第一章 2综合法与分析法最新衡水中学自用精品教学与导学设计

明目标、知重点

1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．

2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．

1．综合法的含义

从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．

2．分析法的含义

从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法．

[情境导学]

证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．

探究点一综合法

思考1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？

已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.

又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.

因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

小结此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，

经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？

答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．

例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．

证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ，①

由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，

所以A ＋B ＋C ＝π.②

由①②，得B ＝π3

，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④

由余弦定理及③，

可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，

再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，

从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤

由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3

， 所以△ABC 为等边三角形．

反思与感悟 综合法的证明步骤如下：

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；

(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．

跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C

，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知条件得

sin B sin C ＝cos B cos C

. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，

即sin(B －C )＝0，因为－π

从而B －C ＝0，所以B ＝C .

探究点二 分析法

思考1 回顾一下：基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，