低维系统中的电子态

低维系统中的电子态

1 低维系统结构简介

半导体材料是电子、信息和通讯工业的载体，在国民经济中占有重要地位。在半导体材料中可以将低维量子结构简单的分为量子阱、量子线、量子点三类。在一般块体材料中，电子的波长远远小于材料的尺寸，因此量子局限效应不显著。如果将一个维度的尺寸缩小到小于一个波长，此时电子只能在另外两个维度所构成的二维空间中自由运动，这样的系统我们称为量子阱;如果我们再将另外一个维度缩小到小于一个波长，则电子只能在一个维度上自由运动，我们称为量子线;当三个维度的尺寸都缩小到一个波长以下时，就成为量子点了。当材料的直径与它的德布罗意波长相当时，导带与价带进一步分裂，能隙将随着直径的减小而增大，各种量子效应、非定域量子相干效应、量子涨落和混沌、光生伏特效应与非线性光学效应等都会表现得越来越明显，这必将从更深层次上揭示低温材料所特有的新现象。低维半导体量子结构材料是一种人工设计、制造的新型半导体材料，代表着目前半导体科学技术发展的主流方向，在未来的纳电子学、光电子学、光子学和新一代VLSI以及光电集成、光集成等方面有极其重要的应用背景，可能引发新的技术革命。世界各发达国家都给予高度重视，目前，低维量子结构己成为整个半导体科学技术及相关学科范围中最活跃、投入最多、成果最丰富、进展最快的领域之一。

在人工微结构中(包括量子阱，量子线和量子点)，电子的运动是由有效势控制的。有效势在一、二或三个方向上对电子加以限制。这些限制将带来明显的量子效应。由于大多数物理性质都是由费米面处的电子所决定，故可以设想费米波长就相当于这个特征尺寸，我们现在以费米波长为依据定义低微纳米结构。

考虑有限尺度的自由电子气系统而略去正电荷背景和离子的晶格结构。在这种情况下，电子是相互独立的，单电子的薛定谔方程为：

假定系统是一个长方体并具有周期性的边界条件，且其长、宽、高分别为Lx，Ly、Lz。电子的波函数是平面波

本征能量为：

这里是电子的波矢量，由它所构成的空间称为电子的相空间或k空间。如图(l.1)一个最简单的长方体金属导体。电子的动量p可表示为p=。根据周期性边界条件，波矢量的取值为：

图 l.1 一个最简单的长方体金属导体

这里n x，n y，n z，是整数，每组{n x，n y，n z}表示电子的一个动量本征态。由上式可以看出单位体积内的状态数是:

为简单起见，我们取Lx=Ly=Lz=L，这里d用来表示系统的维数。对于上面情况d=3。每一个由波矢量表示的本征态，可以被两个电子占据，在绝对零度时，电子首先占据能量最低的本征态，被占据的最高的本征态的波矢量称为费米波矢量，用表示。由费米波矢量所定义的相体积的表面或边界称为费米面。表征介观系统的一个重要的特征长度是电子的费米波长。当系统的尺度接近费米波长时，量子涨落非常强;当尺度远大于费米波长时，粒子的量子涨落相对

比较弱，它的量子相干性很容易被破坏。根据电子的费米波长，我们可以定义系统的有效维数:当在一个方向上的尺寸接近电子的费米波长时，即:Lx≈时，这就是二维介观系统，也就是量子阱 (Quantum Well);当在两个方向上的尺寸接近电子的费米波长时即:Lx ,Ly≈时，这就是一维介观系统，也就是量子线

(Quantum Wire);当在三个方向上的尺寸都接近电子的费米波长时即: Lx ,Ly,Lz ≈时，

这就是零维介观系统，也就是量子点 (Quantum Dot)，换句话说:介观体系内的载流子(电子、空穴)在三个方向的运动都受到限制，载流子只能占据类似原子的分离能级状态，在任何方向上都不能自由运动，这种具有零维结构的介观体系就称为量子点。

2低维量子系统的输运现象及物理特性

在低维量子系统中，电子的运动受到一定的限制，当系统的尺寸小到与电子的相位相干长度可比拟时(这类系统即为介观系统)，电子的量子相干性就变得很重要，必须用量子力学的基本原理来研究和处理这些电子的输运问题。本节主要介绍介观物理中的一些与电子输运有关的基本概念、原理、现象和效应。

2.1 介观系统特征长度的基本概念

费米波长:费米波长寿是表征介观系统的一个重要的特征长度，。当系统的尺度接近费米波长时，量子涨落非常强;当系统尺度远大

于费米波长时，

粒子的量子涨落相对较弱，它的量子相干性很容易受到破坏。

平均自由程：在外场作用下，系统的载流子(以后都看作是具有有效质量的电子，或称为导带电子)的运动由Boltzmann运动方程决定，其中引入了一个重要的特征长度一平均自由程。在非常低的温度下，系统的输运性质主要由费

米面附近的电子所决定，因此电子的平均自由程为l=，这里是驰豫时间

(relaxation time)。它的物理意义是处于某个动量本征态的电子的平均寿命，即处在某一动量本征态的电子在被散射到另一动量本征态前所停留的平均时间。平均自由程指的是电子的初始动量破坏之前电子行进的距离。

相位相干长度：它是保持波列具有相干性的空间传播的长度，等价于有相位

破坏时间决定的扩散长度。

弹性散射和非弹性散射：弹性散射和非弹性散射对导带电子的影响有其本质上的区别。弹性散射不改变电子的能量，只是使它从一个动量本征态散射到另一个动量本征态。弹性散射是电子与静态的杂质的散射，这种散射所导致的电子的波函数相位的改变不随时间变化，多次散射后初态与末态的相位差是每一

次散射所导致的相位的改变的累加，这通常称为相位“记忆”。这种记忆具有时间反演对称性。原则上，弹性散射不破坏电子的相干性，但是对实际系统，存在大量的散射路径，而总的相位的累加会远远大于2π导致电子的相干性消失。

非弹性散射是一种动力学散射，散射前后电子的能量改变，即电子从一个能量本征态散射到另一个能量本征态。非弹性散射是电子与其它具有动力学自由度的散射体的一类散射，如由于库仑相互作用导致的与其它电子的散射、与声子的散射和与具有内部自由度的杂质的散射等。这种散射所导致的电子波函数相位的改变是随时间无规变化的，因此电子的相干性经过多次散射后消失。这就是弹性散射和非弹性散射的本质区别。

2.2 弹道输运和库伦阻塞

弹道输运：如果一个介观导体样品，其尺度小于载流子的平均自由程，在载流子的输运过程中很可能就不会受到散射而通过样品。这种样品中的输运就不是扩散输运，而被称为弹道输运。

对于一个金属细导线，如果其横截面的直径远小于电子弹性散射的平均自由程l，则电子的传播在细导线的横向受到限制而能量分立，形成一系列的子能带，每一个子能带表示电子纵向传播的一个通道。当金属细导线的长度L满足条件

l

库伦阻塞：根据量子力学的基本原理，我们知道电子具有波粒二象性。介观物理最初主要是研究由于电子的量子相干而导致的各种物理现象，如弱局域化电导，负磁阻，普适电导涨落和正常金属环中的持续电流等。而电子的粒子性，如所带电荷是分立的，具有自旋为1/2的自由度，也会导致很多新的物理现象。例如对于一个小的，由两个金属电极中间夹一个很薄的绝缘层形成的隧道结

如图 1.2所示。