2018届河南省百校联盟TOP20一月联考数学理卷(全国Ⅰ卷)
广雅中学、东华中学、河南名校2018届高三上学期第一次联考数学(理)试题及答案解析
广雅、华东中学、河南名校2018届高三阶段性联考（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|560},{|2}A x x x B x x =--≤=≥，则()R A C B =（ ）A ．[]1,2-B ．[1,2)-C ．(2,6]D ．[2,6]2. 双曲线22221(0)4x y a a a-=≠ 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．4y x =±D ．y = 3. 已知()(47)5m ni i ++=，其中,m n 是实数，则咋复平面内，复数z m ni =+所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4.曲线3x y e =在点(0,3)处的切线方程为 （ ） A ．3y = B ．3y x = C ．33y x =+ D ．33y x =- 5. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为123451,1024n S a a a a a =，且243,,a a a 成等差数列， 则5S = （ ） A ．3316B ．3116C ．23D ．11166.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则 （ ） A ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥ B ．若,,m n αββα⊂⊂⊥，则m n ⊥C ．“直线m 与平面α内的无数条直线垂直”上“直线m 与平面α垂直”的充分不必要条件D ．若,,m n n m βα⊥⊥⊥，则αβ⊥7. 已知随机变量~(7,4)X N ，且(59),(311)P X a P X b <<=<<=，则(39)P X <<=（ ）A ．2b a - B ．2b a + C ．22b a - D ．22a b-8. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线3:2l x =-，点M 在抛物线C 上，点A 在左准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF 的斜率AF k =则AFM ∆的面积为（ ）A ．．．．9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．2483π+ B ．88π+ C ．3283π+ D ．32243π+10.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填 （ ） A ．60i > B ．70i > C ．80i > D ．90i >11. 已知函数()22cos 38f x x m x m m =-++-有唯一的零点，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．4-C ．4-或2D ．2-或4 12. 已知函数()23(12cos )sin()2sin cos()()222f x x x πππθθθ=-+--≤，在3[,]86ππ--上单调递增，若()8f m π≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A．)+∞ B ．1[,)2+∞ C ．[1,)+∞ D．)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在长方形ABCD 中，24AB AD ==,点E 是边AB 上的中点，则BD CE ⋅= ．14.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15.已知实数,x y 满足22222x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =->的最小值为 ．16.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若124,0,14(2m m m S S S m -+=-==≥且)m N +∈，则m = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知cos cos (1)22C Aa +=. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积S 取到最大值时a 的值.18. 为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数； （2）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为X ，求X 的分布列与期望.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，011,90,BA BC BB ABC BB ==∠=⊥ 平面ABC ，点E 是1A B 与1AB 的交点，点D 在线段AC 上，1//B C 平面1A BD . （1）求证：1BD AC ⊥；（2）求直线1AC 与平面11A B D 所成的角的正弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>倍，A 是椭圆C 的左顶点，F 是椭圆C 的右焦点，点0000(,)(0,0),M x y x y N >>都在椭圆C 上.（1）若点(D -在椭圆C 上，求的最大值； （2）若2(OM AN O =为坐标原点），求直线AN 的斜率. 21.已知函数()xf x e ax =-.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若存在,[0,2]m n ∈，且1m n -≥，使得()1()f m f n =，求证：11a e e ≤≤-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:20C x y y +-=，倾斜角为6π的直线l 过点(2,0)M -，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程cos()4πρθ-=（1）求1C 和2C 焦点的直角坐标；（2）若直线l 与1C 交于,A B 两点，求MA MB +的值. 23.已知函数()414f x x x a =+-+ .（1）若2a =，解关于x 的不等式()0f x x +<； （2）若x R ∃∈，使()5f x ≤-，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BADCD 6-10: DBCAB 11、A 12：C二、填空题13. 4 14. 17 15. 6- 16. 5三、解答题17.解：（1）因为cos sin cos sin (1)sin (1)2222C A C C Aa A +=⇒+=，在ABC ∆中，sin 0A >1cos 12C C -=，从而sin()16C π-=，因为0C π<<，所以5666C πππ-<-<，所以2623C C πππ-=⇒=.（2）由（1）知23C π=，所以sin C =，所以1sin 2S ab C ==， 因为22222cos 62a b c C a b ab ab+-=⇒+=-， 因为222a b ab +≥，所以2ab ≤，所以S =≤，当且仅当a b ==时等号成立. 18.（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是8383832+=， 乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是1(70280490269036907)858⨯+⨯+⨯++++++++=. （2）记“从乙地抽取1人进行问卷调查不低于80分”为事件A ，则63()84P A ==.随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，且3(4,)4X B ，所以4431()()(),0,1,2,3,444kkkP X k C k -===，所以变量X 的分布列为：()3434E X =⨯=. 19.解：（1）如图，连接ED ，因为1AB C平面11,//A BD ED B C =平面1A BD ，所以1//B C ED .因为E 为1AB 的中点，所以D 为AC 的中点. 因为AB BC =，，由1A A ⊥平面,ABC BD ⊂平面ABC ，得1A A BD ⊥， 又1,A A AC 是平面11A ACC 所以内的两条相交直线，得BD ⊥平面11A ACC ，因为1AC ⊂平面11A ACC，所以1BD AC ⊥.(2)令1AB =，则11BC BB ==，如图，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -， 则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,0),(,,0)22A B C D ，得11111(1,0,0),(,,1)22B A B D ==-， 设(,,)m x y z =是平面11A B D 的一个法向量，则11111111011022m B A x m B A m B D x y z m B D ⎧⋅==⎧⊥⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+-=⊥⎪⎪⎩⎩， 令1z =，得(0,2,1)m =，又1(1,1,1)AC =--,设直线1AC 与平面11A B D 所成的角为θ，则sin θ==20.解：（1）依题意，a b =2222159x y a a +=，将(D -代入， 解得29a =，故(2,0)F ，设11(,)N x y，则1[3,3]NF x ===∈-， 故当13x =-时，NF 有最大值为5.（2）由（1）知，a b =2222159x y a a +=，即222595x y a +=， 设直线OM 的方程为11(0),(,)x my m N x y =>，由222595x my x y a=⎧⎨+=⎩，得2222222559559a m y y a y m +=⇒=+， 因为00y >，所以0y =，因为2//OM AN AN OM =⇒，所以直线AN 的方程为x my a =-，由222595x my a x y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=， 所以0y =或21059am y m =+，得121059amy m =+， 因为2OM AN =，所以0011(,)(22,2)x y x a y =+，于是012y y =，220(0)59amm m =>+，所以m =，所以直线AN 的斜率为13m =. 21.解：（1）当2a =时，()()22x x f x e x f x e '=-⇒=-， 又()0ln 2f x x '>⇒>，由()0ln 2f x x '<⇒<，所以函数()f x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞. （2）由()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增；由()()1f m f n =可得m n =，与1m n -≥相矛盾， 所以0a >，且()f x 的单调递增区间为(ln ,)a +∞，单调递减区间为(,ln )a -∞. 若,(,ln )m n a ∈-∞，则由12()()f x f x =可得12x x =，与121x x -≥相矛盾， 同样不能有,(ln ,)m n a ∈+∞，不妨设02m n ≤<≤，则由0ln 2m a n ≤<<≤，因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减，在(ln ,)a n 上单调递增，且()()1f m f n =，所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n ≤=.由02m n ≤<≤，1m n -≥，可得1[,]m n ∈，故()()()1f f m f n ≤=， 又()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，且0ln m a ≤<，所以()()0f m f ≤， 所以()()10f f ≤，同理()()12f f ≤，即212e a e a e a-≤⎧⎨-≤-⎩，解得21e a e e -≤≤-，所以11ae e ≤≤-.22.解：（1）曲线2C 的极坐标方程为cos()4πρθ-=化为直角坐标系的方程为20x y +-=，联立222020x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点的坐标为(0,2),(1,1).（2）把直线的参数方程2(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入2220x y y +-=，得221212t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2121)40,1t t t t -+=+=， 易知点M 在圆2220x y y +-=外，所以121MA MB t t +=+=. 23.解：（1）若2a =，则不等式化为()41420f x x x x =+--+<，若14x <-，则41420x x x --+-+<，解得3x <，故14x <-； 若1142x -≤≤，则41420x x x ++-+<，解得19x <，故1149x -≤≤；若12x >，则41420x x x +-++<，解得3x <-，故无解，综上所述，关于x 的不等式()0f x x +<的解集为1(,)9-∞，（2）x R ∃∈，使()5f x ≤-等价于()min []5f x ≤-， 因为()414(41)(4)1f x x x a x x a a =+--≤+--=-， 所以()11a f x a --≤≤-，所以()f x 的最小值为1a --， 所以15a --≤-，得4a ≥或6a ≤- 所以a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞.。
百校联盟2018届TOP20一月联考(全国Ⅰ卷)理科数学试题(含解析)
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精品解析：【全国百强校】河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试数学(理)试题(原卷版)
南阳一中2018届高三第二十次考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A. C. D.2. ）A. B. C. D.3. ）A. B. C. D.4. 某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为两个则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（）A. B. D.5. 成等比数列，则椭圆）A. D.6. 执行如图所示的程序框图，若输入）A.D.7. 中，，，为（）8. ，函数个单位后与原图像重合，则）A. C. D.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. C. D.10. ）A. C. D.11. 恰为正方形面积为（）A. D.12. 已知函数，若有且仅有两个整数（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ．14. 已知双曲线的离心率为左焦点为的最小值为__________．15. __________．16. 为锐角的外心，，若__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（218. 中，侧面为（1（2.19.产量变化而有所变化，经过段时间的产销，得到了:（1）请判断单的理由；（2少?中，20. 的准线轴交于椭圆，抛物线与椭圆轴上方一点，连接并延长之间移动.（1（2的边长恰好是三个连接的自然数，求.21.（1时，恒成立，求实数（2，求函数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. ，其参数方程为)。
以坐标原点的极坐标方程为（1的直角坐标方程；（223. ，其中（1（2的不等式.。
精品解析：【全国校级联考】百校联盟2018届TOP20三月联考(全国II卷)理数试题(解析版)
百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，，则，所以集合的子集个数为4.故选D.2. 已知是虚数单位，，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选C.3. 古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息尺绢，过期第二天利息是尺，这样，每天利息比前一天增多尺，若过期天，欠债方共纳利息为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】D【解析】每天的利息构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以共纳利息为（尺）. 故选D.4. 某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】若种植2块西红柿，则他们在13，14或24位，其中两位是黄瓜和茄子，所以共有种种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共种.故选B.5. 函数的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，则时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，,由函数图象变换可得，因为，所以，故的取值范围是.故选A.6. 已知为坐标原点，等轴双曲线的左，右顶点分别为，，若双曲线的一条渐近线上存在一点，使得，且的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设，设的中点为，由，又,所以，又，所以双曲线的方程为.故选B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出考点：程序框图8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据给定的三视图可知，该几何体为如图（1）所示的几何体，是一个斜三棱柱，过点D 作AC 的平行线分别交于点E,F ，因为平面，截取后，补到几何体左侧，使得与重合，构造一个以为底面，以为高的直三棱柱，如图（2）所示，所以.点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 当时，下列有关函数，的结论正确的个数为（）①是偶函数；②与有相同的对称中心；③函数与的图象交点的横坐标之和为；④函数与的图象交点的纵坐标之和为.A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，，故①不正确；.所以，函数关于点对称，根据图象的平移，可得的图象也关于点对称，故②正确；令，得，解得或.由，所以和.所以横坐标之和为0，纵坐标之和为，故③④正确，故选C.10. 已知为坐标原点，平行四边形内接于椭圆，点，分别为，的中点，且，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据平行四边形的几何特征，A和C，D和B关于原点对称，所以为坐标原点，所以，设，所以.所以，所以，所以离心率为.故选A.11. 如图：是圆锥底面圆的直径，，是圆锥的两种母线，为底面圆的中心，过的中点作平行于的平面，使得平面与底面圆的交线长为，沿圆锥侧面连接点和点，当曲线段长度的最小值为时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据线面平行的性质定理，平面与底面圆的交线一定经过底面圆心，所以底面圆的半径为2，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，如图，曲线段AD的最小值为线段AD，所以，所以，所以，因为底面圆的周长为，所以母线长为6，，根据图形，球心一定位于所在直线上，设球心为，半径为，所以，所以，所以.故选D.点睛：（1）曲面上两点距离的最小值，一般的思路是化曲为直，即将平面展开求两点连线即可.（2）与球有关的组合体，注意运用性质，为底面的外心.12. 已知函数，，存在，使得的最小值为，则函数图象上一点到函数图象上一点的最短距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，（1）当时，.所以在上单调递减.（舍去）.（2）当时，.①当时，,在恒成立，所以在上单调递减.（舍去）.②当时，，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增.所以满足条件.设与直线平行的直线与相切，切点为，则，所以.所以切点为，所以最短距离为.故选C.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知菱形的边长为，，，，则__________．【答案】【解析】.所以.故答案为：.14. 若，满足约束条件则的取值范围为__________．【答案】【解析】满足条件的可行域如图所示，设，则,表示直线在轴上的截距，当直线经过(3,0)时最小，当直线经过(2,2)时，最大，所以，所以.故答案为：.15. 春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过人的概率为__________．【答案】【解析】根据正态分布的对称性，每个安检人口超过1100人的概率：.所以这三个安检人口每天至少有两个超过1100人的概率为.16. 已知数列的奇数项和偶数项为公比为的等比数列，，且.则数列的前项和的最小值为__________．【答案】【解析】当为奇数时，设；当为偶数时，设，综上：设.为偶数时，.又.当时，因为是关于的增函数，又也是关于的增函数，所以，学。
(完整word)2018年高考全国卷1理科数学试题及答案,推荐文档
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1 i1•设 z2i ，则 |z|1 iA • 0 2.已知集合A 2X X 1 B •-2 x 20，则金Ac.1DA •X1 x 2B • x | 1 x 2C . X|X1 U x x 2D .x | x1 U x|x23 •某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：A •新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D •新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半建设前经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是建设后经济收入构成比例C . p 2=p 3D . p 1 = p 2+p 3设S n 为等差数列a n 的前n 项和，若3S 3 S S 4, a 1 2,则a 5A .12B .10C . 10D . 12设函数f(x) (a 1)x 2 ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y f (x)在点(0,0)处的切线方程为A . y 2x 在△ ABC 中,C . y 2xAD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，贝U EB3 uuu 1 uur A . -AB -AC4 41 uur 3 uuir B . AB AC 4 43 uuu C . - AB 4 1 uuur-AC41 uuu D . — AB43 uuur -AC 4某圆柱的高为 2，底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中，最短路径的长度为A .2 .17B .2.5 C . 3D . 28.设抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为F , 过点(—,20 )且斜率为- 3的直线与C 交于M , uuuu N 两点，贝U FM A . 5B.6 C . 7D . 89.已知函数 f(x) xe , x 0, ln x , x 0,g(x) f(x) x a.若 g (x )存在2个零点，则 a 的取值范围是A .[-, 0)B [0, +m )C . [-,+m )D . [1 , +〜 10 •下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形•此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 uur FN = 直角三角形 ABC 的斜边BC ,直角边AB , AC . △ABC 的三边所围成的区域记为 I ，黑色部分记为 II ,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点，此点取自 I ,11 , III 的概率分别记为P 1, P 2, P 3,则 P 1=P2B . p 1=p 3211.已知双曲线C：— y21 , O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点3分别为M、N.若厶OMN为直角三角形，则|MN|=A . 32B . 3C. 2 3D. 41 2 .已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为A . B.二C. 口 D . -J4342_、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省名校联盟2018届高三第一次段考数学理试卷Word版含答案
河南名校联盟2017—2018学年高三适应性考试（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1A x x =-≤或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ） A ．{}1A B =I B ．A B A =R I ð C ．()(]0,1A B =R I ð D ．A B =R U 2．复数21iz =+，则2z =（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i3．如图所示为一个88⨯的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，则落在黑格内的豆子总数最接近（ ） A ．40 B ．50 C ．60 D ．64 4．在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则6a =（ ） A ．6 B ．8± C ．8- D ．85．空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的有（ ）1p ：若αβ⊥且αγ⊥，则βγ∥； 2p ：若a b ⊥且a c ⊥，则b c ∥； 3p ：若a α⊥且b α⊥，则a b ∥； 4p ：若a α⊥，b β⊥且αβ⊥，则a b ⊥.A ．1p ，2pB ．2p ，3pC ．1p ，3pD ．3p ，4p6．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入20a =，8b =，则输出的结果为（ ）A ．4a =，3i =B ．4a =，4i =C ．2a =，3i =D ．2a =，4i =7．已知e113e 2m dx x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰，则m 的值为（ ） A ．e 14e - B ．12 C ．12- D ．1- 8，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ） A ．16 B ．163 C ．83D ．8 9．变量x ，y 满足22221x y x y y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（ ）A ．[]1,2B ．[]2,5C ．[]2,6D ．[]1,6 10．在()()26211x x +-的展开式中，3x 项的系数为（ ）A ．32B ．32-C ．20-D ．26-11．过抛物线22y px =（0p >）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点向y 轴引垂线交y 轴于D ，C ，若梯形ABCD的面积为p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知非零向量a r ，b r满足()a a b ⊥+r r r ，()4b a b ⊥+r r r ，则b a=r r ．14．已知圆O ：221x y +=，点125,1313A ⎛⎫⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，记射线OA 与x 轴正半轴所夹的锐角为α，将点B 绕圆心O 逆时针旋转α角度得到点C ，则点C 的坐标为 ．15．以双曲线22221x y a b-=的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为 ． 16．数列πcos3n n n b a =⋅的前n 项和为n S ，已知20151S =，20160S =，若数列{}n a 为等差数列，则2017S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且满足2sin 3R a A =.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆周长的最大值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，PDC ∆和BDC ∆均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC ，点E 为PB 中点.（1）求证：AE ∥平面PDC ；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.19．某建材公司在A ，B 两地各有一家工厂，它们生产的建材由公司直接运往C 地.由于土路交通运输不便，为了减少运费，该公司预备投资修建一条从A 地或B 地直达C 地的公路；若选择从某地修建公路，则另外一地生产的建材可先运输至该地再运至C 以节约费用.已知A ，B 之间为土路，土路运费为每吨千米20元，公路的运费减半，A ，B ，C 三地距离如图所示.为了制定修路计划，公司统计了最近10天两个工厂每天的建材产量，得到下面的柱形图，以两个工厂在最近10天日产量的频率代替日产量的概率. （1）求“A ，B 两地工厂某天的总日产量为20吨”的概率；（2）以修路后每天总的运费的期望为依据，判断从A ，B 哪一地修路更加划算.20．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的上下左右四个顶点分别为A ，B ，C ，D ，x 轴正半轴上的某点P 满足2PA PD ==，4PC =. （1）求椭圆的标准方程以及点P 的坐标；（2）过点C 作直线1l 交椭圆于点Q ，过点P 作直线2l 交椭圆于点M ，N ，且12l l ∥，是否存在这样的直线1l ，2l 使得CDQ ∆，MNA ∆，MND ∆的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 21．已知函数()2ln f x a x x ax =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为0θθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点. （1）当0π12θ=时，求AB ； （2）设AB 中点为P ，当0θ变化时，求点P 轨迹的参数方程. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =+++. （1）当1a =-时，求()f x 的最小值；（2）若()f x 在[]1,1-上的最大值为2a ，求a 的值.河南名校联盟2017-2018学年高三适应性考试（一）理科数学参考答案与评分标准一、选择题1-5:BCBDD 6-10:ABCDB 11、12：AC二、填空题13．2 14．5633,6565⎛⎫-⎪⎝⎭15 16．12-三、解答题17．解：（1）由正弦定理，得2sin aR A=， 再结合2sin 3R a A =，得2sin 2sin 3a a A A =，解得23sin 4A =，由ABC ∆为锐角三角形，得3A π=. （2）由2a =、3A π=及余弦定理，得2242cos3b c bc π=+-，即()243b c bc +=+，结合22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得()22432b c b c +⎛⎫+≤+⨯ ⎪⎝⎭，解得4b c +≤（当且仅当b c =时取等号），所以2246a b c b c ++=++≤+=（当且仅当b c =时取等号）， 故当ABC ∆为正三角形时，ABC ∆周长的最大值为6. 18．解：（1）过点E 作EF BC ∥交PC 于点F ，连接DF ； 取BC 的中点G ，连接DG∵DG 是等边BCD ∆底边BC 的中线， ∴90DGB ∠=︒.∵90ABC BAD ∠=∠=︒， ∴四边形ABGD 为矩形， ∴12AD BG BC ==，AD BC ∥. ∵EF 为BCP ∆底边BC 的中位线 ∴12EF BC =，EF BC ∥， ∴AD EF =，AD EF ∥， 四边形ADFE 是平行四边形， ∴AE DF ∥， ∵DF ⊆面PDC ， ∴AE ∥面PDC .（2）以点A 为坐标原点，AB uu u r为x 轴正方向，AD 为单位长度建立空间直角坐标系A xyz -如图所示，各个点的坐标为()0,0,0A，)B，)C，32P ⎝因此向量)AB =uu u r，32BP ⎛= ⎝uu r ，()0,2,0BC =uu u r .设面ABP 、面CBP 的法向量分别为()111,,m x y z =u r ，()222,,n x y z =r，则11110302m AB m BP x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u r uu u ru r uu r ，不妨令11y =，解得0,1,m ⎛= ⎝⎭u r ，同理得()2,0,1n =r设平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角为θ，则cos m nm nθ⋅==u r r u rr 35=19．解：（1）设“A 、B 两地公司总日产量为20吨”为事件C ， 则()54561101010102P C =⨯+⨯=. （2）同样可求A 、B 两地工厂某天的总日产量为19吨，21吨的概率分别为310、15. 若从A 地修路，从B 地到A 地每天的运费的期望为：642112012204561010⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（元）.从A 地到C 地每天的运费的期望为：311981020102⨯⨯⨯+⨯⨯18102181015925⨯+⨯⨯⨯=（元）. 所以从A 地修路，每天的总运费的期望为：45615922048+=（元）. 若从B 地修路，从A 地到B 地每天的运费的期望为：5528209203401010⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 从B 地到C 地每天的运费的期望为：311971*********⨯⨯⨯+⨯⨯⨯12171013935+⨯⨯⨯=（元）. 所以从B 地修路，每天的总运费的期望为：34013931733+=（元）. 所以从B 地修路更划算.20．解：（1）设点P 的坐标为()0,0x （00x >），易知224a =+，3a =，041x a =-=，b ==因此椭圆标准方程为22193x y +=，P 点坐标为()1,0. （2）设直线的斜率为k ，()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则1l ：()3y k x =+，2l ：()1y k x =-MNA ∆、MND ∆的面积相等，则点A ，D 到直线2l 的距离相等.=k =k =.当k =2l的方程可化为：1x =+，代入椭圆方程并整理得：25120y +-=，所以1212,5125y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以12y y -==所以MND ∆的面积为121122255PD y y ⋅-=⨯⨯=. 当k =1l 的方程可化为：3x =-，代入椭圆方程并整理得： 250y -=，解之得0y =或00y =（舍） 所以CDQ ∆的面积为162⨯=. 所以CDQ MND S S ∆∆=，满足题意，②当k =时，直线2l 的方程为：)1y x =-，代入椭圆方程并整理得： 240x x --=，所以12121,4,x x x x +=⎧⎨=-⎩所以MN ==； 又D 点到直线2l 的距离为1d ==所以MND ∆的面积为1112233MN d ⋅=⨯⨯=当3k =时，直线1l 的方程可化为：3x =-，代入椭圆方程并整理得： 20y +=，解之得0y =00y =（舍）所以CDQ ∆的面积为162⨯=所以CDQ MND S S ∆∆≠，不满足题意.综上知，存在这样的直线1l ，2l .21．解：（1）1）当0a =时，()2f x x =-，在()0,+∞上单调递减；2）当0a ≠时，()22x ax a f x x-++'=.①当0a <时，在定义域()0,+∞上，220x -<，0ax a +<，()0f x '<，()f x 单调递减；②当0a >时，()0f x '=的解为14ax =，204a x -=<（负值舍去），()f x '在()10,x 上大于0，()f x 在()10,x 上单调递增， ()f x '在()1,x +∞上小于0，()f x 在()1,x +∞上单调递减；综上所述，当(],0a ∈-∞时，()f x 在()0,+∞单调递减；当()0,a ∈+∞时，()f x 在0,4a ⎛⎪⎝⎭上单调递增，在4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）①当0a =时，()20f x x =-≤，满足题意；②当(],1a ∈-∞-时，21111e e ef a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21110e e ≥-->，不满足题意；③当()1,0a ∈-时，()21e ln 1e a f a a a e +⎛⎫⎡⎤-=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 由于()ln 0a -<且2221e 1e e 10e ea ++---<<， 所以()21e ln 1e a a a +⎡⎤---⎢⎥⎣⎦为两负数的乘积大于0，即0e a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，不满足题意； ④当()0,a ∈+∞时，由（1）可知()f x f ≤=⎝⎭112a ⎧⎫⎤⎪⎪-⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭t =，则将上式写为()()1ln 12f t a t t ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，令()0f t =，解得1t =，此时1a =，而当(]0,1a ∈时，1t ≤，()1ln 102t t +-≤，()0f t ≤满足题意； 当()1,a ∈+∞时，1t >，()1ln 102t t +->，()0f t >不满足题意；综上可得，当[]0,1a ∈时，()0f x ≤.22．解：（1）将曲线C 化为直角坐标方程得22440x y x y +--=，易知曲线C 是一个圆，且过原点.又直线l 经过原点，因此l 与圆的交点之一即为坐标原点O ，所以124AB ππρ⎛⎫==+⎪⎝⎭3π==（2）设点()0,0A ，(),B B B x y ，(),P x y ，则2B x x =，2B y y =， 由B 点在圆上，得()()()()222242420x y x y +-⋅-⋅=， 化简，得22220x y x y +--=，即()()22112x y -+-=.化成参数方程为1,1x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.23．解：（1）当1a =-时，()211f x x x =-++.当1x ≤-时，()3f x x =-； 当112x -<≤时，()2f x x =-； 当12x >时，()3f x x =. 由单调性知，()f x 的最小值为1322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）令20x a +=，得2ax =-；令10x +=，得1x =-. ①当12a-≤-，即2a ≥时，()31f x x a =++，[]1,1x ∈-， 最大值为()142f a a =+=，解得4a =.②当112a -<-≤，即22a -≤<时，()1,1,,231,,1.2a x a x f x a x a x ⎧⎡⎤--+∈--⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪++∈- ⎥⎪⎝⎦⎩其最大值在区间两个端点处取得. 若()122f a a -=-=，解得23a =，此时()()1441133f f =>-=，舍去； 若()142f a a =+=，解得4a =，舍去；③当12a->，即2a <-时，()1f x x a =--+，[]1,1x ∈-， 最大值为()122f a a -=-=，解得23a =，舍去.综上所述，4a =.。
2018届河南省天一大联考高三阶段测试(一)理科数学试题及答案
【试卷综析】 试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的
原则，着重体现了对“双基”的考查。试卷考查了中学数学
尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题着重考
查了集合、复数、函数的定义域、 图象、 单调性、 初等函数、
B.
y
2x
1 2x
C.
y ln x D. y tan x
【知识点】函数的奇偶性，单调性 .B3,B4
【答案解析】 B 解析：解： y x3 为奇函数，在 R 上单调递
x
增， y 2x 1 也是奇函数，在 R 上单调递增，所以只有 B
2
选项正确 .
【思路点拨】 利用函数的奇偶性与单调性的概念对函数进行
三角函数、不等式、程序框图、立体几何、排列组合、圆锥
曲线、统计初步等常规知识点；解答题也着眼于常规的基本
知识和基本技能的考查，考查了三角函数和解三角形、概率
统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易入手的内容，梯度设
计合理。整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回
归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保
【答案解析】解析：解：由程序框图知：算法的功能是 求 S=-2 1-2 2- … -2 n+1 的值，
∵输出 S=-126 ， S
2 1 2n 1 12
126 n 5
【 题 文 】 (6) 设 等 差 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若
a1
3
3,ak 1
, Sk
12, 则正整数 k=（
）
2
A.10 B.11 C.12 D.13
【知识点】数列的概念 .D2
百校联盟2018届TOP20四月联考全国一卷数学(理)试题及答案解析
百校联盟2018届TOP20四月联考全国一卷数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}02|{2<--=x x x A ，}01|{<-=x x B ，则=B A （ ） A ．)1,1(- B ．)1,(-∞ C ．)2,1( D ．)2,(-∞2．设复数z 满足i ziz +=-3，则=z （ ） A ．i 5251+ B ．i 5251+- C ．i 5251- D ．i 5251--3．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且2PB +=，AP BC λ=，则=λ（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．1-4．把不超过实数x 的最大整数记作][x ，则函数][)(x x f =称作取整函数，又叫高斯函数.在]4,1[上任取x ，则]2[][x x =的概率为（ ）A ．41 B ．31 C ．21 D ．32 5．执行如图所示的程序框图，则t 的值变动时，输出的x 值不可能是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．136．已知点21,F F 是双曲线C ：)0(1122>=-+a ay a x 的左，右焦点，点P 是以21,F F 为直径的圆与双曲线C 的一个交点，若21F PF ∆的面积为4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．x y 54±= B ．x y 45±= C ．x y 552±= D ．x y 25±= 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．58248++B ．2424+C ．2208+D ．28 8．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且1≥x 时，22)(2+-+=x x x f x ，若0(6)2(log ><a a f a 且)1≠a ，则实数a 的取值范围是（ ） A.)2,1()1,21(B.),2()21,0(+∞C.)2,1()21,0( D.),2()1,21(+∞ 9．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0220101y x y x y x ，若y mx z +=，z 的取值范围为集合A ，且]6,31[⊆A ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]32,31[B ．]32,911[-C ．]31,911[-D ．]6,32[10．已知数列}{n a 满足048,102141=+-<<a a a n ，且数列}4{22nn a a +是以8为公差的等差数列，设}{n a 的前n 项和为n S ，则满足10>n S 的n 的最小值为（ ） A ．60 B ．61 C ．121 D ．12211．已知x A x f cos )(=，若直线π-=x y 2与)(x f 的图象有3个交点，且交点横坐标的最大值为t ，则（ ）A ．1tan )(),,2(=-∈t t A ππB ．1tan )2(),,2(=-+∞∈t t A ππC ．1tan )(),,2(=-∈t t A ππD ．1tan )2(),,2(=-+∞∈t t A ππ12．在三棱锥BCD A -中，BD AB DB AB DC DB AC AB ⊥=+==,4,,，则三棱锥BCD A -外接球的体积的最小值为（ ）A ．3264π B ．332π C ．328πD ．34π二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=1,11,11)(x x x x x f ，若)0)(1()1(>+=-a a f a f ，则实数a 的值为 .14．已知n x )3(+的展开式中所有偶数项系数之和为496，则展开式中第3项的系数为 . 15．已知B A ,是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线PB PA ,斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .16．已知四边形ABCD 中，133====DA CD BC AB ，设ABD ∆与BCD ∆面积分别为21,S S ，则2221S S +的最大值为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列}{n a 满足31a a =，11232++=-n n n a a ，设n n n a b 2=. （1）求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S .18．每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某餐饮店从外卖数据中抽取的5天的日平均气温与外卖订单数.（1）经过数据分析，一天内平均气温)(0C x 与该店外卖订单数y （份）成线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程，并预测气温为C 012-时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）；（2）天气预报预测未来一周内（七天），有3天日平均气温不高于C 010-，若把这7天的预测数据当成真实数据，则从这7天任意选取3天，预测外卖订单数不低于160份的天数为X ，求X 的分布列与期望.附注：回归方程a x b yˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b axy y x xbni ini i iˆˆ,)())((ˆ121-=---=∑∑==. 19．如图，在几何体ABCDEF 中，底面CDEF 是平行四边形，CD AB //，4,52,2,1====DF DE CD AB ，⊥DB 平面CDEF ，CE 与DF 交于点O.（1）求证：//OB 平面ACF ；（2）若平面CAF 与平面DAF 所成的锐二面角余弦值为1030，求线段DB 的长度. 20．已知动圆M 与直线03=+x 相切，且与圆015822=+-+x y x 外切. （1）求动圆M 圆心轨迹C 的方程；（2）若直线l ：m x y +=与曲线C 交于B A ,两点，且曲线C 上存在两点E D ,关于直线l 对称，求实数m 的取值范围及||||DE AB -的取值范围. 21．已知e ax x g ax e x f x-=-=2)(,)(.（1）若)(x f 的图象在1=x 处的切线与)(x g 的图象也相切，求实数a 的值； （2）若)()()(x g x f x F -=有两个不同的极值点)(,2121x x x x <，求证：2421a e e x x<.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2+=.（1）若直线l 过点)0,2(，求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求||||OB OA +的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(2-+=x x x f . （1）解不等式||2)(x x f >；（2）若22232)(c b a x f ++≥（0,0,0>>>c b a ）对任意R x ∈恒成立，求证：3227<⋅c ab .数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．1 14．270 15．)1,23[16．87三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(Ⅰ)由n n n a b 2=,得n n n b a 2=，代入11232++=-n n n a a 得 1112322+++=-n n n n a b ，即31=-+n n b b ， 所以数列}{n b 是公差为3的等差数列， 又31a a =，所以8231b b =，即86211+=b b ，所以21=b ， 所以13)1(31-=-+=n n b b n . (Ⅱ) 由13-=n b n 得nnn n n b a 2132-==， 所以n n n S 21328252232-++++=， 143221328252221+-++++=n n n S ，两式相减得113225325213)212121(3121+++-=--++++=n n n n n n S 所以nn n S 2535+-=. 18．(Ⅰ) 由题意可知65108642-=-----=x ，11051601401158550=++++=y ，40)4()2(024)(22222512=-+-+++=-∑=i ix x，55050)4(30)2(50)25(2)60(4))((1-=⨯-+⨯-+⨯+-⨯+-⨯=--∑=ni i iy y x x，所以75.1340550)())((ˆ12401-=-=---=∑∑==ni ini iix xy y x x b， 5.27)6(75.13110ˆˆ=-⨯+=-=x b y a， 所以y 关于x 的回归方程为5.2775.13ˆ+-=x y当12-=x 时，1935.1925.27)12(75.135.2775.13ˆ≈=+-⨯-=+-=x y. 所以可预测当平均气温为C 012-时，该店的外卖订单数为193份. （Ⅱ）由题意知，X 的取值可能为0，1，2，3.354)0(3734===C C X P ，3518)1(372413===C C C X P ，3512)2(371423===C C C X P ，351)3(3733===C C X P 所以X 的分布列为79351335122351813540)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(Ⅰ)取CF 中点G ，连接OG AG ,， 在CDF ∆中，O 是DF 的中点，G 是CF 的中点，所以CD OG CD OG 21,//=， 又2,1,===CD AB CD AB ， 所以AB OG AB OG =,//所以四边形ABOG 为平行四边形， 所以AG OB //，又因为⊂AG 平面ACF ，⊄OB 平面ACF ， 故//OB 平面ACF.（Ⅱ）由2=CD ，52==DE CF ，4=DF可得222CF DF CD =+，所以DF CD ⊥，又⊥DB 平面CDEF ，故以D 为坐标原点，直线DB DC DF ,,分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，则)0,0,0(D ，)0,0,4(F ，)0,2,0(C ，设a DB =，则),0,0(a B ，),1,0(a A ，所以)0,2,4(-=CF ，),1,4(a AF --=，)0,0,4(=DF . 设平面CAF 的一个法向量),,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CF m 即⎩⎨⎧=--=-0402411111az y x y x ，取21=z 得)2,2,(a a =，设平面DAF 的一个法向量),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00即⎩⎨⎧=--=04042222az y x x ， 取12=z 得)1,,0(a -=，设平面CAF 与平面DAF 所成的锐二面角为θ， 则1030145|22|||||cos 222=++-==a a a n m θ，整理得0281072524=+-a a ，解得42=a 或2572=a ， 所以2=DB 或57.20.解：(Ⅰ)圆015822=+-+x y x 化为标准方程为1)4(22=+-y x ， 设动圆M 圆心坐标为),(y x P ，由动圆M 与直线03=+x 相切，且与圆015822=+-+x y x 外切，得41|3|)4(22+=++=+-x x y x ，两边平方整理得x y 162=.所以动圆M 圆心轨迹C 的方程为x y 162=.(Ⅱ)m x y +=与x y 162=联立得，0)162(22=+-+m x m x ，因为直线l 与曲线C 交于B A ,两点， 所以04)162(22>--m m ，解得4<m ，① 设),(),,(2211y x B y x A ，则16221+-=+m x x ，221m x x =， 所以m x x x x x x AB -=-+=-=4284)(2||2||2122121，因为点E D ,关于直线l 对称， 设直线DE 方程为n x y +-=，与x y 162=联立得，0)162(22=++-n x n x ,由04)162(22>-+n n ，得4->n ，设),(),,(4433y x E y x D ，DE 中点),(00y x G 则8,8200430-=+-=+=+=n x y n x x x ，因为点G 也在直线m x y +=上，所以m n ++=-88， 所以m n --=16，代入4->n 得12-<m ，② 由①②得，实数m 的取值范围为)12,(--∞. 又12284284)(2||2||4324343--=+=-+=-=m n x x x x x x DE ，所以mm m m DE AB --+-=----=-1242128)124(28||||，因为12-<m ，所以4124>--+-m m ， 所以23212421280<--+-<mm ，所以||||DE AB -的取值范围是)232,0(. 21．解：(Ⅰ) 因为ax e x f x -=)(，所以a e x f x -=)('所以a e f -=)1(，a e f -=)1('，所以)(x f 的图象在1=x 处的切线方程为)1)(()(--=--x a e a e y ， 即x a e y )(-=，与e ax x g -=2)(联立得，0)(2=---e x a e ax ，因为直线x a e y )(-=与)(x g 的图象相切， 所以04)(2=+-ea a e ，解得e a -=. (Ⅱ) e ax ax e x g x f x F x+--=-=2)()()(，a ax e x F x --=2)('，若0≤a ，)('x F 是增函数，0)('=x F 最多有一个实根，)(x F 最多有一个极值点，不满足题意，所以0>a ，由题意知02,022121=--=--a ax e a ax e xx，两式相减得21212x x e e a x x --=，由21221222124212121212121x x e e x x e e ea ea ee x x x x x x x x x x x x --<⇔--<⇔<⇔<--++，设t x x =-221，则0<t ， 要证2421a e e x x <，即证0<t 时，t e e t t212-<恒成立， 即t e e tt 21--<恒成立，即02<---t e e t t 恒成立，设t e e t h t t 2)(--=-，则02)('>-+=-t t e e t h ，所以)(t h 在)0,(-∞上是增函数，所以0)0()(=<h t h ，所以0<t 时，02<---t e e t t 恒成立，即2421a e e x x <.22.解：(Ⅰ)由直线l 过点)0,2(，得所以1tan -=α，结合πα<≤0， 得43πα=，所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221221（t 为参数），消去t ，得2=+y x ， 把θρθρsin ,cos ==y x ，代入2=+y x 得直线l 的极坐标方程为2)sin (cos =+θθρ. (Ⅱ)曲线C 的普通方程为2)1()1(22=-+-y x ，所以曲线C 是以)1,1(为圆心且经过原点的圆，因为直线l 过圆心)1,1(，所以OB OA ⊥，所以8||||22=+OB OA ，16|)||(|2||||2|||||)||(|2222=+≤⋅++=+OB OA OB OA OB OA OB OA所以4||||≤+OB OA （当且仅当2||||==OB OA 时取等号），故||||OB OA +的最大值为4.23.解：(Ⅰ) ||2|2|||2)(2x x x x x f >-+⇔>⎩⎨⎧>-+≥⇔x x x x 2222或⎩⎨⎧>-+<<x x x x 22202或⎩⎨⎧->-+≤xx x x 2202 2>⇔x 或10<<x 或20>⇔≤x x 或1<x所以不等式||2)(x x f >的解集为),2()1,(+∞-∞ .(Ⅱ)当2≥x 时，42222)(22=-+≥-+=x x x f ，当2<x 时，4747)21(2)(22≥+-=+-=x x x x f ，所以)(x f 的最小值为47， 因为22232)(c b a x f ++≥对任意R x ∈恒成立， 所以4732222≤++c b a ， 又222222222442)(232abc bc ac c b c a c b a ≥+≥+++=++，且等号不能同时成立， 所以47242<abc ，即3227<⋅c ab ．。
百校联盟2018届TOP20一月联考(全国Ⅰ卷)理科数学试题(含解析)
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2018届河南省百校联盟TOP20一月联考数学理卷(全国Ⅰ卷)
百校联盟2018届TOP20一月联考（全国Ⅰ卷）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U 为实数集R ，已知集合{}3ln ,122A x y x B x x ⎧⎫⎛⎫==-=≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2x x ≥B ．{32x x ≤或}2x >C ．312x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x < 2.若()52,2aibi a b R i=-∈+，则b a =（ ） A ．116 B ．18- C ．16 D ．8 3.某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客侯车时间超过 7分钟的概率为（ ）A ．15B ．710C ．12D ．3104.命题7:21p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x =-+在()1,2上有零点，则p 是q 的（ ）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.如图所示，程序输出的结果为156T =，则判断框中应填（ ）A ．11?k ≥B ．12?k ≥C ．11?k ≤D ．12?k ≤6.已知()31ln1x f x x ++=--，则函数()f x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．992B ．61C ．62D ．73 8.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为36万千米，月球轨道上点P 与椭圆两焦点12,F F 构成的三角形12PF F 面积约为万千米)2，123F PF π∠=，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）A ．222213614x y +=B ．2221384036x y +=⨯C ．2221484836x y +=⨯D ．2221483624x y +=⨯9.函数()()()sin 10f x m x m m π=--+≠，则下面 4 个结论:①函数()f x 图象的对称轴为1,2x k k Z ππ=-+∈②将()f x 图象向右平移1个单位后，得到的函数为奇函数③函数()f x 的单调递增区间为12,12,22k k k Z ππππ⎡⎤--+-+∈⎢⎥⎣⎦④经过点(),3m m 的直线和()f x 图象一定有交点 正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2,60AB BAD =∠=︒，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，,F F 分别为,PD CD 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．34C ．14D ．71011.双曲线()22220,01x y a a bb -=>>，()(),0,00(),A t E t t ->，方向向量为()3,1的直线l 过点A且与双曲线交于,B C 两点，2OD OB OC =+ ,，0ED BC ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）AD12.函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫'=+∈+∞⎪⎢⎣⎭，()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量()1,2,//BA CA BA =，且CA =BC 的坐标为 ．14. 若,x y 满足约束条件20,40,2,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则224613z x y x y =+--+的最小值为 ．15.若()()()()()()5234540123451222222x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-，则2a = ．16.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2()2622absinA ac sin B b sinAcosC +-=，2b =，则ABC ∆外接圆面积的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 正项数列{}n a 满足()()21121310n n n n n a a a a a ++-+-+=，11a =，数列{}n b 为等差数列，321b a +=，313a b =.（1）求证：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.（1）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；（2）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（3）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望.19.如图所示，在底面为正方形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111,2,3AA A B A D AB AA B π===∠=.（1）证明：平面1A BD ⊥平面11A BC ； （2）求直线1AC 与平面1DBC 所成角的正弦值.20.已知点()0,2F ，过点()0,2P -且与y 轴垂直的直线为1l ，2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且2211x x m -=+（m 为常数），直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC∆的面积是否为定值.若为定值，求出ABC ∆的面积；若不是定值，说明理由. 21.函数()()()24ln 1,x f x x ax be a b R -=--+∈在()()2,2f 处的切线斜率为1a -. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()()()()()211120,223x m m m f x a x xϕ=-+-+∈+∞+++，()()1ln 1ln h x x x x=-+-，对任意的()10,1x ∈，存在21,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得()()122x h x ϕ≥成立，求m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为2cosx y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求经过椭圆C 右焦点F 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程；（2）若P 为椭圆C 上任意-点，当点P 到直线l 距离最小时，求点P 的直角坐标. 23.选修4一5:不等式选讲函数()11f x x x =++-，()42g x x =-，函数()f x 的最小值为M .（1）求不等式组()()260x x f x g x M ⎧+-≤⎪⎨≥-⎪⎩的解集；（2）0m n >>，求证：()()()218f x g x m n n m +≥-+-.试卷答案一、选择题1-5: CADCB 6-10: ACBAB 11、12：AA 二、填空题13. ()3,6或()1,2-- 14.12 15. 38- 16.98π 三、解答题17. （1）由题可得()()11310n n n n a a a a +++--=，∵10n n a a ++>，∴131n n a a +=+， ∴111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列. ∴113322n n a -+=⨯，312n n a -=.∴234,13a a ==，∴11214,1213,b d b d ++=⎧⎨+=⎩∴11,1.b d =⎧⎨=⎩∴n b n =.（2）由（1）得312n n a -=，n b n =，则()()1131322n n n c n n n =-⋅=⋅-，所以()()2111323324n n n n T n +=⨯+⨯++⨯- ，令213233n n S n =⨯+⨯++⨯ ①，231313233n n S n +=⨯+⨯++⨯ ②， 一、②得1211332333332n nn n n S n n +++--=+++-⨯=-⨯ 113322n n +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.所以1133244n n n S +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭. ()111334884n n n n n T ++⎛⎫=-⋅+- ⎪⎝⎭.18.（1）甲车间合格零件数为4，乙车间合格的零件数为2，∴22422284551184C C P C C ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设事件A 表示“2件合格，2件不合格”；事件B 表示“3件合格，1件不合格”；事件C 表示“4件全合格”； 事件D 表示“检测通过”；事件E 表示“检测良好”.∴()()()()22314444444448885370C C C C C PD P A P B P C C C C =++=++=, ∴()()()()()1753P C P B P ED P D P D =+=.故所求概率为1753. （3）X 可能取值为0，1，2. ()2821214033C P X C ===,()114821216133C C P X C ===,()242121211C P X C ===,分别列为∴()1416120123333113E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：连接AC 交BD 于O ，∴O 为BD 中点， ∵11A B A D =,∴1AO BD ⊥. ∵11,OD OA A D A A ==,1A O 为公共边. ∴11AOD AOA ∆≅∆,∴1AO AC ⊥. 又AC BD ⊥,∴AC ⊥平面1A BD . ∵//11A A CC =,∴11A ACC 为平行四边形. ∴11//AC AC ,∴11AC ⊥平面1A BD ，又11AC 在平面11A BC 内，∴平面1A BD ⊥平面11A BC . （2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵13AA B π∠=,∴1A AB ∆为等边三角形，∴12A A =.又OA∴1AO ∴())()()()(10,0,0,,,,0,,O AB C D A .∴(111AC AC CC AC AA =+=+=-，()0,BD =-，(111BC BC CC AD AA =+=+=-.设平面1DBC 的一个法向量为(),,n x y z =，∴10,0,n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ∴0,2y x z ==. 令1x =，∴()1,0,2n =. 设1AC 与平面1DBC 所成角为θ.∴11sin AC n AC n θ⋅==. 所以直线1AC 与平面1DBC. 20.（1）由题意得FM MN =，即动点M 到点()0,2F 的距离和到直线2y =-的距离相等， 根据抛物线定义可知点M 轨迹方程为28x y =. （2）设直线AB 方程为y kx b =+， 联立28y kx b x y=+⎧⎨=⎩得 2880x kx b --=.∴12128,8x x k x x b +=⋅=-.设AB 中点为Q ,∴()24,4Q k k b +. 设切线方程为y kx t =+，联立28y kx t x y=+⎧⎨=⎩得 2880x kx t --=.∴264320k t ∆=+=，∴22t k =-，∴切点C 的横坐标为4k ，∴ ()24,2C k k . ∴CQ ⊥x 轴.∵2211x x m -=+，∴()()()()2222221124864321x x x x b k b m -=+--=+=+，∴()22216432m k b +-=.∴()()()322212111122264ABC m S CQ x x k b x x ∆+=⋅-=⋅+⋅-=，∵m 为常数，∴ABC ∆的面积为定值. 21.（1）()f x 的定义域为()1,+∞，()24121x f x a be x -'=-+-， ∴()2121f a b a '=-+=-，∴0b =. ∴()()ln 1f x x ax =--，()1111ax a f x a x x -++'=-=--. （ⅰ）当0a =时，()101f x x '=>-，()f x 在()1,+∞上单调递增； （ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，1111a x a a +==+>， 111x a <<+，()0f x '>，11x a>+时，()0f x '<，则()f x 在11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （ⅲ）当0a <时，111a+<，1x >时，()f x '值大于0，则()f x 在()1,+∞上单调递增. 综上所述，0a ≤时，()f x 上单调递增区间为()1,+∞；0a >时，()f x 的单调递增区间为11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递 减区间为11,a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.（2）()()21112ln 13x m m x x ϕ=-+-++，由题意得()()min min 2x h x ϕ≥，()()()()()22221ln 11ln 1x x x x x x x ϕ++-'=++， 设 ()()2211ln 1y x x x =++- ，()()21ln 12ln 12y x x x '=+++-， 设()()22ln 12ln 12y x x x =+++-，()22ln 121x xy x +-'=+，当()0,1x ∈时，)1(ln x x +<，∴20y '<，∴2y 单调递减，则当()0,1x ∈时，20y <，∴10y '<，∴1y 单调递减，∴10y <，∴()0x ϕ'<，∴()x ϕ单调递减， ∴()()21212ln 23x m m ϕϕ>=-+-，()11ln 1h x x x =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令1t x =，∴03t <≤，∴()11ln 1y t t =-+，∴min 112ln 23y =-，∴2121122ln 232ln 23m m ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，∴220m m -≥，∴2m ≥或0m ≤， 又因为()0,m ∈+∞，所以m 的取值范围为[)2,+∞.22.（1）椭圆方程22143x y +=，()1,0F ，直线l 的直角坐标方程为4y x =-， ∴与l 垂直的直线斜率为1-，∴直线方程为()1y x =--，即10x y +-=， 则极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. （2）设()2cos P ϕϕ，点P 到直线l的距离4d ϕα-+==此时sin 02πααα⎫==<<⎪⎝⎭， 当2,2k k Z πϕαπ-=-+∈时，d 取最小值，此时2,2k k Z πϕαπ=-+∈，2cos 2cos 22sin 2k πϕαπα⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭22k πϕαπα⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，∴P点坐标为⎝⎭.23.（1）()11112f x x x x x =++-≥+-+=，∴2M =。
2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(考试版)
条渐近线与 3x y 1 0 垂直，且点 P 在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率等于
A． 2
10
B．
3
C． 10
D． 2 2
6．如图，半径为 R 的圆 O 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为 A, B, C, D ，这四个小圆都与圆 O 内
切，且相邻两小圆外切，则在圆 O 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为
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………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，已知曲线 C
的参数方程为
x
1 2
t
（ t 为参数），在以 O 为极点，x 轴的正
y 3 t
半轴为极轴的极坐标系中，曲线 D 的极坐标方程为 (1 sin ) 2 .
（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程与曲线 D 的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线 C 与曲线 D 交于 M , N 两点，求| MN | .
数 f (x) 与 g(x) 互为“ n 度零点函数”.若 f (x) 2x2 1与 g(x) x2 aex 互为“1度零点函数”，则实数
a 的取值范围为
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16．2017 年吴京执导的动作、军事电影《战狼 2》上映三个月，以 56.8 亿震撼世界的票房成绩圆满收官，
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52. 若复数a+3i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）1+2iA.−6B.13C.3D.√132)，f(x0)<0，则（）3. 已知f(x)=sinx−tanx，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x)≥0A.p是假命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x0)≥0B.p是假命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x)≥0C.p是真命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x0)≥0D.p是真命题，￢p:∃x0∈(0, π24. 已知程序框图如图，则输出i的值为（）A.7B.9C.11D.135. 2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A.18种B.24种C.48种D.36种6. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A.1+√2B.1+2√2C.2+√2D.2+2√27. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0 表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围为（ ） A.(0, √5)∪(√13, +∞) B.(√13, +∞) C.(0, √5) D.[√5, √13]8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM →−3CA →=2CB →，则AM →⋅BM →的值为( ) A.−152 B.−2 C.2D.1529. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是（ ） A.由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍 B.y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C.y =f(x)的图象关于点(3π4, 1)对称 D.y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1, 3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.(−∞, 0]B.[0,57) C.(−∞,0)∪(0,57) D.(−∞,57)11. 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，若双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于（ ） A.35 B.√73C.53D.√712. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f ′(1)2，e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是（ ） A.g(2016)<f(2)⋅g(2018) B.f(2)⋅g(2016)<g(2018) C.g(2016)>f(2)⋅g(2018) D.f(2)⋅g(2016)>g(2018)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 设a =∫π(cosx −sinx)dx ，则二项式(a √x √x )6的展开式中含x 2项的系数为________．若函数f(x)={x(x −b),x ≥0,ax(x +2),x <0(a, b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为________．已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为________．如图，OA ，OB 为扇形湖面OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区-区域I 和区域Ⅱ，点C 在AB^上，∠COA =θ，CD // OA ，其中AC ^，半径OC 及线段CD 需要用渔网制成．若∠AOB =π3，OA =1，则所需渔网的最大长度为________．三、解答题（共70分）已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对∀n ∈N ∗，b n =(−1)na n 2，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB // CD ，∠BAD =90∘，DC =DA =2AB =2√5，点E 为AD 的中点，BD ∩CE =H ，PH ⊥平面ABCD ，且PH =4．（1）求证：PC ⊥BD ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使二面角B −DF −C 的余弦值是√1515？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示． （1）估计这次考试数学成绩的平均分和众数；（2）假设在(90, 100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．已知椭圆C 1:x 2a+y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，右焦点F 是抛物线C 2:y 2=2px(p >0)的焦点，点(2, 4)在抛物线C 2上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）已知斜率为k 的直线l 交椭圆C 1于A ，B 两点，M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，若在椭圆上存在点N ，使|AN|=|BN|，求△ABN 的面积的最小值．已知函数f(x)=ae x +x 2−bx(a, b ∈R)，其导函数为y =f′(x)．（1）当b =2时，若函数y =f′(x)在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设a ≠0，点P(m, n)(m, n ∈R)是曲线y =f(x)上的一个定点，是否存在实数x 0(x 0≠m)，使得f(x 0)−n =f′(x 0+m 2)(x 0−m)成立？并证明你的结论．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1:{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），l 2:{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4) （t 为参数），其中α∈(0, 3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0．（1）写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设l1，l2分别与曲线C交于点A，B（非坐标原点），求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x−a|(a>0)．（1）当a=2时，解不等式f(x)≥1−2x；（2）已知f(x)+|x−1|的最小值为3，且m2n=a(m>0, n>0)，求m+n的最小值．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】可先求出集合A ={x|x <−1, 或x >3}，然后进行交集、补集的运算即可． 【解答】A ={x|x <−1, 或x >3}； ∴ ∁R A ={x|−1≤x ≤3}； ∴ (∁R A)∩B ={0, 1, 2, 3}． 2.【答案】 A【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的模复数的基本概念 【解析】利用复数的除法运算化简为a +bi(a, b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值． 【解答】由复数a+3i1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i5=a+65+3−2a 5i 是纯虚数，则{a+65=03−2a5≠0，解得a =−6．3.【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 命题的否定 【解析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果． 【解答】f(x)=sinx −tanx ，x ∈(0, π2)，当x =π4时，∴ f(x)=√22−1<0，命题p:∃x 0∈(0, π2)，f(x 0)<0，是真命题，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0．4.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件，故S=105，i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件，故S=945，i=11；当S=945时，不满足退出循环的条件，故S=10395，i=13；当S=10395时，满足退出循环的条件，故输出的i=13，5.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32＝3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21＝4，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31＝3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21＝4，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12+12＝24种不同的乘车方式，6.【答案】C【考点】由三视图求表面积【解析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴ 四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱PD =1，∴ 四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴ 四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △PAD +2S △PAB=1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选C . 7.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，而圆C 表示以(−1, −1)为圆心且半径为r 的圆．观察图形，可得半径r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围． 【解答】作出不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1, 1)，N(2, 2)，P(1, 3)∵ 圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)表示以C(−1, 0)为圆心，半径为r 的圆， ∴ 由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点， ∵ CM =√(1+1)2+12=√5，CP =√(1+1)2+32=√13． ∴ 当0<r <√5或r >√13时，圆C 不经过区域D 上的点， 8.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据条件可先求出CA →∗CB →=92，而由6CM →−3CA →=2CB →即可得出CM →=12CA →+13CB →，这样即可用CA →,CB →分别表示出AM →,BM →，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴ CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cos60∘=92；6CM →−3CA →=2CB →； ∴ CM →=12CA →+13CB →；∴ AM →=AC →+CM →=−CA →+12CA →+13CB →=−12CA →+13CB →，BM →=BC →+CM →=−CB →+12CA →+13CB →=12CA →−23CB →； ∴ AM →⋅BM →=(−12CA →+13CB →)⋅(12CA →−23CB →)=−14CA →2+12CA →⋅CB →−29CB →2=−94+94−2=−2． 故选B . 9.【答案】 D【考点】正弦函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由f(x)=3sin (2x −π3)+1=1，得sin (2x −π3)=0，即2x −π3=kπ(k ∈Z)，解得x =kπ2+π6(k ∈Z)，所以x 1=k 1π2+π6(k 1∈Z ),x 2=k 2π2+π6(k 2∈Z )，所以x 1−x 2=π2(k 1−k 2)(k 1,k 2∈Z )，是π2的整数倍，故A 错误；由f(x)=3sin (2x −π3)+1，得f(x)=−3cos (2x −π3+π2)+1=−3cos (2x +π6)+1，故B 错误；由2x −π3=kπ(k ∈Z)，得x =kπ2+π6(k ∈Z)．令kπ2+π6=3π4(k ∈Z)，解得k =76，不符合题意，故C 错误；由2x −π3=kπ+π2(k ∈Z)，得x =kπ2+5π12(k ∈Z)．令k =−1，则x =−π12，即y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称，故D 正确． 故选D ． 10.【答案】 D【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1, 3]上的最大值，即可求m 的取值范围． 【解答】由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵ 当x ∈[1, 3]时，x 2−x +1∈[1, 7]， ∴ 不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵ 当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴ 若要不等式m <5x 2−x+1恒成立， 则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞, 57)， 11.【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d =4，再根据点到直线的距离公式可得√a 2+b 2=4，得到5b =4c ，即可求出a =35c ，根据正弦定理可得|sinP||sinA−sinB|=2c 2R |BP 2R −AP 2R |=2c 2a=53【解答】双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0，即(x −5)2+y 2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d ，则d =√25−9=4， ∴√a 2+b 2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e．由f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，可得f(0)．进而得出f′(1)，f(x)，f(2)．令ℎ(x)= e2x g(x)，及其已知g′(x)+2g(x)<0，可得ℎ′(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，利用函数ℎ(x)在R上单调递减，即可得出．【解答】f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e2．∵f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，则f′(1)=f′(1)+2−2f(0)，解得f(0)=1．∴f′(1)=2e2．∴f(x)=e2x+x2−2x，∴f(2)=e4．令ℎ(x)=e2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0，∴ℎ′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，∴函数ℎ(x)在R上单调递减，∴ℎ(2016)>ℎ(2018)，∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e4g(2018)．∴g(2016)>f(2)g(2018)．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】192【考点】二项式定理及相关概念定积分根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决． 【解答】 解：由于a =∫π(cosx −sinx)dx=(sinx +cosx)|π=−1−1=−2，∴ (−2√x −√x )6=(2√x √x )6 的通项公式为 T r+1=26−r C 6r ⋅x 3−r ， 令3−r =2，求得r =1，故含x 2项的系数为26−1C 61=192． 故答案为：192. 【答案】 −1【考点】 函数的求值 分段函数的应用 【解析】由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a ，b 的值，进而可得f(a +b)的值． 【解答】解：∵ 函数为奇函数， 故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{a =−1,−b =2a,即{a =−1,b =2, ∴ f(x)={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0,∴ f(a +b)=f(1)=1−2=−1. 故答案为−1． 【答案】 2√3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度． 【解答】由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、D 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1， 在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴ EF =√3， ∴ DE =2√3， ∴ AA 1=2√3．π+6+2√36【考点】扇形面积公式【解析】确定∠COD，在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】由CD // OA，∠AOB=π3，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=2π3，∠COD=π3−θ；在△OCD中，由正弦定理，得CD=√3sin(π3−θ)，θ∈(0, π3)，设渔网的长度为f(θ)，可得f(θ)=θ+1√3sin(π3−θ)，所以f′(θ)=1−√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0, π3)，所以π3−θ∈(0, π3)，令f′(θ)=0，得cos(π3−θ)=√3，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2, π+6+2√36]．故所需渔网长度的最大值为π+6+2√36．三、解答题（共70分）【答案】6S n=a n2+3a n+2，n∈N∗．n≥2时，6a n=6S n−6S n−1=a n2+3a n+2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n+ a n−1)(a n−a n−1−3)=0，∵a n>0，∴a n−a n−1=3，n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1<2，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n=1+3(n−1)=3n−2．b n=(−1)na n2=(−1)n(3n−2)2．∴b2n−1+b2n=−(6n−5)2+(6n−2)2=3(12n−7)=36n−21．∴数列{b n}的前2n项的和T2n=36(1+2+……+n)−21n=36×n(n+1)2−21n= 18n2−3n．【考点】数列递推式 【解析】（1）6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，由a n >0，可得a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1．利用等差数列的通项公式可得a n ．（2）b n =(−1)na n 2=(−1)n (3n −2)2．b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21．利用分组求和即可得出． 【解答】6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1=a n 2+3a n +2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，∵ a n >0，∴ a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1=1．∴ 数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3． ∴ a n =1+3(n −1)=3n −2． b n =(−1)na n 2=(−1)n (3n −2)2．∴ b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21． ∴ 数列{b n }的前2n 项的和T 2n =36(1+2+……+n)−21n =36×n(n+1)2−21n =18n 2−3n ． 【答案】∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，∴ ∠EDC =∠BAD =90∘， ∵ DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴ AB =ED ， ∴ △BAD ≅△EDC ，∴ ∠DBA =∠DEH ，∵ ∠DBA +∠ADB =90∘，∴ ∠DEH +∠ADB =90∘，∴ BD ⊥EC ， 又∵ PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥PH ，又∵ PH ∩EC =H ，且PH ，EC ⊂平面PEC ，∴ BD ⊥平面PEC ， 又∵ PC ⊂平面PEC ，∴ PC ⊥BD ． 由（1）可知△DHE ∽△DAB ，由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5， ∴ DHDA =EHBA =DEDB ，∴ EH =1，HC =4，DH =2，HB =3， ∵ PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系， H(0, 0, 0)，B(3, 0, 0)，C(0, 4, 0)，D(−2, 0, 0)，P(0, 0, 4)， 假设线段PC 上存在一点F 满足题意，∵ CF →与CP →共线，∴ 存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF →=λCP →， 解得F(0, 4−4λ, 4λ)，设向量n →=(x, y, z)为平面CPD 的一个法向量，且CP →=(0, −4, 4)，CD →=(−2, −4, 0)， ∴ {n →∗CP →=−4y +4z =0n →∗CD →=−x −2y =0 ，取x =2，得n →=(2, −1, −1)，同理得平面CPD 的一个法向量m →=(0, λ, λ−1)，∵二面角B−DF−C的余弦值是√1515，∴|cos<n→,m→>|=|n→∗m→||n→|∗|m→|=√6∗√2λ2−2λ+1=√1515，由0≤λ≤1，解得λ=34，∴CF→=34CP →，∵CP=4√2，∴线段PC上存在一点F，当点F满足CF=3√2时，二面角B−DF−C的余弦值是√1515．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）推导出△BAD≅△EDC，∠DBA=∠DEH，从而BD⊥EC，由PH⊥平面ABCD，得BD⊥PH，由此能证明BD⊥平面PEC，从而PC⊥BD．（2）推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足CF=3√2时，二面角B−DF−C的余弦值是√1515．【解答】∵AB // CD，∠BAD=90∘，∴∠EDC=∠BAD=90∘，∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，∴△BAD≅△EDC，∴∠DBA=∠DEH，∵∠DBA+∠ADB=90∘，∴∠DEH+∠ADB=90∘，∴BD⊥EC，又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH，又∵PH∩EC=H，且PH，EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，又∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD．由（1）可知△DHE∽△DAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3，∵PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0, 0, 0)，B(3, 0, 0)，C(0, 4, 0)，D(−2, 0, 0)，P(0, 0, 4)，假设线段PC上存在一点F满足题意，∵CF→与CP→共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF→=λCP→，解得F(0, 4−4λ, 4λ)，设向量n →=(x, y, z)为平面CPD 的一个法向量，且CP →=(0, −4, 4)，CD →=(−2, −4, 0)， ∴ {n →∗CP →=−4y +4z =0n →∗CD →=−x −2y =0 ，取x =2，得n →=(2, −1, −1)，同理得平面CPD 的一个法向量m →=(0, λ, λ−1)， ∵ 二面角B −DF −C 的余弦值是√1515，∴ |cos <n →,m →>|=|n →∗m →||n →|∗|m →|=6∗√2λ2−2λ+1=√1515， 由0≤λ≤1，解得λ=34， ∴ CF →=34CP →，∵ CP =4√2，∴ 线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．【答案】x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72（分）， 众数为75分．90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33∗C51+C32∗C22C 84=435，P(ξ=3)=C 32∗C21∗C31+C31∗C22∗C31+C32∗C32+C22∗C32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32∗C31∗C21+C33∗C51C 84=2370．∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算； （2）根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列． 【解答】x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72（分）， 众数为75分．90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33∗C51+C32∗C22C 84=435，P(ξ=3)=C 32∗C21∗C31+C31∗C22∗C31+C32∗C32+C22∗C32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32∗C31∗C21+C33∗C51C 84=2370．∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．【答案】∵ 点(2, 4)在抛物线y 2=2px 上， ∴ 16=4p ， 解得p =4，∴ 椭圆的右焦点为F(2, 0)， ∴ c =2， ∵ 椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，∴ ca =√22，∴ a =2√2，∴ b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴ 椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴ x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴ y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵ M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12， ∴ k 1⋅k 2=y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=−12，解得m =0，∴ 直线l 的方程为y =kx ，线段AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k 2，∵ |AN|=|BN|，∴ ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y =−1k x ， 同理可得|ON|=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2，∴ S △ABN =12|ON|⋅|AB|=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1)，当k =0时，△ABN 的面积也适合上式， 令t =k 2+1，t ≥1，0<1t ≤1， 则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94，∴ 当1t =12时，即k =±1时，S △ABN 的最小值为163．【考点】椭圆的定义 【解析】（1）先求出p 的值，即可求出c 的值，根据离心率求出a 的值，即可得到椭圆方程，（2）设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，根据直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】∵ 点(2, 4)在抛物线y 2=2px 上， ∴ 16=4p ， 解得p =4，∴ 椭圆的右焦点为F(2, 0)， ∴ c =2， ∵ 椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22， ∴ c a =√22，∴ a =2√2，∴ b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴ 椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y =kx +mx 2+2y 2=8 ，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴ x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴ y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵ M(0, 2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为−12， ∴ k 1⋅k 2=y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2=m−22(m+2)=−12，解得m =0，∴ 直线l 的方程为y =kx ，线段AB 的中点为坐标原点， 由弦长公式可得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32(k 2+1)1+2k 2，∵ |AN|=|BN|，∴ ON 垂直平分线段AB ，当k ≠0时，设直线ON 的方程为y =−1k x ， 同理可得|ON|=12√32(1k 2+1)2×1k2+1=12√32(k 2+1)k 2+2，∴ S △ABN =12|ON|⋅|AB|=8√(k 2+1)2(k 2+2)(2k 2+1)，当k =0时，△ABN 的面积也适合上式， 令t =k 2+1，t ≥1，0<1t ≤1， 则S △ABN =8√t 2(t+1)(2t−1)=8√1−1t 2+1t+2=8√1−(1t −12)2+94，∴ 当1t =12时，即k =±1时，S △ABN 的最小值为163． 【答案】解：（1）当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)， f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)， 由f ′(x)=0得ae x +2x −2=0，即a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2．当x <2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增． ∴ ℎ(x)min =ℎ(2)=−2e 2． ∵ 当x →−∞时，ℎ(x)=2−2x e x →+∞；当x →+∞时，ℎ(x)=2−2x e x→0．所以更满足题意，则a =−2e 2或a ∈[0,+∞)．(2)由f(x)=ae x +x 2−bx ，得f ′(x)=ae x +2x −b ， 假设存在满足题意的x 0， 则有f (x 0)=f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+f(m)，即f (x 0)−f(m)x 0−m=f ′(x 0+m 2)(x 0≠m )．因为f ′(x 0+m 2)=ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b ，f (x 0)−f(m)x 0−m =a (e x 0−e m )+(x 02−m 2)−b (x 0−m )x 0−m =a(e x 0−e m)x 0−m +(x 0+m )−b ，所以ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b =a (e x 0−e m )x 0−m+(x 0+m )−b ，即ae12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m，因为a ≠0，所以e−12(x 0+m)=e x 0−e m x 0−m，不妨令t =x 0−m >0，则有e 12t+m =e m+t −e mt，两边同时除以e m ，得e 12t =e t −1t，即te 12t =e t −1，令g(t)=e t −te 12t −1，所以g ′(t)=e t −(e 12+t2e 12)=e 12(e 12−t2−1)，令ℎ(t)=e 12−t 2−1，则ℎ′(t)=12e12−12=12(e 12−1)>0(t >0)，所以ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，又ℎ(0)=0，所以ℎ(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，即g ′(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以g(t)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=0， 所以g(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m不成立，同理可证得当t =x 0−m <0时，也不成立， 所以不存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)−n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m)成立．【考点】导数求函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)， f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)， 由f ′(x)=0得ae x +2x −2=0，即a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2．当x <2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x >2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．∴ ℎ(x)min =ℎ(2)=−2e 2．∵ 当x →−∞时，ℎ(x)=2−2x e x →+∞；当x →+∞时， ℎ(x)=2−2xe x →0．所以更满足题意，则a =−2e 2或a ∈[0,+∞)．(2)由f(x)=ae x +x 2−bx ，得f ′(x)=ae x +2x −b ，假设存在满足题意的x 0，则有f (x 0)=f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m )+f(m)， 即f (x 0)−f(m)x 0−m =f ′(x 0+m 2)(x 0≠m )．因为f ′(x 0+m 2)=ae 12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b ，f (x 0)−f(m)x 0−m =a (e x 0−e m )+(x 02−m 2)−b (x 0−m )x 0−m =a(e x 0−e m )x 0−m+ (x 0+m )−b ，所以ae12(x 0+m)+2⋅x 0+m 2−b =a (e x 0−e m )x 0−m +(x 0+m )−b ， 即ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m， 因为a ≠0，所以e −12(x 0+m)=e x 0−e mx 0−m， 不妨令t =x 0−m >0，则有e 12t+m =e m+t −e m t， 两边同时除以e m ，得e 12t =e t −1t ，即te 12t =e t −1，令g(t)=e t −te 12t −1， 所以g ′(t)=e t −(e 12+t 2e 12)=e 12(e 12−t 2−1)， 令ℎ(t)=e 12−t 2−1，则ℎ′(t)=12e 12−12=12(e 12−1)>0(t >0)，所以ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，又ℎ(0)=0，所以ℎ(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，即g ′(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立， 所以g(t)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=0，所以g(t)>0对于t ∈(0,+∞)恒成立，所以ae 12(x 0+m)=a (e x 0−e m )x 0−m 不成立，同理可证得当t =x 0−m <0时，也不成立，所以不存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)−n =f ′(x 0+m 2)(x 0−m)成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]【答案】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化．重点都是消去参数t．（2）利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．【解答】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．【解答】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．。
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百校联盟2018届TOP20一月联考（全国Ⅰ卷）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U 为实数集R ，已知集合{}3ln ,122A x y x B x x ⎧⎫⎛⎫==-=≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2x x ≥B ．{32x x ≤或}2x >C ．312x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x < 2.若()52,2aibi a b R i=-∈+，则b a =（ ） A ．116 B ．18- C ．16 D ．8 3.某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客侯车时间超过 7分钟的概率为（ ）A ．15B ．710C ．12D ．3104.命题7:21p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x =-+在()1,2上有零点，则p 是q 的（ ）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.如图所示，程序输出的结果为156T =，则判断框中应填（ ）A ．11?k ≥B ．12?k ≥C ．11?k ≤D ．12?k ≤6.已知()31ln1x f x x ++=--，则函数()f x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．992B ．61C ．62D ．73 8.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为36万千米，月球轨道上点P 与椭圆两焦点12,F F 构成的三角形12PF F 面积约为万千米)2，123F PF π∠=，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）A ．222213614x y +=B ．2221384036x y +=⨯C ．2221484836x y +=⨯D ．2221483624x y +=⨯9.函数()()()sin 10f x m x m m π=--+≠，则下面 4 个结论:①函数()f x 图象的对称轴为1,2x k k Z ππ=-+∈②将()f x 图象向右平移1个单位后，得到的函数为奇函数③函数()f x 的单调递增区间为12,12,22k k k Z ππππ⎡⎤--+-+∈⎢⎥⎣⎦④经过点(),3m m 的直线和()f x 图象一定有交点 正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2,60AB BAD =∠=︒，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，,F F 分别为,PD CD 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．34C ．14D ．71011.双曲线()22220,01x y a a bb -=>>，()(),0,00(),A t E t t ->，方向向量为()3,1的直线l 过点A且与双曲线交于,B C 两点，2OD OB OC =+ ,，0ED BC ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）AD12.函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫'=+∈+∞⎪⎢⎣⎭，()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量()1,2,//BA CA BA =，且CA =BC 的坐标为 ．14. 若,x y 满足约束条件20,40,2,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则224613z x y x y =+--+的最小值为 ．15.若()()()()()()5234540123451222222x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-，则2a = ．16.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2()2622absinA ac sin B b sinAcosC +-=，2b =，则ABC ∆外接圆面积的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 正项数列{}n a 满足()()21121310n n n n n a a a a a ++-+-+=，11a =，数列{}n b 为等差数列，321b a +=，313a b =.（1）求证：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.（1）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；（2）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（3）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望.19.如图所示，在底面为正方形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111,2,3AA A B A D AB AA B π===∠=.（1）证明：平面1A BD ⊥平面11A BC ； （2）求直线1AC 与平面1DBC 所成角的正弦值.20.已知点()0,2F ，过点()0,2P -且与y 轴垂直的直线为1l ，2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且2211x x m -=+（m 为常数），直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC∆的面积是否为定值.若为定值，求出ABC ∆的面积；若不是定值，说明理由. 21.函数()()()24ln 1,x f x x ax be a b R -=--+∈在()()2,2f 处的切线斜率为1a -. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()()()()()211120,223x m m m f x a x xϕ=-+-+∈+∞+++，()()1ln 1ln h x x x x=-+-，对任意的()10,1x ∈，存在21,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得()()122x h x ϕ≥成立，求m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为2cosx y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求经过椭圆C 右焦点F 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程；（2）若P 为椭圆C 上任意-点，当点P 到直线l 距离最小时，求点P 的直角坐标. 23.选修4一5:不等式选讲函数()11f x x x =++-，()42g x x =-，函数()f x 的最小值为M .（1）求不等式组()()260x x f x g x M ⎧+-≤⎪⎨≥-⎪⎩的解集；（2）0m n >>，求证：()()()218f x g x m n n m +≥-+-.试卷答案一、选择题1-5: CADCB 6-10: ACBAB 11、12：AA 二、填空题13. ()3,6或()1,2-- 14.12 15. 38- 16.98π 三、解答题17. （1）由题可得()()11310n n n n a a a a +++--=，∵10n n a a ++>，∴131n n a a +=+， ∴111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列. ∴113322n n a -+=⨯，312n n a -=.∴234,13a a ==，∴11214,1213,b d b d ++=⎧⎨+=⎩∴11,1.b d =⎧⎨=⎩∴n b n =.（2）由（1）得312n n a -=，n b n =，则()()1131322n n n c n n n =-⋅=⋅-，所以()()2111323324n n n n T n +=⨯+⨯++⨯- ，令213233n n S n =⨯+⨯++⨯ ①，231313233n n S n +=⨯+⨯++⨯ ②， 一、②得1211332333332n nn n n S n n +++--=+++-⨯=-⨯ 113322n n +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.所以1133244n n n S +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭. ()111334884n n n n n T ++⎛⎫=-⋅+- ⎪⎝⎭.18.（1）甲车间合格零件数为4，乙车间合格的零件数为2，∴22422284551184C C P C C ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设事件A 表示“2件合格，2件不合格”；事件B 表示“3件合格，1件不合格”；事件C 表示“4件全合格”； 事件D 表示“检测通过”；事件E 表示“检测良好”.∴()()()()22314444444448885370C C C C C PD P A P B P C C C C =++=++=, ∴()()()()()1753P C P B P ED P D P D =+=.故所求概率为1753. （3）X 可能取值为0，1，2. ()2821214033C P X C ===,()114821216133C C P X C ===,()242121211C P X C ===,分别列为∴()1416120123333113E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：连接AC 交BD 于O ，∴O 为BD 中点， ∵11A B A D =,∴1AO BD ⊥. ∵11,OD OA A D A A ==,1A O 为公共边. ∴11AOD AOA ∆≅∆,∴1AO AC ⊥. 又AC BD ⊥,∴AC ⊥平面1A BD . ∵//11A A CC =,∴11A ACC 为平行四边形. ∴11//AC AC ,∴11AC ⊥平面1A BD ，又11AC 在平面11A BC 内，∴平面1A BD ⊥平面11A BC . （2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵13AA B π∠=,∴1A AB ∆为等边三角形，∴12A A =.又OA∴1AO ∴())()()()(10,0,0,,,,0,,O AB C D A .∴(111AC AC CC AC AA =+=+=-，()0,BD =-，(111BC BC CC AD AA =+=+=-.设平面1DBC 的一个法向量为(),,n x y z =，∴10,0,n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ∴0,2y x z ==. 令1x =，∴()1,0,2n =. 设1AC 与平面1DBC 所成角为θ.∴11sin AC n AC n θ⋅==. 所以直线1AC 与平面1DBC. 20.（1）由题意得FM MN =，即动点M 到点()0,2F 的距离和到直线2y =-的距离相等， 根据抛物线定义可知点M 轨迹方程为28x y =. （2）设直线AB 方程为y kx b =+， 联立28y kx b x y=+⎧⎨=⎩得 2880x kx b --=.∴12128,8x x k x x b +=⋅=-.设AB 中点为Q ,∴()24,4Q k k b +. 设切线方程为y kx t =+，联立28y kx t x y=+⎧⎨=⎩得 2880x kx t --=.∴264320k t ∆=+=，∴22t k =-，∴切点C 的横坐标为4k ，∴ ()24,2C k k . ∴CQ ⊥x 轴.∵2211x x m -=+，∴()()()()2222221124864321x x x x b k b m -=+--=+=+，∴()22216432m k b +-=.∴()()()322212111122264ABC m S CQ x x k b x x ∆+=⋅-=⋅+⋅-=，∵m 为常数，∴ABC ∆的面积为定值. 21.（1）()f x 的定义域为()1,+∞，()24121x f x a be x -'=-+-， ∴()2121f a b a '=-+=-，∴0b =. ∴()()ln 1f x x ax =--，()1111ax a f x a x x -++'=-=--. （ⅰ）当0a =时，()101f x x '=>-，()f x 在()1,+∞上单调递增； （ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，1111a x a a +==+>， 111x a <<+，()0f x '>，11x a>+时，()0f x '<，则()f x 在11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （ⅲ）当0a <时，111a+<，1x >时，()f x '值大于0，则()f x 在()1,+∞上单调递增. 综上所述，0a ≤时，()f x 上单调递增区间为()1,+∞；0a >时，()f x 的单调递增区间为11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递 减区间为11,a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.（2）()()21112ln 13x m m x x ϕ=-+-++，由题意得()()min min 2x h x ϕ≥，()()()()()22221ln 11ln 1x x x x x x x ϕ++-'=++， 设 ()()2211ln 1y x x x =++- ，()()21ln 12ln 12y x x x '=+++-， 设()()22ln 12ln 12y x x x =+++-，()22ln 121x xy x +-'=+，当()0,1x ∈时，)1(ln x x +<，∴20y '<，∴2y 单调递减，则当()0,1x ∈时，20y <，∴10y '<，∴1y 单调递减，∴10y <，∴()0x ϕ'<，∴()x ϕ单调递减， ∴()()21212ln 23x m m ϕϕ>=-+-，()11ln 1h x x x =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令1t x =，∴03t <≤，∴()11ln 1y t t =-+，∴min 112ln 23y =-，∴2121122ln 232ln 23m m ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，∴220m m -≥，∴2m ≥或0m ≤， 又因为()0,m ∈+∞，所以m 的取值范围为[)2,+∞.22.（1）椭圆方程22143x y +=，()1,0F ，直线l 的直角坐标方程为4y x =-， ∴与l 垂直的直线斜率为1-，∴直线方程为()1y x =--，即10x y +-=， 则极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. （2）设()2cos P ϕϕ，点P 到直线l的距离4d ϕα-+==此时sin 02πααα⎫==<<⎪⎝⎭， 当2,2k k Z πϕαπ-=-+∈时，d 取最小值，此时2,2k k Z πϕαπ=-+∈，2cos 2cos 22sin 2k πϕαπα⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭22k πϕαπα⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，∴P点坐标为⎝⎭.23.（1）()11112f x x x x x =++-≥+-+=，∴2M =。