23、2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习讲义：专题六 第3讲 复 数 Word版含答案
2020江苏高考数学(文理通用)二轮培优新方案课件：理科附加题+第3讲 计数原理与二项式定理
最大值
二项式 系数的和
当n为偶数时，中间的一项Cn2n取得最大值 当n为奇数时，中间的两项Cn－2 1n和Cn＋2 1n取 得最大值
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n
[经典考题再回首] (2019·江苏高考)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， n≥4，n∈N *.已知a23＝2a2a4. (1)求n的值； (2)设(1＋ 3 )n＝a＋b 3 ，其中a，b∈N *，求a2－3b2的 值．
②当p∈{2n－2,2n－1,2n}时，
T＝C3p≥C32n－2， 同上可得T＞2C3n.
③当3≤p≤2n－3时，
T＝C3p＋C32n－p.
设f(p)＝C3p＋C32n－p，3≤p≤2n－3，
当3≤p≤2n－4时，f(p＋1)－f(p)＝C
3 p＋1
＋C
3 2n－p－1
－C
3 p
－
C32n－p＝C2p－C22n－p－1，
[解题方略] 涉及计数原理问题的解题策略
(1)深化对两个计数原理的认识，培养“全局分类”和 “局部分步”的意识，并在操作中确保：①分类不重不漏；② 分步要使各步具有连续性和独立性．
(2)解决计数应用题的基本思想是“化归”，即由实际问 题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实 际问题．
以利用求函数值的思想进行赋值求解．
[针对训练] 已知函数f(x)＝(x＋ 5)2n＋1(n∈N *，x∈R )． (1)当n＝2时，若f(2)＋f(－2)＝ 5A，求实数A的值； (2)若f(2)＝m＋a(m∈N *,0＜a＜1)，求证：a(m＋a)＝1.
解：(1)当n＝2时， f(x)＝(x＋ 5)5＝C05x5＋C15x4 5＋C25x3( 5)2＋C35x2·( 5)3＋ C45x( 5)4＋C55( 5)5， 所以f(2)＋f(－2)＝(2＋ 5)5＋(－2＋ 5)5 ＝2[C15( 5)124＋C35( 5)322＋C55( 5)520] ＝2×(5×16 5＋10×4×5 5＋25 5)＝610 5. 所以A＝610.
高考数学二轮复习7大专题汇总
高考数学二轮复习7 大专题汇总专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：侧重掌握函数的单一性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质往常会综合起来一同观察，而且有时会观察详细函数的这些性质，有时会观察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯串中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了认识，高中阶段更多的是将它与导数进行连接，依据抛物线的张口方向，与x 轴的交点地点，进而议论与定义域在x 轴上的摆放次序，这样能够判断导数的正负，最后达到求出单一区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题经常出此刻恒成立，或存在性问题中，其本质是求函数的最值。
自然对于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的联合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是特别必需的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，观察等差等比数列的通项公式，乞降公式，通项公式和乞降公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前 n 项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有波及，有时观察三角函数的公式之间的相互转变，从而求单一区间或值域 ; 有时观察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，自然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量能够很好得实现数与形的转变，是一个很重要的知识连接点，它还能够和数学的一大难点分析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出此刻选择，填空题中。
大题中的立体几何主要观察成立空间直角坐标系，经过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
此外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，侧重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应当掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的地点关系应以证明垂直为要点，自然常观察的方法为间接证明。
专题五：分析几何。
2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习 集合与常用逻辑用语 专题强化 精练提能(5页)
1．(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－3x －4≥0}，则A ∩(∁R B )＝______．[解析] 由B ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，得∁R B ＝{x |－1<x <4}，又A ＝{－2，2}，所以A ∩(∁R B )＝{2}．[答案] {2}2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________． [答案] 任意一个无理数，它的平方不是有理数3．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________．[解析] 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．[答案] 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<34．(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________． ①∃x ∈R ，x ＋1x ＝2； ②∃x ∈R ，sin x ＝－1； ③∀x ∈R ，x 2>0； ④∀x ∈R ，2x >0．[解析] 对于①x ＝1成立，对于②x ＝3π2成立，对于③x ＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．[答案] ①②④5．已知U ＝R ，A ＝{1，a }，B ＝{a 2－2a ＋2}，a ∈R ，若(∁U A )∩B ＝∅，则a ＝______．[解析] 由题意知B ⊆A ，所以a 2－2a ＋2＝1或a 2－2a ＋2＝a ．当a 2－2a ＋2＝1时，解得a ＝1；当a 2－2a ＋2＝a 时，解得a ＝1或a ＝2．当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a ＝2时，满足题意．所以a ＝2．[答案] 26．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a <0； 所以－3≤a ≤0． [答案] －3≤a ≤07．(2019·南京调研)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．[解析] 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}＝(－1，1)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]． [答案] (0，1)∪(－∞，－1]8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P ＝{x |x ≤a }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，若P ∩Q ＝Q ，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，得Q ＝{1，2}，又P ∩Q ＝Q ，所以a ≥2，即实数a 的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)9．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．[解析] 由题意得sin θ－1≥0．又－1≤sin θ≤1， 所以sin θ＝1．所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12．[答案] 1210．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知x ≠0，x ∈R ，则“2x <1”是“3x >9”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] 由2x <1得x >2或x <0．由3x >9得x >2，所以由“3x >9”可以得“2x <1”，反之却无法得到，所以“2x <1”是“3x >9”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分 11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)[解析] 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ．故填②． [答案] ②12．(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________．①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”．[解析] 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确．由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，所以④不正确．[答案] ③13．若命题“∀x ∈[－1，1]，1＋2x ＋a ·4x <0”是假命题，则实数a 的最小值为 __________．[解析] 变形得a <－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋14x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋14，令t ＝12x ，则a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，所以[f (t )]min ＝f (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋14＝－6，又因为该命题为假命题， 所以a ≥－6，故实数a 的最小值为－6． [答案] －614．(2019·江苏四星级学校高三联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．[解析] 法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2．故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1．z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，显然该集合中共有3个元素．[答案] 3。
高考数学二轮复习专题六函数与导数第3讲导数的简单应用学案理新人教A版2
第3讲 导数的简单应用[做真题]题型一 导数的几何意义1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D ．法一：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D ．法二：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D ．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1解析：选D ．因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝2ln(x ＋1)，所以y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，所以曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .答案：y ＝2x4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1x1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2题型二 导数与函数的单调性、极值与最值1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A ．因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A ．2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：法一：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，即2k π＋π≥x ≥2k π＋π3或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332. 法二：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )＝4sin x 2cos x2·2cos 2x2＝8sin x 2cos 3 x 2＝833sin 2x2cos 6x2，所以[f (x )]2＝643×3sin 2x 2cos 6 x 2≤643· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3sin 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 244＝274， 当且仅当3sin 2x 2＝cos 2x 2，即sin 2x 2＝14时取等号， 所以0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.答案：－332[明考情]1．此部分内容是高考命题的热点内容，在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般．导数的几何意义 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0(2)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为________． (3)(2019·广州市调研测试)若过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝x e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′|x ＝π＝(2cos x －sin x )|x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C ．(2)f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1，3)或(－1，3)．(3)设切点坐标为(x 0，x 0e x 0)，y ′＝(x ＋1)e x，y ′|x ＝x 0＝(x 0＋1)e x 0，所以切线方程为y －x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(x －x 0)，将点A (a ，0)代入可得－x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(a －x 0)，化简，得x 20－ax 0－a ＝0，过点A (a ，0)作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程x 20－ax 0－a ＝0有两个解，则有Δ＝a 2＋4a >0，解得a >0或a <－4，故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【答案】 (1)C (2)(1，3)或(－1，3) (3)(－∞，－4)∪(0，＋∞)(1)求曲线y ＝f (x )的切线方程的3种类型及方法1．(2019·武汉调研)设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12，所以切线l 的方程为12x ＋y －8＝0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，消去y ，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，所以(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1，所以切线l 与曲线C 有3个公共点．故选C ．2．(2019·成都第二次诊断性检测)已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( )A ．2B ．1C ．e 2D ．－e 2解析：选B ．设直线l 与曲线C 1：y ＝e x的切点为A (x 1，e x 1)，与曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14e 2x 22.由y ＝e x ，得y ′＝e x，所以曲线C 1在点A 处的切线方程为y －e x 1＝e x 1(x －x 1)，即y ＝e x 1x －e x 1(x 1－1) ①.由y ＝14e 2x 2，得y ′＝12e 2x ，所以曲线C 2在点B 处的切线方程为y －14e 2x 22＝12e 2x 2(x －x 2)，即y ＝12e 2x 2x －14e 2x 22 ②.因为①②表示的切线为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝12e 2x 2，e x 1(x 1－1)＝14e 2x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝2，所以直线l 的方程为y ＝e 2x －e 2，令y ＝0，可得直线l 在x 上的截距为1，故选B ．3．(2019·广州市综合检测(一))若函数f (x )＝ax －3x的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．解析：f ′(x )＝a ＋3x2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y －(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2.答案：2利用导数研究函数的单调性[典型例题]命题角度一 求函数的单调区间或判断函数的单调性已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．【解】 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1. ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增． 当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．利用导数求函数的单调区间的三种方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导数并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．命题角度二 已知函数的单调性求参数 已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1(负值舍去)．当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)法一：f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－(2ax ＋1)(ax －1)x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，所以f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意；②当a >0时，由f ′(x )<0，得x >1a.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，a >0，解得a ≥1；③当a <0时，由f ′(x )<0，得x >－12a.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1，a <0，解得a ≤－12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．法二：f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.由f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，可得g (x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1≤0在区间(1，＋∞)上恒成立．①当a ＝0时，1≤0不合题意；②当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧14a <1，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >14或a <0，－2a 2＋a ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >14或a <0，a ≥1或a ≤－12，所以a ≥1或a ≤－12.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解．[对点训练]1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x在区间(0，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝e x (x ＋a ＋1)，由题意，知方程e x(x ＋a ＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x ＝－a －1>0，解得a <－1.答案：(－∞，－1)2．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x－a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0， 得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0； 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．利用导数研究函数的极值(最值)问题[典型例题]命题角度一 求已知函数的极值(最值) 已知函数f (x )＝ln x x－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．【解】 (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x2， 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >0得0<x <e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >0，得x >e.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0，即0<m ≤e2时，(m ，2m )⊆(0，e)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m－1；②当m <e<2m ，即e2<m <e 时，(m ，e)⊆(0，e)，(e ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e ，2m )上单调递减， 所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1；③当m ≥e 时，(m ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递减，所以f (x )max＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0<m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时，f (x )max ＝1e－1；当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在求得极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．命题角度二 已知函数的极值或最值求参数 (2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解】 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．(i)当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.(ii)当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.(iii)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0<a <3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.已知函数极值点或极值求参数的方法(2019·长春质量检测(一))已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x (其中常数a ≠0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，x >0， f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2－3x ＋1x，令f ′(x )＝0，解得x 1＝12，x 2＝1，当0<x <12时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增； 当12<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x，令f ′(x )＝0，得x ′1＝1，x ′2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ′2＝12a ≠x ′1＝1，当12a<0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2.当0<12a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，所以最大值1可能在x ＝12a或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)×12a ＝ln 12a －14a －1<0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 当1<12a <e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1<12a <e 矛盾．当12a≥e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以最大值1在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，不符合题意． 综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.一、选择题1．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A ．12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B ．由题意知y ′＝a e x＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( ) A ．(－3，3) B ．(－11，4)C ．(4，－11)D ．(－3，3)或(4，－11)解析：选C ．f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C ．3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x －f ′(1)x ·(e x －e －x )，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝( )A ．4e 2＋4e －2B ．4e 2－4e －2C ．0D ．4e 2解析：选C ．由题意，得f ′(x )＝e x－e －x－f ′(1) [e x－e －x＋x (e x ＋e －x)]，所以f ′(0)＝e 0－e 0－f ′(1)[e 0－e 0＋0·(e 0＋e 0)]＝0，f ′(2)＋f ′(－2)＝0，所以f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝0，故选C ．4．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C ．由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g (1)≥0⇔－26≤a ≤26或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，a ≥－5⇔a ≥－26，故选C ． 5．函数f (x )(x >0)的导函数为f ′(x )，若xf ′(x )＋f (x )＝e x，且f (1)＝e ，则( ) A ．f (x )的最小值为e B ．f (x )的最大值为e C ．f (x )的最小值为1eD ．f (x )的最大值为1e解析：选A ．设g (x )＝xf (x )－e x， 所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－e x ＝0， 所以g (x )＝xf (x )－e x为常数函数． 因为g (1)＝1×f (1)－e ＝0， 所以g (x )＝xf (x )－e x ＝g (1)＝0， 所以f (x )＝e xx ，f ′(x )＝e x(x －1)x2， 当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (x )≥f (1)＝e.6．若函数f (x )＝e x－(m ＋1)ln x ＋2(m ＋1)x －1恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－e 2，－e) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 D ．(－∞，－e －1)解析：选D ．由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝e x－(m ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x－2＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，所以m ＋1＝x e x1－2x在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，令g (x )＝x e x1－2x ，则g ′(x )＝－e x(x －1)(2x ＋1)(1－2x )2，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其图象如图所示，要使m ＋1＝x e x1－2x 在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则m ＋1<g (1)，即m ＋1<－e ，m <－e －1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－e －1)．故选D ．二、填空题7．(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0，0)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝3(2x ＋1)e x＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .答案：y ＝3x8．函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为________．解析：因为f (x )＝x 2－ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －1x ，令2x －1x ＝0得x ＝22，令f ′(x )>0，则x >22；令f ′(x )<0，则0<x <22.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以f (x )的极小值(也是最小值)为⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＝1＋ln 22.答案：1＋ ln 229．若函数f (x )＝x 2－4e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为________． 解析：因为f (x )＝x 2－4e x －ax ，所以f ′(x )＝2x －4e x －a .由题意，f ′(x )＝2x －4e x－a >0，即a <2x －4e x 有解，即a <(2x －4e x )max 即可．令g (x )＝2x －4e x ，则g ′(x )＝2－4e x.令g ′(x )＝0，解得x ＝－ln 2.当x ∈(－∞，－ln 2)时，函数g (x )＝2x －4e x单调递增；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，函数g (x )＝2x －4e x 单调递减．所以当x ＝－ln 2时，g (x )＝2x －4e x取得最大值－2－2ln 2，所以a <－2－2ln 2.答案：(－∞，－2－2ln 2) 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x, f (e)＝e ＋1，f ′(x )＝1x ＋1，f ′(e)＝1＋1e，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －(e ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e (x －e)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1x .(2)f ′(x )＝1x －2ax ＋1＝－2ax 2＋x ＋1x，x >0，①当a ≤0时，显然f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x＝0，则－2ax 2＋x ＋1＝0，易知其判别式为正，设方程的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)， 则x 1x 2＝－12a<0，所以x 1<0<x 2，所以f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x ＝－2a (x －x 1)(x －x 2)x，x >0.令f ′(x )>0，得x ∈(0，x 2)，令f ′(x )<0得x ∈(x 2，＋∞)，其中x 2＝1＋8a ＋14a.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋8a ＋14a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1＋8a ＋14a ，＋∞上单调递减． 11．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2xx.当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x.所以当0<x <2时，f ′(x )<0， 即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx， 所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增；由f ′(x )<0得，x <－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减．所以当a <0时，f (x )的最小值为极小值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a .根据题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a ≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0.因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2， 综上实数a 的取值范围是[－2，0)．12．(2019·广州市调研测试)已知函数f (x )＝x e x＋a (ln x ＋x )．(1)若a ＝－e ，求f (x )的单调区间；(2)当a <0时，记f (x )的最小值为m ，求证：m ≤1.解：(1)当a ＝－e 时，f (x )＝x e x－e(ln x ＋x )，f (x )的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝(x ＋1)e x －e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝x ＋1x (x e x －e)．当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时．f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)证明：f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )， 令g (x )＝x e x＋a ，则g ′(x )＝(x ＋1)e x>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增． 因为a <0，所以g (0)＝a <0，g (－a )＝－a e －a＋a >－a ＋a ＝0， 故存在x 0∈(0，－a )，使得g (x 0)＝x 0e x 0＋a ＝0. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )>0，f (x )单调递增． 故x ＝x 0时，f (x )取得最小值，即m ＝f (x 0)＝x 0e x 0＋a (ln x 0＋x 0)． 由x 0e x 0＋a ＝0得m ＝x 0e x 0＋a ln(x 0e x 0)＝－a ＋a ln(－a )，令x ＝－a >0，h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝1－(1＋ln x )＝－ln x ， 当x ∈(0，1)时，h ′(x )＝－ln x >0，h (x )＝x －x ln x 单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＝－ln x <0，h (x )＝x －x ln x 单调递减， 故x ＝1，即a ＝－1时，h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，故m ≤1.。
2020届江苏高考数学(文)总复习讲义：复数
第二节 • 必过数材美1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a + bi(a , b € R )的数叫复数，其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若 b = 0,贝U a +bi 为实数；若 b z 0,则a + bi 为虚数；若 a = 0且0，则a + bi 为纯虚数.(2) 复数相等：a + bi = c + di ? a = c 且 b = d(a , b , c , d € R ). (3) 共轭复数：a + bi 与 c + di 共轭? a = c , b =- d(a , b , c , d € R ). (4) 复数的模：向量OZ>的模r 叫做复数 z = a + bi(a , b € R )的模，记作|z|或|a + bi|，即|z|= |a +圳= a 2+ b 2.2. 复数的几何意义——对应(1) 复数 z = a + bi F复平面内的点 Z(a , b)(a , b € R ). ——「匸 —> (2) 复数 z = a + bi(a , b € R ) * -平面向量 ~OZ .3. 复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 Z 1 = a + bi , z 2= c + di(a , b , c , d € R ),则①加法： z 1— z 2= (a — bi) + (c — di) = (a — c)— (b — d)i ; ②减法： z 1 — z 2= (a — bi) — (c — di) = (a — c)— (b — d)i ; ③乘法：Z 1 z 2= (a — bi) (c — di) = (ac — bd) — (ad — bc)i ;Z 1a + bi a + bi c — di ac + bd 电氏 2 2 —LZ 2 c — di c — di c — di c +d(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 Z 1 , Z 2,爲€ C,有Z 1— Z 2= Z 2+ Z 1, (Z 1—Z 2)+ Z 3= Z 1 土色土Z3L［小题体验］1. (2019徐州调研)若复数z 满足i z = 1— 2i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为 _________________复__数④除法: bc — adc 2—d 2i(c — di z 0).解析：由iz= 1+ 2i,得z= 1 + 2i= 1+2i.2—i = 2—i,i —i••• |z|= 5.答案：52- i2 .若复数z=下厂卩是虚数单位)，则z的共轭复数为 ________________ .解析：因为z= 27T-i= 23-^i = 1 + 2i,所以z = 1 —2i.i i只i答案：1 —2i3.四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A, B, C三点对应的复数分别是 1 + 3i, —i,2 + i,则点D对应的复数为_____________ .答案：3+ 5i■•卜必过易措关1•判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3•注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来•例如，若z2€ C, £+ z2=0,就不能推出可=Z2=0；z2v 0在复数范围内有可能成立.［小题纠偏］1 .设复数z1= 2—i, z2= a + 2i(i 是虚数单位，a€R),若z1 z2^ R,贝V a = _______ .解析：依题意，复数z1z2= (2 —i)(a + 2i)= (2a + 2) + (4 —a)i 是实数，因此4 —a= 0, a = 4.答案：42 •设i是虚数单位，若复数(2 + ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________________ .解析：因为(2 + ai)i = —a+ 2i,又其实部与虚部互为相反数，所以一a+ 2 = 0，即a = 2.答案：2考点一复数的有关概念基础送分型考点一一自主练透［题组练透］2—i1. (2018扬州期末)已知i是虚数单位，则复数z= 1+^的共轭复数是_________________解析：2—i (2—i (1 —i\ 1 3—1+ i_ (1 + i[1 —i)—2• • z==2 +2i.答案：2+3ia + i2. (2019盐城模拟)设复数z =帀j(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值为则a ++1 = 0,号工0,故 a =— 1. a + i法二：设 a = bi , b € R,0,贝U a + i = bi(1 + i) = — b + bi ,1 + iab ,故。
专题六 立体几何 第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系——2024届高考数学二轮复习
的值为( )
A. 11
6
√B. 11 6
C. 1
2
D. 1
3
设 D(x, y, z) ,则 AD (x 1, y 1, z 2), AB (2, 1, 3), DB (1 x, y, 1 z) . AD 2DB ,
x 1 2(1 x),
x
1 3
,
y
z
1 2
2 y, 2
2z.
y
z
1, 3 0,
D
1 3
,
1 3
,0
, CD
1 3
,
,
1
.
CD
AB,CD
AB
2
1 3
3(1
)
0,
11 6
.故选
B.
（二）核心知识整合
考点 2：向量法求线线角、线面角、面面角 1.向量法求空间角 （1）异面直线所成的角：设 a，b 分别为异面直线 a，b 的方向向量，
则两异面直线所成的角满足 cos ＝ | a b | ．
则 B(0,0,0) ， A(1,0,1) ，C(0,1,1) ，N(1,1,0) ，因此 BA (1, 0,1) ，BC (0,1,1) ，BN (1,1,0) .设平面 ABC
的一个法向量为
n
(
x,
y,
z)
，则
n
BA
x
z
0,
令
x
1，得
n
(1,1,
1)
.易知三棱锥
S
ABC
的外
n BC y z 0
√A.-1
B.1
C.2
D.3
a c ，a c 2x 4 2 0 ，解得 x 1，又 b//c ， 1 y 1 ，
(江苏专用)高考数学二轮总复习 常考问题 算法与复数课件 文
6．算法的基本语句
(1)赋值语句在程序运行时给变量赋值；“＝”的右侧必须 是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋 值；有计算功能；将一个变量的值赋给另一个变量时，前 一个变量的值保持不变；可先后给一个变量赋多个不同的 值，但变量的取值只与最后一次赋值有关． (2)条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，
3．复数的乘法的运算按“多项式乘法”来记忆，除法的运算按 “分母实数化进行记忆”．
4 ．注意实数集内的乘法、乘方的一些结论和一些运算法则
在复数集中不一定成立，要注意区分． 5 ．算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和 循环结构．其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的 结构，循环结构必然包含条件结构，无论怎样复杂的逻辑 结构，都可以通过这三种结构来表达．
【训练 2】 设 i 为虚数单位，复数 z1＝1＋i，z2＝2i－1，则复 数 z1 · z2 在复平面上对应的点在________． 解析 z1 · z2＝(1－i)(－1＋2i)＝1＋3i，所以复数 z1 · z2 在复平
面上对应的点在第一象限．
答案 第一象限
热点三 算 法 【例 3】 执行下边的流程图，得到的结果是________．
求分段函数的函数值往往用条件语句编写程序．
热点与突破
热点一 复数的概念与运算 【例 1】 若 z(1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)， 则 z 的共轭复数 z ＝ ________.
解析 设 z＝a＋bi，(a，b∈R)． 则∵(a＋bi)(1＋i)＝1－i，即 a－b＋(a＋b)i＝1－i. 所以 a－b＝1，a＋b＝－1，解得 a＝0，b＝－1，所以 z＝－i， z ＝i.
解析
第 1 次循环，s＝－1，k＝1，
最新高考数学二轮复习-专题六-第1讲-直线与圆-学案讲义
第1讲直线与圆[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1(1)(多选)已知直线l 的倾斜角等于30°，且l 经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A ．直线l 的方程为y ＝33x ＋1B ．l 的一个方向向量为n 33，1C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0平行D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0垂直答案ACD解析由题意知直线l 的斜率为tan 30°＝33，且过点(0,1)，所以直线l 的方程为y ＝33x ＋1，方向向量为n ＝(1，k )1，33，A 正确，B 错误；直线3x －3y ＋2＝0的斜率为33，且不过点(0,1)，故两直线平行，C 正确；直线3x ＋y ＋2＝0的斜率为－3，则两直线斜率之积为－1，故两直线垂直，D正确．(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于() A．2 B.47C．－2D．－4答案C解析将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，＝－1，＝－2，所以直线恒过定点N(－1，－2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时4m－1m－1×－3－(－2)2－(－1)＝－1，解得m＝－2.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)答案AC解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，即k＝32，此时直线方程为y＝32x，也满足题意，所以A错误；对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程x＋y－5＝0，x－3y＋7＝0，解得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；对于C中，当倾斜角θ＝π2时，此时直线的斜率不存在，tanθ无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确．(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是25，则m＋n ＝________.答案3解析因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以21＝n－2≠－6m，解得n＝－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，因为两平行线间的距离为25，所以|2m－(－6)|22＋(－4)2＝25，得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0－D2，－为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为()A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B．(x－4)2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝4答案A解析由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，(－2)＝－1，×a 2＋b2＋5＝0，＝－4，＝－2，所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于()A．2B．4C．8D．16答案B解析圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，即＋(y－1)2＝1＋m 24，圆心为－m2，直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，－y＝0，－1＝0，＝1，＝1，即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以－m2＝1，解得m＝－2，所以圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，半径r＝2，显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，所以∠AOB＝90°，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2＝(22)2＝8≥2|OA |·|OB |，即|OA |·|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，所以(|OA |＋|OB |)2＝|OA |2＋|OB |2＋2|OA |·|OB |＝8＋2|OA |·|OB |≤16，即|OA |＋|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，即|OA |＋|OB |的最大值等于4.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x 2＋y 2＝1外切，并与直线y ＝33x 及y 轴都相切的圆的方程____________．答案(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1或(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为与圆x 2＋y 2＝1外切，所以a 2＋b 2＝1＋r ，又因为与直线y ＝33x 及y 轴都相切，所以r ＝|a |＝|3a －3b |(3)2＋(－3)2＝|a －3b |2，所以2|a |＝|a －3b |，即|2a |＝|a －3b |，所以2a ＝3b －a 或2a ＝a －3b ，所以b ＝3a 或a ＝－3b ，当b ＝3a 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得3a 2＝2|a |＋1，＝1，＝3或＝－1，＝－3，r ＝1，所以求得圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1，当a ＝－3b 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得13a 2＝2|a |＋1，＝3＋23，＝－3－2＝－3－23，＝3＋2，r ＝3＋23，所以求得圆的方程为(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123.(写出其中一个即可)(2)(2023·福州模拟)已知⊙O 1：(x －2)2＋(y －3)2＝4，⊙O 1关于直线ax ＋2y ＋1＝0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a 等于()A ．－32或56B ．－56或32C ．－32或－56 D.56或32答案D解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF 所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E ，F 又接近于对称轴时，EF 长度最小，此时圆心O 1到对称轴的距离为4，所以|2a ＋6＋1|a 2＋4＝4，即(2a ＋7)2＝16(a 2＋4)，解得a ＝32或a ＝56.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，联立方程＋By ＋C ＝0，－a )2＋(y －b )2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0.则下列说法正确的是()A ．直线l 过定点(－2,2)B ．直线l 与圆C 相离C ．圆心C 到直线l 距离的最大值是22D ．直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为4答案AD解析对于A ，因为l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )，即y ＝k (x ＋2)＋2，令x ＋2＝0，即x ＝－2，得y ＝2，所以直线l 过定点(－2,2)，故A 正确；对于B ，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定点(－2,2)在圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0的内部，所以直线l 与圆C 相交，故B 错误；对于C ，如图，因为圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0，可化为x 2＋(y －1)2＝9，圆心C (0,1)，当圆心C 与定点(－2,2)的连线垂直于直线l 时，圆心C 到直线l 的距离取得最大值，此时其值为(－2)2＋(2－1)2＝5，故C 错误；对于D ，由弦长公式|AB |＝2r 2－d 2可知，当圆心C 到直线l 的距离最大时，弦长取得最小值，所以直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为2×9－5＝4，故D 正确．(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值为________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设直线x －my ＋1＝0为直线l ，点C 到直线l 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，又d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±12或m ＝±2.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2023·淄博模拟)“a ≥22”是“圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：(x －a )2＋(y ＋a )2＝1有公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1－r2|，即a2＋(－a)2≥1，解得a≤－22或a≥22，所以“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件．(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)B．若r＝2，两圆的相交弦长为3C．若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3D．当r>3时，两圆的位置关系为内含答案AD解析当r＝2时，如图，两圆的一条公切线分别与⊙O，⊙O1切于点A，B，交x轴于点Q，|OQ| |O1Q|＝|OA||O1B|＝12⇒|OQ|＝2，故Q(－2,0)，故A正确；当r＝2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x＝14，相交弦长为＝152，故B错误；若MO⊥MO1，则|MO|2＋|MO1|2＝|OO1|2，即12＋r2＝4，则r＝3，故C错误；当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确．规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l ：x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0交于A ，B 两点，若M 是圆上的一动点，则△MAB 面积的最大值是____________．答案22＋3解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，则圆C 的圆心为C (1,2)，半径r ＝3，圆心C 到直线l (弦AB )的距离d ＝|1－2＋5|2＝22，则|AB |＝2r 2－d 2＝29－8＝2，则M 到弦AB 的距离的最大值为d ＋r ＝22＋3，则△MAB 面积的最大值是12×|AB |×(22＋3)＝22＋3.(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5,5)作圆E 的切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中真命题是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与⊙E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与⊙E 交于G ，H 两点，则当△EHG 面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5,5)，所以|PE |＝(5－2)2＋(5－1)2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以点P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F 的方程为＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；如图，设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S △EHG ＝12|EH |·|EG |sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取得最大值，最大值为2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．专题强化练一、单项选择题1．(2023·丹东模拟)若直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．1C ．－2或1D ．－1或2答案A解析由题意知，直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，∴1×2＝a (a ＋1)，解得a ＝－2或a ＝1.当a ＝－2时，l 1：x －2y －3＝0，l 2：－x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2.当a ＝1时，l 1：x ＋y －3＝0，l 2：x ＋y －3＝0，l 1与l 2重合．综上所述，a ＝－2.2．(2023·蚌埠质检)直线l ：x ＋my ＋1－m ＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定答案A解析已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．3．(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于()A.455B.655C.855D．25答案B解析依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，＋D＋F＝0，＋2D＋E＋F＝0，＋2D－3E＋F＝0，＝－6，＝2，＝5，则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝5，其圆心为(3，－1)，半径r＝5，点(3，－1)到直线x－2y－1＝0的距离d＝|3－2×(－1)－1|12＋(－2)2＝45所以|MN|＝2r2－d2＝＝655.4．(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为()A.14B.12C．1D．2答案B解析由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，故圆心到直线l的距离d＝1m2＋n2＝1，即m2＋n2＝1，故mn≤m2＋n22＝12，当且仅当m＝n＝22时取等号．5．(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为()A ．5B ．3C ．2D ．1答案B 解析由圆C 1：(x －4)2＋(y －1)2＝1，可得圆心C 1(4,1)，半径r 1＝1，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1，可得圆心C 2(0,4)，半径r 2＝1，可得圆心距|C 1C 2|＝(4－0)2＋(1－4)2＝5，如图，|PM |≥|PC 1|－r 1，|PN |≥|PC 2|－r 2，所以|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－r 1－r 2＝|PC 1|＋|PC 2|－2≥|C 1C 2|－2＝3，当点M ，N ，C 1，C 2，P 共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，故|PM |＋|PN |的最小值为3.6．(2023·信阳模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0与过原点O 的直线l ：y ＝kx (k ≠0)相交于A ，B 两点，点P (m ，0)为x 轴上一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0，则实数m 的值为()A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案D 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的方程为y ＝kx ，代入圆C 的方程，得(k 2＋1)x 2＋2x －3＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋1，x 1x 2＝－3k 2＋1.所以k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝kx 1x 1－m ＋kx 2x 2－m ＝2kx 1x 2－km (x 1＋x 2)(x 1－m )(x 2－m )＝(2m －6)k (x 1－m )(x 2－m )(k 2＋1)＝0.因为k ≠0，所以2m －6＝0，解得m ＝3.7．(2023·全国乙卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C 解析方法一令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.方法二由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故x －y 的最大值为32＋1.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x －y －22＝0上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当∠APB 最大时，记劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ，则()A ．2<S <3B ．1<S ≤2C ．1<S ≤3D ．0<S <1答案D 解析如图所示，圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为在Rt △OBP 中，sin ∠OPB ＝r |OP |＝1|OP |，且y ＝sin x 所以当|OP |最小时，∠OPB 最大，即∠APB 最大，此时OP 垂直于直线l ，且|OP |＝2212＋(－1)2＝2，|PA |＝|PB |＝3，从而四边形OAPB 的面积为S 四边形OAPB ＝2×12×3×1＝3，设∠AOP ＝θ，则∠AOB ＝2θ，S 扇形OAB ＝12×12×2θ＝θ，从而劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ＝3－θ，又因为sin θ＝32，θθ＝π3，从而0<S ＝3－θ＝3－π3<1.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A ．直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)B ．直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为1C ．直线3x ＋3y ＋5＝0的倾斜角为120°D ．过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0答案AD 解析对于A 选项，直线方程可化为y ＝a (x －2)＋4，－2＝0，＝4，＝2，＝4，所以直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)，A 正确；对于B 选项，直线方程可化为y ＝3x －1，故直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为－1，B 错误；对于C 选项，直线3x ＋3y ＋5＝0的斜率为－33，该直线的倾斜角为150°，C 错误；对于D 选项，过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程可设为2x ＋y ＋c ＝0，则2×(－2)＋3＋c ＝0，可得c ＝1，所以过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0，D 正确．10．(2023·湖南联考)已知直线l 1：y ＝kx ＋1，l 2：y ＝mx ＋2，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝6，下列说法正确的是()A ．若l 1经过圆心C ，则k ＝1B ．直线l 2与圆C 相离C ．若l 1∥l 2，且它们之间的距离为55，则k ＝±2D ．若k ＝－1，l 1与圆C 相交于M ，N ，则|MN |＝2答案AC 解析对于A ，因为圆心C (1,2)在直线y ＝kx ＋1上，所以2＝k ＋1，解得k ＝1，A 正确；对于B ，因为直线l 2：y ＝mx ＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即点(0,2)在圆C 内，所以l 2与圆C 相交，B 错误；对于C ，因为l 1∥l 2，则m ＝k ，故kx －y ＋1＝0与kx －y ＋2＝0之间的距离d ＝1k 2＋1＝55，所以k ＝±2，C 正确；对于D ，当k ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0，因为圆心C (1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d 2＝21＋1＝2，所以|MN |＝26－(2)2＝4，D 错误．11.如图所示，该曲线W 是由4个圆：(x －1)2＋y 2＝1，(x ＋1)2＋y 2＝1，x 2＋(y ＋1)2＝1，x 2＋(y －1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()A ．曲线W 围成的封闭图形的面积为4＋2πB ．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与曲线W 有8个交点，则2≤r ≤2C.BD ︵与DE ︵的公切线方程为x ＋y －1－2＝0D ．曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离的最小值为4答案ACD 解析曲线W 围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A 正确；当r ＝2时，交点为B ，D ，F ，H ；当r ＝2时，交点为A ，C ，E ，G ；当0<r <2或r >2时，没有交点；当2<r <2时，交点个数为8，故B 错误；设BD ︵与DE ︵的公切线方程为y ＝kx ＋t (k <0，t >0)，由直线和圆相切可得|t －1|1＋k 2＝1＝|k ＋t |1＋k 2，解得k ＝－1，t ＝1＋2(t ＝1－2舍去)，则其公切线方程为y ＝－x ＋1＋2，即x ＋y －1－2＝0，故C 正确；同理可得HB ︵，HG ︵的公切线方程为x ＋y ＋1＋2＝0，则两平行线间的距离d ＝|52＋1－1－2|2＝4，因为曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离最小值为HB ︵，HG ︵上的切点到直线的距离，即为两平行线间的距离，为4，故D 正确．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．圆O与圆C有四条公切线B．|PQ|的取值范围是[32－4，32＋4]C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°答案ABD解析对于选项A，由题意可得，圆O的圆心为O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(3,3)，半径r2＝2，因为两圆圆心距|OC|＝32>2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；对于B选项，|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝32＋4，最小值为|OC|－r1－r2＝32－4，B 正确；对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，设直线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即|t|2＝2，则t＝±22，故y＝x±22，故C不正确；对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当|QO|＝22时，∠MQN ＝90°，故D正确．三、填空题13．(2023·锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的一条直线的方程__________________．答案x＝2或3x－4y＋10＝0(写出其中一个即可)解析圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心C(1,2)，半径r＝1，当直线斜率不存在时，验证知x＝2满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)＋4，即kx－y－2k＋4＝0，圆心到直线的距离为|2－k|1＋k2＝1，解得k＝34，故直线方程为34x－y－32＋4＝0，即3x－4y＋10＝0.综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.14．(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4x cosθ－4y sinθ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是________________．答案x2＋y2＝16解析圆C的标准方程为(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝4，则圆C的圆心为(2cosθ，2sinθ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C 上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D 的方程是x 2＋y 2＝16.15．(2023·烟台模拟)已知实数a ，b 满足a 2＋b 2－4a ＋3＝0，则a 2＋(b ＋2)2的最大值为____________．答案9＋42解析方程a 2＋b 2－4a ＋3＝0整理得(a －2)2＋b 2＝1，设点A (a ，b )，即点A 是圆C ：(x －2)2＋y 2＝1上一点，又点B (0，－2)在圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外，所以|AB |＝a 2＋(b ＋2)2，则|AB |max ＝|BC |＋r ＝(2－0)2＋(0＋2)2＋1＝22＋1，所以a 2＋(b ＋2)2的最大值为(22＋1)2＝9＋4 2.16．(2023·葫芦岛模拟)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆．某自动驾驶讯车在车前O 点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB .如图所示，在平面直角坐标系中，O (0,0)，直线OA ，OB 的方程分别是y ＝12x ，y ＝－12x ，现有一个圆形物体的圆心为C ，半径为1m ，圆C 与OA ，OB 分别相切于点M ，N ，则|MN |＝________m.答案455解析如图，连接MC ，NC ，MN ，由题意可设C (a ，0)(a >0)，又圆C 与OA 相切，则d ＝|12a |14＋1＝r ＝1，解得a ＝5，由题意可得MC ⊥OM ，NC ⊥ON ，在Rt △MOC 中，|OM |＝|OC |2－|MC |2＝2，所以S △MOC ＝12|OM |×|MC |＝1，同理S △NOC ＝1，所以S 四边形MONC ＝2，又MN ⊥OC ，所以S 四边形MONC ＝12|MN |×|OC |＝52|MN |＝2，即|MN |＝455.。
高三数学第二轮重点复习内容
高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
第03讲 复数(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =
+
−
+
பைடு நூலகம்(
+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．
2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习讲义：专题三 第1讲 等差数列与等比数列
第1讲 等差数列与等比数列[2019考向导航]1．必记的概念与定理 (1)a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2．(2)等差数列和等比数列2．记住几个常用的公式与结论 (1)等差数列的性质①在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m；②当公差d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的常数项为0的二次函数．③若公差d >0，则数列为递增等差数列，若公差d <0，则数列为递减等差数列，若公差d ＝0，则数列为常数列．④当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p ． ⑤若{a n }是等差数列，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列．⑥在等差数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S偶＝a 中，S 2n －1＝(2n －1)·a 中(这里a 中即a n )，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．⑦若等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且A n B n ＝f (n )，则a n b n ＝（2n －1）a n （2n －1）b n ＝A 2n －1B 2n －1＝f (2n －1)．⑧“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和．法一：由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0)确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n ∈N *．⑨如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．(2)等比数列的性质①在等比数列{a n }中，a n ＝a m q n－m，q ＝n －m a na m； ②当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p ． ③若{a n }是等比数列，且公比q ≠－1，则数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也是等比数列． 当q ＝－1，且n 为偶数时，数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是常数列{0，0，0，…}，它不是等比数列．④若a 1>0，q >1，则{a n }为递增数列；若a 1<0，q >1, 则{a n }为递减数列；若a 1>0，0<q <1，则{a n }为递减数列；若a 1<0，0<q <1, 则{a n }为递增数列；若q <0，则{a n }为摆动数列；若q ＝1，则{a n }为常数列．3．需要关注的易错易混点(1)用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．(2)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (3)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0．等差数列与等比数列基本量的运算[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．(2)(2019·苏北三市高三模拟)在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1＝1q2，且S 5＝S 2＋2，则q 的值为________．(1)通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21＋4d2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16．优解：设等差数列{a n }的公差为d ．S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4(1＋3)＝16．(2)由题意得，a 3＋a 4＋a 5＝2，又a 1＝1q 2，所以1＋q ＋q 2＝2，即q 2＋q －1＝0，所以q ＝－1±52，又q ＞0，所以q ＝5－12． 【答案】 (1)16 (2)5－12(1)等差(比)数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d (q )，n ，S n ，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d (q )是等差(比)数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[对点训练]1．(2019·江苏省高考名校联考(一))设S n 为数列{a n }的前n 项和，若数列{a n }与数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n＋t (t ＜－1)分别是公比为q ，q ′的等比数列，则q ＋q ′的取值范围为________．[详细分析] 若q ＝1，则S n a n ＋t ＝n ＋t ，不成等比数列，故q ≠1，则S na n ＋t ＝1－q nq n －1（1－q ）＋t ，考虑前三项1＋t ，1＋q q ＋t ，1＋q ＋q 2q 2＋t 成等比数列得，t ＝q 1－q ，反之，当t ＝q 1－q 时，S na n ＋t ＝1q n －1（1－q ）成等比数列，此时，公比为1q ，即q ′＝1q ．由t ＜－1，得q1－q ＜－1，q ＞1，q ＋q ′＝q ＋1q＞2，故q ＋q ′的取值范围是(2，＋∞)．[答案] (2，＋∞)2．(2019·苏州市高三调研)已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时的n 的值为________．[详细分析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋9d ＝－10得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝35d ＝－5，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝40－5n ，得T n ＝(40－5n )＋…＋(15－5n )＝165－30n ，因为|T n |≥0，又n ∈N *，故当n ＝5或6时，|T n |取得最小值15． [答案] 5或6等差、等比数列的判断与证明[典型例题](2019·江苏名校联考信息卷)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且对任意的m ，n ∈N *，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．(1)求a 2a 1的值；(2)求证：{a n }为等比数列．【解】 (1)由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ， 得(S 2＋S 1)2＝4a 22， 即(a 2＋2a 1)2＝4a 22． 因为a 1>0，a 2>0，所以a 2＋2a 1＝2a 2，即a 2a 1＝2．(2)证明：法一：令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4， 即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4， 即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4．又a 2a 1＝2，所以a 4＝4a 2＝8a 1，a 3＝4a 1． 由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4． 两式相除，得（S n ＋2＋S 1）2（S n ＋1＋S 1）2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2， 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)，从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)． 以上两式相减， 得a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列． 又a 3＝2a 2＝4a 1， 从而a n ＝a 1·2n －1，n ∈N *． 显然，a n ＝a 1·2n －1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． 法二：在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中， 令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ．① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2，②在①中，用n ＋1代替n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2．③ ②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )，④③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2·(a 2n ＋2－a 2n )，⑤由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2．⑥将⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ， 将⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2n －1，n ∈N *． 显然a n ＝a 1·2n －1满足题设．因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．递推数列问题常见的处理方法(1)将第n 项和第n ＋1项合并在一起，看是否是一个特殊数列；若递推关系式含有a n 与S n ，则考虑是否可以将a n 与S n 进行统一．(2)根据递推关系式的结构特征确定是否为熟悉的、有固定方法的递推关系式向通项公式的转换类型，否则可以写出数列的前几项，看能否找到规律，即先特殊、后一般、再特殊．[对点训练]3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝b n －11＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列{1b n }是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ， 即a n a n －1＝12(n ≥2，n ∈N *)． 所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1．(2)因为a 1＝1，所以b 1＝2a 1＝2． 因为b n ＝b n －11＋b n －1，所以1b n ＝1b n －1＋1，即1b n －1b n －1＝1(n ≥2)． 所以数列{1b n }是首项为12，公差为1的等差数列．所以1b n ＝12＋(n －1)·1＝2n －12，故数列{b n }的通项公式为b n ＝22n －1．等差数列与等比数列的综合运用[典型例题](2018·高考江苏卷)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围； (2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m 2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．【解】 (1)由条件知：a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1， 因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立， 即|(n －1)d －2n －1|≤1对n ＝1，2，3，4均成立， 即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得73≤d ≤52，因此，d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，52．(2)由条件知：a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1．若存在d ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)成立， 即|b 1＋(n －1)d －b 1q n －1|≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)，即当n ＝2，3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1．因为q ∈(1，m2]，则1<q n －1≤q m ≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －1n －1b 1>0，对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．因此，取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大值和数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小值(n ＝2，3，…，m ＋1)．①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n （n －1）＝n （q n －q n －1）－q n ＋2n （n －1），当1＜q ≤21m时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －q n －1)－q n ＋2>0．因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1单调递增，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大值为q m －2m ．②设f (x )＝2x (1－x )，当x >0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x <0， 所以f (x )单调递减，从而f (x )<f (0)＝1．当2≤n ≤m 时，q nnq n －1n －1＝q （n －1）n ≤21n ⎝⎛⎭⎫1－1n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n <1， 因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1单调递减，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小值为q mm ．因此，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 1（q m －2）m ，b 1q m m ．等差数列与等比数列综合问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．首项和公差(公比)是等差(比)数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．[对点训练]4．(2019·江苏省高考名校联考(九))已知单调递增的等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝6，a 3＝8，正项数列{b n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝b 2n ＋2b n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：对任意实数m ，数列{b n ＋mb n ＋1}都是等差数列，并求该数列的公差；(3)设c n＝⎩⎨⎧－23，n ＝1，a n ·bn －1b n·bn ＋1，n ≥2，d n ＝a n （15－b n ＋1）－2b n ＋1b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ，并比较T n 与d n 的大小．[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1（1＋q ）＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝18，q ＝－23(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ．(2)当n ＝1时，4b 1＝b 21＋2b 1＋1，所以b 1＝1，当n ≥2时，4(S n －S n －1)＝4b n ＝b 2n ＋2b n ＋1－(b 2n －1＋2b n －1＋1)，所以(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0， 因为b n ＋b n －1>0，所以b n －b n －1＝2，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝2n －1． 因为b n ＋1＋mb n ＋2－(b n ＋mb n ＋1)＝(b n ＋1－b n )＋m (b n ＋2－b n ＋1)＝2＋2m ，所以对任意实数m ，数列{b n ＋mb n ＋1}都是等差数列，且该数列的公差为2＋2m ． (3)因为当n ≥2时，c n ＝2n ·（2n －3）（2n －1）·（2n ＋1）＝2n ＋12n ＋1－2n 2n －1，又c 1＝－23也符合此式，所以c n ＝2n ＋12n ＋1－2n2n －1，所以T n ＝(21＋13－2)＋(22＋15－21＋13)＋…＋(2n ＋12n ＋1－2n2n －1)＝2n ＋12n ＋1－2．又d n ＝a n （15－b n ＋1）－2b n ＋1b n ＋1＝2n ＋1（7－n ）2n ＋1－2，所以T n －d n ＝2n ＋12n ＋1－2－[2n ＋1（7－n ）2n ＋1－2]＝2n ＋1（n －6）2n ＋1，当n <6时，2n ＋1（n －6）2n ＋1<0，所以T n <d n ；当n ＝6时，2n ＋1（n －6）2n ＋1＝0，所以T n ＝d n ；当n >6时，2n ＋1（n －6）2n ＋1>0，所以T n >d n ．1．(2019·南京模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10＝________．[详细分析] 法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3＝±4．由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1．于是a 20a 10＝q 10＝1．法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－4，a 8＝12．因为a 26＝a 4a 8>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 8＝4，则公比q 满足q 4＝1，q 2＝1，所以a 20a 10＝q 10＝1． [答案] 12．(2019·宿迁模拟)若等差数列{a n }满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________． [详细分析] 由S 3＝3a 2，得a 2＝1，由S 5＝5a 3，得a 3＝2，则a 4＝3，S 7＝7a 4，则a 4＋S 7＝8a 4＝24．[答案] 243．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2n ＋1a n ⎝⎛⎭⎫n ＋12a n ＋2n ，b n ＝2na n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式是________．[详细分析] 由已知得a n ＋12n ＋1＝a n⎝⎛⎭⎫n ＋12a n＋2n(n ∈N *)，则2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋n ＋12(n ∈N *)，即b n ＋1－b n ＝n ＋12(n ∈N *)，所以b 2－b 1＝1＋12，b 3－b 2＝2＋12，…，b n －b n －1＝(n －1)＋12， 累加得b n －b 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －12＝（n －1）n 2＋n －12＝n 2－12，又b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝n 2－12＋1＝n 2＋12．[答案] b n ＝n 2＋124．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．[详细分析] 因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 所以2a n (1＋q 2)＝5a n q ，所以2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12．因为数列为递增数列，且a 1>0，所以q >1，所以q ＝2． [答案] 25．(2019·苏锡常镇四市高三教学调研(一))中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马最后一天行走的里程数为______．[详细分析] 由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为{a n }，易知公比q ＝12，则S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝2a 1⎝⎛⎭⎫1－1128＝12764a 1＝700，所以a 1＝700×64127，所以a 7＝a 1q 6＝700×64127×⎝⎛⎭⎫126＝700127，所以这匹马最后一天行走的里程数为700127．[答案]7001276．(2019·苏州市第一学期学业质量调研)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝______．[详细分析] 法一：设等比数列{a n }的公比为q ，若公比q 为1，则S 5S 10＝12，与已知条件不符，所以公比q ≠1，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，因为S 5S 10＝13，所以1－q 51－q 10＝13，所以q 5＝2，所以S 5S 20＋S 10＝1－q 51－q 20＋1－q 10＝1－21－24＋1－22＝118．法二：因为S 5S 10＝13，所以不妨设S 5＝a ，S 10＝3a ，a ≠0，易知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，S 20－S 15成等比数列，由S 5＝a ，S 10－S 5＝2a ，得S 15－S 10＝4a ，S 20－S 15＝8a ，从而S 20＝15a ，所以S 5S 20＋S 10＝a 15a ＋3a ＝118．[答案]1187．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么a n ＋b n 组成的数列的第37项的值为________．[详细分析] {a n }，{b n }都是等差数列，则{a n ＋b n }为等差数列，首项为a 1＋b 1＝100， d ＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－100＝0，所以{a n ＋b n }为常数数列，第37项为100． [答案] 1008．(2019·南京市四校第一学期联考)已知各项均为正数的等比列{a n }中，a 2＝3，a 4＝27，S 2n 为该数列的前2n 项和，T n 为数列{a n a n ＋1}的前n 项和，若S 2n ＝kT n ，则实数k 的值为______．[详细分析] 因为各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝3，a 4＝27，所以a 1＝1，公比q ＝3，所以S 2n ＝1×（1－32n ）1－3＝32n －12，a n ＝3n －1．令b n ＝a n a n ＋1＝3n －1·3n ＝32n －1，所以b 1＝3，数列{b n }为等比数列，公比q ′＝9，所以T n ＝3×（1－9n ）1－9＝3（32n －1）8．因为S 2n ＝kT n ，所以32n －12＝k ·3（32n －1）8，解得k ＝43．[答案] 439．(2019·泰州市高三模拟)已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1＋b 1>0，a 2＋b 2<0，则a 3＋b 3的取值范围是________．[详细分析] 法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1>0a 1＋2b 1<－2，该不等式组在平面直角坐标系a 1Ob 1中表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当a 3＋b 3＝a 1＋4＋4b 1经过点(2，－2)时取得最大值－2，则a 3＋b 3<－2．法二：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1>0a 1＋2b 1<－2，则a 3＋b 3＝a 1＋4＋4b 1＝－2(a 1＋b 1)＋3(a 1＋2b 1)＋4<－2，故a 3＋b 3的取值范围是(－∞，－2)．[答案] (－∞，－2)10．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0． 其中所有正确判断的序号是________．[详细分析] 由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n }是等比数列，且公比q ＝1时，{a n }不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．[答案] ①④11．(2019·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：因为a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，所以a 2＋2a 1＝15， 所以a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， 所以a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，所以数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ，所以a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又因为a 1－3＝2，所以a n －3n ≠0，所以{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． 所以a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．12．(2019·苏州市高三模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1－nq ，n ∈N *，p ，q ∈R ．(1)若q ＝0，且数列{a n }为等比数列，求p 的值；(2)若p ＝1，且a 4为数列{a n }的最小项，求q 的取值范围． [解] (1)因为q ＝0，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1， 所以a 2＝a 1＋p ＝12＋p ，a 3＝a 2＋3p ＝12＋4p ．由数列{a n }为等比数列，得⎝⎛⎭⎫12＋p 2＝12⎝⎛⎭⎫12＋4p ，解得p ＝0或p ＝1． 当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，所以a n ＝12，符合题意；当p ＝1时，a n ＋1－a n ＝3n －1，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12＋(1＋3＋…＋3n －2)＝12＋1－3n －11－3＝12·3n －1， 所以a n ＋1a n ＝3．符合题意．所以p 的值为0或1．(2)因为p ＝1，所以a n ＋1－a n ＝3n －1－nq ， 又a 4为数列{a n }的最小项，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4－a 3≤0a 5－a 4≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧9－3q ≤027－4q ≥0，所以3≤q ≤274．此时a 2－a 1＝1－q <0，a 3－a 2＝3－2q <0，所以a 1>a 2>a 3≥a 4．当n ≥4时，令b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1－b n ＝2·3n －1－q ≥2·34－1－274>0，所以b n ＋1>b n ，所以0≤b 4<b 5<b 6<…， 即a 4≤a 5<a 6<a 7<…．综上所述，当3≤q ≤274时，a 4为数列{a n }的最小项，即所求q 的取值范围为⎣⎡⎦⎤3，274． 13．已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数的均值为C n －1．(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由．[解] (1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10， 所以在a 1与a 2之间插入－1，0，C 1＝－12．在a 2与a 3之间插入2，3，4，C 2＝3． 在a 3与a 4之间插入6，7，8，9，C 3＝152．(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1，所以C n －1＝n （a n －1＋a n ）2n ＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92．假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列． 所以(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1) ＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1) ＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，所以λ＝1．即λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．14．(2019·无锡期中检测)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，其前n 项和为T n ，且b 2＋S 2＝11，2S 3＝9b 3．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)问是否存在正整数m ，n ，r ，使得T n ＝a m ＋r ·b n 成立？如果存在，请求出m ，n ，r 的关系式；如果不存在，请说明理由．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋3＋d ＝11，2（3＋3＋d ＋3＋2d ）＝9q 2， 解得d ＝3，q ＝2． 所以a n ＝3n ，b n ＝2n －1．(2)因为T n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n －1， 所以有2n －1＝3m ＋r ·2n －1．(*) 若r ≥2，则r ·2n －1＞2n －1，(*)不成立， 所以r ＝1，m ＝2n －1－13．若n 为奇数，①当n ＝1时，m ＝0，不成立， ②当n ＞1时，设n ＝2t ＋1，t ∈N *， 则m ＝2n －1－13＝22t －13＝4t －13∈Z ；若n 为偶数，设n ＝2t ，t ∈N *，则m ＝2n －1－13＝22t －1－13＝2·4t －1－13＝2·4t －1－13＋13，因为4t －1－13∈Z ，所以m ∉Z ．综上所述，存在正整数m ，n ，r ，使得T n ＝a m ＋r ·b n 成立，此时n 为大于1的奇数，r ＝1，且m ＝2n －1－13．。
26、2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习讲义：专题六 高考热点追踪(六) Word版含答案
高考热点追踪(六)“交融”在本质高考对复数要求不高，但仍是常考内容．纵观各地模拟试题，复数知识时常与其他知识交融在一起，这些试题从形式上看很“新”，但是不是很难呢？我们如何去分析解决呢？请同学们看下面三个例题．(2019·南京模拟)已知O 为坐标原点，向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R )，若z 1＋z 2是实数．(1)求实数a 的值；(2)求以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的面积．【解】 (1)因为z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i 是实数，所以a 2＋2a －15＝0．所以a ＝3，a ＝－5(舍去)．故a ＝3． (2)由(1)知，z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，所以OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫38，1，OZ 2→＝(－1，1)， 所以|OZ 1→|＝738，|OZ 2→|＝2，cos 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝OZ 1→·OZ 2→|OZ 1→||OZ 2→|＝－38＋1738×2＝5146 ．所以sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝1－25146＝11146， 所以S ▱＝|OZ 1→||OZ 2→|sin 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝738×2×11146＝118．所以平行四边形的面积为118．[名师点评] 在复平面内，如果复数变量按照某种条件变化，那么对应动点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形有机结合使复数问题和向量问题构成了天然联系．已知a ，b ，c ，d ∈R ，对于复数z ＝a ＋b i ，有z (4－i)是纯虚数，(z ＋2)(1－4i) 是实数，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在x ＝0处有极值－2．(1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在整数m ，使得方程f (x )＝0在区间(m ，m ＋1)内有且仅有一个实数根．若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由．【解】 (1)因为z (4－i)＝(4a ＋b )＋(－a ＋4b )i 是纯虚数， (z ＋2)(1－4i)＝(a ＋4b ＋2)－(4a －b ＋8)i 是实数，且a ，b ∈R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，－a ＋4b ≠0，4a －b ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，又因为f (x )在x ＝0处有极值－2，所以f ′(0)＝0，f (0)＝－2， 得到c ＝0，d ＝－2， 所以f (x )＝－x 3＋4x 2－2， 则f ′(x )＝－3x 2＋8x ＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －83， f ′(x )>0⇔0<x <83，f ′(x )<0⇔x <0或x >83．所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，83，单调递减区间是(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫83，＋∞． (2)由(1)知：当x ＝0时，f (x )有极小值－2<0；当x ＝83时，f (x )有极大值20227>0，而当x →－∞时，f (x )→＋∞，当x →＋∞时，f (x )→－∞，则方程f (x )＝0在f (x )的三个单调区间(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫0，83，⎝⎛⎭⎫83，＋∞上必各有且仅有一个根．因为f (1)＝1>0，f (0)<0，所以方程f (x )＝0在(0，1)上有且仅有一个实数根， 同理可得方程f (x )＝0在(3，4)，(－1，0)上有且仅有一个实数根． 则m 的值为0，3和－1．[名师点评] 本题是复数问题与导数问题交汇在一起考查，实际我们只需要利用复数的有关概念求出a ，b ．后面的问题用导数知识不难解决．(2019·苏州期末)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，定义g (z )＝3x (cos y ＋isin y )． (1)若g (z )＝3，求相应的复数z ；(2)若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的a 为常数，则令g (z )＝f (b )，对任意b ，是否一定有常数m (m ≠0)使得f (b ＋m )＝f (b )？这样的m 是否唯一？说明理由．(3)计算g ⎝⎛⎭⎫2＋π4i ，g ⎝⎛⎭⎫－1＋π4i ，g ⎝⎛⎭⎫1＋π2i ，由此发现一个一般的等式，并证明． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3xcos y ＝3，3x sin y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧cos y ＝1，3x ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2k π，k ∈Z ．故z ＝1＋2k πi ，k ∈Z ． (2)由f (b ＋m )＝f (b )，得⎩⎪⎨⎪⎧3a cos （b ＋m ）＝3a cos b ，3a sin （b ＋m ）＝3asin b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧cos （b ＋m ）＝cos b ，sin （b ＋m ）＝sin b ，所以m ＝2k π，k ∈Z ，所以m 是不唯一的．(3)g ⎝⎛⎭⎫2＋π4i ＝9⎝⎛⎭⎫22＋22i ，g ⎝⎛⎭⎫－1＋π4i ＝13⎝⎛⎭⎫22＋22i ，g ⎝⎛⎭⎫1＋π2i ＝3i ， 所以g ⎝⎛⎭⎫2＋π4i g ⎝⎛⎭⎫－1＋π4i ＝g ⎝⎛⎭⎫1＋π2i ． 一般地，对任意复数z 1、z 2， 有g (z 1)g (z 2)＝g (z 1＋z 2)．证明如下：设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，2，y 1，2∈R )，g (z 1)＝3x1(cos y 1＋isin y 1)，g (z 2)＝3x2 (cos y 2＋isin y 2)，g (z 1＋z 2)＝3x1＋x2 [cos(y 1＋y 2)＋isin(y 1＋y 2)]，所以g (z 1)g (z 2)＝g (z 1＋z 2)．[名师点评] 对于第(1)，(2)问都是利用复数相等解决． 复数相等是化“虚”为“实”的最重要方法，第(3)问是以复数为载体考查了简单的归纳推理，情景新，做法易．通过以上三例同学们可以看到其实新考题，再新也得在高中生“力所能及”的范围内出题，不然要背负“超纲”的嫌疑．因此命题人得想尽办法让考题从形式上看很“新”，而其考查的内容仍在教纲和考纲要求范围之内，仍是所学知识的本质运用．归纳推理大排队归纳推理思想就是在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳．一、等式中的归纳推理(2019·扬州期末)设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________．【解析】观察知：四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出分母为f n(x)＝f(f n－1(x))的分母为(2n－1)x＋2n，故当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x（2n－1）x＋2n．【答案】x（2n－1）x＋2n[名师点评]本题各式的分子相同，关键是如何归纳分母特征．二、图形中的归纳推理将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N*)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n＝2，3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列，若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f (n )，则有f (2)＝2，f (3)＝________，…，f (n )＝______________．【解析】 当n ＝3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a ＋b ＋c ＝1，x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1＋y 2＝b ＋c ，z 1＋z 2＝c ＋a ，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c )＝2，2g ＝x 1＋y 2＝x 2＋z 1＝y 1＋z 2， 6g ＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c )＝2，即g ＝13而f (3)＝a ＋b ＋c ＋x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＋g ＝1＋2＋13＝103．进一步可求得f (4)＝5．由上知f (1)中有3个数相加，f (2)中有6个数相加，f (3)中有10个数相加 ，f (4)中有15个数相加，…，若f (n －1)中有a n －1(n >1)个数相加，可得f (n )中有(a n －1＋n ＋1)个数相加，且由f (1)＝1＝33，f (2)＝63＝3＋33＝f (1)＋33，f (3)＝103＝f (2)＋43，f (4)＝5＝f (3)＋53，…可得f (n )＝f (n －1)＋n ＋13，所以f (n )＝f (n －1)＋n ＋13＝f (n －2)＋n ＋13＋n 3＝…＝n ＋13＋n 3＋n －13＋…＋33＋f (1)＝n ＋13＋n 3＋n －13＋…＋33＋23＋13 ＝16(n ＋1)(n ＋2)． 【答案】103 16(n ＋1)(n ＋2)[名师点评] 本题的归纳实际用了从特殊到一般的数学思想方法．1．复数1＋a ii (a >0)在复平面内对应的点在第________象限．[解析]1＋a ii(a >0)＝a －i ，对应的点(a ，－1)在第四象限． [答案] 四2．(2019·南通市高三模拟)电视台组织中学生知识竞赛，共设有5类试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是________．[解析] 依次记5类试题为A ，B ，C ，D ，E ，则共有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10个事件，其中4个事件中含有“立德树人”主题，故所求概率P ＝410＝25．[答案] 253．(2019·南京调研)某校为了解高三同学暑假期间的学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天的平均学习时间，绘成频率分布直方图(如图)，则这100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为________．[解析] 由直方图知，学习时间在6～8小时内的频率为1－(0．04＋0．12＋0．14＋0．05)×2＝0．3，所以100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为0．3×100＝30．[答案] 304．(2019·成都质检改编)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为________．[解析] 第一次循环结束，得s ＝0＋2＝2，k ＝2×2－1＝3；第二次循环结束，得s ＝2＋3＝5，k ＝2×3－1＝5；第三次循环结束，得s ＝5＋5＝10，k ＝2×5－1＝9；第四次循环结束，得s ＝10＋9＝19，k ＝2×9－1＝17>10，此时退出循环．故输出s 的值为19．[答案] 195．已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是________．[答案] cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n6．(2019·南通市高三模拟)将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线y ＝12x 下方的概率为________．[解析] 点P (m ，n )所有的结果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中在直线y ＝12x 下方的情况有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，则所求概率为636＝16．[答案] 167．(2019·苏州质检)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________．[解析] 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． [答案] －g (x )8．(2019·江苏四星级学校联考)设A ，B 两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己补课，若A ，B 不选同一位教师，则学生A 选择数学教师，学生B 选择英语教师的概率为________．[解析] 设两位数学教师用1，2表示，两位英语教师用3，4表示，不妨让A 先选，B 后选(不重复)，则他们所有的选择结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情况，其中学生A 选择数学教师，学生B 选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)共4种情况，所以所求概率为P ＝13．[答案] 139．(2019·泰州期末)数列{a n }的前n 项和是S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列： 12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，… 若存在整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝________．[解析] 由题目可以看出同分母的和依次成等差数列，且公差为12．又12＋1＋32＋2＋52＋3＝10．5>10，此时最后一列数的分母为7，而10．5－67<10，故a k ＝57．[答案] 5710．(2019·泸州模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A 菜的，下星期一会有20%的可能改选B 菜；而选B 菜的，下星期一会有30%的可能改选A 菜．用a n 表示第n 个星期一选A 菜的人数，如果a 1＝428，则a 6的值为________．[解析] 依题意有：a n ＝45a n －1＋310(500－a n －1)＝12a n －1＋150(n ≥2，n ∈N *)， 即a n －300＝12(a n －1－300)(n ≥2，n ∈N *)，a n ＝128·⎝⎛⎭⎫12n －1＋300．因此a 6＝128·⎝⎛⎭⎫125＋300＝304． [答案] 30411．随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．(1)若已知甲班同学身高平均数为170 cm ，求污损处的数据；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm 的同学，求身高176 cm 的同学被抽中的概率．[解] (1)甲班同学身高的平均数x －＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋a ＋18210＝170．解得a ＝179，所以污损处是9．(2)设“身高176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173 cm 的同学有{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}，10个基本事件．而事件A 含有4个基本事件， 所以P (A )＝410＝25．12．观察下列三角形数表，假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)．(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．[解] (1)第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6． (2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋（n －2）（n ＋1）2．所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)．13．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1，1]上的最大值为2，最小值为－52．求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2．[证明] 假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪b a ≥2． (1)当a ＝0时，由a ＋c ＝0， 得f (x )＝bx ，显然b ≠0．由题意得f (x )＝bx 在[－1，1]上是单调函数， 所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |． 由已知条件，得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾， 所以a ≠0．(2)当⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b2a， 知f (x )在[－1，1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b ＋c ＝2，f （－1）＝a －b ＋c ＝－52，或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b ＋c ＝－52，f （－1）＝a －b ＋c ＝2． 又a ＋c ＝0，则此时b 无解， 所以⎪⎪⎪⎪b a <2．由(1)(2)，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2．14．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对任意x ∈(0，＋∞)，恒有f (kx )＝kf (x )(k ≥2，k ∈N *)成立，则称f (x )为k 阶缩放函数．(1)已知函数f (x )为二阶缩放函数，且当x ∈(1，2]时，f (x )＝1＋log 12x ，求f (22)的值；(2)已知函数f (x )为二阶缩放函数，且当x ∈(1，2]时，f (x )＝2x －x 2，求证：函数y ＝f (x )－x 在(1，8)上无零点．[解] (1)由2∈(1，2]得，f (2)＝1＋log 122＝12， 由题中条件得f (22)＝2f (2)＝2×12＝1． (2)证明：当x ∈(2i ，2i ＋1](i ＝0，1，2)时，x 2i ∈(1，2]， 依题意可得：f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫x 2＝22f ⎝⎛⎭⎫x 22＝…＝2i f ⎝⎛⎭⎫x 2i ＝2i 2·x 2i －⎝⎛⎭⎫x 2i 2＝2i ＋1x －x 2． 方程f (x )－x ＝0⇔2i ＋1x －x 2＝x ⇔x ＝0或x ＝2i ，0与2i 均不属于(2i ，2i ＋1](i ＝0，1，2)， 当x ∈(2i ，2i ＋1](i ＝0，1，2)时，方程f (x )－x ＝0无实数解．注意到(1，8)＝(20，21]∪(21，22]∪(22，23)，所以函数y ＝f (x )－x 在(1，8)上无零点．。
27、2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习讲义：第三部分 第1讲 数学思想 Word版含答案
第1讲数学思想数学思想是数学的基本观点，是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识．在解题中主要运用的数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想等．数学思想的学习与应用主要有以下两个难点：一是不会从数学思想的角度去分析问题，二是虽然有时运用有关数学思想去解决问题，但方法欠恰当，想法欠成熟．一函数与方程思想函数与方程思想在高考试题中六个方面的思考点和切入点(1)构造等式关系，从函数或方程角度，选择主从变量，直接找到函数或利用二次方程探求出函数性质，再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象与性质可以解决；(3)数列的通项或前n 项和是自变量为正整数n的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(ax ＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数，结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，且均涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，求r 的取值范围．【解】 思路一：用函数思想来思考．从C 1和C 2的方程中消去一个未知数，比如消去x ，得到一个关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①由方程①变形为r 2＝－54y 2＋2y ＋10．把r 2＝－54y 2＋2y ＋10看作y 的函数．由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域．由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝⎛⎭⎫45＝545，可得f (y )的值域是r 2∈⎣⎡⎦⎤1，545，即r ∈⎣⎡⎦⎤1，545，它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此， 两条曲线没有公共点的r 的取值范围是0<r <1或r >3305．思路二：用方程思想来思考．从C 1和C 2的方程中消去一个未知数，比如消去x ，得到一个关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0或者没有实数根，或者两个根y 1，y 2∉[－2，2]．若没有实数根，则Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫－54(10－r 2)<0, 解得r >545或r <－545(由r >0，知r <－545应舍去)． 若两个根y 1，y 2∉[－2，2]， 设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧φ（2）＝9－r 2>0，φ（－2）＝1－r 2>0．解得0<r <1． 因此， 两条曲线没有公共点的r 的取值范围是0<r <1或r >3305．[名师点评] 本题难在由两个曲线方程联立消去一个未知数得到等式后不会处理，或处理方式不当，导致解法出错．对于一个含变量限制条件问题的处理，转化为函数问题研究比研究方程的根会更好．(2019·南通模拟)已知集合M ＝{(x ，y )|(x＋x 2＋1)(y ＋y 2＋1)＝1}，则集合M 表示的图形是________．【解析】 思路一：把式子中的字母x ，y 看作变量，把等式中出现的代数式看作函数． 等式化为x ＋x 2＋1＝1y ＋y 2＋1＝－y ＋y 2＋1．构造函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )，则上式就是f (x )＝f (－y )， 由于，函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )为R 上的增函数，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0．所以，集合M 表示的图形是直线．思路二：构造一个常见的函数g (x )＝lg(x ＋x 2＋1)(x ∈R )，则g (x )为R 上的增函数，且为奇函数．又已知等式可化为g (x )＋g (y )＝lg(x ＋x 2＋1)＋lg(y ＋y 2＋1)＝lg 1＝0．于是有g (x )＝－g (y )＝g (－y )，因此x ＝－y ，即x ＋y ＝0．所以，集合M 表示的图形是直线．思路三：以方程的知识为切入点， 设s ＝x ＋x 2＋1，t ＝y ＋y 2＋1，于是，s ，t 分别是方程s 2－2xs －1＝0，t 2－2yt －1＝0的正根．由此可得s －2x －1s ＝0，t －2y －1t＝0，相加得，s ＋t －2(x ＋y )－s ＋tst ＝0，又st ＝1，所以x ＋y ＝0．所以，集合M 表示的图形是直线．【答案】 直线[名师点评] 本题难在对所给的式子不会化简，导致半途而废．因为所给式子中有两个变量x ，y ，如果把所给等式进行整理x ＋x 2＋1＝1y ＋y 2＋1＝－y ＋ y 2＋1，不难发现能构造函数f (x )＝x ＋ x 2＋1(x ∈R )来解决．高考中的压轴题往往需要站在数学思想的角度来研究，蛮干是不行的． 本题思路三对于学生来说要求比较高，仅供同学们赏析．已知m ，n 是正整数，且1＜m ＜n ． 证明：(1＋m )n ＞(1＋n )m ．【证明】 (1＋m )n>(1＋n )m⇔n ln(1＋m )>m ln(1＋n )⇔ln （1＋m ）m >ln （1＋n ）n．因此，可以构造函数g (x )＝ln （1＋x ）x(x ≥2)．只要证明 g (x )＝ln （1＋x ）x为减函数即可．由g ′(x )＝x [1－ln （1＋x ）]－ln （1＋x ）x 2（1＋x ）<0，则g (x )＝ln （1＋x ）x 为减函数，由2≤m <n 可得g (m )>g (n )，因而ln （1＋m ）m >ln （1＋n ）n， 于是，(1＋m )n ＞(1＋n )m 成立．[名师点评] 本题难在对要证明的结论与条件不会正确沟通，无法找到联系，导致找不到解法．有些看起来不像函数问题，如果通过恰当变形，构造函数，往往会得到妙解．已知α，β，γ都是锐角，且满足cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＋2cos αcos βcos γ＝1．求α＋β＋γ的值．【解】 由cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＋2cos αcos βcos γ＝1可得cos 2α＋(2cos βcos γ)cos α＋(cos 2β＋cos 2γ－1)＝0，看作关于cos α的一元二次方程，Δ＝4cos 2βcos 2γ－4(cos 2β＋cos 2γ－1)＝4sin 2βsin 2γ，所以，cos α＝－2cos βcos γ±4sin 2βsin 2γ2＝－cos(β±γ)．因为α，β，γ都是锐角，所以cos α＝－cos(β－γ)应舍去． 因此，cos α＝－cos(β＋γ) ，又因为0<α<π2，0<β＋γ<π，所以，α＝π－(β＋γ)，即α＋β＋γ＝π．[名师点评] 本题难在不会用方程思想看待这个等式，导致胡乱化简，得不出结果．数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下产生的，我们在解题的时候，如果能够站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就会使解题更加科学与合理，就会使解题从被动变为主动，就会形成较为完善的解题系统．(2019·淮安质检)已知f (x )＝4x ＋ax 2－23x 3(x ∈R )在区间[－1，1]上是增函数．(1) 求实数a 的值组成的集合A ；(2) 设关于x 的方程f (x )＝2x ＋13x 3的两个非零实数根为x 1，x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围； 若不存在，请说明理由．【解】 (1)f ′(x )＝4＋2ax －2x 2，由已知，f (x )在区间[－1，1]上是增函数，等价于f ′(x )≥0对x ∈[－1，1]恒成立．即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立．记φ(x )＝x 2－ax －2．法一：要使φ(x )≤0对x ∈[－1，1]恒成立，只要φmax (x )≤0． 由于x ≤a 2时，φ(x )为减函数，x ≥a2时，φ(x )为增函数，因此，当x ＝a2≤0时，由φ(x )的图象(图1)可以看出，φ(1)最大． 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤0，φ（1）＝1－a －2≤0，得－1≤a ≤0， 当x ＝a2>0时，由φ(x )的图象(图2)可以看出，φ(－1)最大． 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，φ（－1）＝1＋a －2≤0，得0<a ≤1． 综合以上得－1≤a ≤1．即A ＝{a |－1≤a ≤1}．法二：由⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）＝1－a －2≤0，φ（－1）＝1＋a －2≤0，可得A ＝{a |－1≤a ≤1}．(2)由f (x )＝2x ＋13x 3得，4x ＋ax 2－23x 3＝2x ＋13x 3．解得x ＝0和x 2－ax －2＝0．由于Δ＝a 2＋8>0，所以方程x 2－ax －2＝0有两个非零实根x 1、x 2． 由x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2得 |x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝a 2＋8．本题等价于是否存在m ，使不等式m 2＋tm ＋1≥a 2＋8，①对a ∈A ，t ∈[－1，1]恒成立． 把a 2＋8看作关于a 的函数T (a )＝a 2＋8，则①式等价于m 2＋tm ＋1≥T (a )max ，②由于a ∈A ，则T (a )＝a 2＋8≤1＋8＝3，从而②式转化为m 2＋tm ＋1≥3，即m 2＋tm －2≥0，③对t ∈[－1，1]恒成立．又可以把③式的左边看作t 的函数．记g (t )＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2．④ 对m ＝0或m ≠0分类研究．若m ＝0，④式化为g (t )＝－2≥0，显然不成立；若m ≠0，g (t )是关于t 的一次函数，这样，要使g (t )≥0对t ∈[－1，1]恒成立，只要g (－1)≥0及g (1)≥0同时成立即可(图3，4)．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m 2＋m －2≥0，g （－1）＝m 2－m －2≥0．得m ≤－2或m ≥2．所以存在实数m ，使不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A ，t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≤－2或m ≥2}．[名师点评] 本题难点有三：①对题意理解不清；②对所求问题不会恰当转化为函数问题；③计算分类不准确．二 分类讨论思想(2019·徐州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝13(a n －1＋2a n －2)(n ＝3，4，…)．数列{b n }满足b 1＝1，b n (n ＝2，3，…)是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有－1≤b m ＋b m ＋1＋…＋b m ＋k ≤1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)记c n ＝na n b n (n ＝1，2，…)，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【解】 (1)由a n ＝13(a n －1＋2a n －2)得a n －a n －1＝－23(a n －1－a n －2)(n ≥3) ，又a 2－a 1＝1≠0，所以数列{a n ＋1－a n }是首项为1，公比为－23的等比数列，a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－23n －1，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－232＋…＋⎝⎛⎭⎫－23n －2＝1＋1－⎝⎛⎭⎫－23n －11＋23＝85－35⎝⎛⎭⎫－23n －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧－1≤b 1＋b 2≤1－1≤b 2≤1b 2∈Z ，b 2≠0，得b 2＝－1， 由⎩⎪⎨⎪⎧－1≤b 2＋b 3≤1－1≤b 3≤1b 3∈Z ，b 3≠0，得b 3＝1，… 同理可得当n 为偶数时，b n ＝－1；当n 为奇数时，b n ＝1；因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 当n 为奇数时，－1 当n 为偶数时．(2)c n ＝na n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧85n －35n ⎝⎛⎭⎫23n －1当n 为奇数时，－85n －35n ⎝⎛⎭⎫23n －1当n 为偶数时．S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n ， 当n 为奇数时，S n ＝⎝⎛⎭⎫85－2×85＋3×85－4×85＋…＋85n － 35⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋⎦⎥⎤…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1＝4（n ＋1）5－35⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4⎦⎥⎤×⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1．当n 为偶数时，S n ＝⎝⎛⎭⎫85－2×85＋3×85－4×85＋…－85n －35⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋⎦⎥⎤…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1＝－4n 5－35⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1，令T n ＝1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1，①①×23得：23T n ＝1×⎝⎛⎭⎫231＋2×⎝⎛⎭⎫232＋3×⎝⎛⎭⎫233＋4×⎝⎛⎭⎫234＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n ，②①－②得：13T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫231＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫234＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1－n ⎝⎛⎭⎫23n＝1－⎝⎛⎭⎫23n1－23－n ⎝⎛⎭⎫23n＝3－(3＋n )⎝⎛⎭⎫23n， 所以T n ＝9－(9＋3n )⎝⎛⎭⎫23n因此S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －235＋9（n ＋3）5⎝⎛⎭⎫23n，当n 为奇数时，－4n ＋275＋9（n ＋3）5⎝⎛⎭⎫23n，当n 为偶数时．[名师点评] 对于(2)中的求解难点有二：一是数列{c n }的通项公式是分段函数，求其前n 项和，对n 分奇数或偶数的含义是什么要清楚， 当n 为奇数时，表示S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n 最后一项是奇数项，而不是指S n ＝c 1＋c 3＋…＋c n ．同样当n 为偶数时表示S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n 最后一项是偶数项，而不是指S n ＝c 2＋c 4＋…＋c n ．二是n 分奇数或偶数后对括号中数据的观察处理要类比．不然项数和符号都会出错．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．【解】 当a >0时，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋2－1a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ≤1，f （1）＝a －2＋2≥0或⎩⎨⎧1<1a<4，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝2－1a >0或 ⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f （4）＝16a －8＋2≥0． 所以a ≥1或12<a <1或∅，即a >12；当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －2＋2≥0f （4）＝16a －8＋2≥0，解得∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2, f (1)＝0，f (4)＝－6, 所以不符合题意，由以上得，实数a 的取值范围是a >12．[名师点评] 本题先对决定开口方向的二次项系数a 分a >0、a <0、a ＝0三种情况，再对每种情况结合二次函数的图象进行分析，在a>0时将对称轴与开区间的关系分三种进行讨论，即在开区间的左边、右边、中间．本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图象，也可以看成是“数形结合法”的运用．三数形结合思想设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．【解】如图，集合M表示以O(0，0)为圆心，半径r1＝2a的上半圆，集合N表示以O′(1，3)为圆心，半径r2＝a的圆．因为M∩N≠∅，所以半圆O和圆O′有公共点．当半圆O和圆O′外切时，a最小；内切时，a最大．因为|OO′|＝2，＝22－2．所以外切时，2a＋a＝2，a＝22＋1内切时2a－a＝2，a＝22＋2．所以a的最大值为22＋2，a的最小值为22－2．[名师点评]本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，既避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．(2019·泰州摸底)满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________．【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点O，建立平面直角坐标系，设C(x，y)，则由AC＝2BC，得（x＋1）2＋y2＝2·（x－1）2＋y2，所以(x－3)2＋y2＝8．点C的轨迹为圆(除去与x轴的交点)，其半径为22．则△ABC的面积的最大值等于12×2×22＝22．【答案】2 2[名师点评]从解题的简捷性原则考虑，例1中将“数”的问题有机地结合在“形”中解决，使解答更便捷，而本例恰好相反，直接用“形”有一定的难度，若利用“数”运算，建立直角坐标系求解，则问题利于解决．这进一步验证了华罗庚教授的“数缺形时少直观，形少数时难入微”的数学思维典语．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．【解】 设函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，结合草图可知，函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0，1)，x 2∈(1，2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0f （1）<0f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋（k －2）＋2k －1<04＋2（k －2）＋2k －1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >12k <23k >14，即12<k <23，所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，23．[名师点评] 利用函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象来研究相应的方程与不等式的问题，可以化代数问题为几何问题，通过图形非常直观地处理相应的问题．思路清晰，简单易懂．四 转化与化归思想(2019·无锡模拟)已知a 1，a 2，a 3成等差数列(a 3≠0)，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数也成等差数列，问a 1，a 3，a 5之间有什么关系？【解】 由题设，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋a 32，a 23＝a 2a 4，2a 4＝1a 3＋1a 5．为消去a 2，a 4，可从方程组中解出a 2＝a 1＋a 32和a 4＝2a 3a5a 3＋a5，代入a 23＝a 2a 4得a 23＝a 1＋a 32·2a 3a 5a 3＋a 5， 因为a 3≠0，则a 3＝（a 1＋a 3）a 5a 3＋a 5，整理得a 23＝a 1a 5．因此，a 1，a 3，a 5 成等比数列．[名师点评] 一个题目含有较多的元素，它们之间有一定的联系，我们在解题时，总是希望通过一定的变形、转化来减少题目中的元素，从而变成一个较容易的题目，这是一种从多元向少元的化归，实现这一化归的主要方法是消元法．例如，解二元一次方程组时，遇到两个未知数，我们用消元法变成一个一元一次方程就是一种典型的从多元向少元的化归．设对所有实数x ，不等式x 2log 24（a ＋1）a＋2x log 22aa ＋1＋log 2（a ＋1）24a 2>0恒成立，求a 的取值范围．【解】 设log 22aa ＋1＝t,则log 24（a ＋1）a ＝log 28（a ＋1）2a ＝3－t ，log 2（a ＋1）24a 2＝－2t ．于是，已知的不等式化为(3－t )x 2＋2tx －2t >0． 该不等式对所有实数x 恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧3－t >0，Δ＝4t 2＋8t （3－t ）<0． 解得t <0．即log 22a a ＋1<0，进一步解得0<a <1．[名师点评] 换元是一种常见的转化方法，往往能把很复杂，很陌生的问题，化归为我们熟悉的简单的问题．这种转化方法在研究函数、不等式、三角问题时应用很广．试求常数m 的范围，使曲线y ＝x 2的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分．【解】 若抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)对称，则满足⎩⎨⎧x 21＋x 222＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3，x 21－x 22x 1－x 2＝－1m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 22＝m （x 1＋x 2－6），x 1＋x 2＝－1m ．消去x 2得2x 21＋2m x 1＋1m 2＋6m ＋1＝0． 因为x 1∈R ，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫2m 2－8⎝⎛⎭⎫1m 2＋6m ＋1>0， 所以(2m ＋1)(6m 2－2m ＋1)<0，所以m <－12． 即当m <－12时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称． 而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范围为m ≥－12． [名师点评] (1)在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，这里所有的弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分的反面是“至少存在一条弦能被直线y ＝m (x －3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y ＝m (x －3)垂直平分”．(2)在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探求．。
2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题六第3讲 复 数
第3讲 复 数[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．复数的概念与运算 第2题 第2题 第2题江苏高考复数试题一般放在试卷的前三题，处于“送分”的位置，一般考查复数的概念、 运算或几何意义．2．复数的几何意义必记的概念或定理(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数的相等：a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔a ＝c ，b ＝d ．(3)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (4)运算法则：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －da c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (5)复数的模：若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．复数的概念与运算[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．(2)(2019·高考江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． (3)(2019·镇江期末)记复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)的共轭复数为z －＝a －b i(a ，b ∈R )，已知z ＝2＋i ，则z －2＝________．(1)(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为实部是0，所以a －2＝0，a ＝2．(2)复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，则|z |＝（－1）2＋32＝10．(3)因为z ＝2＋i ，所以z 2＝(2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝3＋4i ， 从而z －2＝3－4i ．【答案】 (1)2 (2)10 (3)3－4i(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[对点训练]1．(2019·苏州期末)已知2＋3ii ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________．[详细分析] 由2＋3ii ＝a ＋b i 得2＋3i ＝－b ＋a i ，从而得a ＝3，b ＝－2， 故a ＋b ＝1． [答案] 12．(2018·高考江苏卷)若复数z 满足i ·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． [详细分析] 复数z ＝1＋2i i ＝(1＋2i)(－i)＝2－i 的实部是2．[答案] 2复数的几何意义 [典型例题](1)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．(2)(2019·盐城中学开学考试)记(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点P (a ，b )位于第________象限．(1)因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝32＋42＝5，所以|z |＝5．(2)因为a ＋b i ＝－3＋4i ，所以a ＝－3，b ＝4，从而点(a ，b )为(－3，4)，位于第二象限．【答案】 (1)5 (2)二对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →． (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解+析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[对点训练]3．(2019·南京、盐城模拟)已知复数z ＝(2－i)(1＋3i)，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．[详细分析] 复数z ＝(2－i)(1＋3i)＝5＋5i ，它在复平面上对应的点的坐标为(5，5)，位于第一象限．[答案] 一4．(2019·南通模拟)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________． [详细分析] 因为(3＋4i)z ＝1，所以z ＝13＋4i ＝3－4i 25＝325－425i ，即|z |＝16＋925＝15． [答案] 151．(2019·扬州模拟)已知i 是虚数单位，则1－i（1＋i ）2的实部为________．[详细分析] 因为1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝－12－12i ，所以1－i （1＋i ）2的实部为－12．[答案] －122．(2019·泰州模拟)复数z 满足i z ＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________． [详细分析] 因为i z ＝3＋4i ，所以z ＝3＋4i i ＝（3＋4i ）（－i ）i （－i ）＝4－3i ．[答案] 4－3i3．(2019·南京、盐城模拟)若复数z ＝a ＋ii(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝________．[详细分析] 因为z ＝a ＋ii ＝1－a i ，它的实部与虚部相等，故－a ＝1，即a ＝－1． [答案] －14．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________．[详细分析] 由已知得z －＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ． [答案] 1－i5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的________条件．[详细分析] 若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a ＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分6．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．[详细分析] 由题意知A (1，1)，B (－1，3)，故|AB →|＝（－1－1）2＋（3－1）2＝22．[答案] 2 27．(2019·广东实验中学模拟改编)已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A (1，2)，B (－1，3)，则z 2z 1＝________．[详细分析] 由复数的几何意义可知，z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ， 所以z 2z 1＝－1＋3i 1＋2i ＝（－1＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋5i 5＝1＋i ．[答案] 1＋i8．设复数z 满足|z |＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________．[详细分析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝|z －1|＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，（a －1）2＋b 2＝1，两式相减得2a＝1，a ＝12．[答案] 129．(2019·徐州模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{x ||x ＋i|<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则集合A 与B 的关系是________．[详细分析] |x ＋i|＝x 2＋1<2，即x 2＋1<4，解得－3<x <3，所以B ＝(－3，3)，而A ＝[－2，2]，所以BA ．[答案] BA10．已知m ∈R ，复数1－mi 在复平面内对应的点在直线x －y ＝0上，则实数m 的值是________．[详细分析] 1－mi ＝1＋m i ，该复数对应的点为(1，m )，所以1－m ＝0，m ＝1． [答案] 111．(2019·南京调研)定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．[详细分析] 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2．故x ＋y i ＝1＋2i 或x ＋y i ＝－1－2i ． [答案] 1＋2i 或－1－2i12．(2019·泰州期末)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．[详细分析] |z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3．由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝3．[答案] 313．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________．[详细分析] |z |＝（x－1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时， y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12－12×1×1＝π－24．又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P ＝π－24π＝14－12π．[答案] 14－12π14．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题的序号是________． ①若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2； ②若z 1＝z －2，则z －1＝z 2； ③若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2;④若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22．[详细分析] 由|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，所以z 1＝z 2， 所以z －1＝z －2，故①为真命题； 由于z 1＝z －2，则z －1＝z =2＝z 2，故②为真命题；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2，则有z 1·z －1＝z 2·z －2，故③为真命题，④为假命题．[答案] ①②③。
(江苏专用)2020高考数学二轮复习专题六应用题课件
[解] (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8. 因为A1B1＝AB＝6， 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积 V锥＝13·A1B21·PO1＝13×62×2＝24(m3)； 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
三角应用题的解题策略 (1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要 把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解． (2)解三角应用题常见的两种情况： ①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形 中，可用正弦定理或余弦定理求解． ②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的 三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解 其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方 程(组)得出所要求的解． (3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、导 数法．
其中1＋t－2 1≥1＋
22－1(当且仅当t＝
π 2，即α＝ 4 时取等号)．
所以 S≤4285－49001＋t－2 1≤4285－49001＋ 22－1＝4285－4900(3＋2 2) ＝744010－92002，即 S≤744010－92002(当且仅当 4r(sin α＋cos α－1)＝35且 α＝π4 时，取等号)，所以当且仅当 r＝3（ 220＋1）且 α＝π4 时，S 取得最大值．
主要考查以构建函数模型为背景的应用题，一般常 见于经济问题或立体 几何表面积和体积最值问题中.
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第2讲统计课件文苏教版
(2)方差： s2＝n1[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]． 标准差： s＝ n1[（x1－－x ）2＋（x2－－x ）2＋…＋（xn－－x ）2]．
抽样方法 [典型例题] (1)(2019·南通市高三调研)为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况， 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 500 的样本，其中大一年级抽取 200 人，大二 年级抽取 100 人．若其他年级共有学生 3 000 人，则该校学生总人数是________． (2)(2019·江苏名校高三入学摸底)某班有学生 45 人，现将所有学生按 1，2，3，…， 45 随机编号，并采用系统抽样的方法从中抽取 5 名学生参加学习情况问卷调查，已知 抽取的学生的编号分别为 3，a，21，b，39，则 a＋b＝________．
[解析] 总体容量为 6＋12＋18＝36． 当样本容量是 n 时，由题意知，系统抽样的间隔为3n6，分层抽样的比例是3n6，抽取的 工程师人数为3n6×6＝n6，技术员人数为3n6×12＝n3，技工人数为3n6×18＝n2，所以 n 应 是 6 的倍数，36 的约数，即 n＝6，12，18． 当样本容量为(n＋1)时，总体容量是 35 人，系统抽样的间隔为n3＋51，因为n3＋51必须是 整数，所以 n 只能取 6．即样本容量 n＝6． [答案] 6
[解析] 依题意，女运动员有 98－56＝42(人)．设应抽取女运动员 x 人，根据分层抽样 特点，得4x2＝2988，解得 x＝12． [答案] 12
2．某公路设计院有工程师 6 人，技术员 12 人，技工 18 人，要从这些人中抽取 n 个人 参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除 个体；如果参会人数增加 1 个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除 1 个个体， 则 n＝________．
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第3讲 复 数[2019考向导航]必记的概念或定理(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数的相等：a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔a ＝c ，b ＝d ．(3)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (4)运算法则：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －da c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (5)复数的模：若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．复数的概念与运算[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．(2)(2019·高考江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． (3)(2019·镇江期末)记复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)的共轭复数为z －＝a －b i(a ，b ∈R )，已知z ＝2＋i ，则z －2＝________．【解析】 (1)(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为实部是0，所以a －2＝0，a ＝2． (2)复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，则|z |＝（－1）2＋32＝10．(3)因为z ＝2＋i ，所以z 2＝(2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝3＋4i ， 从而z －2＝3－4i ．【答案】 (1)2 (2)10 (3)3－4i(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[对点训练]1．(2019·苏州期末)已知2＋3ii ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________．[解析] 由2＋3ii ＝a ＋b i 得2＋3i ＝－b ＋a i ，从而得a ＝3，b ＝－2， 故a ＋b ＝1． [答案] 12．(2018·高考江苏卷)若复数z 满足i ·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． [解析] 复数z ＝1＋2i i ＝(1＋2i)(－i)＝2－i 的实部是2．[答案] 2复数的几何意义[典型例题](1)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．(2)(2019·盐城中学开学考试)记(1＋2i)2＝a＋b i(a，b∈R)，则点P(a，b)位于第________象限．【解析】(1)因为z2＝3＋4i，所以|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝32＋42＝5，所以|z|＝5．(2)因为a＋b i＝－3＋4i，所以a＝－3，b＝4，从而点(a，b)为(－3，4)，位于第二象限．【答案】(1)5(2)二对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →． (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[对点训练]3．(2019·南京、盐城模拟)已知复数z ＝(2－i)(1＋3i)，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．[解析] 复数z ＝(2－i)(1＋3i)＝5＋5i ，它在复平面上对应的点的坐标为(5，5)，位于第一象限．[答案] 一4．(2019·南通模拟)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________． [解析] 因为(3＋4i)z ＝1，所以z ＝13＋4i ＝3－4i 25＝325－425i ，即|z |＝16＋925＝15． [答案] 151．(2019·扬州模拟)已知i 是虚数单位，则1－i（1＋i ）2的实部为________．[解析] 因为1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝－12－12i ，所以1－i （1＋i ）2的实部为－12． [答案] －122．(2019·泰州模拟)复数z 满足i z ＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________． [解析] 因为i z ＝3＋4i ，所以z ＝3＋4i i ＝（3＋4i ）（－i ）i （－i ）＝4－3i ．[答案] 4－3i3．(2019·南京、盐城模拟)若复数z ＝a ＋ii (其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝________．[解析] 因为z ＝a ＋ii ＝1－a i ，它的实部与虚部相等，故－a ＝1，即a ＝－1． [答案] －14．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________．[解析] 由已知得z －＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ． [答案] 1－i5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的________条件．[解析] 若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a ＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分6．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．[解析] 由题意知A (1，1)，B (－1，3)，故|AB →|＝（－1－1）2＋（3－1）2＝22．[答案] 2 27．(2019·广东实验中学模拟改编)已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A (1，2)，B (－1，3)，则z 2z 1＝________．[解析] 由复数的几何意义可知，z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ， 所以z 2z 1＝－1＋3i 1＋2i ＝（－1＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋5i 5＝1＋i ．[答案] 1＋i8．设复数z 满足|z |＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________．[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝|z －1|＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，（a －1）2＋b 2＝1，两式相减得2a ＝1，a ＝12． [答案] 129．(2019·徐州模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{x ||x ＋i|<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则集合A 与B 的关系是________．[解析] |x ＋i|＝x 2＋1<2，即x 2＋1<4，解得－3<x <3，所以B ＝(－3，3)，而A ＝[－2，2]，所以BA ． [答案] BA10．已知m ∈R ，复数1－mi 在复平面内对应的点在直线x －y ＝0上，则实数m 的值是________．[解析] 1－mi ＝1＋m i ，该复数对应的点为(1，m )，所以1－m ＝0，m ＝1． [答案] 111．(2019·南京调研)定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．[解析] 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2．故x ＋y i ＝1＋2i 或x ＋y i ＝－1－2i ． [答案] 1＋2i 或－1－2i12．(2019·泰州期末)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．[解析] |z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3． 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝3．[答案] 313．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________． [解析] |z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时， y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12－12×1×1＝π－24．又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P ＝π－24π＝14－12π．[答案] 14－12π14．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题的序号是________． ①若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2； ②若z 1＝z －2，则z －1＝z 2； ③若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2;④若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22．[解析] 由|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，所以z 1＝z 2， 所以z －1＝z －2，故①为真命题； 由于z 1＝z －2，则z －1＝z =2＝z 2，故②为真命题；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2，则有z 1·z －1＝z 2·z －2，故③为真命题，④为假命题．[答案] ①②③。