北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点

知识点一：认识一元一次方程

（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程.

（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）

（二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】

1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .

2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 .

3、当m= 时；关于x 的方程5)3(7

2

=---x x m m

是一元二次方程.

4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0

23

2057

x +-=

知识点二：求解一元一次方程

（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】

例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1

2

（二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1；

③把常数项移到方程的右边；

④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】

例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）

A ．（x+4）2=17

B ．（x+4）2=15

C ．（x-4）2=17

D ．（x-4）2=15

例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36

B ．（x-6）2=4+36

C ．（x-3）2=-4+9

D ．（x-3）2=4+9

例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=0

2.

公式法x =

（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）

【例题】

例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1

B ．a≤4

C ．a≤1

D ．a≥1

例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．两个根都是自然数

D ．无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．

（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根．

3.分解因式法 把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】

例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2

例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是

例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0

知识点三：一元二次方程的根与系数的关系

1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x a

a

+=-⋅=

. 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根；

（2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式：

①22

2121212()2x x x x x x +=+- ②

12

1212

11x x x x x x ++=

③22121212()()4x x x x x x -=+-

④12||x x - ⑤2212121212(||||)()22||x x x x x x x x +=+-+

⑥33

312121212()3()x x x x x x x x +=+-+ ⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式.

（3）已知方程的两根x1、x2；可以构造一元二次方程：1

2212()0x x x x x x -++=

（4）已知两数x1、x2的和与积；求此两数的问题；可以转化为求一元二次方程1

2212()0x x x x x x -++=

的根 【例题】 例11 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．

（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根．

例12 已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0．

（1）若方程有实数根；求实数m 的取值范围； （2）若方程两实数根为x 1；x 2；且满足5x 1+2x 2=2；求实数m 的值．

知识点四：应用一元一次方程

在利用方程来解应用题时；主要分为两步：

①设未知数（在设未知数时；大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）； ②寻找等量关系（一般地；题目中会含有一表述等量关系的句子；只须找到此句话即可根据其列出方程）. 【例题】

例13 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地；它的长比宽多11米；设场地的宽为x 米；则可列方程为（ ） A ．x （x-11）=180

B ．2x+2（x-11）=180

C ．x （x+11）=180

D ．2x+2（x+11）=180

例14 某商品现在的售价为每件60元；每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元；每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元；在顾客得实惠的前提下；商家还想获得6080元的利润；应将销售单价定位多少元？

经典习题练题平台：（请认真审题；我一定行！） 一、填空题：

1.已知两个数的差等于4；积等于45.则这两个数为 和 .

2.当m 时；方程（m 2-1）x 2-mx+5=0不是一元二次方程.当当m 时；上述方程是一元二次方程.

3.用配方法解方程x 2-4x-6=0；则x 2-4x+ =6+ .所以x 1= ；x 2= .

4.如果x 2-2（m+1）x+4是一个完全平方式；则m= .

5.当 ≥0时；一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为 .

6.如果x 1、x 2是方程2x 2-3x-6=0.那么x 1+x 2= ；x 1x 2= .

7.若方程x 2-3x+m=0有两个相等的实数根.则m= ；两根分别为 .

8.若方程kx 2-9x+8=0的一个根为1；则k= ；另一个根为 .

9.以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 .

10.关于x 的一元二次方程mx 2+x+m 2+3m=0有一个根为零；则m 的值等于 . 二、选择题：

1.下列方程中；一元二次方程是（ ）

（A ）.

（B ） ax 2+bx （C ）（x-1）（x+3）=1 （D ）3x 2-2xy-5y 2=0

2.方程（2x+3）（x-1）=1的解的情况是（ ）

（A ）有两个不相等实数根 （B ）没有实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个实数根 3.如果一元二次方程x 2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数；那么有（ ） （A ）m=0 (B) m=-1 (C ) m=1 (D)以上结论都不对

2

1

2x x +