【2014日照二模】山东省日照市2014届高三5月校际联合检测数学(文)试题含答案

2014年高三校际联合检测文 科 数 学2014.5本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。

满分150分．考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高；34=3V R π球，其中R 为球的半径.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}{}{}()123456723456=145U U M N C M N ==⋂，，，，，，，，，，，，，，，则等于 A. {}12457，，，，B. {}145，，C. {}15，D. {}14，2.如果复数()2bib R i-∈的实部和虚部互为相反数，那么b 等于A.B.C. 2-D. 23.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若222a cb +-=，则角B 的值为 A.6πB.3π C.566ππ或D.233ππ或4.设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>且直线2a x c=-（c 是双曲线的半焦距）与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为A.2211224x y -=B.2212412x y -=C.22163x y -=D.22136x y -= 6.函数()()sin x xf x e e x -=+的部分图象大致为7.角α顶点在坐标原点O ，始边x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上，点()3,4Q --，且tan 2OP OQ α=-，则与夹角的余弦值为A.5-B.25C.55-D.2558.已知P ，Q 为圆O ：2225x y +=上的任意两点，且6PQ <，若线段PQ 的中点组成的区域为M ，在圆O 内任取一点，则该点落在区域M 内的概率为A.35B.925 C. 1625D.259.三棱锥S ABC -及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为A.B.C.D. 10.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()12xf x ⎛=- ⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x的方程()()()()l o g 2000,a f xx a a -+=>> A. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,4C. ()1,8D. ()8+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1，则ab 的最小值为_______________. 12.阅读如图所示的程序框图，若输入16i =，则输出的k值为____________.13.已知变量,x y 满足约束条件13,1,x y y z kx y x y +≥⎧⎪≤=+⎨⎪-≤⎩若的最大值为5，且k 为负整数，则k=____________. 14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =___________. 15.已知函数()()244,1,ln 43,1,x x f x g x x x x x ⎧-≤⎪==⎨-+>⎪⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个数为___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （II ）已知ABC ∆的内角分别是A ，B ，C ，角A 为锐角，且14,cos 21225A f B π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求sinC 的值.17.（本小题满分12分）某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取100人的成绩进行统计分析.抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人.（I ）若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a ，b 的值；（II ）若样本中10,8a b ≥≥，求在地理成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，数列{}n b 是等比数列，且2235414,,b a b a b a ===.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n c 对任意正整数n ，均有12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅+=成立，求122014c c c ++⋅⋅⋅+的值.19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=a ，60ABC ∠=，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，点M 在线段EF 上.（I ）求证：BC ⊥平面ACFE ； （II ）当EM 为何值时，AM//平面BDF ？证明你的结论.20.（本小题满分13分） 已知函数()xf x e =.（I ）当0x >时，设()()()()1g x f x a x a R =-+∈.讨论函数()g x 的单调性；（II ）证明当()21,112x f x x x ⎡⎤∈<++⎢⎥⎣⎦时，.21.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点1,2Q ⎛- ⎝⎭，且离心率2e =（I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过点()1,0的直线l 与该椭圆相交于A 、B 两点，试问：在直线2x =上是否存在点P ，使得ABP ∆是正三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2014年高三校际联合检测文科数学参考答案及评分标准2014-5说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。

一、选择题：每小题5分，共50分.CCAAD ACBBD （1）解析：答案：C.由已知，得{1,5,7}U M =ð，所以(){15,7}{1,4,5}U M N =ð {1,5}.=选C.（2）解析：答案：C .因为2i2i ib b -=--，且实部和虚部都互为相反数，所以2,b =- 选C.（3）解析：答案：A.由余弦定理，得2cos ac B =，即cos 2B =，由0πB <<，知角π6B =. （4）解析：答案：A.若2()0a b a -<，则知0,a ≠即20,a >所以0,a b -<即a b <；令0,1a b ==，满足a b <，但2()0a b a -=.所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件.（5）解析：答案：D.由已知，ca=即,c = ① 抛物线24y x =的准线方程为1x =-，由题意，21a c-=-，2a c =，②由①②，解得a =3,c =所以b =此双曲线的方程为22136x y -=. （6）解析:答案 A. 函数()(e e )si n xx f x x -=+是奇函数,排除BD;当0πx <<时,()0f x >,排除C.（7）解析：答案：C.由题意，设角α终边上点P 的坐标为(,2)(0)m m m -≠，所以cos ,.||||OP OQ OP OQ OP OQ ⋅<>====（8）解析：答案：B.设R 为弦PQ 的中点，如图所示，由6PQ <2225316OR >-=，所以PQ 中点组成的区域为M 是由圆:O2225x y +=与圆22:16R x y +=组成的圆环，所以在O 内部 任取一点落在M 内的概率为25π16π925π25-=，故选B ． （9）解析：答案：B.由三棱锥的正视图和侧视图知，底面ABC ∆是等腰三角形，底边4AC =，高为，所以腰长4BC ==，在R t S B C ∆中，SB ==（10）解析：答案：D .由(2)(2)f x f x +=-，得()(4)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(4)()()f x f x f x -==-，即(4)()f x f x +=，则函数()f x 是以4为周期的函数，结合题意画出函数()f x 在(2,6)x ∈-上的图象与函数log (2)a y x =+的图象，结合图象分析可知，要使()f x 与log (2)a y x =+的图象有4个不同的交点，则有1,log (62)1,a a >⎧⎨+<⎩由此解得8a >，即a 的取值范围是(8)+∞.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）4；（12）2；（13）1-；（14）127；（15）3．（11）解析：答案 4.由已知111a b +=≥2,≥即 4.ab ≥等号成立当且仅当“2a b ==”时.（12）解析：答案2.当0k =时，49i =，1k =时，148i =， 2k =时，445150i =>，∴输出的k 值为2. （13）解析：答案：1-=k .利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:其中点(2,3),(4,3),(1,0),A B C - 根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在点A 处取得，由235,435,05,k k k -+=⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩1,k ⇒=- 所以1-=k .（14）解析：答案：127.设正四面体ABCD 的棱长为a ，高为h ，四个面的面积为S ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则由11433Sr Sh ⨯=，得1166442r h a a ==；由相似三角形的性质，可求得R =，所以12VV =3311()().r R ==（15）解析：答案：3.函数()f x 与()g x 的图象，如图： 由图可以看出，函数y =()()f x g x -的零点有3个.三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）解：（Ⅰ）由周期12πππ,2362T =-=得2ππ,T ω== 所以.2=ω ……2分4当π6x =时，1)(=x f ，可得πsin(2) 1.6ϕ⋅+= 因为π,2ϕ<所以π.6ϕ=故π()sin(2).6f x x =+ ……………………4分由图象可得)(x f 的单调递减区间为π2ππ,π,.63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣Z ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，ππsin(2())12126A -+=, 即1sin 2A =,又角A 为锐角,∴π6A =. …………8分0πB <<，53cos 1sin ,02=-=∴<<B B B π . ……………9分 )sin(sin B A C --=∴π)sin(B A += …………10分B A B A sin cos cos sin +=1033453235421+=⨯+⨯=. ……12分 （17）解：（Ⅰ）由790.3100a++=，得14a =， …………3分∵792018456100,a b ++++++++=∴17b =，∴14a =，17b =； …………6分 （Ⅱ）由题意知31a b +=，且10,8a b ≥≥，∴满足条件的(,)a b 有(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16), (16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8)共14组.且每组出现的可能性相同. …………9分 其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有：(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16)共6组. …………11分∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为63147=. …………12分 （18）解：（Ⅰ）∵25141,14,113a d a d a d =+=+=+，且2514,,a a a 成等比数列，∴2(14)(1)(113)d d d +=++，解得，2d =， ……………………………………2分 ∴1(1)22 1.n a n n =+-⋅=- ………………………………………4分又∵22353,9,b a b a ====∴113,1,3.n n q b b -=== ………………………6分（Ⅱ）∵12112n n n+…12112n n n c c c a b b b ++++=， ① ∴121ca b =，即1123c b a ==， ……………………………………………………7分 又12112n n nc c c a b b b ++++=…+112121(2)n n n c c c a n b b b --++=≥， ②①-②，得12nn n nc a a b +=-=, ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥，∴13(1)23(2)n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩，……………………………10分 则12201411220143232323c c c -+++=+⋅+⋅++⋅12201332(333)=+⋅+++201320143(13)323.13-=+⨯=-……………………………12分 （19）解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ， ︒=∠===60,ABC a CB DC AD ，∴四边形ABCD 是等腰梯形， 且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA ， ︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB ，BC AC ⊥∴. …………3分 又平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE . …………6分（Ⅱ）当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， ……7分在梯形ABCD 中，设AC BD N =，连接FN ，则2:1:=NA CN ，a EM 33=，而a AC EF 3==，2:1:=∴MF EM ， …………9分 AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴，又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF . …………12分（20）解：（Ⅰ）()(1)x g x a x =-+e ，所以()(1)xg x a '=-+e ．……………………2分当0x >时，e 1x >，故有：当11a +≤，即0a ≤时，(0)x ∈+∞，，()0g x '>； 当11a +>，即0a >时，e 1x >，令()0g x '>，得ln(1)x a >+；令()0g x '<，得0ln(1)x a <<+，………………………5分综上，当0a ≤时，()g x 在(0)+∞，上是增函数； 当0a >时，()g x 在(0ln(1))a +，上是减函数，在(ln(1))a ++∞，上是增函数．………6分（Ⅱ）设22()()(1)e 1xh x f x x x x x =-++=---，则()e 21xh x x '=--， 令()()e 21xm x h x x '==--，则()e 2xm x '=-， …………………………………8分因为1[,1]2x ∈，所以当1[,ln 2)2x ∈时，()0m x '<；()m x 在1[,ln 2)2上是减函数，ME C DBANF当(ln 2,1]x ∈时，()0m x '>，()m x 在(ln 2,1]上是增函数，又1()20,(1)e 30,2m m =<=-<所以当1[,1]2x ∈时,恒有()0m x <,即()0h x '<,所以()h x 在1[,1]2上为减函数，所以17()()024h x h ≤=<，即当1[,1]2x ∈时，2()1f x x x <++. (13)分（21）解：（Ⅰ）由题意得221121,c aa b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………2分解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (4)分所以椭圆C 的方程为22:12x C y +=. …………………………………… 5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率为0时，不存在符合题意的点P ； …………………6分当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1(0)x my m =+≠,代入2212x y +=，整理得22(2)210m y my ++-=, 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+,设存在符合题意的点(2,)(0)P t t ≠，则221212||1()4AB m y y y y ===++-222121)(1)()y m y y =+-=2221)22m m m +==++, …………………………………8分设线段AB 的中点33(,)M x y ，则123222y y my m +==-+， 所以332212x my m =+=+,因为ABP ∆是正三角形，所以AB PM ⊥，且||||PM AB =, ……………9分由AB PM ⊥得1AB PM k k ⋅=-即3311P P y y m x x -⋅=--，所以33()P P y y m x x -=--, 所以22222(1)|||2|22m PM m m +=-=++, ……………10分由||||2PM AB =22222(1)1)222m m m m ++=++， 解得212m =，所以m =.……………………………………………………12分 由33()P P y y m x x -=--得2222(1)()22m m t m m m +--=-⋅++,所以22(23))25m m t m +=-=±+,所以存在符合题意的点(2,5P ±.………………………………………………14分。