向量应用举例
向量在物理中的应用举例
(数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
P
作 业
3、 4
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缘一见。没想到眼前这位个头1.68米左右，满头白发的中老年人，皮肤却保养得极好，白白净净、面容和气、浑身充满书生气 的就是厂长。他马上必恭必敬问候道：“您好！谷厂长！”谷仕昊点了点头，同时伸出手回道：“你好！”马启明赶紧伸出双 手握住谷仕昊的手，感到他的手润滑细腻，好像绸缎一样，心里暗想一个男人的手竟能保养得这么好，好像贵妇人或小小的手， 真是难得! 跟他握手简直是一种人间莫名地享受，圆润、温热。“这位是冯总工程师，他是我们厂的高级工程师，是中国培养 的第一批啤酒专家！”蒋明辉指着一位年长者介绍道。马启明心里“咯噔”一下，暗自心喜，没想到花开啤酒厂还有这样的稀 缺人物。他谦虚地问候道：“您好！冯工，今后要请你多多指教！”“您好！欢迎欢迎！！！”冯力雄微笑着说道。他个子很 高，有1.84米左右，背有点驼，身体略显瘦弱单薄，感觉特平易近人、特有亲和力。在蒋明辉的介绍下，马启明才知道冯力雄 在啤酒界是凤毛麟角的技术领军人物。在花开啤酒厂竟有这么德高望重的啤酒专家，马启明被震撼了，不由敬佩地多看了冯力 雄几眼，好像看毛主席雕塑像一样。“这位是人保科的张科长。”蒋明辉刚开口，张之文很有力度地握了握马启明的手，哈哈 笑道：“我们上次在海涛州人事局见过，算是老朋友了，对不对？”张之文是马启明在花开啤酒厂第一个认识的人。马启明热 烈地回答道：“对的，对的，是老朋友了！呵呵！”马启明觉得张之文的这几句话，无形之中拉近了他们的关系，又一次觉得 笑是两人间最短的距离，同时握手时给人一种放心踏实的感觉，心想不愧是搞人事工作的。他个子1.72米左右，长相清秀，像 个中学生，好像岁月是对他分外眷顾，舍不得在他的脸上留下印记，给人一种南方男人特有的办事干练、精明强干的感觉。马 启明觉得自己跟着蒋明辉到处烧香拜佛似的，几路神仙都拜到了。谷仕昊召召手说道：“小马，来，我们坐下来边吃边谈。” 马启明和刘丽娟拘谨地坐了下来，谷仕昊一边吃菜一边问了马启明和刘丽娟的专业情况。然后介绍道：“这几年啤酒厂发展较 快，啤酒供不应求，产量不断在扩大，急需专业技术人才，你们所学的专业正是我们需要的，年轻人好好干吧！”领导发话了， 给马启明指明了今后前进的方向。马启明不住地点头，连敬酒也没有敬。傻里吧唧，傻愣货一个。席间马启明也向张之文了解 一些啤酒厂的实际状况，方知道啤酒厂目前在江苏啤酒行业也算是龙头企业，职工收入在本地算是很高了，年平均能达到5300 元。5300元在1993年确实算高收入，足够马启明两口子用的了，而在当时海涛州年社会平均工资是3000元左右。听到收入这么 高，“钱景”大好，马启明两口子顿时不由得会心地
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用举例1、某人骑自行车的确速度为1v ，风速为2v ，则逆风行驶的速度在大小为 。
2、用力F 推动一物体水平运动 s m ,设F 与水平面角为θ，则对物体所做的功为3、初速度0v ,发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与0v 之间的关系式（t 是飞行时间）为4、作用于原点的两个力12(1,1),(2,3)F F ，为使它们平衡，需要加力3F =_______________。
5.一辆汽车从A 地出发向西行驶了100 km 到过B 地，然后又改变方向向北偏西400走了200 km 到达C 地，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 地，这辆汽车的位移是 .6.已知物体在共点力1F =（2lg ,2lg ），2F =（2lg ,5lg ）作用下产生位移S=（1,5lg 2），那么共点力对物体做的功W= 。
7. 1kg 的重物在两根细绳的支持下，已知两细绳与水平线分别成30︒, 60︒到多大的力？8.设作用于同一点O 的三个力F 1、F 2、F 3处于平衡状态，如果| F 1|=1，|F 2|=2，F 1与F 2的夹角为32π.求①.F 3的大小；②.∠F 3OF 2的大小.参考答案：P1.12v v -2.||cos F s θ⋅3.201||sin ||2y v t g t θ=⋅-4.（-3，-4）5.200 km6.解：||W =θcos ·||=||·||·=∙||||S F ·S =（1F ＋2F ）·S =2 7.解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90︒||=1 (kg)∠P 1OP=60︒ ∠P 2OP=30︒∴||1=||cos60︒=1•21=0.5 (kg)||2=||cos30︒=1•23=0.87 (kg)即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg 和0.87 kg 。
8.解：①F 1、F 2、F 3三个力处于平衡状态，故F 1+F 2+F 3=0，即F 3= -（F 1+F 2）.∴| F 3|=| F 1+F 2|=2122212212)(F F F F F F ∙++=+332cos21241=⨯⨯++=π②如图：以F 2所在直线为x 点，建立直角坐标系.将向量F 1、F 3 由受力平衡知⎪⎩⎪⎨⎧-==-+)232cos(||sin ||||)32cos(||cos ||13213ππθππθF F F F F 解之得6πθ=,于是∠F 3OF 2656πππ=-=。
数学(2.5.2向量在物理中的应用举例)
向量的表示方法
总结词
向量可以用箭头表示，箭头的长度代 表大小，箭头的指向代表方向。
详细描述
在数学和物理中，向量通常用箭头表 示，箭头的长度代表向量的模长，箭 头的指向代表向量的方向。在坐标系 中，向量也可以用坐标表示。
向量的运算规则
总结词
向量具有加法、减法、数乘等基本运算规则，这些运算规则遵循平行四边形法 则或三角形法则。
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向量在物理中的重要性
描述物理现象的数学工具
向量是描述物理现象的重要数 学工具，如力、速度、加速度 等物理量都可以用向量表示。
向量具有大小和方向两个要素， 能够准确地描述物理量的变化 和方向。
向量运算（加法、数乘、向量 的模等）能够描述物理量的合 成与分解。
解决物理问题的有效方法
向量在解决物理问题中具有高效性和准确性，通过向量的运算和变换可以简化问题。
向量在解决力学、电磁学、振动与波动等问题中具有广泛的应用，能够提供简洁明 了的解决方案。
向量方法可以避免复杂的解析过程，提高解题效率。
连接数学与物理的桥梁
向量作为数学和物理之间的桥梁，能 够将数学理论应用于实际物理问题。
向量的引入和发展推动了数学和物理 学的发展，促进了科学技术的进步。
通过向量的应用，能够将抽象的数学 概念与具体的物理现象联系起来，促 进数学与物理的相互理解和应用。
详细描述
在物理中，力的合成与分解是常见的运算。例如，当一个物体受到两个力的作用时，可 以通过向量的合成求出这两个力的合力；同样地，当需要将一个力分解为若干个分力时， 也可以通过向量的分解来实现。力的合成与分解在工程、力学等领域有着广泛的应用。
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通 过向量运算可以方便地描述它们的方向和大小。
数学-向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用举例高中数学 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1 如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解 如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案 10解析 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2 (教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2 某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案 60 30°解析 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3 已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解 如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3 一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案 －40解析 ∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案 C 解析 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案 D解析 两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案 D 解析 F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 D解析 作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案 A解析 在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案 D解析 因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案 D解析 为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案 B解析 由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案 D解析 如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案 BD解析 根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案 π4解析 设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案 0.5解析 如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案 B解析 对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案 D解析 设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案 －53737解析 因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案 0 98解析 物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案 AC 解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解 设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。
高中数学向量的运算技巧及应用举例
高中数学向量的运算技巧及应用举例向量是高中数学中的重要概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。
掌握向量的运算技巧和应用，对于高中学生来说至关重要。
本文将以具体的题目为例，详细介绍向量的运算技巧及其应用。
一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基础的部分。
在进行向量的加减运算时，需要注意向量的方向和大小。
例题1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量c = a + b。
解析：根据向量的加法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之和，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之和。
因此，向量c = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。
例题2：已知向量a = (3, 5)和向量b = (2, -4)，求向量c = a - b。
解析：根据向量的减法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之差，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之差。
因此，向量c = (3 - 2, 5 - (-4)) = (1, 9)。
通过以上两个例题，我们可以看出向量的加法和减法运算实际上就是对应坐标的加减运算。
掌握了这一点，我们就能够轻松地进行向量的加减运算。
二、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
数量积表示两个向量的乘积，向量积表示两个向量的叉乘。
例题3：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的数量积。
解析：向量a和向量b的数量积等于向量a的横坐标乘以向量b的横坐标之和，再加上向量a的纵坐标乘以向量b的纵坐标之和。
因此，向量a和向量b的数量积为3 * 2 + 4 * (-1) = 6 - 4 = 2。
例题4：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的向量积。
解析：向量a和向量b的向量积等于向量a的横坐标乘以向量b的纵坐标减去向量a的纵坐标乘以向量b的横坐标。
高中数学第2章平面向量7向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例课件北师大版必修
知识点一 向量在物理中的应用
1．人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度 为( )
A．v1－v2 C．v1＋v2
B．v2－v1 D．|v1|－|v2|
答案：C
2．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力→F1，
→F2，则|→F1＋→F2|为(
)
A．(5,0)
【方法总结】 用向量的方法解决相关的物理问题，要将 相关物理量用几何图形表示出来；再根据它的物理意义建立数 学模型，将物理问题转化为数学问题求解；最后将数学问题还 原为物理问题．
如图所示，用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB 上，平衡后，G 点 距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的质量忽略 不计)．
解：设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b. 而|B→D|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－ 2a·b＝4，所以 2a·b＝1. 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋ |b|2＝5＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
第二章 平面向量
§7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问 题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等 问题.
B．(－5,0)
C． 5
D．－ 5
答案：C
知识点二 向量在解析几何中的应用
3．已知直线 l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与 l 平行，则
向量在物理中的应用举例
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是多少？
（2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两的速度 v1 = 10km / h , 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时，所用时间是 多少(精确到0.1 min)?
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间最短呢?
（2） V1的方向如何才能使航程时间最短?
思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它要横渡30m 的河流,已知水流的速度是4km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达正对岸吗? 2.最短多少时间可以过河?
步骤小结：
物理问题 (实际问题） 向量问题
(数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
P
作 业
3、 4
125
； / 深圳长途搬家 ；
吧,俺才不失望.”老七哼哼の说.老陆看向鞠言,点了点头,而后踏步走出,登上场中擂台.“鞠言,呐位老陆兄弟,实历比老七还强吗?”楚先列有些担心の问鞠言.“确实比老七强.”鞠言道.“老陆兄弟也是道皇境界?若是圣道境,可不符合规矩.”楚先列又说道.“放心吧,俺知道.”鞠言笑 了笑.另壹边,玉书门战营人群.“新矿源,已经是俺们の囊中之物了！”白安书低声笑着与鹿琛交谈.“嗯,呐第叁场羊石出面,能够说稳操胜券.除非对方是圣道境,否则绝不可能是羊石对手.”鹿琛对羊石,信心拾足.羊石是他们幽冥宗の人,他对羊石の实历,非常了解.当然了,羊石也是幽冥 宗の核心成员,是宗门上下,最为看叠の成员.以羊石の能历,壹旦晋升炼体圣道,那么即便是刚刚晋升圣道壹境の羊石,都足以与寻常圣道贰境修行者抗衡.“还要多感谢鹿统领の帮忙啊！”白安书笑道.“也算是凑巧,羊石前壹段事间,刚好来混乱之地历练.否则,俺们也没有足够事间,通知 在宗门本部の羊石及事赶来
向量在物理中的应用举例
3.质量 m＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10 N 的作用下，沿倾斜角 θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m 的距离.(g＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多 少？
解：(1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和 支持力 FN，如图所示， 拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为 WF＝ F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)； 支持力 FN 与位移方向垂直，不做功，所以 WN＝FN·s＝0； 重力 G 对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝ －19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝ 0.4(J).
[典例 2] 已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一 质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质 点所做的功.
[解] 设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W ＝F·s.∵―AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).
＋F22＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2 5. 答案：C
3.一条河宽为 800 m，一船从 A 处出发想要垂直到达河正对岸 的 B 处，若船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________min. 解析：由题意作出示意图，如图， ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h， |v2|＝12 km/h，
二、创新应用题 5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速
度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30°，受风力影响， 静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂 直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速 度大小及方向.
向量的定义,并举出向量的例子
向量的定义是一种具有大小（长度）和方向的量。
向通常用箭头或字母加上箭头来表示，如A→或AB→。
在数学中，向量可以表示为n维空间中的一个点或从原点指向该点的有向线段。
举例说明向量：
1.平面向量：在二维平面上，可以用x轴和y轴上的分量表示向量。
例如，向
量AB→可以表示为(3, 4)，即向右移动3个单位，向上移动4个单位。
2.三维向量：在三维空间中，可以用x轴、y轴和z轴上的分量表示向量。
例
如，向量AB→可以表示为(2, -1, 5)，即向右移动2个单位，向下移动1个单位，向上移动5个单位。
3.物理中的向量：速度和加速度是物理中常见的向量。
例如，一个物体以每秒
20米的速度向东移动，其速度向量可以表示为(20, 0)。
4.几何向量：在几何学中，向量可以表示为一个起点和终点之间的线段。
例如，
向量AB→表示从点A到点B的方向和长度。
这些例子展示了向量的不同应用领域和表示方式。
向量在数学、物理、计算机图形学等领域具有广泛的应用。
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
向量在物理中的应用举例 课件
1．力与向量 力与前面学过的自由向量有区别． (1)相同点：力和向量都既要考虑 大小 又要考虑 方向 ． (2)不同点：向量与 始点 无关，力和 作用点 有关，大小和方 向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．
2．向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是 向量 ． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、减 运算，运动的叠加亦用到向量的合成． (3)动量 mν 是 数乘向量 ． (4)功即是力 F 与所产生位移 s 的 数量积 .
为
v
和
v2
的夹角，α
为锐角)，
所以 α＝30°.
所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h.
跟踪训练 1 某人在静水中游泳，速度为 4 3 km/h，水的流速
为 4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前
进？实际前进的速度大小为多少？ 解 如图所示，设此人的实际速度为O→B，水流速度为O→A. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为O→B－O→A＝A→B，
答 如右图所示，设木块的位移为 s， 则 F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3(J)． 将力 F 分解，它在竖直方向上的分力 F1 的大小为 |F1|＝|F|sin 30°＝50×12＝25(N)， 所以，摩擦力 f 的大小为 |f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此，f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
解 (1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，
得－G＝F1＋F2，|F1|＝co|Gs|θ，|F2|＝|G|tan θ， 当 θ 从 0°趋向于 90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
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y
r
n
.
r
uur n0
nr n
A ,
A2 B2
B .
A2 B2
于是，点M x0 , y0 到直线
l : Ax By C 0的距离等于向量 uuur uur PM在n0方向上射影的长度:
P(x, y) M(x0,y0)
o
x
l: Ax+By+C=0
d
uuur uur PM n0
x0
x,
y0
y
A ,
A2 B2
B
A2 B2
A x0 x B y0 y Ax0 By0 Ax By
A2 B2
A2 B2
又因为P x, y为l上任意一点，所以c Ax By,
故d Ax0 By0 c. A2 B2
特别提醒: 1.在使用该公式前，需将直线方程化为一般式． 2. A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0且B=0时一 般不用此公式计算距离．
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化.
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
一定是垂
l
线段哟！
.M
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. M (x0,y0)
o
x
点到直线的距离公式
已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0. 则点M到直线 l 的距离d为:
d Ax0 By0 C A2 B2
思考2 如何借助向量的方法来证明点到直线的距离 公式？
证明：M x0, y0 是直线外一定点，
y
P x, y是直线上任意一点，由直 l
线l : Ax By C 0,可以取它的 r
方向向量v=B, A.一般地，称与
直线的方向向量垂直的向量为该
直线的法向量.
o
r n
.
P(x, y)
M(x0,y0)
③P 0,0 , 4x + 7y = 37.
37 65 65
④P -1, -2 , x + y = 0. 3 2 2
⑤P 2,3 , x -1 = 0. 1
⑥P 1,-1 , y + 2 = 0. 1
探究点2 几何中的应用举例
例2 如图,已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点.
C
uuur uuur uur
两式相减，得CH CB CA 0，
uuur uuur
uuur uuur
即CH AB 0,所以CH AB，
D E
H
CH AB,又CF AB,
A
所以C，H，F 三点共线，H 在CF 上.
F
B
思考3 根据例题你能总结一下利用向量法解决平 面几何问题的基本思路吗？
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
M (x0,y0)
Q (x0,y1)
x
y (x1,y0) Q
M(x0,y0)
o
x
MQ y0 - y1
x=x1
MQ x0 - x1
例1 求点P 1,2到直线l：2x y 1 0的距离.
解： x0 1, y0 2, A 2,B 1,C 1. 点到直线的距离公式，得
§7 向量应用举例
平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等， 是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由 向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几 何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决 问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践 中去探究、领会和总结.
探究点1 点到直线的距离公式 思考1 用向量方法解决平面几何问题的基本思 路是什么？
思考4 物理中力的合成与分解中体现了向量的哪种 运算? 提示：体现了向量的加减法的运算. 思考5 在物体的运动过程中,是否力越大,做的功就 越多? 提示：不一定.力所做的功不仅取决于力的大小,还和 力与物体运动方向的夹角有关系.
例3 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行 1 000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A 地的南偏西60°，并且A，C两地相距2 000km，求 飞机从B地到C地的位移.
过点B作东西基线的垂线，交AC于D，
则ΔABD为正三角形.所以BD CD 1 000km，
CBD BCD 1 BDA 30o.所以ABC 90o. 2
BC ACsin60o =2 000
3 =1 000
uuur
3 km,BC=1
000
3km.
2
答：飞机从B地到C地的位移大小是1000 3 km，
方向是南偏西30o .
向量解决航空、航海问题方法： 1.按照题意正确作图. 2.分析图形的边角关系. 3.利用平面几何的知识求出答案.
分析要:求飞机从B地到C地的位移， 北
需要解决两个问题：
⑴利用解三角形的知识求线段BC
B
西
60o
东
的长度.
60o A D
⑵求BC与基线的夹角.
C
南
解：设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意，
uuur
uuur
uuur
AB的方向是北偏西60o，AB km；AC的方向是
uuur
南偏西60o，AC km.所以BAC 60o.
所以AH CB 0,BH CA 0.
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur
又 CH CA CB CH CB CA CB 0,
uuur uuur uur uuur uur uuur uur
CH CB CA CH CA CB CA 0，
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何元素.
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
探究点3 物理中的应用举例
21 1 2 1
d
5,
22 12
所以点P 1,2到直线l的距离为 5 .
技巧方法: 认清公式的形式，找准每一个变 量代表的数值，准确代入，精确 计算.
课堂练习
求下列各点到相应直线的距离
①P 0,3 ,3x + 4y = 0.
12 5
②P -2,0 , 4x + 3y -1 = 0.
9 5
思路分析
C D
解决此类问题一般是将相关的线 E
段用向量表示，利用向量的三角形 A
H
法则和平行四边形法则，结合题目
F
B
中的已知条件进行运算，得出结果，
再翻译成几何语言 .
证明 :设AD , BE交于点H，以下只需
证明点H在CF上.因为AD BC ,BE CA, uuur uuur uuur uur