离散数学复习提纲(完整版)资料

《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）

一、命题逻辑

[复习知识点]

1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题

2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式

3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式

4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）

5、命题逻辑的推理理论

本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理

[复习要求]

1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。

2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。

3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。

5、掌握命题逻辑的推理理论。

[疑难解析]

1、公式类型的判定

判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。

2、范式

求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。

3、逻辑推理

掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。

例1.试求下列公式的主析取范式：

（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨

（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式

解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()(

))(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=

)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=

)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解

)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=

)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）

2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？

（1）（P ∧⌝P ）↔Q

（2）⌝（P →Q ）∧Q

（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

解：

（1） 真值表

因此公式（1）为可满足。

（2） 真值表

因此公式（2）为恒假。

（3） 真值表

因此公式（3）为恒真。

3．┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 法1：真值表法2：若┐Q ∧（P →Q ）为真，则 ┐Q ，P →Q 为真，

所以Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。

法3：若┐P 为假，则P 为真，再分二种情况：

①若Q 为真，则┐QÙ（P →Q ）为假

②若Q 为假，则P →Q 为假，则┐Q ∧（P →Q ）为假

根据① ②，所以 ┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 。）

4．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。

（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）

（1、证明：

（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

=（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））→（⌝P ∨R ）

=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ）

=（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R

=（（P ∧⌝Q ）∨⌝P ）∨（（Q ∧⌝R ）∨R ）

=（1∧（⌝Q ∨⌝P ））∨（（Q ∨R ）∧1）

= ⌝Q ∨⌝P ∨Q ∨R

=（⌝Q ∨Q ） ∨⌝P ∨R

= 1 ∨⌝P ∨R

= 1

（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）

=（（P ∨Q ）∧（P ∨（Q ∧R ）））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））

=（P ∨（Q ∧ Q ∧R ））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））

=（P ∨（Q ∧R ））∨⌝（P ∨（Q ∧R ））

=1）

5．用形式演绎法证明：{S R R Q Q P →∨

⌝∨⌝,,}蕴涵S P → 证明：

（1）Q P ∨⌝ 规则P

（2）Q P → 规则Q （1）

（3）R Q ∨

⌝ 规则P （4）R Q → 规则Q （3）

（5）R P → 规则Q （2）

（4） （6）R →S 规则P

（7）P →S 规则Q （5）（6） )

6．用形式演绎法证明：（E F D D C B A →∨∧→∨)(),()蕴涵A E →

证明：(改()()(),()F D F D B A B A ∨∧∨∧为为)

（1）A 规则D

（2）A ∨B 规则Q （1）

（3）)()(D C B A ∧→∨ 规则P

（4）D C ∧ 规则Q （2）（3）

（5）D 规则Q （4）

（6）F D ∨ 规则Q （5）

（7）E F D →∨)( 规则P

（8）E

规则Q （6）（7） （9）E A → 规则Q （1）

（8）） 7．┐（P ∧┐Q ），┐Q ∨R ，┐R 蕴涵 ┐P

（1）┐Q ∨R

（2）┐R

（3）┐Q

（4）┐（P ∧┐Q ）

（5）┐P ∨Q （6）┐P ）

8．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：

（1）

若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案； （2）

若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案； （3）

若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案； （4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。 办案人员由此得出结论：甲是作案者。这个结论是否正确？为什么？

解：对问题中的四个简单命题用P1，P2，P3，P4分别表示甲，乙，丙，丁作案，则办案人员的推理如下： 前提：

1) ⌝P1∧⌝P2→⌝P3∧⌝P4

2) ⌝P3∧⌝P4→⌝P1∧⌝P2

3) P1∧P2→(⌝P3∧P4)∨(P3∧⌝P4)

4) P3∧P4→(⌝P1∧⌝P2)∨(P1∧P2)

结论：P1。

(⌝P1∧⌝P2→⌝P3∧⌝P4)

∧ (⌝P3∧⌝P4→⌝P1∧⌝P2) ∧ ( P1∧P2→(⌝P3∧P4)∨(P3∧⌝P4)) ∧ ( P3∧P4→(⌝P1∧⌝P2)∨(P1∧P2)) → P1

不是永真式，比如：

P1取假，P2取真，P3取假，P4取真时，上式为假