苏版初二数学上册单元测试：第十三章轴对称
八年级数学第13章《轴对称》测试题(附参考答案)
八年级数学第13章《轴对称》测试题〔附参考答案〕一、填空题1、几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的，再这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、•线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些〔如线段端点〕的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．2、点M(-2，3)关于直线x=1的对称点M'的坐标为．3、已知点P1(a-1，5)与点P2(2，b+2)关于x 轴对称，则a-b ＝。
4、已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，如果x 1+x 2=0，y 1-y 2＝0，那么以A 和B 关于对称。
5、如图，在△ABC 中，AC=BC=2,∠ACB=90º,D 是BC 边的中点， E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是。
6、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为。
7、如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°,∠B ＝30°,BC ＝8，D 为AB 中点，P 为BC 上一动点，连接AP 、DP,则AP ＋DP 的最小值是 8、如图，∠BAC ＝30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD ＝30 , 则AM ＝9、如图，AB ＝AC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∠BAC ＝120o ，BC ＝6，则DE ＋DF ＝10、点(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标为，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标为，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．利用点关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x 轴、y 轴对称的图形．11、〔1〕在图3所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为；〔(4)(3)(2)(1)yx -1-2-4-3-1-2-4-5-31243512435O y x-1-2-4-3-1-2-4-5-31243512435BAOD ECBAP 2P 1N MOPB AMDP B CA(B)〔B图 1DCB A 折叠2〕在图4中，画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1二、选择题：1、右边图形中，是轴对称图形的有〔 〕 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2、下列图形中，为轴对称图形的是〔 〕3、如图1，将矩形沿对称轴折叠，在对称轴处剪下一块，余下部分的展开图为 ( )4、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是〔〕．A ．75°或15°B ．75°C ．15°D ．75°和30°5、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后B E B A ''与与在同一条直线上，则∠CBD 的度数〔 〕A. 大于90°B.等于90°C. 小于90°D.不能确定6、在直角坐标系中，A 〔1，2〕点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A ’点，则A 与A ′的关系是〔 〕A 、关于x 轴对称B 、关于y 轴对称C 、关于原点对称D 、将A 点向x 轴负方向平移一个单位7、如图，在矩形ABCD 中，68AB BC ==，，若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 的长为〔 〕A ．152B ．154C ．5D ．6(A)(C)x(D)EF8、下列说法正确的是〔 〕．A ．轴对称涉与两个图形，轴对称图形涉与一个图形B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C ．所有直角三角形都不是轴对称图形D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 9、下列图形中对称轴最多的是( ) ．A ．等腰三角形B ．正方形C ．圆D ．线段10、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为〔〕．A ．11cmB ．7.5cmC ．11cm 或7.5cmD ．以上都不对11、如图：DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC 的周长为〔〕厘米．A ．16B ．18C ．26D ．28 三、求证题1、某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条〔如图中的AO ，BO 〕，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？〔尺规作图，并写出作法〕2、如图5，AC 、BC 是两条交叉的街道，P 为邮局，现在要在AC ，BC 街上各安装一个邮筒，使得邮递员从邮局出发，先去AC 街取信件，再到BC 街取信件后，最后回到邮局P 所走的路径最短，试确定安装的地点.·PCAE DCBABCA3、某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图12－32所示〔点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路〕.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.〔1〕你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；〔2〕阐述你设计的理由.4、一面镜子MN 竖直悬挂在墙壁上，人眼O 的位置．如图所示，•有三个物体A 、B 、C 放在镜子前面，人眼能从镜子看见哪个物体？5、已知：如图，已知△ABC ，〔1〕分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2 ； 〔2〕写出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2各顶点坐标； 〔3〕求△ABC 的面积．ADEF BCF6、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，•且到∠AOB 的两边的距离相等．7、已知：△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：BE+CF=EF ．8、在ABC △中，120AB AC A =∠=︒，，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ．如果1DE =，求BC 的长9、如图，已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F. 求证：CF ＝2BF.OEDCBA10如图，点P 是等边△ABC 内一点，点P 到三边的距离分别为PE 、PF 、PG ，等边△ABC 的高为AD ，求证：PE ＋PF ＋PG ＝AD11、如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
初中八年级数学第十三章轴对称单元检测试卷习题一(含答案) (100)
初中八年级数学第十三章轴对称单元检测试卷习题一（含答案）、、是三个格点(网格线的交点叫做格点) ．如图，在方格纸中，A B P()1过点P画AB的垂线，垂足为点C，画出三角形PBC绕点P旋转后180︒的图形；()2平移线段AB，使点B与点P重合，请画出平移后的线段PD．【答案】(1)画图见解析；(2) 画图见解析；【解析】【分析】（1）根据旋转的特征，三角形绕点旋转后后，点P不变，其他各部分均绕点P按照相同的方向旋转相同度数即可得到新图形；（2）根据平移的性质，点B 到点P移动方向为向右平移一个单位后，向上平移三个单位，将点A向右平移一个单位后，再向上平移三个单位得到点D，连接PD即可；【详解】解：（1）（2）如图：【点睛】本题主要考查了作旋转一定角度后的图形，作平移后的图形，掌握作旋转一定角度后的图形，作平移后的图形是解题的关键.92．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，△C=45°，sinB=1，AD=1．3（1）求BC的长；（2）求tan△DAE的值．【答案】（1）1；（212【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt∠ADC，得出DC=1；解Rt∠ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=BC=BD+DC即可求解．（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt ∠ADE 中根据正切函数的定义即可求解．【详解】解：（1）在∠ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在∠ADC 中，∠∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在∠ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=13，AD=1， ∴AD 1AB 31sinB 3===．∴BD ===∠BC BD DC 1=+=．（2）∠AE 是BC 边上的中线，∠CE=1212． ∠DE=CE ﹣12．∠DE 1tan DAE AD 2∠==． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt △ADC 与Rt △ADB ，得出DC=1，AB=3是解题的关键．93．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点，点，将绕着点旋转后得到.(I)在图中画出; (II)点A ，点B 的对应点A ’和B ’的坐标分别是A ’ 和B ’ ; (III)请直接写出AB 和A ’B ’的数量关系和位置关系。
2019年秋苏版初二数学上第13章轴对称检测题含解析解析.doc.doc
2019年秋苏版初二数学上第13章轴对称检测题含解析解析〔本检测题总分值：100分，时间：90分钟〕【一】选择题〔每题3分，共30分〕1、〔2016·重庆A中考〕以下图形中是轴对称图形的是〔〕A B C D2、〔山东泰安中考〕以下四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是〔〕A、 1B、2C、3D、43、如下图，在△中，，∠，的垂直平分线交于，交于，以下结论错误的选项是〔〕A、平分∠B、△的周长等于C、D、点是线段的中点4、〔2016·四川南充中考〕如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，以下判断错误的选项是〔〕A、AM＝BMB、AP＝BNC、∠MAP＝∠MBPD、∠ANM=∠BNM5、如下图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC, 那么与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形共有〔〕A、3个B、4个C、5个D、6个〔1〕等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为9 cm，那么它的周长为17 cm或22 cm；〔2〕三角形的一个外角等于两个内角的和；〔3〕有两边和一角对应相等的两个三角形全等；〔4〕等边三角形是轴对称图形；〔5〕如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形、A、〔1〕〔2〕〔3〕B、〔1〕〔3〕〔5〕C、〔2〕〔4〕〔5〕D、〔4〕〔5〕7、如下图，△与△关于直线对称，那么∠等于〔〕A、 B、C、 D、8、〔2018·河北中考〕一张四边形纸片按图①，图②依次对折后，再按图③打出一个圆形小孔，那么展开铺平后的图案是〔〕第2题图① ②③ 第8题图 A 、B 、C 、D 、9、如下图，△ABC 〔AC ＜AB ＜BC 〕，用尺规在线段BC 上确定一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，那么符合要求的作图痕迹是〔 〕10、如下图，在△ABC 中，AB +BC =10，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 和点E ， 那么△BCD 的周长是〔 〕A 、6B 、8C 、10D 、无法确定【二】填空题〔每题3分，共24分〕11、国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成、每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如下图，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号、观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形〔下简称“2”〕经过平移能与“6”重合，2还与______成轴对称、〔请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上〕12、光线以如下图的角度照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ间来回反射，=60°，β=50°，那么=________、13、〔2018·湖南株洲中考〕在平面直角坐标系中，点〔－3，2〕关于y 轴的对称点的坐标是 、14、工艺美术中，常需设计对称图案、在如下图的正方形网格中，点A ，D 的坐标分别为 〔1，0〕，〔9，－4〕、请在图中再找一个格点P ，使它与的4个格点组成轴对称图形， 那么点P 的坐标为_________〔如果满足条件的点P 不止一个，请将它们的坐标都写出来〕、15、如下图，是∠的平分线，于点，于，那么关于直线对称的三角形共有_______对、16、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 边上，将△CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处、假设∠A =26°，那么∠CDE =________、、17、如下图，在△中，是的垂直平分线，，△的周长为，那么△的周长为______、18、三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形〔按边分类〕一定 是_________、【三】解答题〔共46分〕19、〔6分〕〔2016·江西中考〕如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将Rt △ABC 向下翻折，使点A 与点C 重合，折痕为DE 、求证：DE ∥B C 、第17题图第16题图20、〔6分〕如图，∠内有一点，在射线上找出一点，在射线上找出一点，使最短、21、〔8分〕在如下图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形〔顶点是网格线的交点的三角形〕ABC的顶点A，C的坐标分别为〔－4，5〕，〔－1，3〕、〔1〕请在如下图的网格平面内作出平面直角坐标系；〔2〕请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；〔3〕写出点B′的坐标、22、〔8分〕如下图，在△中，分别平分∠和△的外角∠，∥交于点，求证：、23、〔10分〕如下图，∥∠的平分线与∠的平分线交于点，过点的直线垂直于，垂足为，交于点、试问：点是线段的中点吗？为什么？24、〔8分〕：如下图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点、第十三章 轴对称检测题参考答案1、D 解析：根据轴对称图形的概念，轴对称图形沿某对称轴折叠后的两部分可完全重合、因此，只有D 是轴对称图形、2、C 解析：第一个是轴对称图形，有2条对称轴；第二个是轴对称图形，有2条对称轴； 第三个是轴对称图形，有2条对称轴；第四个是轴对称图形，有3条对称轴、应选C 、3、D 解析：因为在△中，，∠，所以∠∠、因为的垂直平分线是，所以，所以∠∠，所以∠∠∠∠，所以平分∠，故正确、△的周长为，故正确、因为∠，∠，所以∠∠∠，所以∠∠，所以，所以，故正确、因为，所以，所以点不是线段的中点，故错误、应选、4、B 解析：∵ 直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，∴ 四边形AMBN 被直线MN 分成能够重合的两部分，∴ AM =BM ，∠AMP =∠BMP ，∠ANM =∠BNM 、又∵ P 是直线MN 上的点，∴ AP ＝BP ，∴ △AMP ≌△BMP ，∴ ∠MAP =∠MBP ，只有选项B 错误，应选B 、5、C 解析：与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的三角形有△ABG 、△CDF 、△AEF 、△DBH 、△BCG 共5个，应选C 、6、D 解析：〔1〕等腰三角形的一边长为 4 cm ，另一边长为9 cm ， 那么三边长可能为9 cm ，9 cm ，4 cm ，或4 cm ，4 cm ，9 cm 、因为4+4误；〔3〕有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，角必须是两边夹角；〔5〕如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形，正确、如下图，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C 、∵AD 是角平分线，∴∠1=∠2，∴∠B =∠C ，∴AB =AC ，即△ABC 是等腰三角形、应选D 、7、D 解析：因为△与△关于直线对称，所以 所以、8、C 解析：按照题意，动手操作一下，可知展开后的图案是选项C 、9、D 解析：假设点P 在BC 上存在，由PA +PC =BC ，可得PA =PB ，于是点P 在AB 垂直平分线上，应选D 、10、C 解析：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD =DC ，∴△BCD 的周长=BC +BD +DC =BC +BD +AD =10，应选C 、11、1，3，7解析：根据轴对称图形的定义可知：标号为2的曲边四边形与标号为1，3，7的曲边四边形成轴对称、12、40°解析：=180°－[60°＋〔180°－100°〕]=40°、13、〔3，2〕解析：根据点对称的特点，一个点关于y 轴对称，那么两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，∴〔－3，2〕关于y 轴的对称点的坐标是〔3，2〕、14、〔9，－6〕，〔2，－3〕解析：∵点A 的坐标为〔1，0〕，第5题答图第6题答图∴坐标原点是点A左边一个单位的格点、∵点C在线段AB的垂直平分线上，∴对称轴是线段AB的垂直平分线，∴点P是点D关于对称轴的对称点、∵点D的坐标是〔9，－4〕，∴P〔9，－6〕、AB=BD，以AD的垂直平分线为对称轴，P′与C关于AD的垂直平分线对称，第14题答图∵C点的坐标为〔6，－5〕，∴P′〔2，－3〕、15、解析：△和△，△和△△和△△和△共4对、16、71°解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=26°，∴∠B=64°、∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ECD=45°，∠CED=∠B=64°，∴∠CDE=180°-∠ECD-∠CED=71°、17、19解析：因为是的垂直平分线，所以，所以因为△的周长为，所以所以、所以△的周长为18、等腰三角形解析：∵∴,∴、∵+≠0，∴=0，∴，那么三角形一定是等腰三角形、19、证法1：∵△ADE与△CDE关于直线DE对称，点A与点C是对称点，∴DE⊥AC，∴∠AED=90°〔或∠CED＝90°〕、〔1分〕又∵∠ACB=90°，∴∠AED=∠ACB〔或∠CED+∠ACB＝180°〕，∴DE∥B C、〔3分〕证法2：翻折后，∠AED与∠CED重合，∴∠AED＝∠CE D、又∵∠AED+∠CED＝180°，∴∠AED＝∠CED＝×180°=90°、〔1分〕∵∠ACB=90°，∴∠AED=∠ACB〔或∠CED+∠ACB＝180°〕，∴DE∥B C、〔3分〕解析:证法1：由轴对称的性质得到∠AED=90°，再结合平行线的判定方法进行证明；证法2：由折叠的性质得到角相等，进而得到∠AED=90°，再结合平行线的判定方法进行证明、20、解：如图，分别以直线、为对称轴，作点的对应点和，连接，交于点，交于点，那么此时最短、21、分析：〔1〕易得y轴在C的右边1个单位，轴在C的下方3个单位；〔2〕作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；〔3〕根据点B′所在象限及其与坐标轴的距离可得相应坐标、解：〔1〕〔2〕如下图；〔3〕点B′的坐标为〔2，1〕、22、证明：因为分别平分∠和∠，所以∠∠，∠∠、因为∥，所以∠∠，∠∠、所以∠∠，∠∠、所以、所以、23、解：点是线段的中点、理由如下：过点作于点因为∥所以、又因为∠的平分线，是∠的平分线，所以所以所以点是线段的中点、24、分析：欲证M是BE的中点，DM⊥BC，因此只需证DB=DE，即证∠DBE=∠E、根据BD是等边△ABC的中线可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°、证明：如图，连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°、∵CD=CE，∴∠CDE=∠E=30°、∵BD是AC边上的中线，∴BD平分∠ABC，即∠DBC=30°，∴∠DBE=∠E、∴DB=DE、又∵DM⊥BE，∴DM是BE边上的中线，即M是BE的中点、第24题答图。
初中八年级数学第十三章轴对称单元检测习题(含答案) (102)
初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题（含答案）如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，其中BE ，CD 相交于点O ，∠BAO =∠CAO ．求证：OB=OC ．【答案】见解析【解析】【分析】根据垂直的定义和角平分线的性质可得∠BDO=∠CEO=90°、OD=OE ，然后利用ASA 即可证出△ODB ≌△OEC ，从而证出结论．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BAO =∠CAO ，∴OD=OE ．在△ODB 和△OEC 中BDO CEO OD OEBOD COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC （ASA ）．∴OB=OC ．【点睛】此题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．92．如图，在 ABC 中，已知 AB AC =，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AB 边上一动点，点 P 是 AD 上的一个动点．（1）若 37BAD ∠=，求 ACB ∠ 的度数；（2）若 6BC =，4AD =，5AB =，且 CE AB ⊥ 时，求 CE 的长；（3）在（2）的条件下，请直接写出 BP EP + 的最小值．【答案】（1）53ACB ∠=．（2）245CE =．（3） 245. 【解析】【分析】（1）由已知得出三角形ABC 是等腰三角形，ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线，有AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数.（2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长（3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度.【详解】解：（1） AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，AD 是 BC 边上的中线，90ADB ∴∠=，37BAD ∠=，903753ABC ∴∠=-=，53ACB ∴∠=．（2）CE AB ⊥， 1122ABC SBC AD AB CE ∴=⋅=⋅， 6BC =，4=AD ，5AB =， 245CE ∴=． （3） 245 【点睛】本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.93．如图，ABC ∆中，ACB ∠的平分线交AB 于点D ，CD 的垂直平分线分别交AC 、DC 、BC 于点E 、G 、F ，连接DE 、DF ．（1）求证：四边形DFCE 是菱形；（2）若60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2BD =，试求BF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE CE =，DF FC =，证明()CGE FCG ASA ∆≅∆得CE CF =，再由四边都相等的四边形是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30的性质可得1BH =，由勾股定理得：DH =45DFB ACB ∠=∠=︒，可得DHF ∆是等腰直角三角形，从而可得DH FH =【详解】（1）证明：EF 是DC 的垂直平分线，即90EGC FGC ∠=∠=︒，DG CG =， DE EC ∴=，DF CF =， CD 平分ACB ∠，ECG FCG ∴∠=∠，在CGE ∆和FCG ∆中，ECG FCG CG CGEGC FGC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CGE FCG ASA ∴∆≅∆，CE CF ∴=，∴DE EC DF CF ===∴四边形DFCE 是菱形；（2）解：过D 作DH BC ⊥于H ，则90DHF DHB ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，30BDH ∴∠=︒，112BH BD ∴==， 在Rt DHB ∆中，DH ==四边形DFCE 是菱形，//DF AC ∴，45DFB ACB ∴∠=∠=︒，DHF ∴∆是等腰直角三角形，DH FH ∴=，1BF BH FH ∴=+=+【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质以及直角三角形30角的性质，熟练掌握菱形的判定是解（1）题的关键，构造直角三角形求线段长是解（2）题的关键．94．已知，如图，△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AC 上一点，且∠ADB ＝2∠C ，P 是BC 上任一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ．（1）求证：CD ＝BD ；（2）写出线段AB ，PF 和PE 之间数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）PE +PF ＝AB ．证明见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后由∠ADB＝2∠C得出∠C=∠DBC，再根据等角对等边可得CD=BD；（2）连接PD，利用△BCD面积的两种不同求法列出等式，即可得出结果．【详解】（1）证明：在△BCD中，∠ADB＝∠C+∠DBC，∵∠ADB＝2∠C，∴∠C＝∠DBC，∴CD＝BD；（2）解：PE+PF＝AB．证明如下：连接PD，则S△BCD＝S△BDP+S△CDP＝12BD•PE+12CD•PF＝12CD•AB，∵CD＝BD，∴PE+PF＝AB．【点睛】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，正确作出辅助线利用面积法是解题的关键．95．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E．（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；D 点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝．（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝．此时△ABD和△DCE 是否全等，请说明理由；（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）【答案】（1）大；75°；（2）3cm；△ABD和△DCE全等，理由见解析；（3）105°或60°【解析】【分析】（1）根据点D的运动情况判断∠BDA的变化情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAD；（2）根据点D的运动情况求出CD，利用ASA定理证明△ABD≌△DCE；（3）分AD=AE、DA=DE、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质结合角的计算求出∠BDA的度数．【详解】解：（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变大，D点运动到图1位置时，∠BAD=180°-∠B-∠BDA=75°，故答案为大；75°；（2）点D 运动3s 后到达图2位置，CD=3cm ，此时△ABD ≌△DCE ， 理由如下：∵AB=AC ，∠B=30°，∴∠C=30°，∵CD=CA=3cm ，∴∠CAD=∠CDA=12×（180°-30°）=75°， ∴∠ADB=105°，∠EDC=75°-30°=45°，∴∠DEC=180°-45°-30°=105°，∴∠ADB=∠DEC ，在△ABD 和△DCE 中，ADB DEC AB DCABD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABD ≌△DCE （ASA ），（3）△ADE 为等腰三角形分三种情况：①当AD=AE 时，∠ADE=30°，∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=120°，∵∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，D 不与B 、C 重合，∴AD ≠AE ；②当DA=DE 时，∠ADE=30°，∴∠DAE=∠DEA=12（180°-∠ADE ）=75°， ∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；③当EA=ED 时，∠ADE=30°，∴∠EAD=∠EDA=30°，∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=60°，综上可知：在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形，此时∠BDA 的度数为60°或105°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.96．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()5,0A B 、两点，与y 轴交于点C ，直线12y x m =-+过B 、C 两点，等腰Rt ABD △的直角顶点D 恰好为抛物线的顶点，斜边4AB =．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是线段OB 上一点，在线段BC 上是否存在一点M ，使得CQM 为等腰三角形，且以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PA PC +的值最小？若存在，求出最小值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）215322y x x =-+；（2）存在，点M 的坐标为⎝⎭或55,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3，点P 的坐标为()3,1． 【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出拋物线的顶点坐标，再利用顶点式即可求得抛物线的解析式；（2）先根据勾股定理求出BC 的长，然后分两种情况讨论：①当90BQM ∠=︒时，②当90QMB ∠=︒时，分别利用相似三角形的判定及性质即可求得；（3）点A 、B 关于对称轴对称，则直线BC 与对称轴的交点即为所求的点P ，此时PA PC BC +=，即线段BC 的长为其最小值；然后利用直线BC 的解析式及抛物线的对称轴即可求得点P 的坐标．【详解】解：（1）∵ABD △为等腰直角三角形，且4AB =，点B 的坐标为()5,0， ∴点A 的坐标为()1,0，∴点D 的坐标为()3,2-，设抛物线的解析式为2(3)2y a x =--，将()5,0B 代入得：20(53)2a =--，解得12a =， ∴抛物线的解析式为22115(3)23222=--=-+y x x x ； （2）存在，设(),M p q ，由（1）知点C 的坐标为50,2⎛⎫⎪⎝⎭， ∵()5,0B ，50,2C ⎛⎫⎪⎝⎭． ∴5OB =，52OC =．∴2BC ===． ①当90BQM ∠=︒时，如图①，∵90CMQ ∠>︒，∴只能CM MQ q ==，∵MQ y 轴，∴MQB COB ∽， ∴BM MQ BC CO =522q q =，解得258q -=， 点50,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线12y x m =-+上， 将点C 代入12y x m =-+中得52m =， ∴BC 所在的直线解析式为1522y x =-+， 已知点M 在线段BC 上，∴1522q p =-+，∴p =，∴M ⎝⎭； ②当90QMB ∠=︒时，如图②，∵90QMB ∠=︒，∴只能CM MQ =．设CM MQ t ==，∴BM t =， ∵90BMQ BOC ∠=∠=︒，MBQ OBC ∠=∠，∴BMQ BOC ∽． ∴MQ BM OC BO =，即2552t t -=，解得6t =． 作MN OB ∥交y 轴于点N ，∴CNM COB ∽． ∴MN CN CM BO CO CB ==，即552MN CN ==． ∴53MN =，56CN =， ∴555263ON OC CN =-=-=， ∴55,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上，在线段BC 上存在这样的点M ，使CQM 为等腰三角形，且以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与BOC 相似，点M 的坐标为⎝⎭或55,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在．∵点A 、B 关于抛物线对称轴对称，∴PA PB =，∴PA PC PB PC +=+．则由两点之间线段最短可知直线BC 与对称轴的交点即为所求的点P ，如图③，此时PB PC BC +=，∵2BC =，∴PA PC +， ∵直线BC 的解析式为1522y x =-+，抛物线的对称轴为直线3x =， 当3x =时，153122y =-⨯+=， ∴点P 的坐标为()3,1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及轴对称最短路径问题等知识点，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是确定出点P 的位置，是一道中等难度的题目．97．如图是规格为88⨯正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作:(1)在网格建立平面直角坐标系，使A 点坐标为(-2，4)，B 点坐标为(-4，2):(2)在第二象限内的格点上画一-点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底边的等腰三角形，且腰长是无理数.则点C 坐标是____；(3) ABC △的周长=____ : 面积=_ 。
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2019年秋苏版初二上第十三章轴对称单元测试含解析【一】单项选择题〔共10题；共30分〕1、以下图形中一定是轴对称图形的是〔〕A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四边形2、如下图几何图形中，一定是轴对称图形的有几个〔〕A、2B、3C、4D、53、点A〔3,4〕关于x轴对称的点B的坐标为〔〕、A、〔6，4〕B、〔-3,5〕C、〔-3，-4〕D、〔3，-4〕4、两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是〔〕A、作角的平分线B、作线段的垂直平分线C、过一点作直线的高D、作一个角等于角和作一条线段等于线段5、等腰三角形的一边长为5，另两边的长是方程x2﹣6x+m=0的两根，那么此等腰三角形的周长为〔〕A、10B、11C、10或11D、11或126、如图，直线l：y=﹣x+b，点M〔3，2〕关于直线l的对称点M1落在y轴上，那么b的值等于〔〕A、3B、2C、1或2D、2或37、把经过点〔﹣1，1〕和〔1，3〕的直线向右移动2个单位后过点〔3，a〕，那么a的值为〔〕A、1B、2C、3D、48、点N〔a，﹣b〕关于y轴的对称点是坐标是〔〕A、〔﹣a，b〕B、〔﹣a，﹣b〕C、〔a，b〕D、〔﹣b，a〕9、假设等腰三角形的两边长分别是3和6，那么这个三角形的周长是〔〕A、12B、15C、12或15D、910、以下几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔〕A、等腰三角形B、正三角形C、平行四边形D、正方形【二】填空题〔共8题；共24分〕11、一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，那么该大等腰三角形顶角的度数是________、12、等腰三角形的一边长等于4cm，另一边长等于9cm，那么此三角形的周长为________cm、13、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，那么CE的长为________14、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，假设AC=9cm，BC=5cm，那么△BCE 的周长为________cm、15、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，那么△ABP周长的最小值是________、16、如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，那么∠BAD=________°、17、一个汽车车牌在水中的倒影为，那么该车的牌照号码是________、18、如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，那么△ABC的周长为________、【三】解答题〔共5题；共30分〕19、小明、小亮两个同学对于等腰三角形都很感兴趣，小明说：“我知道有一种等腰三角形，过它的顶点作一条直线可以将原来的等腰三角形分成两个等腰三角形，”小亮说：“你才知道一种啊！我知道好几种呢！”聪明的你知道几种呢？〔要求画出图形，标明角度，不要求证明，请注意有好几种情况哟〕20、如图，△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数、21、如图，A〔3，0〕，B〔0，4〕，C为x轴上一点、〔1〕画出等腰三角形ABC；〔2〕求出C点的坐标、22、甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：〔1〕到两村的距离相等；〔2〕到两条公路的距离相等、你能帮忙确定工厂的位置吗？23、如图1，定义：在四边形ABCD中，假设AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，那么把四边形ABCD叫做互补等对边四边形，如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠E、【四】综合题〔共1题；共15分〕24、如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，如果用〔1，0〕表示C 点的位置，用〔4，1〕表示B点的位置，那么、〔1〕画出直角坐标系；〔2〕画出与△ABC关于x轴对称的图形△DEF；〔3〕P为x轴上的一个动点，是否存在P使PA+PB的值最小？假设不存在，请说明理由；假设存在请求出点P的坐标和PA+PB的最小值、答案解析【一】单项选择题1、【答案】C【考点】轴对称图形【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断、【解答】根据轴对称图形的定义：A、梯形不一定是轴对称图形，故此选项错误；B、直角三角形，不一定是轴对称图形，故此选项错误；C、角的角平分线所在直线可以作为一条对称轴，故是轴对称图形，故此选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，故此选项错误、应选：C、【点评】此题考查轴对称的定义，难度不大，掌握轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合、2、【答案】D【考点】轴对称图形【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解、如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形、这条直线叫做对称轴、【解答】所有图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么一定是轴对称图形的有圆弧、角、扇形、菱形和等腰梯形共5个、应选D、【点评】此题考查了轴对称的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形3、【答案】D【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】【解答】因为、点A〔3,4〕关于x轴对称，所以点B的坐标为〔3，-4〕、故D项正确、【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点横坐标不变，纵坐标为相反数可完成此题、4、【答案】D【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是作一个角等于角和作一条线段等于线段、应选：D、【分析】根据题意可得作图过程中需要作一条线段等于线段，然后再作两个角等于角、5、【答案】B【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：设方程x2﹣6x+m=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=6，且这两根是等腰三角形的两边，都是正数，∵x1+x2=6＞5，三边满足三角形中的两边之和大于第三边，∴这个三角形的周长是6+5=11、应选：B、【分析】根据两边长是方程x2﹣6x+m=0的两根，由一元二次方程的根与系数之间的关系可以得到：两边之和为6，再根据三角形三边关系进行分析，从而求得三角形的周长、6、【答案】B【考点】坐标与图形变化-对称【解析】【解答】解：直线MM′的解析式为y=x+b1，把M〔3，2〕代入函数解析式，得3+b1=2、解得b1=﹣1、直线MM′的解析式为y=x﹣1，当x=0时，y=﹣1，即M′〔0，﹣1〕MM′的中点〔，〕，把MM′的中点〔，〕代入y=﹣x+b，得﹣+b=，解得b=2，应选：B、【分析】根据对称点所连的线段被对称轴垂直平分，可得MM′的直线，根据直线解析式，可得自变量为零时的函数值，即M′，根据对称点的中点坐标在它的对称轴上，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案、7、【答案】C【考点】坐标与图形变化-对称【解析】【解答】解：设直线解析式为y=kx+b，∵经过点〔﹣1，1〕和〔1，3〕，∴，解得，∴直线解析式为y=x+2，∵直线向右移动2个单位，∴y=x﹣2+2=x，∵过点〔3，a〕，∴a=3、应选：C、【分析】首先设直线解析式为y=kx+b，再利用待定系数法计算出直线解析式y=x+2，然后根据平移可得直线解析式为y=x，然后再代入〔3，a〕计算出a的值、8、【答案】B【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】【解答】解：N〔a，﹣b〕关于y轴的对称点是坐标是〔﹣a，﹣b〕，应选：B、【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案、9、【答案】B【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：①假设3是腰，那么另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去、②假设3是底，那么腰是6，6、3+6＞6，符合条件、成立、∴C=3+6+6=15、应选B、【分析】根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底、必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边、10、【答案】D【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形、故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形、故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形、故错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形、故正确、应选D、【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解、【二】填空题11、【答案】108°或90°或36°或、【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：〔1〕如图1，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠BAC的度数、∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°、〔2〕如图2，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD，求∠BAC的度数、∵AB=AC，AD=BD=CD，∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB∴∠BAC=2∠B∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠B=45°，∴∠BAC=90°、〔3〕如图3，△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC，求∠BAC的度数、∵AB=AC，BD=AD=BC，∴∠B=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C∵∠BDC=2∠A，∴∠C=2∠A=∠B，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴5∠A=180°，∴∠A=36°、〔4〕如图4，△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC，求∠BAC的度数、假设∠A=x，AD=BD，∴∠DBA=x，∵AB=AC，∴∠DBC=﹣x，CD=BC，∴∠BDC=2x=∠DBC=﹣x，解得：x=、故答案为：108°或90°或36°或、【分析】因为题中没有指明这个等腰三角形是什么形状，故应该分四种情况进行分析，从而得到答案、12、【答案】22【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：分两种情况：当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22、故填22、【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形、13、【答案】【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=CO、所以△AOE≌△COE、设CE为x、那么DE=AD﹣x，CD=AB=2、根据勾股定理可得x2=〔3﹣x〕2+22解得CE=、故答案为、【分析】此题首先利用线段垂直平分线的性质推出△AOE≌△COE，再利用勾股定理即可求解、14、【答案】14【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，∵AC=9cm，BC=5cm，∴△BCE的周长=9+5=14cm、故答案为：14、【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等可得AE=BE，然后根据三角形的周长的定义整理得到△BCE的周长=AC+BC、15、【答案】7【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，连接AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∴△ABP周长的最小值是4+3=7、故答案为：7、【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC 长度即可得到结论、16、【答案】30【考点】等边三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠BAC=30°，故答案为：30°、【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数、17、【答案】W5236499【考点】生活中的轴对称现象【解析】【解答】解：W5236499∴该车的牌照号码是W5236499、【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解、18、【答案】19【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm、故答案为19、【分析】由条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案、【三】解答题19、【答案】解：举例如下，如下图：〔1〕AC=BC，∠ACB=90°，CD=AD=DB；〔2〕AB=AC=CD，BD=AD；〔3〕AB=AC，AD=CD=BC；〔4〕AB=AC，AD=CD，BD=BC、【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】【分析】首先要知道等腰三角形的定义，即有两条边相等的三角形叫做等腰三角形、那么此题中要做出等腰三角形可以分两种情况进行讨论，一是过顶角截等腰三角形的底边，二是过底角截等腰三角形的腰、20、【答案】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，那么∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°、【考点】等腰三角形的性质【解析】【分析】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，那么∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数、21、【答案】解：设C〔x，0〕，〔1〕如图〔2〕①当A是顶点时，C1〔﹣2，0〕，C2〔8，0〕，②当B是顶点时，C3〔﹣3，0〕③当C是顶点时，、【考点】等腰三角形的性质【解析】【分析】〔1〕根据A〔3，0〕，B〔0，4〕，C为x轴上一点、利用两点间的距离可分别求出C 点坐标、〔2〕设C〔x，0〕，分3种情况①当A是顶点时，②当B是顶点时，③当C是顶点时三种情况进行讨论即可、22、【答案】解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B；②分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于点C，连接OC；③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，连接FG；④FG与OC相交于点H，那么H即为工厂的位置、故点H即为工厂的位置、【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【分析】先作出两条公路相交的角平分线OC，再连接ED，作出ED的垂直平分线FG，那么OC与FG的交点H即为工厂的位置、23、【答案】【解答】证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD与△BAC中，∴△ABD≌△BAC〔SAS〕，∴∠ABD=∠BAC，∠ADB=∠BCA，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠BCA=90°，在等腰△ABE中，∠EAB=∠EBA=〔180°﹣∠E〕÷2=90°﹣∠E，∴∠ADB=90°﹣∠EAB=90°﹣〔90°﹣∠E〕=∠E，∴∠ABD=∠BAC=∠E、【考点】等腰三角形的性质【解析】【分析】根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明、【四】综合题24、【答案】〔1〕解：如下图：〔2〕解：如下图：〔3〕解：存在，连接BD交x轴于点P，连接PA，由对称可知D〔0，﹣2〕，设直线BD的表达式为y=kx+b，那么有B=﹣2，4k+b=1，解得：k=，b=﹣2，所以直线BD的表达式为y=x﹣2，当y=0时，有x﹣2=0，解得x=，所以P〔，0〕，由对称可知PA=PD，所以PA+PB=PD+PB=DB==5、【考点】作图-轴对称变换【解析】【分析】〔1〕根据C点坐标可确定原点位置，然后可画出坐标系；〔2〕首先确定A、B、C三点关于x轴对称的对称点位置，然后连接即可；〔3〕连接BD交x轴于点P，连接PA，设直线BD的表达式为y=kx+b，利用待定系数法确定解析式，然后根据解析式确定P点坐标，再利用勾股定理计算出BD的长、。
八年级上册数学第十三章 轴对称 测试卷(含答案)
八年级上册数学第十三章轴对称测试卷一、选择题。
（每小题3分，共24分）1．以下四个图形中，对称轴条数最多的是（）A B C D2．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击中（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是（）A.1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋第2题图第3题图3．如图所示，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A. 30°B．36°C．45°D．70°4．小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8:00的是（）A B C D5．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等C．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D．等腰三角形的两个底角相等6．小朋友文文把一张长方形的纸对折了两次（如图所示），使A，B都落在DC上，折痕分别是DE，DF，则∠EDF的度数为（）A. 60 °B．75°C．90°D．120°第6题图第8题图7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数是（）A. 60°B. 120°C. 60°或150°D.60°或120°8．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A. 3B. 2.5C. 2D. 1二、填空题（每小题3分，共24分）1．仔细观察如图所示的图案，并按规律在横线上画出合适的图形．______2，则该汽车的车牌号是______．3．已知么MON= 45°，其内部有一点P，它关于OM的对称点是A，关于ON的对称点是B，且OP =2cm，则S△AOB=______4．如图所示，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E，若BC=32cm，AC=18cm，则△AEC的周长为______cm.第4题图第6题图第7题图5．在直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（-1，3），（-2，-4），(1，3)，（2，-4），则线段AB与CD的位置关系是______．6．如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB=10，AC=8，P是AB边上的动点（不与点B重合），点B关于直线CP的对称点B'，连接B'A，则B’A长度的最小值是______．7．如图所示，△ABD、△ACE是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC =______．8．如图所示，有一块形状为等边△ABC的空地，DE，EF为空地中的两条路，且D为AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，现已知AE=5m，则地块△EFC的周长为______.三、解答题（共72分）1．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．2．用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案，如图甲，在棋盘上建立平面直角坐标系，以直线y=x为对称轴，我们可以摆出一个轴对称图形（其中A与A’是对称点），你看它像不像一条美丽的鱼？(1)请你在图乙中，也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y=x为对称轴的轴对称图案，并在所摆的图形中找出两组对称点，分别标为B—B'，C—C'（注意棋子要摆在格点上）．(2)在给定的平面直角坐标系中，你标出的B，B'，C，C'的坐标分别是：B( )，B'( )，C( )，C'( )．根据以上对称点的坐标规律，写出点P(a，b)关于对称轴y=x对称点p’的坐标是( )．甲乙3．如图所示，△ABC和△A’B’C’关于直线MN对称，△A’B’C'和△A’’B’’C’’关于直线EF对称．(1)画出直线EF;(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB’’与直线MN, EF所夹锐角α的数量关系.4．如图所示，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB +BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．5．如图所示，在等边三角形ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．6.元旦联欢会上，同学们在礼堂四周摆了一圈条桌，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间放一把椅子B．游戏规则是这样的：甲、乙二人从A 处同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．小张和小李比赛，比赛一开始，只见小张直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见小李已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了，如果小李不比小张跑得快，那他是不是有捷径呢？如果有，请把捷径画出来，并说明理由．参考答案一、1．B 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 二、1． 2．M645379 3.2cm ² 4. 50 5．关于y 轴对称 6.2 7. 120° 8. 45m三、1．连接AF. ∵AB=AC,∴∠B= ∠C=︒=︒-︒=∠-︒3021201802A 180．又∵EF 垂直平分AC ，∴AF = CF ∴∠CAF =∠C= 30°． ∴∠BAF= ∠BAC- ∠CAF=120°-30°=90°．在Rt △BAF 中，∵∠B=30°，∴BF =2AF.叉∵AF= CF,∴BF=2CF ．2．(1)按要求摆出图形并标出两组对称点B-B ’,C-C';(2)答案不唯一，只要满足点B 的横坐标等于点B ’的纵坐标，点B 的纵坐标等于点B ’的横坐标，点C 的横坐标等于点C ’的纵坐标，点C 的纵坐标等于点C ’的横坐标即可；根据以上对称点坐标的规律，可以发现P(a ，b)关于对称轴y=x 的对称点P ’的坐标为(b ，a)．3．(1)如图所示，连接B'B ’’，作线段B'B ’’的垂直平分线EF,则直线EF 是△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’的对称轴．(2)连接BO ．因为△ABC 和△A'B'C'关于MN 对称，所以∠BOM=∠B 'OM.又因为△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’关于EF 对称，所以∠B 'OE= ∠B ''OE.所以∠BOB''=∠BOM+ ∠B 'OM+∠B'OE+ ∠B ‘’OE =2(∠B'OM+∠B 'OE) =2a ．即∠BOB ’’= 2a.4. AB+BD= DE ，证明略．5．同意，连接OE ，OF.由题意可知：BE= OE,CF= OF,∠OBC=∠OCB= 30°, ∴∠BOE=∠OBC=30°,∠COF=∠OCB=30°,∴∠BOC=120°，∴∠EOF=60°, ∠OEF=60°, ∠OFE=60°.∴△OEF 是等边三角形，∴OE = OF= EF= BE=CF.∴E ，F 是BC 的三等分点．6．分别以北条桌和东条桌为对称轴，作A ，B 的对称点A ’,B ’，连接A'B ’,交两长条桌于C ，D 两点，则折线ACDB 就是捷径．连接A'M 和B'M 因为A ，A ’于CM 对称，B ，B ’关于DM 对称，所以AC=A'C ，AM=A'M ，BD=B'D,BM=B'M.所以折线ACDB 的长=AC+CD+DB=A'C+CD+DB'=A'CDB'=A'B ’，而AM+BM=A'M+B'M> A'B'，所以拆线ACDB 是捷径．。
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2019年新苏版初二上第十三章轴对称测试题〔第十三章：轴对称〕【一】选择题〔本大题共10题，每题3分，共30分〕1、以下说法正确的选项是〔〕、A 、轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B 、如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C 、所有直角三角形都不是轴对称图形D 、有两个内角相等的三角形不是轴对称图形2、点M 〔1，2〕关于x 轴对称的点的坐标为〔〕、A 、〔－1，－2〕B 、〔－1，2〕C 、〔1，－2〕D 、〔2，－1〕3、以下图形中对称轴最多的是〔〕、A 、等腰三角形B 、正方形C 、圆D 、线段4、直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，那么斜边的长为〔〕、A 、2cmB 、4cmC 、6cmD 、8cm5、假设等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，那么腰长为〔〕、A 、11cmB 、7、5cmC 、11cm 或7、5cmD 、以上都不对6、如图：DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，假设BC=8厘米，AB=10厘米，那么△EBC 的周长为〔〕厘米、A 、16B 、18C 、26D 、28 7、如下图，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出以下结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有〔〕、A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 8、假设等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么这个等腰三角形的底角是〔〕、 A 、75°或15°B 、75°C 、15°D 、75°和30°9、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是〔-2，0〕，〔6，0〕，那么其顶点的坐标，能确定的是〔〕、 A 、横坐标B 、纵坐标C 、横坐标及纵坐标D 、横坐标或纵坐标10、以下图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是〔〕A ：B ：C ：D ：【二】填空题〔每题4分，共20分〕 11、点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6，那么PB=、 12、等腰三角形一个底角是30°，那么它的顶角是__________度、13、等腰三角形的一内角等于50°，那么其它两个内角各为、14、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，那么△PMN 的周长为、 15、A 〔-1，-2〕和B 〔1，3〕，将点A 向______平移________个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称、【三】解答题：16、：如图，△ABC ，〔6分〕〔1〕分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；〔2〕写出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2各顶点坐标；17、〔6分〕如图：在△ABC 中，∠B=90°，AB=BD ，AD=CD ，求∠CAD 的度数、 AED C B A lO D C B AP 2P 1N M O P B AA D E FBC AB C DE 18、〔8分〕：如图△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm ，求BC 的长、19、〔10分〕：△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC 交AB 于点E ，交AC 于点F 、求证：BE+CF=EF 、20、〔10分〕如图，△ABD 、△AEC 都是等边三角形，求证：BE=DC 、21、〔10分〕如图，一艘轮船从点A 向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P 在轮船的北偏西15°，2小时后轮船航行到点B ，小岛P 此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P 的周围18海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由。
江苏八年级数学上册第十三章《轴对称》测试(含答案)
一、选择题1．如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长=15cm，则△ABD的周长是（）A．35cm B．30cm C．25cm D．20cm C解析：C【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】解：∵MN垂直平分线段AD，∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm，∵AB+BC+AC=15cm，∴AB+BC+DC=15cm，∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm，故选：C．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．下列命题中，假命题是（）A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C．相等的两个角是对顶角D．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形C解析：C【分析】利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A、B，根据对顶角的定义判断C，根据等边三角形的判定判断D．【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；B．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；D 、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．3．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．4．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④C解析：C【分析】 根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．【详解】解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CEF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，故①正确，在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，AE AF AB AG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，∴CE ＝AF ，故③正确；∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；故选C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③B解析：B【分析】 根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠CAD ，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG ＝∠ACD ，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解】∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF 是角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，∵AD 为高，∴∠ADC ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．6．等腰三角形两边长为2和4，则其周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．12B解析：B【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【详解】解：①当2为腰时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不存在；②当4为腰时，符合题意，则周长是2+4+4=10．故选：B．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．7．如图，在△ABC纸片中，AB=9cm，BC=5cm，AC=7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为是（）A．9cm B．11cm C．12cm D．14cm B解析：B【分析】根据折叠的性质得到：DE=CD ，BE=BC=5cm ，求出AE=4cm ，根据△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE 代入数值计算即可得解．【详解】由折叠得：DE=CD ，BE=BC=5cm ，∵AB=9cm ，∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm ，∴△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm ，故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键． 8．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．【详解】当AB=AC 时，点C 与点O 重合；当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，共有4个点C ，故选：C ． ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．9．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（ ）A．1:2B．2:3C．1:3D．1:3D 解析：D【分析】先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：由作图过程可知：AP平分∠BAC，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠1=∠2=∠B=30°，∴CD=12AD，AD=BD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S△ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故选D．【点睛】本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线的作法和性质，30°的直角三角形的性质是解答此题的关键．10．如图所示，D 为BC 上一点，且AB＝AC＝BD，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D解析：D【分析】 根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A ⊥OB1于A 过A2作A2B ⊥A1B2于B 过A3作A3C ⊥A2B3于C 根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A1B2//x轴，∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=12A1B2=1，即A2的横坐标为12+1=2212-，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=12A2B3=2，即A3的横坐标为12+1+2=3212-，同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-， 由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-， 故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EAAF ＝FC 根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线∴EB ＝EA ∵FG 是AC 边的垂直平分线∴AF ＝FC ∴△AEF 的周长 解析：16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA 、AF ＝FC ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EB ＝EA ，∵FG 是AC 边的垂直平分线，∴AF ＝FC ，∴△AEF 的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．如图，在Rt ABC中，BAC90︒∠=，AB2=，M为边BC上的点，连接AM．如果将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是________．【分析】过点M作MP⊥ACMQ⊥AB首先证明MP＝MQ求出AC的长度运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM求出MP即可解决问题【详解】如图设点B的对应点为N由题意得：∠BAM＝∠CAMAB＝AN＝2解析：4 3【分析】过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．【详解】如图，设点B的对应点为N，由题意得：∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，则MP＝MQ，设MP＝MQ=x，∵AN＝NC，∴AC＝2AN＝4；∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，∴12AB•AC＝12AB•MQ＋12AC•MP，∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝43，故答案为43．【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．14．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD ＝80°，AB ＝AD ＝DC ，则∠C ＝________25°【分析】先根据AB=AD 利用三角形内角和定理求出∠B 和∠ADB 的度数再根据三角形外角的性质即可求出∠C 的大小【详解】解：∵AB=AD ∴∠B=∠ADB ∵∠BAD=80°∴∠B=∠ADB==50° 解析：25°【分析】先根据AB=AD ，利用三角形内角和定理求出∠B 和∠ADB 的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C 的大小．【详解】解：∵AB=AD ，∴∠B=∠ADB ，∵∠BAD=80°，∴∠B=∠ADB =180802︒︒-=50°， ∵AD=DC ，∴∠C=∠ACD ，∴∠C=12∠ADB=25°， 故答案为：25°．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．15．如图，在△ACB中，∠ACB＝∠90°，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，∠DBC＝30°，DC＝4cm，则D到AB的距离为________cm．4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA则有∠A=∠ABD而∠C=∠DBC=利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=得到∠ABD=在Rt△BED中根据含角的直角三角形三边的关系即可得到DE解析：4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，则有∠A=∠ABD，而∠C=90︒，∠DBC=30︒，利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=903060︒-︒=︒，得到∠ABD= 30︒，在Rt△BED中，根据含30︒角的直角三角形三边的关系即可得到DE的长度．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴DB=DA，∴∠A=∠ABD，∵∠C=90︒，∠DBC=30︒，DC=4cm，︒-︒=︒，∴BD=8cm，∠A+∠ABD=903060∴∠ABD=30︒，在Rt△BED中，∠EBD=30︒，BD=8cm，∴DE=14BD=cm，2即D到AB的距离为4cm，故答案为：4．【点睛】本题考察线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30︒角的直角三角形的性质，解题关键是掌握相关性质．∠的度数是______°．16．如图，在ABC中，AB=AC，40∠=，CD//AB，则BCDA110【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=70º再根据平行线的性质求出的度数【详解】解：∵AB=AC∴∠B=∠ACB==70º∵//∴+∠B=180º∴=110º故答案为：110【点睛】本题考查了【分析】根据等腰三角形的性质，求出∠B=70º，再根据平行线的性质，求出BCD ∠的度数．【详解】解：∵AB=AC ，40A ∠=，∴∠B=∠ACB=180402︒-︒=70º， ∵CD //AB ，∴BCD ∠+∠B=180º，∴BCD ∠=110º，故答案为：110．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练运用已知条件，准确推理计算，是解决这类题的关键．17．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D 在线段CM 上时当点D 在线段CM 的延长线上时分别画出图形利用全解析：30 90︒ 2或6或23【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D 在线段CM 上时，当点D 在线段CM 的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60︒，∵CM平分ACB∠，∠ACB=30，∴∠ACM=12故答案为：30；∠，（2）∵△ABC是等边三角形，CM平分ACB ∴CM⊥AB，∴∠AMC=90︒，故答案为：90︒；（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE=CD，∵∠BCM=∠ACM=30，∴∠BCE=30，∴CF平分∠DCE，∵CD=CE，∴CB垂直平分DE，①当点D在线段CM上时，当△BDM≌△BEF时，如图1，∴BF=BM=2，∴CF=CB-BF=4-2=2；当△BDM≌△EBF时，如图1，则EF=BM=2，∴CD=DE=4，,∵AB=4，CD<CM<4,∴此种情况不成立，舍去；②当点D在线段CM的延长线上时，当△BDM≌△BEF时，如图2，∴BF=BM=2，∴CF=BC+BF=4+2=6,；当△BDM≌△EBF时，如图3，则EF=BM=2，∴CE=2EF=4，∴CF==故答案为： 2或6或．【点睛】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．18．如图，已知O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．100【分析】连接AO延长交BC于D根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A即可求解【详解】解：连接AO延长交BC于D∵O为△A解析：100【分析】连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．【详解】解：连接AO延长交BC于D，∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴OB=OA=OC，∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=100°．故答案为：100．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．19．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角∠B ＝∠A 时③∠A 是底角∠B ＝∠A 时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A 是顶角∠B ＝（180°−∠A ）÷解析：50°或80°或65°【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，③∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，利用三角形的内角和进行求解．【详解】①∠A 是顶角，∠B ＝（180°−∠A ）÷2＝65°；②∠A 是底角，∠B ＝∠A ＝50°．③∠A 是底角，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°−50°×2＝80°，∴当∠B 的度数为50°或65°或80°时，△ABC 是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误； 由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图1，△ABC 中AB =AC ，DE 垂直平分AB 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）若∠C =70°，则∠A 的大小为 ；（2）若AE=BC，求∠A的度数；（3）如图2，点M是边BC上的一个定点，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）解析：（1）40°；（2）36°；（3）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的两底角相等和三角形内角和等于180°即可求解；（2）根据DE垂直平分AB可得BE=AE，进而可知∠A=∠ABE，再由AE=BC，可得∠C=∠BEC，进而得出∠ABC=∠C=2∠A，再由三角形内角和即可求出∠A；（3）由已知可知B关于直线DE的对称点是A点，由此可知当A、M、N三点在同一直线上时，BN+MN=AN+MN最小．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠C=70°，∴∠A=180°-70°-70°=40°，故答案为：40°；（2）如图：连接BE，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴∠A=∠ABE，又∵AE=BC，∴BE=BC，∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，∴∠ABC=∠C=2∠A，又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°；（3）如图，连接AM交DE于N点；即N点为所求．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和及最短路径等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．22．如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．（1）求证：BD=AE；（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．解析：（1）见解析；（2）CE=1【分析】（1）连接PA、PB，根据角平分线的性质得到PD=PE，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AEP≌Rt△BDP，根据全等三角形的性质得到AE=BD；（2）结合图形计算得到答案．【详解】（1）连接PA、PB，∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，∴PD=PE，在Rt△CDP和Rt△CEP中，PD PE PC PC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDP ≌Rt △CEP （HL ）∴CD =CE ，∵PQ 是线段AB 的垂直平分线，∴PA =PB ，在Rt △AEP 和Rt △BDP 中，PE PD PA PB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEP ≌Rt △BDP （HL ），∴AE =BD ；（2）AC +CE +CD =BD +CD =BC =6， ∴1(64)12CE CD ==⨯-=． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中∵BF CE AB CD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE （已证），∴∠AFB ＝∠DEC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL 判断两个直角三角形全等，是解题的关键．24．已知45MAN ∠=︒，点B 为射线AN 上一定点，点C 为射线AM 上一动点（不与点A 重合），点D 在线段BC 的延长线上，且CD CB =．过点D 作DE AM ⊥于点E ．（1）当点C 运动到如图1的位置时，点E 恰好与点C 重合，此时AC 与DE 的数量关系是 ；（2）当点C 运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC AE DE =+； （3）在点C 运动的过程中，点E 能否在射线AM 的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC ，AE ，DE 之间的数量关系；若不能，请说明理由．解析：（1）AC DE =；（2）补全图形见解析，证明见解析；（3）能，2.AC AE DE +=【分析】（1）先证明AC 是BD 的垂直平分线，可得：45ABD ADB ∠=∠=︒，可得：90DAB ∠=︒，可得45CAD CDA ∠=∠=︒，从而可得结论； （2）如图，过B 作BG AM ⊥于G ，证明：,BCG DCE ≌ 可得,,BG DE CG CE == 再证明：,AG BG DE == 从而可得()22,AC DE CE =+ ()2,AE DE DE CE +=+ 于是可得结论；（3）如图，过B 作BG AM ⊥于G ，同（2）理可得：(),BCG DCE AAS ≌AG BG =，可得,,CG CE BG DE == ,AG BG DE == 再证明2,AG AC AE =+从而可得结论．【详解】解：（1）当,E C 重合时，点D 在线段BC 的延长线上，CD CB =，DE AM ⊥，AC ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴=,ABD ADB ∴∠=∠45MAN ∠=︒，45ABD ∴∠=︒，45ABD ADB ∴∠=∠=︒，90DAB ∴∠=︒，45CAD CDA ∴∠=∠=︒，.AE DE ∴=故答案：.AE DE =（2）补全图形如图所示，过B 作BG AM ⊥于G ，DE AM ⊥，90DEC BGC ∴∠=∠=︒，,,BC DC BCG DCE =∠=∠(),BCG DCE AAS ∴≌,,BG DE CG CE ∴==45,MAN BG AM ∴∠=︒⊥，45GAB GBA ∴∠=∠=︒，,AG BG DE ∴==()()222,AC AG CG DE CE ∴=+=+()2,AE DE AG CG CE DE DE CE +=+++=+2.AC AE DE ∴=+（3）点E 能在射线AM 的反向延长线上，如图，过B 作BG AM ⊥于G ，同理可得：(),BCG DCE AAS ≌AG BG =，,,CG CE BG DE ∴==,AG BG DE ∴==2,AG AC CG AC CE AC AC AE AC AE ∴=+=+=++=+2.AC AE DE ∴+=【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义及性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．25．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．求作：射线AC ，使得//AC ON ．小静的作图思路如下：①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ；②作MAB ∠的角平分线AC ．射线AC 即为所求的射线．（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（__________）．MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB ∴∠=∠_________+∠__________．12ABO MAB ∴∠=∠．AC 平分MAB ∠， 12BAC MAB ∴∠=∠． ABO BAC ∴∠=∠．//AC ON ∴（__________）．解析：（1）见解析；（2）等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行【分析】（1）按照步骤作图即可；（2）由作法知，OA=AB ，AC 是∠MAB 的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．【详解】 解：（1）作图如下：（2）证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（等边对等角）．MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB O ABO ∴∠=∠+∠12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠. ABO BAC ∴∠=∠.//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 26．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．（1）求证：BC CD =；（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD ，则可利用AAS 证明△ABC ≌△ECD ，再由全等三角形的性质可证得结论；（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC ，结合∠ABC=∠ECD ，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC ，即可证明∠ABD=∠EBD ．【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ABC=∠ECD ，在△ABC 和△ECD 中，ABC ECD A EAC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ECD （AAS ），∴BC=CD ．（2）证明：如图，∵BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∵∠ABC=∠ECD ，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC ，∴∠ABD=∠EBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．27．已知：点A 在直线DE 上，点B 、C 都在PQ 上（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ，AB 平分CAD ∠，且ABC BAC ∠=∠．（1）如图1，求证：//DE PQ ；（2）如图2，点K 为AB 上一点，连接CK ，若2EAC ACK ∠=∠，求AKC ∠的度数； （3）在（2）的条件下，点F 在直线DE 上，连接FK ，且DAB AFK KCB ∠=∠+∠，若13FKA AKC ∠=∠，则ACB ∠的大小为_________．（要求：在备用图中画出图形，并直接写出答案） 解析：（1）见解析；（2）90AKC ∠=︒；（3）60ACB ∠=︒或20ACB ∠=︒【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的判定方法求解；（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质可以得到解答；（3）分F 在A 左边和F 在A 右边两种情况讨论 ．【详解】（1）∵AB 平分CAD ∠，∴DAB BAC ∠=∠，∵ABC BAC ∠=∠，∴DAB ABC ∠=∠，∴//DE PQ ；（2）∵//PQ DE ，∴EAC ACB ∠=∠，∵2EAC ACK ∠=∠， ∴1122ACK BCK EAC ACB ∠=∠=∠=∠， ∵∠ABC=∠BAC,∴△CAB 是等腰三角形，∴CK ⊥AB ，∴∠AKC=90°；（3）分两种情况讨论：①如图，F 在A 左边，延长VK 交DE 于M ，设∠BCK=x°，则由（1）得：∠FKA=1303AKC ∠=︒，∠DAB=∠ABC=(90-x)°，∴∠AFK=180°-30°-(90-x)°=(60+x)°,∴由∠DAB=∠AFK+∠KCB 可得：90-x=60+x+x ，解之得：x=10，∴∠ACB=2x=20°，②如图，F 在A 右边，设∠BCK=x°，则∠AFK=∠DAB-∠AKF=90-x-30=(60-x)°，∴由∠DAB=∠AFK+∠KCB 可得：90-x=60-x+x ，解之得：x=30，∴∠ACB=2x=60°，∴∠ACB=20°或60°，【点睛】本题考查角平分线、平行线和三角形的综合应用，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、三角形的综合性质及方程思想的解题方法是解题关键．28．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．解析：见解析【分析】由已知可得∠ABD=∠D，从而得到AB=AD，进而得到AC=AD．【详解】证明：∵BD是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，又AD//BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABD=∠D，∴AB=AD，∵AB=AC，∴AC=AD．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质是解题关键．。
苏州南京师范大学苏州实验学校八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点复习(答案解析)
一、选择题1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（ ）A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒A解析：A【分析】 根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE 的度数．【详解】解：∵OC=CD=DE ，∴∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．2．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．5B 解析：B【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=12×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；∵∠B=∠BAD ，∴DA=DB ，∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；在直角△ACD 中，∠CAD=30°，∴CD=12AD ， ∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅． ∴11332224ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个故选：B ．【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．3．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒B解析：B【分析】根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．【详解】∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，∴∠B=∠C=50︒，∵AD AE =，∴∠AED=∠ADE=70︒，∵∠AED=∠C+∠CDE ，∴CDE ∠=20︒，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．4．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A ．(2020,13)-B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)-- D 解析：D【分析】先求出点C 坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C 变换后在x 轴下方然后求出点C 纵坐标，再根据平移的距离求出点C 变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C 坐标，同理可以求出第二次变换后点C 坐标，以此类推可求出第n 次变化后点C 坐标．【详解】∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2∴点C 到x 轴的距离为1+3213=+2∴C(2，13+) 由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，31--)，即(1，13--)，第2次变换后点C 的坐标变为(2-2，31+)，即(0，13+)第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，31--)，即(-1，13--)第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n ，31--)(n 为奇数)或(2-n ，13+)(n 为偶数)， ∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，13--)， 故选：D ．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键．5．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．50°D ．55°B解析：B【分析】 根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，∴2(12)180∠+∠=︒，∴260∠=︒故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．6．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）A ．100°B ．120°C ．132°D ．140°C解析：C【分析】 根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．【详解】解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，∴PA PB PC ==，∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．7．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】 易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．8．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】 根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．9．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（ ）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤D解析：D【分析】 ①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE ≌△BCE ，可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题； ③证明△AEF ≌△BED 即可；④AE≠DE ，故④不正确；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】解：①∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE ，∴△ADE 不是等腰三角形，⑤∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A．30B．60︒C．40︒或50︒D．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A︒-∠=60°；②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC= 180302BAC︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EAAF ＝FC 根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线∴EB ＝EA ∵FG 是AC 边的垂直平分线∴AF ＝FC ∴△AEF 的周长 解析：16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA 、AF ＝FC ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EB ＝EA ，∵FG 是AC 边的垂直平分线，∴AF ＝FC ，∴△AEF 的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________．25【分析】依据含30°角的直角三角形的性质即可得到该等腰三角形腰上的高再根据三角形面积计算公式进行计算即可【详解】解：如图所示AB=AC=10∠A ＝30°过B 作BD ⊥AC 于D ∵∠A ＝30°AB ＝1【分析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．【详解】解：如图所示，AB=AC=10，∠A ＝30°，过B 作BD ⊥AC 于D ，∵∠A ＝30°，AB ＝10，∴BD ＝12AB ＝5， ∴S △ABC ＝12AC ×BD ＝12×10×5＝25， 故答案为：25．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键．13．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定正确的是______．②③④【分析】根据题意易证△ABD ≌△ACE 根据三角形全等的性质及余角的性质角的和差关系可进行判断进而得出正确答案【详解】解：∠DAC=∠DAC △ABD ≌△ACEBD=CE ∠ABD=∠ACE④正确；解析：②③④【分析】根据题意易证△ABD ≌△ACE ，根据三角形全等的性质及余角的性质、角的和差关系可进行判断，进而得出正确答案．解：90BAC DAE ∠=∠=︒，∠DAC=∠DAC ，∴BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，④正确；∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，∴45ACE DBC ∠+∠=︒，②正确；∵90BAC ∠=︒，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴BD ⊥CE ，③正确；∴由题意可知ACE DBC ∠=∠不一定成立，综上所述：②③④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．14．如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．【分析】根据是等边三角形得进而得可得以此类推即可求解【详解】解：∵是等边三角形∴∴∴∴同理：…均为等边三角形…则的边长为故答案是：【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类解决本题的关键是观察图形的变化解析：20202．【分析】根据30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，得11260∠=︒B A A ，进而得1130∠=︒OB A ，1111AO B A ，可得22OA =，以此类推即可求解．【详解】 解：∵30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，∴11260∠=︒B A A∴1130∠=︒OB A∴1111AO B A∴22OA =同理：223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，2222B A OA ==，233342B A OA…则202120212022A B A △的边长为20202．故答案是：20202．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 15．如图，等腰ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 的周长最小值为_____cm ．8【分析】连接AD 由题意易得AD ⊥BC 则有三角形BDM 的周长为BM+MD+BD 若使△BDM 的周长为最小值则需满足BM+MD 为最小值根据两点之间线段最短可得AD 为BM+MD 的最小值故问题可解【详解】解 解析：8【分析】连接AD ，由题意易得AD ⊥BC ，则有三角形BDM 的周长为BM+MD+BD ，若使△BDM 的周长为最小值，则需满足BM+MD 为最小值，根据两点之间线段最短可得AD 为BM+MD 的最小值，故问题可解．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12 BC•AD ＝12×4×AD ＝12，解得AD ＝6cm ， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为BM+MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短＝（BM+MD ）+BD ＝AD+12BC ＝6+12×4＝6+2＝8cm ． 故答案为：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短路径长，进而可求解．16．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________．【分析】题中没有指明长为的边长是腰还是底则分两种情况进行分析还应验证是否满足三角形的三边关系【详解】当腰长是时底边长不能构成三角形；当底长是时三角形的腰能构成三角形其他两边长为故答案为：【点睛】本题解析：9，9【分析】题中没有指明长为6的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．【详解】当腰长是6时，底边长246612=--=，6、6、12不能构成三角形；当底长是6时，三角形的腰()24629=-÷=，6、9、9能构成三角形，其他两边长为9、9．故答案为：9，9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．17．如图，已知点D 、点E 分别是边长为2a 的等边三角形ABC 的边BC AB 、的中点，连接,AD 点F 为AD 上的一个动点，连接,EF BF 、若,AD b =则BEF 的周长的最小值是__________．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E 交AD 于F 连接BF 则BF+EF 最小证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b 即BF+EF=b 再根据等边三角形的性质可得BE=a 从而可得结论【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E 交AD解析：+a b【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小，证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b ，即BF+EF=b ，再根据等边三角形的性质可得BE=a ，从而可得结论．【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，∵△ABC 是等边三角形，∴BE=12AB a = ∵等边△ABC 中，BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线（三线合一），∴C 和B 关于直线AD 对称，∴CF=BF ，即BF+EF=CF+EF=CE ，∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB 和△CEB 中，∵ADB CEB ABD CBE AB CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADB ≌△CEB （AAS ），∴CE=AD=b ，即BF+EF=b ，∴BEF 的周长的最小值为BE+CF=a+b ，故答案为：a+b ．【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．18．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．56°【分析】根据AB=AC 可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：∵BE=CFBD=CE ∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE解析：56°【分析】根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，∵BE=CF ，BD=CE ，∴在DBE ∆和CEF ∆中BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，DE EF ∴=，DEF ∴∆是等腰三角形；DBE CEF ∆≅∆，∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，1(18044)682B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°∴∠CEF +∠DEB=112°180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，18068562EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；19．已知等边三角形ABC ．如图，（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；（3）分别以点A ，C 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；（6）连接OA ，OB ，OC ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点即：MN ⊥ABHL ⊥AC ∴根据等边三角形 解析：①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点，即：MN ⊥AB ，HL ⊥AC ， ∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE ，∴△ADO ≌△AEO ，∴OD=OE ，又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，∴在Rt △COE 中，OC=2OE ，∴OC=2OD ，故①正确；在Rt △ABE 中，显然AB=2AE ，而OA ＞AE ，∴AB≠2OA ，故②错误；根据中垂线性质可得OA=OB ，OA=OC ，∴OA=OB=OC ，故③正确；在四边形ADOE 中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．20．如图，在ABC 中，12 cm AB AC ==， 6 cm BC =，D 为AC 的中点，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动，设运动时间为t ，当过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时，t =_________．4或14秒【分析】由于动点P 从点A 出发沿的方向运动所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时设P 点运动了t 秒用含t 的代数式分别表示BPAP 根据条件过DP 两点的直线将的周长分成两部分使其中一部分是另解析：4或14秒．【分析】由于动点P 从点A 出发，沿A B C --的方向运动，所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时，设P 点运动了t 秒，用含t 的代数式分别表示BP ，AP ，根据条件过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t 的值；（2）P 点在BC 上时，同理，可解得t 的值．【详解】解：分两种情况：（1）P 点在AB 上时，如图，∵12 cm AB AC ==，1 6 cm 2AD CD AC ===， 设P 点运动了t 秒，则AP t =，12BP t =-，由题意得： ()12AP AD BP BC CD +=++或()12AP AD BP BC CD +=++，∴()1612662t t +=-++①或1(6)12662t t +=-++②， 解①得4t =秒，解②得，14t =（舍去）；（2）P 点在BC 上时，如图，P 点运动了t 秒，则AB BP t +=，18PC AB BC t t =+-=-，由题意得：()2AD AB BP PC CD ++=+或()2AD AB BP PC CD ++=+， ∴()62186t t +=-+①或()26186t t +=-+②解①得14t =秒，解②得，4t =秒（舍去）．故当4t =或14秒时，过D 、P 两点的直线将ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．故答案为4或14秒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及动点问题．解答此题时要分情况进行讨论，不要漏解．三、解答题21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标； （2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标； （3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．解析：（1）图见解析，A 1（3，2），B 1（4，1）；（2）图见解析，E 1（﹣2，﹣3），F 1（0，﹣2）；（3）见解析【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A 1，B 1，C 1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于x 轴对称的点的坐标特征写出点D 1，E 1，F 1的坐标，然后描点即可； （3）直线C 1F 1和C 1F 1的垂直平分线都是△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形的对称轴．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作，A 1（3，2），B 1（4，1）；（2）如图，△D 1E 1F 1为所作，E 1（﹣2，﹣3），F 1（0，﹣2）；（3）如图，直线l 和直线l ′为所作．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．22．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边在x 轴上方作等边OAC ． （1）如图1，在AC 的右上方作线段AD ，点D 在y 轴正半轴上，10DAC ∠=︒，以AD 为边在AD 右侧作等边ADE ，则AEC ∠=______．（2）如图2，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，PAM △为等边三角形，OM 与PC 交于点F ．求证：AF MF PF +=．（3）如图3，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，CPM △为等边三角形，MA 的延长线交y 轴于点N ，请直接写出线段AM 、AP 、AN 的数量关系______．解析：（1）20°；（2）证明见解析；（3）12AM AN AP =+． 【分析】 （1）借助等边三角形的性质可证明△CAE ≌△OAD ，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结论；（2）在OM 上截取EM=PF ，证明△FAP ≌△EAM ，得出AE=AF ，∠EAM=∠FAP ，再利用角的和差可得∠EAF=∠MAP=60°，即△AEF 为等边三角形，继而得出结论；（3）证明△CAM ≌△COP 可得AM=OP=OA+AP ，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得∠OAN=60°，∠ONA=30°，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得12OA AN =，继而可得12AM AN AP =+． 【详解】解：（1）∵△AOC 和△DAE 是等边三角形，∴AC=AO ，AE=AD ，∠OAC=∠EAD=60°，∵10DAC ∠=︒， 6070CAE DAO DAC ∴∠=∠=︒+∠=︒，在△CAE 和△OAD 中∵AC AO CAE OAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAE ≌△OAD （SAS ），∴∠AEC=∠ADO ，∵∠ADO=90°-∠DAO=20°，∴∠AEC=20°，∴故答案为：20°；（2）与（1）同理可证，△OAM ≌△CAP ，∴∠OMA=∠CPA ，AM=AP ，如下图，在OM 上截取EM=PF ，在△FAP 和△EAM 中，∵PF ME OMA CPA AP AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAP ≌△EAM （SAS ），∴∠EAM=∠FAP ，EA=FA ，∵∠EAF=∠EAM-∠FAM ，∠MAP=∠FAP-∠FAM ，∴∠EAF=∠MAP=60°，∴△AEF 为等边三角形，EF=AF ，∴AF MF EF MF EM PF +=+==，即AF MFPF +=；（3）与（1）同理可证△CAM ≌△COP ，∠MCP=60°，∴AM=OP=OA+AP ，∠AMC=∠OPC ，∵OP=OA+AP ，∴AM=OA+AP ，∵∠CEM=∠AEP ，∠AMC=∠OPC ，∴∠PAM=∠MCP=60°，∴∠OAN=60°，∠ONA=30°， ∴12OA AN =， ∴12AM AN AP =+， 故答案为：12AM AN AP =+． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．（1）中理解等边三角形三边相等，三角都等于60°是解题关键；（2）能根据“截长补短”作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）中根据三角形内角和定理和对顶角相等得出∠OAN=60°是解题关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1,ABC 的三个顶点分别为()()4,3,3,()3,1,1A B C -．请在坐标系中标出,,A B C 三点，画出ABC ∆，并画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，写出点111,,A B C 的坐标．解析：图见解析；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【分析】先在平面直角坐标系中画出,,A B C 三点，顺次连接即可；再按照轴对称的性质，画出它们的对称点即可．【详解】解：如图所示，111,ABC A B C ∆∆，即为所求；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中描点和画轴对称图形，关于y 轴对称点的坐标变化规律，解题关键是正确描点和画对称点．24．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）求FAE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）135FAE ∠=︒．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC ≌△ADE 的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE 的度数．【详解】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出全等所需要的条件．25．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在线段BC 上，连接AD ，过点C 作CE AD ⊥交AD 于点E ，过点B 作BF CE ⊥，交CE 的延长线于点F ，点G 是AB 的中点，连接GE ，GF ．（1）若30CAD ∠=︒，5AD =，求DE 的长度；（2）求证：GE GF =．解析：（1）54；（2）见详解 【分析】（1）先求出∠DCE=30°，根据直角三角形的性质，可得CD=12AD ，DE =12CD ，进而即可求解；（2）连接CG ，先证明∆BFC ≅∆CEA ，从而得BF=CE ，结合等腰直角三角形的性质，得CG=BG ，CG ⊥AB ，进而证明∆GCE ≅∆GBF ，即可得到结论．【详解】（1）∵CE AD ⊥，30CAD ∠=︒，∴∠ACE=90°-30°=60°，∵90ACB ∠=︒，∴∠DCE=30°，∵5AD =，∴CD=12AD=52，DE =12CD=54； （2）连接CG ，∵CE AD ⊥，∴∠ACE+∠CAE=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠ACE+∠BCF=90°，∴∠CAE=∠BCF ，∵BF CE ⊥，∴∠BFC=∠CEA=90°，又∵AC BC =，∴∆BFC ≅∆CEA （AAS ），∴BF=CE ，∵点G 是AB 的中点，∴CG=BG ，CG ⊥AB ，∴∠CGB=∠BFC=90°，∴∠GCE=∠GBF ，∴∆GCE ≅∆GBF ，∴GE GF =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握AAS 证明全等三角形以及等腰直角三角形的性质，是解题的关键．26．如图，在ABC 中，90C ∠=︒．（1）用尺规作出BAC ∠的平分线，并标出它与边BC 的交点D （保留作图痕迹，不写作法）；（2）若30B ∠=︒，1CD =，求BD 的长．解析：（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤进行画图，即可得到答案；（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，由角平分线的性质定理，得到1DE CD ==，再由含30度直角三角形的性质，即可求出答案．【详解】（1）解：如图所示：（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ． AD 为BAC ∠的平分线，90C AED ∠=∠=︒．1DE CD ∴==．在Rt BED △中，30B ∠=︒，22BD DE ∴==．【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，以及含30度的直角三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出图形．27．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠， ∴30DBC ∠=︒．∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，∴ED CD 4==．∵120QDP EDC ∠=∠=︒，,QDE EDP EDP PDC ∴∠+∠=∠+∠ ∴QDE PDC ∠=∠．∵,60ED CD AED C =∠=∠=︒，∴QDE PDC ≌，∴EQ PC =，∴4AQ PC AQ QE AE +=+==．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．28．如图，点E 、F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE 交于点G ，求证：GE GF =．解析：见详解【分析】由题意，根据SAS 证明△ABF ≌△DCE ，得到∠AFB=∠DEC ，即可得到GE GF =．【详解】解：根据题意，如图：∵BE CF =∴BE EF CF EF +=+，∴BF CE =，∵AB DC =，B C ∠=∠，∴△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB=∠DEC ，∴GE GF =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，解题的关键是掌握所学的知识，证明△ABF ≌△DCE ．。
苏州金鸡湖学校八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习卷(答案解析)
一、选择题1．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（ ）A ．8B ．8或10C ．12D ．10D解析：D【分析】由已知等式，结合非负数的性质求a 、b 的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．【详解】解：∵a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，∴(a －2)2+(b －4)2=0，∴a−2＝0，b−4＝0，解得：a ＝2，b ＝4，当a ＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；当n ＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a ，b 的值，再根据a 或b 作为腰，分类求解．2．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．11B解析：B【分析】 根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，由垂直平分线的性质，则BP=CP ，得到PA PB PA PC AC +=+=，即可得到PA PB +的最小值．【详解】解：根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，如图：∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP=CP ，∴8PA PB PA PC AC +=+==，∴PA PB +的最小值为8；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．3．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．能够完全重合的两个图形全等B ．两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．三个角都相等的三角形是等边三角形D ．等腰三角形的两底角相等B解析：B【分析】根据全等三角形的定义去判断A ，全等三角形性质去判断B ，等边三角形和等腰三角形性质判断C 、D ，依次分析解答即可．【详解】解：A.由全等三角形的定义得到：能够完全重合的两个图形全等，此命题是真命题；B.两边和一角对应相等且该角是两边的夹角的两个三角形全等，此命题是假命题；C. 三个角都相等的三角形是等边三角形，此命题是真命题；D. 等腰三角形的两底角相等，此命题是真命题；故选B ．【点睛】此题主要考查了命题的真假，关键是掌握相关定义和性质．注意SAS 时，一角必须是两边的夹角．4．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒B 解析：B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B 不可能是60°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．5．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°A解析：A【分析】 由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．【详解】解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，∴∠BEO=∠CED,∵∠AED=30°，∠BEC=120°，∴∠BEO=∠CED=120302︒-︒=45°， 在△EDC 中，∵EC=ED ，∠CED=45°，∴∠C=∠EDC=67.5°，∴∠BDE=∠C=67.5°，∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．6．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A．6 B．7 C．8 D．9B解析：B【分析】先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．【详解】解：如图，左右对称的有4个，如图，上下对称的有1个，如图，关于正方形的对角线对称的有2个，∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．7．以下说法正确的是（）A．三角形中 30°的对边等于最长边的一半B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线D 解析：D【分析】对每个选项一一分析即可得到正确答案．【详解】解：A 、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半； B 、错误，例如a =1，b=2，满足a + b = 3 ， ab = 2，但不满足a - b = 1；C 、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；D 、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，故选：D ．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．8．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③A解析：A【分析】 由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．【详解】90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，AB AC ∴=，45CBA ACB ，AF CD ⊥，90AHC ∴∠=︒，90ACD FAC ，BAE ACD ∴∠=∠，①正确；//BE AC ，180ABE BAC ，90ABE ∴∠=︒，在ADC ∆和BEA ∆中，90CADABE ACAB ACD BAE()ADCBEA ASA ，②正确； AC AB AF ，∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，点D 是AB 中点，AD BD ∴=，BE BD ∴=，45BDE EDC ，④不正确；90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒，45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．9．如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 的垂直平分线EF 交AB 于点D ，连接CD ，如果CD ＝6，那么AB 的长为（ ）A ．6B ．3C ．12D ．4．5C解析：C【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B ，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD ，DA=DC=6，则AB=AD+DB 便可求出．【详解】∵EF是线段BC的垂直平分线，DC =6，∴DC=DB=6，∴∠DCB=∠B，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB=AD+DB=6+6=12．故选：12．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．10．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个C解析：C【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．【详解】分二种情况进行讨论：①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA为半径的圆弧与y轴有一个交点；②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，∴符合条件的点一共4个，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．二、填空题P-向右平移4个单位得到点P'，则点P'关于x轴的11．在平面直角坐标系中，将点(3,2)对称点的坐标为________．【分析】先根据向右平移4个单位横坐标加4纵坐标不变求出点的坐标再根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标相反解答【详解】解：∵将点P（3-2）向右平移4个单位得到点∴点的坐标是（7-2）∴点关于x轴的对称点解析：(7,2)【分析】先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P '的坐标，再根据关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．【详解】解：∵将点P （3，-2）向右平移4个单位得到点P '，∴点P '的坐标是（7，-2），∴点P '关于x 轴的对称点的坐标是（7， 2）．故答案为：（7， 2）【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x 轴、y 轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．12．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E 交CD 于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G ，考察下列结论：①AC BF =；②2BF CE =；③ADGE GHCE S S =四四边形边形；④DGF △为等腰三角形．其中正确的有___．①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA △BAC 是等腰三角形即可判断①②正确作GM ⊥BD 于M 只要证明GH ＜DG 即可判断③错误证明可判断④正确【详解】解：①又又∴是等腰直角三角形在和中故①正确；②平分解析：①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，即可判断①②正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断③错误，证明DGF DFG ∠=∠可判断④正确．【详解】解：①CD AB ⊥，90CDA BDF ∠∴∠==︒，18090DBF DFB BDF ︒∠+∠=-∠=︒，又BE AC ⊥，90BEA ∴∠=︒，18090DBF DAC BEA ∠+∠=-∠=∴︒︒，DAC DFB ∠=∠∴，又45ABC ∠=︒，18045DCB ABC BDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，∴BCD △是等腰直角三角形，BD CD ∴=，在ACD △和FBD 中，DAC DFB CDA BDF CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD FBD AAS ∴≅，AC BF ∴=．故①正确；②BE 平分ABC ∠，BE AC ⊥，ABE CBE ∴∠=∠，90BEA BEC ∠=∠=︒，∴在ABE △和CBE △中，ABE CBE BE BEBEA BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ASA ABE CBE ∴≅，AE CE ∴=，2AC AE CE CE ∴=+=，又AC BF =，2BF CE ∴=，故②正确；③如图所示，过G 作GM BD ⊥于点M ，H 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC ∴⊥，即90GHB ∠=︒，又BE 平分ABC ∠，GM BD ⊥，GM GH ∴=，又BD BH >，BDG BGH SS ∴>， 又ABE CBE ≅ABE CBE S S ∴=，ABE BDG ADGE S S S ∴=-四边形，CBE BGH GHCE S S S =-四边形，ADGE GHCE S S ∴<四边形四边形，故③错误；④18090HBG BGH GHB ∠+∠=︒-∠=︒，18090DBF DFG BDF ∠+∠=︒-∠=︒，HBG DBF ∠=∠，BGH DFG ∴∠=∠，又BGH DGF ∠=∠，DGF DFG ∴∠=∠，DGF ∴为等腰三角形．∴综上，答案为①②④．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．13．如图，∠AOB ＝45°，OC 平分∠AOB ，点M 为OB 上一定点，P 为OC 上的一动点，N 为OB 上一动点，当PM ＋PN 最小时，则∠PMO 的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．14．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D 在线段CM 上时当点D 在线段CM 的延长线上时分别画出图形利用全解析：30 90︒ 2或6或23【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时，当点D在线段CM的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60︒，∵CM平分ACB∠，∠ACB=30，∴∠ACM=12故答案为：30；∠，（2）∵△ABC是等边三角形，CM平分ACB∴CM⊥AB，∴∠AMC=90︒，故答案为：90︒；（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE=CD，∵∠BCM=∠ACM=30，∴∠BCE=30，∴CF平分∠DCE，∵CD=CE，∴CB垂直平分DE，①当点D在线段CM上时，当△BDM≌△BEF时，如图1，∴BF=BM=2，∴CF=CB-BF=4-2=2；当△BDM≌△EBF时，如图1，则EF=BM=2，∴CD=DE=4，,∵AB=4，CD<CM<4,∴此种情况不成立，舍去；②当点D在线段CM的延长线上时，当△BDM≌△BEF时，如图2，∴BF=BM=2，∴CF=BC+BF=4+2=6,；当△BDM≌△EBF时，如图3，则EF=BM=2，∴CE=2EF=4，∴CF==故答案为： 2或6或23．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．15．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是_________________．2：3：4【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C显然有△AP′C≌△APB连PP′证△AP′P是等边三角形PP′=AP所以△P′CP 的三边长分别为PAPBPC；由∠APB：∠BPC：∠解析：2：3：4．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，证△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；由∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，5x+6x+7x=360，x=20，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=40°，∠P′PC=80°，∠PCP′=60°即可．【详解】如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP ，∵P′C=PB ，∴△P′CP 的三边长分别为PA ，PB ，PC ，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB ：∠BPC ：∠CPA=5：6：7，设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，∴5x+6x+7x=360，∴18x=360，∴x=20，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C -∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，∴∠PP′C ：∠PCP′：∠P′PC=40°：60°:80°=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．利用方程来解角成比例问题，三角形的内角和，用角度的和差计算解决问题．16．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB 解析：12a 【分析】作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．【详解】解：作DH ⊥AB 于H ，∵15DBE BDE ∠=∠=︒∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==∴DH=11=22DE a ， ∵DE ∥BC ，∴∠DBF=∠BDE ， ∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH=12a ， 故答案为：12a ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．已知等边三角形ABC ．如图，（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；（3）分别以点A ，C 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；（6）连接OA ，OB ，OC ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点即：MN ⊥ABHL ⊥AC ∴根据等边三角形 解析：①③④【分析】根据题意可得点O是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．【详解】由题可得点O为等边三角形ABC三边中垂线的交点，即：MN⊥AB，HL⊥AC，∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE，∴△ADO≌△AEO，∴OD=OE，又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，∴在Rt△COE中，OC=2OE，∴OC=2OD，故①正确；在Rt△ABE中，显然AB=2AE，而OA＞AE，∴AB≠2OA，故②错误；根据中垂线性质可得OA=OB，OA=OC，∴OA=OB=OC，故③正确；在四边形ADOE中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．18．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，DE＝3cm，AE＝2，求AC的长为_____cm．7【分析】根据已知条件BFCF分别平分∠ABC∠ACB的外角且DE∥BC可得∠DBF=∠DFB∠ECF=∠EFC根据等角对等边得出DF=BDCE=EF根据BD-CE=DE即可求得【详解】解：∵BFC解析：7【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴BD-CE=FD-EF=DE，∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5cm，∴EC=5cm，∴AC=AE+EC=2+5=7cm，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．19．△ABC中，∠A=50°，当∠B=____________时，△ABC是等腰三角形．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角∠B＝∠A时③∠A是底角∠B＝∠A时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A是顶角∠B＝（180°−∠A）÷解析：50°或80°或65°【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，∠B＝∠A 时，③∠A是底角，∠B＝∠A时，利用三角形的内角和进行求解．【详解】①∠A是顶角，∠B＝（180°−∠A）÷2＝65°；②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°−50°×2＝80°，∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．20．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、CA边上，且BE＝CF，BD＝CE，如果∠A＝44°，则∠EDF的度数为__．56°【分析】根据可求出根据△DBE≌△ECF利用三角形内角和定理即可求出的度数【详解】解：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB在△DBE和△CEF 中∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF∴△DEF解析：56°【分析】根据44A ∠=︒可求出68ABC ACB ∠=∠=︒，根据△DBE ≌△ECF ，利用三角形内角和定理即可求出 EDF ∠的度数．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，在△DBE 和△CEF 中BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△ECF （SAS ），∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形，∵△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴()118044682B ∠=︒-︒=︒， ∴1218068∠+∠=︒-︒，∴3218068∠+∠=︒-︒，∴∠DEF ＝68°， ∴18068562EDF ︒-︒∠==︒． 故答案为：56°．【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质的理解和掌握，主要应用了三角形内角和定理和平角是180︒，根据等腰三角形的性质得出B C ∠=∠是解题的关键．三、解答题21．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB ，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P 作OA 、OB 的垂线PM 、PN 如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB ．理由：左图中，在四边形PMON 中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN ，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边在x 轴上方作等边OAC ． （1）如图1，在AC 的右上方作线段AD ，点D 在y 轴正半轴上，10DAC ∠=︒，以AD 为边在AD 右侧作等边ADE ，则AEC ∠=______．（2）如图2，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，PAM △为等边三角形，OM 与PC 交于点F ．求证：AF MF PF +=．（3）如图3，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，CPM △为等边三角形，MA 的延长线交y 轴于点N ，请直接写出线段AM 、AP 、AN 的数量关系______．解析：（1）20°；（2）证明见解析；（3）12AM AN AP =+． 【分析】 （1）借助等边三角形的性质可证明△CAE ≌△OAD ，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结论；（2）在OM 上截取EM=PF ，证明△FAP ≌△EAM ，得出AE=AF ，∠EAM=∠FAP ，再利用角的和差可得∠EAF=∠MAP=60°，即△AEF 为等边三角形，继而得出结论；（3）证明△CAM ≌△COP 可得AM=OP=OA+AP ，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得∠OAN=60°，∠ONA=30°，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得12OA AN =，继而可得12AM AN AP =+． 【详解】解：（1）∵△AOC 和△DAE 是等边三角形，∴AC=AO ，AE=AD ，∠OAC=∠EAD=60°，∵10DAC ∠=︒， 6070CAE DAO DAC ∴∠=∠=︒+∠=︒，在△CAE 和△OAD 中∵AC AO CAE OAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAE ≌△OAD （SAS ），∴∠AEC=∠ADO ，∵∠ADO=90°-∠DAO=20°，∴∠AEC=20°，∴故答案为：20°；（2）与（1）同理可证，△OAM ≌△CAP ，∴∠OMA=∠CPA ，AM=AP ，如下图，在OM 上截取EM=PF ，在△FAP 和△EAM 中，∵PF ME OMA CPA AP AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAP ≌△EAM （SAS ），∴∠EAM=∠FAP ，EA=FA ，∵∠EAF=∠EAM-∠FAM ，∠MAP=∠FAP-∠FAM ，∴∠EAF=∠MAP=60°，∴△AEF 为等边三角形，EF=AF ，∴AF MF EF MF EM PF +=+==，即AF MFPF +=；（3）与（1）同理可证△CAM ≌△COP ，∠MCP=60°，∴AM=OP=OA+AP ，∠AMC=∠OPC ，∵OP=OA+AP ，∴AM=OA+AP ，∵∠CEM=∠AEP ，∠AMC=∠OPC ，∴∠PAM=∠MCP=60°，∴∠OAN=60°，∠ONA=30°， ∴12OA AN =， ∴12AM AN AP =+， 故答案为：12AM AN AP =+． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．（1）中理解等边三角形三边相等，三角都等于60°是解题关键；（2）能根据“截长补短”作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）中根据三角形内角和定理和对顶角相等得出∠OAN=60°是解题关键． 23．已知在ABC 中，CAB ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥交AC 的延长线于N ．（1）证明：BM CN =；（2）当80BAC ∠=︒时，求DCB ∠的度数．解析：（1）证明见解析；（2）∠DCB=40°．【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN ，DB=DC ，根据HL 证明Rt △DMB ≌Rt △DNC ，即可得出BM=CN ；（2）根据角平分线的性质得到DM=DN ，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN ，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=50°于是得到结论．【详解】（1）证明：连接BD ，DC ，如图所示：∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分BC ，∴DB=DC ，在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，DB DC DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DMB ≌Rt △DNC （HL ），∴BM=CN ；（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN ，∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，在Rt △DMA 和Rt △DNA 中，DA DA DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMA ≌Rt △DNA （HL ），∴∠ADM=∠ADN ，∵∠BAC=80°，∴∠MDN=100°，∠ADM=∠ADN=50°，∵∠BDM=∠CDN ，∴∠BDC=∠MDN=100°，∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠EDC=12∠BDC=50°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=40°，∴∠DCB=40°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 24．如图，在ABC 中，50B C ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接DE ，且ADE AED ∠=∠，当60BAD ∠=︒时，求CDE ∠的度数．解析：30∠=︒CDE .【分析】根据等腰三角形的性质，求得DAE ∠，利用ADE AED ∠=∠，确定AED ∠的度数，在三角形DEC 中，利用三角形外角性质计算即可.【详解】∵50B C ∠=∠=︒，∴18080BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵60BAD ∠=︒，∴20DAE BAC BAD ∠=∠-∠=︒，∴18020802ADE AED ︒-︒∠=∠==︒．∵AED CDE C ∠=∠+∠，∴805030CDE AED C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的顶角计算，底角的计算，熟记等腰三角形的性质和三角形外角性质是解题的关键.25．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）求FAE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）135FAE ∠=︒．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC ≌△ADE 的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE 的度数．【详解】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出全等所需要的条件．26．在直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的位置如图所示．（1）请画出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆（其中',','A B C 分别是,,A B C 的对应点，不写画法）；（2）直接写出',','A B C 三点的坐标'A （ ），'B （ ），'C （ ），（3）求出'''A B C ∆的面积解析：（1）所画图形见解析；（2）3，-3 ；-1，-3；0，4 ；（3）11【分析】（1）分别作出各点关于y 轴的对称点，再顺次连接各点即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；（3）作矩形DB EF '，用矩形的面积减去三个三角形的面积，即可得到A B C S'''．【详解】解：（1）如图所示：（2）由图可知，A '(3，-3)，B '(-1，-3)，C '(0，4)；（3）如图，作矩形DB EF '，则DB EF S S S S S ''''''''''=---△A B C △C DB △C FA △A EB 四边形 1117417316411222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴11A B C S '''=△．【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 27．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．①求证：BD AE =；②求点G 的坐标．（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．解析：（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．【分析】（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．【详解】（1）269||0a a a b -++-=2(3)||0a a b ∴-+-=3,3a b a ∴===(0,3)A ∴，(3,0)B ，(3,0)C -,AO OB CO AO ∴==90AOB AOC ∠=∠=︒45ACO ABO ∴∠=∠=︒90CAB ∴∠=︒()AOC AOB SAS ∴≅AC AB ∴=ABC ∴为等腰直角三角形，故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①BD l ⊥，CE l ⊥90BDA AEC ∴∠=∠=︒90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒BAD ACE ∴∠=∠AC AB =AEC BDA ∴≌(AAS)，∴BD AE =．②AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠45CAO ABO ∠=∠=︒GAE CBD ∴∠=∠，设CF 交y 轴于点HEF DC ⊥90CFG ∴∠=︒90FGH FHG ∴∠+∠=︒90COH ∠=︒90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴CHO FHG ∠=∠HGE OCH ∴∠=∠又∵AE BD =∴AGE BCD ≌△△(AAS)∴6AG BC ==又∵3AO =，∴3OG =∴点(0,3)G -．（3）AP AN PM =+．证明过程如下：在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，45AMN ∠=︒45AMO α∴∠=︒+，∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，又∵//MN PQ∴QPO NMO α∠=∠=，∵PQ 平分APO ∠∴2APO α∠=∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-∴NAM HAM ∠=∠又∵AN AH =，AM AM =∴AMN AMH ≌(SAS)∴45AMH AMN ∠=∠=︒∴90PMH α∠=︒-， 又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-∴PMH PHM ∠=∠∴PH PM =∴AP AH PH AN PM =+=+．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．28．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ； （2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，。
苏版初二数学上册单元测试：第十三章轴对称
苏版初二数学上册单元测试：第十三章轴对称时间： 120 分钟总分值：120 分题号一二三总分得分【一】选择题 (本大题有 16 个小题，共 42 分.1～10 小题各 3 分；11～1 6 小题各 2 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．以下四个交通标志图中为轴对称图形的是()2．在平面直角坐标系xOy 中，点 P(－3，5)对于 y 轴的对称点的坐标是()A、(3， 5)B、(3，－ 5)C、(5，－3)D、(－3，－ 5)3．以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是()A、等边三角形B、正方形C、正六边形D、圆4．以下说法中，正确的选项是()A、对于某条直线对称的两个三角形必然全等B、两个全等三角形必然对于某条直线对称C、面积相等的两个三角形必然对于某条直线对称D、周长相等的两个三角形必然对于某条直线对称5．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小P 的北偏东40°时 40 海里的速度向正北方向航行， 2 小时后抵达位于灯塔方向的 N 处，那么 N 处与灯塔 P 的距离为 ()A、40 海里B、60 海里C、70 海里D、80 海里6．如图，△ ABC 中， AC＝AD ＝ BD，∠ DAC ＝80°，那么∠ B 的度数是()A、40°B、35°C、25°D、20°7．等腰三角形的一个角为50°，那么这个等腰三角形的顶角可能为( )A、50°B、65°C、80°D、50°或 80°8．如图，线段 AB 的垂直均分线 CP 交 AB 于点 P，且 AP＝2PC，现欲在线段 AB 上求作两点 D，E.使其知足 AD ＝DC＝CE＝EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ ACP，∠ BCP 的均分线，分别交AB 于 D，E，那么 D，E两点即为所求；乙：分别作线段 AC，BC 的垂直均分线，分别交AB 于点 D，E，那么D，E 两点即为所求．以下说法正确的选项是()A、甲、乙都正确B、甲、乙都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确9．如图， l∥m，等边△ ABC 的极点 B 在直线 m 上，边 BC 与直线 m所夹锐角为 20°，那么∠α的度数为 ()A、60°B、45°C、40°D、30°10．如图， Rt△ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD 是高，∠ A＝30°， BD ＝2，那么 AB 的长为 ()A、4B、 6C、8D、1011．如图， E 是等边△ ABC 中 AC 边上的点，∠ 1＝∠ 2，BE＝ CD，那么△ ADE 的形状是 ()A、等腰三角形B、等边三角形C、不等边三角形D、不能够确定形状 r12．如图，假定△ ABC 是等边三角形， AB ＝6，BD 是∠ ABC 的均分线，延伸 BC 到 E，使 CE＝CD，那么 BE 的长为 ()A、7B、 8C、9D、1013．如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A＝60°，过点 C 的直线与 AB 交于点 D，且将△ ABC 的面积分红相等的两部分，那么∠ CDA ＝ ( )A、30°B、45°C、60°D、75°14．如，△ ABC 中，AB ＝AC ，以 AB，AC 在△ ABC 的外作两个等三角形△ ABE 和△ ACD ，且∠ EDC＝45°，那么∠ ABC 的度数()A、75°B、80°C、70°D、85°15．如，由 4 个小正方形成的田字格中，△ABC 的点都是小正方形的点，在田字格上画与△方形的点，那么的三角形ABC 成称的三角形，且点都是小正(不包含△ ABC 自己 )共有 ()A、1 个B、3 个C、2 个D、4 个16．如，等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D，点 P 是 BA 延上一点，点O 是段 AD 上一点， OP＝OC，下面的：①∠ APO＋∠ DCO＝30°；②△ OPC 是等三角形；③AC＝AO＋AP；④ S△ABC ＝S 四形 AOCP.其中正确的是 ()A、①②③B、①②④C、①③④D、①②③④17．点 A(m ＋ 3，2)与点 B(1，n－1)对于 x 称， m＋n＝.18．如，点 P ∠ AOB 内一点，分作出P 点对于 OA，OB 的称点 P1，P2，接 P1P2交 OA 于 M ，交 OB 于 N，假 P1P2＝20，那么△ PMN 的周.19．如，在第 1 个△ A1BC 中，∠ B＝20°， A1B ＝CB，那么∠ BA1 C＝80°；在 A1B 上任取一点 D，延 CA1 到 A2 ，使 A1A2 ＝ A1D ，获取第 2 个△A1A2D ；在 A2D 上任取一点 E，延 A1A2 到 A3，使 A2A3＝A2E，获取第 3 个△ A2A3E ⋯⋯按此做法下去，那么第 5 个三角形中以 A5 点的内角度数是 5°.【三】解答 (本大有 7 个小，共 68 分．解答写出文字明、明程或演算步 )20．(8 分)如，AB ＝AC，AE 均分∠ BAC 的外角，那么 AE∥BC ？什么？21．(9 分)如，在△ ABC 中，AB ＝AC＝8cm，∠ A＝50°，AB 的垂直均分MN 分交 AB 于 D，交 AC 于 E，BC＝6cm.求：(1)∠ EBC 的度数；(2)△ BEC 的周长．22．(9 分)如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，将线段AC 绕点 A 顺时针旋转 60°获取线段 AD ，连结 CD 交 AB 于点 O，连结 B D.(1)求证： AB 垂直均分 CD；(2)假定 AB ＝6，求 BD 的长．23．(9 分)如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC，点 D，E，F 分别在边 AB ，BC，AC 上，且 BE＝CF，BD＝ CE.(1)求证：△ DEF 是等腰三角形；(2)当∠ A＝40°时，求∠ DEF 的度数．24．(10 分)作图题：(1)利用如图①所示的网格线作图：在 BC 上找一点 P，使点 P 到 AB 和AC 的距离相等．尔后，在射线 AP 上找一点 Q，使 QB＝QC；(2)如图②，等边△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， M 是 AD 上的动点， E 是 AC 边上一点．①作点 E 对于直线 AD 的对称点 E′；②当 EM ＋CM 的值最小时，作出此时点M 的地址 (注明为 M ′)．25．(11 分)如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 是直线 BC 上一点，以AD 为一边向右侧作等边△ADE.(1)如图①，点 D 在线段 BC 上搬动时，直接写出∠ BAD 和∠ CAE 的大小关系；(2)如图②，点 D 在线段 BC 的延伸线上搬动时，猜想∠DCE 的大小是否发生变化．假定不变，恳求出其大小；假定变化，请说明原因．26．(12 分)(1) 问题研究：如图①，在Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ AB C＝30°，为研究 Rt△ABC 中 30°角所对的直角边AC 与斜边 AB 的数量关系，学习小组成员已经增加了协助线．请表达协助线的添法，并达成探究过程；(2)研究应用 1：如图②，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ ABC ＝30°，点 D 在线段 CB 上，以 AD 为边作等边△ ADE ，连结 BE，为研究线段 BE与DE之间的数量关系，组长已经增加了协助线：取AB的中点F，连结E F.线段BE 与DE之间的数量关系是，并说明原因；(3)研究应用 2：如图③，在点 D 在线段 CB 的延伸线上，以与 DE 之间的数量关系是Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ ABC ＝30°，AD 为边作等边△ ADE ，连结 BE.线段 BE，并说明原因．1． D11．B16．D剖析：如图，连结OB.∵AB ＝AC，AD ⊥BC，∴ BD＝CD，11∠BAD ＝2∠BAC ＝2×120°＝ 60°，∴OB＝OC，∠ABC ＝90°－∠ BAD ＝30°.∵OP＝OC，∴OB＝OC＝ OP，∴∠ APO＝∠ ABO ，∠DCO＝∠ DB O，∴∠ APO＋∠ DCO＝∠ ABO ＋∠ DBO＝∠ ABD ＝ 30°，故①正确．∵∠APC＋∠ DCP＋∠ PBC＝180°，∴∠ APC＋∠ DCP＝150° .∵∠ APO＋∠DCO＝30°，∴∠ OPC＋∠ OCP＝120°，∴∠ POC＝180°－ (∠OPC＋∠OCP)＝60°.∵OP＝OC，∴△ OPC 是等边三角形，故②正确．如图，在AC 上截取 AE＝PA.∵∠ PAE＝ 180°－∠ BAC ＝60°，∴△ APE 是等边三角形，∴∠ PEA＝∠ APE＝60°， PE＝PA，∴∠ APO＋∠ OPE＝60°.∵∠O P AE＝＋∠PECPE，＝∠ CPO＝60°，∴∠ APO＝∠ CPE.在△ OPA 和△ CPE 中，∠A PO＝∠ CPE，∴△ OPA≌△ CPE(SAS)，∴ AO＝CE，∴AC＝AE＋CE ＝OPAO＝＋CPAP，，故③正确．过点 C 作 CH⊥AB 于 H.∵∠ PAC＝∠ DAC ＝60°，1AD ⊥BC，∴CH＝CD，∴S△ ABC ＝2AB ·CH，S 四边形 AOCP＝S△ACP11111＋S△AOC＝2AP·CH＋2OA ·CD＝2AP·CH＋2OA·CH＝2CH·(AP＋O 1 A) ＝2CH·AC，∴ S△ABC ＝S 四边形 AOCP，故④正确．应选 D.17．－20．解：AE∥BC.(2 分)原因以下：∵ AB＝ AC，∴∠B＝∠ C.由三角形外角的性质得∠ DAC ＝∠ B＋∠ C＝2∠B.(5 分)∵AE 均分∠ DAC ，∴∠ DA C＝2∠ DAE ，∴∠ B＝∠ DAE ，∴ AE∥BC.(8 分)21．解： (1)∵ AB ＝AC，∠ A＝50°，∴∠ C＝∠ ABC ＝65°.∵ DE 是AB 的垂直均分线，∴ AE＝ BE，∴∠ ABE ＝∠ A＝ 50°，∴∠ EBC＝∠ AB C－∠ ABE ＝15°.(5 分)(2)∵ AE＝BE，AB ＝AC＝8cm，BC＝6cm，∴△ BEC 的周长＝ BC＋C E＋BE＝BC＋CE＋AE＝ BC＋AC＝8＋6＝14(cm)．(9 分)22．(1)证明：∵线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 60°获取线段 AD ，∴AD ＝AC，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形．(2 分)∵∠BAC ＝30°，∴∠ DAB ＝30°，∴∠ BAC ＝∠ DAB ，(4 分)∴AO⊥CD，CO＝DO，∴AB 垂直均分 CD.(6 分)11(2)解：由 (1)可知∠ DAB ＝30° .又∵∠ ADB ＝90°，∴BD＝2AB ＝2×6＝3.(9 分)BE＝23CF．(1)，证明：∵ AB ＝AC，∴∠ B＝∠ C.在△ DBE 和△ ECF 中，∠B＝∠ C，∴△ DBE≌△ ECF，(3 分 )∴DE＝EF，∴△ DEF 是等腰三角形BD．(4＝CE分)，(2)解：如图，由(1)可知△ DBE≌△ ECF，∴∠ 1＝∠ 3.∵∠ A ＋∠ B＋∠1C＝180°，∠ A＝40°，∠ B＝∠ C，∴∠ B＝2(180°－ 40°)＝70°，∴∠1＋∠ 2＝110°， (7 分 )∴∠ 3＋∠ 2＝110°，∴∠ DEF＝70°.(9 分) 24．解： (1)如图①所示． (5 分)(2)如图②所示：作出点E′(其中没加垂直符号扣 1 分)；连结 CE′(或BE)与 AD 的交点即为 M ′.(10 分)25．解： (1)∠BAD ＝∠ CAE.(2 分)(2)∠ DCE＝60°，不发生变化． (4 分)原因以下：∵△ ABC 和△ ADE 是等边三角形，∴∠ DAE ＝∠ BAC ＝∠ ABC ＝∠ ACB ＝60°，AB ＝AC，A D＝AE，∴∠ ACD ＝120°，∠ BAC ＋∠ CADAB＝＝AC∠DAE，＋∠ CAD ，即∠BA D＝∠ CAE.(7 分)在△ ABD 和△ ACE 中，∠BAD ＝∠ CAE，∴△ ABD ≌△AD ＝AE，ACE(SAS)，∴∠ ACE＝∠ B＝60°，∴∠ DCE＝∠ ACD －∠ ACE＝120°－60°＝ 60°.(11 分)26．解： (1)作 CB 的垂直均分线分别交AB ，BC 于 P， D，连结 CP.(1分)∴PC＝PB，∴∠ PCB＝∠ B＝30°.∵∠ ACB＝90°，∴∠ A＝60°，∠ACP＝60°，∴∠ APC＝∠ A＝∠ ACP＝60°，∴△ ACP 是等边三角形，∴11AC＝AP＝PC，∴ AC＝AP＝PB＝2AB ，即 AC＝2AB.(3 分)1(2)BE＝DE(4 分)原因以下：∵ F是AB的中点，∴ AF＝2AB.∵∠ C1＝90°，∠ ABC ＝30°，∴ AC ＝2AB ，∠CAB ＝60° .∴AC＝AF.∵△ ADE是等边三角形，∴ AD ＝AE＝ DE，∠ DAE＝ 60°，∴∠ CAB ＝∠ DAE ，∴∠CAB －∠ 3＝∠ DAE －∠ 3，即∠ 1＝∠ 2.(6 分)在△ ACD 和△ AFE 中，AC＝AF ，∠1＝∠ 2，AD ＝AE，∴△ ACD ≌△ AFE(SAS) ，∴∠ AFE ＝∠ C＝9 0°，∴ EF⊥AB. ∵F 是 AB 的中点，∴ EF 是 AB 的垂直均分线，∴ AE＝BE，∴ BE＝ DE.(8分)(3)BE＝DE(9 分)原因以下：以以下列图，取AB 的中点 F，连结 EF，∴11AF ＝2AB. ∵∠ C＝90°，∠ ABC ＝30°，∴ AC ＝2AB ，∠ CAB ＝60°，∴AC＝AF.∵△ ADE 是等边三角形，∴ AD ＝ AE＝DE，∠ DAE＝ 60°，∴∠CAB ＝∠ DAE ，∴∠CAB ＋∠ BAD ＝∠ DAE ＋∠ BAD ，即∠CAD ＝∠ FAE. (11 分)在△ ACD 和△ AFE 中，AC＝AF ，∠CAD ＝∠ FAE，AD ＝AE，∴△ACD ≌△ AFE(SAS) ，∴∠ AFE＝∠ C＝90°，∴EF⊥AB. ∵F 是 AB 的中点，∴EF 是 AB 的垂直均分线，∴ AE＝BE，∴ BE＝DE.(12 分)。
苏版初二数学上第13章轴对称单元检测试题附解析
苏版初二数学上第13章轴对称单元检测试题附解析（全卷总分100分）姓名得分一、选择题（每小题3分，共30分）1甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（）ABCD2•已知点P（—2，1），那么点P关于x轴对称的点P的坐标是（）A . （—2, 1）B . （—2，—1）C. （—1, 2）D. （2, 1）3. 如图，△ ABC与厶A B'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（）A . △AA P是等腰三角形B . MN垂直平分AA，CC必、C.A ABC与厶A B'面积相等D .直线AB、A B勺交点不一定在MN上4. 等腰三角形的一边长为6,另一边长为13,则它的周长为（）A . 25B. 25 或32C. 32D. 195. 如图，将△ ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC= 5cm,A ADC的周长为17cm，贝U BC的长为（）A. 7cmB. 10cmC. 12cmD. 22cm6. （聊城中考）如图，点P是/ AOB外的一点，点M , N分别是/ AOB两边上的点，点P关于0A的对称点Q恰好落在线段MN上，点P 关于0B的对称点R落在MN的延长线上.若PM = 2.5cm,PN = 3cm, MN = 4cm,则线段QR的长为（）A. 4.5cmB. 5.5cmC. 6.5cmD. 7cm7. 如图，/ A = 15° AB = BC = CD = DE= EF,则/DEF 等于（）—A. 90°B. 75°C. 70°D. 60°8. 如图，A , B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为的正方形，点C也在格点上，且△ ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（）A . 6个B. 7个C . 8个D . 9个9. 如图，BD是厶ABC的角平分线，DE // BC, DE交AB于E, 若AB = BC,贝U下列结论中错误的是（）A . BD 丄ACB . Z A = / EDAC . 2AD = BCD . BE = ED10 .如图，在△ ABC 中，AB = 20cm, AC = 12cm,点P 从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每.秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动 / . 点也随之停止运动，当厶APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（）A . 2.5 秒B . 3 秒C . 3.5 秒D . 4 秒二、填空题（每小题3分，共18分）11 .在厶ABC 中，AB = AC ,Z A = 100° 则Z B =.12 .如图，△ ABC与厶A1B1C1关于某条直线成轴对称，则Z =.13 .如图，在△ ABC中，AB = AC,点E在CA延长线上, 点P,交AB于点F,若AF = 2, BF = 3,则CE的长度为.14 .如图，在等边厶ABC中，AC = 9,点O在AC上，且AO = 3, 点P是AB上一动点，连接OP,以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD,如果PO= PD,那么AP的长是.15 .（江西中考）如图，在△ ABC 中，AB = 4, BC = 6,Z B = 60° 将厶ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△ A B' C 连接A'C,则厶A B'的周长为.16 .如图，点P 是Z AOB 内部的一点，Z AOB = 30° OP= 8cm, M ,N是OA , OB上的两个动点，则△ MPN周长的最小值cm. 三、解答题（共52分）仃.（10分）某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器. 如图，有三条两两相E8EP丄BC于cAB交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等, 以便及时进行监控？ 18. （10 分）如图，已知 Rt △ ABC 中，/ ACB 于D ，/ BAC 的平分线分别交 BC 、CD 于E 、 是等腰三角形. 佃.（10分）如图，点A ，B ，C 在平面直角坐标 系中的坐标分别为（5，5），（3, 2），（6, 3）. （1）作厶ABC 关于直线I : x = 1对称的 △ A 1B 1C 1，点A ，B ，C 的对称点分别是 A 1, B 1，C 1； ⑵点A 1的坐标为， 点B 1的坐标为， 点C 1的坐标为. =90° CD 丄ABF.试说明△ CEF ABCD20. （10分）如图，已知△ ABC 是等边三角形, 2.已知点P （-2, 1）,那么点P 关于x 轴对称的点P'的坐标是（B ）A . (-2, 1)B . (-2,- 1)C . （-1, 2）D . （2, 1）3.如图，△ ABC 与厶A B'关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误 E ，D , G 分别在 AB , BC , AC 边上，且 AE = BD = CG.连接 AD , BG , CE ,相交于 F , M , N. （1）求证：AD = CE ; ⑵求/ DFC 的度数； （3）试判断△ FMN 的形状，并说明理由. 21. （12分）在等边△ ABC 中， （1） 如图1,P,Q 是BC 边上两点，AP = AQ ，/ BAP =20°求/ AQB 的度数； （2） 点P , Q 是BC 边上的两个动点（不与点B , C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP = AQ ,点Q 关于 直线AC 的对称点为M ，连接AM , PM. ①依题意将图2补全； 的是（D ）A . △ AA P 是等腰三角形 B. MN 垂直平分AA' , CC C. A ABC 与厶A B'面积相等D .直线AB 、A B 的交点不一定在MN 上4.等腰三角形的一边长为6,另一边长为13,则它的周长为（C ）②小茹通过观察、实验，提出猜想：在点 P , Q 运动的过程中，始终有PA = PM , 小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1:要证PA = PM ，只需证厶APM 是等边三角形. 想法2:在BA 上取一点N ，使得BN = BP ,要证PA = PM ，只需证厶ANPPCM. A . 25B . 25 或 32 C . 32D . 195. 如图，将△ ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已 知AC = 5cm ,A ADC 的周长为17cm ,则BC 的长为（C ）A . 7cmB . 10cmC . 12cmD . 22cm6. （聊城中考）如图，点P 是/ AOB 外的一点，点M ,N 分别是/ AOB 两边上的点，点P 关于0A 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于0B 的对称点R 落在MN 的延长线上.若PM = 2.5cm, PN = 3cm , MN = 4cm ，则线段QR 的长为（A ）A请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA = PM （一种方法即可）. 人教版八年级数学第 13章轴对称同步检测试题A . 4.5cmB . 5.5cmC . 6.5cmD . 7cm 7.如图，/ A = 15° AB = BC = CD = DE = EF , 于(D )A . 90°B . 75C 70°D . 60参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图 形的是（D ） 8 .如图，A , B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1的正方形，点C 也在格点上，且△ ABC 为等腰三角形，满足条件的 占： ! ： ：点C 有（D ）■ •: -A■A . 6个B . 7个C . 8个D . 9个 9.如图，BD 是厶ABC 的角平分线， 若AB = BC ,贝U 下列结论中错误的是（ DE // BC ,C )C . 2AD = BCD . BE = ED10. 如图，在△ ABC 中，AB = 20cm , AC = 12cm ,点 P 从点 B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每 秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动 点也随之停止运动，当厶APQ 是以A 为顶角的等腰三角形时，运 动的时间是(D )A . 2.5 秒B . 3 秒C . 3.5 秒D . 4 秒二、填空题(每小题3分，共18分)11 .在厶 ABC 中，AB = AC ，/ A = 100° 则/ B = 40°. 12.如图，△ ABC 与厶A i B i C i 关于某条直线成轴对称，则 / A i =75..13 .如图，在△ ABC 中，AB = AC ,点E 在CA 延长线上， 点P ，交AB 于点F ，若AF = 2，BF = 3,则CE 的长度为7 .14 .如图，在等边厶ABC 中，AC = 9,点O 在AC 上，且AO = 3,点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交 BC 于点D ，连接PD ,如果PO = PD ,那么AP 的长是6 . 15 .(江西中考)如图，在△ ABC 中，AB = 4, BC = 6,Z B = 60° 将厶ABC 沿着射线BC 的方向平移2个单位长度后，得到△ A B', 连接A C 则厶A B'的周长为12.16.如图，点P 是/ AOB 内部的一点，/ AOB = 30° OP = 8cm , 丿幺" M , N 是OA , OB 上的两个动点，则△ MPN 周长的最小值8cm. 三、解答题(共52分)17. (10分)某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器. 如 图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置 /一、 可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控？ — 解：作法：如图所示，A , B , C 代替三个路口. ① 连接AB , BC. ② 分别作线段AB , BC 的垂直平分线交于点P.则点P 就是所求作的点.18. (10分)如图，已知Rt A ABC 中，/ ACB = 90° CD 丄AB 于D ，/ BAC 的平分线 分别交BC 、CD 于E 、F.试说明△ CEF 是等腰三角形. 解：I/ ACB = 90°•••/ B +Z BAC = 90° ••• CD 丄 AB ,•••Z CAD + / ACD = 90° •••/ ACD = / B.••• AE 是Z BAC 的平分线，•••/ CAE = Z EAB. v/ EAB +Z B =Z CEA , Z CAE + Z ACD = Z CFE , • Z CFE = Z CEF. • CF = CE. •••△ CEF 是等腰三角形.佃.(10分)如图，点A , B , C 在平面直角坐标系中的坐标分别为(5, 5), (3, 2), (6, 3).(1)作厶ABC 关于直线I : x = 1对称的△ A 1B 1C 1,点A , B , C 的对称点分别是 A 1, B 1,C 1;⑵点A 1的坐标为(—3, 5)，点B 1的坐标为 (—1, 2)，点 C 1 的坐标为(—4, 3). 解：如图所示.20. (10分)如图，已知△ ABC 是等边三角形，E , D , G 分别在AB , BC , AC 边上，且 AE = BD = CG.连接 AD , BG , CE ,相交于 F , M , N.(1) 求证：AD = CE ; ⑵求/ DFC 的度数； (3)试判断△ FMN 的形状，并说明理由. 解：(1)证明：•••△ ABC 是等边三角形，• Z BAC = Z ABC = 60° AB = AC. 又 v AE = BD ,• △ AEC BDA(SAS).• AD = CE. (2) 由(1)知厶 AEC BDA , • Z ACE = Z BAD.• Z DFC = Z FAC + Z ACE = Z FAC + Z BAD = 60° (3) △ FMN 为等边三角形，由(2知 DFC = 60° 同理可求得/ AMG = 60° Z BNF = 60°• △ FMN 是等边三角形.21. (12分)在等边△ ABC 中， (1) 如图 1,P ,Q 是 BC 边上两点，AP = AQ , Z BAP ' =20°求Z AQB 的度数； (2) 点P , Q 是BC 边上的两个动点(不与点B , C重合)，点P 在点Q 的左侧，且AP = AQ ，点Q 关于' 直线AC 的对称点为M ，连接AM , PM. f 霑① 依题意将图2补全； ② 小茹通过观察、实验，提出猜想：在点 P , Q 运动的过程中，始终有PA = PM , 小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：BCc想法1:要证PA = PM，只需证厶APM是等边三角形.想法2:在BA上取一点N，使得BN = BP,要证PA = PM，只需证厶ANP◎△ PCM.请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA= PM(一种方法即可).解：(1)：AP= AQ ,•••/ APQ =/ AQP. /-Z APB=/ AQC.又ABC 是等边三角形，./Z BAC = Z B=Z C = 60°/Z BAP = Z CAQ. vZ BAP = 20° /Z CAQ = 20°/Z AQB =Z CAQ + Z C= 80°(2)①如图.②利用想法1证明：首先根据(1)得到Z BAP =Z CAQ，然后由轴对称，得到Z CAQ =Z CAM，进一步得到Z CAM =Z BAP，根据Z BAC = 60° 可以得到Z PAM = 60° 根据轴对称可知AQ = AM，结合已知AP= AQ,可知△ APM是等边三角形，进而得到PA = PM.利用想法2证明：在AB上取一点N，使BN= BP，连接PN，CM. '/△ ABC是等边三角形，/Z B=Z ACB = 60° BA = BC = AC. /△ BPN 是等边三角形，AN = PC，BP= NP，Z BNP = 60°/Z ANP = 120°.由轴对称知CM = CQ，Z ACM =Z ACB = 60° /Z PCM = 120°.由(1)知，Z APB =Z AQC△ ABPACQ(AAS) ./ BP = CQ. / NP = CM. /△ANP^A PCM(SAS)./ AP = PM.。
苏州城西中学八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试题(答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．53．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．能够完全重合的两个图形全等B ．两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．三个角都相等的三角形是等边三角形D ．等腰三角形的两底角相等4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．4 5．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒ 6．等腰三角形的两边a ，b 满足7260a b -+-=，则它的周长是（ ） A ．17 B ．13或17 C ．13 D ．197．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180° 10．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80CAD ︒∠=，则B 等于（ ）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒11．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 12．下列图案是轴对称图形的是有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③ 14．如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧交BC 于点D ，再分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，如果AB ＝3，AC ＝4，那么线段AE 的长度是（ ）A ．125B ．95C ．85D ．7515．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或80°D ．50°或80°二、填空题16．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）． 作法如下：①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）17．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________． 18．如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．19．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．20．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．21．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．23．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．24．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为___________．25．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．26．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．三、解答题27．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是AB AC 、边上的点，BE 与CD 相交于点F ，且 BD CE =．（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明ABC ∆是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）；A ．DF EF =B ． BF CF =C ．ABE ACD ∠=∠D ．BCD CBE ∠=∠E ． ADC AEB ∠=∠（2）利用你选的其中一个条件，证明ABC ∆是等腰三角形．28．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将ABC ∆经过一次轴对称变换后得到'''A B C ∆，图中标出了点C 的对应点'C()1在给定方格纸中画出变换后的'''A B C ∆；()2画出AC 边上的中线BD 和BC 边上的高线AE ；()3求'''A B C ∆的面积．29．在直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的位置如图所示．（1）请画出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆（其中',','A B C 分别是,,A B C 的对应点，不写画法）；（2）直接写出',','A B C 三点的坐标'A （ ），'B （ ），'C （ ）， （3）求出'''A B C ∆的面积30．如图，已知四边形ABCD 中，60B ∠=，边8cm AB BC ==，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是每秒1cm ，点Q 运动的速度是每秒2cm ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒．解答下列问题：（1）AP =_______________，BP =______________，BQ =______________．(用含t 的式子表示)（2）当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 的位置关系如何．请说明理由．（3）在点P 与点Q 的运动过程中，BPQ 是否能成为等边三角形．若能，请求出t 的值．若不能，请说明理由．。
苏州金鸡湖学校八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习卷(答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm2．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．1283．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③4．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．如图，点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，//OD AB 交BC 于点D ，//OE AC 交BC 于点E ，若ODE 的周长为9cm ，那么BC 的长为（ ）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm7．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（ ）A ．124B ．122C ．120D ．1188．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．39．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（ ）．A．12︒B．14︒C．16︒D．18︒10．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（）A．80︒B．70︒C．45︒D．30︒11．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2019=（）A．22017B．22018C．22019D．2202012．已知一个等腰三角形ABC的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC的两边为23x-，35x-，若两个三角形全等，则x的值为（）A．5 B．4 C．4或5 D．10 313．如图，ABC中，AC AD BD==，80CAD︒∠=，则B等于（）A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒14．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A．30B．60︒C．40︒或50︒D．30或60︒15．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为（）A ．6B ．3C ．12D ．4．5二、填空题16．如图，在ABC 中，22A ∠=︒，D 为AB 边中点，E 为AC 边上一点，将ADE 沿着DE 翻折，得到A DE '，连接A B '．当A B A D ''=时，A EC '∠的度数为______．17．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．18．若点A （1＋m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则（m ＋n ）2020的值是_____．19．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．20．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD ＝1．（1）△ABC 的周长等于_____；（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1，BQ ＞BP ，连接QD ，PC ，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC ，QD ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．21．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E 交CD 于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G ，考察下列结论：①AC BF =；②2BF CE =；③ADGE GHCE S S =四四边形边形；④DGF △为等腰三角形．其中正确的有___．22．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．（1）ACM ∠的大小=__________（度）；（2）AMC ∠的大小=__________（度）；（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．23．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一动点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，在点D 的运动过程中，EDF ∠与A ∠的大小关系是EDF ∠______A ∠（填“＞”“＝”或“＜”）．24．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．25．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________． 26．如图，在ABC 中，12 cm AB AC ==， 6 cm BC =，D 为AC 的中点，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动，设运动时间为t ，当过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时，t =_________．三、解答题27．如图1，点A 是射线OE ：y x =-（x≥0）上的一点，已知232OA =，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OE 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）求点A 的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②在①的条件下，在平面内另有三点1(8,8)P -、2P （4，323(8484)P ，，请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）28．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决．按照上面的思路，请回答：（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______；（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =．29．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：ABD △是等边三角形；（2）若2DG =，求AC 的长；（3）求证：AB AE AF =+．30．已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠，点E 在CD 上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．。
2019年秋苏版初二数学上册第十三章轴对称检测卷
2019年秋苏版初二数学上册第十三章轴对称检测卷时间：120分钟总分值：150分【一】选择题(本大题共10小题，每题4分，总分值40分)1．以下瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是()2．平面直角坐标系中，点(－2，4)关于x轴的对称点在()3．如图，△ABC是等边三角形，那么∠1＋∠2的度数为()A、60°B、90°C、120°D、180°4．如图，如果直线MC是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝∠B＝110°，那么∠BCD 的度数为()A、110°B、100°C、70°D、50°5．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，那么N处与灯塔P的距离为()A、40海里B、60海里C、70海里D、80海里6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，那么△BEC的周长为()A、13B、14C、15D、167．等腰三角形的一个角为50°，那么这个等腰三角形的顶角可能为()A、50°B、65°C、80°D、50°或80°8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，BC＝5，那么△ABC的面积为()A、5B、10C、15D、209．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC＝45°，那么∠ABC的度数为()A、75°B、80°C、70°D、85°10．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，那么∠DEF的度数为()A、90°B、75°C、70°D、60°【二】填空题(本大题共4小题，每题5分，总分值20分)11．如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高．假设AB＝6，那么CD的长为________．12．点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，那么ab的值为________．13．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA 的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．假设PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，那么线段QR的长为________．14．如图，在等边△ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连接AE，DE，CE.以下结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④假设EC∥AD，那么S△EBC＝1.其中正确的结论有________(填序号)．【三】(本大题共2小题，每题8分，总分值16分)15．以下图形中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出它的所有对称轴．16．如图，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠DAC，那么AE∥BC吗？为什么？【四】(本大题共2小题，每题8分，总分值16分)17．如图，AB ＝AC ，AC 的垂直平分线DE 交AB 于D ，交AC 于E ，BC ＝6，△BDC 的周长为15，求AC 的长．18．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC ，∠ADC ＝60°，求∠C 的度数．【五】(本大题共2小题，每题10分，总分值20分)19．如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，假设BD ＋CE ＝5，求线段DE 的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (－1，5)，B (－1，0)，C (－4，3)．(1)求出△ABC 的面积；(2)在图中作出△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1；(3)写出点A 1，B 1，C 1的坐标．六、(此题总分值12分)21．如图，在四边形ADBC 中，AC ＝AD ，∠ACB ＝90°，∠CAD ＝60°，连接AB ，CD 交于点O ，∠BAC ＝30°.(1)求证：AB 垂直平分CD ；(2)假设AB ＝6，求BD 的长．七、(此题总分值12分)22．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .(1)求证：△DEF 是等腰三角形；(2)当∠A ＝40°时，求∠DEF 的度数．八、(此题总分值14分)23．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动(与A 、C 不重合)，Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动(Q 不与B 重合)，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，连接PQ 交AB 于点D .(1)当∠BQD ＝30°时，求AP 的长；(2)求证：在运动过程中，点D 是线段PQ 的中点；(3)在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化，请说明理由．1．A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 8.A 9.A10．D 解析：∵∠A ＝15°，AB ＝BC ，CB ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝2∠A ＝30°.∵CE ＝CD ，∴∠DEA ＝∠ECD ＝∠A ＋∠CDB ＝45°，∴∠EDF ＝∠A ＋∠AED ＝60°.∵ED ＝EF ，∴△EDF 为等边三角形，∴∠DEF ＝60°.11．3 12.－10 13.4.5cm14．①③④ 解析：连接DC .∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠ACB ＝60°.在△ACD 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，DA ＝DB ，DC ＝DC ，∴△ACD ≌△BCD (SSS)，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝30°，∠DAC ＝∠DBC ，∴结论①正确；∵BE ＝AB ，∴BE ＝BC .在△BED 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BC ，∠EBD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△BED ≌△BCD (SAS)，∴∠DEB ＝∠DCB ＝30°，∴结论③正确；∵EC ∥AD ，∴∠DAC ＝∠ECA .∵∠DBE ＝∠DBC ，∠DAC ＝∠DBC ，∴设∠ECA ＝∠DBC ＝∠DBE ＝∠1.∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ＝60°＋∠1.在△BCE 中，∠CBE ＋∠BCE ＋∠BEC ＝180°，∴2∠1＋2(60°＋∠1)＝180°，∴∠1＝15°，∴∠CBE ＝30°.又∵∠ACB ＝60°，∴AC 和BE 的夹角为90°，∴BE ⊥AC ，∴当EC ∥AD 时，结论②才正确；BE 边上的高为12BC ＝1.又∵BE ＝AB ＝2，∴S △EBC ＝12×2×1＝1，∴结论④正确．综上所述，正确的结论为①③④. 15．解：①②③④都是轴对称图形．(4分)作图略．(8分)16．解：AE ∥BC .(1分)理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(3分)由三角形外角的性质得∠DAC ＝∠B ＋∠C ＝2∠B .(5分)∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAC ＝2∠DAE ，∴∠B ＝∠DAE ，∴AE ∥BC .(8分)17．解：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ，∴△BDC 的周长为BC ＋BD ＋CD ＝BC ＋BD ＋AD ＝BC ＋AB ＝15.(5分)又∵BC ＝6，∴AB ＝9.(7分)∵AB ＝AC ，∴AC ＝9.(8分)18．解：设∠BAD ＝x .∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝x ，∠BAC ＝2∠BAD ＝2x .(2分)∵AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC ＝2x .(3分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝60°，∴2x ＋x ＝60°，∴x ＝20°，∴∠B ＝∠BAC ＝40°，(6分)∴∠C ＝180°－∠B －∠BAC ＝100°.(8分)19．解：∵在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠DBO ＝∠OBC ，∠ECO ＝∠OCB .(4分)∵DE ∥BC ，∴∠DOB ＝∠OBC ＝∠DBO ，∠EOC ＝∠OCB ＝∠ECO ，∴DB ＝DO ，OE ＝EC .(8分)∵DE ＝DO ＋OE ，∴DE ＝BD ＋CE ＝5.(10分)20．解：(1)S △ABC ＝12×5×3＝152.(4分) (2)△A 1B 1C 1如下图．(7分)(3)A 1(1，5)，B 1(1，0)，C 1(4，3)．(10分)21．(1)证明：∵AD ＝AC ，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形．(2分)∵∠BAC ＝30°，∴∠DAB ＝30°，∴∠BAC ＝∠DAB ，(4分)∴AO ⊥CD ，CO ＝DO ，∴AB 垂直平分CD .(6分)(2)解：由(1)可知AB 垂直平分CD ，∴BD ＝CB .又∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ＝12×6＝3，∴BD ＝3.(12分) 22．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)在△DBE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△DBE ≌△ECF ，(4分)∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形．(6分)(2)解：如图，由(1)可知△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(10分)∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF ＝70°.(12分)23．(1)解：设AP ＝x ，那么BQ ＝x .∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∴AC ＝BC ＝6，∠C ＝60°，∴QC ＝x ＋6，PC ＝6－x .又∵∠BQD ＝30°，∴∠QPC ＝90°，∴QC ＝2PC ，即x ＋6＝2(6－x )，解得x ＝2，即AP ＝2.(4分)(2)证明：过点P 作PF ∥BC ，交AB 于点F .(5分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝60°.∵PF ∥BC ，∴∠DBQ ＝∠DFP ，∠PF A ＝∠ABC ＝60°，∠FPA ＝∠C ＝60°，∴∠PF A ＝∠FP A ＝∠A ＝60°，∴PF ＝AP ＝AF ，∴PF ＝BQ .又∵∠BDQ ＝∠FDP ，∠DBQ ＝∠DFP ，∴△DQB ≌△DPF ，∴DQ ＝DP ，即点D 为线段PQ 的中点．(9分)(3)解：在运动过程中线段ED 的长不发生变化，是定值，ED 的长为3.(10分)理由如下：由(2)可知PF ＝AP ＝AF ，∴△AFP 为等边三角形．又∵PE ⊥AF ，∴EF ＝12AF .由(2)可知△DQB ≌△DPF ，∴DF ＝DB ，即DF ＝12BF ，∴ED ＝EF ＋DF ＝12(AF ＋BF )＝12AB ＝3.(14分)。
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2019—2019学度苏版初二上第13章轴对称检测题含解析〔时间：100分钟总分值：120分〕【一】选择题〔每题3分，共30分〕1、〔2016·菏泽〕以下微信图标中不是轴对称图形的是〔 D 〕2、点P〔5，－4〕关于y轴的对称点是〔 D 〕A、〔5，4〕B、〔5，－4〕C、〔4，－5〕D、〔－5，－4〕3、〔2016·南充〕如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，以下判断错误的选项是〔 B 〕21教育网A、AM＝BMB、AP＝BNC、∠MAP＝∠MBPD、∠ANM＝∠BNM,第3题图〕,第4题图〕,第5题图〕,第6题图〕4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，A、2B、3C、4D、以上都不对5、如图，AB＝AC＝AD，假设∠BAD＝80°，那么∠BCD等于〔C〕A、80°B、100°C、140°D、160°6、如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如下图的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是〔A〕A、①B、②C、⑤D、⑥7、如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，那么BD的长为〔A〕21A、1B、1、5C、2D、2、5,第7题图〕,第8题图〕,第9题图〕,第10题图〕8、如图，S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么S△ADC的值是〔C〕A、10B、8C、6D、49、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，假设AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，那么∠ECF的度数为〔C〕A、15°B、22、5°C、30°D、45°10、如图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP;⑤∠AOB＝60°、其中正确结论的个数是〔C〕【A、2个B、3个C、4个D、5个【二】填空题〔每题3分，共24分〕11、正方形是轴对称图形，它共有__4__条对称轴、12、〔2017·益阳模拟〕假设等腰三角形的一个内角为50°，那么它的顶角为__50°或80°__、13、〔2016·长沙〕如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为__13__、,第13题图〕,第14题图〕,第15题图〕14、如图，D，E为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，假设∠B＝55°，那么∠BDF等于__70°__、15、如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有__5__种、16、如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2，BD＝CE，那么△ADE是__等边__三角形、,第16题图〕,第17题图〕,第18题图〕17、如图是由9个等边三角形拼成的六边形，假设中间的小等边三角形的边长是2，那么六边形的周长是__60__、21*cnjy*com18、如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10cm，现要在OC，OA 上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，那么其最小值为__5_cm__、【三】解答题〔共66分〕19、〔7分〕如图，直线l及其两侧两点A，B、〔1〕在直线l上求一点O，使点O到A，B两点距离之和最短；〔2〕在直线l上求一点P，使PA＝PB；〔3〕在直线l上求一点Q，使l平分∠AQ B、解：图略〔1〕连接AB 与l 的交点O 即为所求〔2〕作AB 的垂直平分线，与l 的交点P 即为所求〔3〕作点B 关于l 的对称点B′，作直线AB′与l 的交点Q 即为所求20、〔9分〕如图，在平面直角坐标系中，A 〔－2，2〕，B 〔－3，－2〕、〔1〕假设点D 与点A 关于y 轴对称，那么点D 的坐标为__〔2，2〕__；〔2〕将点B 先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C ，那么点C 的坐标为__〔2，－1〕__；〔3〕求A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 的面积、解：31221、〔9分〕如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，∠B ＝30°，∠DAB ＝45°、 〔1〕求∠DAC 的度数；〔2〕求证：DC ＝AB 、解：〔1〕∠DAC ＝120°－45°＝75°〔2〕∵∠ADC ＝∠B ＋∠DAB ＝75°，∴∠DAC ＝∠ADC ，∴DC ＝AC ，又∵AB ＝AC ，∴DC ＝AB22、〔9分〕如图，在△AOB 中，点C 在OA 上，点E ，D 在OB 上，且CD∥AB，CE ∥AD ，AB ＝AD ，求证：△CDE 是等腰三角形、解：∵CD∥AB ，∴∠CDE ＝∠B 、又∵CE ∥AD ，∴∠CED ＝∠ADB ，又AB ＝AD ，∴∠B ＝∠ADB ，∴∠CDE ＝∠CED ，∴△CDE 是等腰三角形23、〔10分〕如图，△ABC ，△ADE 是等边三角形，B ，C ，D 在同一直线上、求证：〔1〕CE ＝AC ＋CD ；〔2〕∠ECD＝60°、解：〔1〕∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE〔SAS〕，∴BD＝EC、∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD，∴CE＝BD ＝AC＋CD〔2〕由〔1〕知△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABD＝60°，∴∠ECD＝180°－∠ACB －∠ACE＝60°24、〔10分〕如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、〔1〕求证：AD⊥CF；〔2〕连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由、解：〔1〕∵BF∥AC，∠ACB＝90°，∴∠CBF＝90°，∵∠ABC＝45°，DE⊥AB，∴∠BDF ＝45°，∴∠BFD＝45°＝∠BDF，又∵D为BC的中点，∴BD＝BF＝CD，又AC＝BC，∴△ACD ≌△CBF〔SAS〕，∴∠CAD＝∠BCF，∴∠CGD＝∠CAD＋∠ACF＝∠BCF＋∠ACF＝90°，∴AD ⊥CF〔2〕△ACF是等腰三角形、理由：由〔1〕知BD＝BF，又∵DE⊥AB，∴AB是DF的垂直平分线，∴AD＝AF，由〔1〕知△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形25、〔12分〕如图，AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点、〔1〕如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD 的角平分线吗？〔不必说明理由〕2·1·c·n·j·y〔2〕如图②，如果〔1〕中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，〔1〕中的结论仍成立吗？请说明理由；21*cnjy*com〔3〕如图③，如果〔1〕中的条件改为“AD∥FC”，〔1〕中的结论仍成立吗？请说明理由、解：〔1〕AE是∠FAD的角平分线〔2〕成立、理由如下：延长FE交AD的延长线于G、∵E为CD的中点，∴CE＝DE、易证△CEF≌△DEG〔ASA〕，∴EF＝EG、∵AE⊥FG，∴AF＝AG，∴AE是∠FAD的平分线〔3〕结论仍成立，证明方法同〔2〕。
2019年新苏版初二上册(第13章轴对称)单元试卷及解析.doc.doc
2019年新苏版初二上册(第13章轴对称)单元试卷及解析【一】选择题1、〔2017•南宁〕以下图案中是轴对称图形的有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个2、〔2018秋•商丘期末〕在以下说法中，正确的选项是〔〕A、如果两个三角形全等，那么它们必是关于直线成轴对称的图形B、如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形C、等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形D、一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形3、〔2018•泰安模拟〕如下图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是〔〕A、B、C、D、4、〔2018秋•武昌区期中〕点M〔﹣5，3〕关于x轴的对称点的坐标是〔〕A、〔﹣5，﹣3〕B、〔5，﹣3〕C、〔5，3〕D、〔﹣5，3〕5、〔2007•济南〕：如图△ABC的顶点坐标分别为A〔﹣4，﹣3〕，B〔0，﹣3〕，C〔﹣2，1〕，如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，假设设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，那么S1，S2的大小关系为〔〕A、S1＞S2B、S1=S2C、S1＜S2D、不能确定6、〔2017秋•江川县校级期末〕M〔a，3〕和N〔4，b〕关于y轴对称，那么〔a+b〕2017的值为〔〕A、1B、﹣1C、72007D、﹣720077、〔2007秋•招远市期中〕两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③假设A、A′是对应点，那么直线1垂直平分线段AA′；④假设B、B′是对应点，那么PB=PB′，其中正确的选项是〔〕A、①③④B、③④C、①②D、①②③④8、〔2018秋•湖北期末〕A，B两点的坐标分别是〔﹣2，3〕和〔2，3〕，那么下面四个结论：①A，B 关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B之间的距离为4，其中正确的有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个9、将两块全等的直角三角形〔有一锐角为30°〕拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个〔〕A、1B、2C、3D、410、〔2005•泸州〕如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，那么超市应建在〔〕A、在AC，BC两边高线的交点处B、在AC，BC两边中线的交点处C、在AC，BC两边垂直平分线的交点处D、在∠A，∠B两内角平分线的交点处【二】填空题11、〔2017秋•花都区校级月考〕轴对称是指个图形的位置关系，轴对称图形是指个具有特殊形状的图形、12、〔2017秋•昌宁县校级期中〕如下图，镜子里号码如图，那么实际纸上的号码是、13、以下10个汉字：林上下目王田天王显吕，其中不是轴对称图形的是；有一条对称轴的是；有两条对称轴的是；有四条对称轴的是、14、〔2017春•贵阳期末〕一个汽车车牌在水中的倒影为，那么该车的牌照号码是、15、数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照〔1〕题的形式填空，并检验等式是否成立、〔1〕12×231=132×21；〔2〕12×462=×；〔3〕18×891=×；〔4〕24×231=×、16、〔2018秋•大兴区期末〕如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，假设△PEF的周长是20cm，那么线段MN的长是cm、17、〔2018秋•扶沟县期中〕A〔﹣1，﹣2〕和B〔1，3〕，将点A向平移个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称、18、〔2017秋•江川县校级期末〕点M〔﹣2，1〕关于x轴对称的点N的坐标是，直线MN与x轴的位置关系是、【三】解答题19、〔2017秋•广丰县期末〕如图是未完成的上海大众的汽车标志图案，该图案是以直线L为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴左边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴右边的部分、〔要求用尺规作图，保留痕迹，不写作法、〕20、如下图，四边形EFGH是一个矩形的球桌面，有黑白两球分别位于A、B两点，试说明怎样撞击B，才使白球先撞击台球边EF，反弹后又能击中黑球A？21、〔2017秋•石河子校级期末〕用棋子摆成如下图的“T”字图案、〔1〕摆成第一个“T”字需要个棋子，第二个图案需个棋子；〔2〕按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要个棋子，第n个需个棋子、22、〔2003•泰州〕为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草、现将这块空地按以下要求分成四块：〔1〕分割后的整个图形必须是轴对称图形；〔2〕四块图形形状相同；〔3〕四块图形面积相等、现已有两种不同的分法：〔1〕分别作两条对角线〔图1〕〔2〕过一条边的三等分点作这边的垂线段〔图2〕〔图2中两个图形的分割看作同一方法〕请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法〔只要求正确画图，不写画法〕、23、〔2018•大丰市一模〕请认真观察图〔1〕的4个图中阴影部分构成的图案，回答以下问题：〔1〕请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：、〔2〕请在图〔2〕中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征〔用阴影表示〕、24、〔2018秋•汉川市期中〕点A〔2m+n，2〕，B〔1，n﹣m〕，当m、n分别为何值时，〔1〕A、B关于x轴对称；〔2〕A、B关于y轴对称、25、〔2017秋•濮阳校级期中〕平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A〔0，4〕，B〔2，4〕，C〔3，﹣1〕、〔1〕试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；〔2〕求△ABC的面积、〔3〕假设△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标、新人教版八年级上册《第13章轴对称》2018年单元测试卷〔河北省沧州市献县郭庄中学〕参考答案与试题解析【一】选择题1、〔2017•南宁〕以下图案中是轴对称图形的有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个【考点】轴对称图形、【专题】压轴题、【分析】此题考查轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合、【解答】解：第1个不是轴对称图形，第2个、第3个、第4个都是轴对称图形、应选C、【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念、轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合、2、〔2018秋•商丘期末〕在以下说法中，正确的选项是〔〕A、如果两个三角形全等，那么它们必是关于直线成轴对称的图形B、如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形C、等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形D、一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形【考点】轴对称图形；全等三角形的性质、【分析】根据图形成轴对称和轴对称图形的定义逐一判断即可，全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的、【解答】解：A、全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的；故A错误、B、成轴对称的两个三角形一定是全等的；故B正确、C、等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称；故C错误、D、成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形；故D错误、应选B、【点评】此题考查了轴对称和轴对称图形的定义和性质，对于这两个概念要掌握其区别和联系、3、〔2018•泰安模拟〕如下图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是〔〕A、B、C、D、【考点】剪纸问题、【分析】此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项、【解答】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B、应选B、【点评】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力、4、〔2018秋•武昌区期中〕点M〔﹣5，3〕关于x轴的对称点的坐标是〔〕A、〔﹣5，﹣3〕B、〔5，﹣3〕C、〔5，3〕D、〔﹣5，3〕【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标、【专题】计算题、【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果、【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点M〔﹣5，3〕关于x轴的对称点的坐标是〔﹣5，﹣3〕，应选A、【点评】此题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，属于基础题，比较简单、5、〔2007•济南〕：如图△ABC的顶点坐标分别为A〔﹣4，﹣3〕，B〔0，﹣3〕，C〔﹣2，1〕，如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，假设设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，那么S1，S2的大小关系为〔〕A、S1＞S2B、S1=S2C、S1＜S2D、不能确定【考点】坐标与图形变化-平移、【分析】根据平移的性质可知、【解答】解：△ABC的面积为S1=×4×4=8，将B点平移后得到B1点的坐标是〔2，1〕，所以△AB1C的面积为S2=×4×4=8，所以S1=S2、应选B、【点评】此题考查了平移的性质：由平移知识可得对应点间线段即为平移距离、学生在学习中应该借助图形，理解掌握平移的性质、6、〔2017秋•江川县校级期末〕M〔a，3〕和N〔4，b〕关于y轴对称，那么〔a+b〕2017的值为〔〕A、1B、﹣1C、72007D、﹣72007【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标、【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可以直接得到a、b的值，再求〔a+b〕2017的值即可、【解答】解：∵M〔a，3〕和N〔4，b〕关于y轴对称，∴a=﹣4，b=3，∴〔a+b〕2017=〔﹣1〕2017=1，应选A、【点评】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握坐标变化特点、7、〔2007秋•招远市期中〕两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③假设A、A′是对应点，那么直线1垂直平分线段AA′；④假设B、B′是对应点，那么PB=PB′，其中正确的选项是〔〕A、①③④B、③④C、①②D、①②③④【考点】轴对称的性质、【分析】根据轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等、【解答】解：根据轴对称的性质①②③④均正确、应选D、【点评】此题考查轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键、8、〔2018秋•湖北期末〕A，B两点的坐标分别是〔﹣2，3〕和〔2，3〕，那么下面四个结论：①A，B 关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B之间的距离为4，其中正确的有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标、【分析】关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；A，B两点的坐标分别是〔﹣2，3〕和〔2，3〕，纵坐标相同，因而AB平行于x 轴，A，B之间的距离为4、【解答】解：正确的选项是：②A，B关于y轴对称；④假设A，B之间的距离为4、应选B、【点评】此题考查的是如何利用点的坐标判断两点关于x轴，y轴是否对称、9、将两块全等的直角三角形〔有一锐角为30°〕拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个〔〕A、1B、2C、3D、4【考点】图形的剪拼；轴对称图形、【分析】根据题意画出符合题意的四边形，进而利用轴对称图形以及中心对称图形的性质得出即可、【解答】解：如下图：可拼成如上图所示的四种四边形、轴对称图形有①④；中心对称图形有：①②③、应选：B、【点评】此题主要考查了图形的剪拼以及轴对称图形以及中心对称图形的性质，得出符合题意四边形是解题关键、10、〔2005•泸州〕如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，那么超市应建在〔〕A、在AC，BC两边高线的交点处B、在AC，BC两边中线的交点处C、在AC，BC两边垂直平分线的交点处D、在∠A，∠B两内角平分线的交点处【考点】线段垂直平分线的性质、【专题】应用题、【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得、【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、那么超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处、应选C、【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到、【二】填空题11、〔2017秋•花都区校级月考〕轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形、【考点】轴对称图形、【分析】关于某条直线对称的一个图形叫轴对称图形、直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称、【解答】解：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形、【点评】需理解掌握轴对称和轴对称图形的概念、12、〔2017秋•昌宁县校级期中〕如下图，镜子里号码如图，那么实际纸上的号码是108、【考点】镜面对称、【分析】注意镜面反射与特点与实际问题的结合、【解答】解：根据镜面对称的性质，实际纸上的号码是：108、故答案为：108、【点评】此题考查了镜面对称，学生在解题时可以再借用镜子看一下即可，也可以在卷子的反面看、13、以下10个汉字：林上下目王田天王显吕，其中不是轴对称图形的是林上下；有一条对称轴的是天王显吕；有两条对称轴的是目王；有四条对称轴的是田、【考点】轴对称图形、【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，依据定义即可作出判断、【解答】解：“林上下”不是轴对称图形，“天王显吕”这四个字都有1条对称轴，“目王”有2条对称轴，“田”有4条对称轴、【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，确定轴对称图形的关键的正确确定图形的对称轴、14、〔2017春•贵阳期末〕一个汽车车牌在水中的倒影为，那么该车的牌照号码是W5236499、【考点】镜面对称、【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解、【解答】解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣W5236499∴该车的牌照号码是W5236499、【点评】解决此题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形、15、数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照〔1〕题的形式填空，并检验等式是否成立、〔1〕12×231=132×21；〔2〕12×462=264×21；〔3〕18×891=198×81；〔4〕24×231=132×42、【考点】轴对称的性质、【分析】分析题目中算式可得：各个数字关于等号是“轴对称”；故可得12×462=264×21；18×891=198×81；24×231=132×42、【解答】解：依题意有12×462=264×21；18×891=198×81；24×231=132×42、【点评】理解题目的规律，然后求解、16、〔2018秋•大兴区期末〕如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，假设△PEF的周长是20cm，那么线段MN的长是20cm、【考点】轴对称的性质、【分析】根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长、【解答】解：根据题意，EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20cm、【点评】主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等、17、〔2018秋•扶沟县期中〕A〔﹣1，﹣2〕和B〔1，3〕，将点A向上平移5个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称、【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标、【分析】熟悉：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；把一个点左右平移，那么横坐标是左减右加，把一个点上下平移，那么纵坐标是上加下减、【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点B关于y轴对称的点为〔﹣1，3〕，又点A〔﹣1，﹣2〕，所以将点A向上平移5个单位长度后得到的点〔﹣1，3〕、【点评】解决此题的关键是掌握好对称点的坐标规律：〔1〕关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；〔2〕关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；〔3〕关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数、平移时坐标变化规律：把一个点左右平移，那么横坐标是左减右加，把一个点上下平移，那么纵坐标是上加下减、18、〔2017秋•江川县校级期末〕点M〔﹣2，1〕关于x轴对称的点N的坐标是〔﹣2，﹣1〕，直线MN与x轴的位置关系是垂直、【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标、【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律求解、【解答】解：点M〔﹣2，1〕关于x轴对称的点N的坐标是〔﹣2，﹣1〕，因为横坐标相同，所以直线MN与x轴的位置关系是互相垂直、【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律、解决此题的关键是掌握好对称点的坐标规律：〔1〕关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；〔2〕关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；〔3〕关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数、【三】解答题19、〔2017秋•广丰县期末〕如图是未完成的上海大众的汽车标志图案，该图案是以直线L为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴左边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴右边的部分、〔要求用尺规作图，保留痕迹，不写作法、〕【考点】利用轴对称设计图案、【分析】根据轴对称图形的性质，先作垂线平分直径，得出半径长度，再利用截弧相等的方法找对称点，即可画出图形、【解答】解：如下图：、【点评】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键、20、如下图，四边形EFGH是一个矩形的球桌面，有黑白两球分别位于A、B两点，试说明怎样撞击B，才使白球先撞击台球边EF，反弹后又能击中黑球A？【考点】轴对称-最短路线问题、【分析】可作出点A关于台球边EF的对称点A1，连接BA1交EF于点O，即为所求的点、【解答】解：先作出点A关于台球边EF的对称点A1，连接BA1交EF于点O、将球杆沿BOA1的方向撞击B球，可使白球先撞击台球边EF，然后反弹后又能击中黑球A、【点评】熟练掌握对称的性质，能够解决一些简单的作图问题、21、〔2017秋•石河子校级期末〕用棋子摆成如下图的“T”字图案、〔1〕摆成第一个“T”字需要5个棋子，第二个图案需8个棋子；〔2〕按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要32个棋子，第n个需〔3n+2〕个棋子、【考点】规律型：图形的变化类、【专题】规律型、【分析】〔1〕分别根据图形求出图中第一个和第二个图形中棋子的个数即可、〔2〕根据图形中每个图案中棋子的个数，8﹣5=3、11﹣8=3、14﹣11=3可得出规律：每一个图形中棋子的个数比上一个图形中棋子的个数多3，所以第n个图案中，棋子的个数为5+3〔n﹣1〕、【解答】解：〔1〕由图可得：摆成第一个“T”字需要5个棋子；第二个图案需8个棋子、〔2〕由题意可得：摆成第1个“T”字需要5个棋子；摆成第2个“T”字需要8个棋子，8﹣5=3；摆成第3个“T”字需要11个棋子，11﹣8=3；摆成第4个“T”字需要14个棋子，14﹣11=3；…摆成第10个“T”字需要32个棋子；…由此可得出规律：摆成第n个“T”字需要5+3〔n﹣1〕=3n+2个棋子、【点评】此题主要考查的是根据图中图形的变化情况，通过归纳与总结得出规律的能力，此题的关键在于相邻图形间棋子的变化个数、22、〔2003•泰州〕为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草、现将这块空地按以下要求分成四块：〔1〕分割后的整个图形必须是轴对称图形；〔2〕四块图形形状相同；〔3〕四块图形面积相等、现已有两种不同的分法：〔1〕分别作两条对角线〔图1〕〔2〕过一条边的三等分点作这边的垂线段〔图2〕〔图2中两个图形的分割看作同一方法〕请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法〔只要求正确画图，不写画法〕、【考点】利用轴对称设计图案、【专题】压轴题、【分析】做此题的关键是利用轴对称图形，作出轴对称图案、这里的答案不唯一，只要是轴对称图形就行、做时可以思考先把正方形变成两个面积相等，图形相同的两部分，再分这两部分为相同的轴对称图形、【解答】解：答案不惟一、【点评】此题主要考查了轴对称图形在实际生活中的应用、学生做这类题时思路要清晰，可先把正方形变成两个面积相等，图形相同的两部分，再分这两部分为相同的轴对称图形、23、〔2018•大丰市一模〕请认真观察图〔1〕的4个图中阴影部分构成的图案，回答以下问题：〔1〕请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：是轴对称图形；特征2：是中心对称图形、〔2〕请在图〔2〕中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征〔用阴影表示〕、【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案、【分析】〔1〕应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；〔2〕应画出既是中心对称图形，又是轴对称图形，且面积为4的图形、【解答】解：〔1〕特征1：是轴对称图形，特征2：是中心对称图形；〔2〕、【点评】图形的特点应从对称性和面积等方面进行考虑、24、〔2018秋•汉川市期中〕点A〔2m+n，2〕，B〔1，n﹣m〕，当m、n分别为何值时，〔1〕A、B关于x轴对称；〔2〕A、B关于y轴对称、【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标、【分析】〔1〕根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，再解方程组即可；〔2〕根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，再解方程组即可、【解答】解：〔1〕∵点A〔2m+n，2〕，B〔1，n﹣m〕，A、B关于x轴对称，∴，解得；〔2〕∵点A〔2m+n，2〕，B〔1，n﹣m〕，A、B关于y轴对称，∴，解得：、【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标特点、25、〔2017秋•濮阳校级期中〕平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A〔0，4〕，B〔2，4〕，C〔3，﹣1〕、〔1〕试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；〔2〕求△ABC的面积、〔3〕假设△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标、【考点】作图-轴对称变换、【专题】综合题、【分析】〔1〕根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置即可、〔2〕以AB为底，那么点C到AB得距离即是底边AB的高，结合坐标系可得出高为点C的纵坐标的绝对值加上点B的纵坐标的绝对值，从而根据三角形的面积公式计算即可、〔3〕关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可得出A1、B1、C1的坐标、【解答】解：〔1〕如下图：〔2〕由图形可得：AB=2，AB边上的高=|﹣1|+|4|=5，∴△ABC的面积=AB×5=5、〔3〕∵A〔0，4〕，B〔2，4〕，C〔3，﹣1〕，△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，∴A1〔0，﹣4〕、B1〔2，﹣4〕、C1、〔3，1〕、【点评】此题考查轴对称作图及直角坐标系的知识，难度一般，解答此题的关键是正确的找出三点的位置，另外要掌握关于x轴对称的点的坐标的特点、。
八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷及答案
八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷及答案2019年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷及答案把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形。
接下来大家一起来练习2019年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷。
2019年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷及答案一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1、下列图形成轴对称图形的有()A.5个B.4个C.3个D.2个2、下列图形中，对称轴的条数最少的图形是()3、在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图)，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形.那么符合条件的小正方形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4、若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°5、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为()A.12B.9C.12或9D.9或76、如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与的夹角为.14、如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC 于点D.已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB= .15、在等边三角形ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，且AD=BE.连接AE、CD交于点P，则∠APD=.16、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA 于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为()A.6B.5C.4D.3三、解答题(共8题，共72分)17、(本题8分)如图是未完成的上海大众的汽车标志图案，该图案是以直线L为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴左边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴右边的部分.(要求用尺规作图，保留痕迹，不写作法.)18、(本题8分)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是.19、(本题8分)如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm.20、(本题8分)如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC 边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长.21、(本题8分)如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数22、(本题10分)在平面直角坐标系中，等边三角形OAB关于x轴对称的图形是等边三角形OA′B′.若已知点A的坐标为(6，0)，求点B′的横坐标.23、(本题10分)已知点A(2m+n，2)，B (1，n﹣m)，当m、n分别为何值时，(1)A、B关于x轴对称;(2)A、B关于y轴对称.24、(本题12分)平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，4)，B(2，4)，C(3，﹣1).(1)试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点;(2)求△ABC的面积.(3)若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标.参考答案一、选择题1、A2、B3、C4、D5、A6、B7、C.8、C9、B 10、D二、填空题11、两，一 12、y轴 13、20° 14、8 15、60° 16、A三、解答题17、如图18、解∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCE=∠DCF，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，在△DEC和△DFC中，∠DCE=∠DCF，∠DEC=∠DFC，CD=CD，∴△DEC≌△DFC(AAS)，∴DF=DE=2，∴S△BCD=BC×DF÷2=4×2÷2=419、解∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，∴点P到BC的距离=PE=4cm.20、解：由图形和题意可知AD=DC，AE=CE=4，AB+BC=22，△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC﹣CD=AB+BC，即可求出周长为22.21、解∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，∴∠CAD=(180°- 100°)÷2=40°，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，∵DC=DB，∴∠B=(180°- 140°)÷2=20°.22、解：如图所示，∵等边△OAB关于x轴对称的图形是等边△OA′B′，∴点A′的坐标为(6，0)，∴点B′的横坐标是3.23、解：(1)∵点A(2m+n，2)，B (1，n﹣m)，A、B关于x轴对称，∴ 2m+n=1，n-m= -2解得：m=1，n= -1，(2)∵点A(2m+n，2)，B (1，n﹣m)，A、B关于y轴对称，∴2m+n= -1，n-m=2解得：m= -1，n=1，24、解：(1)如图所示：(2)由图形可得：AB=2，AB边上的高=|﹣1|+|4|=5，∴△ABC的面积= AB×5=5.(3)∵A(0，4)，B(2，4)，C(3，﹣1)，△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，∴A1(0，﹣4)、B1(2，﹣4)、C1.(3，1).2019年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷到这里就结束了，希望同学们的成绩能够更上一层楼。
江苏八年级数学上册第十三章《轴对称》测试(含答案)
一、选择题1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．1282．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（ ）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20° 4．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（ ）A ．8B ．8或10C ．12D ．105．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．117．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上 D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆=8．等腰三角形的两边a ，b 满足7260a b -+-=，则它的周长是（ ）A ．17B ．13或17C ．13D ．19 9．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（ ） A ．12 B ．9 C ．10 D ．12或9 10．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S =．A．1 B．2 C．3 D．412．已知一个等腰三角形ABC的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC的两边为23x-，35x-，若两个三角形全等，则x的值为（）A．5 B．4 C．4或5 D．10 313．下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．14．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝12BF；④AE＝BG．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④15．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）A ．125B ．95C ．85D ．75二、填空题16．如图，点CD 在线段AB 的同侧，CA =6，AB =14，BD =12，M 为AB 中点，∠CMD =120°．则CD 的最大值为____．17．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定正确的是______．18．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．19．若点A （1＋m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则（m ＋n ）2020的值是_____．20．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．21．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．22．在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．请回答：若BC=DC ，∠B=100°，则∠ACB 的度数为____． 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．24．如图，∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若BD ＝8cm ，DE ＝3cm ，AE ＝2，求AC 的长为_____cm ．25．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________． 26．如图，在ABC 中，12 cm AB AC ==， 6 cm BC =，D 为AC 的中点，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动，设运动时间为t ，当过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时，t =_________．三、解答题27．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEMDEM ∠=∠．28．如图，（1）在网格中画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）写出ABC ∆关于x 轴对称的222A B C ∆的各顶点坐标；（3）在y 轴上确定一点P ，使PAB ∆周长最短．只需作图，保留作图痕迹．29．已知，如图ABC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，点F 在AB 的延长线上，EG AC ⊥，垂足为点G ，ED 垂直平分BC ，D 为垂足，连结BE ，CE ． 求证：BEF CEG △≌△．30．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=．。
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苏版初二数学上册单元测试：第十三章轴对称时间：120分钟总分值：120分【一】选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～1 6小题各2分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．以下四个交通标志图中为轴对称图形的是()2．在平面直角坐标系xOy中，点P(－3，5)关于y轴的对称点的坐标是()A、(3，5)B、(3，－5)C、(5，－3)D、(－3，－5)3．以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是()A、等边三角形B、正方形C、正六边形D、圆4．以下说法中，正确的选项是()A、关于某条直线对称的两个三角形一定全等B、两个全等三角形一定关于某条直线对称C、面积相等的两个三角形一定关于某条直线对称D、周长相等的两个三角形一定关于某条直线对称5．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，那么N处与灯塔P的距离为()A、40海里B、60海里C、70海里D、80海里6．如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，那么∠B的度数是()A、40°B、35°C、25°D、20°7．等腰三角形的一个角为50°，那么这个等腰三角形的顶角可能为( )A、50°B、65°C、80°D、50°或80°8．如图，线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP＝2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E.使其满足AD＝DC＝CE＝EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP，∠BCP的平分线，分别交AB于D，E，那么D，E两点即为所求；乙：分别作线段AC，BC的垂直平分线，分别交AB于点D，E，那么D，E两点即为所求．以下说法正确的选项是()A、甲、乙都正确B、甲、乙都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确9．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m 所夹锐角为20°，那么∠α的度数为()A、60°B、45°C、40°D、30°10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD ＝2，那么AB的长为()A、4B、6C、8D、1011．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，那么△ADE的形状是()A、等腰三角形B、等边三角形C、不等边三角形D、不能确定形状r12．如图，假设△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，那么BE的长为()A、7B、8C、9D、1013．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，那么∠CDA＝( )A、30°B、45°C、60°D、75°14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC＝45°，那么∠ABC的度数为()A、75°B、80°C、70°D、85°15．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，那么这样的三角形(不包含△ABC本身)共有()A、1个B、3个C、2个D、4个16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋A P；④S△ABC＝S四边形AOCP.其中正确的选项是()A、①②③B、①②④C、①③④D、①②③④17．点A(m＋3，2)与点B(1，n－1)关于x轴对称，m＋n＝.18．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，假设P1P2＝20，那么△P MN的周长为.19．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，那么∠BA1 C＝80°；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此做法继续下去，那么第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是5°.【三】解答题(本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(8分)如图，AB＝AC，AE平分∠BAC的外角，那么AE∥BC吗？为什么？21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN分别交AB于D，交AC于E，BC＝6cm.求：(1)∠EBC的度数；(2)△BEC的周长．22．(9分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，连接CD交AB于点O，连接B D.(1)求证：AB垂直平分CD；(2)假设AB＝6，求BD的长．23．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．24．(10分)作图题：(1)利用如图①所示的网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB＝QC；(2)如图②，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．①作点E关于直线AD的对称点E′；②当EM＋CM的值最小时，作出此时点M的位置(标注为M′)．25．(11分)如图，△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边向右侧作等边△ADE.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD和∠CAE的大小关系；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化．假设不变，请求出其大小；假设变化，请说明理由．26．(12分)(1)问题探究：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠AB C＝30°，为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．请表达辅助线的添法，并完成探究过程；(2)探究应用1：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE 之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB 的中点F ，连接E F.线段BE 与DE 之间的数量关系是 ，并说明理由；(3)探究应用2：如图③，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，点D 在线段CB 的延长线上，以AD 为边作等边△ADE ，连接BE.线段BE 与DE 之间的数量关系是 ，并说明理由．1．D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.C 7.D 8.D 9.C 10.C11．B 12.C 13.C 14.A 15.B16．D 解析：如图，连接OB.∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∠BAD ＝12∠BAC ＝12×120°＝60°，∴OB ＝OC ，∠ABC ＝90°－∠BAD ＝30°.∵OP ＝OC ，∴OB ＝OC ＝OP ，∴∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DB O ，∴∠APO ＋∠DCO ＝∠ABO ＋∠DBO ＝∠ABD ＝30°，故①正确．∵∠APC ＋∠DCP ＋∠PBC ＝180°，∴∠APC ＋∠DCP ＝150°.∵∠APO ＋∠DCO ＝30°，∴∠OPC ＋∠OCP ＝120°，∴∠POC ＝180°－(∠OPC ＋∠OCP)＝60°.∵OP ＝OC ，∴△OPC 是等边三角形，故②正确．如图，在AC 上截取AE ＝PA.∵∠PAE ＝180°－∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝PA ，∴∠APO ＋∠OPE ＝60°.∵∠OPE ＋∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE.在△OPA 和△CPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PE ，∠APO ＝∠CPE ，OP ＝CP ，∴△OPA ≌△CPE(SAS)，∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE ＋CE ＝AO ＋AP ，故③正确．过点C 作CH ⊥AB 于H.∵∠PAC ＝∠DAC ＝60°，AD ⊥BC ，∴CH ＝CD ，∴S △ABC ＝12AB ·CH ，S 四边形AOCP ＝S △ACP ＋S △AOC ＝12AP ·CH ＋12OA ·CD ＝12AP ·CH ＋12OA ·CH ＝12CH ·(AP ＋O A)＝12CH ·AC ，∴S △ABC ＝S 四边形AOCP ，故④正确．应选D.17．－3 18.2020．解：AE ∥BC.(2分)理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.由三角形外角的性质得∠DAC ＝∠B ＋∠C ＝2∠B.(5分)∵AE 平分∠DAC ，∴∠DA C ＝2∠DAE ，∴∠B ＝∠DAE ，∴AE ∥BC.(8分)21．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝50°，∴∠C ＝∠ABC ＝65°.∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∴∠ABE ＝∠A ＝50°，∴∠EBC ＝∠AB C －∠ABE ＝15°.(5分)(2)∵AE ＝BE ，AB ＝AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴△BEC 的周长＝BC ＋C E ＋BE ＝BC ＋CE ＋AE ＝BC ＋AC ＝8＋6＝14(cm)．(9分)22．(1)证明：∵线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AD ，∴AD ＝AC ，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形．(2分)∵∠BAC ＝30°，∴∠DAB ＝30°，∴∠BAC ＝∠DAB ，(4分)∴AO ⊥CD ，CO ＝DO ，∴AB 垂直平分CD.(6分)(2)解：由(1)可知∠DAB ＝30°.又∵∠ADB ＝90°，∴BD ＝12AB ＝12×6＝3.(9分)23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△DBE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△DBE ≌△ECF ，(3分)∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形．(4分)(2)解：如图，由(1)可知△DBE ≌△ECF ，∴∠1＝∠3.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，(7分)∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF ＝70°.(9分)24．解：(1)如图①所示．(5分)(2)如图②所示：作出点E ′(其中没加垂直符号扣1分)；连接CE ′(或BE)与AD 的交点即为M ′.(10分)25．解：(1)∠BAD ＝∠CAE.(2分)(2)∠DCE ＝60°，不发生变化．(4分)理由如下：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠DAE ＝∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ，A D ＝AE ，∴∠ACD ＝120°，∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BA D ＝∠CAE.(7分)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)，∴∠ACE ＝∠B ＝60°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝120°－60°＝60°.(11分)26．解：(1)作CB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于P ，D ，连接CP.(1分)∴PC ＝PB ，∴∠PCB ＝∠B ＝30°.∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝60°，∠ACP ＝60°，∴∠APC ＝∠A ＝∠ACP ＝60°，∴△ACP 是等边三角形，∴AC ＝AP ＝PC ，∴AC ＝AP ＝PB ＝12AB ，即AC ＝12AB.(3分)(2)BE ＝DE(4分) 理由如下：∵F 是AB 的中点，∴AF ＝12AB.∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ，∠CAB ＝60°.∴AC ＝AF.∵△ADE是等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∠DAE ＝60°，∴∠CAB ＝∠DAE ，∴∠CAB －∠3＝∠DAE －∠3，即∠1＝∠2.(6分)在△ACD 和△AFE 中，AC ＝AF ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△AFE(SAS)，∴∠AFE ＝∠C ＝90°，∴EF ⊥AB.∵F 是AB 的中点，∴EF 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝B E ，∴BE ＝DE.(8分)(3)BE ＝DE(9分) 理由如下：如下图，取AB 的中点F ，连接EF ，∴AF ＝12AB.∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ，∠CAB ＝60°，∴AC ＝AF.∵△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∠DAE ＝60°，∴∠CAB ＝∠DAE ，∴∠CAB ＋∠BAD ＝∠DAE ＋∠BAD ，即∠CAD ＝∠FAE.(11分)在△ACD 和△AFE 中，AC ＝AF ，∠CAD ＝∠FAE ，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△AFE(SAS)，∴∠AFE ＝∠C ＝90°，∴EF ⊥AB.∵F 是AB 的中点，∴EF 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∴BE ＝DE.(12分)。