样化，掌握不同的题型和解题方法对于学生来说至关重要。
在本文中，我们将对一元二次方程的常见题型进行归纳总结，并提供相应的解题思路和解法。
通过学习和掌握这些题型，相信同学们能够在解题过程中更加灵活和准确地运用相关知识。
1. 完全平方公式题型完全平方公式是解一元二次方程的一种重要方法，其形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，常用于完全平方形式的方程解题中。
在解答这类题目时，我们可以先判断方程形式是否符合完全平方形式，若是，则使用完全平方公式进行求解。
例题：已知 $x^2+6x+9=0$，求解方程的根。
解答过程：首先，我们可以观察到该方程是完全平方形式的，其形式为$(a+b)^2$，其中 $a=x$，$b=3$。
接下来，应用完全平方公式，我们可以得到 $(x+3)^2=0$。
由完全平方公式可知，$(x+3)^2=0$ 的解为 $x=-3$。
因此，方程的根为 $x=-3$。
2. 因式分解题型因式分解是解一元二次方程的常见方法之一，其基本思路是将方程展开为多个因式的积，并根据乘法的逆运算，求解出方程的根。
在解答因式分解题型时，我们首先要将方程化简为标准的一元二次方程，然后通过因式分解的方法解方程。
例题：已知 $2x^2-7x+3=0$，求解方程的根。
解答过程：首先，我们观察到该方程可以进行因式分解为 $(2x-1)(x-3)=0$ 。
根据乘法的逆运算，我们可以得出 $(2x-1)(x-3)=0$ 的解为$x=\frac{1}{2}$ 和 $x=3$。
因此，方程的根为 $x=\frac{1}{2}$ 和 $x=3$。
3. 二次函数图像题型对于某些问题，我们可以通过绘制二次函数的图像来解决。
在解答二次函数图像题型时，我们首先根据题目中给出的条件，确定二次函数的相关参数，然后绘制函数图像，最后通过图像来确定题目所要求的解。
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 首先看方程是否为整式方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。
例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。
- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 步骤：- 确定a、b、c的值。
- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。
- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4、 分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
一元二次方程解法总结
一元二次方程解法总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠一元二次方程的解法总结。
先来说说直接开平方法，就好像是打开一扇神秘的门一样直接！比如说方程x²=4，那不是一下就能知道 x 等于正负 2 嘛，简单粗暴！
然后就是配方法啦，这就像是给方程精心打扮一番。
比如方程
x²+4x=5，我们就把左边加上 4 变成完全平方，这不就好解了！
还有因式分解法，哇塞，这可真是个神奇的办法！比如方程x²-
5x+6=0，可以分解成(x-2)(x-3)=0，那马上就知道 x 等于 2 或者 3 呀。
再讲讲公式法，它就像一把万能钥匙！不管啥样的一元二次方程都能试试。
比如方程2x²+3x-1=0，直接套公式，总能求出答案。
我跟你们说，这几种解法就像是我们手里的利器，对付一元二次方程那叫一个得心应手！想象一下，方程就像一个小怪兽，我们用这些方法一下就把它打败了，多牛啊！你说是不是？咱可不能被那些方程给难住了呀！
一元二次方程的解法真的很重要啊，学会了它们，我们就能在数学的海洋里畅游无阻啦！我们要把这些解法牢牢掌握，在遇到问题时能迅速找出最适合的方法来解决，别犹豫，别害怕，勇敢地去挑战那些一元二次方程吧！
这就是我对一元二次方程解法的总结啦，朋友们可得好好记住呀！。
一元二次方程解法归纳总结
一元二次方程解法归纳总结一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程基于求根公式，通过代入已知数值并进行计算，可以得到方程的解。
本文将对一元二次方程的解法进行归纳总结，并以示例来说明每种解法的具体步骤。
一、因式分解法当一元二次方程可以被因式分解时，可以利用因式分解的性质来解方程。
具体步骤如下：1. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式；2. 设方程两边分别等于0，并利用因式分解的性质，将方程的左侧分解为两个因子的乘积；3. 令每个因子分别等于0，解得每个因子的解，即得到方程的解。
例如，考虑方程：x^2 - 5x + 6 = 01. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式：(x - 2)(x - 3) = 02. 令每个因子分别等于0：x - 2 = 0 或者 x - 3 = 03. 解得x的值：x = 2 或者 x = 3所以，方程的解为x = 2或者x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法通过因式分解来解时，可以使用配方法（也称为“加法配平法”）来解方程。
具体步骤如下：1. 将方程化为一个可完全平方的形式，即将方程的左侧表示为完全平方的平方差形式；2. 根据配方法的原则，将方程的右侧与左侧进行配平，使得方程两侧相等；3. 对方程两侧进行化简，得到一个可求解的简化方程；4. 解简化方程，即可得到原方程的解。
例如，考虑方程：x^2 - 6x + 9 = 41. 将方程化为一个完全平方的形式：(x - 3)^2 = 42. 配方法的原则是：对方程的右侧加上一个适当的数，使得方程两侧相等。
在本例中，我们需要加上5。
所以，将方程两侧加上5：(x - 3)^2 + 5 = 4 + 53. 化简得到简化方程：(x - 3)^2 + 5 = 94. 解简化方程：(x - 3)^2 = 4由于平方的结果是4，所以x - 3 = ±2解得x的值：x = 3 ± 2所以，方程的解为x = 1或者x = 5。
(完整版)一元二次方程知识点总结
一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。
注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
一元二次方程知识整理
一元二次方程知识整理一、什么是一元二次方程一元二次方程是指一个未知数的平方与一次项的乘积再加上一个常数项的等式，通常表达为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c为已知的实数，a不等于0，x为未知数。
二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
这个方程中的x称为未知数，a、b、c则是已知的系数。
方程中的平方项ax^2、一次项bx以及常数项c分别对应了二次函数的系数。
三、一元二次方程的解的判别式一元二次方程的解的判别式是用来判断方程的根的情况的。
判别式的公式为D = b^2 - 4ac。
根据判别式的值可以分为三种情况：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实根；3. 当D < 0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
四、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，可以直接得到方程的解。
2. 完全平方公式法：当方程的判别式D = b^2 - 4ac为完全平方数时，可以利用完全平方公式求解方程。
3. 直接开平方法：当方程的一次项为0时，可以直接将方程两边开平方求解。
4. 二次根式法：当方程的系数较大或判别式较为复杂时，可以利用二次根式的求根公式求解方程。
五、一元二次方程的应用领域一元二次方程在数学中有着广泛的应用。
它可以用来解决与平方关系有关的问题，如抛物线的形状、最值等。
在物理学、工程学等领域中，一元二次方程也经常被用来描述和解决各种实际问题，如抛体运动、电磁波传播等。
六、一元二次方程的重要性一元二次方程是高中数学中的重要内容，它不仅是其他数学知识的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习一元二次方程，可以培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力，为学生今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
七、总结一元二次方程作为高中数学中的重要内容，不仅具有理论性和应用性，而且在解决实际问题中有着广泛的应用。
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一元二次方程练习
一．一元二次方程的概念
1. 、已知方程2(m+1)x 2+4mx+3m －2=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的取值范围是 。
2. 已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2+2x －k 2－2k+3=0的一个根为零，则k= 。
3. 、已知关于x 的方程(m+3)x 2－mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程，则m 的取值范围是
4. 已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+(m+1)x+m －2=0是一元二次方程，则m 的取值范围是 ；当m= 时，方程是一元二次方程
5. 已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+(m+1)x+m －2=0是一元二次方程，则m 的取值范围是 ；当m= 时，方程是一元二次方程。
6. 已知方程：①2x 2－3=0；②1112=-x ；③0131
212
=+-y y ；④ay 2+2y+c=0；⑤(x+1)(x －3)=x 2+5；⑥x －x 2=0 。
其中，是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 。
(只需填写序号)
二. 一元二次方程的解法
1. 25(x+3)2－16(x+2)2=0
2. 、(x+3)(x －1)=5
3. 2x 2－5x －3=0
4. 3x 2－10x+6=0
5. 3x(x+2)=5(x+2)
6. (x －2)2－2(x －2)－3=0；
7. 已知实数a 、b 、c 满足：232
+-a a +(b+1)2+｜c+3｜=0，求方程ax 2+bx+c=0的根。
8. 、m 为何值时方程2x 2-5mx+2m 2=5有整数解?并求其解.
9. 已知2x 2+5xy －7y 2=0，且y ≠0，求x ∶y 。
10. 已知一元二次方程ax 2
+bx+c=0( a ≠0)，当a ，b ，c 满足什么条件时：(1)方程的两个根都为零?(2)方程的两个根中只有一个根 为零?(3)方程的两个根互为相反数?(4)方程有一个根为1?
11. 当a,c 异号时,一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D.不能确定
12. 下列一元二次方程中，没有实数根的方程是
( )
A.2x 2－2x －9=0
B.x 2－10x+1=0
C.y 2－2y+1=0
D.3y 2+ 34y+4=0
13. 一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题
老师： 同学们，今天我们来探索如下方程的解法：
(x 2-x)2-8(x 2-x)+12=0
学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？
老师： 这样，原方程可整理为x 4-2x 3-7x 2+8x+12=0,次数变成了4次，用现有的
知识无法解答。
同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：我发现方程中x 2-x 是整体出现的，最好不要去括号！
老师： 很好。
如果我们把x 2-x 看成一个整体，用y 来表示，那么原方程就变
成y 2-8y+12=0
全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？
老师： 大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y 2-8y+12=0的解是
y 1=6,y 2=2,就有x 2-x=6或x 2-x=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x 1=3,x 2=-2,x 3=2,x 4=-1,嗬，有
这么多根啊
老师： 同学们，通常我们把这种方法叫做换元法。
在这里，使用它最大的妙处
在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法
全体同学：OK ！换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程
061512
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x
三．一元二次方程的根的判别式
1. 关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。
2.如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。
3. 已知一元二次方程x 2－6x+5－k=0的根的判别式∆=4，则这个方程的根为 。
4. 若关于x 的方程x 2－2(k+1)x+k 2－1=0有实数根，则k 的取值范围是( )
A.k ≥－1
B.k ＞－1
C.k ≤－1
D.k ＜-1
5. 、已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程b (x
2-1)-2ax+c (x 2+1)=0有两个相等的实
数根.试判断此三角形形状，说明理由. 四．一元二次方程根与系数的关系
1. 以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
2. 如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根
是，a的值为。
3. .已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。
4.。
、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=
5.已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
6. 若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m= 。
7.已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。
8.方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；
(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17
9.已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。
五．一元二次方程的应用
1.某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。
为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。
经调查发现，如果每台电视机每降价10元，平均每天可多售出5台。
专卖店降价第一天，获利30000元。
问：每台电视机降价多少元?
2.某项工程需要在规定日期内完成。
如果由甲去做，恰好能够如期完成；如果由乙去做，要超过规定日期3天才能完成。
现由甲、乙合做2天，剩下的工程由乙去做，恰好在规定日期完成。
求规定的日期。
3.央视一套热播《乔家大院》后，每周都吸引大
量游客前往参观。
考虑到游客过多对文物产生的
不利影响，还要考虑到保证一定的门票收入，管
理方采取涨浮门票价格的方法来控制人数，在实
施过程中，他们发现：每周参观人数与票价之间
存在如图的一次函数关系，在这种情况下，如果
要保证每周25万的门票收入，那么每周参观人数
应限制到多少？门票价格是多少？。