2016-2017数学人教a版高一必修4_1.4.3_正切函数的性质和图像_作业
高中数学必修四教案-1.4.3 正切函数的性质与图象(14)-人教A版
正切函数的性质与图像【教学目标】使学生掌握正切函数的图像和正切函数的性质,包括周期性、奇偶性、单调性、值域等,掌握正切函数的单调递增区间。
【教学重点】正切函数的性质。
【教学难点】正切函数的单调递增区间。
【教学过程】一、复习提问正弦函数、余弦函数的周期怎么求?是奇函数还是偶函数?值域呢? 二、新课1.周期性因为 tan (x +π)=tanx ,x ∈R ,x ≠ππk +2,k ∈Z所以,正切函数是周期函数,周期是π 2.奇偶性因为 tan (-x )=-tanx ,x ∈R ,x ≠ππk +2,k ∈Z所以,正切函数是奇函数。
3.单调性由正切线的变化规律,可知,正切函数在(-2π,2π)是增函数,又由正切函数的周期性,可知:正切函数在开区间(-ππk +2,ππk +2),k ∈Z 内都是增函数。
4.值域正切函数的值域是实数集R 。
5.正切函数的图像利用正切线作出正切函数的图像,正切曲线是被相互平行的直线x =ππk +2,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的。
6.应用例6.求函数y =tan (32ππ+x )的定义域、周期和单调区间。
解:函数的自变量x 应满足32ππ+x ≠ππk +2,k ∈Z即 x ≠312+k ,k ∈Z所以,函数的定义域为:{x| x ≠312+k ,k ∈Z }由于 f (x )=tan (32ππ+x )=tan (32ππ+x +π)=tan [3)2(2ππ++x ]=f (x +2)所以,函数的周期为2。
由-ππk +2<32ππ+x <ππk +2,k ∈Z ,解得352-k <x <312+k因此,函数的单调递增区间是(352-k ,312+k ),k ∈Z。
人教A版数学必修4第一章1.4.3 正切函数的性质和图象 教案
1.4.3正切函数的性质与图象一、教学目标:1、借助单位圆中的正切线,能画出y=tanx 的图象,了解正切函数的周期性;2、引导学生利用正切函数已有的知识研究其性质,然后再根据性质研究正切函数的图象,使数形结合的思想体现的更加全面。
3、借助图象理解正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的性质(如单调性、周期性、值域、图象与x 轴的交点等),并能解决一些简单问题。
二、教学重点、难点重点:通过引导学生利用正切函数已有的知识研究其性质,然后再根据性质研究正切函数的图象,学会用“三点两线法”画正切函数的简图。
难点:借助单位圆中的正切线,研究正切函数的单调性和值域,并利用正切函数的性质,对正切曲线的特征作出解释。
三、教学方法与教学手段教学方法:“问题发现”和启发探究式教学方法学法指导: 分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点教学手段: 计算机、投影仪四、教学过程(一)明确目标,提出问题复习1、正弦函数的图象是通过什么方法作出的?复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容?这些性质是怎样得到的?问题1:三角函数包括正、余弦函数和正切函数,你能否根据研究正、余弦函数的图象和性质的经验,以同样的方法进一步研究正切函数的性质与图象?(二)自主学习,解决问题复习3、我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出图中的正切线吗?思考1:正切函数是如何定义的? 其定义域是什么?思考2: 正切函数是否为周期函数?思考3:根据相关诱导公式,你能判断正切函数具有奇偶性吗?(三)合作学习,探究问题 思考4:观察下图(课本43页图1.4-8)中的正切线,当角x 在 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内增加时,正切函数值发生什么变化?由此反映出一个什么性质?思考5: 观察下图(课本43页图1.4-8(I )和(II ))中的正切线,正切函数的值域是什么?(四)引导提升,得出结论 思考1:类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数在区间(2π-,2π) 的图象,具体应如何操作?思考2:结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象?思考3:正切函数还具有怎样的对称性?思考4:在正切函数的图象上,起关键作用的点或直线有哪几个?如何画出正切函数图象的简图?(五)归纳整理,总结方法则y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T πω=. 例1.求下列函数的周期:(1)3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 答:T π=。
人教A版高中数学必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图象
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=Atan(ωx+φ)的周期公式为 T=ωπ.( × ) (2)正切函数在 R 上是单调递增函数.( × ) (3)正切函数是奇函数,原点是唯一的一个对称中心.( × )
2.下列说法正确的是( ) A.y=tan x 是增函数 B.y=tan x 在第一象限是增函数 C.y=tan x 在某一区间上是减函数 D.y=tan x 在区间kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)上是增函数
所以函数的定义域为
{x|x∈R 且 x≠kπ-π4,x≠kπ+π2,k∈Z}.
3-tan x>0 (2)要使 y=lg( 3-tan x)有意义,需使x≠kπ+π2k∈Z ,
所以函数的定义域是xkπ-π2<x<kπ+π3,k∈Z
.
求函数的定义域注意函数中分母不等于 0,真数大于 0,正切 函数中的 x≠kπ+π2,k∈Z 等问题.
tan2x+π2+π3,所以 fx+π2=f(x),所以周期为 T=π2. 答案:B
类型一 求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域:
(1)y=1+1tan
; x
(2)y=lg( 3-tan x).
【解析】
(1)要使函数
y=1+1tan
有意义, x
1+tan x≠0, 需使x≠kπ+π2k∈Z,
函数 y=tan x 的图象与性质 解析式
图象
y=tan x
定义域
值域 周期 奇偶性
单调性
x__x_≠__k_π_+_2π_,__k_∈__Z__ __R__ __π__
__奇__函_数___
在开区间__k_π_-__π2_,_k_π_+__2π__,_k_∈__Z_上都是增函数
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象教案 新人教A版必
正切函数的性质与图像一教材分析:《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容,本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展,是对三角函数内容的进一步完善,也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。
一般说来,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教材先根据已有的知识(正切函数定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角,加强了理性思考的成分,并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观,形少数难入微”的精妙,借助一切机会向学生渗透数学文化观念,让学生体会数学的美无处不在,数学无处不美。
为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化,正切曲线的作图过程,采用《几何画板》自制课件进行演示,以提高了学生的学习兴趣,使之能达到良好的教学效果。
二教学目标(一)知识与技能目标:1.在对正切函数已有认知的基础上,理解正切函数的性质。
2.通过已知的性质,利用正切线,得到正切曲线。
3.根据正切曲线,完善正切函数的性质。
(二)过程与方法目标:在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯.(三)情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉;强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透;突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成.三教学重点利用正切函数已有的知识(如定义、诱导公式、正切线等)研究性质.四教学难点正切函数的单调性和值域五学法与教法学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识;基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多,特别是涉及到正切线时,学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础,学习的主动性和积极性也较高,已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流,教法为探究与发现式。
高一下学期数学人教A版必修4第一章1.4.3 正切函数的性质与图象 教学设计
《正切函数的性质与图象》教学设计一、教材内容分析:1、教学内容人教版A版,数学必修4,第一章,1.4.3“正切函数的性质与图象”《普通高中课程标准实验教科书·数学 4 (必修)》第一章第四节第三课时内容2、教材分析:本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后,又一具体的三角函数.正切函数的性质和图象是对前面已学函数以及三角函数知识的深化运用。
教材紧扣课题,先探究正切函数的性质,再作图,这与前面对正弦函数、余弦函数的研究恰好相反。
本节课提出先推导函数性质,再作图,又由图形发现新性质,再理性反思的处理方式,这样既能在性质的指导下,可以更加有效地作图,数形结合相得益彰,又能给学生提供更多研究数学问题的视角。
二、学习者特征分析:学生已经学习了正切的定义、单位圆中的正切线、诱导公式、正弦函数的图象和性质等,具备了学习本节课的知识基础.并且在学习基本初等函数时,已然形成了稳定的函数研究模式,即先画图、再性质.选择恰当的方法和过程来研究正切函数的性质,对学生来说也是一种考验。
三、教学策略选择与设计:我们知道研究函数常见两种方式,第一种方式是先根据函数解析式作出整体的函数图象.通过观察图象获得对函数性质的直观感性的认识,然后再把直观想象的内容用代数的语言加以抽象概括,进一步加以推理证明。
这种研究过程体现的思维模式是由“直观想象”到“抽象概括”,研究方法是由“整体”到“局部”;第二种方式是先用代数的语言抽象概括出函数的局部性质,再根据性质画出函数的整体图象,这种研究过程体现的思维模式是由“抽象概括”到“直观想象”,研究方法是由“局部”到“整体”;前面主要研究了正余弦函数的图象和性质,我们的研究方法是先画出函数的图象,观察图象得到函数的性质.这节课研究正切函数过程中要体会另一种思维模式,先研究函数的一些局部的抽象的性质,再通过性质画出函数的整体的直观的图象.使学生的研究函数的思维模式从“直观到抽象、整体到局部”突破到“抽象到直观、局部到整体”,研究过程也从“先图象后性质”突破到“先性质后图象”,这也是今后研究一个不熟悉的函数时的常用方法。
人教新课标版数学高一- 人教A版必修4教案 1.4.3正切函数的性质与图象
河北武邑中学课堂教学设计备课人授课时间
课题 1.4.3正切函数的性质与图象
教学目标
知识与技能了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.过程与方法学习正切函数的性质与图象时,应类比正余弦函数研究方法情感态度价值观数形结合应用能力
重点准确地整体把握正切函数的图象,结合图象记忆正切函数的有关性质难点抓住正切函数的图象具有渐近线这一明显特征
教学设计
教学内容教学环节与活动设计一、y=tan x正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法,作正切函数y=tan x,
x∈⎝⎛⎭⎫
-
π
2,
π
2图象的步骤:
(1)建立平面直角坐标系,在x轴的负半轴上任取一点
O1,以O1为圆心作单位圆.
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份,并作出相应终边
的线.
(3)在x轴上,把⎝⎛⎭⎫
-
π
2,
π
2这一段分成8等份,依次确定
单位圆上7个分点在x轴上的位置.
(4)把角x的线向右平移,使它的起点与x轴上的
点x重合.
(5)用光滑的曲线
把正切线的终点
连接起来,就得到
y=tan x,
x∈⎝⎛⎭⎫
-
π
2,
π
2的图
象,
教学内容教学环节与活动设计。
高一数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
明目标、知重点
预习导学
挑战自我,点点落实
∴函数
1 π y=tan-2x+4 的单调递减区间是
π 3 2 k π - , 2 k π + π ,k∈Z. 2 2
明目标、知重点
预习导学
挑战自我,点点落实
挑战自我,点点落实
且 y=tan x
∴tan (2-π)<tan (3-π)<tan 1,
即tan 2<tan 3 <tan 1.
明目标、知重点
预习导学
挑战自我,点点落实
规律方法
正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法
一样,采用整体代入法,但要注意区间为开区间且只有单调 增区间或单调减区间.利用单调性比较大小要把角转化到同一 单调区间内.
即-1≤tan x<1.
π π - , 在 满足上述不等式的 2 2 内,
x
π π - , 的取值范围是 4 4,
明目标、知重点
预习导学
挑战自我,点点落实
又y=tan x的周期为π,
π π 所以函数的定义域是kπ-4,kπ+4 (k∈Z).
π π =kπ+2(k∈Z),x=kπ-2(k∈Z).
明目标、知重点
预习导学
挑战自我,点点落实
3. 根据相关诱导公式,你能判断正切函数是周期函数吗?其
最小正周期为多少?
答
由诱导公式tan(x+π)=tan x,可知正切函数是周期函数,
最小正周期是π.
4.根据相关诱导公式,你能判断正切函数具有奇偶性吗?
故 函 数
y = 3tan
人教A版数学必修4第一章1.4.3 正切函数的性质和图象课件(共23张PPT)
2
R
T=
奇函数
增区间 (k,k)k , Z
x
2 k
2
2
( k2π,0)பைடு நூலகம்
讨论:
§1.4.3正切函数的性质与图像
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么?
A
B
(-π 2+kπ,π 2+在kπ 每一)个,k开区Z间内都是增函数。
利用正切线画出函数 ytaxn,x, 的图像:
2 2
角 的终边 Y
T3
(3,tan3)
A
0
X
3
一:图像 §1.4.3正切函数的性质与图像
利用正切线画出函数 ytaxn,x, 的图像:
2 2 作法: (1) 等分:把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线 (3) 平移
3 8
, 4
,
8
C.
( ,0) 6
D. ( , 0 ) 4
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
例1、求函数y= tan2(x) 的定义域、周期
和单调区间
4
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
练习、求函数y= 期和单调区间
tan(
2
x
3
)
的定义域、周
例题分析
§1.4.3正切函数的性质与图像
例2、比较下列每组数的大小。
2
正切函数是奇函数.
§1.4.3正切函数的性质与图像
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
§1.4.3正切函数的性质与图像
函数 y sx i,x n 0 ,2图象的几何作法
高一数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图象
所以 tan
-
2π 5
<tan
-
π 4
,
即 tan - 12π <tan - 13π ,即 M>N.
5
4
案例探究 误区警示 思悟升华 类题试解
错解 错因剖析
选D
忽视①处正切函数的周期性,不能将-134������和-125������转化为同一单
调区间造成误选 D
续表
错解 错因剖析
选A
忽视②处正切函数的单调区间,认为-134������<-125������,从而误认为
572
2
∴tanπ5<tan37π,即 Q<P.
46
3
3
∴y=-tan
������ 4
-
π 6
在
-
4π 3
+
4������π,
8π 3
+
4������π
,k∈Z 内递减,此即为
原函数的单调递减区间.
案例探究 误区警示 思悟升华 类题试解
忽视正切函数的单调性致误
设 M=tan - 13π ,N=tan - 12π ,则 M 与 N 的大小关系为( )
近线.
一二
知识精要 典题例解 迁移应用
【例2】 求下列函数的定义域:
(1)y= 1 ;
1+tan ������
(2)y=lg( 3-tan x).
思路分析:写出使得函数有意义时所满足的条件,结合三角
函数的定义域求若干三角不等式的交集即可.
一二
知识精要 典题例解 迁移应用
解:(1)要使函数 y= 1 有意义,必须且只需
的图象的步骤
(1)作直角坐标系,并在y轴左侧作单位圆.
人教A高中数学必修4第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象
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∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1, 即 tan 2<tan 3<tan 1.
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1.求函数 y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω>0, 由于 y=tan x 在每一个单调区间上都是增函数, 故可用“整体代换” π π 的思想,令 kπ- <ωx+φ<kπ+ ,求得 x 的范围即可. 2 2 (2)若 ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+φ)转化为 y=Atan[-(-ωx-φ)] =-Atan(-ωx-φ),即把 x 的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求 得 x 的范围即可. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系.
π 3 得 2kπ- <x<2kπ+ π,k∈Z. 2 2 ∴函数 y=tan
1 π - x+ 的单调递减区间是 4 2
π 3 2kπ- ,2kπ+ π,k∈Z. 2 2
人教A版数学·必修4
(2)∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π), π π 又∵ <2<π,∴- <2-π<0. 2 2 π π ∵ <3<π,∴- <3-π<0, 2 2 π π 显然- <2-π<3-π<1< , 2 2 且 y=tan x
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1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象 教案(新人教A版必修4)
1.4.3 正切函数的性质与图象整体设计教学分析本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质?由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗?都研究函数的哪几个方面的性质?②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗?③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢?为什么?④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗? 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗?活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗?与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2πk ,0)k∈Z . (3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π-+k π,2π+k π),k∈Z 内都是增函数.(4)定义域根据正切函数的定义tan α=xy,显然,当角α的终边落在y 轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的;又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π+2π,k∈Z ,所以正切函数的定义域是{α|α≠k π+2π,k∈Z },而不是{α≠2π+2k π,k∈Z },这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x 大于2π-且无限接近2π-时,正切线AT 向Oy 轴的负方向无限延伸;当x 小于2π且无限接近2π时,正切线AT 向Oy 轴的正方向无限延伸.因此,tanx 在(2π-,2π)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值. 因此,正切函数的值域是实数集R .问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢?教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了[0,π]作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出[-2π,2π]内的图象,改为先作出[0,π]内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-2π,2π)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠2π+k π(k∈Z )的图象,我们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4π-,-1),(0,0),(4π,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(4π-,-1),(0,0),(4π,1),再画两条平行线x=2π-,x=2π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法. 提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. ②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗?请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=2π+k π,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域;并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线;从y 轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R ;每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2π-+k π,2π+k π),k∈Z ,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(2πk ,0),k∈Z . 问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性. 讨论结果:①略. ②略. 应用示例例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°;(2)tan(413π-)与tan(517π-). 活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx 在90°<x<180°上为增函数, ∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)∵tan(413π-)=-tan 413π=-tan(3π+4π)=-tan 4π, tan(517π-)=-tan 517π=-tan(3π+52π)=-tan 52π.又0<4π<52π<2π,而y=tanx 在(0, 2π)上是增函数, ∴tan 4π<tan 52π.∴-tan 4π>-tan 52π,即tan(413π-)>tan(517π-).点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=3tan -的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4 图5解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用图4知,所求定义域为[k π+3π,k π+2π)(k∈Z ). 点评:先在一个周期内得出x 的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种. 变式训练根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x 的集合. (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3<0. 解:(1)tanx≥-1,∴x∈[k π-4π,k π+2π),k∈Z ; (2)x∈[k π-2π,k π-3π),k∈Z .例3 求函数y=tan(2πx+3π)的定义域、周期和单调区间.活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将2πx+3π作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域. 解:函数的自变量x 应满足2πx+3π≠k π+2π,k∈Z , 即x≠2k +31,k∈Z . 所以函数的定义域是{x|x≠2k+31,k∈Z }. 由于f(x)=tan(2πx+3π)=tan(2πx+3π+π)=tan[2π(x+2)+ 3π]=f(x+2), 因此,函数的周期为2. 由-2π+k π<2πx+3π<2π+k π,k∈Z ,解得35-+2k<x<31+2k,k∈Z .因此,函数的单调递增区间是(35-+2k,31+2k ),k∈Z .点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=ωπ. 变式训练求函数y=tan(x+4π)的定义域,值域,单调区间,周期性. 解:由x+4π≠k π+2π,k∈Z 可知,定义域为{x|x∈R 且x≠k π+4π,k∈Z }.值域为R .由x+4π∈(k π-2π,k π+2π),k∈Z 可得,在x∈(k π-43π,k π+4π)上是增函数. 周期是π,也可看作由y=tanx 的图象向左平移4π个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx 的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y=tanx 是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx 是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.图6 解法一:∵函数y=tanx 在区间(2π,23π)上是单调递增函数, 且tan1=tan(π+1),又2π<2<3<4<π+1<23π,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1,AT 2,AT 3,AT 4, ∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的. 知能训练课本本节练习1—5. 解答:1.在x 轴上任取一点O 1,以O 1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x 轴的直径,将⊙O 1分成左右两个半圆,过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线,然后从圆心O 1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于83π-,4π-,8π-,0,8π,4π,83π等角的正切线.相应地,再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动,使它的起点与x 轴上的点x 重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的图象. 点评:可类比正弦函数图象的作法. 2.(1){x|k π<x<2π+k π,k∈Z };(2){x|x=k π,k∈Z };(3){x|2π-+k π<x<k π,k∈Z }.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. 3.x≠6π+3πk ,k∈Z . 点评:可用换元法. 4.(1)2π;(2)2π. 点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R 的周期T=ωπ得解. 5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tan π=0.(2)不会.因为对于任何区间A 来说,如果A 不含有2π+k π(k∈Z )这样的数,那么函数y=tanx,x∈A 是增函数;如果A 至少含有一个2π+k π(k∈Z )这样的数,那么在直线x=2π+k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性. 课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义? 作业课本习题1.4 A 组6、8、9.。
高中数学人教A版必修4第一章1.4.3正切函数的性质与图像课件
目标: 1.了解正切函数图像的几何画法; 2.掌握正切函数的性质; 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点:正切函数的图像及性质
探究1:正切函数的性质
思考1:正切函数的定义域是什么?
思考2:根据相关诱导公式,你能判断正切函数是周期函数吗?
探究2:正切函数的图像
目标: 1.了解正切函数图像的几何画法; 2.掌握正切函数的性质; 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点:正切函数的图像及性质
正切函数的性质:
1.定义域: 2.值域: 3.单调性: 4.奇偶性:奇函数 5.周期性: 6.对称性:
1
思考:如何画出正切函数在其他区间上的图像?
可以利用正切函数的周期性
探究3:正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像,得到正切函数的以下性质:
1.定义域: 2.值域: 3.单调性:
思考:正切函数在整个定义域上是增函数吗?为什么?
观察正切函数的图像,得到正切 函数的以下性质:
1.定义域: 2.值域: 3.单调性: 4.奇偶性:奇函数 5.周期性: 6.对称性:
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4
【解析】1.因为sin x∈[-1,1],所以y=tan(sin x)的定义
域为R,值域为[tan(-1),tan 1].
答案(dá àn):R [tan(-1),tan 1]
2.y=(tan x-1)2+2,由于tan x∈R,所以当tan x=1时,函数
取最小值2.
答案(dá àn):2
x 5由,于φ k 5 .
φ 0,
2 故当k=1时,得
φ
由 3x k 得,k
18
26
2
故3Z函,,数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析,n式skhf为ùZx),的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为,Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ,k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴,其对称轴是
()
第五页,共44页。
提示:(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k ),k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又),
1 3 1 ,
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页,共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
数学人教A版必修4 1.4.3 正切函数的性质和图像 作业 Word版含解析
[.基础达标].函数=(+)的定义域是( ).{≠π+,∈}.{≠π-,∈}.{≠π+,∈}.{≠π,∈}解析:选.由+≠π+(∈),得≠π+(∈)..()=-(+)的单调区间是( ).(π-,π+),∈.(π,(+)π),∈.(π-,π+),∈.(π-,π+),∈解析:选.令-+π<+<+π,∈,解得-+π<<+π,∈.所以函数()的单调减区间为(π-,π+),∈..函数()=ω(ω>)的图象上的相邻两支曲线截直线=所得的线段长为,则ω的值是()....解析:选.由题意可得()的周期为,则=,∴ω=..在下列给出的函数中,以π为周期且在(,)内是增函数的是( ).=.=.=(-).=(+)解析:选.由函数周期为π可排除.当∈(,)时,∈(,π),+∈(,π),此时、中函数均不是增函数.故选..函数=的图象的一个对称中心是( ).()解析:选.因为=的图象的对称中心为,∈.由+=,∈,得=π-,∈,所以函数=的图象的对称中心是,∈,令=,得..在(π)内,使>成立的的取值范围为.解析:利用图象=位于=上方的部分对应的的取值范围可知.答案:(,)∪(π,π).-与(-)的大小关系是.解析:-=-,(-)=-=-.∵<<<<π,∴>,<,∴-<-,即-<(-).答案:-<(-).=满足下列哪些条件(填序号).①在(,)上单调递增;②为奇函数;③以π为最小正周期;④定义域为{≠+,∈}.解析:令∈(,),则∈(,),所以=在(,)上单调递增正确;(-)=-,故=为奇函数;==π,所以③不正确;由≠+π,∈,得{≠π+π,∈},所以④不正确.答案:①②.求函数=的定义域、值域和周期,并作出它在区间[-π,π]内的图象.解:定义域为;值域为(-∞,+∞);周期为;对应图象如图所示:.若函数()=(ω-)(ω<)的最小正周期为π,求()的单调区间.解:因为()=(ω-)(ω<)的最小正周期为π,所以=π,所以ω=.又因为ω<,所以ω=-.即()=(--)=-(+).由π-<+<π+(∈),得π-π<<π+(∈).所以函数()的单调减区间为(π-π,π+)(∈).[.能力提升].函数()=的定义域是( )(∈)(∈)(∈)(∈)解析:选()有意义时,(\\(≥>)),∴≥,解得π+≤<π+(∈),∴()的定义域为(∈)..已知函数=ω在(-,)内是减函数,则( ).-≤ω<.<ω≤.ω≤-.ω≥解析:选.∵=ω在(-,)内是减函数,∴ω<且=≥π.∴ω≤,即-≤ω<..使函数=与=同时单调递增的区间是.解析:由=与=的图象(图略)知,同时单调递增的区间为(∈)和(∈).答案:(∈)和(∈).函数=+--在区间(,)内的图象是如图中的.解析:函数=+--=(\\(,(π)<≤π,,π<<()π.))答案:④.函数()=(+φ)图象的一个对称中心是,其中<φ<,试求函数()的单调区间.。
2016-2017学年高中数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图像
[提出问题] 问题 1:你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样 画吗? 提示:过单位圆与 x 正半轴的交点 A,作垂直于 x 轴的 直线,交角的终边或其反向延长线于点 T,则有向线段 AT 即 为该角的正切线. 问题 2:仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能根据 正切线作出正切曲线吗? 提示:能.
[化解疑难] 细解正切函数的性质 (1)正切函数 y=tan x 的定义域是xx∈R且x≠π2+kπ,k∈Z , 值域是全体实数. (2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π.一般地,函数 y= Atan(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的最小正周期是 T=ωπ.若不知 ω 正 负,则该函数的最小正周期为 T=|ωπ|. (3)正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是递增 的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间.
图象大致为
()
答案:C
第二十四页,编辑于星期五:十六点 七分。
2.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是 ()
答案:D
第二十五页,编辑于星期五:十六点 七分。
3.函数 y=2cxo-s 26-xx的图象大致为
()
答案:D
第二十六页,编辑于星期五:十六点 七分。
[随堂即时演练]
第二页,编辑于星期五:十六点 七分。
[导入新知] 正切函数的性质 函数
y=tan x
定义域 值域
xx≠kπ+π2,k∈Z R
第三页,编辑于星期五:十六点 七分。
函数 周期
y=tan x T=π
奇偶性
奇函数
单调性 在每个开区间 kπ-π2,kπ+π2(k∈Z) 上都是 增函数
人教A版数学必修四教案:1.4.3正切函数的性质与图象
1.4.3正切函数的性质与图象教学目标:1、知识与技能:(1)用单位圆中的正切线作正切函数的图象; (2)用正切函数图象解决函数有关的性质; 2、过程与方法:(1)理解并掌握作正切函数图象的方法;(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法,培养学生分析问题,解决问题的能力,培养学生数形结合的思想方法。
(3)培养学生类比,归纳的数学思想方法 3、情态与价值:培养认真学习的精神。
教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。
教学过程:一、复习引入:问题:1、正弦曲线是怎样画的? 2、练习:画出下列各角的正切线:.下面我们来作正切函数的图象.二、讲解新课:1.正切函数tan y x =的定义域是什么? ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ2.正切函数是不是周期函数?()t a n t a n ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈⎪⎝⎭且,∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作tan y x =,x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象 说明:(1)正切函数的最小正周期不能比π小,正切函数的最小正周期是π;(2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数R x xy ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称“正切曲线”。
(3)正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ; (2)值域:R 观察:当x 从小于()z k k ∈+2ππ,2π+π−→−k x 时,tan x −−→+∞当x 从大于(k k ∈+ππ2,πx −→−2时,-∞−→−x tan 。
人教A版数学必修4第一章1.4.3 正切函数的性质和图象教案 (1)
1.4.3正切函数的性质与图象教学目的:知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象;2.用正切函数图象解决函数有关的性质;能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法;2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法;德育目标:培养认真学习的精神;教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。
授课类型:新授课教学模式: 启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、投影仪 教学过程: 【复习引入】问题:正弦曲线是怎样画的?正切线如何画? 下面我们来研究正切函数的性质和图象. 【讲解新课】1.正切函数tan y x =的定义域定义域: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ 2.正切函数tan y x =的奇偶性由()x x tan tan -=-知,正切函数是奇函数;3.正切函数是不是周期函数?()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭Q 且, ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作tan y x =,x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象4.作正切曲线tan y x =的图象(1)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数R x x y ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称“正切曲线”。
(2)正切函数的最小正周期是π;(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4.正切函数的单调性 引导学生观察,共同获得: (1)观察:当x 从小于()z k k ∈+2ππ,2π+π−→−k x 时,tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2,ππk x +−→−2时,-∞−→−x tan 。
(2)单调性:在开区间,()22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内,函数单调递增。
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2
4 .在下列给出的函数中,以 n
n 为周期且在(0,刁内是增函数的是(
x
A . y = sin 3
n
C . y = sin(2x + 4)
B . y = cos 2x
解析:选D.由函数周期为 n
D . y = tan(x — 4)
n 可排除A.当x € (0,空时,2x € (0, n ,2x +亍€
7t
5
4冗,此时B 、C 中函数
均不是增函数.故选 D.
5.函数y = 3tan ]+ 3的图象的一个对称中心是(
)
A i'n 「
B 廿
A. 6, 0
B.
3 ,—
C. 一 D . (0,0)
选C.因为y =tan x 的图象的对称中心为
:,0, k € Z .
由2乂+ 3= k n ,k € Z ,得x = k n —于,k € Z ,所以函数y = 3tangx +事的图象的对称中心是
解析:
训练案一知能提升
[A.基础达标]
n
1 .函数y = 3tan(2x + 4)的定义域是( )
A . {x|x M k n+ 2, k € Z } k 3 n .
B . {x|x M 2 n- 8,k € Z } k n 「厂”
C . {x|x M 2 兀+ 8,k € Z }
k
D . {X |X M 2% k € Z }
n
n
1
n
解析:选 C.由 2x +-^ k n+n (k € Z ),得 X M -k n+n
(k € Z ).
4
2
2 o
n
2. f(x) = — tan(x + 4)的单调区间是( )
A . (k n — ^,k n+ p, k € Z
B . (k n (k + 1) n,) k € Z
3 n n
C . (k n — —, k n+ 4), k € Z
n . , 3 n
D . (k n — 4, k n+ -), k € Z
解析:选 C.令一扌+ k nv x + n
<才+ k n k € Z ,
解得一"+ k n<x < n
+ k n k € Z .
4 4
所以函数f(x)的单调减区间为(k n — 3j n
,k n+ 4), k € Z .
n
3. 函数f(x) = tan 3乂3>0)的图象上的相邻两支曲线截直线 y = 1所得的线段长为4,贝卩®的值是( )
A . 1
B . 2
C . 4
D . 8
解析:选C .由题意可得f(x)的周期为n ,则-=n
4
3 4 3= 4.
活学巧练跟踪验证
k€ Z,令k= 0,得—#, 0 .
6. 在(0,2 内,使tan x>1成立的x的取值范围为__ 解析:利用图象y=tan x位于y= 1上方的部分对应的答案:
x的取值范围可知.
(4 2)U(4n 2冗)
7. - tan 652与tan(—劭的大小关系是解析:一tan^=—tan£
5 5
13 n 13 n - 3 n
tan(——)=—tan 丁 =—tan^.
_ n n 3 n
■/ 0 v—v —v —v n
5 2 5
n 3 n
••• tan一>0, tan v 0,
5 5
n 3 n
-•—tan^v —tan-5,
即一tan 65^ tan(—詈刁. 答案:一tan 号v tan(—弓弓
5 5
& y=tan?满足下列哪些条件__________ (填序号).
n
①在(0, n上单调递增;
②为奇函数;
③以n为最小正周期;
④定义域为{X|X M:+ k n,k€ Z}.
n X n X n xxx 解析:令x€ (0 , 2),则2C(0,4),所以y=tan?在(0 , ?)上单调递增正确;tan( —?) = —tan?,故y=tan2
为奇函数;T =n= 2n,所以③不正确;由务n+ k n k€ z,得{X|X工冗+ 2k n k€ Z},所以④不正确. co 2 2答案:①②
9•求函数y= tan 2X的定义域、值域和周期,并作出它在区间[—n, n内的图象.
解:定义域为x€ R X M n+ k r,k€ Z ;
n
值域为(—g, +s);周期为2;
对应图象如图所示:
10.若函数f(x) = 2tan(ox—0)的最小正周期为2 n求f(x)的单调区间.
n n 1
解:因为f(x)= 2tan(ox—;)(ov 0)的最小正周期为2 n所以厂=2 n,所以.
3 | o| 2
又因为oV 0,所以3=—
1
即 f(x) = 2tan( — 1x -》=-2tan(1x +》- 由 k n — n 2x +n k 计敖 € Z ), 5 冗
得 2k n — 3 n X V 2k n+ §(k € Z ). 所以函数f(x)的单调减区间为 5 n (2k n — 3 n 2k n+ §)(k € Z ).
n . , n ■, D. k n — 4, k n+ (k € Z )
n n
2.
已知函数y = tan 在(—》内是减函数,贝U ( )
A . 0 v coW 1
B . — 1 W w v 0
D . wW — 1
n n
解析:选B. ••• y = tan wx 在(—?, ?内是减函数, • - wV 0 且 T = ~n> n. • - | w|W 1,即—1 W w V 0.
3. ______________________________________________________ 使函数y = 2tan x 与y = cos x 同时单调递增的区间是 ________________________________ 解析:由y = 2tan x 与y = cos x 的图象(图略)知, 同时单调递增的区间为
[2k n- n 2k n (k € Z )和 gk n+ n 2k n+ € Z ). 答案:gk n — n ,2k n 《k € Z )和 卄 n 2k n+ 宁侬€ Z )
n 3 n
|tan x — sin x|在区间(?, "p 内的图象是如图中的
解析: 函数 y = tanx + sin x — |tanx — sin x|
冗 2 v x W
n, 3
nV x V 2 n.
答案:④
[B.能力提升]
1 .函数f(x)= , lg tan x 的定义域是(
n
A. k n+ T , k n + n (k € Z ) k 计n (k € Z ) C.|k n, k n+ n)k€ Z )
7t
(4)
( n B. k n — 2,
解析:选A.f(x)有意义时,
tan x > 0 tan x > 0
'
. n
冗 ••• tan x > 1,解得 k n+ 4W x v k n+ 2(k € Z ), .............. - n 2 • f(x)的定义域为 k n+ 4, k n+ n)k € Z ).
4 .函数 y = tan x + sin x —
2ta n x ,
2si n x ,
① ② ③ ④
5. 函数f(x) = tan(3x +妨图象的一个对称中心是 解:由于函数y =tan x 的对称中心为涉,0 , 其中k € Z . 故令 3x + 0= € Z ),
其中x = n
,
4 k n 3 n
即片 2 — "4(k € Z ). 由于 Ov (j )v n
所以当k =2时,°=n 故函数解析式为f(x) = tan 3x +才.
由于正切函数 y = tan x 在区间[k —扌,k n+才仏€ Z )上为增函数. 则令 k n — n
v
3x + 4< k n+ 扌,k € Z ,
解得 3 — 4v x v 丁 + 12,k € Z , 4,于+盘),k €
乙
6.
(选做
题)已知 f (x )= x 2 + 2x t a n 0— 1, x €
[ — 1,”! 3],其中
(
—才,
才).
(1) 当0=—訥寸,求函数f(x)的最大值与最小值; ⑵求0的取值范围,且使 y = f(x)在区间[—1, 3]上是单调函数.
解: (1)当 0= — 6时,f(x)= x 2— ;3x — 1 =(X -于)2 — 4
, x €
[ — 1, 3,
所以当X =于时,f(x)的最小值为一3 , 当x =— 1时,f(x)的最大值为^^3.
3
(2) 因为 f(x) = x 2 + 2x tan 0— 1 = (x + tan 0)2— 1 — tan 2 0, 所以原函数的图象的对称轴方程为 x =— tan 0.
因为y = f(x)在[—1, 3]上是单调函数,
所以—tan 0^ — 1 或—tan 0=^ 3,
即 tan 0> 1 或 tan (X — . 3,
jn yn
所以 4 + k nX 0v 2+ k n 或一~ + k nV 0X — 3 + k n, k € Z .
4 2 2 3 又 0€ (—n n , 所以0的取值范围是(一n — n u 【n n .
n ,0],其中O v 0v n ,试求函数
f(x)的单调区间.
故函数的单调增区间为。