高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释素材 北师大
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.
2.特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分 的含义,这样的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作特称命 题. 【做一做2】 下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除 C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0 D.有一个m,使2-m与|m|-3异号 答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只 需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式 m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
【做一做 3】 给出下列命题:
①任意 x∈R, ������是无理数; ②任意������, ������∈R,若 xy≠0,则 x,y 中至少
有一个不为 0;③存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除.
其中真命题为
.(填序号)
解析:①是假命题,例如 4是有理数;②是假命题,若 xy≠0,则 x,y
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 利用全称命题、特称命题求参数范围
【例3】 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?并 说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 分析:可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和 存在一个实数x,使m>f(x)成立.
全称量词命题与存在量词命题的否定
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“至多有一个”的否定为___至__少__有__两__个________．
(2) 已 知 命 题 p ： ∀ x∈[2 ， ＋ ∞ ) ， x2≥4 ， 则 它 的 否 定 是 _∃_x_∈__[_2_，__＋__∞__)_，__x_2<_4________.
(3)∃x∈R，|x＋1|≤1.
[解] (1)命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假 命题，如5是奇数，但5不能被3整除．
(2)命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命 题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.
(3) 命 题 的 否 定 为 “ ∀ x∈R ， |x ＋ 1|>1” ． 这 个 命 题 为 假 命 题 ， 如 x ＝ 0
[跟踪训练 2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)∃x∈R，x2＋x＋14<0； (3)至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
解 (1)命题的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”．这个命题是
假命题，如 2 的绝对值是正数．
(2)命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋14≥0”．
这个命题是真命题，因为当 x∈R 时，x2＋x＋14＝x＋122≥0. (3)命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为 x＝
1．对存在量词命题的否定及其特点的理解 存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定 时既要改变存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提 供的结论是对存在量词命题否定的关键． 2．对全称量词命题的否定及其特点的理解 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否 定时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所 提供的结论是对全称量词命题否定的关键． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般先改写为含有全 称量词的命题，再写出命题的否定．
2021_2022学年新教材高中数学第一单元集合与常用逻辑用语1.2.2全称量词命题与存在量词命题的
1．2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(1)定义:对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“p”,读作“非p”或“p的否定”.(2)结论:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就应该是假命题;反之亦然.存在量词命题p p 结论存在量词命题的否∃x∈M,p(x) ∀x∈M,p(x)定是全称量词命题全称量词命题q q 结论全称量词命题的否定∀x∈M,q(x) ∃x∈M,q(x)是存在量词命题用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)命题p的否定是p.( )(2)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,p(x)的真假性相反.( )(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )提示:(1)√.命题p与p互为否定.(2)√.存在量词命题p与其否定p一真一假.(3)×.尽管存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.2.命题p:∀x∈N,|x+2|≥3的否定为( )A.∀x∈N,|x+2|<3B.∀x∉N,|x+2|<3C.∃x∈N,|x+2|≥3D.∃x∈N,|x+2|<3【解析】选D.命题p:“∀x∈N,|x+2|≥3”的否定为:∃x∈N,|x+2|<3.3.(教材例题改编)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2【解析】选D.∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n<x2.类型一存在量词命题的否定(逻辑推理)【典例】1.已知命题p:∃x>2,x3-8>0,那么p为( )A.∃x>2,x3-8≤0B.∀x>2,x3-8≤0C.∃x≤2,x3-8≤0D.∀x≤2,x3-8≤02.已知命题p:存在k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图像不经过定点M,若命题p是假命题,则点M的坐标为.3.写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:有些实数的绝对值是正数.(2)q:某些平行四边形是菱形.(3)r:∃x∈R,x2+1<0.(4)s:∃x,y∈Z,使得x+y=3.【思路导引】1.量词和结论都改变.2.依据原命题和其否定一真一假解答.3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.【解析】1.选B.已知命题p:∃x>2,x3-8>0,那么p是∀x>2,x3-8≤0.2.因为命题p是假命题,所以p是真命题,即任意k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图像经过定点M,易知点M的坐标为(-1,3).答案:(-1,3)3.(1)p:“所有实数的绝对值都不是正数”,由p是真命题可知p是假命题.(2)q:“每一个平行四边形都不是菱形”.由q是真命题可知q是假命题.(3)r:“∀x∈R,x2+1≥0”.因为∀x∈R,x2≥0,所以x2+1≥0”,所以r是真命题.(4)s:“∀x,y∈Z,x+y≠3”,由s是真命题可知s是假命题.(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.1.写出这些命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:某些梯形的对角线互相平分.(2)q:存在一个x∈R,使=0.(3)r:在同圆中,有的等弧所对的圆周角不相等.(4)s:存在k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而减小.【解析】(1)p是假命题.(2)q:任意x∈R,使≠0,由q是假命题可知q是真命题.(3)r:在同圆中,任意等弧所对的圆周角相等.由r是假命题可知r为真命题.(4)s:任意k∈R,函数y=kx+b随x的值增大而增大或不变.当k<0时,函数y=kx+b随x的值增大而减小,所以s是真命题,s是假命题.2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除.(2)∀x∈Z,x2与3的和不等于0.(3)有些三角形的三个内角都为60°.(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解析】(1)是存在量词命题,否定为:每一个奇数都能被3整除.(2)是全称量词命题,否定为:∃x∈Z,x2与3的和等于0.(3)是存在量词命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.类型二全称量词命题的否定(逻辑推理)【典例】“∀x∈[-1,2],x2+2x-1<0”的否定为( )A.∀x∈[-1,2],x2+2x-1≥0B.∃x∈[-1,2],x2+2x-1≥0C.∃x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x2+2x+1≥0D.∀x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x2+2x-1≥02.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:对所有正数x,>x+1.(2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数.(3)r:所有被5整除的整数都是奇数.(4)s:任意两个等边三角形都相似.【思路导引】1.∀x∈M,p(x)的否定为∃x∈M,p(x).2.全称量词改为存在量词,同时否定结论即可.【解析】1.选B.根据全称量词命题的否定是存在量词命题,知∀x∈[-1,2],x2+2x-1<0的否定为∃x∈[-1,2],x2+2x-1≥0.2.(1)p:存在正数x,≤x+1.例如当x=1时,<x+1,所以p是真命题.(2)q是假命题.(3)r:存在一个被5整除的整数不是奇数. 例如10是能被5整除的整数且不是奇数,所以r是真命题.(4)s是假命题.(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.1.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:∈(A∪B),则命题p是.【解析】因为p:∈A∪B,所以p:∉A且∉B,即p:∈(∁U A)∩(∁U B).答案:∈(∁U A)∩(∁U B)2.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:∀x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.(2)q:∀x∈R,x3+1≠0.(3)r:所有分数都是有理数.(4)s:每一个四边形的四个顶点共圆.【解析】(1)p:∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.例如当x=2时,|x-2|=0<2,p是真命题.(2)q:∃x∈R,x3+1=0.例如当x=-1时,x3+1=0,所以q是真命题.(3)r是假命题.(4)°和150°的菱形的四个顶点不共圆,所以s是真命题.【补偿训练】写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:被8整除的数能被4整除.(2)q:所有二次函数的图像关于y轴对称.(3)r:实数都能写成小数形式.(4)s:方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.【解析】(1)p是假命题.(2)q:存在一个二次函数,它的图像不关于y轴对称.例如二次函数y=x2+x的图像不关于y轴对称,所以q是真命题.(3)r是假命题.(4)s:方程x22-8x-10=0的两个根都是无理数,不是奇数,所以s是真命题,s是假命题.1.(2021·某某高一检测)设命题p:所有正方形都是平行四边形,则p为( )【解析】选C.“所有”改为“存在”(或“有的”),“都是”改为“不都是”(或“不是”),即p 为有的正方形不是平行四边形.2.(教材习题改编)已知命题p:∀x∈(1,+∞),x3+16>8x,则命题p的否定为( )A.p:∀x∈(1,+∞),x3+16≤8xB.p:∀x∈(1,+∞),x3+16<8xC.p:∃x∈(1,+∞),x3+16≤8xD.p:∃x∈(1,+∞),x3+16<8x【解析】选C.命题p:∀x∈(1,+∞),x3+16>8x的否定是:∃x∈(1,+∞),x3+16≤8x.“∃x∈R,x2+2 019x+2 020<0”的否定为( )A.∀x∈R,x2+2 019x+2 020<0B.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≤0C.∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0D.∃x∈R,x2+2 019x+2 020≥0【解析】选C.命题的否定为“∀x∈R,x2+2 019x+2 020≥0”.4.若命题p:∃x∈R,使得x2-x-2=0,则p为.【解析】命题p:∃x∈R,使得x2-x-2=0的否定是p:∀x∈R,使得x2-x-2≠0.答案:∀x∈R,使得x2-x-2≠0“∃x∈R,|2-x|+|x+3|>4”的否定是.答案:∀x∈R,|2-x|+|x+3|≤4。
人教版(新教材)高中数学第一册 全称量词与存在量词 全称量词命题和存在量词命题的否定
通过对全称量词与存在量词的 学习，提升“数学抽象”“逻 辑推理”的核心素养
栏目索引
课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结
课前自主预习
知识点1 全称量词和全称量词命题
(1)短语“___所__有__的_____”“___任__意__一__个_____”在逻辑中通常叫做全称量词， 并用符号“___∀_____”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． (2)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M 表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记 为：_____∀_x_∈__M__，__p_(_x)_________.
知识点2 存在量词和存在量词命题
(1)短语“__存__在__一__个______”“___至__少__有__一__个_____”在逻辑中通常叫做存在 量词，并用符号“____∃____”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量 词命题． (2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为： ______∃_x_∈__M_，__p_(_x_)________.
B．1
C．2
D．3
解析 观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量 词．命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角 和都是180° ”，故有两个全称命题．
答案 C
(2)下列语句不是存在量词命题的是( ) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项 A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． 答案 C
高一上数学必修一第一章《全称量词命题与存在量词命题的否定》知识点梳理
“非”命题最常见的几个正面词语的否定： 二、全称量词命题与存在量词命题 【数学引入】 下面我们来讨论如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定。
【概念形成】
2/4
【知识应用】 例 1 写出下列命题的否定，并判断所的命题的真假：
3/4
【总结】 本节课主要的知识点： 1. 量词的否定 2. 存在量词命题的否定及其真假的判断 3. 全称量词命题的否定及其真假的判断
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标 1. 通过探究数学中一些实例，归纳总结出命题的否定形式； 2.能够正确写出全称量词命题与存在量词命题的否定并能够判断真假； 3.体会从具体到一般的认知过程，培养抽象概括能力； 4. 培养辨析能力以及培养良好的思维品质，树立辩证唯物主义观。 重难点 重点：了解命题否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式； 难点：得到命题的否定。 【数学引入】 你能说出命题 s：“3 的相反数是 ”和 t：“3 的相反数不是 ”这两个命题之间的关系吗？他们 的真假性如何？ 可以发现，命题 s 是对命题 t 的否定，命题 t 也是对命题 s 的否定，而且 s 是真命题，t 是假命 题。 一、命题的否定
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.3全称命题与特称命题的否定1111数学
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【提升总结】命题的否定何命题均有否定，无论是真命题还是(hái 假 shi) 命题；而否命题仅针对命题“若p，则q”而言. 2．命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的 真假性必然是一真一假，一假一真，即真假相 反；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能
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例2 设原命题为“奇函数的图像关于原点对称”，写出该 命题的否命题及这个(zhè ge)命题的否定：
解：否命题:“若一个函数不是奇函数，则它的图像不关 于原点对称”； 命题的否定(fǒudìng):“存在一个奇函数的图像不关于原点对 称”.
想一想：命题的否定与否命题有什么(shén me)不同？
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【变式练习】 写出下列命题(mìng tí)的否定：
（1）三个数-3,2.5， 2 中，至少(zhìshǎo)有一个数不是自然
数. （2）对任意(rènyì)一个实数 x ，都有2x+4≥0.
答案：
（1）三个数-3,2.5， 中2，没有一个数是自然数.
（2）存在一个实数 x ，使得2x+4＜0.
至__少__(_zh_ì_sh_ǎ_o)_有__一__个__乌___鸦__不__是__黑. 色的
4.命题“有的实数没有立方根”的否定为____命真题.（填
“真”“假”）
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5.写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)有些素数是奇数.
(2)所有二次函数(hánshù)的图像都开口向上.
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探究点3 常见量词(liàngcí)的否定
全称量词命题和存在量词命题的否定
课堂小结
1、命题的否定及符号记法； “若p，则q”的否定是“若p，则¬q” 2、一些常见的结论的否定形式； 3、全称量词命题的否定及符号记法；
p：∃x∈M，p(x)，¬p：∀x∈M，¬p(x) 4、存在量词命题的否定及符号记法．
p：∃x∈M，p(x)，¬p：∀x∈M，¬p(x)
反馈检测
1．写出下列命题的否定． (1) ∀x∈Z，|x|∈N； ¬p： ∃x∈Z，|x|∉N (2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ¬p：存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0 (3) ∃x∈R，x＋1≥0． ¬p： ∀x∈R，x＋1<0 (4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直． ¬p： 所有四边形的对角线都不互相垂直
(3) ∀x∈R，x2＋|x|≥0． ¬p： ∃x∈R，x2＋|x|<0
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
2、全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题
若 p：∀x∈M，p(x)， 则 ¬p：∃x∈M，¬p(x)．
例2：写出下列全称量词命题的否定．
(1) p：所有能被3整除的数都是奇数； ¬p： 存在一个能被3整除的整数不是奇数
例1：写出下列命题的否定并判断真假．
(3)若ab＝0，则a，b中至少有一个为零；真 ¬p：若ab＝0，则a，b都不为零 假
(4)若x>1，则x>2． 假 ¬p：存在x>1，使得x≤2． 真
探究：写出下列命题的否定．
(1)所有的矩形都是平行四边形； ¬p： 存在一个矩形不是平行四边形
(2)每一个素数都是奇数； ¬p： 存在一个素数不是奇数
例1：写出下列命题的否定并判断真假．
(3)若ab＝0，则a，b中至少有一个为零；真 ¬p：若ab＝0，则a，b都不为零 假
2023年高考数学一轮考点复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第3讲全称量词与存在量词
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词 改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般 命题的否定只需直接否定结论．
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[解析] (1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为 “不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形．
(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以， 命 题 “ ∀ x ∈ [0 ， ＋ ∞) ， x3 ＋ x≥0” 的 否 定 是 “ ∃ x ∈ [0 ， ＋ ∞) ， x3 ＋ x<0”，故选C.
知，∀x∈R,2x>0，则D为真命题．故选C.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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4．(必修1P32T6改编)已知命题p：∀x∈R，sin x≥0，则下列说法正 确的是( A )
A．p的否定是存在量词命题，且是真命题 B．p的否定是全称量词命题，且是假命题 C．p的否定是全称量词命题，且是真命题 D．p的否定是存在量词命题，且是假命题 [解析] 命题p：∀x∈R，sin x≥0，该命题为假命题．p的否定是存 在量词命题，且是真命题．故选A.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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考点突破 · 互动探究
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考点一
含有一个量词的命题的否定——自主练透
例1 (1)(2022·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，
全称量词命题和存在量词命题的否定
课前 预习案
含有量词命题的否定
1．否命题：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一 新命题称为原命题的否定．通常用符号“¬p(x)”表示“p(x)不成立”．
2．对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题： _____∀_x_∈__M__，__p_(x_)_____，它的否定：_____∃_x_∈__M_，__¬_p_(_x_)______.也就是说，全称量词 命题的否定是存在量词命题．
解 “存在x∈R，ax2－2ax－1≥0”为假命题，等价于“对任意x∈R，ax2－2ax －1＜0”为真命题，等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．
当a＝0时，不等式显然成立； 当a≠0时，有Δ＝4a2＋4a＜0且a＜0，解得－1＜a＜0． 综上，实数a的取值范围是(－1,0]．
[变式] 若将本例中的“∃x∈R，ax2－2ax－1≥0”改为“∃x∈R,2x2＋(a－1)x ＋12≤0”，其他条件不变，结果如何呢？
“×”．
(1)命题¬p的否定是p.
( √)
(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．
( √)
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数
课堂 探究案
探究一 含有量词的命题的否定
[知能解读] 一些常见词语的否定
词语 词语的否定
词语的 否定
是 不是
一个也 没有
都是
不都是
至多有 n－1个
大于
小于
小于或等于 大于或等于
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释素材
对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释一.知识梳理1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x∈M,使P（x）不成立。
存在性命题P：∃x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：∀x∈M,有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:∀∈M, p(x）否定为⌝ P: ∃∈M, ⌝ P（x）P:∃∈M, p(x）否定为⌝ P: ∀∈M, ⌝ P（x）在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。
即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.关键量词的否定二.命题的否定形式的分类解析与疑点诠释1. 全称命题的否定例1.写出下列全称命题的否定：（1）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。
（5）∃x∈R，x2－x+1＝0；解：（1）的否定：∀x∈R，x2＋x+1>0；（2）的否定：存在实数x 不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y ，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
（5）的否定：∀x ∈R ，x 2－x+1≠0.说明:解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x ＞3，则x 2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.2. “若P 则q” 的形式的否定例2.写出下列命题的否定。
（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。
（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数0x ，虽然满足20x ＞4，但0x ≤2。
全称量词命题与存在量词命题的否定
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4．命题“任意 x∈R，若 y＞0，则 x2＋y＞0”的否定是________．
存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0 [已知命题是一个全称量词命 题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”， 再否定 结论，即命题的否定是：存在x∈R，若y＞0, 则x2＋y≤0.]
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合作探究 提素养
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
2
学习目标
核心素养
1.通过对命题的否定 1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．
的认识，提升数学抽 2．理解含有一个量词的命题的否定的意义．
象的数学素养． 3．会对含有一个量词的命题进行否定．(重点)
2．通过对含有一个 4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，
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(0,1) [法一：若命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0是真命题，得 Δ＝(2a)2－4a≥0，
即a(a－1)≥0, 若命题p是假命题，则a(a－1)<0，解得0<a<1. 法二：依题意，命题綈p：∀x∈R，x2＋2ax＋a>0是真命题，得
Δ＝(2a)2－4a<0，即a(a－1)<0，解得0<a<1.]
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当堂达标 固双基
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1．已知 a＜b，则下列结论中正确的是( )
A．∀c＜0，a＞b＋c
B．∀c＜0，a＜b＋c
C．∃c＞0，a＞b＋c
D．∃c＞0，a＜b＋c
D [A 项，若 a＝1，b＝2，c＝－1，满足 a＜b，但 a＞b＋c 不 成立；
B 项，若 a＝9.5，b＝10，c＝－1，a＜b＋c 不成立； C 项，因为 a＜b，c＞0，所以 a＜b＋c 恒成立，故 C 错误， D 项，∃c＞0，a＜b＋c 成立，故选 D.]
高一数学全称量词命题和存在量词命题的否定乐乐课堂
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摘要：
：
1.全称量词和存在量词的定义与用法
2.全称量词命题的否定
3.存在量词命题的否定
4.总结
正文：
在高中数学的学习中，我们经常会遇到全称量词和存在量词这两种量词。
它们分别用于表示全称命题和特称命题，是逻辑推理中不可或缺的组成部分。
下面我们将详细介绍全称量词命题和存在量词命题的否定。
首先，我们来回顾一下全称量词和存在量词的定义与用法。
全称量词通常用符号“”表示，存在量词通常用符号“”表示。
全称量词用于表示整体或全部的含义，例如“所有”、“每一个”等；存在量词则用于表示个别或者部分的含义，例如“存在一个”、“至少有一个”等。
接下来，我们来讨论全称量词命题的否定。
全称量词命题的否定可以通过对其量词和命题部分进行否定得到。
具体来说，全称量词命题的否定可以表示为“存在一个元素x 属于M，使得p(x) 不成立”。
例如，原命题“对于所有的x，x^2 大于0”的否定是“存在一个x，使得x^2 小于等于0”。
然后，我们再来看存在量词命题的否定。
与全称量词命题的否定类似，存在量词命题的否定也可以通过对量词和命题部分进行否定得到。
具体来说，存
在量词命题的否定可以表示为“对于所有的x 属于M，p(x) 都不成立”。
例如，原命题“存在一个x 属于R，使得x^2 等于1”的否定是“对于所有的x 属于R，x^2 都不等于1”。
综上所述，全称量词命题和存在量词命题的否定是逻辑推理中常见的概念，它们在解决实际问题中起着重要作用。
全称量词命题与存在量词命题的否定
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命题的否定
【例 1】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：y＝sin x 是周期函数； (2)p：实数的绝对值都大于 0； (3)p：菱形的对角线垂直平分； (4)p：若 xy＝0，则 x＝0 或 y＝0.
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[解] (1) p ：y＝sin x不是周期函数．假命题． (2) p：实数的绝对值不都大于零．真命题． (3) p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题． (4) p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题．
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4．命题“任意 x∈R，若 y＞0，则 x2＋y＞0”的否定是________．
存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0 [已知命题是一个全称量词命 题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”， 再否定 结论，即命题的否定是：存在x∈R，若y＞0, 则x2＋y≤0.]
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合作探究 提素养
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1．全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题 为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质， 所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函 数等数学知识来解决．
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2．存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结 论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行 推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则 否定了假设．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
2
学习目标
核心素养
1.通过对命题的否定 1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定a高一第一册数学
12/13/2021
(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形 式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题 的否定是假命题．
(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”， 由三角形的内角和为 180°知原命题的否定为假命题．
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(1)对全称量词命题否定的两个步骤 ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量 词(∀)―改―为→存在量词(∃)． ② 否 定 结 论 ： 原 命 题 中 的 “ 是 ”“ 成 立 ” 等 改 为 “ 不 是”“不成立”等． 对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为 含有全称量词的命题，再写出命题的否定．
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课堂互动探究
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题型一 全称量词命题的否定 【典例 1】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)不论 m 取何实数，方程 x2＋x－m＝0 必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角．
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[解] (1)这一命题可以表述为“对所有的实数 m，方程 x2＋x －m＝0 有实数根”，其否定形式是“存在实数 m，使得 x2＋x－ m＝0 没有实数根．”因为当 Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即 m<－14时，一元二次方程 x2＋x－m＝0 没有实数根，所以原命题 的否定是真命题．
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[针对训练] 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，使 x2＋x＋14<0； (3)至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
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[解] (1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个 命题是假命题，如 2 是素数也是偶数．
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
（2）x R ,x 2 x 1 0
解：（1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。 因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形
都相似。因此这是一个假命题。 （2）该命题的否定： x R, x2 x 1 0.
因为对任意x R, x2 x 1 (x 1)2 3 0 24
解：1）p : 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
2) P : 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
3) p : x0 z, x20 的个位数字等于3 .
写出下列命题的否定 （1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3）x R, x2 2x 3 0
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
所以这是一个假命题。
写出下列命题的否定,并判断其真假：
（1）p: 任意两个等边三角形都是相似的; （2）q: 存在一个三角形,它的内角和小于180° （3）r: 每个二次函数的图像都开口向下; （4）s: ∃x∈R, x²+2x+2≤0.
（5）t: 每个指数函数都是单调函数．
本节小结 含有一个量词的命题的否定
全称命题p: x M , p(x)
它的否定﹁p: x0 M , p( x0 )
特称命题p: 它的否定﹁p:
x0 M , p(x0 )
x M , p(x)
人教A版 必修 第一册
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
复习巩固
上节课我们学习了什么知识？
1.全称量词、全称量词命题； 2. 存在量词、存在量词命题。
新课导入
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这 一新命题称为原命题的否定。
1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第一章集合与常用逻辑用语1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定【课程标准】1.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定【知识要点归纳】1.全称量词命题和存在量词命题的否定1)命题的否定：一般的，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作p“”，⌝读作“非p”或“p的否定”（举例）2)全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，⌝：它的否定p存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，⌝：它的否定p⌝必定一真一假3)总结：改量词，否结论；p与p【知识辨析】(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．()(2)∃x ∈M ，使x 具有性质p (x )与∀x ∈M ，x 不具有性质p (x )的真假性相反．( )(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p (x )”同时否定．( )(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( )【经典例题】例1 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假。
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)1x x >+对所有正数，；(3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.例2写出下列存在命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.(4)有的素数是偶数；2:,250,p x R m x x p m ∀∈+-+>⌝例3 已知命题若为假命题，求实数的取值范围2,+210x R x ax a ∃∈+<例4若命题p:使得3是假命题，则实数的取值范围是________【当堂检测】一．选择题（共5小题）1．命题“x R ∀∈，2210x x -+”的否定是( )A ．x R ∃∈，2210x x -+B ．x R ∃∈，2210x x -+C ．x R ∃∈，2210x x -+<D ．x R ∀∈，2210x x -+<2．命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{|1}a a <B ．{|1}a aC ．{|1}a a >D ．{|1}a a3．已知命题“x R ∃∈，使214(2)04x x a ++-”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a < B ．04a C ．4a D ．94a > 4．命题:P x R ∀∈，211x +，则P ⌝是( )A ．x R ∀∈，211x +<B ．x R ∀∈，211x +C ．200,11x R x ∃∈+<D ．200,11x R x ∃∈+5．已知命题:p a R ∀∈，一元二次方程210x ax -+=有实根；若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2)-∞-B ．(2,2)-C ．(4,4)-D ．(2,4)-二．填空题（共2小题）6．命题“0x R ∃∈，200410x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 7．已知“21[,2],102x x mx ∃∈-+”是假命题，则实数m 的取值范围为 ． 三．解答题（共1小题）8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）:p m R ∀∈，方程20x x m +-=必有实根；（2）:q x R ∃∈，使得210x x ++．当堂检测答案一．选择题（共5小题）1．命题“x R ∀∈，2210x x -+”的否定是() A ．x R ∃∈，2210x x -+B ．x R ∃∈，2210x x -+C ．x R ∃∈，2210x x -+<D ．x R ∀∈，2210x x -+<【分析】因为命题“x R ∀∈，2210x x -+”为全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改为“∃”，“ “改为“<”即可．【解答】解：命题“x R ∀∈，2210x x -+”为全称命题，∴命题的否定为：x R ∃∈，2210x x -+<，故选：C ．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．2．命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{|1}a a <B ．{|1}a aC ．{|1}a a >D ．{|1}a a【分析】因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案．【解答】解：p ⌝是假命题，则p 是真命题，2210ax x ∴++=有实数根，当0a =时，方程为210x -=，解得12x =，有根，符合题意； 当0a ≠时，方程有根，等价于△440a =-，1a ∴且0a ≠，综上所述，a 的可能取值为1a ．故选：B ．【点评】本题考查命题的真题，考查一元二次方程根的存在问题，考查分类讨论，属于中档题．3．已知命题“x R ∃∈，使214(2)04x x a ++-”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a < B ．04a C ．4a D ．94a > 【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．【解答】解：命题“x R ∃∈，使214(2)04x x a ++-”是假命题， ∴命题“x R ∀∈，使214(2)04x x a ++->”是真命题， 即判别式△21144(2)04a =-⨯⨯-<， 即94a >， 故选：D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键．4．命题:P x R ∀∈，211x +，则P ⌝是( )A ．x R ∀∈，211x +<B ．x R ∀∈，211x +C ．200,11x R x ∃∈+<D ．200,11x R x ∃∈+【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．【解答】解：命题的否定是：0x R ∃∈，2011x +<，故选：C ．【点评】本题考查了全称命题的否定．5．已知命题:p a R ∀∈，一元二次方程210x ax -+=有实根；若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2)-∞-B ．(2,2)-C ．(4,4)-D ．(2,4)-【分析】根据命题p 与p ⌝的真假性相反得出p 是假命题，利用△0<求出a 的取值范围．【解答】解：命题:p a R ∀∈，一元二次方程210x ax -+=有实根；若p ⌝是真命题，则命题p 是假命题，所以一元二次方程210x ax -+=没有实根；即△240a =-<，解得22a -<<；所以实数a 的取值范围是(2,2)-．故选：B ．【点评】本题考查了命题与它的否定命题真假性相反的应用问题，是基础题．二．填空题（共2小题）6．命题“0x R ∃∈，200410x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 [4-，4] ． 【分析】写出特称命题的否定，可得全称命题为真命题，再由判别式小于等于0求解．【解答】解：命题“0x R ∃∈，200410x ax -+<”为假命题，则其否定“x R ∀∈，2410x ax -+”为真命题，∴△2160a =-，可得44a -．∴实数a 的取值范围是[4-，4]．故答案为：[4-，4]．【点评】本题考查特称命题的否定，考查数学转化思想方法，是基础题．7．已知“21[,2],102x x mx ∃∈-+”是假命题，则实数m 的取值范围为 2m < ． 【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．【解答】解： “21[,2],102x x mx ∃∈-+”是假命题，∴对任意的1[2x ∈，2]，210x mx -+>恒成立，1m x x ∴<+，对任意的1[2x ∈，2]恒成立， 1122x x x x +=，当且仅当1x x=即1x =时等号成立， 2m ∴<，故答案为：2m <．【点评】本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键．三．解答题（共1小题）8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）:p m R ∀∈，方程20x x m +-=必有实根；（2）:q x R ∃∈，使得210x x ++．【分析】命题的否定即命题的对立面．可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的⋯都成立”与“至少有一个⋯不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．【解答】解：（1）:p m R ⌝∃∈．方程20x x m +-=无实数根；由于当1m =-时，方程20x x m +-=的根的判别式△0<，∴方程20x x m +-=无实数根，故其是真命题．（2）:q x R ⌝∀∈，使得210x x ++>； 由于22131()024x x x ++=++>，故其是真命题．【点评】本题考查了命题的否定的写法与判断．属于基础题．。
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对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释
一.知识梳理
1.全称命题、存在性命题的否定
一般地，全称命题P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x∈M,使P（x）不成立。
存在性命题P：∃x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：∀x∈M,有P（x）不成立。
用符号语言表示：
P:∀∈M, p(x）否定为⌝ P: ∃∈M, ⌝ P（x）
P:∃∈M, p(x）否定为⌝ P: ∀∈M, ⌝ P（x）
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。
即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
二. 命题的否定形式的分类解析与疑点诠释
1. 全称命题的否定
例1.写出下列全称命题的否定：
（1）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；
（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4）有些质数是奇数。
（5）∃ x∈R，x 2－x+1＝0；
解：（1）的否定：∀x ∈R ，x 2＋x+1>0；
（2）的否定：存在实数x 不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y ，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
（5）的否定：∀x ∈R ，x 2－x+1≠0.
说明:解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x ＞3，则x 2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.
2. “若P 则q” 的形式的否定
例2.写出下列命题的否定。
（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。
（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数0x ，虽然满足20x ＞4，但0x ≤2。
或者说：存在小于
或等于2的数0x ，满足20x ＞4。
（完整表达为对任意的实数x, 若x 2＞4 则x ＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个0x ，使20x + 0x -m=0无实数根。
（原
意表达：对任意实数m,若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。
）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。
（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。
）
3. 命题的否定与否命题的区别与释疑
例3.写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
解：（1）⌝ P：若 x＞y，则5x≤5y；假命题
否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2）⌝ P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题
否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3）⌝ P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。
假命题。
（4）⌝ P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。
假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。
真命题。
说明：命题的否定与否命题是完全不同的概念。
其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。
3．原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则⌝q”；而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。