对数函数-人教版高中数学

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4.4对数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念【课程标准】1. 理解对数函数的概念、图像及性质。

2. 会解与对数函数有关的定义域、值域、比较大小等问题【知识要点归纳】1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞) 2.对数函数的图像和性质定义形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数定义域 ()0,+∞ 值域(),-∞+∞图像【经典例题】()()()()242213log 2log 3log 4log (1).(5)log 1x y x y x y y x y x =+＝；＝；＝5；＝＋[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为。

（2）若对数函数y ＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须严格满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.例2求下列函数的定义域.(1)y＝log a(3－x)＋log a(3＋x)；(2)y＝log2(16－4x).[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．(1)y＝3log2x；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log0.5(4x－3)－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.例3画出函数y＝lg|x－1|的图象.例4 （1）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[跟踪训练] 3 （1）已知a>0，且a≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x)的图象只能是( )(2)221log 21x y x -=+-图象恒过定点坐标是________．注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. 【当堂检测】一．选择题（共5小题）1．下列函数是对数函数的是( ) A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1()8f 等于( )A ．3B ．3-C ．3log 6-D ．3log 8-3．函数1()(2)3f x lg x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈B ．(0x ∈，2]C ．[2x ∈，)+∞D ．(2,)x ∈+∞5．已知132a =，21()3b =，21log 2c =，则( )A ．c a b <且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = ．8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为．三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．当堂检测答案一．选择题（共5小题）1．下列函数是对数函数的是( )A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且【分析】根据对数函数的定义即可得出．【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y lnx =为对数函数．故选：C ．【点评】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1()8f 等于( )A ．3B ．3-C ．3log 6-D ．3log 8-【分析】由对数函数定义推导出2()log f x x =，由此能求出1()8f ．【解答】解：函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，∴25101a a a a ⎧+-=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =， 2()log f x x ∴=，211()388f log ∴==-．故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．3．函数1()(2)3f x lg x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞【分析】令对数的真数2x -大于0；分母3x -非0，列出不等式组，求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，需满足 2030x x ->⎧⎨-≠⎩解得2x >且3x ≠ 故选：D ．【点评】求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示． 4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈B ．(0x ∈，2]C ．[2x ∈，)+∞D ．(2,)x ∈+∞【分析】可看出，要使得函数()f x 有意义，则需满足240x ->，解出x 的范围即可．【解答】解：要使()f x 有意义，则：240x ->； 2x ∴>；()f x ∴的定义域为(2,)+∞．故选：D ．【点评】考查函数定义域的定义及求法，指数函数的单调性． 5．已知132a =，21()3b =，21log 2c =，则( )A ．c a b <=>=>，21log 102c ==-<， c b a ∴<<．故选：C ．【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题．二．填空题（共3小题）6．已知45a ln =，22()3b =，0.15c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为 a b c << ．【分析】由20.1420,0()1,5153ln <<<>，即可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：4105ln ln <=，220()13<<，0.10551>=， a b c ∴<<．故答案为：a b c <<．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．【分析】求出定点(1,2)P ，代入指数函数中，求出a ，得到()f x ．【解答】解：由a 的任意性，1x =时，2y =，故log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点(1,2)P ，把(1,2)P 代入指数函数()x f x a =，0a >且1a ≠，得2a =，所以()2x f x =，故答案为：2x ．【点评】考查对数函数的定点问题，和求指数函数的解析式，基础题．8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为 1 ．【分析】由已知条件a b ≠，不妨令a b <，又y lgx =是一个增函数，且f （a ）f =（b ），故可01a b <<<，则lga lgb =-，由此可得ab 的值．【解答】解：f （a ）f =（b ）， ||||lga lgb ∴=．不妨设0a b <<，则由题意可得01a b <<<， lga lgb ∴=-，0lga lgb +=， ()0lg ab ∴=， 1ab ∴=，故答案为：1．【点评】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考查对数函数单调性的应用，属于基础题．三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由真数大于0，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，对a 分类讨论即可求得定义域；11 （2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，由△0即可求得a 的取值范围．【解答】解：（1）由2()(2)f x lg x x a =-+有意义，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，当1a >时，()f x 的定义域为A R =；当1a =时，()f x 的定义域为{|1}A x x =≠；当1a <时，()f x的定义域为{11A x x x =+<．（2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，即22t x x a =-+能取遍所有正数即可，所以△440a =-，1a ，实数a 的取值范围(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的定义域与值域，考查对数函数的性质，属于中档题，。

高中数学《对数函数》课件(共14张PPT)

底数的取值范围：底数a必须为正实数，且不能等于1。输入值的范围：对数函数的输入值必须大于0且小于a的实数。对数的运算顺序：对于多个对数的运算，应先将对数函数的自变量化简到最简形式，再计算对数值。
谢谢大家
人教版高中数学必修五
五、对数函数的应用
对数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用，用于处理指数运算、比例运算、数值比较等问题。对数函数可以用于实现数据压缩和扩展，例如在声音信号处理中，可以使用对数函数将声音信号的动态范围进行调整，以提高声音的质量和清晰度。对数函数还可以用于计算复利、估算自然对数的值、求解方程组等问题。在使用对数函数时，需要注意以下几点：
a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在下方;
0<a<1:
当:x>1, 图像在y轴下方；
当 0<x<1, 图像在轴上方;
函数性质
定义域：x>0
值域： R 当x=1时，y=0。
增函数减函数
a>1: 当x>1, 则 y>0，当0<x<1, 则y<0; 0<a<1: 当:x>1, 则y<0 当0<x<1, 则y>0;
5. 函数值分布:a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在y轴下方;
函数性质定义域：x>0 值域： R 当x=1时，y=0。
增函数
a>1: 当x>1, 则 y>0，当0<x<1, 则y<0;
0 a 1 y loga x
x 1
图像的特征 1．图像位于y轴右侧； 2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴； 3. 过（1.0）点 4. 单调性: 0<a<1时,图像下降; 5. 函数值分布: 0<a<1: 当:x>1, 图像在y轴下方；当 0<x<1, 图像在轴上方;

新人教版高中数学必修一教案：第4节对数函数

2.5对数函数及其性质【知识要点】2.反函数（回忆反函数的定义，如何求反函数）3. 对数函数的定义域（回忆求定义域的方法，对照对数函数的性质求对数函数定义域）4. 对数函数的值域（对照函数值域求法求解对数函数的值域）5. 对数函数的单调性及应用（回忆单调性的定义与证明，如何求解）6. 对数函数的综合应用【知识应用】1.方法：在解题时，要会结合函数图象解题，注意底数a 的取值范围。

当a 大于1时，函数是单调增，当a 小于1时，函数是单调减，并且恒过点（1，0），由此画出函数图象。

【J 】例1 集合A={y ∈R|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是（）A. A ⋂B={-2，-1}B. （R C A ）⋃B=（-∞，0）C. A ⋃B=（0，+∞）D. （R C A ）⋂B={-2，-1}【L 】例2 以下四个数中的最大者是（）A 2ln 2（） B ln （ln2） C D ln2【C 】例3 已知1<x<10，试比较2(lg )x 、2lg x lg （lgx ）的大小。

2. 方法：（1）由反函数定义可知，原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

因此，求反函数时，首先都要对原函数的定义域和值域进行研究，对于分段函数的反函数，应先分别求出每一段函数的反函数，再将它综合成一个函数即可。

（2）反函数的求法：a..由y=f(x)解出x b.把x 与y 的位置互换 c.写出解析式的定义域（注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=2x ；一般来说，单调函数有反函数）（3）反函数的性质：a.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称 b.若函数y=f(x)图像上有一点（a ，b ），则（b ，a ）必在其反函数图像上，反之若（b,a ）在反函数图像上，则（a ，b ）必在原函数图像上。

c.互为反函数的函数具有相同的单调性、奇偶性。

人教高中数学必修一A版《对数函数的概念》《对数函数的图象和性质》指数函数与对数函数说课教学课件

(3)在同一坐标系中,对数函数 y=log2x,y=log5x,y=log 1 x,y=log 1 x 的
2
5
图象如图所示.从图中看,对数函数图象的分布与底数有什么关系?
提示:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0<a<1时,a
越小,图象越靠近x轴.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填表
对数函数的图象和性质
数的大小,如图所示.
2.牢记特殊点:对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象经过
(1,0),(a,1),
1

,-1 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练2作出函数y=
解:先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象
思想方法
随堂演练
反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数
解析式时只须一个条件即可求出.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练

人教版高中数学必修1《对数函数的图像与性质》PPT课件

液的酸性就越强.
新知运用
例 3 溶液酸碱度是通过 pH 计量的 .pH 的计算式
pH=− + ，其中 + 表示溶液中氢离子的浓度，单位是
摩尔/升.
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 + = − 摩尔/升，
计算纯净水的 pH 值；
【解析】 = −− = ，所以纯净水的 pH 值
反思总结
1.思想方法：
（1）数形结合：由解析式到图象（由数到形，以形读数），
由图象到性质（由形到数，以数观形）；
（2）分类整合：底数的两个范围对单调性的影响.
2.知识联系：指、对不分家！指数函数与对数函数不仅在概念、
图象与性质上有联系，在解决问题的类型上也有联系，所以
要将两者作为一个整体学习与应用.
所以. < − + < . ，即−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以这种饮用水中氢离子的浓度范围是−. < + <
−. （单位：摩尔/升）.
x 0.5 1
log2x −
2

（2）描点画图.
3
1.6
4

5
6
7
2.3 2.6 2.8
8

新知探求
2.画函数 = 的图象.

由换底公式得 = Байду номын сангаас =

= − ，所以
函数 = 的图象与 = 的图象关于

人教版高中数学必修一对数函数及其性质课件PPT

1log0.7 6,0.76,60.7;2log1 0.3, log2 0.8
3
2.若函数y f (x)是函数y ax (a 0且a 1)的反函数
,且f (2) 1,则f (x) _______
3.已知y
( 1 ) x的反函数y 4
f
(x),若f
(x0 )
1, 2
则x0 ______
强化补清
一的一个 y B 与之对应，那么就称这个对
应关系是函数的反函数.记做 f 1x
观察下列一组反函数与原函数的图像，说出它们各是什么函数，总结反函数性质。
y 2x
y log 2 x
反函数的性质
（1）原函数定义域为反函数值域，原函数值域为反函数定义域.
（2）反函数与原函数图像关于直线y=x对称。（3）反函数与原函数单调性一致
（4）原函数过点x0, y0 ，则其反函数必过点
y0 , xo
例4.求下列函数的反函数
1y 3x;2y 2x 3
思考：我们之前所讲的分式函数如何求解值域的？
目标升华
1.对数值的大小比较与幂的大小比较的类比
2.通过对反函数的理解，运用其性质解决一些函数的值域问题
当堂诊学
1.比较大小
课程在这里,我想讲几点最关键的策略,以帮助教师在课堂上合理安排学生活动。今天,我们的主题简短、明确并易于实践。目标如下: (1)帮助教师了解当学生没有事情可做时,会出现什么状况; (2)给教师提供几个规划课堂的好方法首先,以这几个问题开始
●你是否曾经在给学生布置任务时,要求所有人在同样的时间里完成? 你是否曾注意到,布置任务时要求的时间越长,有些学生磨蹭的时间就越长?
（2）log2 0.7 与 log3 0.7

对数函数的概念课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册

目录
深化思考思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打 “√”，错误的打“×”．
(1)由 y＝logax，得 x＝ay，所以 x>0.(√ ) (2)y＝log2x2 是对数函数．(× ) (3)若 y＝logax 是对数函数，则 a>0 且 a≠1.( √ ) (4)函数 y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．(×)
目录
概念引入
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y.
指数函数
y=
1
2
1 x
5730
x∈(0 , +)
x=log5730
1 2
y
(0 , y0)(0＜y0≤1)
一
唯一(x0 , y0)
一
对
应
唯一(x0 , 0) (x0≥0)
图4.4-1
x 是 y 的函数，x=log5730 1 y (0<y≤1)
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小结
1、对数函数、指数函数、一次函数、二次函数是我们学习的基本初等函数，它们增长是有差异的，不同类型的数据增长应选取合适的函数模型来刻画其变化规律.
2、判断一个函数是不是对数函数、关键是分析所给函数是否具有 y＝logax(a>0，且 a≠1)这种形式．
3、涉及对数函数的定义域问题，从对数式的真数和底数两个方面构建不等式组，且最终结果要写成集合的形
目录
限时小练 1．下列函数是对数函数的是________(填序号)．
①y＝loga(5＋x)(a>0 且 a≠1)；②y＝log 3-1x；③y＝log3(－x)； ④y＝logx 3(x>0 且 x≠1)． 2．设函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，若 f(x1x2…x2 022) ＝6，则 f(x21)＋ f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22 022)的值是________． 3．已知函数 f(x)＝lg(x＋1)－lg(1－x)． (1)求函数 f(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)的奇偶性．

高中数学人教版B必修一第3章 3.2 3.2.2 对数函数

3.2.2对数函数学习目标：1.理解对数函数的概念、图象及性质．(重点)2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3.初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)[自主预习·探新知]1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．2．对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象与性质思考：函数y＝log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置有何影响？图3-2-1[提示]观察图象，总结变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴．(2)左右比较(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝log x 12是对数函数．()(2)函数y＝2log3x是对数函数．()(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．()[解析](1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；(2)×.在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须是1，所以(2)错；(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．[答案](1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝x－1＋lg x的定义域是()A．(0，＋∞)B．(0,1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)C [∵⎩⎨⎧x －1≥x >0∴x ≥1.]3．下列不等号连接错误的一组是( ) A ．log 0.52.2>log 0.52.3 B ．log 34>log 65 C ．log 34>log 56D ．log πe>log e πD [函数y ＝log πx 在定义域上单调递增，e<π，则log πe<log ππ＝1.同理，log e π>log e e ＝1，则log πe<log e π.故D 错误．]4．函数y ＝log (3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________.【导学号：60462229】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [由题意可得0<3a －1<1，解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.][合作探究·攻重难](1)①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.[思路探究] (1)根据对数函数的定义进行判断；(2)设出对数函数的解析式，利用条件求出其解析式，可得f (8)的值．[解析] (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，即f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3.[答案] (1)B (2)－3[规律方法] 1.判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)底数a >0且a ≠1；(2)自变量x 在真数的位置上，且x >0；(3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .2．对数函数的解析式的值中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．[跟踪训练]1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.【导学号：60462230】4[由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.]3A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)求下列函数的定义域： ①y ＝lg (2－x )； ②f (x )＝lg (4－x )x －3；③y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．[思路探究] (1)代入a 的值⇒对数运算⇒解方程． (2)对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组． [解析] (1)∵f (a )＝1，∴log 3(a ＋1)＝1，即a ＋1＝3，∴a ＝2.故选C. [答案] C(2)①由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0，也即x ≤1.故函数y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}． ②由⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，得x <4且x ≠3.∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)． ③由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎨⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为{x ⎪⎪⎪12<x <2且x ≠1}.母题探究：1.(变条件)把本例(2)①函数变成“y＝”，结果如何？[解] 由题意可知所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≤1，2－x >0，即1≤x <2.故函数y ＝的定义域为{x |1≤x <2}．2．(变结论)把本例(2)①中x 的范围限定为[－8,1]，求函数的值域． [解] 因为y ＝lg (2－x )在x ∈[－8,1]上为减函数，所以y max ＝lg (2＋8)＝1，y minlg (2－1)＝0.所以函数的值域为[0,1]．[规律方法] 求与对数函数有关的定义域时应注意的两点(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合的形式表示．[探究问题1．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过哪一定点？函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？提示：对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)；在f (x )＝log a (2x －1)＋2中，令2x －1＝1，即x ＝1，则f (x )＝2，所以函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,2)．2．从左向右，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？提示：当0<a<1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a>1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸．3．如图3-2-2，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？图3-3-2提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.(x＋c)(a，c为常数．其中a>0，a≠1)的图象如图(1)已知函数y＝log3-2-3，则下列结论成立的是()【导学号：60462231】图3-2-3A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1(2)已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是() A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)[思路探究](1)已知对数函数的图象⇒图象平移规律求解．(2)作对数函数图象⇒图象变换⇒构建关于a，b的方程⇒研究函数单调性求解．[解析](1)∵函数单调递减，∴0<a<1，当x＝1时，log a(x＋c)＝log a(1＋c)<0，即1＋c>1，∴c>0，当x＝0时，log a(x＋c)＝log a c>0，即c<1.∴0<c<1，故选D.(2)因为f(a)＝f(b)，所以|lg a|＝|lg b|所以a＝b(舍去)或b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a，又0<a<b，所以0<a<1<b，令f(a)＝a＋2 a.由“对勾”函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)＝1＋2 1＝3.即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)，故选C.[答案](1)D(2)C[规律方法] 1.画对数函数图象时要注意的问题(1)明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．(2)强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1进行判断．(3)牢记特殊点：对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. 2．常见的函数图象的变换技巧(1)y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边的图象并作关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(2)y ＝f (x )―――――――――――→保留x 轴上方的图象将x 轴下方的图象翻折上去y ＝|f (x )|.(3)y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． (4)y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． [跟踪训练]3．函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )C [∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A 、D ；当a ＞1时，y ＝log a(－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C.][当堂达标·固双基]1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅C [由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}．]2．函数f(x) ＝log(x2－4)的单调递增区间是()【导学号：60462232】A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)D[函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y ＝log t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．] 3．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.log2x[设f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，则f(2)＝log a2＝2，即a＝2，所以f(x)＝log2x.]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域是________．(0，＋∞)[∵3x＋1>1，且y＝log2x在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，故函数f(x)的值域是(0，＋∞)．]5．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．[解](1)作出函数y＝log3x的图象如图所示：(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值．。

4.4 对数函数(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

4.4对数函数（精讲）一．对数函数的概念1.概念：一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).2.概念理解(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a >0，且a ≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数.二．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >10<a <1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0<x <1时，y <0，当x >1时，y >0当0<x <1时，y >0，当x >1时，y <0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三．对数函数图像两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.四.反函数一般地，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.一．对数函数的判断1.系数：对数符号前面的系数为12.底数：对数的底数大于0且不等于13.真数：对数的真数仅有自变量x 二．定义域1.分母不能为0；2.根指数为偶数时，被开方数非负；3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.三．比较对数值大小1.同底数的利用对数函数的单调性.2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.3.底数和真数都不同，找中间量.4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四.y ＝log a f (x )型函数性质1.定义域：由f (x )>0解得x 的取值范围，即为函数的定义域.2.值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域.3.单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.5.最值：在f (x )>0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值.6.log a f (x )<log a g (x )型不等式的解法(1)讨论a 与1的关系，确定单调性；(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零.7.两类对数不等式的解法(1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式.①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0；②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x ).(2)形如log a f (x )a b ；②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b .考点一对数函数的概念【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）A ．()12log y x =-B ．24log y x=C ．ln y x =D ．()22log a a y x ++=（a 是常数）【答案】CD【解析】对于A ，真数是x -，故A 不是对数函数；对于B ，242log log y x x ==，真数是x ，不是x ，故B 不是对数函数；对于C ，ln x 的系数为1，真数是x ，故C 是对数函数；对于D ，底数22172124a a a ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭+，真数是x ，故D 是对数函数．故选：CD【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，则a 的值是（）A ．1或2B ．1C ．2D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】∵函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，∴2331a a -+=，0a >且1a ≠，解得1a =或2a =，∴2a =，故选：C ．【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）A ．ln y x =B ．22log y x =C ．log 9ax y =D ．2log 2022y x =-【答案】A【解析】形如()log 0,1a y x a a =≠＞的函数叫作对数函数，它的定义域是()0,∞+，对于A ，e ln log y x x ==满足，故A 正确；对于B ，C ，D ，形式均不正确，均错误.故选：A2．（2023秋·高一课前预习）在()()231log 4a b a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．()1,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．122,,2333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子()()231log 4a b a -=-有意义，则231031140a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或223a <<.故A ，C ，D 错误.故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数()()()22log 51a y a x -⎡⎤=-+⎣⎦中，实数a 的取值可能是（）A ．52B ．3C ．4D ．5【答案】AC【解析】因为210x +>，所以根据对数函数的定义得：202150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即：235a a a >⎧⎪≠⎨⎪<⎩，所以23a <<或35a <<，故选：AC.考点二对数函数的定义域【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数()2log f x x x=-的定义域为（）A ．(]0,2B ．(),2∞-C ．()(],00,2∞-⋃D ．[)2,∞+【答案】A【解析】由题意得：2000x x x -≥⎧⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤，()f x \定义域为(]0,2.故选：A.【例2-2】（2023秋·辽宁）已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为.【答案】()(]2,33,5⋃【解析】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，所以[]1,2x ∈，[]212,5x +∈，所以函数()f x 的定义域为[]2,5，又20x ->，且21x -≠，解得2x >，且3x ≠，所以()g x 定义域为()(]2,33,5⋃.故答案为：()(]2,33,5⋃.【例2-3】（2023秋·江苏连云港·）若函数f (x )＝lg （x 2﹣mx +1）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是．【答案】(-2,2)【解析】由题意得210x mx -+>在R 上恒成立，所以240m ∆=-<，解得22m -<<.故答案为：()2,2-.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数2y =）A ．{02}xx <<∣B ．{01xx <<∣或12}x <<C ．{02}xx <≤∣D ．{01xx <<∣或12}x <≤【答案】D【解析】由题意得2200log 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，∴01x <<或12x <≤，故定义域为{01xx <<∣或12}x <≤，故选：D.2．（2023秋·宁夏银川）函数()2log 21xf x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()0,1D ．110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题意得0210x x >⎧⎨-≠⎩，解得110,,22x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故选：D3．（2023春·浙江温州）函数2()ln x f x x+=的定义域为（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．()()0,11,+∞ 【答案】D【解析】因为2()ln x f x x +=，所以0ln 0x x ≥⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以()f x 的定义域为()()0,11,+∞ .故选：D.考点三对数函数图像的辨析【例3-1】（2023·云南保山）函数()1y a x =-与log a y x =（其中1a >）的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A ，因为1a >，故()1y a x =-为R 上的减函数，其图象应下降，A 错误；对于B ，1a >时，()1y a x =-为R 上的减函数，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象符合题意；对于C ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；对于D ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；故选：B【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若01b a <<<，则函数()log b y x a =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】01b a <<< ，log b y x ∴=在(0,)+∞上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移a 个单位，得到log ()b y x a =+，故函数log ()b y x a =+的图象不经过第一象限，故选：A ．【例3-3】（2023秋·高一课时练习）若函数()log (0,a y x b c a =++>且1)a ≠的图象恒过定点()3,2，则实数b =，c =．【答案】－22【解析】】∵函数的图象恒过定点()3,2，∴将()3,2代入()log a y x b c =++，得()2log 3a b c =++．又当0a >，且1a ≠时，log 10a =恒成立，2,31c b ∴=+=，2,2b c ∴=-=．故答案为：2-；2【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】B【解析】因为111775111log log log 575<=，∴（3）是17log y x =，（4）是15log y x =，又155log log x x y -==与5log y x =关于x 轴对称，∴（1）是5log y x =．故选：B ．2．（2023·广西）若函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则实数a 的取值范围为．【答案】[)1,+∞【解析】函数()2log f x a x =+的图象关于x a =-对称，其定义域为{}x x a ≠-，作出函数()2log f x a x =+的大致图象如图所示，由图可得，要使函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则()000f a ⎧≥⎨-<⎩，即2log 00a a ⎧≥⎨-<⎩，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知0a >，且1a ≠，则函数x y a =与log a y x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】若01a <<，则函数x y a =的图象单调递减且过点()0,1，函数log a y x =的图象单调递减且过点()1,0；若1a >，则函数x y a =的图象单调递增且过点()0,1，而函数log a y x =的图象单调递增且过点()1,0，只有A,C 的图象符合．故选：AC4．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点．【答案】()1,2【解析】令321x -=，解得1x =，此时log 122a y =+=，故()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,2.故答案为：()1,2考点四比较对数值的大小【例4-1】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组中两个值的大小．①33log 1.99log 2，.②34log 0.2log 0.2，.③20.3log log 2，3.④log πlog 3.14a a ，(0a >且1)a ≠.【答案】答案见解析【解析】①因为()3log f x x =在(0,)+∞上是增函数，且1.992<，则(1.99)(2)f f <，所以33log 1.99log 2<②作出3log y x =和4log y x =的图象如下图．由图象知34log 0.2log 0.2<.③因为22log 3log 10>=，0.30.3log 2log 10<=,所以20.3log 3log 2>.④当1a >时，函数log a y x =在定义域上是增函数，则有log πlog 3.14a a >；当01a <<时，函数log a y x =在定义域上是减函数，则有log π<log 3.14a a .综上所述，当1a >时，log πlog 3.14a a >；当01a <<时，log π<log 3.14a a .【例4-2】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）三个实数1232log 4,log 5,3a b c -===的大小关系为（）A ．a c b <=，12(0,1)33c -==，故12323log 4log 5c a b -<=<==，故选：B【一隅三反】1．（2023秋·重庆）若3log 6a =，2b =，0.25log 0.125c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a>>D ．b a c>>【答案】D【解析】因为23142413log log 8log 282c ====，3333log log 6log 922a ==<=，所以b ac >>．故选：D2．（2023秋·湖北武汉）已知0.3log 0.7a =，0.30.7b -=，7log 3c =则（）A ．a c b <，即1b >；所以可得a c b <<.故选：A3．（2023秋·广西南宁）设8log 27a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<a【答案】C【解析】8221log 27log 27log 33a ===，0.522log 0.2log 0.2log 5b ==-=，4221log 24log 24log 2c ===因为2log y x =在定义域上是增函数，且35<<，故a c b <<.故选：C.4．（2023秋·宁夏银川）函数() f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，1212311log ,log ,523a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c>>D ．c b a>>【答案】D【解析】】因为函数() f x 是定义在R 上的偶函数，可得133311(log )(log )(log 2)22a f f f ==-=，2221(log )(log 3)(log 3)3b f f f ==-=，由对数的运算性质，可得33log 2log 31<=，2221log 2log 3log 42=<<=，又由2<，所以32log 2log 3<又因为() f x 在[0,)+∞上单调递增，所以32(log 2)(log 3)f f f <<，即c b a >>.故选：D.考点五对数型函数的单调性及应用【例5-1】（2023春·甘肃武威）函数()212log 45y x x =--的递减区间为.【答案】()5,+∞【解析】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞【例5-2】（2023·河南）设函数()()2ln 4f x x x =-+在(),1a a +上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．[0,2]C ．(0,2)D ．[0,1]【答案】D【解析】由函数240-+>x x ，得04x <<，即函数()f x 的定义域为()0,4，令()()24,0,4g x x x x =-+∈，由函数()g x 的对称轴为：2x =，开口向下，所以()g x 在(]0,2上单调递增，在[)2,4上单调递减，又ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以当函数()f x 在(),1a a +上单调递增时，所以根据复合函数的单调性可知：012a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故选：D.【一隅三反】1.（2023福建）求函数212y log x 2x 1)=-++（单调(1－2，1)减区间.【答案】(1－2，1)【解析】函数212y log x 2x 1)=-++（的定义域为－x 2＋2x ＋1>0，由二次函数的图象知1－2<x <1＋ 2.∴t ＝－x 2＋2x ＋1在(1－2，1)上是增加的，而在(1，1＋2)上是减少的，而y ＝12y log t =为减函数.∴函数212y log x 2x 1)=-++（的减区间为(1－2，1).2.（2023安徽）已知函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】[22，2(2＋1)【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )∞，a2上是减函数，∵0<12<1，∴y ＝12y log x =是减函数，而已知复合函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上是减少的，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)恒成立，2≤a2，（2）＝（2）2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)].3．（2023秋·江苏南通）设函数()()2ln 2f x ax x =-在区间()3,4上单调递减，则a 的取值范围是【答案】[]2,3【解析】ln y t =在()0,∞+单调递增，故22t ax x =-在()3,4单调递减，则3a ≤，又∵220t ax x =->在()3,4恒成立，则8160a -≥，故2a ≥，∴23a ≤≤，考点六解对数不等式【例6-1】（2023秋·高一课时练习）已知函数()()2log 31f x x =-，则使得2()(2)f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．43,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题设222log (31)log (35)x x ->+，即222log (31)log (35)x x ->+，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以()23135310350x x x x ⎧->+⎪->⎨⎪+>⎩，解得43x >.故选：B【例6-2】（2023秋·高一课时练习）不等式log (23)log (56),(1)a a x x a +>->的解集为．【答案】6(,3)5【解析】因为1a >，可得对数函数log a y x =为单调递增函数，则原不等式等价于2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<，即原不等式的解集为6(,3)5.故答案为：6(,3)5.【例6-3】（2023秋·陕西渭南）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）不等式()()31128log 23log 56x x +<-的解集是.【答案】6,35⎛⎫⎪⎝⎭【解析】易知()()()333111822log 56log 56log 56x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-=-，由()()31128log 23log 56x x +<-可得()()1122log 23log 56x x +<-；又函数12log x 在()0,∞+为单调递减，所以可得2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<.故答案为：6,35⎛⎫⎪⎝⎭2．（2023秋·高一课时练习）解下列关于x 的不等式．(1)1177log log (4)x x >-；(2)()()log 25log 1a a x x ->-；(3)1log 12x>．【答案】(1){}02x x <<(2)答案见解析(3)112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意可得0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪<-⎩解得02x <<，所以原不等式的解集为{}02x x <<．（2）当1a >时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得>4x ，当01a <<时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得542x <<综上所述，当1a >时，原不等式的解集为{}4x x >；当01a <<时，原不等式的解集为542x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（3）当1x >时，由1log log 2x x x >，可得12x <，此时无解；当01x <<时，由1log log 2xx x >，可得112x <<．综上，原不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.考点七对数型函数的值域（最值）【例7-1】（2023秋·高一课时练习）函数12log y x =在区间[1,2]上的值域是（）A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞-【答案】A【解析】12log y x = 在[1,2]上是减函数，121log 0x ∴-≤≤，即值域为[1,0]-.故选：A.【例7-2】．（2023·高一校考课时练习）求函数()212log 617y x x =-+的值域.【答案】(],3-∞-【解析】因为函数()212log 617y x x =-+的定义域为：26170x x -+>，而方程26170x x -+=的()2Δ6417320=--⨯=-<，所以26170x x -+>对R x ∀∈恒成立，令：()22617388t x x x =-+=-+≥12log y t =在[)8,+∞上是减函数，所以12log 83y ≤=-，即原函数的值域为(],3-∞-故答案为：(],3-∞-【例7-3】（2023秋·江苏南通）已知函数()22236log log y x x =-+，在[]24x ∈，上的值域为（）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]46，C ．1564⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为函数()22236log log y x x =-+，[]24x ∈，，令2log t x =，则[]12t ∈，.所以原函数转化为223153624y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,又对称轴为32t =，所以当32t =时，函数取得最小值154，当1t =或2t =时，函数取得最大值为4，所以所求函数的值域为15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A ．【例7-4】（2023春·重庆北碚）已知函数2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）A ．(][)218-∞⋃∞,,+B ．()2,18C ．(][)0,218,+∞ D ．[][)0,218,+∞ 【答案】D【解析】由2(6)2y ax a x =+-+，a 不等于0时，()226422036a a a a ∆=--⨯=-+,当20,20360a a a >∆=-+<得218a <<，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，有最小值，不合题意.当20,20360a a a >∆=-+≥得18a ≥，02a <≤，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，(][)0,218,a ∴∈+∞ 当20,20360a a a <∆=-+≥得a<0，二次函数2(6)2y ax a x =+-+有最大值，没有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦有最大值，没有最小值，不合题意.当20,20360a a a <∆=-+<无解.当0a =,2(6)262y ax a x x =+-+=-+既没有最大值，也没有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，0a ∴=.[][)0,218,a ∴∈+∞ 故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数()52log 1y x x =+≥的值域为（）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞【答案】C【解析】由1x ≥知5log 0x ≥，2y ≥，值域是[)2,+∞．故选：C2．（2023·全国·高一假期作业）函数()212log 617y x x =-+的值域是．【答案】(,3]-∞-【解析】令2617t x x =-+，则12log y t =，因为22617(3)88t x x x =-+=-+≥，所以2617t x x =-+的值域为[8,∞+），因为12log y t =在[8,∞+）是减函数，所以1122log log 8-3y t =≤=，所以212log (617)y x x =-+的值域为(,3]-∞-，故答案为：(,3]-∞-3．（2023·全国·高一专题练习）已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x f x =+，则函数()y g x =的值域为．【答案】[2,7]【解析】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x f x f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]4．（2023·全国·高一假期作业）函数()()2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为．【答案】14-/0.25-【解析】显然0x >，∴()()()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅()()2222221log log 42log log log 2x x x x =+=+，令2log x t =，∵x ∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴t ∈[－1，2]，则()2111244g t t ⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当t ＝－12即x时，有()min 14f x =-.故答案为：14-5．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设0a >且1a ≠，若函数()7,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值域是[)5,+∞，则a 的取值范围是【答案】(【解析】由于函数7,2()(03log ,2a x x f x a x x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的值域是[5,)+∞，故当2x ≤时，满足()75f x x =-≥.若1,()3log a a f x x >=+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 5a f x x =+≥，log 2,log 22,1a a x a ∴≥∴≥∴<≤若01,()3log a a f x x <<=+在它的定义域上单调递减，()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[5,)+∞.综上可得，1a <≤考点八对数函数性质的综合运用【例8】（2023秋·山西长治）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0,1)a g x x a a =->≠且．(1)求函数()()f x g x +的定义域；(2)判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；(3)讨论函数()()f x g x +的值域．【答案】(1)()1,1-(2)偶函数，理由见解析(3)答案见解析【解析】（1）10x +>且10x ->，得11x -<<，即定义域为()1,1-.（2）因为定义域关于原点对称，且()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=-++=，所以函数为偶函数.（3）()()2log (1)log (1)log (1)a a a f x g x x x x +=++-=-，令21t x =-，由11x -<<，得01t <≤，则log a y t =，(0,1]t ∈，当1a >时，log 0a y t =≤，所以原函数的值域为(,0]-∞；当01a <<时，log 0a y t =≥，所以原函数的值域为[0,)+∞.【一隅三反】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）设函数()()()33log 9log 3f x x x =⋅，且199x ≤≤．（1）求3f （）的值；（2）若令3log t x =，求实数t 的取值范围；（3）将()y f x =表示成以()3log t t x =为自变量的函数，并由此求函数()y f x =的最大值与最小值及与之对应的x 的值．【答案】（1）6；（2）[]22-，；（3）1()4min f x =-，此时9x =-；()12max f x =，此时9x =．【解析】（1）333log 27log 9326f =⋅=⨯=（）；（2）3log t x =，又199x ≤≤ ，32log 2x ∴-≤≤，22t ∴-≤≤，所以t 的取值范围为[]22-，；（3）由()()()223333log 2log 1(log )2log 232f x x x x x t t =++=++=++，令()223132()24g t t t t =++=+-，[]22t ∈-，，①当32t =-时，1()4min g t =-，即33log 2x =-，解得9x =，所以1()4min f x =-，此时x =；②当2t =时，()212max g t g ==（），即3log 29x x =⇒=，()12max f x ∴=，此时9x =．2（2023·湖北随州）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠).（1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，a =.【解析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.（1）由题意可得30ax ->，即3ax <，因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立，因为()f x 在区间[]1,2上单调递减，所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2，所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<<，所以131,22a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以存在实数12a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.3．（2023江苏淮安）已知()lg(f x ax =是定义在R 上的奇函数，其中0a >．（1）求a 的值；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并证明；（3）若对于任意的x R ∈都有()f x mx >-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）02m ≤≤.【解析】（1）()()((lg lg f x f x ax ax -+=-+()222lg 10x a x =+-=，得21a =，0a > ，1a ∴=；（2）()(lg f x x =，设()t x x =120x x ≤<，()()1212t x t x x x -=()221212x x x x =-+=-+()121x x ⎛⎫ =- ⎝120x x ≤< ，()()12t x t x ∴<()t x ∴单调递增，根据复合函数的单调性可知()(lg f x x =单调递增；（3） ))()lg lg mx mx f mx --==+=，(()f x f mx ∴>，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在[)0,∞+单调递增，所以函数在R 上单调递增，x mx ∴>，当0x >时，1m <=min1m ⎛< ⎝，因为12>，则2m ≤，当0x <时，1m >=max1m ⎛> ⎝，因为10<，则0m ≥，当0x =时，m R ∈，综上可知，对x ∀∈R 恒成立，即02m ≤≤.。

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：第一课时对数函数的概念及其图象和性质

2.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1
0<a<1
图象
定义域
_（__0_,_+_∞__）___ Nhomakorabea值域
___R___
性过定点质函数值的
变化
过定点（__1_，__0_）_，即 x＝1 时，y＝0
当 0<x<1 时，__y<__0_，当 0<x<1 时，__y_>_0_，
当 x>1 时，_y_>__0__, 当 x>1 时，__y_<_0__
单调性在(0，＋∞)上是_增__函__数___ 在(0，＋∞)上是_减__函__数__
拓展深化
[微判断]
1.函数 y＝logx12是对数函数.( × ) 提示对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误.
2.函数y＝2log3x是对数函数.( × ) 提示在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以错误.
函数；由于⑥中log4x的系数为2，
∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义. (2)由题意设 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)，则 f(4)＝loga4＝－2，所以 a－2＝4，故 a＝12，
f(x)＝log1x，所以 f(8)＝log18＝－3.
2
2
答案 (1)B (2)－3
规律方法判断一个函数是对数函数的方法
问题 1 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用 t
＝log5 730 1P(P 为碳 14 含量)估算出土文物或古遗址的年代 t，那么 t 是 P 的函数吗？为
2

【高中数学必修一】2.2.2 对数函数及其性质-高一数学人教版(必修1)(解析版)

一、选择题1．如果对数函数y =log 2x 的图象经过点（a ，–2），则a 的值为A ．14B ．14-C ．4D ．–4【答案】A【解析】因为对数函数y =log 2x 的图象经过点（a ，–2），所以log 2a =–2，解得2124a -==．故选A ． 2．函数y =lg （|x |+1）的单调性为A ．在（–∞，+∞）单调递增B ．在（–∞，+∞）单调递减C ．在（0，+∞）单调递增D ．在（0，+∞）单调递减【答案】C3．如图所示曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 的取值为43133510，，，，则相应图象C 1，C 2，C 3，C 4中的a 的值依次为A 43133510，，，B 41333105，，，C ．43133510，，，D ．41333105，，，【答案】C【解析】函数y =log a x 的图象过（a ，1），在平面直角坐标系内作直线y =1，可知在第一象限不同底数的图象逆时针按其底数从大到小排列，则图象C 1，C 2，C 3，C 4中的a 的值由大到小应为C 2，C 1，C 3，C 4，又∵a 的取值为43133510，，，，故C1，C 2，C 3，C 4中的a 的值分别为43133510，，，，故选C ． 4．函数21log 21y x =-的反函数的定义域为 A ．（–∞，+∞） B ．（0，+∞）C ．（–∞，0）D ．（–∞，0）∪（0，+∞）【答案】A【解析】反函数的定义域即为原函数的值域，由1021x >-得21log 21x ∈-R ，所以函数21log 21y x =-的值域为R ，由于反函数的定义域即为原函数的值域，∴反函数的定义域为R ，故选A ． 5．函数y =log 2x 与y =x –2的图象的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C6．函数f （x ）=log （2x –1）（2–x ）的定义域是A ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．（–2，2）C ．()11122⎛⎫⎪⎝⎭，，D ．()12122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】C【解析】由题意，原函数有意义时应满足20210211x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得2121x x x <⎧⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩，∴11122x x <<<<或，∴原函数点的定义域为()11122⎛⎫⎪⎝⎭，，，故选C ．7．f （x ）=log a （2x +b –1）（a >0，且a ≠1）的图象如下图所示，则a ，b 满足的关系是A ．0<a –1b >1D ．b >a –1>1【答案】C8．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为A ．y =log 2xB ．y =2log 4xC ．y =log 2x 或y =2log 4xD ．不确定【答案】A【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y =log a x （a >0，且a ≠1，x >0），则2=log a 4=log a 22=2log a 2，即log a 2=1，解得a =2．故所求对数函数的解析式为y =log 2x ．故选A ． 9．函数y =log 0.5（5+4x –x 2）的递增区间是A ．（–∞，2）B ．（2，+∞）C ．（–1，2）D ．（2，5）【答案】D【解析】令t =5+4x –x 2>0，得–1<x <5，由t =–x 2+4x +5知，其对称轴为x =2，故内函数在（–1，2）上是增函数，在（2，5）上是减函数．∵函数y =log 0.5t 的在定义域上是减函数，故函数y =log 0.5（–x 2+4x +5）在（2，5）上是增函数．故选D ．二、填空题 10．函数()212log 2y x =-__________，值域是__________．【答案】(21][12)-，，、[0，+∞）【解析】由题意，要使函数有意义，需满足()2122log 2020x x ⎧-≥⎪⎨⎪->⎩，解得2112x x -<≤-≤<，，故函数的定义域是(21][12)--，，，又()212log 2y x =-≥0，故函数的值域是[0，+∞）．故答案为(21][12)--，，、[0，+∞）．11．函数f （x ）=|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，则b –a 的最小值为__________．【答案】2312．若函数y =log a （x +m ）+n （a >0，且a ≠1）经过定点（3，–1），则m +n =__________．【答案】–3【解析】若函数y =log a （x +m ）+n 恒过定点（3，–1），即–1=log a （3+m ）+n ，则311m n +=⎧⎨=-⎩，即21m n =-⎧⎨=-⎩，∴m +n =–3，故答案为：–3．13．已知对数函数f （x ）的图象过点（9，2），则函数f （x ）=__________．【答案】log 3x【解析】设f （x ）=log a x （a >0且a ≠1）．因为f （x ）的图象过点（9，2），所以f （9）=2，即log a 9=2，则a 2=9，a =±3．又a >0且a ≠1，所以a =3．故答案为：log 3x ． 14．y =lg （–x 2+x ）的递增区间为__________．【答案】（0，12）【解析】由–x 2+x >0，可得0<x <1，令t =–x 2+x =–（x –12）2+14，则函数在（0，12）上单调递增；在（12，1）上单调递减，∵y =lg t 在定义域内为增函数，∴y =lg （–x 2+x ）的递增区间为（0，12），故答案为：（0，12）．三、解答题15．已知f （x ）=log 3x ．（1）作出这个函数的图象；（2）当0<a <2时，利用图象判断是否有满足f （a ）>f （2）的a 值．【解析】（1）作出函数y =log 3x 的图象如图所示：16．求函数()lg lg 5y x x =-的定义域．【解析】要使函数有意义，需满足lg 050x x ≥⎧⎨->⎩，即1≤x <5，故函数的定义域为[1，5}．17．已知f （x ）=log a （a x –1）（a >0，且a ≠1），（1）求其定义域；（2）解方程f （2x ）=f –1（x ）．【解析】（1）由已知条件，知a x –1>0，即a x >1．故当a >1时，x >0，当0<a <1时，x <0．即当a >1时，函数的定义域为（0，+∞），当0<a <1时，函数的定义域为（–∞，0）．（2）令y =log a （a x –1），则该式等价于a y =a x –1， x =log a （a y +1），即f –1（x ）=log a （a x +1）．又∵f（2x）=f–1（x），∴log a（a2x–1）=log a（a x+1），即a2x–1=a x+1．∴（a x）2–a x–2=0．∴a x=2，或a x=–1（舍去）．∴x=log a2．18．求函数y=2lg x+lg（x–1）的定义域和值域．【解析】由题意得，x应满足：10xx>⎧⎨->⎩，解得：x>1，故函数的定义域为（1，+∞），值域为R．19．求不等式log12（x+1）≥log2（2x+1）的解集．。

人教版高中数学必修1《对数函数的图象和性质》PPT课件

• 答案：(1)×
2．若函数 y＝f(x)是函数
(2)√
y＝3x 的反函数，则
f12的值为
A．－log23
B．－log32
1 C.9
解析： y＝f(x)＝log3x，∴f12＝log312＝－log32.
答案：B
D. 3
()
()
•题型一对数函数的图象问题
• 【学透用活】 • (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降” • 当a＞1时，对数函数的图象“上升”； • 当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”． • (2)函数y＝logax与y＝log x(a＞0，且a≠1)的图象关于x 轴对称．
解得－2＜x＜1.
答案：{x|－2＜x＜1}
• 【课堂思维激活】 • 一、综合性——强调融会贯通 • 1．已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值
与最小值差为1，求a的值时，有位同学的解题过程如下：
解：∵x∈[2,4]， ∴f(x)的最大值为 f(4)＝loga4，最小值为 f(2)＝loga2， ∴loga4－loga2＝1，即 loga2＝1，解得 a＝2. 判断这位同学的思路是否正确，如果不正确，请改正．
•答案：B
2．比较下列各组值的大小：
(1)log 2 0.5，log 2 0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；
3
3
(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.
解：(1)因为函数 y＝log 2 x 是(0，＋∞)上的减函数，且 0.5<0.6，所以 log 2 0.5>log 2 0.6.
在(0，＋∞)上是减函数
共点性

4.4对数函数的概念课件(人教版)

2
任意 y (0, 1]
!
唯一
(0, )
x
‫=ݕ‬ቌ
新知形成
௫
5730
1 ቍ (‫ ∈ ݔ‬ሾ0, + ∞ሻሻ
y
‫ = ݔ‬log5730 1‫ݕ‬
2
高中数学
1
‫ݕ‬
(‫ ݔ‬, ‫ ݕ‬ሻ
x 0
任意 ‫( ∈ ݕ‬0,1ሿ 唯一 ‫ ∈ ݔ‬ሾ0, + ∞ሻ
新知特征
问题3：这个函数有什么特征？ ‫ = ݔ‬log5730 1‫ݕ‬
问题3：这个函数有什么特征？
‫ = ݔ‬log5730 1‫ݕ‬
2
此函数自变量：y 变量：x
‫ = ݕ‬log5730 1‫ݔ‬
2
通常函数自变量：x
变量：y
高中数学
温故知新
回顾研究过程，你能得到什么一般性结论？
1
௫
5730
‫ = ݕ‬ቌ൬21൰ ቍ
‫ = ݔ‬log5730 1‫ݕ‬
2
‫ = ݕ‬log5730 1‫ݔ‬
⑥y = ln x.
(A) ①②⑤ (B) ④⑤⑥ (C) ①②④⑤⑥ (D) ③④
高中数学
判断函数是否为对数函数的根据是什么？
新知特征
y = loga x.
判断一个函数是否是对数函数，要以下关注三点: 1. 对数符号前面的系数为1； 2. 对数的底数是不等于1的正常数； 3. 对数的真数仅有自变量x.
高中数学
学以致用
例 1 给出下列函数：
① y = log2 (3x - 2);
②y = 2 log0.3 x;
④ y = lg x;
⑤y
=
log (

人教版高一数学对数函数讲义

第五节、对数函数幂函数
一、基本概念
1．对数的概念一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的
对数，记作：
N
x a log =
a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式
说明：注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
x N N a a x
=⇔=log ；
思考：为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ；
是否是所有的实数都有对数呢？两个重要对数：
常用对数：以10为底的对N lg 数；
自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．
对数式与指数式的互化 x N a =log ⇔N a x = 对数式
⇔
指数式
对数底数 ← a → 幂底数对数 ← x → 指数真数 ← N → 幂
3．
对数的性质
对数的性质
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；
A. Q<T<P
B. T<Q<P
C. P<Q<T
D. P<T<Q X k
的定义域为
定义域为（
A. 2
B.
C.。