PDF4连续傅氏级数070318

=0 〈 cos k1ω1t , cos k 2ω1t 〉 = ∫
t 0 +T1 t0
cos k1ω1t cos k 2ω1tdt k1 ≠ k 2 k1 = k 2
（4－38）
⎧0 =⎨ ⎩T1 / 2 〈sin k1ω1t , sin k 2ω1t 〉 = ∫
t 0 +T1 t0+T1
t0
e jk1ω1t (e jk 2ω1t ) ∗ dt k1 ≠ k 2 k1 = k 2
（4－40）
⎧0 =⎨ ⎩T1
k1 , k 2 = L,−3,−2,−1,0,1,2,3, L
因此，此复指数函数集在基本周期区间 (t 0 , t 0 + T1 ) 也是正交函数集，并且当 k = ∞ 时也是完备正交函数集。 4.2.2 三角函数形式和复指数形式的傅立叶级数
φi (t ) ≈ cφ j (t )
其中 c 为常数，那么所产生的差函数为 φ i (t ) − cφ j (t ) ，定义均方误差
（4－19）
ε2 =
1 t 2 − t1
∫ [φ (t ) − cφ
t2 t1 i
j
(t )] dt
2
（4－20）
选择常数 c ，使得均方误差 ε 最小，令
2
dε 2 =0 dc
的分量。 可以推得，误差向量 w 最小时，系数 c 满足关系
如果用 图 4－1 所示是二维向量空间， 有向量 u 和 v ，
v
v
v u v w
θ uv
v cv
v v
图 4－1 向量投影
v
vv u v cos θ uv c= （4－3） v2 v v v 其中 θ uv 为 u 和 v 两向量的夹角。采用向量内积表示，有 v v vv 〈 u , v 〉 = u v cos θ uv （4－4） v v vv v2 〈 v , v 〉 = v v cos θ vv = v （4－5） v v u, v c= v v （4－6） v, v v v 当 u 和 v 垂直时，则有 v v vv 〈 u , v 〉 = u v cos θ uv = 0 （4－7）
在正交分解情况下，向量与其分解向量存在关系
v2 v2 v2 v2 r = cx x + c y y + cz z
意 k 维向量空间。 4.1.2 正交函数
（4－18）
以上以三维向量空间为例，直观地说明了向量正交分解的过程，此向量正交分解的原理可以推广到任
设在 (t1 , t 2 ) 区间有两个函数 φ i (t ) 和 φ j (t ) ，借助向量空间的概念，可把这两个函数看作为一个函数空 间的两个元素。如果在 (t1 , t 2 ) 区间用函数 cφ j (t ) 近似地表示 φ i (t )
∗
c=
〈φ i (t ), φ j (t )〉 〈φ j (t ), φ j (t )〉
（4－25）
当 〈φ i (t ), φ j (t )〉 = 0 时，则 c = 0 ，此时称 φ i (t ) 在 φ j (t ) 上的投影为零，或称 φ i (t ) 不包含在 φ j (t ) 方向上的 分量，或称 φ i (t ) 和 φ j (t ) 正交。函数内积描述了两个函数在给定区间的相似性，当两个函数在给定区间正 交时，它们的内积为零。 现在讨论正交函数集。设有一组函数 φ1 (t ) ，φ 2 (t ) ，…，φ N (t ) ，把这组函数看作一个函数空间的 N 个 元素。如果此组函数在给定 (t1 , t 2 ) 区间满足：任意两个不同元素的内积为零；任一元素与自身的内积为一 有限常数，即
v z
v Cz
v r
v Ax
v x
v y
v By
图 4－2 三维向量空间
c=0 （4－8） v v v v v v 此式表明 u 在 v 上的投影为零，亦即 u 不包含在 v 方向上的分量，此时称 u 和 v 正交。当两个向量正交时，
它们的内积为零。 的三个向量，任一向量在其他两个向量上的投影为零， x ， y ， z 满足内积关系 现在以三维向量空间为例说明向量的正交分解。图 4－2 所示是三维向量空间， x ， y ， z 是相互正交
cos kω1tdt = 0 sin kω1tdt = 0
t 0 +T1 t0
k = 1,2,3,L k = 1,2,3,L
（4－35） （4－36）
t0
〈 cos k1ω1t , sin k 2ω1t 〉 = ∫
cos k1ω1t sin k 2ω1tdt k1 , k 2 = 1,2,3,L
（4－37）
此函数集各元素在基本周期区间 (t 0 , t 0 + T1 ) 其中 ω1 为基本角频率，T1 = 2π / ω1 为基本周期，k 为正整数。 满足内积关系
〈1,1〉 = ∫
t 0 +T1
t0
1dt = T1
t0 +T1 t0 t0 +T1
（4－34）
〈1, cos kω1t 〉 = ∫ 〈1, sin kω1t 〉 = ∫
f (t ) = c1φ1 (t ) + c2φ2 (t ) + L + c N φN (t ) = ∑ ciφi (t )
i =1 N
t1 < t < t 2
（4－30）
其中 ciφ i (t ) 是 f (t ) 在 φ i (t ) 上的投影，有
ci =
〈 f (t ), φ i (t )〉 〈φ i (t ), φ i (t )〉
i≠ j ⎧0 i, j = 1,2,3, L, N 〈φ i (t ), φ j (t )〉 = ⎨ i= j ⎩K i 则称 φ1 (t ) ， φ 2 (t ) ，…， φ N (t ) 为正交函数集。
如果在 φ1 (t ) ， φ 2 (t ) ，…， φ N (t ) 之外再也找不到一个非零的函数 φ N +1 (t ) ，满足
如果信号 f (t ) 在 (t1 , t 2 ) 区间满足狄利克雷条件，即： （1）如果存在间断点，间断点的个数是有限个； （2）信号极大值和极小值的个数是有限个； （3）信号绝对可积
∫
t2
t1
f (t ) dt < ∞
（4－29）
则在 (t1 , t 2 ) 区间内 f (t ) 可表示为以此区间构成的完备正交函数集的各分量的线性组合
求得
（4－21）
∫ c=
t2
t1
φ i (t )φ j (t )dt
t2 t1
∫
φ j (t )dt
2
（4－22）
比照向量空间的表述，称 cφ j (t ) 为 φ i (t ) 在 φ j (t ) 上的投影，或称 cφ j (t ) 为 φ i (t ) 在 φ j (t ) 方向上的分量。 同样比照向量空间的做法，定义函数空间中两个函数元素在 (t1 , t 2 ) 区间的内积为
第 4 章 连续周期信号的傅立叶级数
连续周期信号的傅立叶级数是把连续周期信号分解为不同频率三角信号或复指数信号的叠加，属于信 号的正交分解。
4.1
4.1.1 正交向量和向量正交分解
信号的正交分解
所谓正交，即垂直、互不包含的意思，此概念来自于向量空间，在此先复习向量空间的一些相关知识。
v v v v 方向上的一个向量 cv 来近似地表示 u v v u ≈ cv （4－1） 其中 c 为常数，则产生的误差向量为 v v v w = u − cv （4－2） v v 误差向量 w 也不同。 显然， 当 c 的选择使 w 随着 c 的不同， v v v v 和 v 垂直时，w 的长度最短， 即用 cv 表示 u 所产生的误差 v v v v v v 最小。称 cv 是 u 在 v 上的投影，也称 cv 是 u 在 v 方向上
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v v v （4－15） x = 1， y = 1 ， z = 1 v v v 则称 x ， y ， z 为规范化的完备正交向量集。 v v v v v 设 r 是三维向量空间中的任一向量，则 r 可表示为完备正交向量集中各元素 x ， y ， z 的线性组合 v v v v r = cx x + c y y + cz z （4－16） v v v v v v v v v v v 其中 c x x ， c y y ， c z z 分别是 r 在 x ， y ， z 上的投影，亦即 r 在 x ， y ， z 方向上的分量，有 v v v v v v 〈 r , y〉 〈r , x〉 〈r , z 〉 c x = v v ，c y = v v ，c z = v v （4－17） 〈 x, x〉 〈 y, y 〉 〈z, z〉
〈φ i (t ), φ j (t )〉 = ∫ φ i (t )φ j (t )dt
t1
t2
（4－23）
当此两元素为复函数时，定义内积为
4－2
〈φ i (t ), φ j (t )〉 = ∫ φ i (t )φ ∗ j (t )dt
t1
t2
（4－24）
其中 φ j (t ) 是 φ j (t ) 的共轭。借助于函数内积的表述，式 4－22 可表示为
i = 1,2,L, N
（4－31）
这就是信号 f (t ) 正交分解的概念。 在完备正交分解情况下，信号能量满足关系
4－3
∫ ∫
t2
t1
f 2 (t )dt = ∑ ci2 ∫ φi2 (t )dt
t2 i =1 t1 N
N
（4－32）
当 f (t ) 为复函数时，有
t2 t1
f (t ) dt = ∫ f (t ) f ∗ (t )dt = ∑ ci2 ∫ φi (t )φi∗ (t )dt