浅谈求二次函数解析式的思维套路,提升解题能力

浅谈求二次函数解析式的思维套路，提升解题能力
《教学大纲》指出二次函数一章教学要求是：体验二次函数的实际意义，理解和运用用描点法画出二次函数的图像；了解二次函数的性质，理解并掌握会运用配方法确定二次函数图像的顶点，开口方向和对称轴；掌握和会运用利用二次函数解决简单实际问题，理解和会运用利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.从教学大纲可以看出二次函数这章内容的重要程度，要求之高，内容之多，难度之大都是初中数学中内容无以能比的.所以在期末，在中考中的地位是相当重要的，每年的压轴题几乎都与二次函数有关.一般情况下第一问都是求二次函数解析式的问题，分值大约是3分左右，如果同学们能熟练掌握了求二次函数解析式解题套路，提高解题能力，在中考中能起到事半功倍的效果，下面就探讨二次函数解析式的解题套路进行简单的分析与解答，希望能提高学生的解题能力.
一．熟练掌握二次函数各种形式的图像特征，简化求二次函数解析式套路.
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标 2ax y = 当0>a 时
开口向上 当0<a 时 开口向下
0=x （y 轴）
（0,0） k ax y +=2
0=x （y 轴）
(0, k ) ()2
h x a y -=
h x =
(h ,0)
()k
h x a y +-=2
h x = (h ,k )
c bx ax y ++=2
a b x 2-=
(a
b a
c a b 4422
--，) 例1.已知某抛物线与抛物线y=32
12
+-x 的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（-5,0）.求这个二次函数的解析式
【分析】根据形状相同，开口方向相反，可以得出a=2
1
，∵顶点是（-5,0） ∴这个二次函数解析式是()252
1
+=
x y 【小结】二次函数的图像开口方向与开口大小都是二次项的系数a 决定的，顶点在x 轴上的二次函数的解
析式形式是：
()2
h x a y -=掌握了这些知识点，就能解决这道问题.
二.掌握平移规律，有助于形成二次函数解析式思维套路
在期末考试或每年的中考试题中，函数平移规律，虽然只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间，俗话说：“时间就是分数，分数就是金钱.”所以只要能节省时间的做题方法都是最好的方法.
函数平移规律是： 上下平移“后”（或“纵”）变化，上加下减；也就是说在函数的后面进行加减计算 左右平移“横”（或“括号里”）变化，左加右减.也就是说自变量x 进行变化.
例2.（2015年安阳期末）将二次函数()1122
--=x y 的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单
位，平移后的二次函数解析式为：
()()1322--=x y A ()()4122-+=x y B ()()2322+-=x y C ()()3222--=x y D
【分析】二次函数图像平移规律：左右平移“横”（或“括号里”）变化，左加右减,上下平移“后”（或“纵”）变化，上加下减. ()1122
--=x y 的图像向左平移2个单位，就是在括号里面加2，可得
()12122
-+-=x y 即()1122
-+=x y ；再向下平移3个单位，在整个函数后面减3，可得
()()41231122
2
-+=--+=x x y ；∴答案是B
【小结】只要能正确掌握平移规律，化复杂为简单，达到化难为易的目的.
例3.（2018—2019学年第一学期安阳九年级期末测试卷）将抛物线y=x 2向左平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
()2
2.+=x y A ()2
2.-=x y B
2.2+=x y C 2.2-=x y D
【分析】抛物线向左平移2个单位长度，纵坐标不变，横坐标变化，变化规律是向左平移是x 变为(x+2), ∴A 正确
例 4.能否通过适当地上下平移二次函数2
3
1x y =
的图像，使得到的新的函数图像过点（3，-3）？若能，请说出平移的方向和距离；若不能请说明理由.
【分析】根据平移规律：上下平移“后”（或“纵”）变化，上加下减.设2
3
1x y =
向上平移k 个单位得到k x y +=
231；经过点（3，-3）∴-3=k +⨯2331
解得k=-6 ∴231x y =向下平移6个单位得到6312
-=x y ，新得的图像经过点（3，-3）
答：能，平移方向是向下，平移距离是6个单位长度.
三.运用转化思想，将坐标轴的平移转化为二次函数的图像的平移.
例5.在平面直角坐标系中，若抛物线2
3x y =不动，而把x 轴，y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标中，抛物线的函数解析式为 .
【分析】图像不动，把x 轴向上平移一个单位，相当于把图像向下移动一个单位；把y 轴向右平移一个单位相当于把图像在原坐标系中向左平移了一个单位长度.∴题目也可以变换为把抛物线2
3x y =先向下平移一个单位得到132
-=x y ，然后再向左平移一个单位得到1)1(32
-+=x y 答案1)1(32
-+=x y
【小结】与平移有关的求二次函数解析式问题，只要正确掌握住平移规律，就能快速的简便的求出相关二次函数解析式；有时需要运用转化思想，将坐标系的平移转化为二次函数图像的平移：也就是说而把x 轴向右平移若干个单位长度相当于把函数图像向左平移了若干单位；y 轴向上平移若干个单位长度，相当于把函数图像向下平移若干个单位长度，然后再根据图像平移规律解决问题.
四．重点问题，重点掌握思维套路，有助于快速求出二次函数解析式. 用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据题中条件进行分析研究：
①一般式：
c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ②顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标（x 1，0）(x 2,0)，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 例6.已知一个二次函数的图像经过（0,0），（-1，-1），（1,9）三点，求这个二次函数的解析式.
【分析】根据条件，这个二次函数经过三个点，可以设这个二次函数解析式为一般式：
c bx ax y ++=2
，由题意可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=910c b a c b a c 解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===054
c b a
∴二次函数为y=4x 2+5x
例7.若二次函数
c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y
-27
-13
-3
3
5
3
则此二次函数解析式为 .
【分析】根据条件可以设此二次函数解析式为一般形式，然后从表格中选择三对相对简单的数值代入，得到三个三元一次方程，组成方程组；
【解】（方法1：一般式法）设二次函数为：c bx ax y ++=2
，把点（-4,3）（-3,5）（-2,3）代入解析式得
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-=+-3
245393416c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=13122
c b a
∴二次函数解析式是：131222
---=x x y
（方法2：顶点式法）通过表格中可以得知点（-4,3）和（-2,3）这两个点是关于对称轴对称的，对称轴是x=
2
2
4--=-3，顶点是（-3,5） ∴设二次函数解析式为5)3(2
++=x a y 把x=-4,y=3代入上式得：a=-2
∴二次函数解析式是：5)3(22
++-=x y
【小结】用一般式求二次函数解析式比用顶点式求二次函数解析式时，需要解三元一次方程组，学生对解三元一次方程组感到难度大，在教材中对三元一次方程组的要求不是重点，平时训练较少，部分学生的思维达不到那么高的程度，所以出错率自然就会上升，所以可以引导学生仔细观察，根据二次函数图像的对称性，先求出二次函数的顶点坐标，然后运用顶点式求二次函数解析式即可，由此可见，掌握住用顶点式求二次函数解析式可以降低难度，从而达到培养学生的观察能力，分析能力的目的，进而增强学生学习数学的兴趣.
例8.抛物线
c bx ax y ++=2
（a ≠0）与x 轴交于点A(-4,0),B(2,0)，与y 轴交点是（0,4）则抛物线的解析式是 .
【分析】抛物线的解析式虽然已经给出，但是条件告诉的是抛物线与x 轴两个交点，可以运用交点式来求二次函数解析式，当然也可以运用一般式，不过运用一般式计算过程复杂一些，并且容易出错，建议还是运用交点式较好.
【解】设二次函数解析式为y=a(x-2)(x+4) 把x=0,y=4代入上式得：-8a=4, a=-0.5 ∴二次函数为：y=-0.5(x-2)(x+4)
【小结】掌握交点式解析式的特点，可以灵活运用交点式能达到简便快速的求出二次函数解析式.
例9.如图，已知抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，点A （-1,0），OC=2,OB=3，点D 为抛物线的顶点，则抛物线的解析式为 . 【分析】通过观察抛物线的图像，结合题中所给条件，可以得出B(3,0),C （0,2）.满足交点式.
【解】由题意得：抛物线经过A （-1,0）B(3,0),C(0C,2)
设抛物线解析式为y=a （x+1）(x-3)，把x=0,y=2代入解析式得： -3a=2 ∴3
2-
=a ∴抛物线的解析式是)3)(1(3
2
-+-
=x x y 【小结】根据平时教学中，发现部分学生看图写点C 坐标时出错，纠正错误的一个有效方法就是：在学习理解纵轴上点的横坐标是0的基础上，多加训练较好.
五.直接法，化繁为简，求出二次函数解析式中的待定系数.
运用直接法的条件是，题中已经告诉了函数解析式，并且也已知了图像经过的两个点，待定系数只有两个时，运用此法较为简便，达到事半功倍的效果. 根据题意，直接将已知点代入解析式，求出待定的系数.这种方法用的较多，在中考和期末考试中较为常见. 例10.（2017—2018学年第一学期九年级安阳期末测试题）23.抛物线c bx x y ++-=2
的图像与x 轴交于A(-5,0),B(1,0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.求抛物线的函数表达式；
【分析】从条件中可知二次函数的解析式已经知道，可以直接将A,B 两点的坐标代入函数解析式，求出b,c 即可.已知二次函数与x 轴的两个交点是A(-5,0),B(1,0)两点，可以根据交点式直接写出函数解析式为：y=(x+5)(x-1) 即：542
+--=x x y
解：（方法1）.由题意得⎩⎨⎧=++-=+--010525c b c b 解得⎩
⎨⎧=-=54
c b
∴542
+--=x x y
（方法2）. ∵二次函数图像与x 轴交于A(-5,0),B(1,0)两点，且a=-1
∴y=-（x-1）(x+5)=-x 2-4x+5
【小结】利用交点式求二次函数解析式时，比较简便，能节省很多计算时间. 例11.（2018—2019学年第一学期九年级安阳市期末测试卷）
23.关于x 的二次函数c bx x y ++=2
的图像与x 轴交于点A(1,0)和B ，与y 轴交于点C （0,3）.求二次函数的函数解析式.
【分析】条件中已经给出二次函数解析式，所以就不用再设解析式，直接把条件中的两个点坐标代入即可.
【解】由题意得⎩⎨⎧=++=013c b c 解得⎩
⎨⎧=-=34
c b
∴二次函数解析式是342
+-=x x y
总之，求二次函数解析式的一般步骤有：一设，二代，三解，四写.步骤简单易记，关键是
只要学生熟练掌握二次函数的性质，与二次函数解析式的几种方式，仔细观察分析，认真研究，遇到具体问题具体分析，无论是在期末考试中还是中考中，还是平时的作业中都能快速并且准确无误的确定解析式的形式，然后求出待定系数即可.。