2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科含详细答案)

2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D
．
2.若复数
,则复数在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．在△ABC 中，“A ＞B”是“sinA ＞sinB”成立的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设m 、n 是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n B ．m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n C ．m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n D ．m ⊥α，n ⊥β且α∥β，则m ∥n 5．在（1+x ）2（1﹣x ）5展开式中，含x 5项的系数是（ ） A ．﹣5 B ．﹣1 C ．1
D ．5
6．数学家发现的“3x +1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n=20，则输出的结果为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7．若x ，y 满足约束条件，则的最小值于
最大值的和为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．设函数
，已知正实数a ，b 满足f （2a ）+f （b ﹣4）=0，则
的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．
D ．4
10．若锐角φ满足，则函数f （x ）=cos 2（x +φ）的单调增区间为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11
．如图，已知抛物线
的顶点在坐标原点，焦点在
轴上，且过点
，圆,
过圆心
的直线
与抛物线和圆分别交于
,
则
的最小值为( )
A ．23
B ．42 C.12 D ．52 12．已知函数，若f （a ）=g （b ）成立，则b ﹣a 的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．1+ln2
D ．1﹣ln2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务
必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有 ．
14．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若4S=a 2﹣（b ﹣c ）2，且b +c=4，则S 的最大值为 ．
15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为
，则该几何体外接球的表面积为
16．已知椭圆
的右焦点为
,
且离心率为
，的三个顶点都在椭圆
上，设
三条边
的中点分别为
，且三条边所
在直线的斜率分别为，且
均不为0.为坐标原点，若直线
的斜率之和为1.则
．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3=5，a 1，a 2，a 5成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设
是数列{b n }的前n 项和，若对任意正整数n ，不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=AB=BC ，∠ABC=90°，D 为AC 的中点．（1）求证：AB ⊥PD ；
（2）若∠PBC=90°，求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．
19．某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C ）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最
高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率． （1）六六月份这种冰激凌一天需求量X （单位：桶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y （单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n （单位：桶）为多少时，Y 的数学期望取得最大值？
20．如图，已知圆
是椭圆
的内接△ABC 的内切圆，其
中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC ．（1）求椭圆T 的标准方程；
（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线角椭圆于E ，F 两点，试判断直线EF 与圆G 的位置关系并说明理由．
21．（12分）已知函数f （x ）=lnx ﹣ax （a ∈R ）．
（1）若曲线y=f （x ）与直线x ﹣y ﹣1=0相切，求实数a 的值； （2）若函数y=f （x ）有两个零点x 1，x 2，证明．
22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C 的方程是ρ=2
sin
（
θ﹣
），直线l 的参数方程为
（t 为参数，0≤a ＜π），
设P （1，2），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （1）当a=0时，求|AB |的长度； （2）求|PA |2+|PB |2的取值范围． 23．已知函数
（1）若不等式f （x ）﹣f （x +m ）≤1恒成立，求实数m 的最大值；
（2）当a ＜时，函数g （x ）=f （x ）+|2x ﹣1|有零点，求实数a 的取值范围．
参考答案与解析
一、选择题：
1.B
2.C 3．A．4．B．
5．解：（1+x）2（1﹣x）5=（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），
∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）=﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．
6．【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n=20，i=1不满足条件n是奇数，n=10，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=5，i=3
不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=4
不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=5
不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=6
不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=7
不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=8
满足条件n=1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．
7【解答】解：由约束条件x，y 满足约束条件，则作可行域如图，
∵==2+，即z﹣2=，其几何意义是可行域内的动点
与定点P（﹣2，2）连线斜率，由图可知，当可行域内的动点为A时，k PA最大，z=2+=，
当可行域内的动点为B时，k PB最小，z=2+=0，
∴的最小值与最大值的和为+0=，故选：D．
8．【解答】解：任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：
109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，
145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，
307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，其中奇数有20个，∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为p==．故选：C．
9．【解答】解：根据题意，，
则f（﹣x）=2017（﹣x）+sin （）+
=﹣（=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；
=2017x+sin ﹣+1，
则f′（x）=2017+cos +＞0，函数f（x）为增函数，
若f（2a）+f（b﹣4）=0，则f（2a）=﹣f（b﹣4）=f（4﹣b），则有2a=4﹣b，即2a+b=4，
则=（+）=（4++）=1+（+）≥1+×2×=2，当且仅当b=2a 时等号成立；故选：B．
10．解：锐角φ满足，∴1﹣2sinφcosφ=，∴sin2φ=；又sinφ＞，∴2φ=，解得φ=；∴函数f（x）=cos2（x+φ）==+cos（2x +），∴2kπ﹣π≤2x +
≤2kπ，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z），即[kπ+，kπ+]，k∈Z．：D．
11．A
12．【解答】解：设y=e
a ﹣1
，则a=1+lny ，
y=+ln ，则b=2，
则b ﹣a=2﹣lny ﹣1，则（b ﹣a ）′=2﹣，∴（b ﹣a ）′递增，
∴y=时，（b ﹣a ）′=0，∴（b ﹣a ）′有唯一零点，∴y=时，b ﹣a 取最小值，
2﹣lny ﹣1=1+ln2，故选：C ．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．120
14．【解答】解：∵满足4S=a 2﹣（b ﹣c ）2，b +c=4，
∴4××bcsinA=2bc ﹣（b 2
+c 2
﹣a 2
）=2bc ﹣2bccosA ，化为sinA=1﹣cosA ，又∵sin 2
A +cos 2
A=1，∴解
得：sinA=1，∴S=bcsinA=bc ≤（ ）2=2，当且仅当b=c=2时取等号．故答案为：2．
15．12π 16
．
二、解答题
三、17．【解答】解（1）根据题意，因为a 3=5，a 1，a 2，a 5成等比数列，所以，
解得a 1=1，d=2，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣1． （2）因为
，
所以
，
依题意，对任意正整数n ，不等式
，
当n 为奇数时，
，即，所以； 当n 为偶数时，
，即，所以
；
所以实数a 的取值范围是
．
18．【解答】（1）证明：取AB 的中点为O ，连接OD ，OP ，
∵PA=PB ，∴AB ⊥OP ，∵OD ∥BC ，∠ABC=90°，∴AB ⊥OD ，又OD ∩OP=O ，
∴AB ⊥平面POD ，从而AB ⊥PD ；
（2）解：∵∠PBC=90°，即PB ⊥BC ，∴BC ⊥平面PBA ，∴OD ⊥平面PBA ，∴OD ⊥OP ， 以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设OB=1，则
，
∴
，设
是平面PDB 的一个法
向量，则
，即
，不妨设z=1，则
，∴，同理可求
得平面PDC 的一个法向量为，
∴，∵二面角B ﹣PD ﹣C 是锐二面角，∴其余弦值为．
19．
【解答】解：（1）由已知得，X 的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件A 1，最高气温位于区间[20，25）为事件A 2，最高气温不低于25为事件A 3， 根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，
可知
，
故六月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列为：
（2）结合题意得当n ≤200时，E （Y ）=2n ≤400， 当200＜n ≤400时，，当
400
＜
n
≤
600
时
，
，
当
n
＞
600
时
，
，
所以当n=400时，Y 的数学期望E （Y ）取得最大值640． 20．【解答】解：（1）设
与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，
由
，得
，解得
，又点
，在椭圆上，故
，
解得b 2=1，故所求椭圆T 的标准方程为．
（2）设过点M （0，1）与圆
相切的直线方程为y ﹣1=kx ，
则
，即32k 2+36k +5=0，设MF ，ME 的斜率分别为k 1，k 2，则
，
将
y ﹣1=kx ，代入
，得（16k 2+1）
x 2+32kx=0，解得
或0，
设F （x 1，k 1x 1
+1），E （x 2，k 2x 2+1），则
，
于是直线EF 的斜率为，从而直线EF 的斜率为
，将代入上式化简得，则圆心（2，0）到
直线EF 的距离
，故直线EF 与圆G 相切．
21．【解答】解：（1）由
f （x
）=lnx
﹣ax ，得
，
设切点横坐标为x 0，依题意得
，解得
，即实数a 的值为1．
（2）不妨设0＜x 1＜x 2，由
，得lnx 2﹣lnx 1=a （x 2﹣x 1），即
，
所以
，
令，则，设，则
，即函数g（t）在（1，+∞）上递减，所以g（t）＞g（1）=0，
从而，即．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．
【解答】解：（1）曲线C的方程是ρ=2sin（θ﹣），化为，化为ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴x2+y2=2y﹣2x，
曲线C的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2．当α=0时，直线l：y=2，
代入曲线C可得x+1=±1．解得x=0或﹣2．∴|AB|=2．
（2）设t1，t2为相应参数值t2+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，
∴≤1，∴t1+t2=﹣（4cosα+2si nα），t1t2=3．
∴|PA|2+|PB|2==（4cosα+2sinα）2﹣8=20sin2（α+φ）﹣6，
∴|PA|2+|PB|2∈（6，14]．
23．【解答】解：（1）∵，∴，
∴f（x）﹣f（x+m）=|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，
∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；
（2）当时，
=
∴，∴或，∴，
∴实数a 的取值范围是．。