(整理)届高考数学一轮检测精讲精析(人教版)：第3讲函数及其性质.

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高三数学第一轮复习单元讲座第03讲函数的基本性质

高三数学第一轮复习3—函数的基本性质一．知识整合1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 第3章函数概念与性质章末测试(基础)(学生版)

第3章函数概念与性质章末测试(基础)一．单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·江西丰城九中)已知1232x f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则(6)f 的值为( ) A ．15 B ．7 C ．31 D ．172．(2021·四川阆中中学高一月考)下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数是( )A ．()1f x x =-，()211x g x x -=+B ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩ C ．()1f x =，()()01g x x =+ D ．()33f x x =，()()2g x x = 3．(2021·广西桂林十八中高一开学考试)函数()1212f x x x =-+-的定义域为( ) A ．[)0,2B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()(),22,-∞+∞4．(2021·广东华中师大龙岗附中高一期中)已知幂函数()f x 的图象过点(2,22)，则(8)f 的值为( ) A ．24 B ．28 C ．22 D ．825．(2021·汕头市达濠华侨中学高一期末)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A ．2y x =B ．3y x =-C ．1y x = D ．24y x =-+6．(2021·吉林高一期末)设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，则()2f -，()f π，()3f -的大小关系是( )A ．()()()32f f f π>->-B ．()()()23f f f π>->-C ．()()()32f f f π<-<-D ．()()()23f f f π<-<-7．(2021·四川省成都市玉林中学高一期末)函数211()()1x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*N x ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的取值范围是( )A ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,-+∞8．(2021·安徽高一月考)若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()()210x f x ++≥的x 的取值范围是( )A ．[][)3,21,--⋃+∞B ．[][]5,32,1--⋃--C ．[][)3,21,--⋃-+∞D ．[][]3,21,1--⋃-二．多选题(每题至少两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分)9．(2021·江苏星海实验中学高一月考)已知2(21)4f x x -=，则下列结论正确的是A ．(3)9f =B ．(3)4f -=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+10．(新教材人教版必修第一册))设f (x )为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f (-2)=0，则下列区间中使得xf (x )<0的有( )A ．(-1，1)B ．(0，2)C ．(-2，0)D ．(2，4)11．(2021·浙江高一期末)已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =--，则下列选项正确的是( )A ．()f x 在()3,2--上为减函数B ．()f x 的最大值是1C ．()f x 的图象关于直线2x =-对称D ．()f x 在()4,3--上()0f x <12．(2021·山东高一期末)已知()f x 为奇函数，且()1f x +为偶函数，若()10f =，则( )A ．()30f =B ．()()35f f =C ．(3)(1)f x f x +=-D ．(2)(1)1f x f x +++=三．填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·广东高一期末)已知函数f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，则f (−2)=________. 14．(2021·巍山彝族回族自治县第二中学高一期末)函数2()21x x f x ax =+-是偶函数，则实数a =__________．15．(2021年广东)11,1,()3,1x a x x f x a x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩满足：对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，a 的取值范围________．16．(新教材人教版必修第一册))函数21y ax ax =++的定义域为R ，则a ∈ _______.四．解答题(第17题10分，其余每题12分，7题共70分)17．(2021年福建)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当时0x <时，2()21f x x x =+-(1)求()f x 解析式(2)画出函数图像，并写出单调区间(无需证明)18．(2020-2021学年上学期高一数学同步精品课堂(新教材人教版必修第一册))已知f (x )=12x +(x ∈R ，x ≠-2)，g (x )=x 2+1(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (3))的值；(3)作出f (x )，g (x )的图象，并求函数的值域.19．(2021年云南)已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． (1)确定函数()f x 的解析式； (2)用定义证明()f x 在上()1,1-是增函数：(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．20．(2021年北京)函数2()4ax b f x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =． (1)确定()f x 的解析式；(2)判断()f x 在(2,2)-上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．21．(2021·云南省大姚县第一中学高一期末)已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且对任意的正实数x 、y都有()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x >，()41f =．(1)求证：()10f =；(2)求116f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)解不等式()()31f x f x +-≤．22．(2021·河北高一期末)已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.(1)求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.(2)若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.。

高考数学一轮总复习专题检测2.1函数及其性质

函数及其性质一、选择题1.(2022届北京一六一中学10月月考,3)下列函数中,值域为R 的是( ) A.y=1x B.y=1+1x C.y=x+1x D.y=x-1x答案 D 对于函数y=1x ,因为x≠0,所以y≠0,故它的值域不是R,所以A 不满足题意; 对于函数y=1+1x ,因为x≠0,所以y≠1,故它的值域不是R,所以B 不满足题意;对于函数y=x+1x,由对勾函数的性质可知值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),所以C 不满足题意;对于函数y=x-1x =x 2-1x,可得关于x 的方程x 2-yx-1=0有解,∵Δ=y 2+4>0,∴y 可以取任意实数,即y∈R,故D 满足条件. 故选D.2.(2022届北京一七一中学10月月考,7)存在函数f(x)满足:对任意x∈R 都有( ) A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x 2+x C.f(x 2+1)=|x+1| D.f(x 2+2x)=|x+1|答案 D A 选项,取x=0,可知f(sin0)=sin0,即f(0)=0,再取x=π2,可知f(sinπ)=sin π2,即f(0)=1,矛盾,∴A 错误;同理可知B 错误;C 选项,取x=1,可知f(2)=2,再取x=-1,可知f(2)=0,矛盾,∴C 错误.故选D.3.(2022届黑龙江适应性测试,2)托马斯说:“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断,下列对应关系是从集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是( ) A.y=2x B.y=x+2 C.y=x 2D.y=2x答案 C A.当x=-1时,y=2x=-2,集合N 中没有对应值,不满足条件. B.当x=4时,y=x+2=6,集合N 中没有对应值,不满足条件.C 中函数满足条件. D.当x=-1时,y=12,集合N 中没有对应值,不满足条件.故选C. 4.(2022届西安期中,4)下列各图中,一定不是函数图象的是( )答案 A 对于A 选项,由图可知,存在一个x 同时有两个y 值与之对应,A 选项中的图不是函数图象;对于B 选项,由图可知,对于每个x,有唯一的y 值与之对应,B 选项中的图是函数图象,同理可知CD 选项中的图是函数图象,故选A. 5.(2022届山东鱼台一中月考一,2)已知函数f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,设f(1)=a,则f(a)=( )B.12 12 32答案 A 因为f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,所以f(1)=1-2=-1,所以a=-1,所以f(-1)=(12)-1=2.6.(2022届广东深圳七中月考,7)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 9(1-x),x ≤0,x (x -10),x >0,则f(2018)=( ) A.1212答案 A∵f(x)={log 9(1-x),x ≤0,x (x -10),x >0,∴f(2018)=f(2008)=f(1998)=…=f(8)=f(-2),∴f(2018)=log 93=12.故选A.7.(2022届广东普通高中10月质检,3)函数f(x)=1x +4x 在[1,2)上的值域是( ) A.[5,172) B.[4,172) C.(0,172) D.[5,+∞)答案 A 因为f'(x)=-1x 2+4=(2x +1)(2x -1)x 2,所以当x∈[1,2)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以f(1)≤f(x)<f(2),即5≤f(x)<172.故选A.8.(2022届河北保定重点高中月考,7)设定义在R 上的函数f(x)=x·|x|,则f(x)( )A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数答案 A ∵f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∵f(x)=x·|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,∴函数f(x)为增函数,故选A.9.(2022届北京市育英中学10月月考,2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A.y=1x B.y=(x+1)2C.y=12x+√x +1 D.y=|x-1|答案 D A 选项,y=1x 在(0,+∞)上单调递减. B 选项,y=(x+1)2在(0,+∞)上单调递增.C 选项,y=12x+√x +1=12(√x )2+√x +1,在(0,+∞)上单调递增.D 选项,y=|x-1|={x -1,x ≥1,1-x ,x <1,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.故选D.10.(2022届山西忻州月考,9)设f(x)是定义域为R 的偶函数,若∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),都有x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,则( )A.f(lo g 123.1)<f(log 23)=f (32)B.f(log 23)<f(lo g 123.1)<f (32)(32)<f(lo g 123.1)<f(log 23)(32)<f(log 23)<f(lo g 123.1)答案 D 因为∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),都有x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(lo g 123.1)=f(-log 23.1)=f(log 23.1),又因为232=2√2,所以232<3<3.1,而y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以32<log 23<log 23.1,故f (32)<f(log 23)<f(log 23.1),即f (32)<f(log 23)<f(lo g 123.1),故选D.11.(2022届四川广元质检(二),9)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x)+f(4-x)=0,当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+4,则f(11)=( )答案 D ∵f(-x)=f(x),且f(x)+f(4-x)=0,∴f(4+x)=-f(-x)=-f(x),即f(8+x)=f(x),∴f(x)是以8为周期的偶函数,又当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+4,∴f(11)=f(3)=-f(1)=-f(-1)=-[-(-1)2+4]=-3.故选D.12.(2022届合肥联考,12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,∀x∈R,恒有f(x+4)=-f(x),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-x-1,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)+f(2021)=()答案 B 因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是8.因为f(0)=0,f(2)=-f(-2)=-1,f(3)=-f(-1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(1)=-f(-3)=f(3)=0,f(5)=-f(1)= 0,f(6)=-f(2)=1,f(7)=-f(3)=0,f(8)=-f(4)=0,又f(x)是周期为8的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)+f(20 12)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)+f(2021)=f (0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0+0+(-1)+0+0+0=-1.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)+f(2021)=-1.故选B.13.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(11月),7)已知定义域为R的奇函数f(x)满足:f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=ax+b,若f(-1)=2,则f(-1.5)=( )答案 C 由题意,f(0)=b=0,且f(1)=a+b=-f(-1)=-2,所以a=-2,所以当x∈[0,1]时,f(x)=-2x,因为f(x)=f(2-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的函数,所以f(-1.5)=f(2.5)=-f(0.5)=-(-2×0.5)=1.14.(2022届河北保定重点高中月考,12)已知定义在R上的函数f(x),g(x),其中函数f(x)满足f(-x)=f(x)且在[0,+∞)上单调递减,函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x)且在(1,+∞)上单调递减,设函数F(x)=1[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|],则对任意x∈R,均有( )2A.F(1-x)≥F(1+x)B.F(1-x)≤F(1+x)C.F(1-x2)≥F(1+x2)D.F(1-x2)≤F(1+x2)答案 C根据题意,函数f(x)满足f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,又由f(x)在[0,+∞)上单调递减,且|1-x 2|≤|1+x 2|,得f(1-x 2)≥f(1+x 2).函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),即g(x)的图象关于直线x=1对称,则g(1-x 2)=g(1+x 2),又由F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]={x (x ), x (x )≥x (x ),x (x ), x (x )<x (x ),则F(x)的示意图可表示为图中实线部分,所以有F(1-x 2)≥F(1+x 2).故选C. 二、填空题15.(2022届福建永安三中10月月考,13)设函数f(x)={1+log 2(2-x),x <1,2x ,x ≥1,则f(-2)+f(log 26)= . 答案 9解析 f(-2)=1+log 24=3,f(log 26)=2log 26=6,∴f(-2)+f(log 26)=3+6=9.16.(2022届广东深圳三中月考,15)已知函数f(x)={13x 3-ax +1,0≤x <1,x ln x ,x ≥1,若f(x)≥f(1)恒成立,则正实数a 的取值范围是 . 答案 (0,43]解析 ∵a>0,∴当x≥1时,f(x)=alnx≥f(1),当0≤x<1时,f(x)=13x 3-ax+1,f'(x)=x 2-a.(1)若a≥1,则f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)≥f(1)成立,则13-a+1≥0,解得a≤43,∴1≤a≤43,(2)若0<a<1,则当0<x<√x 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当√x <x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此x=√x 时,f(x)min =f(√x )=13(√x )3-(√x )3+1=-23x 32+1,所以-23x 32+1≥0,显然成立,∴0<a<1.综上,a 的取值范围是(0,43].17.(2022届山东学情10月联考,14)设f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(1-x)=f(2+x),若f (43)=12,则f (-53)= . 答案 -12解析因为f(1-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=32对称,又f(x)是奇函数,所以f (-53)=-f (53)=-f (43)=-12.18.(2022届山西忻州顶级名校联考,16)在下列命题中,正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序号)①函数f(x)=x+x x(x>0)的最小值为2√x ;②已知定义在R 上周期为4的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),则f(x)一定为偶函数; ③定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)+f(4)+f(7)=0; ④已知函数f(x)=x 3,若a+b>0,则f(a)+f(b)>0. 答案 ②③④解析 ①当a=0时,f(x)=x(x>0)无最小值,故①错误;②因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)的周期为4,所以f(-x)=f(-x+4)=f(4-(-x+4))=f(x),故函数f(x)一定为偶函数,故②正确;③因为f(x)是定义在R 上的奇函数,又是以2为周期的周期函数,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),f(-1)=f(-1+2)=f(1),故f(1)=0,又f(4)=f(0+2×2)=f(0)=0,f(7)=f(1+2×3)=f(1)=0,所以f(1)+f(4)+f(7)=0,故③正确;④f(x)=x 3为奇函数,且在R 上单调递增,若a+b>0,则a>-b,有f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0,故④正确.19.(2022届山东鱼台一中月考,16)定义在R 上的函数f(x)=x+a+sinx,若f (x+π)是奇函数,则a= ;满足f(x)-π>0的x 的取值范围是 . 答案 -π;(2π,+∞)解析 f(x+π)=x+π+a -sinx,因为f(x+π)是奇函数,则π+a=0,即a=-π,f(x)=x -π+sinx,因为f'(x)=1+cosx≥0,则f(x)递增,又f(2π)=π,则f(x)-π>0⇔f(x)>π⇔f(x)>f(2π)⇔x>2π. 三、解答题20.(2022届福建长汀一中月考二,20)已知a,b∈R 且a>0,函数f(x)=4x +b4x -a 是奇函数. (1)求a,b 的值;(2)对任意x∈(0,+∞),不等式mf(x)-f (x2)>0恒成立,求实数m 的取值范围. 解析 (1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-2ab+(b-a)(4x +4-x)=0恒成立,∴{x -x =0,2-2xx =0,又a>0,所以解得a=b=1.(2)不等式mf(x)-f (x 2)>0⇔m (1+24x -1)-(14x2-1>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令2x=t(t>1),则m>x +1x -1x 2+1x 2-1=(x +1)2x 2+1=x 2+1+2t x 2+1=1+2x x 2+1=1+2x +1x对t>1恒成立,∵y=2x +1x在(1,+∞)上单调递减,∴y=1+2x +1x<2,∴m≥2,∴m 的取值范围为[2,+∞).21.(2022届山西忻州顶级名校联考,19)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x 2+2x.(1)求函数f(x)在R 上的解析式; (2)解关于x 的不等式f(x)<3.解析 (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x 2-2x, 由f(x)是定义在R 上的奇函数,得f(x)=-f(-x)=x 2+2x,且f(0)=0,综上,f(x)={-x 2+2x,x >0,0,x =0,x 2+2x,x <0.(2)①当x>0时,-x 2+2x<3⇒x 2-2x+3>0,解得x∈R,所以x>0; ②当x=0时,0<3显然成立,所以x=0; ③当x<0时,x 2+2x<3,得-3<x<0. 综上,不等式的解集为(-3,+∞).。

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性创新教学案(含解析)新人教

第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有01f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于02y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有03f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于04原点对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有01f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个02最小的正数，那么这个03最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0〞是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性〞的必要条件．( )(2)假设函数f(x)是奇函数，那么必有f(0)＝0.( )(3)假设函数y＝f(x＋a)是偶函数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)假设函数y＝f(x＋b)是奇函数，那么函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )(5)函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，假设在(－∞，0)上是减函数，那么在(0，＋∞)上是增函数．( )(6)假设T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．小题热身(1)以下函数中为奇函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x答案 A解析A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．(2)假设f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，那么f(3)－f(4)＝________.答案－1解析因为f(x)是R上周期为2的函数，所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，那么f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，所以f(－2)＋f(0)＝－5.(4)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，那么f(－1)＝________.答案 3解析因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)＝3.综上可知，f(－1)＝3.(5)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，假设当x∈[0,5]时，f(x)的图象如下图，那么不等式f(x)＜0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析因为函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如右，观察图象可知，不等式f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一函数的奇偶性角度1 判断函数的奇偶性1．(2020·成都市高三阶段考试)y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，那么以下函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 D解析因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，由f (|－x |)＝f (|x |)，知①是偶函数；由f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，知②是奇函数；由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝x 是定义在R 上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，知④是奇函数．2．判断以下函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝lg 1－x2|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由1＋x 1－x ≥0得－1≤x <1，所以f (x )的定义域为[－1,1)，所以函数f (x )是非奇非偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg1－x2－x.又f (－x )＝lg [1－－x2]x＝lg 1－x2x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，那么f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，那么f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．角度2 奇函数、偶函数性质的应用3．(2019·衡水模拟)f (x )是定义在R 上的奇函数，假设x ＞0时，f (x )＝x ln x ，那么x ＜0时，f (x )＝( )A ．x ln xB ．x ln (－x )C ．－x ln xD ．－x ln (－x )答案 B解析设x ＜0，那么－x ＞0，所以f (－x )＝－x ln (－x )．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ln (－x )．4．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，那么(M ＋N －1)2020的值为( )A ．1B ．2C ．22020D ．32020解析由x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e 2＝sinπx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sinπx ＋2e x x 2＋e 2＋1.令g (x )＝sinπx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0，所以M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以(M ＋N －1)2020＝1.5．假设f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 是偶函数，那么a ＝________. 答案－32解析解法一：因为f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (－x )＝ln (e －3x＋1)－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 3x ＋1－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 3xe 3x －ax ＝ln (1＋e 3x )－3x －ax ＝ln (e 3x ＋1)＋ax ，所以－3－a ＝a ，解得a ＝－32.解法二：函数f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln (e－3x＋1)－ax ＝ln (e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1e 3x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1e 3x ＝e 2ax，整理得e2ax ＋3x＝1.所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.1．判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法(如举例说明2)(3)性质法(如举例说明1(③)，4)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．如举例说明3.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．如举例说明5.(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．如举例说明4.注意：对于定义域为I 的奇函数f (x )，假设0∈I ，那么f (0)＝0.1．f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，那么f (－2)等于( ) A ．－3 B ．－54C.54 D ．3答案 A解析由得，f (0)＝20＋m ＝0. 解得m ＝－1.当x ≥0时，f (x )＝2x－1，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3. 2．(2019·辽宁名校联考)函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称答案 B解析记f (x )＝x 2lgx －2x ＋2，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )2lg －x －2－x ＋2＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，即函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象关于原点对称．3．(2020·武汉十校联考)假设定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，那么g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析 ∵f (x )＋g (x )＝e x，① ∴f (－x )＋g (－x )＝e －x，又f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， ∴f (x )－g (x )＝e －x，②由①②解得g (x )＝e x －e－x2.应选D.题型二函数的周期性1．(2019·温州模拟)定义在R 上的函数f (x )的最小正周期等于T ，那么以下函数的最小正周期一定等于T2的是( )A ．f (2x )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2C ．2f (x )D ．f (x 2)答案 A解析由得f (x ＋T )＝f (x )，所以f (2x ＋T )＝f (2x )，即f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，所以函数f (2x )的周期是T 2；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，即f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋2T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，所以函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的周期是2T ；2f (x ＋T )＝2f (x )，所以函数2f (x )的周期是T .函数f (x 2)不一定是周期函数．2.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，当x∈[0，2)时，f(x)＝x＋e x，那么f(2020)＝________.答案 1解析因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，所以f(x＋4)＝1f x＋2＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋e x，所以f(2020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.1．求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期非零常数T容易确定的函数，如举例说明1递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：假设f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(x＋a)与f(x)的关系式，如举例说明2换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：假设f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，那么x＝t＋a，那么f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式2．函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：假设T是函数的周期，那么kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．如举例说明2.1．(2019·绵阳模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x ＜3，f x －4，x ≥3，那么f (9)＝________.答案 1解析 f (9)＝f (9－4)＝f (5)＝f (5－4)＝f (1)＝2×1－1＝1.2．f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，那么函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．答案 7解析因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，那么f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个．题型三函数性质的综合应用角度1 单调性与奇偶性结合1．(2019·成都模拟)函数f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )单调递减，假设f (2a )＞f (1－a )，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ 答案 C解析因为函数f (x )为R 上的偶函数，所以f (2a )＞f (1－a )⇔f (|2a |)＞f (|1－a |)，又当x ≥0时，f (x )单调递减，所以|2a |＜|1－a |，所以(2a )2＜(1－a )2，即3a 2＋2a －1＜0，解得－1＜a ＜13.角度2 周期性与奇偶性结合2．(2018·全国卷Ⅱ)f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．假设f (1)＝2，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C解析因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (1＋x )＝－f (x －1)，f (x ＋4)＝f [1－(x ＋3)]＝f (－x －2)＝－f (x ＋2)＝－f [1－(x ＋1)]＝－f (－x )＝f (x )．所以f (x )是周期为4的函数．因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)，因为f (3)＝－f (1)，f (4)＝－f (2)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，因为f (2)＝f (2－4)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (2)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2，应选C.角度3 单调性、奇偶性和周期性结合3．(2019·青岛二中模拟)定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋2)＝f (x )；②f (x －2)为奇函数；③当x ∈[0，1)时，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0(x 1≠x 2)恒成立，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152，f (4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112的大小关系正确的选项是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152B ．f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f (4) 答案 C解析由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，所以f (x )＝f (x －2)，又f (x －2)为奇函数，所以f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＋2×4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝⎛⎭⎪⎫112－2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又x ∈[0,1)时，f (x )单调递增．故奇函数f (x )在(－1,1)上单调递增．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．如举例说明1.(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解．如举例说明3.1．函数f (x )＝(mx ＋n )(x －1)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，那么f (2－x )＞0的解集为( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 f (x )＝(x －1)(mx ＋n )＝mx 2＋(n －m )x －n . ∵函数f (x )＝(mx ＋n )(x －1)为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．即mx 2＋(n －m )x －n ＝mx 2－(n －m )x －n ，得－(n －m )＝(n －m )，即n －m ＝0，那么m ＝n ，那么f (x )＝mx 2－m ，∵f (x )在(－∞，0)上单调递增，∴m ＜0，由f (2－x )＞0，得m (2－x )2－m ＞0，即(2－x )2－1＜0，得x 2－4x ＋3＜0，得1＜x ＜3，即不等式的解集为(1,3)．2．(2019·广东珠海模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，f (x )＝－f (－x )，且在[0,1]上有f (x )＝x 2，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫201912＝( )A.94 B.14 C ．－94D ．－14答案 D解析因为f (x )＝－f (－x )，所以f (x )是奇函数，因为f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f (－2－x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫201912＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2020－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因为在[0,1]上有f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫201912＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14. 3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝8，所以f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)，又因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，所以f(－25)<f(80)<f(11)．组基础关1．(2019·武威模拟)以下函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝e x－e －xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝|x |答案 A解析 f (x )＝|x |是偶函数，排除D ；f (x )＝x ＋1x在(0，＋∞)上先减后增，排除C ；f (x )＝tan x 在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B ；f (x )＝e x －e －x符合题意．2．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图，那么函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能为( )答案 A解析因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以y ＝f (x )·g (x )为奇函数，排除B ；由两函数的图象可知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2时，y ＝f (x )·g (x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，y ＝f (x )·g (x )>0，所以只有选项A 符合题意，应选A.3．(2020·烟台适应性练习)定义在R 上的函数f (x )的周期为2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，那么f (5a )等于( ) A.716 B ．－25C.1116D.1316答案 B解析由于函数f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，所以－12＋a ＝110，所以a ＝35，因此f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.应选B. 4．函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，那么f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 ∵y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴f (－x )＋(－x )＝f (x )＋x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，令x ＝2，那么f (－2)＝f (2)＋4＝5，应选D.5．(2019·成都模拟)假设函数f (x )＝1－a2x －1的图象关于原点对称，那么实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析由得，函数f (x )为奇函数，所以f (1)＋f (－1)＝0，即1－a 2－1＋1－a12－1＝0,1－a ＋1＋2a ＝0，解得a ＝－2.6．(2019·合肥模拟)偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，那么对实数a ，b ，“a >|b |〞是“f (a )>f (b )〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为f (x )是偶函数，所以f (|b |)＝f (b )．因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，a ＞|b |≥0.所以f (a )＞f (|b |)＝f (b )．假设f (a )＞f (b )．举反例f (－3)＝f (3)＞f (1)，而－3＜|1|.故由f (a )＞f (b )无法得到a ＞|b |.所以“a ＞|b |〞是“f (a )＞f (b )〞的充分不必要条件．7．(2020·沈阳市高三质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )＞0，那么以下不等关系恒成立的是( )A ．b －a ＜2B ．a ＋2b ＞2C ．b －a ＞2D ．a ＋2b ＜2答案 C解析由题意知f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x1＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，又f (x )＝1－2x1＋2x ＝2－1＋2x1＋2x＝21＋2x －1，所以f (x )在R 上为减函数，由f (2a ＋b )＋f (4－3b )＞0，得f (2a ＋b )＞－f (4－3b )＝f (3b －4)，故2a ＋b ＜3b －4，即b －a ＞2.应选C.8．函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝lg x ，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值为________．答案－lg 2 解析由得f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2.f (－2)＝－f (2)＝－lg 2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝－lg 2.9．奇函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x －2)，且当x ∈[－3,0)时，f (x )＝1x ＋3sin π2x ，那么f (2021)＝________.答案－4解析因为函数f (x )(x ∈R )为奇函数满足f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是以6为周期的周期函数，因为当x ∈[－3,0)时，f (x )＝1x ＋3sin π2x ，所以f (2021)＝f (337×6－1)＝f (－1) ＝1－1＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－4.10．(2020·甘肃天水摸底)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，那么函数f (x )在[1,2]上的解析式是________．答案f(x)＝log2(3－x)解析因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)．所以设x∈[1,2]，那么x－2∈[－1,0]，2－x∈[0,1]．所以f(2－x)＝log2[(2－x)＋1]＝log2(3－x)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(3－x)．组能力关1．p：a＝±1，q：函数f(x)＝ln (x＋a2＋x2)为奇函数，那么p是q成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析假设函数f(x)＝ln (x＋a2＋x2)为奇函数，那么f(－x)＋f(x)＝ln (－x＋a2＋x2)＋ln (x＋a2＋x2)＝ln a2＝0，解得a＝±1.所以p是q成立的充分必要条件．2．函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，假设g(x)＝f(x)＋2019，那么g(x)的最大值与最小值之和为( )A．0 B．1C．2019 D．4038答案 D解析因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.3．(2019·南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，那么不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析假设x∈[－2,0]，那么－x∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，即在一个周期[－2,2]内，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0≤x ≤2，－x －1，－2≤x <0，假设x ∈[2,4]，那么x －4∈[－2,0]，即f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝－x ＋3，x ∈[2,4]，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象如图：那么当x ∈[－1,3]时，不等式xf (x )>0等价为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x <0，即1<x <3或－1<x <0，所以不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．4．f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＜0，记a ＝f 4.10.24.10.2，b ＝f 0.42.10.42.1，c ＝f log 0.24.1log 0.24.1，那么( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a答案 A解析设0<x 1＜x 2，由x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，得f x 1x 1＞f x 2x 2，所以函数g (x )＝f xx在(0，＋∞)上单调递减，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，因此a ＝f 4.10.24.10.2＝g (4.10.2)＜g (1)，b ＝f 0.42.10.42.1＝g (0.42.1)>g (0.42)>g (0.5)，c ＝f log 0.24.1log 0.24.1＝g (log 0.24.1)＝g (log 154.1)＝g (－log 54.1)＝g (log 54.1)∈(g (1)，g (0.5))，即a <c <b ，应选A.5．假设函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，那么a ＝________. 答案 1或－1解析令u (x )＝1－a 2＋1e x ＋1，根据函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，可知u (x )＝1－a 2＋1e x＋1为奇函数，利用u (0)＝1－a 2＋1e 0＋1＝0，可得a 2＝1，所以a ＝1或a ＝－1. 6．(2019·河北重点中学联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－.2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.其中正确的选项是________(正确的序号都填上)．答案①②④解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k ∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.专业.。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR⎩⎨⎧x ⎪⎪ x ≠π2 } ＋k π，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：⎣⎡ 2k π－π2， ⎦⎤2k π＋π2(k ∈Z )递减区间：⎣⎡2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2(k ∈Z )递增区间： [2k π－π，2k π](k ∈Z ) 递减区间： [2k π，2k π＋π] (k ∈Z )递增区间：⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2(k ∈Z )最值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k π，0)，k ∈Z对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0，k∈Z对称中心⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z对称轴l ：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称轴l ：x ＝k π，k ∈无对称轴Z周期性 2π2ππ易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．必记结论函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0，即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：53π4＋2k π(k ∈Z ) 考点一三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间．解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用．探究一三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________．解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]．又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题．答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12，即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x 解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。

高考数学一轮复习第3讲函数的奇偶性与周期性教案

第3讲函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数． (3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.双基自测 1．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )．A.－12B.－14C.14D.12解析因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12.故选A.答案 A2．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x－x 的图象关于( )．A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝1－x －(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，图象关于原点对称．答案 C3．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A. 答案 A4．(2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )． A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2解析 ∵f (1)＝a sin 1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin 1－b ＋c 且c ∈Z ，∴f (1)＋f (－1)＝2c 是偶数，只有D 项中两数和为奇数，故不可能是D. 答案 D5．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析法一 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0. 法二由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|，得a ＝0. 答案0考向一判断函数的奇偶性【例1】►下列函数：①f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x2；⑤f (x )＝lg 1－x1＋x .其中奇函数的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 [审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断．解析 ①f (x )＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，又f (－x )＝±f (x )＝0，则f (x )＝1－x 2＋x 2－1是奇函数，也是偶函数； ②f (x )＝x 3－x 的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－(x 3－x )＝－f (x )，则f (x )＝x 3－x 是奇函数；③由x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0知f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f (－x )＝ln(－x ＋－x2＋1)＝ln1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，则f (x )为奇函数；④f (x )＝3x －3－x2的定义域为R ，又f (－x )＝3－x－3x 2＝－3x －3－x2＝－f (x )，则f (x )为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x <1，f (x )＝ln 1－x1＋x 的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数．答案 D判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断．【训练1】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.解 (1)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x <0，或0<x ≤2，因此函数f (x )的定义域是[－2,0)∪(0,2]，则f (x )＝4－x2x.f (－x )＝4－－x2－x ＝－4－x2x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是(－∞，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝x 2－|x |＋2，f (－x )＝x 2－|－x |＋2＝x 2－|x |＋2＝f (x )．因此f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－|2a |＋2，f (－a )≠f (a )，且f (－a )≠－f (a )．因此f (x )既不是偶函数也不是奇函数．考向二函数奇偶性的应用【例2】►已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)证明：f (x )＞0.[审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.(1)解法一 f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x＋12x －1.∴f (－x )＝－x 2·2－x＋12－x －1＝x 2·2x＋12x －1＝f (x )．故f (x )是偶函数．法二 f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f (1)＝32，f (－1)＝32，∴f (x )不是奇函数．∵f (x )－f (－x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2x1－2x ＋1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x2x －1＋1＝x (－1＋1)＝0，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (2)证明当x ＞0时，2x＞1,2x－1＞0，所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＞0.当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＞0，又f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，所以f (x )＞0. 综上，均有f (x )＞0.根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【训练2】已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m ＞m 2－1，即－2＜m ＜1.②综合①②可知，－1≤m ＜1.考向三函数的奇偶性与周期性【例3】►已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1， (1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．[审题视点] (1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )为周期函数；(2)由f (x )在[0,1]上的解析式及f (x )图象关于x ＝1对称求得f (x )在[1,2]上的解析式； (3)由周期性求和的值．(1)证明函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．(2)解当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x－1，x ∈[1,2]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1又f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013) ＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【训练3】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．0 D ．无法计算解析由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.答案 C规范解答3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f－x与f x的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f x＋T与f x的关系，它们都与f x有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.【示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．第(1)问先求函数f(x)的周期，再求f(π)；第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出．[解答示范] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(4分)(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(6分)又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．(8分)当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(10分)(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【试一试】已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)[尝试解答] 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．故选D. 答案 D。

(完整版)高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质

函数专题1、函数的基本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）3、如何求一个函数的解析式。

（常见方法有哪些）4、如何求函数的值域。

（常见题型对应的常见方法）5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域；（2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、已知函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

2019年全国高考数学第一轮复习第3讲.函数的性质初步

第03讲函数的性质初步本讲分三小节，分别为函数的奇偶性、函数的单调性、函数的周期性，建议用时3课时．重点应当放在对常见函数的性质的判断与初步应用上．对于函数的性质，需要对照的把握其代数特征与图形特征，因此应以函数性质的代数表示形式的转化及数形互化为主要教学目标．由于在研究函数的性质时或多或少总会遇到复合函数，因此有部分涉及复合函数的性质的题目出现，但有关复合函数的性质会在下一讲系统讲解，在此不作为教学重点．第一小节为函数的奇偶性，共2道例题．其中例1主要讲解函数的奇偶性的判断；例2主要讲解函数的奇偶性的应用；第二小节为函数的单调性，共3道例题．其中例3主要讲解函数的单调性的判断；例4主要讲解函数的单调性的应用；例5主要讲解指函数的奇偶性与单调性的综合应用；第三小节为函数的周期性，共2道例题．其中例6主要讲解函数的周期性的判断；例7主要讲解函数性质的综合应用．知识结构图1、函数的奇偶性 ⑴ 定义如果函数()f x 的定义域D 关于原点对称，那么若对任意x D ∈，均有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数；若对任意x D ∈，均有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数．⑵ 判断① 根据定义判断；② 对于函数的四则运算，有奇函数与奇函数的和为奇函数；偶函数与偶函数的和为偶函数；奇函数与奇函数的积为偶函数；偶函数与偶函数的积为偶函数；偶函数与奇函数的积为奇函数．【备注】偶函数与奇函数的和一般为非奇非偶函数． ⑶ 代数特征① 若()f x 具有奇偶性，且定义域为D ，则x D ∀∈，则有x D -∈； ② 奇函数满足：当自变量的和为0时，函数值恒互为相反数；偶函数满足：当自变量的和为0时，函数值恒相等． ③ 若奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =． ⑷ 图形特征奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．2、函数的单调性 ⑴ 定义如果函数()f x 在定义域D 的某个区间I 上满足：对任意12,x x D ∈，12x x <，均有()()12f x f x <，则称()f x 在区间I 上单调递增；对任意12,x x D ∈，12x x <，均有()()12f x f x >，则称()f x 在区间I 上单调递减． ⑵ 判断① 根据定义判断；② 对于函数的四则运算，有增函数与增函数的和为增函数；减函数与减函数的和为减函数；恒正增函数与恒正增函数的积为增函数；恒正减函数与恒正减函数的积为减函数；若()y f x =为增函数，则()y f x =-为减函数；若()y f x =为恒正的增函数，则()1y f x =为减函数． ⑶ 代数特征若()f x 为区间I 上的单调递增函数，则12,x x I ∀∈，12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；若()f x 为区间I 上的单调递减函数，则12,x x I ∀∈，12x x ≠，()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦；【备注】有时也写作分式形式：()()1212f x f x x x --．⑷ 图形特征增函数图象上任意两点的连线斜率为正；减函数图象上任意两点连线斜率为负．知识梳理3、函数的周期性⑴ 定义如果函数()f x 在整个定义域内有()()f x f x T =+（0T ≠），则T 称为函数()f x 的一个周期． ⑵ 判断① 根据定义判断；② 若1T 为函数()f x 的一个周期，2T 为函数()g x 的一个周期，且存在T （0T ≠）使得1T T ，2TT 都是整数，则()f x 与()g x 四则运算后的结果是周期函数，T 是它的一个周期．⑶ 代数特征① 根据定义判断；② 周期性的常见表达：对于,m a ∈R ，0a ≠．若()()f x a m f x +=-，则2a 为函数()f x 的一个周期；若()()mf x a f x +=（0m ≠），则2a 为函数()f x 的一个周期；若()()()2f x a f x a f x +=++，则6a 为函数()f x 的一个周期；若()()()2f x a f x a f x +=+⋅，则6a 为函数()f x 的一个周期．⑷ 图形特征周期函数的图象周期性的重复出现．【备注】周期性有三大来源，① 函数对应法则的天然周期（如三角函数）；② 类周期性引起的周期性；③ 双对称性引起的周期性．这里重点讲解②，而对于③，会在秋季课程中复习．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意1x ，2x ，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是．【解析】 ②；()f x 为偶函数，且当π02x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，2y x =与cos y x =-都是增函数，故()f x 在π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，在π02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上单调递减．从而知，当12π2x x >≥时，有1122()()()()f x f x f x f x =>=．从而知②正确．真题再现1、下列函数()f x中，满足“对任意()12,0,x x∈+∞，当12x x<时，都有()()12f x f x>”的是（）A．()1f xx=B．()()21f x x=-C．()e xf x=D．()()lg1f x x=+2、函数22log2xyx-=+的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y x=-对称C．关于y轴对称D．关于直线y x=对称3、设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y xα=的定义域为R，且奇函数的所有α的值为（）A．1,3B．1,1-C．1,3-D．1,124、若()f x是R上周期为5的奇函数，且满足()11f=，()22f=，则()()34f f-=（）A．1-B．1C．2-D．25、定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的1x，[)20,x∈+∞（12x x≠），有()()2121f x f xx x-<-．则（）A．()()()321f f f<-<B．()()()123f f f<-<C．()()()213f f f-<<D．()()()312f f f<<-6、设()f x为定义在R上的奇函数，当0x≥时，()22xf x x b=++，则()1f-=（）A．3B．1C．1-D．3-7、已知定义在R上的奇函数()f x是一个减函数，且12x x+<，23x x+<，31x x+<，则()()()123f x f x f x++的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．以上均有可能8、若()log af x x=在[)2,+∞恒有()1f x>，则实数a的取值范围为（）A．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B．()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭C．()1,2D．()10,2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭9、若函数()f x、()g x分别为R上的奇函数、偶函数，且满足()()e xf xg x-=，则有（）A．()()()230f f g<<B．()()()032g f f<<C．()()()203f g f<<D．()()()023g f f<<10、已知函数()f x满足()()()121f xf xf x++=-，()12f=()()9971001f f+的值为（）A．4B．0C．D．2-小题热身考点：函数的奇偶性的判断【例1】 ⑴判断下列函数的奇偶性：① 32y x x =+； ② 2x y =； ③ sin xy x=；④y ⑵判断下列函数的奇偶性：① (1y x =-1lg 1x y x -=+； ③y =22,0,0x x x y x x x ⎧->⎪=⎨--<⎪⎩．【解析】 ⑴ ①奇函数；②偶函数；③偶函数；④非奇非偶函数；⑵ ①非奇非偶函数；②奇函数；③偶函数；④奇函数．【备注】设置这两组例题的目的是为了：① 考虑函数的单调性，先考虑函数的定义域；② 熟悉一些具有奇偶性的典型函数的结构，尤其是有关多项式函数的； ③ 对于复杂函数，总是回归定义考查奇偶性．考点：函数的奇偶性的应用【例2】 ⑴若()121x f x b =++，[]1,3x a a ∈-+是奇函数，则a = ；b = ．⑵已知()f x 是R 上奇函数，则函数()211y f x =-+的图象必经过点；⑶若偶函数()f x 满足当0x ≥时，()22f x x x =--，则当0x <时，()f x = ；不等式()0f x >的解集为． ⑷函数()f x 、()g x 均定义在R 上且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，()()231f x g x x x -=--，则()f x 的解析式是，()g x 的解析式为．【解析】 ⑴ 1a =-，12b =-．⑵ 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．⑶ 22x x +-，()(),22,-∞-+∞．注意画函数图象解决问题． ⑷ ()3f x x =-，()21g x x =-．【拓1】 ⑴ 已知()538f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f = ．⑵ 已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值之和为．【解析】 ⑴ 26-；⑵ 2．3.1函数的奇偶性经典精讲考点：函数的单调性的判断【例3】⑴已知函数y ax =和b y x =-在区间(0)+∞，上都是减函数，则函数1by x a=+在R 上的单调性是_____________．（填增函数或减函数或非单调函数）⑵已知函数()()2312f x a x =-+在(),-∞+∞上为减函数，则a 的取值范围为________．⑶若函数()22013f x x ax =++在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则实数a 的值为__ _． ⑷若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(),4-∞上为减函数，则a 的取值范围是．【解析】 ⑴减函数；⑵ 1a >或1a <-；⑶ 4-；⑷ 3a -≤．考点：函数的单调性的应用【例4】 ⑴已知在区间()0,+∞上函数()f x 是减函数，且当0x >时，()0f x >．若0a b <<，则（）A ．()()bf a af b <B ．()()af a bf b <C ．()()af b bf a <D ．()()bf b af a < ⑵()f x 是定义在()3,4-上的减函数，则不等式()()2110f x f x --+>的解集为_________．【解析】 ⑴ C ；⑵ ()1,2-考点：函数的单调性与奇偶性的综合应用【例5】 ⑴已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是；⑵定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，(]2,0x ∈-∞，（12x x ≠），有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当*n ∈N 时，()f n -，()1f n -，()1f n +三者从小到大的关系为；⑶若函数()f x 为奇函数，且在()0+∞，内是增函数，又()20f =，则()()0f x f x x--<的解集为． ⑷已知函数()3f x x x =+，则0a b +>是()()0f a f b +>的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】 ⑴ 12,33⎛⎫⎪⎝⎭．⑵ ()()()11f n f n f n +<-<- ⑶ ()()2002-，，⑷ C ；3.2函数的单调性【拓2】 ⑴ 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递增，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是；⑵ 设()f x 是连续的偶函数，且当0x >时()f x 是单调函数，则满足()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为．A ．3-B ．3C ．8-D ．8⑶ 已知()31201320120x x +++=，()31201320140y y +++=，则x y += ．⑷ 设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[],2x a a ∈+，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【解析】 ⑴ ()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．⑵ 8-．⑶ 2-．⑷)+∞．考点：函数的周期性的判断与应用【例6】 ⑴定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()110101x f x x -<⎧=⎨-<⎩，≤，≤，则()2011f =______．⑵函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15f =-，则()2009f f =⎡⎤⎣⎦ ． ⑶定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 10120x x f x f x f x x ⎧-⎪=⎨--->⎪⎩，≤，，则()2013f 的值为．【解析】 ⑴ 1-；⑵ 15-；⑶ 2．考点：函数的性质的综合应用【例7】 ⑴设函数()f x 是以2为周期的奇函数，已知()0,1x ∈，()2x f x =，则()f x 在()1,2上是（）A ．增函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x <D ．减函数且()0f x >⑵已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=，且当[)02x ∈，时，()()2log 1f x x =+，则()()20122013f f -+的值为； ⑶定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[],T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为（）A ．0B ．1C ．3D ．5【解析】 ⑴ C ；⑵ 1．⑶ D ；3.3函数的周期性一、选择题1、设函数()f x是定义在R上的奇函数，且()32f-=-，则()()30f f+=（）A．3B．3-C．2D．7【解析】C．2、函数()3sin1f x x x=++（x∈R），若()2f a=，则()f a-的值为（）A．3B．0C．1-D．2-【解析】B．3、已知函数()f x为R上的减函数，则满足()11f fx⎛⎫<⎪⎪⎝⎭的实数x的取值范围是（）A．()1,1-B．()0,1C．()()1,00,1-D．()(),11,-∞-+∞【解析】D．4、若()f x是R上周期为4的奇函数，且满足()11f-=，则()()20132012f f-=（）A．1-B．1C．2-D．2【解析】A．5、定义在R上的函数()f x满足：()()213f x f x⋅+=，()12f=，则()99f=（）A．13 B．2 C．132D．213【解析】C．6、已知()f x是定义在R上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是增函数．令2πsin7a f⎛⎫= ⎪⎝⎭，5πcos7b f⎛⎫= ⎪⎝⎭，5πtan7c f⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A．b a c<<B．c b a<<C．b c a<<D．a b c<<【解析】A．二、填空题7、已知m为非零实数，若函数lg11myx⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图象关于原点成中心对称，则m=．【解析】2-．8、函数()()()0.50.5log1log3f x x x=++-的单调递减区间是．【解析】()3,+∞．9、已知()2f x x x=+，则1f aa⎛⎫+⎪⎝⎭()1f．【解析】≥．10、若函数()212xxkf xk-=+⋅在定义域上为奇函数，则实数k=．【解析】1．11、已知函数()y f x=是偶函数，当0x>时，()4f x xx=+，且当[]3,1x∈--时，()n f x m≤≤恒成立，则m n-的最小值是．【解析】1．三、解答题课后习题12、已知函数()f x 满足()21log 1a a f x x a x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，其中0a >，1a ≠． ⑴ 对于函数()f x ，当()1,1x ∈-时，()()2110f m f m -+-<，求实数m 的取值范围；⑵ 当(),2x ∈-∞时，()52f x -的值恒为负数，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ (1,．⑵ 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．13、已知函数()1lg1kx f x x -=-（k ∈R ，且0k >）． ⑴ 求函数()f x 的定义域；⑵ 若函数()f x 在[)10,+∞上单调递增，求k 的取值范围．【解析】 ⑴ 1k =时，()f x 的定义域为()(),11,-∞+∞；01k <<时，()f x 的定义域为()1,1,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； 1k >时，()f x 的定义域为()1,1,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．⑵ 1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

人教版高中数学必修一函数及其性质知识点归纳总结(精华版)

(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质知识点归纳总结(精华版) 单选题1、已知函数f(x)，x≠0，且f(x)满足f(1x )+1xf(−x)=2x，则f(2)的值是（）A．4.5B．3.5C．2.5D．1.5答案：A解析：由已知条件得出关于f(2)和f(−12)的方程组，进而可求得f(2)的值.由于函数f(x)满足f(1x )+1xf(−x)=2x，则{f(2)+2f(−12)=1f(−12)−12f(2)=−4，解得{f(2)=92f(−12)=−74.故选：A.小提示：本题考查函数值的计算，建立关于f(2)和f(−12)的方程组是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2、已知函数f(x)=x(|x|+1)，若f(a−2)+f(a2−2a)<0，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−1,2)C．(−∞,−2)∪(1,+∞)D．(−∞,−1)∪(2,+∞)答案：B解析：首先根据题意得到f(x)为奇函数，且在R上单调递增，根据f(a−2)+f(a2−2a)<0得到a2−2a<2−a，再解不等式即可.因为函数f (x )的定义域为R ，f (−x )=−f (x )，所以f (x )为奇函数，又因为当x ≥0时，f(x)=x 2+x 单调递增，所以f (x )在R 上单调递增.因为f(a −2)+f (a 2−2a )<0，所以f (a 2−2a )<−f(a −2)，则f (a 2−2a )<f(2−a)，即a 2−2a <2−a ，解得−1<a <2.所以a 的取值范围为(−1,2).故选：B3、已知函数f(x)={x 2,x ≥0x +1,x <0，则f(−1)的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：根据分段函数的概念，求得f (−1)的值.依题意f (−1)=−1+1=0.故选A.小提示：本小题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题.填空题4、设函数f (x )={x 3,x ≤a x 2,x >a，若f (2)>4，则a 的取值范围为______．答案：[2,+∞)解析：分a ≤2、a >2两种情况讨论，结合f (2)>4可求得实数a 的取值范围.当a ≥2时，则f (2)=23>4，合乎题意；当a<2时，f(2)=22=4，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是[2,+∞).所以答案是：[2,+∞).5、已知定义在R上的奇函数f(x)=x3−x+1−a，则函数f(x)在点(a,f(a))处的切线方程为___________．答案：2x−y−2=0解析：由奇函数性质可求得a，利用导数的几何意义可求得所求的切线方程.∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=1−a=0，解得：a=1，∴f(x)=x3−x，∴f′(x)=3x2−1，∴f′(1)=3−1=2，又f(1)=1−1=0，∴f(x)在(a,f(a))，即在(1,0)处的切线方程为：y−0=2(x−1)，即2x−y−2=0.所以答案是：2x−y−2=0.小提示：本题考查求解曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到导数几何意义和函数奇偶性的应用，属于基础题.。

高三数学函数性质人教版知识精讲

高三数学函数性质人教版知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容：函数性质二. 重点、难点： 1. 奇偶性〔1〕定义域A 关于原点对称。

任取A x ∈⇔=-)()(x f x f 偶函数⇔图象关于y 轴对称〔2〕定义域B 关于原点对称，任取B x ∈⇔-=-)()(x f x f 奇函数⇔图象关于原点对称2. 单调性运算单调性的方法：定义法、复合函数法、图象法、导数法 )(x f y = )(x g y = )]([)(x g f x F y == ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ 3. 周期性关于函数)(x f y =，D x ∈存在一个非0常数T ，任取D x ∈)()(x f T x f =+恒成立，那么)(x f y =叫周期函数，T 叫做周期。

【典型例题】1. 奇偶性[例1] 判定以下函数奇偶性〔1〕212xx y x +-=〔2〕)1lg(2x x y ++= 〔3〕1122-+-=x x y答案：〔1〕R x ∈且0≠x ，对称)21212()21121()(+--=+-⋅-=--x x x x x x f)()211121()21122(x f x x x xx =-+-⋅=--⋅= ∴ )(x f y =偶函数〔2〕R x ∈，对称)11lg()1lg()(22x x x x x f ++=++-=-12)1lg(-++=x x )(x f -=∴ )(x f y =奇函数〔3〕}1,1{-∈x ，对称0)()()(=-==-x f x f x f∴ 既奇又偶[例2]〔1〕11)(-+==xa mx f y ，m 为何值时，)(x f 为奇函数〔2〕)sin()(α+==x x f y ，α为何值时，)(x f 为偶函数答案：〔1〕xxx a ma a m x f -+=-+=--1111)( 11)1(1)1(1-+--=--+=x x x x a a m a a m1)1(11)(--+=-+=xx x a m a a m x f ∴ 2=m 时，)(x f y =奇函数〔2〕)()(x f x f =- )sin()sin(x x +=-ααx x x x sin cos cos sin sin cos cos sin ⋅+⋅=⋅-⋅αααα ∴ 0cos sin 2=⋅αx ∴ 0cos =α∴ 2ππα+=k Z k ∈[例3] )(x f y =为R 上偶函数，),0(+∞∈x 时1sin )(2+-=x x x f ，求)0,(-∞∈x ，)(x f 解析式。

3.2函数性质的综合应用课件高三数学一轮复习

(2)(多选题)(2023·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-1)
是奇函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)=f(x-16)
B.f(19)=0
C.f(2 024)=f(0)
D.f(2 023)=f(1)
【解析】选ABC.因为f(2x+1)是偶函数,所以f(-2x+1)=f(1+2x), 即f(1-x)=f(1+x),即函数关于x=1对称,则f(x)=f(2-x). 因为f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),则f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x), 即f(x-2)=-f(2+x),则f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数的周期是8, 则f(x)=f(x-16)成立,故A正确; 令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0, 则f(19)=f(3)=0,故B正确; f(2 024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正确; f(2 023)=f(8×253-1)=f(-1),故D错误.
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2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0) 对称,f(1)=4,则f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)的值为 4 . 【解析】因为y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,即函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0. 因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4, 所以f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2 020)=f(0)=0,f(2 022)=f(2)=-f(0)=0, 所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4.

高考数学一轮复习第2篇第3节函数性质的综合应用课件文新人教版

3.函数 f(x)=
1 的最大值是( 1 x 1 x
D )
4 (A) 5
5 (B) 4
3 (C) 4
2
4 (D) 3
解析:法一 ≧1-x(1-x)=x -x+1
1 2 3 3 4 1 =(x- ) + ≥ ,≨0< ≤ , 1 x 1 x 2 4 4 3 1 4 即 f(x)的最大值为 ,当 x= 时取到. 2 3
1 1 ≨当 x= 时,f(x)取到最大值 +2,当 x=2 时,f(x)取到 2 a
1 1 最小值 + . a 2
(2)令
x =t,t≥0,则 x=t ,≨y=2t-t =-(t-1) +1,
2 2 2
≨当 t=1 即 x=1 时,y 取到最大值 1. (3)画出函数 f(x)的大致图象如图所示. (实线部分).
双基自测
1.(2013 年高考湖南卷)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( B ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 得 f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),
a 解析:函数的图象是以(- ,0)为端点的 2 条射线 2 a 组成,所以- =3,a=-6. 2
答案:-6
考点突破
考点一求函数的最值
剖典例
知规律
1 1 1 【例 1】 (1)函数 f(x)= + (a>0,x>0),在[ ,2]上的最大值是 2 a x
最小值是 (2)函数 y=2 .
,
x -x(x≥0)的最大值为

2014届高考数学一轮检测精讲精析(人教版)：第3讲函数及其性质

【考点3】函数及其性质2013年考题1. （2013福建高考）下列函数中，满足“对任意，（0，），当< 时，都有> 的是（）A．= B. = C . = D【解析】选A.依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。

2.（2013福建高考）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（）A．B.C.D．【解析】选C.根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。

而函数在上递减；函数在上单调递减；函数在（上单调递增，理由如下=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有=- <0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意。

3. （2013辽宁高考）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（）（A）（，）(B) ［，）(C)（，）(D) ［，）【解析】选A.由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x－1|)＜f( ),再根据f(x)的单调性得|2x－1|＜解得＜x＜.4. （2013山东高考）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2013）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】选C.由已知得, , ,, ,, , ,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2013）= f（5）=1。

5. （2013山东高考）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A. B.C. D.【解析】选D.因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则, , ,又因为在R上是奇函数，,得, ,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即.6. （2013天津高考）已知函数若则实数的取值范围是（）A B C D【解析】选C.由题知在上是增函数，由题得，解得。

7. （2007浙江高考）若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【解析】选C.对于时有是一个偶函数.8. （2007天津高考）设函数则不等式的解集是（）A BC D【解析】选A.由已知，函数先增后减再增,当时，, 令解得。

高考数学一轮复习 2.3 函数的性质精品教学案(教师版)新人教版

【考纲解读】1. 理解函数的单调性及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．会判断函数的单调性与奇偶性；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用. 4．理解函数的周期性与对称性.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数的单调性与奇偶性是历年来高考必考内容之一,选择填空题、解答题中都可能出现,解答题一般以中、高档题的形式考查,常常与三角函数、不等式等知识相联系，以考查函数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的性质求解,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.增函数和减函数定义：如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数；当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数. 3．判断函数单调性的常用方法：（1）定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.（4）导数法:若当[,]x a b ∈时，'()0f x >，则()f x 在[,]a b 上递增；若当[,]x a b ∈时，'()0f x <，则()f x 在[,]a b 上递减.（5）利用函数图象判断函数单调性.（6）复合函数[()]y f g x =的单调性判断：如果()y f u =和()u g x =单调性相同，那么[()]y f g x =是增函数；如果()y f u =和()u g x =单调性相反，那么[()]y f g x =是减函数.4．熟记以下几个结论: ()f x 与()f x 的单调性相同；（2）()f x -与()f x 的单调性相反；（3）1()f x 与()f x 的单调性相反. 5.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数. 6.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0；如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是非奇非偶函数;如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是f(x)=0.7.奇偶函数的性质:(1)奇偶函数定义域关于原点对称.(2)奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称.(3)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. 8.利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)下结论.9.周期函数的定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有()()f x T f x +=，则称()f x 为周期函数，其中T 称为()f x 的周期.若T 中存在一个最小的正数,则称它为()f x 的最小正周期. 【例题精析】考点一函数的单调性例1. （2012年高考辽宁卷文科8）函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（）（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）1. (2011年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 【答案】1(,)2-+∞【解析】因为210x +>,所以定义域为1(,)2-+∞,由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2-+∞.考点二函数的奇偶性例2. (2012年高考广东卷文科4) 下列函数为偶函数的是( ) A .y=sinx B. y=3x C. y=xe D. y=ln 21x +2. (2012年高考天津卷文科6)下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )A.y=co s2x ，x ∈RB.y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0C.y=2x x e e y --=，x ∈R D.y=3x +1，x ∈R考点三函数的周期性与对称性例 3.（2009年高考山东卷文科第12题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以(25)(25)(1)0f f f -=-=-<,(80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、对称性，利用函数性质比较函数值的大小. 【变式训练】3. 如果函数f(x)=x 2+bx +c 对于任意实数t ，都有f (2－t )=f (2+t )，那么 ( ) A ．f (2)＜f (1)＜f (4) B ．f (1)＜f (2)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1)【易错专区】问题：求单调区间时,忽视定义域例. 函数()ln f x x x =的单调递减区间为 .1.(福建省泉州市2012届高三3月质量检查文科)下列函数中，既是偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是（）A ． 21x y = B ．x y cos = C ． x y ln = D ．xy 2=2．（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A ．1y x=-B ．13log y x =-C ．2xy =D ．3y x x =+【答案】D【解析】由奇函数,排除B 、C,而1y x=-在定义域内不是单调函数,故选D. 3. (山东省实验中学2012年3月高三第四次诊断)已知定义在R 上函数()f x 是奇函数，对x R ∈都有(2)(2)f x f x +=--，则(2012)f =( )A.2B.-2C.4D.04. （2009年高考广东卷A 文科第8题）函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x xxf x x e x ex e'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D.5.(北京市东城区2012年1月高三考试）对于函数()lg 21f x x =-+，有如下三个命题： ①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数；③(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数．其中正确命题的序号是．（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②6．（2009年高考江苏卷第3题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.亦可填写闭区间或半开半闭区间. 【考题回放】1.(2012年高考陕西卷文科2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（） A 1y x =+ B 2y x =- C 1y x=D ||y x x =2．（2010年高考山东卷文科5）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（）（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)33.(2011年高考安徽卷文科11)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = . 【答案】－3【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.4.(2012年高考重庆卷文科12)函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数，则实数a = .5. (2012年高考浙江卷文科16) 设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则3f 2（）=_______________。

高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性及周期性教案(含解析)-人教版高三

第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．(2018·某某模拟)已知函数f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x 2－1x，则f (1)的值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×－12－1－1＝－3，故选A.2．(2018·某某月考)偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＞f (－π)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＞f (－1)＞f (－π)C ．f (－π)＞f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．f (－1)＞f (－π)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析：选A 由题意得，0＜1＜π3＜π＜4⇒f (－1)＝f (1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＞f (π)＝f (－π)，故选A.3．(2018·某某模拟)已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0))＝________________.解析：∵当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3， ∴f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0，f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f (x )为R 上的偶函数， ∴f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0 －11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13. 2．(2018·某某模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g 2x ，x ＜0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2x )＝f (x )，所以g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0 －25考点一函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)．解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．法二：(图象法)作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称．又f (－x )＝4－－x2－x2＝4－x2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ，因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋－x2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，若对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …n 个f (x )]}，则f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：(1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2， ∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1.故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. 答案：(1)C (2)1 010[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a . (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a .(3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)．[即时应用]1．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2xf (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为________．解析：∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1fx ＋2＝f (x )， ∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f 1＝－1，f (4)＝－1f 2＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3＝1 348. 答案：1 3483．(2018·某某模拟)已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝12＋f x －f 2x ，则f (0)＋f (2 017)的最大值为________．解析：因为f (x ＋1)＝12＋fx －f 2x ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤fx ＋1－122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x －122＝14. 令g (x )＝f 2(x )－f (x )，则g (x ＋1)＋g (x )＝－14，g (x ＋2)＋g (x ＋1)＝－14，所以g (x＋2)＝g (x )，所以g (x )是以2为周期的函数，g (2 017)＝g (1)，所以f (2 017)＝f (1)，f (0)＋f (2 017)＝f (0)＋f (1)＝f (0)＋12＋f 0－f 20.令t ＝f 0－f 20≥0，则f (0)＝1±1－4t 22，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，所以f (0)＋f (1)＝1＋t ±121－4t 2，令2t ＝sin θ≥0，则f (0)＋f (1)＝1＋12sin θ±12cos θ＝1＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ±π4≤1＋22.故所求最大值为1＋22. 答案：1＋22考点三函数性质的综合应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2018·某某某某模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x解析：选C x ＞0时，－x ＜0，∵x ＜0时，f (x )＝2x，∴当x ＞0时，f (－x )＝2－x.∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .故选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．(2019·某某质检)已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值X围为( )A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}解析：选A 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.角度三：周期性与奇偶性结合3．(2019·某某月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值X围为( )A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：选D ∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1，∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1)C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0解析：选C 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，即f (1)＜0＜f (3)．故选C.[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．(2018·杭二一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件．对于C ，y ＝1x是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D ，设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x ＞0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数．故选D.2．(2018·某某测试)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[a －1，a ＋1]，关于x 的不等式f (x 2＋a )＞a 2f (x )恒成立，则实数a 的取值X 围是( )A ．(0,2]B ．(0,4]C ．(0，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 当x ≥0时，f (x )＝x 2，∵函数是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，∴f (x )在R 上是单调递增函数，且满足a 2f (x )＝f (ax )，∵不等式f (x 2＋a )＞a 2f (x )＝f (ax )在x ∈[a －1，a ＋1]恒成立，∴x 2＋a ＞ax 在x ∈[a －1，a ＋1]恒成立，令g (x )＝x 2－ax ＋a ，函数的对称轴为x ＝a2，当a2＜a －1，即a ＞2时，不等式恒成立，可得g (a －1)＝(a －1)2－a (a －1)＋a ＝1＞0恒成立；当a －1≤a2≤a ＋1，即－2≤a ≤2时，不等式恒成立，可得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＞0恒成立，解得a ∈(0,2]；当a2＞a ＋1，即a ＜－2时，不等式恒成立，可得g (a ＋1)＝(a ＋1)2－a (a ＋1)＋a ＝2a＋1＞0，无解；综上，a ＞0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·某某名校协作体联考)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x解析：选D 对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，y ＝e x为非奇非偶函数，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，∵f (－x )＝e －x－e x ＝－(e x －e －x)＝－f (x )， ∴y ＝e x－e －x为奇函数，故选D.2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2解析：选B 由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( )A ．－3B ．－1解析：选B 由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.∴f (－a )＝2－f (a )＝－1，故选B.4．(2019·某某六校联考)若函数f (x )＝ln(e x＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e－x＋1)－ax ＝ln(e x＋1)＋ax ，∴2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x＋1e x ＋1＝ln 1ex ＝－x ，∴2a＝－1，解得a ＝－12.法二：(取特殊值)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)，∴ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e＝－1，∴a ＝－12.答案：－125．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·某某名校协作体联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：选B 由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.2．奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2B ．－1解析：选D 由函数f(x＋2)为偶函数可得，f(2＋x)＝f(2－x)．又f(－x)＝－f(x)，故f(2－x)＝－f(x－2)，所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)．所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故该函数是周期为8的周期函数．又函数f(x)为奇函数，故f(0)＝0.所以f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.3．(2018·某某适应性考试)若函数y＝f(x)是R上的偶函数，y＝g(x)是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是( )A．函数y＝g(g(x))是偶函数，函数y＝f(x)＋g(x)是周期函数B．函数y＝g(g(x))是奇函数，函数y＝f(x)g(x)不一定是周期函数C．函数y＝f(g(x))是奇函数，函数y＝f(g(x))是周期函数D．函数y＝f(g(x))是偶函数，函数y＝f(x)g(x)是周期函数解析：选D ∵y＝f(x)是R上的偶函数，y＝g(x)是R上的奇函数，故有f(－x)＝f(x)，且g(－x)＝－g(x)．则g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))；故g(g(x))为奇函数，f(g(x))为偶函数，故排除A、C；∵f(x)和g(x)都是周期函数，设它们的周期的最小公倍数为t，即f(x＋t)＝f(x)，g(x ＋t)＝g(x)，令n(x)＝f(x)g(x)，则n(x＋t)＝f(x＋t)g(x＋t)＝f(x)g(x)＝n(x)，∴n(x)＝f(x)g(x)一定为周期函数，故选D.4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1＜0，则( )x2－x1A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)解析：选A ∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．又∵任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1＜2＜3，∴f (1)＞f (2)＝f (－2)＞f (3)，故选A.5．(2018·某某十校联考)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x ＋sin πx －3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝⎛⎭⎪⎫22 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 018＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0342 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018的值为( )A ．－4 035B ．4 035C ．－8 070D ．8 070解析：选C ∵f (x )＝x ＋sin πx －3， ∴当x ＝1时，f (1)＝1＋sin π－3＝－2，∴根据对称中心的定义，可得当x 1＋x 2＝2时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝－4， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 018＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0342 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018＝2 017×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 018＝2 017×(－4)－2 ＝－8 070.6．(2018·某某适应性考试)已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x.若g (2)＝3，则g (－2)＝________.解析：由题意可得g (2)＝2＋f 2f 2＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.答案：－17．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )＞f (2x －1)，可得f (|x |)＞f (|2x －1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)＞f (|2x －1|)，可得|x |＞|2x －1|，两边平方可得x 2＞(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1.所以x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值X 围是________．解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x1－3x.(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x8.解：(1)因为f (x )是奇函数，所以当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )，－x ＞0，又因为当x ＞0时，f (x )＝x1－3x ，所以当x ＜0时，f (x )＝－f (－x ) ＝－－x 1－3－x ＝x 1－3－x .(2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，即x 1－3x ＜－x8，所以11－3x ＜－18，所以13x－1＞18，所以3x－1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)．当x ＜0时，即x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x ＞－18，所以3－x＞32，所以x ＜－2，所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)某某数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，作出f (x )的图象如图所示，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值X 围是(1,3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2018·某某模拟)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x ＜y ，若f (x )，g (x )均是定义在实数集R上的函数，定义函数h (x )＝max{f (x )，g (x )}，则下列命题正确的是( )A ．若f (x )，g (x )都是单调函数，则h (x )也是单调函数B ．若f (x )，g (x )都是奇函数，则h (x )也是奇函数C ．若f (x )，g (x )都是偶函数，则h (x )也是偶函数D ．若f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则h (x )既不是奇函数，也不是偶函数解析：选C 对于A ，如f (x )＝x ，g (x )＝－2x 都是R 上的单调函数，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，－2x ，x ＜0，不是定义域R 上的单调函数，故A 错误；对于B ，如f (x )＝x ，g (x )＝－2x 都是R 上的奇函数，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－2x ，x ＜0，不是定义域R 上的奇函数，故B 错误；对于C ，当f (x )，g (x )都是定义域R 上的偶函数时，h (x )＝max{f (x )，g (x )}也是定义域R 上的偶函数，故C 正确；对于D ，如f (x )＝sin x 是定义域R 上的奇函数，g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，而h (x )＝g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，故D 错误．2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。

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当时，故，解得.9. （2013全国Ⅰ）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) w.w.w.k.s.5.c.o.m (A) 是偶函数(B) 是奇函数(C) (D) 是奇函数【解析】选D. 与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。

10. （2013全国Ⅱ）函数的图像（）（A）关于原点对称（B）关于主线对称（C）关于轴对称（D）关于直线对称【解析】选A.本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)= =-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

11.（2013陕西高考）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有（）(A) (B)(C) (D)【解析】选C.12.（2013陕西高考）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则（）(A) (B)(C) (D)【解析】选 A. 由等价于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得.13.（2013四川高考）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A. 0B.C. 1D.【解析】选A.若≠0，则有，取，则有：（∵是偶函数，则）由此得。

于是14.（2013江西高考）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．【解析】选C. .答案：C.15.（2013江西高考）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为（）【解析】选.由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的.16、（2013重庆高考）若是奇函数，则．【解析】答案：2012年考题1、（2012山东高考）设函数则的值为（）(A) (B) (C) (D)【解析】选A.本小题主要考查分段函数问题。

正确利用分段函数来进行分段求值。

选A．2、（2012山东高考）函数y＝lncosx(- ＜x＜的图象是（）【解析】选A.本小题主要考查复合函数的图像识别。

是偶函数，可排除B、D，由排除C,选A．3、（2012四川高考）．设定义在上的函数满足，若，则( )（A）（B）（C）（D）【解析】选C.方法1：∵且∴，，，，,…,∴，∴故选C.方法2：由，知，所以，即是周期函数，周期为4．所以．选C.4、（2012重庆高考）已知函数的最大值为,最小值为,则的值为（）(A) (B) (C) (D)【解析】选C.定义域，，当且仅当即时上式取等号，故最大值为，最小值为，5、（2012江西高考）若函数的值域是，则函数的值域是（）(A) (B) (C) (D)【解析】选B.令，则，6、（2012安徽高考）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）(A) (B)(C) (D)【解析】选D.用代换x得：，解得：，，而单调递增且大于等于0，，选D。

7、（2012重庆高考）若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是（）(A) 为奇函数(B) 为偶函数(C) 为奇函数(D) 为偶函数【解析】选C. ，则∴令，则所以，即.8、（2012湖北高考）已知在R上是奇函数，且（）(A) (B) (C) (D)【解析】选A.由题设.9、（2012福建高考）函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为（）(A)3 (B)0 (C)-1 (D)-2【解析】选B. 为奇函数，又故即 .10、（2012上海高考）若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式．【解析】是偶函数，则其图象关于y轴对称,且值域为，答案：11、（2012浙江高考）已知函数.【解析】本小题主要考查知函数解析式，求函数值问题。

代入求解即可.答案：22007年考题1、（2007安徽高考）图中的图象所表示的函数的解析式为（）(A) (0≤x≤2)(B) (0≤x≤2)(C) (0≤x≤2)(D) (0≤x≤2)【解析】选B.图中的图象所表示的函数当0≤x≤1时，它的解析式为，当1<x≤2时，解析式为，∴解析式为(0≤x≤2)。

2、（2007天津高考）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】选A.（排除法）当则得,即在时恒成立,而最大值,是当时出现,故的最大值为0,则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项.3、（2007广东高考）若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是（）A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数C．单凋递增的偶函数D．单涮递增的奇函数【解析】选B.函数单调递减且为奇函数.4、（2007天津高考）在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数【解析】选B.由可知图象关于对称，又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.5、（2007广东高考）客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是（）【解析】选C.依题意的关键字眼“以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选C.2、（2007全国高考）是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【解析】选B. ，是定义在R上的函数，，若“，均为偶函数”，则“为偶函数”，而反之若“为偶函数”，则“，不一定均为偶函数”，所以“，均为偶函数”，是“为偶函数”是充分而不必要的条件。

20、（2007北京高考）对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③【解析】选C.对于函数①，函数不是偶函数，对于函数③，是一个周期函数，周期是2π，不可能在上是减函数，在上是增函数；所以函数①③都不符合条件，只有函数②，能使命题甲、乙均为真，故选C。

21、（2007北京高考）对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③Ｂ．①②Ｃ．③Ｄ．②【解析】选D.函数①，函数= 是偶函数；且在上是减函数，在上是增函数；但对命题丙：= 在x∈(－∞,0)时，为减函数，排除函数①，对于函数③，函数不是偶函数，排除函数③只有函数②符合要求。

24、（2007福建高考）已知f(x)为R上的减函数，则满足f(| |)<f(1)的实数x的取值范围是（）A （－1，1）B（0，1） C （－1，0）（0，1）D（－，－1）（1,＋）【解析】选C.由已知得解得或0<x<1。

25、（2007福建高考）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）A.（-，1）B.（1，+）C.（-，0）（0，1）D.（-，0）（1，+）【解析】选D.由已知得解得或x>1。

26、（辽宁文13）已知函数为奇函数，若，则．【解析】由函数为奇函数得答案：127、(浙江文11)函数的值域是______________．【解析】注意到，故可以先解出，再利用函数的有界性求出函数值域。

答案：由，得，∴，解之得。

28、（2007海南宁夏高考）设函数为奇函数，则．【解析】答案：-129、（2007海南宁夏高考）设函数为偶函数，则．【解析】答案：-130、（2007山东高考）设函数则．【解析】。

答案：31、（2007北京高考）已知函数，分别由下表给出1 2 32 1 11 2 33 2 1则的值为；当时，．【解析】= ；当时，，1．32、（2007北京高考）已知函数，分别由下表给出1 2 31 3 11 2 33 2 1则的值为；满足的的值是．【解析】= ；当x=1时，，不满足条件，当x=2时，，满足条件，当x=3时，，不满足条件，∴只有x=2时，符合条件。