圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理37508
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
弦切角定理圆幂定理之割线相交弦切割线定理
弦切角定理及其应用极点在圆上，一边和圆订交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线 PT 切圆 O 于点 C，BC 、AC 为圆 O 的弦，∠TCB 、∠ TCA 、∠PCA 、∠PCB 都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠ PCA=1/2 ∠ COA= ∠ CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连结 OC， OB, 。
∵∠ TCB=90 ° -∠ OCB∵∠ BOC=180 ° -2 ∠ OCB∴,∠ BOC=2 ∠ TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠ BOC=2 ∠CAB （同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠ TCB= ∠ CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知： AC 是⊙ O 的弦， AB 是⊙ O 的切线， A 为切点，弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种状况：（1）圆心 O 在∠ BAC 的一边 AC 上∵ AC 为直径， AB 切⊙ O 于 A ，∴弧 CmA= 弧 CA∵为半圆 ,∴∠ CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角（ 2）圆心 O 在∠ BAC 的内部 . (B点应在A点左边)过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D,若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 E那么，连结 EC 、ED 、 EA则有：∠ CED= ∠CAD 、∠ DEA= ∠DAB∴ ∠ CEA= ∠CAB∴ （弦切角定理）（ 3）圆心 O 在∠ BAC 的外面 ,过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D那么∠ CDA+ ∠CAD= ∠ CAB+ ∠ CAD=90 °∴∠ CDA= ∠ CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙ O 中，⊙ O 的切线 AC 、 BC 交与点C ，求证：∠ CAB= ∠ CBA 。
切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 通用版
切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段一. 本周教学内容：切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。
3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。
4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。
6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
二. 重点、难点：重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。
易错点分析：1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。
2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。
另外弦切角的三个条件缺一不可。
弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。
3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。
等积式中的各线段要记牢，不要记混。
【例题分析】例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。
A FB G ED H C已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。
求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CGAF FB DH CH AE BG DE CGAB CD AD BC，同理，，即例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EGF分析：因为AC//DE//BF ，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。
中考数学--圆的必考点2
圆的必考基础知识2一、圆的八大定理的定义1、垂径定理：垂直于弦的直径（ ）这条弦，并且（ ）弦所对的两条弧平分2、相交弦定理：圆中两条相交弦被交点分成的两条线段长的（ ）是相等积3、切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长（ ），那点与圆心的连线（ ）切线的夹角。
相等，平分4、切割线定理：圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A、B两点，则有( )PC²=PA·PB5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.圆外是P点，交点是ABCD,则有()PA.PB=PC.PD6、弦切角定理：弦切角（ ）对应的圆周角。
等于7、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧（ ），所对的弦（ ），所对的弦的弦心距（ ）。
相等8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的（ ）。
一半二、圆的公式：圆的周长＝弧长的公式 =以后看到22.5度，一般会有对应45度1、长度相等的两条弧是等弧（对或错 ）错2、等弧的长度是相同的（对或错 ）对3、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧。
（对或错 ）对4、周长相等的两个圆一定是等圆（对或错 ）对5、同心圆就是圆心相同的圆。
（对或错 ）错6、同心圆就是圆心相同，但半径不等的两个圆。
（对或错 ）对7、相等的圆心角所对的弧相等（对或错 ）错8、相等的圆心角所对的弦相等（对或错 ）错9、等弦所对的弧相等（对或错 ）错10、等弧所对的弦相等（对或错 ）对11、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧（ ），所对的弦（ ），所对的弦的弦心距也（ ）相等12、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等13、平行四边形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）错矩形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）对菱形的4个顶点在同一个圆上。
（对或错 ）错正方形4个顶点在同一个圆上。
圆的重要定理
圆的重要定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段【课前测试】1. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.【知识点回顾】1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理(参照分析)
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆幂定理学生用
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线 长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度 量长度。
2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，贝U 切线长相等； （2） 若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径； （3）经过圆外一点引圆的两条 切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切 线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点 向圆引的两条切线所夹的角直线AB 切OO 于P ，PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7. 与圆有关的比例线段 定理OO 中，AB 为直径，PC = PA- PBCDLAB 于 P.已知 结论 OO 中，AB CD 为弦，PA- PB交于 P.PC- PD证法二连结AC 、BD,证: △ APS A DPB用相交弦定理.3.弦切角：顶点在圆上,图形PA- P 吐 PC- PD 过 P 作 PT 切OO 于T , 用两次切割线定理P'C - P'D = r 2—延长 P'O 交OO 于 MOP'2延长OP'交OO 于N,PA- P 吐OP — r 2用相交弦定理证；过P r为OO 的半径 作切线用切割线定理 勾股定理证8.圆幕定理：过一定点P 向OO 作任一直线，交OO 于两点，则自定点P 到两交点的 两条线段之积为常数|1：丁 （ R 为圆半径），因为匕乍■•也叫做点对于OO 的幕,所以将上述定理统称为圆幕定理。
圆的常用定理
圆的常用定理垂径定理1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
相交弦定理圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。
弦切角定理⑴定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
⑵弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
如图，P A是⊙O的切线，A是切点，AB是弦，则∠P AB＝∠ACB。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图，PT是⊙O的切线，T是切点，P AB、PCD是割线，则PT2＝P A·PB，P A·PB＝PC·PD。
【例1】如图，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC 于点D。
⑴求证：CE2＝CD·CB；⑵若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
【例2】⑴如图，PC是半圆的切线，且PB＝OB，过B的切线交PC于D，若PC＝6，则⊙O半径为______，CD∶DP＝______。
⑵如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，P是BA延长线上的点，连结PC交⊙O于F，如果PF＝7，FC＝13，且P A∶AE∶EB＝2∶4∶1，那么CD的长是________。
【例3】如图，同心圆O，AC、DF交小圆于B、E两点，求证：AB·AC＝DE·DF。
第三课时切割线定理割线定理和切线长定理
与圆有关的定理第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。
换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA•PB 证明：连接A T, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT2=PB•PA2、推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言：∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（ 2）几点说明对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。
（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．基础知识运用：例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。
圆的结论
1.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
2.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧3.圆周角定理:定义: 顶点在圆上,且两边与圆还有另一个交点。
圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)弦切角定理:定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD 更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB （弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB ∴∠TCB=∠CAB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB 是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：.（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O 于A，∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD 交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）四圆定理:垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵OC⊥AB，OC过圆心（垂径定理）推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）（2）弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵AC＝BC，OC过圆心（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧几何语言：（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等几何语言：∵AB‖CD圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
初中圆的十八个定理
初中圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分成n（n≥3），依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
18、(d是圆心距，R、r是半径)①两圆外离d>R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r<dr；④两圆内切d=R-r （R>r）；⑤两圆内含dr。
第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理
与圆有关的定理第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。
换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA•PB 证明：连接A T, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT2=PB•PA2、推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言：∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（ 2）几点说明对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。
（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．基础知识运用：例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。
圆的切线、切线长、线切角
圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线：1切线的判定：________________________________________________________2 .切线的性质： _________________________________【运用举例】、切线长定理1、切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的 切线长2、切线长定理：符号语言：：PA PB 是0O 的切线，A 、B 是切点，二，PA=PB 【运用举例】例 1.在厶 ABC 中, AB=5cm BC=7cm AC=8cr ® O 与 BC ACAB 分别相切于 D 、E 、F ,则 AF= ________ , BD= _______ 、CF=____________________________例2.如图，已知CB 是。
O 的切线，C 是切点，0B 交。
O 于点D ，/ B = 30，BD = 6 cm,求BC例3、如图，PA 、PB 切。
0于点A 、B ,点C 是。
0上一点，且/ ACB=65°，求/ P 的度数.例2、如图，PA PB 是。
0的切线，切点分别是A 、B ,直线EF 也是。
0的切线，切点为Q,交PA PB 为E 、F 点，已知PA=12cm ，求△ PEF 的周长.例4、已知：如图AB 是。
0的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP 丄AB ，垂足为P ， 直线QA 交。
0于点C 点，过C 点作。
0的切线交直线QP 于点D ，求证：△ CDQ 是等腰当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明 例3、已知：如图，P 为。
0外一点，PA PB 为。
0的切线，A 和B 是切点，BC 是直径.求证：AC// 0P例4.如图，AB 、CD 分别与半圆0切于点A 、D , BC 切。
0于点E ,若AB = 4, CD = 9,求O O的半径。
(完整版)第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理
与圆有关的定理第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。
换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA•PB 证明：连接A T, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT2=PB•PA2、推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言：∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
（1）切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（ 2）几点说明对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。
（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．基础知识运用：例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。
圆有关定理
图1
A. 50°B. 40°C. 60°D. 55°
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD= cm，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）
当∠DEF＝45°时，求证:点G为线段EF的中点；
图8
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）
A.20/3B.25/3C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是（）
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中，AB、CD为弦，交于P.
PA·PB＝PC·PD
连结AC、BD，C=B,A=D,所以△APC∽△DPB
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.
PC2＝PA·PB
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以
PT2＝PA·PB
切割线定理推论
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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理
⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB .
相交弦定理的推论
⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.
PC 2
＝PA·PB . 用相交弦定理.
切割
线定理
⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A
PT 2
＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C
PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2
－OP'2
PA·PB＝OP 2－r 2
r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延
长OP'交⊙O 于N ，用相交
弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
点到直线的距离：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
直线Ax+By+C=0 坐标（Xo ，Yo ）那么这点到这直线的距离就为：。