中考数学专题复习训练 综合题型(无答案)

数学综合题

一、考点分析 从近几年的中考来看，综合问题往往涉及的知识几乎涵盖了初中阶段所有内容，综合不同领域的知识，有时还涉及不同学科。这类问题有代数综合题、几何综合题、代数几何综合题。题目从过去的论证转向发现，猜想和探索。综合问题是中考重点考查内容。主要是综合考查学生分析问题、解决问题的能力。这类问题考查方式灵活、内容丰富、手段多样，解决此类问题往往要用到较多的数学知识、数学思想、数学方法，要准确理解题意，综合应用题目中涉及的相关知识，应用恰当的数学方法。通过猜测、合理综合，实现问题的解决。

二、题型

类型一 代数综合题

已知关于x 的方程--++=22x (2k 3)x k 10有两个不相等的实数根1x 、2x .

（1）求k 的取值范围;

（2）试说明1x <0，2x <0；

（3）若抛物线y=--++=22x (2k 3)x k 10与x 轴交于A 、B 两点，点,A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且OA+OB=2OA ·•OB-3,求k 的值。

【解析】根据题意可知， （1）由题意可知：△=[-（2k-3）]2-4（k 2+1）＞0，

即-12k+5＞0 ∴k ＜512

（2）∵ <>+=-⎧⎨=⎩12212x x 2k 3x 0

x k 0 ∴ x 1＜0，x 2＜0。

（3）依题意，不妨设A （x 1，0），B （x 2，0）．

∴ OA+OB=|x 1|+|x 2|=-（x 1+x 2）=-（2k-3），

OA•OB=|-x 1||x 2

|=x 1x 2=k 2+1，

∵ OA+OB=2OA•OB -3， ∴ -（2k-3）=2（k 2+1）-3，

解得k 1=1，k 2=-2．

∵ k ＜512

∴ k=-2． 类型二 几何综合题

如图，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ=QB=1，动点A 在圆O 的上半圆运动（含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．

（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（图1）；

（2）设∠AOB=α，当线段AB 、与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；

（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长度（图3）．

【解析】 （1）连接OA ，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，如图1所示．

∵ AB 与⊙O 相切于点A ， ∴ OA ⊥AB ． ∴ ∠OAB=90°．

∵ OQ=QB=1， ∴ OA=1． ∴ AB=

==．

∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AC=AB=，∠CAB =60°． ∵ sin ∠HAB=HB AB

， ∴ HB=AB•sin∠HAB=×32=32

． ∴ S △ABC =12AC•BH=12××32

=334． ∴ △ABC 的面积为334

． （2）①当点A 与点Q 重合时， 线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=0°；

②当线段A 1B 所在的直线与圆O 相切时，如图2所示，线段A 1B 与圆O 只有一个公共点， 此时OA 1⊥BA 1，OA 1=1，OB=2，

∴ cos ∠A 1OB=1A O OB =12

．∴ ∠A 1OB=60°． ∴当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，

α的范围为：0°≤α≤60°．

（3）连接MQ ，如图3所示．∵ PQ 是⊙O 的直径，∴ ∠

PMQ=90°． ∵ OA ⊥PM ，∴ ∠PDO=90°．∴ ∠PDO=∠PMQ ．∴ △PDO

∽△PMQ ． ∴ ==PD DO PO PM MQ PQ

∵ PO=OQ=12PQ ．∴ PD=PM ，OD=MQ ． 同理：MQ=12AO ，BM=12

AB ． ∵ AO=1，∴ MQ=12．∴ OD=14

． ∵ ∠PDO=90°，PO=1，OD=

14， ∴ PD=154．∴PM=152．∴DM=154． ∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=34， ∴ AM=+22AD DM =+22315()()44

=62． ∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC=AB=BC ，∠CAB=60°．

∵ BM=12

AB ，∴ AM=BM ．∴ CM ⊥AB ． ∵ AM=62，∴ BM=62

，AB=．∴ AC=． ∴ CM=-22AC AM =-226(6)()2

=322． ∴ CM 的长度为322

． 类型三 代数几何综合题

例3 如图，在平面直角坐标系中，已知A （8，0），B （0，6），⊙M 经过原点O 及点A 、B ．

（1）求⊙M 的半径及圆心M 的坐标；

（2）过点B 作⊙M 的切线l ，求直线l 的解析式；

（3）∠BOA 的平分线交AB 于点N ，交⊙M 于点E ，求点N 的坐标和线段OE 的

长．

【解析】（1）∵∠AOB=90°，∴ AB 为⊙M 的直径。

∵ A （8，0），B （0，6），∴OA=8，OB=6。

∴ 22AB OA OB 10=+=。

∴ ⊙M 的半径为5；圆心M 的坐标为（（4，3）。

（2）如图，设点B 作⊙M 的切线l 交x 轴于C ，

∵ BC 与⊙M 相切，AB 为直径，∴AB ⊥BC 。

∴ ∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°。

∵ ∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO 。

∴ Rt △ABO ∽Rt △BCO 。