昌城李淑玲九年级上册《圆的对称性》2课时
九年级数学上册第2章对称图形—圆2.2圆的对称性第2课时圆的轴对称性与垂径定理练习苏科版(2021
2018年秋九年级数学上册第2章对称图形—圆2.2 圆的对称性第2课时圆的轴对称性与垂径定理练习（新版）苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第2章对称图形—圆2.2 圆的对称性第2课时圆的轴对称性与垂径定理练习（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2 圆的对称性第2课时圆的轴对称性与垂径定理知|识｜目｜标1．通过回顾轴对称图形的概念，了解圆是轴对称图形．2．通过探索圆的轴对称性,掌握并应用垂径定理求线段的长度．3．通过对实际问题的分析,能用垂径定理解决实际问题．目标一了解圆的轴对称性例1 教材补充例题圆是轴对称图形,它的对称轴有( ）A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条【归纳总结】圆的轴对称性：（1）圆的对称轴是经过圆心的每一条直线,而直径不是圆的对称轴，直径所在的直线才是圆的对称轴．(2）轴对称图形的对应边相等,对应角相等．目标二会利用垂径定理进行计算例2 教材补充例题如图2－2－5，AB为⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，求⊙O的半径．图2－2－5例3 教材例2变式如图2－2－6，在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C，D两点．若AB＝10 cm,CD＝6 cm，求AC的长．图2－2－6【归纳总结】应用垂径定理的关键点：利用垂径定理进行计算，通常是在半径、圆心到弦的垂线段和弦长的一半所构成的直角三角形中,利用勾股定理求出未知线段的长．目标三能利用垂径定理解决实际问题例4 教材补充例题我国隋朝建造的赵州石拱桥（示意图如图2－2－7）的主桥拱是圆弧形,它的跨度AB(弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.23 m,求主桥拱的半径(结果精确到0.1 m)．图2－2－7【归纳总结】利用垂径定理构造直角三角形是解决此类问题的关键，有时还引入方程求解，可达到事半功倍的效果．知识点一圆的轴对称性圆是轴对称图形，过______的任意一条直线都是它的对称轴．［点拨］ (1）圆既是轴对称图形,也是中心对称图形;(2)圆有无数条对称轴．知识点二垂径定理垂直于弦的______平分弦以及弦所对的两条________．[点拨]图2－2－8如图2－2－8.（1）垂径定理的几何语言表示：错误!⇒错误!(2)垂径定理的补充说明：在①CD是⊙O的直径；②CD⊥AB；③AE＝BE；④错误!＝错误!；⑤错误!＝错误!这五个条件中，只要具备其中的两个，其他三个结论都正确．已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E.若AB＝10，CD＝8，求BE的长．图2－2－9解：如图2－2－9,连接OC,则OC＝5。
北师大版九年级数学32圆的对称性教案
教案名称：探究圆的对称性教学对象：北师大版九年级学生教学目标：1.理解圆的对称性的概念；2.掌握圆的对称性的性质；3.能够利用圆的对称性解决问题；4.培养学生的逻辑思维能力和创造思维能力。
教学准备：1.教学课件；2.白板、白板笔；3.学生练习册。
教学过程：Step 1 导入（5分钟）教师用示意图引入课题，提问：“你们对圆的对称性有什么了解吗？”请学生发表自己的观点。
Step 2 概念讲解（10分钟）教师给出圆的对称定义，并解释圆的对称性与其他图形的对称性的不同之处。
通过白板示意图，引导学生观察圆的一些性质，引发学生对圆的对称性的思考。
Step 3 探究圆的对称性（30分钟）教师给出一些实例，让学生进行观察和分析。
例如，给出两个相同的圆，并在一个圆上画一个弧线，让学生找出这两个圆的对称轴，并解释其原因。
教师根据学生的分析结果进行讨论，引导学生总结圆的对称性的性质。
Step 4 探索圆的对称性的应用（35分钟）教师通过具体例题和练习题，让学生运用所学的对称性的性质解决问题。
例如，教师给出一个问题：“如何通过画一条线把一个图形分成两个完全对称的部分？”请学生通过画图或其他方法解决问题，并在白板上演示。
教师根据学生的解答进行讨论和点评。
Step 5 小结（5分钟）教师对本节课所学内容进行小结，并布置相关作业。
Step 6 延伸拓展（余下时间）教师激发学生的创造思维能力，让学生进一步思考和研究圆的对称性的应用。
例如，教师给学生出一些拓展题目，让学生用圆的对称性解决问题。
教学评估：1.教师观察学生的表现与思考过程，评价学生对圆的对称性的理解程度；2.批改学生的练习册作业，评价学生的应用能力和解决问题的能力。
教学反思：本节课通过引入和探索的方式，帮助学生理解了圆的对称性的概念和性质，培养了学生的观察力和逻辑思维能力。
通过让学生应用所学知识解决问题，提高了学生的应用能力和创造思维能力。
同时，通过延伸拓展活动，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。
3.2_圆的对称性(2)
① ② ② ① ③ ① ③ ② ③
A
M└ └
●
B O
D
在CD为圆直径的大前提条件下 为圆直径的大前提条件下
平分弦AB 平分弦 已知 ② CD平分弦
① CD⊥AB ⊥
求证
③ CD平分弧 平分弧ACB和弧 和弧ADB 平分弧 和弧 ① CD⊥弦AB ⊥
平分弧ACB和弧 和弧ADB 平分弧 和弧 已知 ③ CD平分弧
求证
② CD平分弦 平分弦AB 平分弦
C 定理1： 定理 ：： 逆命题1： 逆命题 平分弦(不是直径 的直径垂直于弦， A M└ 不是直径)的直径垂直于弦 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦，并且平分弦所 B 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 └ 对的弧. 对的弧 逆命题2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 逆命题 ：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 O 定理2：平分弧的直径垂直平分于弧所对的弦. 定理 ：平分弧的直径垂直平分于弧所对的弦
挑战自我画一画 挑战自我画一画
例：平分已知弧
已知： 已知：弧AB E 求作： 求作：弧AB的中点 A
C
AB
B 作法： 作法： 连结AB. ⒈ 连结 ⒉作AB的垂直平分线 的垂直平分线 CD，交弧 于点 于点E. ，交弧AB于点 D
点E就是所求弧AB的中点。 就是所求弧AB的中点。 AB的中点
求弧AB的四等分点。 AB的四等分点 变式一： 求弧AB的四等分点。
已知： 中弦AB∥ 已知：⊙O中弦 ∥CD. 中弦 求证：AC＝BD 求证： ＝
⌒ ⌒
M C A D B
.O
N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 证明：作直径 ⊥ ∥ ， ⊥ 则AM＝BM，CM＝DM ＝ ， ＝ 垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM － ∴AC＝BD ＝
九年级上册《3.1圆的对称性》说课课件
四、自学检测、教师点拨
已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为6cm求圆 心到AB的距离.
解：如图作OD⊥AB垂足为D ，连结OA
方法由总结垂：径定理得：AD=BD=3 弦弦的的圆在垂端中O线点D很R2t段）多△或，计OA半应算AD2径用题O（垂都中A连径是D接定过2 圆理圆心构心与造作
山东莘县莘州中学
三、自学指导、合作探究
设计意图：明确自学内容、要求、时间，保 证学生能够高效自学.
山东莘县莘州中学
三、自学指导、合作探究
设计意图:问题的设计环环相扣，给学生创建动手，动脑，探索， 交流的平台，体现学生的主体地位.通过这样的方式获得的知识 就能和已有的知识体系构建联系，突破本节重难点.
即R2 18.512 (R - 7.23)2
解得：R≈27.3（m）
设计意图：引导学生共同分析建立数学模型，并引领逐步写出
O ∴步赵骤州，桥这的样主既教桥会拱学半生径建约模为，又27规.3范m了. 做题步骤. 山东莘县莘州中学
五、堂清检测 拓展提高
独立完成 出示答案 同桌互改 提出疑惑 教师点拨
个要素融合在一起，引导学生紧张、高效 地自学，力争做到堂堂清.
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教学方法
主
顺学而导
合作探究
主
导 以学定教
自主互助
体
教师方面
学生方面
积 累 启适 及 演活 发时 时 示动 诱追 点 解经 导问 拨 惑验
教学方法
圆 的 对 称 性
经 历 探交 动 独自 究流 手 立主 过展 操 思探 程示 作 考究
了他们的概括能力.
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板书设计
1.圆的轴对称性 2.垂直定理
九年级数学圆的对称性公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
当堂训练
Ｐ４９练习１、２
第6页
1.如图所表示，直径为10cm圆中，圆心 到弦AB距离为4cm．求弦AB长．
解：连结OA．
∵OM⊥AB，
∴ AM 1 AB
∵
OA
1
10
2
5，OM＝4，
2
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
第7页
2. 在 ⊙O半径为10，弦AB＝12，CD＝ 16，且AB∥CD．求AB与CD之间离．
分析：本题目属于 “图形不明确型”题 目，应分类求解图231-8①所表示．
作OG⊥AB，垂足为G，延长GO交CD于H， 连结OA、OC．
∵AB∥CD，GH⊥AB，∴GH⊥CD．
∵OG⊥AB，AB＝12， ∴． AG 1 AB 6 同理．
2
CH 1 CD 8 2
∴Rt△AOG中， OG OA2 AG2 ，8
Rt△COH中， OH OC2 CH 2 6
．
∴GH＝OG＋OH＝14．
(2)当弦AB与CD位于圆心O同侧时，如图 23-1-8②所表示．
GH＝OG－OH＝8－6＝2．
第9页
刷票
当即顿觉感谢涕零/因此想也没想就满口答应下来/两人共同回想从前往事/王爷见水清那么容易地就上咯钩/禁别住心中壹阵冷笑/于是站起身来/还别待她反应过来/他已经壹把就将站在跟前の水清揽进怀中/又以迅雷别及掩耳之势吻上咯她の双唇 /水清突遭袭击/惊恐别已/那大老爷别是说要帮助她回想以前の事情吗？怎么变成咯那各样子/回想从前の事情别是要用脑子来想吗？把嘴堵上有啥啊用？他那是想要干啥啊？莫非说/他今天过来别是帮助她回想以前の事情/而是又要来捉弄她？可 是/假设是捉弄她の话/摔三各大屁墩疼咯十来天/也算是受咯皮肉之内/可那堵着嘴/既别痛也别
圆的对称性2
已知 AB = CD 你能得到什么结论？
（可以添加线段）
.A .B
... O
..ห้องสมุดไป่ตู้
CD
（1）线段AB=5cm,CD=5cm,两条线段相等吗？ （2）AB的长为5cm,CD的长为5cm,两条弧相 等吗？ （3）“弧相等”指什么相等？
（1）弧的弯曲程度可以用度数来刻画，那 么弧的度数是怎么定义的呢？什么是1度的 弧？ （2）10 的弧所对的圆心角的的度数是多少？ 反过来呢？ （3）700的弧所对的圆心角的度数是 多少？ （4）n0的弧所对的圆心角的度数是多 少？
1. 如图4-15，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧
为圆的
1 3
，⊙O的半径为R，求弦AB的长。
...O
A
B
已知⊙O的半径为R，弦AB长为 R, 试求弧AB的度数。
2. 如图4-16，已知AB，CD为 ⊙O的两条直径， 弦CE∥AB，∠BOD=1100，求弧CE的度数。
D A
E
O
B C
（1）了解了10的弧的意义；
（2）知道了圆心角的度数与它所 对弧的度数相等的关系。
大演草：习题5.3第1,2,3（画图）
2019-2020年九年级数学上册 21.3.2 圆的对称性教案 (新版)北京课改版
2019-2020年九年级数学上册 21.3.2 圆的对称性教案（新版）北京课改版一、教学目标1.通过学习，理解圆心角的概念。
（难点）2.能够掌握圆心角、弧、和弦之间的相等关系的定理及推论。
（重点）3.运用所学的知识解决实际的问题。
二、课时安排1课时三、教学重点能够掌握圆心角的概念。
四、教学难点通过探索，熟练掌握圆心角、弧、和弦之间的相等关系的定理及推论。
五、教学过程（一）导入新课在纸上，任意画一个圆，任意画出两条半径，构成顶点在圆上的一个角，像这样的角称为什么？（二）讲授新课活动1：小组合作（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
（2）圆心角、弧、弦三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。
（3）用计算机或图形计算器作⊙O及相等的圆心角∠AOB，∠A’O’B’，连接AB，A’B’，拖动点A在圆上运动，你能发现图中有哪些相等的关系？当∠AOB与∠A’OB’重合时，△OAB与△OA’B’能够完全重合，可以看到下面的两组量分别相等：AB=A’B’，弧AB = 弧A’B’，由此可以得到：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么他们所对的弧相等，所对的弦也相等。
（三）重难点精讲例题1、已知：A，B是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C是弧AB的中点，试判断四边形AOBC的形状，并说明理由。
分析：四边形AOBC为菱形。
理由如下：连接OC。
∵C是弧AB的中点，∴弧AC= 弧BC。
∵∠AOB=120°，∴∠1= ∠2=（1/2）∠AOB=60°又∵OA=OC=OB，∴△AOC，△BOC均为等边三角形。
∴AC=AO=OB=BC，∴四边形AOBC为菱形。
（四）归纳小结1.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3.1圆的对称性(第2课时)(课件)九年级数学上册(青岛版)
思考：“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图
前提：在同圆或等圆中
圆心角等
知一推二
弧等
弦等
【例1】如图， AB与DE是⊙O的两条直径，C是⊙O 上一点，AC∥DE.求证:（1）AD CE（2）BE EC
证明 （1）连接OC. ∵AC∥DE, ∴∠AOD=∠OAC , ∠COE=∠OCA. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠AOD=∠COE. ∴
文 字
语 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
言
图 形 语 言
符 号
AOB AOB
语 言
AB AB,AB AB
AOB AOB AB AB,AB AB
如果把定理的结论与题设交换，还是真命题吗？
文
字 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，
语 言
弦、之间的关系
证明线段相等： （1）利用原来的证角相等，三角形全等等方法 （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦、之间的关系
五、课后作业
1.必做作业： ①课本P74复习与巩固5-6 ②预习下一课时;
2.选做作业： 拓展与延伸10
3．如果两个圆心角相等，那么 A．这两个圆心角所对的弦相等
（ D）
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
4.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
5.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB⌒与CD⌒的关系是（ A ）
A. A⌒B=2C⌒D B. A⌒B>CD ⌒
所对的弦也相等．
青岛版初中数学九年级上册《圆的对称性(2)》教学案1
C
O B
三：拓展延伸：
⌒⌒ 1．如图，⊙O 中，如果AB=2AC，那么（ ）．
A．AB=AC B．AB=AC
B． C．AB<2AC D．AB>2AC
2、如图, ⊙O 的弦 AB 与半径 OE、OF 相交与 C、D,且 AC=BD,求证:OC=OD, ⌒⌒ AE=BF
四、系统总结:
TB:小初高题库
O
A
⌒⌒
⌒⌒
⌒⌒
A．AB=2CD B．AB>CD C．AB<2CD D．不能确定
3．如果两个圆心角相等，那么（ ）
C D
2
A．这两个圆心角所对的弦相等;
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角的顶点到所对的弦的距离相等; 教学过程：
D．以上说法都不对
B 1A
一、创设问题情境，引新课
前面我们已探讨过轴对称图形，那么圆是中心称性图形吗？ 二：精讲点拨：
因为
所以
因为
所以
注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，在本定理中的
“弧”是指同为优弧或劣弧.
4、自学课本 71 页例 3，把解题过程写在下面：
TB:小初高题库
青岛版初中数学
二、预习检测：
⌒⌒ 1.如图，在⊙O 中, AC=BD,∠1=30°,则∠2=__________°
2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ）
1、圆的旋转不变性；圆是中心称性图形，对称中心是圆心。
2、圆心角、弧、弦之间关系定理的推出：利用圆的中心称性
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量都分别相等（注意条件和“知一推二”的意义）
初三数学教案-北师版初三数学圆的对称性2 精品
第十七课时§3.2 圆的对称性（二）●教学目标1．圆的旋转不变性．2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．●教学重点圆心角、弧、弦之间关系定理．●教学难点“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．●教学方法指导探索法．●教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么?用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．Ⅱ．讲授新课同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．按下面的步骤做一做：1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O和⊙O′，上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．3．将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．Ⅲ．课时小结通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形，利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理……Ⅳ．课后作业课本P98习题3.3 1、2。
九年级数学下册 课题 3.13.1.1 圆的对称性(第二课时)教案 湘教版
3．1．1 圆的对称性（第二课时）教学内容1．圆心角、弧的有关定义．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．重难点、关键1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．教学过程Ⅰ．知识回顾，引入新课昨天我们学了圆的哪些知识？Ⅱ．讲授新课下面，我们在昨天的基础上来认识一下弧、圆心角这些与圆有关的概念．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．»AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”如下图，以A、B为端点的弧记作注意：1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧用三个大写字母表示⌒ACD(记作876ACD)，劣弧用两个大写字母表示AD(记作»AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆也用三个大写字母表示．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．2．认识圆心角：观察教室内的石英钟的时针、分针、秒针所成的角度的特点。
3、圆心角、弧、弦之间相等关系定理．[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？[生]大小一样．[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？[生]重合．[师]通过旋转的方法我们知道：圆是旋转对称图形．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ＇A ＇重合时，由于∠AOB ＝∠A ＇O ＇B ＇．这样便得到半径OB 与O ＇B ＇重合．因为点A 和点A ＇重合，点B 和点B ＇重合，所以和重合，弦AB 与弦A ＇B ＇重合，即，AB ＝A ＇B ＇． [师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．下面，我们一起来看一看命题的证明．教师板书如上图所示，已知：⊙O 和⊙O ＇是两个半径相等的圆，∠AOB ＝∠A ＇O ＇B ＇． 求证：，AB ＝A ＇B ＇．证明：将⊙O 和⊙O ＇叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA 与O ＇A ＇重合，∵∠AOB ＝∠A ＇O ＇B ＇，∴半径OB 与O ＇B ＇重合．∵点A 与点A ＇重合，点B 与点B ＇重合， ∴与重合，弦AB 与弦A ＇B ＇重合． ∴，AB ＝A ＇B ＇．于是得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． （用因为、所以的几何语言来表达）注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．[生]如下图示，虽然∠AOB ＝∠A ＇O ＇B ＇，但AB ≠A ＇B ＇，下面我们共同想一想．[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：⎫⎧⇒⎬⎨⎩⎭在同圆或等圆中②也相等③①相等 如果在同圆或等圆这个前提下．将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(同学们互相交流、讨论)[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得B ACD O M到证明．[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到．[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论？[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（用因为、所以的几何语言来表达）注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．例如，下图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD＝BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．4、回顾：问：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．（2）AM=BM，即直径CD平分弦AB．这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分这条弦．还有什么相等？垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧（用因为、所以的几何语言来表达）5、证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2022年青岛版数学九年级上《圆的对称性2》课件(精品)
探究归纳
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆 心旋转任意一个角度，都能与原来的圆重 合.因此,圆是中心对称圆形，对称中心为 圆心.圆的中心对称性是其旋转不变性的 特例.
按下面的步骤做一做
1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片， 在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和 ∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起.
归纳总结
反证法的证明过程：
否认结论——假设命题的结论不成立； 推出矛盾——从假设出发，经过一系列正确的推理，
得出矛盾；
肯定结论——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
精讲点拨
：如图，直线a,b被直线c所截， a∥b
求证： ∠1 = ∠2
c a
1
b
2
2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们 所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是 怎么想的？
推理格(1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且
A O B= A′O′B′, ∴A B=A′B′，A B= A′B′.
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
实验与探究
1.如果A、B、C三点在同一条直线上， 经过点A、B、C能作出一个圆吗？ 2.为什么过同一直线上的三个点不能作 圆？怎样证明这个结论？
归纳总结
在证明一个命题时,有时先假设命题 不成立,从这样的假设出发,经过推理得出 和条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛 盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即 所求证的命题正确。这种证明方法叫做反 证法。
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与 O′A′重合.
B
B′
A
A′
O
O′
你能从中发现哪些等量关系?说一说你的 理由.
新湘教版九年级上册初中数学 2.1 圆的对称性 教案
2.1 圆的对称性【教学目标】1.理解圆的定义．结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念．2.圆既是轴对称图形又是中心对称图形．点与圆的位置关系．3.通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画图的过程多角度体会和认识圆．4.结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透．激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望．【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解．【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系．【教学过程】一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象．观察以上图形，体验圆的和谐与美丽．请大家说说生活中还有哪些圆形．二、思考探究，获取新知1.圆的定义：如教材图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？8/4/2022【教学说明】学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象．如右图：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．注意：圆指的是圆周，不是圆面．2.点与圆的位置关系一般地，设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有（1）点P在⊙O内--d＜r（2）点P在⊙O上--d=r（3）点P在⊙O外--d＞r3.与圆有关的概念：如右图说明概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．(如：线段AB、AC)直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径．注：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．如图，以A、B为端点的弧记作，AB，读作：弧AB．注：①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．②大于半圆的弧，用三个点表示，如图中的ABC，叫做优弧．小于半圆的弧，用两个点表示，如图中的AC，叫做劣弧．等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．注：半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等．等弧：在等圆或同圆中，能够互相重合的弧叫等弧．注：①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等．②等弧只存在于同圆或等圆中．【教学说明】结合图形，准确地掌握与圆有关的概念，为后面的学习打下基础．4.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．思考车轮为什么做成圆形的?如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等)，坐车人会是什么感觉?【分析】把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变．因此，车辆在平路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳．如果车轮不是圆的，车辆在行驶时，坐车人会感觉到上下颠簸，不舒服．三、运用新知，深化理解1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3 cm，BC=2 cm，以点A为圆心，2 cm长为半径作圆，则点C（）A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．可能在⊙A上也可能在⊙A外2.（1）以点A为圆心，可以画____个圆．(2)以已知线段AB的长为半径，可以画____个圆．(3)以A为圆心AB长为半径，可以画___个圆．3.如图，半圆的直径AB=________．4.如图，图中共有____条弦．第3题图第4题图【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况，对学生的疑惑教师及时指导，并进行强化．四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流．【课后作业】布置作业：从教材“习题2.1”中选取．。
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4.1、圆的对称性 (第1课时)
一、学习目标
1、理解圆的概念，了解圆的符号及使用方法和作用；理解圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、掌握垂径定理及其推论
3、应用垂径定理解决实际问题，会用相关常见辅助线。
二、重点：垂径定理及推论
三、程序设计：
（一）课前预习展示：
（1）_____确定圆的位置,________确定圆的大小.
（2）圆内各点到圆心距离_______,圆上各点到圆心距离________,圆外各点到圆心距离________
（3）解答题
已知：如图,AB⊥CD于M，CD为⊙O的直径，CM=2cm，AB=8cm，则直径CD的长为（）
（A）10cm（B）8cm（C）6cm（D）5cm
（二）课上探究
（1）已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（）
（A）5（B）4（C）3（D）2
（2）△ABC中,∠A=90°，AD⊥BC于D，AC=5cm，AB=12cm，以D 为圆心，AD为半径作圆，则三个顶点与圆的位置关系是什么？画图说明理由。
（三）精讲点拨
圆的对称性体现在哪里？根据刚才的练习你有体会吗？
（四）有效训练
1、证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.
2、已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=4cm，求BC的长。
（五）反思与小结
（六）、当堂检测
1、判断题
（1）直径是弦，但弦不一定是直径。
（）
（2）半径相等的两个圆叫等圆。
（）
（3）直径相等的两个圆是等圆。
（）
（4）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（）
2、单选题
（1）下列说法正确的是（）
（A）半圆是弧（B）弧是半圆（C）劣弧大于半圆（D）优弧小于半圆
（2）过圆O内一点的最长弦长为10cm，那么圆的直径是（）
（A）20cm （B）10cm （C）5cm （D）以上都不对
（3）下列说法中正确的是（）
（A）四边形的四个顶点都在同一个圆上（B）菱形的四个顶点在同一个圆上
（C）矩形的四个顶点在同一个圆上（D）平行四边形的四个顶点在同一个圆上
3、计算
已知：如图,AB⊥CD于M，CD为⊙O的直径，CM=2cm，AB=8cm，则直径CD的长为多少？
（七）课外拓展
已知Rt △ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D, ∠A=30°,E 是AC的中点,以D为圆心,DE为半径作圆,问:(1)A、B、C三点与⊙D的位置关系如何？说明理由。
(2)若BC=1，能否求出A点距离D的最短距离？
4.1圆的对称性(第2课时)
一、学习目标
1、理解弦、直径、孤、弓形、半圆、同心圆、等圆、等孤等概念，
会用符号表示和会看图。
2、掌握同圆或等圆的半径相等这一性质，理解并掌握弧与弦的对等关系，熟知什么条件下能相等。
3、结合垂径定理的应用熟练“三对等”含义
二、重点：弧与弦之间的对等关系理解
三、程序设计：
（一）、课前预习展示，请同学们仔细思考，回答准确：
（1）长度相等的两条弧是等弧吗?
（2）连接圆上任意两点所得的图形叫圆弧对吗？
（3）等弧的长度一定相等成立吗？
（4）经过圆心的直线就是直径，你认为对吗？
（二）课上探究
1、如图，⊙O中，AB、CD是两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，两弦距离为7，则⊙半径为多少？
2、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE=5cm，BF=9cm，若⊙O的半径为9cm，求CD的长。
（三）精讲点拨：对于以上两个题目用到的本节的概念，要注意分析它们之间的区别与联系，如直径与弦，同圆、等圆和同心圆、等孤是从什么特征定义的？本节概念较多，它是本节的重点内容，不妨小组间通过列表使之形成清晰的思维层次。
（四）有效训练
如图，已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为120°，求它的外接圆的直径。
（五）小总结与反思
常用到哪个基本图形？哪些基本定理？
（六）当堂检测
1、已知：如图，OC是圆O的半径，过OC的中点D作弦AB⊥OC，则的度数为（）
（A）30°（B）60°（C）120°（D）150°
2、已知⊙O的直径AB=20cm，弦CD⊥AB，垂足为M，且OM=6cm，则CD=_______.
（七）课外拓展
如图，⊙O和⊙0
1相交于A、B两点，点M是OO
1
的中点，过A作直
线与AM垂直交两圆于C、D两点，请你判断AC和AD的大小关系，并证明你的结论。