江西省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷(十六)

江西省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（十六）
（文科）
（考试时间120分钟 满分150分）
一、单项选择题（每小题5分，满分60分）
1．双曲线2x 2﹣y 2=8的虚轴长是（ ）
A ．2
B ．2
C ．4
D ．4
2．若命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2≥a ；命题q ：∃x ∈R ，x 2+2ax +2﹣a=0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．（﹣∞，﹣2]
B ．（﹣2，1）
C ．（﹣∞，﹣2]∪{1}
D ．[1，+∞）
3．“∀n ∈N *，2a n +1=a n +a n +2”是“数列{a n }为等差数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
4．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知函数y=f （x ）=x 2+1，则在x=2，△x=0.1时，△y 的值为（ ）
A ．0.40
B ．0.41
C ．0.43
D ．0.44
6．已知函数f （x ）=2x 2﹣4的图象上一点（1，﹣2）及邻近一点（1+d ，f （1+d ）），则
等于（ ）
A ．4
B ．4x
C ．4+2d
D ．4+2d 2
7．命题p ： •＜0，则与的夹角为钝角．
命题q ：定义域为R 的函数f （x ）在（﹣∞，0）及（0，+∞）上都是增函数，则f （x ）在（﹣∞，+∞）上是增函数．
下列说法正确的是（ ）
A ．“p 或q ”是真命题
B ．“p 且q ”是假命题
C ．￢p 为假命题
D ．￢q 为假命题
8．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）
A ．
B ．
C ．24
D ．48
9．已知函数f （x ）=x 2+f ′（2）（lnx ﹣x ），则f ′（1）=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．设f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0′（x ），f 2（x ）=f 1′（x ），…，f n +1（x ）=f n ′（x ），n ∈N ，则f 2015（x ）=（ ）
A ．sinx
B ．﹣sinx
C ．cosx
D ．﹣cosx
11．已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
12．设M（x0，y0）为抛物线C：y2=8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程是y=±2x，则双曲线的离心率为______．
14．若AB为过椭圆+=1的中心的弦，F1为椭圆的左焦点，则△F1AB面积的最大值
______．
15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为______．
16．函数f（x）=x3﹣2x在x=1处的切线方程为______．
三、解答题（共70分）
17．某校高三文科分为五个班．高三数学测试后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了18人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人．
（1）问各班被抽取的学生人数各为多少人？
（2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．
18．设命题p：|2x﹣1|≤3；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．已知曲线y=x3﹣8x+2
（1）求曲线在点x=0处的切线方程；
（2）过原点作曲线的切线l：y=kx，求切线方程．
20．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为S n，b n=．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）设数列{b n}前n项和为T n，求T n．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px （p＞0）上．
（1）求p，t的值；
（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．
22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．
参考答案
一、单项选择题
1．解：双曲线2x 2﹣y 2=8的方程可化为： =1，
故b 2=8，
即b=2．
双曲线的虚轴2b=4．
故选：D ．
2．解：若命题p 为真，则（x 2）min ≥a ，而当x=1时，（x 2）min =1，故a ≤1；
若命题q 为真，则△=（2a ）2﹣4（2﹣a ）≥0，即a 2+a ﹣2≥0，
解得a ≤﹣2，或a ≥1，
若命题“p ∧q ”是真命题，则p 、q 均为真命题，
故{a |a ≤1}∩{a |a ≤﹣2，或a ≥1}=（﹣∞，﹣2]∪{1}，
故选C
3．解：由2a n +1=a n +a n +2，可得a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ，
由n 的任意性可知，数列从第二项起每一项
与前一项的差是固定的常数，即数列{a n }为等差数列，
反之，若数列{a n }为等差数列，易得2a n +1=a n +a n +2，
故“∀n ∈N *，2a n +1=a n +a n +2”是“数列{a n }为等差数列”的充要条件，
故选C
4．解：由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C 42A 22=12种．
其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C 21C 21=4种，
∴其中至少有1名女生的概率P=．
故选：A
5．解：∵f （x ）=x 2+1，在x=2，△x=0.1，
∴△y=f （x +△x ）﹣f （x ）=f （2+0.1）﹣f （2）=（2.1）2+1﹣（22+1）=0.41．
故选：B ．
6．解：∵f （1+d ）﹣f （1）=[2（1+d ）2﹣4]﹣（2×12﹣4）=2d 2+4d ，
∴==4+2d ，
故答案选：C ．
7．解：∵•＜0，则与的夹角为钝角或平角，∴命题p 是假命题
∵y=﹣在（﹣∞，0）及（0，+∞）上都是增函数，而f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数
不成立，∴命题q是假命题
故“p或q”是假命题，故A错误；
“p且q”是假命题，故B正确；
¬p、¬q均为真命题，故C、D错误；
故选：B
8．解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
9．解：∵f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），
∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1）；
∴f′（1）=2×1+f′（2）×（1﹣1）=2．
故选：B．
10．解：由题意f0（x）=sinx，
f1（x）=f0′（x）=cosx，
f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，
f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，
f4（x）=f3′（x）=sinx，
由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，
∵2015=4×503+3，
故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx
故选：D．
11．解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），
则离心率e===，即4b2=a2，
故渐近线方程为y=±x=x，
故选：D．
12．解：由条件以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，可得|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=x0+2＞4，所以x0＞2
故选A．
二、填空题
13．解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程是y=±2x，
∴=2，
∴b=2a，
∴c==a，
∴e==．
故答案为：．
14．解：如图，
由图可知，当过椭圆中心O的直线为y轴上时，△F1AB面积的最大，
由+=1，得a=5，b=4，则c=3．
∴=．
故答案为：12．
15．解：y=lnx的导数为y′=，
即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=，
由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，
则a•=﹣1，
解得a=﹣e，
故答案为：﹣e．
16．解：y′=3x2﹣2，所以y′|x=1=3﹣2=1，即函数y=x3﹣2x在点（1，1）处的切线斜率是1，所以切线方程为：y﹣1=1×（x﹣1），即x﹣y=0．
故答案为：x﹣y=0．
三、解答题
17．解：（1）由频率分布条形图知，抽取的学生总数为人．
∵各班被抽取的学生人数成等差数列，
设其公差为d，由5×18+10d=100，
解得d=1．
∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人，22人．
（2）在抽取的学生中，任取一名学生，则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75．
18．解：由：|2x﹣1|≤3得﹣1≤x≤2，所以￢p是x＜﹣1或x＞2，
由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得：（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，所以a≤x≤a+1，
所以￢q：x＜a或x＞a+1；
因为￢q是￢p的必要不充分条件，所以，解得：﹣1≤a≤1，
所以实数a的取值范围为[﹣1，1]
19．解：（1）∵f'（x）=（x3﹣8x+2）'=3x2﹣8，
∴在点x=0处的切线的斜率k=f′（0）=﹣8，且f（0）=2，
∴切线的方程为y=﹣8x+2．
（2）设切点为（x0，y0），则直线l的斜率为f'（x0）=3x02﹣8，
∴直线l的方程为y=（3x02﹣8）（x﹣x0）+x03﹣8x0+2．
又∵直线l过点（0，0），∴0=（3x02﹣8）（﹣x0）+x03﹣8x0+2，
整理，得x03=1，∴x0=1，直线l的斜率k=3×（1）2﹣8=﹣5，
∴直线l的方程为y=﹣5x．
20．
解：（1）∵等差数列{a n}中a1=1，公差d=1
∴，
∴…3分
（2）…4分
∴
==…7分
21．解：（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，
得p=1，
将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，
因为t＜0，所以t=﹣2．
（2）依题意，M的坐标为（2，0），
直线AM的方程为y=﹣x+，
联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），
所以k1=﹣，k2=﹣2，
代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，
从而直线PC的方程为y=﹣x+，
联立直线AM：y=﹣x+，
并解得C（﹣2，）．
22．解：（1）根据题意，得F（1，0），∴c=1，
又，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的方程为：；
（2）显然l的斜率不为0，设l：x=my+1，
联立直线l与椭圆方程，化简，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0恒成立，
由韦达定理，得y1+y2=，y1y2=，
∴=
=|y1﹣y2|
=
=
=，
令t=，t≥1，则m2=t2﹣1，
∴==，
令（t≥1），则=＞0，∴u（t）在[1，+∞）上单调递增，
∴当t=1即m=0时，u min（t）=u（1）=4，（）max=3，
故当m=0时，△AF'B的面积的最大值为3．。