高等数学 第十章复习课

n
x R, R
(其中 cn an bn )
乘法
( an x ) ( bn x ) cn x n .
n n n 0 n 0
n 0



x R, R
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 ) 除法
0, sin mx sin nxdx , 0, cos mx cos nxdx ,



(其中n 1, 2,)
mn mn mn mn
sin mx cos nxdx 0

(其中m, n 1,2,)
(2)
傅里叶级数
a0 定义1 (an cos nx bn sin nx ) 称为三角级数 2 n1 a0 定义2 (an cos nx bn sin nx ) 2 n1
n
Y
un 收 敛 ？ Y
n 1

u 绝对收敛.
n1 n

N
N
N
u
n1

n
Байду номын сангаас发散.
un 收敛?
n1

Y
u 条件收敛.
n1 n

5、函数项级数
(1) 定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义在 I

R 上的函数,
则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
如果 f ( x ) 为奇函数, 傅氏级数 bn sin nx
n 1
称为正弦级数.
当周期为2 的奇函数 f ( x ) 展开成傅里叶 级数时,它的傅里叶系数为 an 0 ( n 0,1, 2,)
(1) 当x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ) ;
f ( x 0) f ( x 0) (2) 当 x 是 f ( x ) 的间断点时, 收敛于 ; 2 f ( 0) f ( 0) (3) 当 x 为端点 x 时,收敛于 .
2
(4)
正弦级数与余弦级数
傅氏级数
函 数
数
数或函数
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un n1 ui i 1
n

级数的部分和 sn u1 u2 un
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在).
n
收敛级数的基本性质 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. 级数收敛的必要条件:
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理 2 如果幂级数
a n x n 的所有系数a n 0 ,
n 0

a n1 设 lim n a n
(或 lim n an )
n
1 (1) 则当 0 时, R ;
(2) 当 0 时,R ;
2、正项级数及其审敛法
定义
un , n1
比较审敛法


un 0
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
(1)
若 un 收敛(发散)且v n un ( un v n ),
则 v n 收敛(发散).
n 1

n 1
(2)

比较审敛法的极限形式

un 设 un 与 v n 都是正项级数,如果lim l, n v n 1 n 1 n
(收敛域内 bn x n 0)
n 0
0 an x n bn x
n 0

n
n
cn x n .
n 0

b.和函数的分析运算性质:
幂级数 an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n0
( R, R )内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数 an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.

(4) 根值审敛法 (柯西判别法)
设
u
n 1

n
是正项级数,
如果lim n un ( 为数或 ) ,
n
则 1 时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
un发散
N
un
un 0
不等式 x x 0 的一切 x 处发散.
推论
如果幂级数
an x n 0

n
不是仅在 x 0 一点收敛,也
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R 时,幂级数绝对收敛;
当 x R 时,幂级数发散;
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
Y
lim n
un 收敛
un1 lim un
un
0 un vn
Y N
1
N
vn收敛 un发散 un收敛 vn发散
1
Y

正项 un 收敛性判定程序
n 1
3、交错级数及其审敛法
定义

正 、负项相间的级数称为交错级数.

( 1) n1un 或 ( 1) n un (其中un 0)
u 收敛 lim u
n 1 n n

n
0.
常数项级数审敛法
一般项级数
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散 ; 3.按基本性质; 4.绝对收敛 4.充要条件 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
5.比较法 6.比值法 7.根值法
第十章 复习课
主要内容
un为常数
un
n 1

un为函数 un ( x )
常数项级数 一 般 项 级 数
在收敛 条件下
取 x x0
函数项级数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
级数与数 相互转化
收 敛 半 径 R
幂级数
泰勒展开式
Rn ( x ) 0
三角级数 傅氏展开式
满足狄 氏条件
泰勒级数
f ( n ) ( x0 ) ; 步骤: (1) 求a n n! ( 2) 讨论 lim Rn 0 或 f ( n ) ( x ) M ,
n
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
n1
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
如果 x 0 I ,数项级数

un ( x0 ) 收敛, n 1

则称 x0 为级数

否则称为发散点. u ( x ) 的收敛点,
n1 n
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n1
所有发散点的全体称为发散域.
n0
( R, R )内可积,且对x ( R, R ) 可逐项积分.
幂级数 an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n0
( R, R )内可导, 并可逐项求导任意次.
7、幂级数展开式
(1) 定义

如果 f ( x ) 在点x0 处任意阶可导,则幂级数


f
(n)
定理 若
u
n 1

n
收敛,则
u
n 1

n
收敛.
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1 n 0


若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1



常数项级数 un收敛性判定程序
n 1

lim un 0 ?
其中
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 1 bn f ( x ) sin nxdx, ( n 1,2,)

称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x ) 的傅里叶级 数收敛,并且
n 1 n 1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: ( ⅰ ) un un 1 ( n 1,2,3,) ;( ⅱ ) lim un 0, 则
n
级 数 收 敛 , 且 其 和 s u1 , 其 余 项 rn 的 绝 对 值
rn un1 .
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
n 0
( x0 ) ( x x0 ) n 称为 f ( x ) 在点x0 的泰勒级数. n!
n 0
f ( n ) ( 0) n x 称为 f ( x ) 在点x 0 的麦克劳林级数. n!
(2) 充要条件
定理 f ( x ) 在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) 在U ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) 0 .