对勾函数

对勾函数图象性质
对勾函数 :数学中一种常见而又特殊的函数。

如图
一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所
以也要注意它和了解它。

(一 ) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ （接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当 a≠0， b≠0时， f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x 叠“加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y＝ ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函
数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：
a>0 b>0 a<0 b<0
对勾函数的图像（ ab 同号）
当 a ，b 异号时， f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）
对勾函数的图像（ab 异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的
焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ， b>0 。

之后当a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出结论了。

1
(二 ) 对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：
当 x>0 时，。

当 x<0 时，。

即对勾函数的定点坐标：
(三 ) 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四 ) 对勾函数的单调性
y
(五 ) 对勾函数的渐进线
O X
y=ax
由图像我们不难得到：
(六 ) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，
二、类耐克函数性质探讨
函数y ax b
，在 a
0或
b0时为简单的单调函数，不予讨论。

x
在 a 0且
b
0时有如下几种情况：
(1) a0, b 0 (2) a
0, b
0 (3) a 0, b 0
(4) a 0, b
设 y1ax ， y2 b ，则y y1y2ax b ，其定义域为x |
x R,且 x 0
x
b在 (x
(1) a 0,b 0 时， y ax ，
y2,0),(0,
) 上分别单调递
增。

1
x
故 y y1y2ax b在 ( ,0),
(0, ) 为单调递增函数。

b在 (x
(2) a 0,b 0 时， y
1ax ， y2
,0),
(0,
) 上分别单调递
减。

x
b在 (
故 y y1y2ax
,0),
(0, ) 为单调递减函数x
(3) a 0,b 0 图像略
1 当 x 0 时， y1ax 0 ， y2b
0 y
y1 b 2 ax b ab 。

当且仅当ax
b b
x
y2 ax 2 ，即 x
取等
号。

x x x a
2 当 x 0 时 y ax 0， y b 0 b b b b ，即 b
y
y1 y2 ax )，当且仅当 ax
x
1 2
x x ( ax 2 ax2 ab
x a x x
（因为 x 0 ，故舍掉 x b ）取等号。

a
2
4) a 0, b
1 当 x 0 时， y 1 ax 0
， y 2 b 0 y y y 2a x b ( ax b
) 2 ax b
2 ab 。

当且仅当 ax b
，即
b 取等
号。

x 1 x x x x
x
a 2 当 x 0 时 y 1 ax
0， y 2 b
0 y
b
ax b
b
，即 x b x y1 y2 ax 2 2 ab ，当且仅当 ax a 取等号。

x x x
三、关于求函数 y
x 1
x 0 最小值的十种解法 x
1. 均值不等式
x 0 ， y 1
2 ，当且仅当 x 1
1的时候不等式取到“
=”。

当 x 1的时候， y min
2 x ，即 x x x
2
. 法
y x 1 x 2
yx 1 0
x
若 y 的最小值存在，则 y 2
4 0 必需存在，
即 y 2 或 y
2
（舍）
找到使 y 2 时，存在相应
的
x 即可。

通过观察当 x 的时候， y
min 2 1 3. 单调性定义
设 0 x 1 x f x 1 f x 2
1 1 x
2 1
1 x 1 x
2 x 1 x 2 1 2 x 1 x 2 x 1 x1x 2 x 1 x 2
x
1 x
2 当对于任意的 x 1 ,x 2 ，只有 x 1 , x 2 0,1 时， f x 1 f x 2 0 ， 此时 f
x 单调递增；
当对于任意的 x 1 ,x 2 ，只有 x 1 ,
x 2
1, 时， f
x 1 f x 2
0 ， 此时 f x 单调递减。

当 x 1取到最小值， ymin f 1 2
4. 复合函数的单调性 1 1 2
y x x 2
x x
t x 1 在 0, 单调递增， y t 2
2 在
,0 单调递减；在 0,
单调递增 x
又
x 0,1
t
,0 x
1,
t 0,
原函数在 0,1 上单调递减；在
1,
上单调递
增
即当 x 1 取到最小值， y min f 1
2
5. 求一阶导 y x 1 y '
1 1
当 x 0,1 时， y ' 0 ，函数单调递减；当 x 1,
时， y '
0 ，函数单调递增。

x x 2
当 x 1
取到最小
值， ymin f 1
2
6.三角代换
令 x tan ，0, ，则 1 cot
2 x
y x 1
cot
2
0, 20, tan
sin 2
x 2
当，即 2 时， sin 2 max1， y min 2 ，显然此时 x 1
4 2
3
7. 向量 y x 1 x 1 1 1 a b ， a x, 1
,b 1,1
x x x
a b
a b cos
2 a cos
根据图象， a 为起点在原点，终点在 y 1 x 0 图象上的一个向量， a cos 的几何意义为 a 在 b 上的投
影，
x
显然当 a b 时， a
cos 取得最小值。

此时， x 1， y min 2 2
2
8．图象相减
y x 1 x 1 ，即 y 表示函数 y x 和 y
1 两者之间的距离
x
x
x 求 y min ，即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线 y x ，显然当 y x 与 y 1
相切时，两曲线竖直距离最
小。

x 1 1
y 关于直线 y x 轴对称，若 y x 与 y
x 在 x 1处有一交点，根据对称
性， x
在 0 x 1 处也必有一个交点，即此
时 y x 与 y 1 相交。

显然不是距离最小的情况。

x
所以，切点一定为 1, 1 点。

此时，
x 1， y min 2 9.平面几何
依据直角三角形射影定理，设 AE x, EB 1
AB 1
，则 AD x x
x
1
显然， x 为菱形的一条边， 只用当 AD AB ，即 AD 为直线 AB 和 CD 之间 x
的距离时， x 1 ABCD 为矩形。

取得最小值。

即四边形 x
1
此时， x ，即 x 1， y min 2
x
10. 对应法则
设 f
x min t f x 2 x 2 1 x 2
x 0,
， x 2
0, ，对应法则也相同 f x 2
min t
f x x 1
f 2
x x 2
1
2
x x 2
左边的最小值 右边的最小值
t 2t 2 t 1（舍）或 t
2 当 x P x2，即 x
1时取到最小值，且 y min
2
4
--
四、对勾函数练习：
1．若 x>1.求 y x 1
的最小值 x
1
2. 若 x>1. 求 y x 2
2 x 2
x 的最小值 1 3. 若 x>1. 求 y x 2
x 1
x 1 的最小值 4. 若 x>0. 求 y 3x 2 的最小值 x
5.已知函数 y
x 2
2x a
(x
[1, )) x
（ 1） 求 a 1
时，求 f (x)的最小值
2
(2)若对任意 x ∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立 ,求 a 范围
--
5
6.: 方程 sin2x－asinx+4=0在[ 0 , 2
]内有解，则 a 的取值范围是 __________
7. 函数 y x 10 2x 7 的最小值为 ____________；函数
y x 10 2
x 7 的最大值为
_________。

x x
8.函数 y 2 3x 4。

的最大值为
x
9、若 4 x 1，则 y
x22x 2
2 x 2
的最值是。

10.函数 y 9 4 sin 2x 的最小值是。

sin 2x
11.若不等
式
t t a t 2在 t0,2 上恒成立，则 a 的取值范围是。

2 9 t 2
12. 求函数
f x x 116x
1 的最值。

x x2
x
1
2x
13.当 x (0，1)时，求 f (x) 4x1的值域
14. 求 f ( x)
x2x
2 1 的值域
x x 3
6。