0507利用导数研究零点问题
《利用导数研究函数的零点问题》教学设计
《利用导数研究函数的零点问题》教学设计授课班级：某高二（文）班1．教学背景 1.1 学生特征分析我所试讲班级是长沟中学高二文班，学生的平均年龄在16-17岁，多数学生对于所识记的材料，在再认和回忆时，没有歪曲、遗漏、增补和臆测，初步具备在知觉某一事物时，能根据自己已有的知识、经验对事物加以解释和判断；具有一定的比较与分类思维，但是抽象概括及分析综合思维欠缺。
学生已经系统的复习了函数、导数的相关知识，学生了解函数零点的定义，会利用导数求函数的单调区间和极值。
对导数有了一定的理解，学习积极性比较高，利用导数这一工具对函数的性质研究比较好。
但是理性思维比较欠缺，对于处理含参问题的能力还有待提高，把新问题转化问已解决问题的能力有待提高，缺乏选择解决问题策略的能力。
由于是借班作课，师生接触少，师生之间的默契程度有待提高。
1.2教师特点分析自己教学中的优势：注重学生自主学习、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。
不足：由于是借班作课，与学生有效沟通较少。
1.3 学习内容分析1、内容分析：导数是微积分的核心概念之一。
它是研究函数的单调性、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具,对我们描绘函数图象带来极大方便，高考对导数的考查重在导数的应用，如求函数的单调区间、极值最值、解决实际问题及与不等式的结合。
而利用导数对函数性质的研究有利于我们解决函数的零点问题。
近几年高考也出现了一些函数零点问题或可转化为函数零点问题的题目，今年北京文科就出现了这样的题目，所以本节课从三次函数出发探究函数零点问题，以简单的含参数函数零点问题为载体，引导学生利用导数讨论函数的单调性、极值、最值解决问题，突出数形结合思想、转化思想的应用。
2、例题分析：热身练习：求函数32()f x x x x =+-的单调区间和极值，并试求此函数的零点。
题目比较简单，学生可以独立完成，目的是让学生熟悉利用导数研究函数性质的基本过程； 思考题：函数32()1f x x x x =+-+的图像与x 轴有几个交点。
利用导数研究函数零点问题学生版
1利用导数研究函数零点问题【知识点讲解】零点问题作为高考压轴题中的一部分，在考试中占有一定的分量。
从内容上看，新课标高考主要考察零点存在性，零点个数判断等知识，侧重考查基本量的计算；从形式上看，有选择题. 解答题，难度从简单到难跨度很大；从能力上看，主要考查学生的运算和数形结合的综合能力。
总体上看，零点问题的考查题型较多，难度较大。
知识回顾①函数的零点对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.②方程. 函数. 图象之间的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.③函数零点存在的判定方法如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.注意：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数()0f x =在区间(),a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<不一定成立.【1】确定函数零点的位置确定函数零点所在区间的解题步骤：①求给定区间端点对应的函数值；②判断端点函数值的符号③利用零点存在定理判断该区间是否存在零点2<题目讲解>例1. （2018•双流区模拟）函数()3 8f x ln x x +-=的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4练1. （2018•甘肃一模）函数()24f x log x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4例2. （2017秋•辽阳县期末）方程330x x --=的实数解落在的区间是（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[]1,2D ．[]2,3练2. （2017秋•潮州期末）设0x 是方程()21ln x x+=的解，则0x 在下列哪个区间内（ ） A ．()1,2B ．()0,1C ．()2,eD ．()3,4例3. （2018•镇海区校级模拟）已知函数()3x f x x =+，()3g x log x x =+，()h x sinx x =+的零点依次为123,,x x x ，则以下排列正确的是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．312x x x <<D ．231x x x <<练3. （2017•黄石港区校级模拟）已知11a b=>，如果方程,,x x x b a b a log x b log x b log x ===的根分别为123,,,x x x 则123,,,x x x 的大小关系为（ ）A ．312x x x <<B ．321x x x <<C ．132x x x <<D ．123x x x <<<讲解小结>1.利用零点存在性定理判定零点存在区间32.利用方程思想转化成两个函数的交点问题3.转化时有不同的移项构造方法4对于多个函数零点大小比较问题，转化成对个函数与同一个函数的交点问题，在同一坐标系内作图，利用数形结合解决. 备选题库1. （2018•揭阳二模）函数()x f x e x =-﹣的零点所在的区间是（ ）A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2. （2017秋•丹东期末）已知0x 是函数()ln 62f x x x =-+的零点，则下列四个数中最小的是（ ）A ．0ln xB．C ．()0ln ln xD ．()20ln x3.若1x 满足225x x +=，2x 满足()222log 15x x +-=，12x x +=（ ）4. （2013•天津）设函数()()223x f x e x g x lnx x =+-=+-，．若实数,a b 满足()()00f a g b ==，，则（ ）A ．()()0g a f b <<B ．()()0f b g a <<C ．()()0g a f b <<D ．()()0f b g a <<5. （2013秋•吉林期末）设函数()()()()()f x x a x b x c x d =----，其中a b c d <<<，则()0f x '=有（ ）A ．分别位于区间()()(),,,,,a b b c c d 内的三个根B ．四个不等实根C ．分别位于区间()()()(),,,,,a a b b c c d -∞，，内的四个根D ．分别位于区间()()(),,,a a b b c -∞，，内的三个根6. 函数()()()()()()()111221f x x x x x x x =+-+--+-+的两个零点分别位于区间（ ）A ．()1,1-和()1,2内B ．(),1-∞-和()1,1-内4C ．()1,2和()2,+∞内D ．(),1-∞-和()2,+∞内【2】确定不含参函数的零点个数利用导数求不含参函数零点个数的解题步骤：①求导，求得()f x 的单调区间②对每个单调区间验证端点的函数值乘积()()f a f b 是否为负③统计零点个数。
专题05 利用导数研究函数零点问题 (解析版)
导数及其应用专题五：利用导数研究函数零点问题一、知识储备1、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 二、例题讲解1．（2022·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数()e e x x f x x =+. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）讨论函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数.【答案】（1）单调递减区间是(,2)-∞-，单调递增区间是(2,)-+∞，极小值为21e -，无极大值；（2）详见解析. 【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，进而求得极值.（2）由（1）画出()f x 大致图象，由此对a 进行分类讨论，求得()g x 的零点个数. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且()(2)e x f x x '=+， 令()0f x '=得2x =-，则()'f x ，()f x 的变化情况如下表示：(2,)-+∞.当2x =-，()f x 有极小值为21(2)e f -=-，无极大值. （2）令()0f x =有1x =-：当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >，且()f x 经过212,e A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)B -，(0,1)C .当x →-∞，与一次函数相比，指数函数e x y -=增长更快，从而1()0e xx f x -+=→；当x →+∞时，()f x →+∞，()f x '→+∞，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数为()y f x =与y a =的交点个数. 当2x =-时，()f x 有极小值21(2)e f -=-. ∴关于函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点个数有如下结论： 当21e a <-时，零点的个数为0个； 当21e a =-或0a ≥，零点的个数为1个； 当210ea -<<时，零点的个数为2个. 【点睛】求解含参数零点问题，可利用分离常数法，结合函数图象进行求解.感悟升华（核心秘籍）本题讨论()()()g x f x a a =-∈R 零点的个数，将问题分解为()y f x =与y a =交点的个数，注意在利用导函数求()f x 单调性，极值后，画出草图，容易出错，本题利用极限x →-∞时，()0f x →，从而将草图画的更准确；三、实战练习1．（2022·河南高三开学考试（文））若函数()34f x ax bx =+－，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的递减区间；（2）若关于x 的方程()0f x k -=有一个零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）递减区间为()2,2-；（2）428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）对函数进行求导，利用()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩，解方程即可得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，对函数求导，根据导数的性质列表，即可得答案；（2）作出函数的图象，直线与函数图象需有1个交点，即可得答案； 【详解】（1）()23f x ax b '=-，由题意知()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩解得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故所求的解析式为()31443f x x x =-+，可得()()()2422f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，得2x =或2x =-，由此可得所以函数的递减区间为2,2-.(2)由(1)知，得到当2x <-或2x >时， ()f x 为增函数; 当22x -<<时， ()f x 为减函数，∴函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当43k <-或283k >时， ()f x 与y k =有一个交点，所以实数k 的取值范围为428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：根据函数的单调性做出该函数的大致图像，进而利用数形结合求解，考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．（2022·陕西西安中学高三月考（理））已知函数()()1xf x e ax a R =--∈.（1）试讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()()ln 1ln xg x e x =--，且()()f g x f x <⎡⎤⎣⎦在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）(],1-∞【分析】（1）通过求解函数的单调性，然后根据零点存在定理，通过讨论求解得出函数零点的个数；（2）根据（1）中结论，得到函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，将不等式转换为自变量的比较，最后得出结论． 【详解】解：（1）根据题意，可得()x f x e a '=-，则有：①若0a ，则()0x f x e a '=->，此时可得函数()f x 在R 上单调递增， 又因为(0)0f =，所以函数只有一个零点； ②若0a >，令()0f x '=，则有ln x a =，所以()0ln f x x a '>⇒>，此时函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增；()0ln f x x a '<⇒<，此时函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；即()(ln )1ln min f x f a a a a ==--，则有：()i 当ln 01a a =⇒=时，则()0f x ，此时函数()f x 只有一个零点；()ii 当ln 0a ≠时，即1a ≠时，则(ln )(0)0f a f <=，又因为x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 根据零点存在定理可得，此时函数()f x 在R 上有两个零点． 综上可得，当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）下面证明：0x ∀>，有()0g x x <<，先证：0x ∀>，有()0g x >，由（1）可知当1a =时，()()00min f x f ==，即当0x >时，1x e x ->，故0x ∀>，()()()1ln 1ln ln ln10x xe g x e x g x x ⎛⎫-=--==>= ⎪⎝⎭，再证0x ∀>，()g x x <；要证0x ∀>，()g x x <，只需证明0x ∀>，1x xe e x-<，即证0x ∀>，1x x e xe -<，即证0x ∀>，10x x xe e -+> 令()1(0)x x H x xe e x =-+>()0x H x xe '=>在(0,)+∞上恒成立，即得函数()H x 在(0,)+∞上单调递增，故有()(0)0H x H >=，即0x ∀>，10x x xe e -+>恒成立，即0x ∀>，有()0g x x <<，当1a ≤时，由（1）得，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则由上结论可知，[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，符合题意；当1a >时，由（1）得，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 此时当0ln x a <<时，0()ln [()]()g x x a f g x f x <<<⇔>，不合题意， 综上可得，1a ，即(],1a ∈-∞． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）()0,1. 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）把()f x 有两个零点，转化为2ln x xa x +=有两个解，令()2ln x x h x x+=，二次求导后得到函数()h x 的单调性和极值，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）若()f x 有两个零点，即2ln 0ax x x --=有两个解，2ln x x a x +=．设()2ln x x h x x +=，()312ln x h x xx '-=-， 设()12ln F x x x =--，因为函数()F x 在()0,∞+上单调递减，且()10F =， 所以当01x <<时，()0F x >，()0h x '>，当1x >时，()0F x <，()0h x '<． 以函数()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 且 x →+∞时，()0h x →，()11h =， 所以01a <<．即实数a 的取值范围为()0,1.4．（2022·沙坪坝·重庆南开中学）已知函数()e 1xf x x a -=++（R a ∈）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增；（2）()20,e -.【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的符号，进而得到函数的单调区间；（2）由（1）可以判断0a >，根据（1）可知()()min ln 0f x f a =<，进而根据零点存在定理结合放缩法得到答案. 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()1e xf x a -'=-，①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时，令()0f x '=得ln x a =， 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）由（1）可知，0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意.0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，因为函数有2个零点，所以()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=.记()()e 0x g x x x =-<，则()e 1xg x '=-，所以(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()010g x g >=>，则e xx >，于是2e2x x ->-，则x <0时，2e 4xx ->. 所以当x <0时，()214ax f x x >++，限定1x <-，则()()212844ax f x x x ax >+=+， 所以当1x <-且8x a<-时，()0f x >.于是，若函数有2个零点，则()20,e a -∈.【点睛】在“()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=”这一步之后，另一个特值不太好找，这时候需要利用e xx >得到2e2x x->-，进而根据放缩法得到结论. 5．（2022·赣州市第十四中学高三月考（文））已知函数()e 2xf x x =+. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()()()g x f x ax a =-∈R ，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数；（2）⎛⎫+∞⎪⎪⎭. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析可知，直线y a =与函数()22xeh x x x=+（0x ≠且2x ≠-）的图象有三个交点，利用导数分析函数()22xe h x x x=+的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()e 2xf x x =+的定义域为{}2x x ≠-，且()()()212x e x f x x +'=+，则当2x <-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当21x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，综上可得：()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数； （2）令函数()()0g x f x ax =-=，因为0x =不是方程的解，所以可得22xe a x x=+，构造函数()22xeh x x x =+（0x ≠且2x ≠-），则()()()22222x e x h x x x -'=+，由()0h x '=可得x =作出函数()h x 的图象如下图所示：由图可知，当a >时，函数y a =与函数()y h x =的图象有三个不同的交点，因此实数a 的取值范围是⎛⎫+∞⎪⎪⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6．（2022·天津静海一中高三月考）已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）-9，单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据(1)0f '-=即可求得a 的值，利用导函数求解单调区间；（2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，转化为()g x 有三个不同的零点.【详解】（1）由已知得2()36f x x x a '=-+， ∵在1x =-处的切线与x 轴平行 ∴(1)0f '-=，解得9a =-．这时2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'--- 由()0f x '>，解得3x >或1x <-； 由()0f x '<，解13x ．∴()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-． （2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，则原题意等价于()g x 图象与x 轴有三个交点． ∵2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--， ∴由()0g x '>，解得2x >或1x <； 由()0g x '<，解得12x <<．∴()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-；()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-．依题意得10210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<．故b 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．7．（2022·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R ．（1）当1a =时，求()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）3()=ln 24min f x +，()2max f x =；（2）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）当1a =时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）由()()0g x f x x =-=，分离参数得2ln ()x a h x x ==，根据函数2ln ()xh x x =得单调性作图，结合图像即可得出答案. 【详解】解：（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-，(21)(1)()x x f x x-+'=，∴()f x 在11[,)32单调递减，在1(,1]2单调递增，11114ln ln 339339f ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，()414112ln 993f e f ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，∴13()()ln 224min f x f ==+，()(1)2max f x f ==.（2）()()0g x f x x =-=2ln ()x a h x x ⇔==，则312ln ()xh x x -'=，∴()h x在单调递增，在)+∞单调递减，12h e=，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →， 作出函数2ln ()x h x x =和y a=得图像， ∴由图象可得，1(0,)2a e∈.8．（2022·全国高三专题练习）已知函数()ln f x a x bx =+的图象在点(1,3)-处的切线方程为21y x =--. （1）若对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，求实数k 的范围. 【答案】（1）[ln31--，)+∞；（2）3(ln2,0)4-.【分析】（1）()af x b x'=+，(0)x >，根据函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--．可得f '（1）2=-，f （1）3=-，解得a ，b ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数m 的取值范围． （2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数k 的取值范围．【详解】解：（1）()a f x b x'=+，(0)x >.函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--. f '∴（1）2=-，f （1）3=-，∴23a b b +=-⎧⎨=-⎩，解得3b =-，1a =.()ln 3f x x x ∴=-.13()13()3x f x x x --=-='，1[,)3x ∈+∞，()0f x '∴.∴当13x =时，函数()f x 取得最大值，1()ln313f =--.对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，所以()max m f x ，1[,)3x ∈+∞.ln31m ∴--.∴实数m 的取值范围是[ln31--，)+∞.（2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，∴1(21)(1)()23x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，解得12x =，1. 列表如下：由表格可知：当1x =时，函数()f x 取得极小值g （1）k =；当2x =时，函数()g x 取得极大值13()ln224g k =-++.要满足函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点， 3ln2040k k ⎧-++>⎪⎨⎪<⎩， 解得3ln204k -<<， 则实数k 的取值范围3(ln2,0)4-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力于计算能力，属于难题．9．（2022·全国高三开学考试）已知函数()()()21102f x x a x x =-+>. （1）若()()ln g x f x a x =+，讨论函数()g x 的单调性；（2）已知()()()2ln 222m x f x x x a x a =-++-+，若()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）求出导函数，对a 进行分类讨论：①0a ≤；②01a <<；③a =1；④a >1，利用导数研究单调性. （2）把()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点转化为关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭利用导数判断单调性，求出值域，即可求出a 的范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,+∞)，()()()()11x x a a f x x a x x--'=-++=. ①当0a ≤时，令()0f x '<，得到01x <<；令()0f x '>，得到1x >，此时()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当01a <<时，令()0f x '<，得到1<<a x ；令()0f x '>，得到0x a <<或1x >，此时()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数；③当a =1时,显然()0f x '≥恒成立，此时()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时,令()0f x '<，得到1x a <<；令()0f x '>，得到01x <<或x a >.此时()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.综上：①当0a ≤时， ()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当01a <<时， ()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数； ③当a =1时，()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时，()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.（2）()()()22ln 222ln 22m x f x x x a x a x ax x x a =-++-+=---+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，即关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭则()()2232ln 4=2x x x h x x +--'+， 令()2132ln 4,2p x x x x x ⎡⎫=+--∈+∞⎪⎢⎣⎭，，则()()()212x x p x x-+'=，显然()0p x '≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立,故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.因为p (1)=0，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，有()0p x <，即()0h x '<所以()h x 单调递减；当()1x ∈+∞，，有()0p x >，即()0h x '>所以()h x 单调递增； 因为()()9ln 24=,1,0111423ln 21532h h h h ⎛⎫⎛⎫+==-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 10．（2022·贵州贵阳一中（文））已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[0,1]上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）若函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 有1个零点，求b 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）76b <-或103b >．【分析】（1）利用导数分0a ，01a <<，1a =和1a >四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a 的值； （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，可得3211232b x x x =-++，构造函数3211()232h x x x x =-++，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案 【详解】解：（1）由3211()32f x x ax =-，2()()f x x ax x x a =--'=，当0a 时，()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0，所以()f x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)0f x f ==，不合题意；当01a <<时，则[0,]x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； [,1]x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-，31166a -=-，所以1a =，不满足01a <<；当1a =时，在[0,1]上，()0f x '且不恒为0，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f ==-=-，适合题意；当1a >时，在[0,1]上，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f a ==-=-，所以1a =，不满足1a >；综上，1a =． （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，所以3211232b x x x =-++，令3211()232h x x x x =-++，则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+'，所以(2)0,(1)0h h ''=-=，且当1x <-时，()0h x '<； 当12x -<<时，()0h x '>；当2x >时，()0h x '<，所以 117()(1)2326h x h =-=+-=-极小， 1110()(2)844323h x h ==-⨯+⨯+=极大，如图：函数()g x 有1个零点，所以76b <-或103b >．。
利用导数研究函数的零点问题
②2 a(x1＋x2)>3x1x2；
③ x1－1＋ x2－1>2.
请从①②③中任选一个进行证明．
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考向二
考向三
解 (1)当 a＝0 时，f(x)＝ex＋bx－1，f′(x)＝ex＋b， 当 b≥0 时，因为 f(－1)＝1e－1－b<0，所以此时不符合题意； 当 b＜0 时，当 x∈(－∞，ln (－b))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当 x∈(ln (－b)，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以 f(x)min＝f(ln (－b))＝－b＋bln (－b)－1， 要使 f(x)≥0，只需 f(x)min＝－b＋bln (－b)－1≥0，
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零 点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号， 进而判断函数在该区间上零点的个数．
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考向二
考向三
(2024·衡水模拟)已知函数 f(x)＝(x－2)ex. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值；
(2)若 g(x)＝f(x)－a，讨论函数 g(x)的零点个数． 解 (1)f(x)的定义域为 R，f′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex， 又 ex>0 恒成立， ∴当 x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
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考向二
考向三
解
（x－2）ln （x－1）
(2)f(x)＝0⇒a＝
x
，
（x－2）ln （x－1）
令 g(x)＝
x
，
故 g′(x)＝x－1 1－2·x－x 1－lnx2（x－1）
（x－1）－x－1 1＋2ln （x－1）
专题14 利用导数研究函数零点问题(解析版)
专题14利用导数研究函数零点问题一．函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y k =)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.二．利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．三．利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．专项突破一判断函数零点的个数一、单选题1．函数()23322f x x x =-+-所有零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题可知，2x ≠±，且233()()()22f x x f x x -=--+=--，故函数()f x 为定义域上的偶函数，且(0)0f =，当0x >，且2x ≠时，233()22f x x x =-+-，23()2(2)f x x x '=---当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且(0)0f =，故函数()f x 在区间(0,2)上无零点，当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当2x →时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，故函数()f x 在区间(2,)+∞上必存在一点0x ，使得0()0f x =，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上有1个零点，又函数()f x 为定义域上的偶函数，则函数()f x 在区间(,2)-∞-上有1个零点，又(0)0f =，所以函数()f x 共有3个零点.故选：C.2．已知函数()31ln 01203x x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1g x f x x =--的零点个数为（）A ．1B ．0C ．3D ．2【解析】当0x >时，1ln 10x x x +--=，得ln 1x =，即e x =，成立，当0x ≤时，312103x x +--=，得31103x x -+=，设()3113g x x x =-+，()0x ≤，()()()21110g x x x x '=-=+-=，得1x =-或1x =（舍），当(),1x ∈-∞-时，()0g x ¢>，函数()g x 单调递增，当()1,0x ∈-时，()0g x ¢<，函数()g x 单调递减，所以1x =-时，函数取得最大值，()5103g -=>，()010g =>，()350g -=-<，根据零点存在性定理可知，()3,1x ∈--，存在1个零点，综上可知，函数有2个零点.故选：D3．函数()e ln 1xf x x x x =---的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】()()()()()1e 1111e e 1e 11e x xxx x x x x f x x x x x x x x+-+⎛⎫'=+--=+-+-= ⎪⎝⎭，令()e 1x h x x =-，,()0x ∈+∞，则()e e 0x xh x x =+>'，故h (x )在(0,)+∞上单调递增，∵()010h =-<，()1e 10h =->，∴存在唯一的()00,1x ∈，使得()0 0h x =，即00 e 10xx -=，即001e x x =，00ln x x =-，∴当00x x <<时，()00h x <，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()00h x >，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()0min 000000()e ln 1011xf x f x x x x x x ==--=+---=，∴函数()e ln 1xf x x x x =---的零点个数为1．故选：B ．4．已知()e,a ∈+∞，则函数()ln e x f x a x ax x =+-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】函数()ln e x f x a x ax x =+-定义域为(0,)+∞，求导得：()(1)(e )xa f x x x'=+-，令()e xa g x x=-，0x >，显然()g x 在(0,)+∞上单调递减，而e a >，()1e 0a g a =-<，(1)e>0g a =-，则存在0(1,)x a ∈，使得0()0g x =，即00e x ax =，当00x x <<时，()0>g x ，()0f x '>，当0x x >时，()0g x <，()0f x '<，因此，()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，0max 000000()()ln e (ln 1)0x f x f x a x ax x a x x ==+-=+->，而11111e e e (ln 1ln 110aaaf a a a a a a a a a=+-=-+-<-+-<，则存在101(,)x x a ∈使得1()0f x =，即()f x 在0(0,)x 上存在唯一零点，又()(ln e )a f a a a a =+-，令()ln e ,e x h x x x x =+->，1()1e 0x h x x'=+-<，则()h x 在(e,)+∞上单调递减，e x ∀>，e 2()(e)1e e 1e e 0h x h <=+-<+-<，于是得()0f a <，则存在20(,)x x a ∈使得2()0f x =，即()f x 在0(,)x +∞上存在唯一零点，综上得：函数()ln e x f x a x ax x =+-的零点个数为2.故选：C 5．已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关【解析】令()()321103f x x a x x =-++=，得()3231x a x x =++.令()3231x y x x =++，2y a =，只需看两个图像的交点的个数.()()()()()22232222223121121103311x x x x x x x x y x x x x ++-+++'=⨯=⨯>++++所以()3231x y x x =++在R 上单调递增.当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞；所以2y a =与()3231x y x x =++有且只有一个交点.故选：A6．已知()f x 为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．0或2【解析】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+，当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x.当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()g x 单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()g x 单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x +=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>.综上所述，函数()F x 的零点个数为0.故选：A.二、填空题7．设函数()f x 满足()()3229f x f x x x +-=-，则函数()()()3g x f f x =+的零点个数为______.【解析】因为()()3229f x f x x x +-=-①，所以()()3229f x f x x x -+=--②，①×2-②，得()32339f x x x =-，即()323f x x x =-，则()()23632'=-=-f x x x x x ，当2x >，或0x <时()0f x '>，)f x 单调递增，当02x <<时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极小值为()24f =-，极大值为()00f =，因为()323f x x x =-的零点为0或3，所以由()()()30g x f f x =+=，得()30f x +=或()33f x +=，即()3f x =-或()0f x =，因为()f x 的极小值为()24f =-，极大值为()00f =，所以方程()3f x =-有3个不同的实数解，又()0f x =有2个不同的实数解，所以()()()3g x f f x =+的零点个数为5.8．已知函数1e ,0,()2e ln ,0,x x x f x x x x +⎧≤=⎨⎩＞则函数()()1g x f x =-零点的个数为___________【解析】0x ≤时，1()(1)x f x x e +¢=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减；10-<≤x 时，()0f x '>，()f x 递增；则1x =-时，()f x 取极小值也是最小值(1)1f -=-；0x >时，()2(1ln )f x e x ¢=+，10x e<<时，()0f x '<，()f x 递减；1x e >时，()0f x '>，()f x 递增；则1=x e 时，()f x 取极小值也是最小值12f e 骣琪=-琪桫，综上所述，可作出()f x 图象，在作两条直线1y =±，结合图象可知，()f x 与1y =±有4个交点.三、解答题9．已知函数()1e 1xx f x x +=--.(1)求曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；(2)判断函数f （x ）的零点的个数，并说明理由.【解析】(1)由()()()212e e 031(1)x x x f x f x f x x +''=-⇒=+⇒=--，而()02f =，所以该函数在点（0，f （0））处的切线方程为：23(0)320y x x y -=-⇒-+=；(2)函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由（1）可知：()22e (1)xf x x '=+-，当(,1)x ∞∈-时，()0,()f x f x '>单调递增，因为22111(2)(0)(e )22(03e 3f f --=-⋅=-<，所以函数在(,1)x ∞∈-时有唯一零点；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，因为5245(2)()(e 3)(e 9)04f f =-⋅-<，所以函数在(,1)x ∞∈-时有唯一零点，所以函数f （x ）有2个零点.10．设函数()2(21)(21)ln(),f x a x a x a R =-++-∈.（1）讨论()f x 在定义域上的单调性；（2）当0a ≥时，判断()f x 在[1-，1]2-上的零点个数．【解析】（1）由题意，函数()2(21)(21)ln()f x a x a x =-++-的定义域为(,0)-∞，可得221()2a f x a x+'=+，①当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在(,0)-∞上是减函数；②当0a >时，22212()212()2a a x a af x a x x+++'=+=，则当221(,2a x a+∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当221(2a x a+∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以函数()f x 在221(,)2a a +-∞-上单调递增，在221(,0)2a a+-上单调递减；（2）①当0a =时，函数()ln()f x x =-，令ln()0x -=，解得1x =-，故()f x 在[211,]--上有一个零点；②当0a >时，因为22112()21221022a a a a-++-=>，则2121[1,](,0)22a a +--⊆-，即()f x 在[1-，1]2-上单调递减，又(1)30f a -=-<，21()2(21)202f a a ln -=--+<，所以函数()f x 在[211,]--上没有零点．11．已知函数()sin f x x ax =+，其中[]0,x π∈．（1）当12a =-时，求()f x 的极值；（2）当1a ≥时，求()f x 的零点个数．【解析】（1）当12a =-时，()1sin 2f x x x =-，[]0,x π∈，求导得()1cos 2f x x '=-，[]0,x π∈，令()0f x '=，得3x π=，当0,3x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当,3x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<．∴()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，∴当3x π=时，()f x 取得极大值36f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，无极小值；（2）()cos f x x a '=+，[]0,x π∈，当1a ≥时，∵1cos 1x -≤≤，∴()0f x '≥，∴()f x 在区间[]0,π上单调递增，∴()()00f x f ≥=，故()f x 只有一个零点0．12．已知函数()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数．【解析】(1)()22a f x x x '=-()22x a x-=,故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,令()0f x '>,得x >所以函数()f x 在)+∞上单调递增,令()0f x '<,得x <所以函数()f x 在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,函数()f x 在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-,则()21F x x'=-,令()0F x '=,解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>；当()2,x ∈+∞时,()0F x '<；故()F x 最大值为()20F =，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.13．已知()()2e 2ln xf x x a x x =-+(1)当e a =时，求()f x 的单调性；(2)讨论()f x 的零点个数．【解析】(1)因为e a =，0x >，()()2e e 2ln xf x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x xx x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e x g x x x =-，()()2e 1e 0xg x x x'=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0xg x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()ee 0x g x x x=->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增(2)因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 的零点转化为()()2ln e2ln e 0x xt f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，设()e t g t at =-，则()e t g t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当0a <时，()e 0tg t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或0a <时，1个零点；e a >时，2个零点；14．已知函数()[]21sin cos ,0,2f x x x x ax x π=++∈.(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；(2)当0a >时，讨论()f x 的零点个数.【解析】(1)当0a =时，函数()[]sin cos ,0,f x x x x x π=+∈，可得()sin cos sin cos f x x x x x x x =+-='.当x 在区间[]0π,上变化时，()f x '，f （x ）的变化如下表：x 00,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2π,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭π()f x '0+0-f （x ）极小值1极大值2π -1所以()f x 的单调增区间为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；()f x 的单调减区间为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由题意，函数()[]21sin cos ,0,2f x x x x ax x π=++∈，可得()()cos cos f x ax x x x a x =+=+'当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,]π上恒成立，所以[0,]x π∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为()01f =，所以f （x ）在[0,]π上有0个零点.当01a <<时，令()0f x '=，可得cos x a =-.由10a -<-<可知存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0cos x a =-，所以当0[0,)x x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()01f =，0()1f x >，()2112f a ππ=-，①当21102a π->，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点.②当21102a π-≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点.综上可得，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.15．已知函数()()()e 12e xxaf x a x a =+---∈R (1)求函数()f x 的单调区间.(2)若(,2]a ∈-∞，求函数()f x 在区间(,2]-∞上的零点个数.【解析】(1)由题意，得()()()()e 1e e 1,e e x x xx xa a f x a x +-=---='∈R当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞；(2)由（1）可知当0a ≤时，()0f x '>在(,2]-∞上恒成立，所以()f x 在(,2]-∞上单调递增.因为()()22221010,2e 2e 20e e a f a f a a ⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理知，函数f 在(,2]-∞上有1个零点，当02a <≤时，若(,ln )x a ∈-∞，则()0f x '<，若(ln ,2]x a ∈，则()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,2]a 上单调递增，可得()()()()min ln 11ln f x f a a a ==--，①当1a =时，min ()0f x =，此时()f x 在(,2]-∞上有1个零点②当01a <<时min ()0f x <，因为当x →-∞时()()22,2e 20e af x f a ∞→+=+->，所以此时()f x 在(,2]-∞上有2个零点③当12a <≤时，min ()0f x >，此时()f x 在(,2]-∞上无零点.综上，当0a ≤或1a =时，()f x 在(,2]-∞上有1个零点，当01a <<时()f x 在(,2]-∞上有2个零点，当12a <≤时()f x 在(,2]-∞上无零点.16．已知函数()()e ,xf x ax a R =-∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)讨论()f x 在()0,+∞上的零点个数．【解析】(1)因为()e xf x ax =-，则'()f x e x a =-，当0a ≤时，'()f x 0<，此时()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令'()f x 0=，可得ln x a =，则当(),ln x a ∈-∞时，'()f x 0>，()f x 单调递增，当()ln ,x a ∈+∞时，'()f x 0<，()f x 单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减.(2)当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，又()01f =-，故当()0,x ∈+∞时，()1f x <-，故此时()f x 在()0,+∞无零点；当01a <≤时，ln 0a <，故()f x 在)0,+∞单调递减，同0a ≤时，此时()f x 在()0,+∞无零点；当1a >时，ln 0a >，故()f x 在()0,ln a 单调递增，在()ln ,a +∞单调递减，()()()ln ln 1f x f a a a ≤=-，若ln 10a -<，即1e a <<时，()ln 0f a <，故()f x 在()0,+∞无零点；若ln 10a -=，即e a =时，()ln 0f a =，此时()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ；若ln 10a ->，即e a >时，()ln 0f a >，又因为()010f =-<，故()f x 在()0,ln a 上一定存在一个零点；又因为2ln ln a a >，且()2ln 0f a <，故()f x 在()ln ,2ln a a 上也一定存在一个零点；下证()2ln 0f a <：()()22ln 2ln 2ln ,e f a a a a a a a a =-=->，令2ln ,e y x x x =->，则'y 20xx-=<，即2ln y x x =-在()e,∞+单调递减，故2ln e e 2e 0y <-=-<，即2ln 0,(e)x x x -<>故()()2ln 2ln 0,e f a a a a a =-.故当e a >时，()f x 有两个零点.综上所述：当e a <时，()f x 在()0,+∞无零点；e a =时，()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ；e a >时，()f x 有两个零点.专项突破二由函数零点个数求参数一、单选题1．若函数()2ln 2,02,0x x x f x x x a x ->⎧=⎨++≤⎩有且只有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．01a <<B ．01a <≤C ．01a ≤≤D ．01a ≤<【解析】根据题意，0x >时，()ln 2(0)f x x x x =->，此时()12f x x'=-()120f x x -'=>时，102x <<;()120f x x -'=<时，12x >,所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减0x >时，()1ln 2102max f x f ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上无零点从而0x ≤时，()f x 有2个零点，根据二次函数的性质可得()4400100a a f ∆=->⎧∴≤<⎨≥⎩，故选：D.2．若函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,8)-∞-B ．(,8)-∞C ．[16,16]-D ．(16,16)-【解析】3()12f x x x a =-+，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-.令()0f x '=，解得12x =-，22x =.(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 为增函数，(2,2)x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，(2,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()(2)16f x f a =-=+极大值，()(2)16f x f a ==-+极小值.因为函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点，等价于方程()0f x =有三个不同的根.所以160160a a +>⎧⎨-+<⎩，解得1616a -<<.故选：D3．若关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，则a 的取值范围是（）A ．1(,e-∞B ．1(,)e -∞C ．1(0,]e D ．1(0,e【解析】由ln 0x ax -=，得ln x a x=（0x >），令ln ()(0)xf x x x =>，所以关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，等价于函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，由ln ()(0)x f x x x =>，得'21ln ()(0)xf x x x -=>，当0x e <<时，'()0f x >，当x e >，'()0f x <，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以max ln 1()()e f x f e e e===，当x e >时，()0f x >，所以当10a e<<时，函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，所以a 的取值范围是1(0,)e，故选：D4．若函数()ln x f x a x e a =++有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(,)e +∞B ．(,2)e -∞-C ．(,)e -∞-D ．(2,)e +∞【解析】因为函数()ln xf x a x e a =++有两个零点，定义域为()0,∞+；所以方程ln 0x a x e a ++=在()0,∞+上有两不等实根，显然0a ≠即方程ln 11x x a e +-=在()0,∞+上有两不等实根，令()ln 1xx g x e +=，则直线1=-y a 与曲线()ln 1xx g x e +=在()0,∞+上有两不同交点；因为()()211ln 1ln 1x x x xe x e x x x g x e e -+--'==，令()1ln 1h x x x=--，则()2110h x x x '=--<在()0,∞+上显然恒成立，因此()1ln 1h x x x=--在()0,∞+上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，所以()ln 1xx g x e +=单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()ln 1xx g x e +=单调递减；因此()()max 11g x g e ==，又当1x e >时，()ln 10x x g x e +=>；当10x e <<时，()ln 10xx g x e +=<，所以为使直线1=-y a 与曲线()ln 1xx g x e +=在()0,∞+上有两不同交点，只需110a e<-<，解得a e <-.故选：C.5．设函数()()ln ,0e 1,0xx x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x b =-有两个零点，则实数b 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[)0,1C ．[]0,1D ．[]{}20,1e-⋃-【解析】当0x >时，函数()ln f x x =单调递增；当0x ≤时，()()e 1xf x x =+，则()()e 20x f x x ='+=时，2x =-，所以当2x <-时，()0f x '<，20x -<≤时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为()22e f --=-，作出函数()f x的图象如图：因为函数()y f x b =-有两个零点，所以函数()y f x =与y b =有两个交点，所以当[]{}20,1e b -∈⋃-时函数()y f x =与y b =有两个交点，所以实数b 的取值范围为[]{}20,1e -⋃-.故选：D.6．已知函数()1e xf x x a -=+-有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()2e ,0-D ．()2e ,-+∞【解析】由题意，函数()1e xf x x a -=+-的定义域为R ，令()0f x =，即1e 0x x a -+-=，即()1e xa x =+⋅，设()()1e x g x x =+⋅，可得()()()e 1e 2e x x xg x x x '=++⋅=+⋅，当2x <-时，()0g x '<，当2x >-时，()0g x '>，所以()g x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,)-+∞上单调递增.又()212e g -=-，作出简图，如图所示，要使得函数()1e xf x x a -=+-有两个零点，只需y a =与()()1e xg x x =+⋅的图像有两个交点，所以210e a -<<，即实数a 的取值范围是210ea -<<.故选：A.7．已知函数()2e ln x f x a x x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(,2e)-∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()2e ln x f x a x =-有两个极值点，所以()()2e ln 1xf x a x '=-+有两个相异的零点，即ln 12e xx a +=有两个交点，令()()ln 1,0,ex x g x x +=∈+∞，则()()()1ln 1,0,e xx x g x x -+'=∈+∞，令()()()1ln 1,0,h x x x x =-+∈+∞，则()2110h x x x'=--<恒成立，所以()h x 在()0,x ∈+∞上递减，且()()11ln1101h =-+=，所以()0,1x ∈时，()0h x >；()1,x ∈+∞时，()0h x <；所以()0,1x ∈时，()0g x '>；()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()0,1x ∈时，()g x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()g x 单调递减；()()max ln1111e e g x g +===，又当x →+∞时，()ln 10e x x g x +=→；0x →时，()ln 1e xx g x +=→-∞；所以当ln 12e xx a +=有两个交点时，则有102a e<<，即102e a <<，所以函数()2e ln x f x a x x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是102ea <<，故选：A 8．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）【解析】令()()()22e e 0=--=x xf x x x a ，所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x ，令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x ，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增；当,()0x ∈+∞时，()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减，所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '<，所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-<，所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =，所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e =，令()x x k x e =，则()1xx e xk -='，当(,1)x ∞∈-时，()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e ≤=，所以()x xk x e=与y a =的部分图象大致如图所示，由图知10a e<<，故选：A ．9．函数()()()1e 21xf x a x x =---有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U B ．321,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()320,14e ,⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．324e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()0f x =得(21)(1)e x x a x -=-，令()e (21)x g x x =-，则()e (21)x g x x '=+，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>，()g x ∴在1(,)2-∞-上单调递减，在1(2-，)∞+上单调递增，作出()g x 与(1)y a x =-的函数图象如图所示：设直线(1)y a x =-与()g x 的图象相切，切点为00(,)x y ，则()()()00000001e 1e 21xx y a x y x a x ⎧=-⎪=-⎨⎪=+⎩，解得00x =，01y =-，1a =，或032x =，3202e y =，324e a =，()f x 有两个不同的零点，()g x ∴(1)a x =-的函数图象有两个交点，01a ∴<<或324e a >，即()320,14e ,a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．10．已知()()()212()12e 1ex x f x x a x a --=-+++恰有三个不同的零点，则实数a 的范围为（）A ．()0,1B ．()1,1-C ．()0,e D ．()1,0-【解析】由()()()()21212e 1e 0x x f x x a x a --=-+++=，得()()2111e e e x x x a x x ----=-，即()()11e1e0x x x x a --⎡⎤--+=⎣⎦．令()1e x g x x -=-，则()11e x g x -'=-，令()11e 0x g x -'=-=可得1x =，当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，当()1,+∈∞x 时，()0g x '<，∴()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()g 10x g ≤=，即()1e 0x g x x -=-=仅有唯一的解1x =．依题意，方程()11e 0x x a --+=有两个不同的解，即1y a =+与1ex x y -=有两个不同的交点，令()1ex x h x -=，则()11e x xh x --'=，易得()h x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调速减，()()11h x h ≤=，画出()h x 的草图观察图象可得01110a a <+<⇒-<<，故选：D ．二、多选题11．已知()e xf x x ax b -=--（）A ．若24eb >，则()0,a ∞∃∈+，使函数()y f x =有2个零点B ．若24e b >，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点C ．若240e b <<，则()0,a ∞∃∈+，使函数()y f x =有2个零点D ．若240e b <<，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点【解析】令()0f x =，则e xx ax b =+，所以设()e x x g x =，则()1e x xg x ='-当1x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减()g x 在1x =处取得极大值()11eg =当x 趋向于-∞时，()g x 趋向于-∞；当x 趋向于+∞时，()g x 趋向于0又()2ex x g x -''=，()20g ''=且当2x <时，()0g x ''<；当2x >时，()0g x ''>所以，2x =是函数()g x 的拐点，()222e g =，()212e g '=-所以()g x 在2x =处的切线方程为()2122ey x -=--，即2214e e y x =-+如图所示，ACD 正确，B 错误，故选：ACD12．已知函数()ln f x x x a =--有两个零点1x 、2x ，则下列说法正确的是（）．A ．1a >B ．121x x >C ．121x x <D ．122x x +>【解析】由()0f x =可得ln a x x =-，令()ln g x x x =-，其中0x >，所以，直线y a =与曲线()y g x =的图象有两个交点，()111x g x x x-'=-=，令()0gx '=，可得1x =，列表如下：x()0,11()1,+∞()g x '-+()g x 减极小值1增作出函数y a =与()y g x =的图象如下图所示：由图可知，当1a >时，函数y a =与()y g x =的图象有两个交点，A 对；121212ln ln 2x x x xx x -+<<-，其中12x x ≠，且1x 、2x 均为正数.先证明121212ln ln 2x x x x x x -+<-，其中120x x >>，即证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令121x t x =>，()()21ln 1t p t t t -=-+，其中1t >，则()()()()222114011t p t t t t t -'=-=>++，所以，函数()p t 在()1,+∞上为增函数，当1t >时，()()10p t p >=，所以，当120x x >>时，121212ln ln 2x x x xx x -+<-，接下来证明：1212ln ln x x x x --120x x >>，即证12ln x x <=，令1t =>，即证12ln t t t <-，令()12ln h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中1t >，则()222212110t t h t t t t -+'=--=-<，所以，函数()h t 在()1,+∞上为减函数，当1t >时，()()10h t h <=，所以，当120x x >>时，1212ln ln x x x x ->-由已知可得1122ln ln x x ax x a -=⎧⎨-=⎩，两式作差可得1212ln ln x x x x -=-，所以，12121ln ln x x x x -=-，1212121ln ln 2x x x xx x -+<=<-，故121x x <，122x x +>，B 错，CD 都对.故选：ACD.13．已知函数35,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，则实数a 可能的取值有（）A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，即方程()2f x x a +=有3个不同的实根，即函数()2y f x x =+与y a =的图象有3个不同的交点，令()()2h x f x x =+=33,02ln 2,0x x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，当0x ≤时，()()()233311h x x x x '=-=+-，当10x -<<时，()0h x '<，当1x <-时，()0h x '>，所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，故当0x ≤时，()()max 12h x h =-=，又()00h =，当x →-∞时，()h x →-∞，当0x >时，()2ln 2h x x x =+在()0,∞+上递增，又1220e e h ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，()h x →+∞，如图，作出函数()h x 的大致图像，结合图像可知，要使函数()2y f x x =+与y a =的图象有3个不同的交点，则a 的范图为02a ≤＜.故选：CD.14．已知函数()()ln 1f x x x a x x =+-+在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a 的取值可以为（）A ．－1B ．2C ．3D ．4【解析】()()ln 1ln 1a f x x x a x x x x a x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，设()ln 1a g x x a x =+-+则在1x >上，()y f x =与()y g x =有相同的零点.故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点,即()g x 在区间()1,+∞内没有零点，()221a x ag x x x x-'=-=，当1a ≤时，()20x ag x x -'=>在区间)1,+∞上恒成立,则()g x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()110g x g >=>，显然()g x 在区间()1,+∞内没有零点.当1a >时,令()0g x '>，得x a >，令()0g x '<，得1x a <<所以()g x 在区间()1,a 上单调递减增.在区间(),a +∞上单调递增.所以()()ln 2g x g a a a ≥=+-设()()ln 21h a a a a =+->，则()()11101a h a a a a-=-=<>所以()h a 在()1,+∞上单调递减,且()()3ln 310,4ln 420g g =->=-<所以存在()03,4a ∈，使得()00h a =，要使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，则()ln 20g a a a =+->，所以()013,4a a <<∈，综上所述，满足条件的a 的范围是()03,4a a <∈由选项可知：选项ABC 可使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，即满足题意.故选：ABC15．已知函数()()()1e 21xf x a x x =---在(,1)-∞上有两个不同的零点，则实数a 可能取到的值为（）A ．1-B ．14C ．12D ．1【解析】令()0f x =，即()()1e 210xa x x ---=，所以()e 211x x a x -=-，因为函数()f x 在(,1)-∞上有两个不同的零点，设()()e 211x x g x x -=-，则y a =与()y g x =在(,1)-∞上有两个不同的交点，因为()()()()()()()222e 23e 21e 21e 2111x x x xx x x x x g x x x ⎡⎤--+⋅---⎣⎦'==--，令()0g x '=，则10x =，232x =，因为在(,1)-∞上，e 0x >，()210x ->，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()max 01g x g ==，且当0x <时，()0g x >；当1x →时，()g x →-∞，因为y a =与()y g x =在(,1)-∞上有两个不同的交点，所以01a <<，根据选项，符合条件的为B ，C ，故选：BC 三、填空题16．已知函数()2e e xf x x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是___________.【解析】由2e e 0x x a -=，得21e x a x -=.设()21e xg x x -=，则()()1e 2xg x x x -'=-.当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,2x ∈时，()0g x '>，当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,2上单调递增，在区间()2,+∞上单调递减，又()()400,2eg g ==，故函数()21e xg x x -=的图象如图所示：故当40e a <<时，函数()2e e xf x a =-有三个零点，即40,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.17．已知函数(2),1()ln(1)2,1x x x f x x x x +≤⎧=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是______________.【解析】因为函数()()g x f x a =-有四个零点，所以方程()()0g x f x a =-=有4个不同的解，所以函数()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，①当1x >时，()ln(1)2f x x x =--+，则1112()1111x xf x x x x -+-'=-==---，当12x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)上递增，在(2,)+∞上递减，所以当1x >时，()f x 有最大值(2)ln1220f =-+=，当1x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞②当1x ≤时，2()(2)(1)1f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 有最小值1-所以()f x 的图象如图所示由图可知，当10a -<<时，函数()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，所以实数a 的取值范围是(1,0)-18．已知函数()()e sin 0xf x a x x =->有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【解析】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =->>有两个零点，所以方程()e sin 00,0xa x x a -=>>有两个根，所以()2,2Nx k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x-'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x -=，化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9((44g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有两个交点，944a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =->()0a >有两个零点，故答案为：944e e )ππ．19．若函数()ln e 1xf x x ax =--+不存在零点，则实数a 的取值范围是______.【解析】因为函数()ln e 1xf x x ax =--+不存在零点，所以方程ln e 10x x ax --+=无实数根，所以方程ln e ln e xx ax -+=无实数根，即方程ln e 1x x a x-+=无实数根，故令()()'2ln e 1e e ln ,x x x x x xg x g x x x -+-+-==，令()e e ln ,0x x h x x x x =-+->，故()'1e 0xh x x x=--<恒成立，所以，()h x 在()0,∞+上单调递减，由于()10h =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，即()'0g x >，当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()'0g x <，所以函数()g x 在()0,1x ∈上单调递增，在()1,x ∈+∞上单调递减，所以()()max 11e g x g ==-，所以，当方程ln e 1x x a x-+=无实数根时，1e a >-即可.所以，实数a 的取值范围是()1e,+-∞四、解答题20．已知函数()ln 1xf x m x =-+．(1)求()f x 的导函数；(2)若()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求m 的取值范围．【解析】(1)因为()ln 1xf x m x =-+，所以()()()()221111l ln 1n 1x x x x x f x x x ++-'==++-(2)由（1）知()()211ln 1x x f x x +-'=+，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ln 0x -≥，所以()()211ln 01x x f x x +-'=>+，从而()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 12ln 223f x f m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，()()max 1f x f m ==-．因为()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，所以02ln203m m -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得2ln 203m -≤≤．21．已知函数()ln R kf x x k k x=--∈，(1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e)内无零点，求k 的取值范围．【解析】(1)()ln k f x x k k R x =--∈ ，，(1,e)x ∈，221()k x k f x x x x+'∴=--=-（Ⅰ）当1k -≤，即1k ≥-时，10x k x +≥->()0f x '∴<，()f x ∴在(1,e)单调递减（Ⅱ）当e k -≥，即e k ≤-时，e 0x k x +≤-<()0f x '∴>，()f x ∴在(1,e)单调递增（Ⅲ）当1e k <-<，即e 1k -<<时，当1x k <<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当e k x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，（Ⅰ）当1k ≥-时，()f x 在(1,e)单调递减（Ⅱ）当e k ≤-时，()f x 在(1,e)单调递增（Ⅲ）当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减(2)由（1）知：当1k ≥-时，()()10f x f <=即()0f x <，()f x ∴在(1,e)无零点，当e k ≤-时，()(1)0f x f >=即()0f x >，()f x ∴在(1,e)无零点当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减()(1)0,(1,)f x f x k ∴>=∈-，()(e)1,(,e)ekf x f k x k >=--∈-∴只需(e)10e k f k =--≥即可，即1(11e k -≤-，1e11e 1ek ∴≤=--，ee 1ek ∴-<≤-综上所述，e(,][1,)1ek ∈-∞-+∞- 22．已知函数()3226185=--+f x x x x .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()g x f x a =+至多有两个零点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)依题意：()()()261218631'=--=-+f x x x x x ，故当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，当()1,3x ∈-时，()0f x '<，当()3,x ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(),1-∞-，()3,+∞，单调减区间为()1,3-；(2)令()0g x =，得()a f x -=.∵()115f -=，()349=-f ，结合f (x )单调性，作出f (x )图像：。
利用导数研究函数零点
利用导数研究函数零点函数的零点是指函数曲线与x轴相交的点，即函数值等于0的点。
研究函数的零点可以通过利用导数的性质和方法来进行。
一、定义导数导数是描述函数变化率的概念，可以理解为函数在其中一点的瞬时变化速率。
对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)，也可以表示为dy/dx的形式。
二、零点的定义函数的零点是指函数在其中一点上的函数值等于0的点。
即对于函数y=f(x)，当f(x)=0时，x称为函数的零点。
三、导数与零点的关系1.导数与函数增减性：当函数在其中一区间内导数的值为正时，函数在该区间上是递增的；当导数的值为负时，函数在该区间上是递减的。
2.导数与函数极值：若函数在其中一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点（极大值或极小值）。
但需要注意的是，导数为0只是一个充分条件，并不是必要条件。
3.导数与函数的单调性：如果函数在其中一区间上的导数恒为正（负），则函数在该区间上是严格递增（递减）的。
当导数取值恢复为0时，函数可能出现极值。
4.导数与函数的凹凸性：函数的凹凸性与导数的二阶导数（也称为函数的二阶导数）有关。
若函数的二阶导数大于0，则函数在该区间上是凹函数；若二阶导数小于0，则函数在该区间上是凸函数。
四、利用导数研究函数零点的方法1.函数增减性分析法：a.求出函数的导数；b.确定导数的符号表；c.根据导数的符号表，确定函数的增减区间；d.根据函数的增减区间，找出函数的零点。
2.函数极值分析法：a.求出函数的导数；b.求导函数的导数（二阶导数）；c.解一阶导数等于0的方程，得到一阶导数等于0的点；d.利用二阶导数的符号表，确定这些点是极大值点还是极小值点；e.确定这些点是否是函数的零点。
3.函数凹凸性分析法：a.求出函数的导数；b.求导函数的导数（二阶导数）；c.解二阶导数等于0的方程，得到二阶导数等于0的点；d.利用二阶导数的符号表，确定这些点是函数的凹点还是凸点；e.确定这些点是否是函数的零点。
应用导数研究函数的零点与极值问题
出
,
x1 =g(
t)
将 x1 ,
x2 表示 为t 的 函 数 再 予
,
x2 =h(
t)
以证明。
以上例题主要考查 不 等 式 恒 成 立 时 求 参
数范围、证 明 函 数 不 等 式、求 函 数 最 值 等 问
e)
=e -2
b,设 h (
b)=e -2
b,
b∈ (
1,
g(
恒成立时求参数的取值范围问题,
可用带参讨
上单调 递 增,
+∞ )
h(
b)>h(
1)=e-2>0,
零 点 时 a 的 取 值 范 围。 第 (
2)题 是 在 不 等 式
论法。变形构造适当的函数至关重要,
直接构
造函数 F(
x)
=g(
x)
-f(
x)求 导 予 以 研 究 难
1
]
度大,
而构造函数 F(
则
x)
= [
x)
-f(
x)
g(
x
难度骤减。在 对 F(
需 对a 的
x)二 次 求 导 后,
取值进行 二 级 分 类 讨 论,
先 分 a>0 与 a≤0;
再分 F
'(
1)
≥0 与 F
'(
1)
<0 予以讨论。
求含参函数的零点个数
2.
例 2
(
。
a≠0)
x)存 在 两 个 零 点 x1 ,
2
,
+∞ 。
3
评注:
第(
1)题 用 分 离 参 数 法,讨 论 方 程
利用导数研究函数零点(完美总结)
利用导数研究含参函数零点问题利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：（1）利用导数研究函数()f x 的最（极）值，转化为函数()f x 图像与x 轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；（2）分离参变量，即由()0f x =分离参变量，得()a g x =，研究y a =与()y g x =图像交点问题。
例1．已知函数()()11ln x f x a e x a a=-+-（0a >且1a ≠），e 为自然对数的底数． （Ⅰ）当a e =时，求函数()y f x =在区间[]0,2x ∈上的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 只有一个零点，求a 的值．变1：设函数()21ln 2f x x m x =-， ()()21g x x m x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图像的交点个数．例2.(2014年湖北卷)已知函数()21ln 2f x x ax =-（a R ∈）. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数.变2：（2017年全国卷1）已知函数2()(2)x x f x a ea e x =⋅+-⋅-（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.练习1．（2018年全国卷2）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．2.(2018年福建联考)已知函数21()(1)2x f x x e ax =--（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.3.（2019年衡水联考金卷）已知函数2()(3)(2)x f x x e a x =-+-，其中e 为自然对数的底数，a R ∈；（1）若()f x 恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0,1a x >≥时，求证：()9x x e f x e x e ⋅>⋅-.（参考数据：27.389e ≈）4. （2016年新课标1卷）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点，（1）求a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.作业：1. 设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)e x－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．2. 函数f(x)＝x3－kx，其中实数k为常数．(1)当k＝4时，求函数的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝k只有一个交点，求实数k的取值范围．3. 已知函数f(x)＝ (a<0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．4. 已知函数f(x)＝(x ＋a)e x ，其中e 是自然对数的底数，a∈R .(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x －a)－x 2的零点个数，并说明理由．5. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-++. (1) 若1b a =-，讨论()f x 的单调性；(2) 若0a =时函数有两个不同的零点，求实数b 的取值范围.6.（2015年广东卷21第2问）已知函数()ln ()ax f x xe x e a R =+-∈，设1()ln g x x e x =+-,若函数()()y f x y g x ==与的图像有两个不同的交点，求实数a 的取值范围.7.（2019年深圳三模）已知函数()ln(0,0),2x b f x ax a b x =-+>>对于任意的0x >，都有4()()0f x f x +=.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围.。
利用导数研究函数的零点
利用导数研究函数的零点导数是微积分中非常重要的概念之一，它可以用来研究函数的变化率和函数的极值。
在研究函数的零点时，导数也发挥了重要的作用。
首先，我们来了解一下什么是函数的零点。
函数的零点是指函数取值为零的点，也就是函数在该点处与x轴相交。
数学上常用符号x0表示函数的零点，即f(x0)=0。
我们以一个简单的一次函数f(x) = ax + b为例，其中a和b是常数。
如果a不为零，那么 f(x) 就是一个斜率为a的直线，函数的零点可以通过以下方法得到：将f(x) = 0代入函数表达式，得到ax + b = 0，再解方程可以得到x = -b/a，这就是函数的零点。
这个求解过程可以直接求出，不需要借助导数。
但是，对于更加复杂的函数，导数对研究函数的零点提供了一种更为方便和有效的方法。
借助导数，我们可以快速地找到函数的极值点，并进一步确定函数的零点。
首先，我们需要理解导数的几何意义。
导数表示函数在一些点处的切线的斜率，也可以理解为函数在该点处的变化率。
对于函数f(x)，如果在一些点x0处导数为0，那么这意味着在该点，函数的斜率为0，也就是函数的切线与x轴平行。
这样的点叫做函数的驻点。
在研究函数的零点时，我们可以找到函数在哪些地方有驻点。
具体方法是求解函数的导数。
假设函数f(x)在区间[a,b]内连续，且在区间内的每个点都可导，那么我们可以计算出函数在区间内的导数f'(x)。
然后，我们可以通过观察f'(x)的正负性和变化趋势，来确定f(x)在区间[a,b]内是否有零点。
方法如下：1.找到f'(x)=0的点，这些点是函数的驻点。
2.将区间[a,b]划分为若干个小区间，区间的端点是函数的驻点和函数的可导点。
3.在每个小区间内，计算f'(x)的正负性和变化趋势。
如果f'(x)在小区间内从正数变为负数，或者从负数变为正数，则说明函数在该小区间内有一个零点。
4.进一步细分小区间，重复步骤3，直到找到所有的零点。
利用导数研究函数零点问题
利用导数研究函数零点问题f(0)＝0，所以切线方程为y＝－3＋4x；2)将g(x)＝2exf(x)化为g(x)－2exf(x)＝0，即(－x2＋ax－3)ex－2xlnx＝0。
令φ(x)＝(－x2＋ax－3)ex，ψ(x)＝2xlnx，所以φ′(x)＝ex(2－2x＋a)，ψ′(x)＝2lnx＋2。
由φ′(x)＝0，得x＝1，由ψ′(x)＝0，得x＝e－1。
当x＜1时，φ(x)单调递减，当x＞1时，φ(x)单调递增，所以φ(x)在[0，1)和(1，＋∞)上单调递减。
在(－∞，1]和[1，＋∞)上单调递增，ψ(x)在(0，＋∞)上单调递增。
所以当x＜1时，φ(x)＞ψ(x)，当x＞e－1时，φ(x)＜ψ(x)。
所以方程g(x)＝2exf(x)在(0，1)和(e－1，＋∞)上无解，在(1，e－1)上有两个解。
所以a的取值范围为[2，6]。
当$m>1$时，当$0m$时，$F'(x)0$。
因此，函数$F(x)$在区间$(0,1)$和$(m,+\infty)$上单调递减，在区间$(1,m)$上单调递增。
注意到$F(1)=m$，$F(2m+2)=-m\ln(2m+2)$，因此$F(x)$有唯一零点。
综上，函数$F(x)$有唯一零点，即两函数图像只有一个交点。
1) 针对函数的零点问题，我们可以利用导数确定函数的单调区间和极值点，通过求解函数在给定区间的极值和端点的函数值，来确定参数的取值范围。
2) 解决这类问题的关键在于将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的作用，运用转化和化归的思想方法。
1) 确定零点的个数问题：我们可以利用数形结合的方法来判断交点个数。
如果函数比较复杂，可以结合导数知识确定极值点和单调区间，从而确定其大致图像。
2) 方程是否有解问题就是判断是否存在零点的问题。
我们可以通过分离变量，将其转化为求函数值域的问题来处理。
可以通过构造函数$g(x)$的方法，将问题转化为研究构造的函数$g(x)$的零点问题。
利用导数研究函数零点问题教案(2019年13日)
利用导数研究函数零点问题武胜中学 李开勇学习内容分析：导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数的单调性、最值等问题最一般、最有效的工具，对我们描绘函数的图像带来极大的方便，高考对导数的考查重在导数的应用，如求函数的单调区间、极值最值、解决实际问题以及不等式的结合。
而利用导数对函数性质的研究有利于我们解决函数的零点问题。
近几年高考也出现了函数零点问题或者可转化为函数零点问题的题目，《考点一》利用最值(极值)判断零点个数已知函数f (x )＝－12ax 2＋(1＋a )x －ln x (a ∈R)． 当a ＝0时，设函数g (x )＝xf (x )－k (x ＋2)＋2.若函数g (x )在区间[12，＋∞)上有两个零点，求实数k 的取值范围．【解】)g (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在x ∈[12，＋∞)上有两个零点，即关于x 的方程k ＝x 2－x ln x ＋2x ＋2在x ∈[12，＋∞)上有两个不相等的实数根． 令函数h (x )＝x 2－x ln x ＋2x ＋2，x ∈[12，＋∞)，则h ′(x )＝x 2＋3x －2ln x －4(x ＋2)2， 令函数p (x )＝x 2＋3x －2ln x －4，x ∈[12，＋∞)． 则p ′(x )＝(2x －1)(x ＋2)x 在[12，＋∞)上有p ′(x )≥0， 故p (x )在[12，＋∞)上单调递增． 因为p (1)＝0，所以当x ∈[12，1)时，有p (x )＜0，即h ′(x )＜0，所以h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，有p (x )＞0，即h ′(x )＞0，所以h (x )单调递增．因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝910＋ln 25，h (1)＝1，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，910＋ln 25.利用函数的极值(最值)判断函数零点个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围．《考点二》数形结合法研究零点问题[典例引领]已知f (x )＝ax 2(a ∈R)，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围．【解】 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，所以F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x ＞0)． ①当a ＞0时，由ax 2－1＞0，得x ＞1a， 由ax 2－1＜0，得0＜x ＜1a ， 故当a ＞0时，F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减． ②当a ≤0时，F ′(x )＜0(x ＞0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln x x 2在区间[2，e]上有两个不等解． 令φ(x )＝2ln x x 2，由φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4易知，φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数， 则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2，φ(2)＝ln 22. 由φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝ln e 4－ln 2e 22e 2＜ln 81－ln 272e 2＜0，所以φ(e)＜φ(2)．所以φ(x )min ＝φ(e)，如图可知φ(x )＝a 有两个不相等的解时，需ln 22≤a ＜1e. 即f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不相等的解时a 的取值范围为[ln 22，1e)． 《考点三》构造函数法研究零点问题[典例引领]设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 （1） 求函数()f x 的单调区间；（2） 试确定a 的取值范围，讨论12=a x x 解的个数。
利用导数研究函数零点问题
利用导数研究函数零点问题1．已知函数f (x )＝kx －ln x (k >0)．(1)若k ＝1，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )有且只有一个零点，求实数k 的值．解：(1)若k ＝1，则f (x )＝x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1－1x， 由f ′(x )>0，得x >1；由f ′(x )<0，得0<x <1，∴f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)法一：由题意知，方程kx －ln x ＝0仅有一个实根，由kx －ln x ＝0，得k ＝ln x x(x >0)． 令g (x )＝ln x x (x >0)，则g ′(x )＝1－ln x x 2， 当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0.∴g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝1e. 当x →＋∞时，g (x )→0.又∵k >0，∴要使f (x )仅有一个零点，则k ＝1e. 法二：f (x )＝kx －ln x ，f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x(x >0，k >0)． 当0<x <1k 时，f ′(x )<0；当x >1k时，f ′(x )>0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1k 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1k ＝1－ln 1k， ∵f (x )有且只有一个零点，∴1－ln 1k ＝0，即k ＝1e. 法三：∵k >0，∴函数f (x )有且只有一个零点等价于直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，设切点为(x 0，y 0)，由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1x 0，y 0＝kx 0，y 0＝ln x 0，∴k ＝1e ，∴实数k 的值为1e.2．已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax ＋b .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝ax 恰有两个不同的交点，求实数b 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3＋x 2－x ＋b ，则f ′(x )＝3x 2＋2x －1，由f ′(x )>0，得x <－1或x >13，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎫13，＋∞. (2)函数f (x )的图象与直线y ＝ax 恰有两个不同的交点，等价于f (x )－ax ＝0有两个不等的实根．令g (x )＝f (x )－ax ＝x 3＋x 2＋b ，则g ′(x )＝3x 2＋2x .由g ′(x )>0，得x <－23或x >0； 由g ′(x )<0，得－23<x <0. 所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－23，0上单调递减． 所以当x ＝－23时，函数g (x )取得极大值g ⎝⎛⎭⎫－23＝427＋b ；当x ＝0时，函数g (x )取得极小值为g (0)＝b .要满足题意，则需g ⎝⎛⎭⎫－23＝427＋b ＝0或g (0)＝b ＝0， 所以b ＝－427或b ＝0. 3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)讨论g (x )＝f (x )·⎝⎛⎭⎫x －12在区间[0,1]上零点的个数． 解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a >0时，令f ′(x )<0，得x <ln a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)令g (x )＝0，得f (x )＝0或x ＝12， 先考虑f (x )在区间[0,1]上的零点个数，①当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增且f (0)＝0，∴f (x )在[0,1]上有一个零点．②当a ≥e 时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，∴f (x )在[0,1]上有一个零点．③当1<a <e 时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a,1)上单调递增．而f (1)＝e －a －1，当e －a －1≥0，即1<a ≤e －1时，f (x )在[0,1]上有两个零点； 当e －a －1<0，即e －1<a <e 时，f (x )在[0,1]上有一个零点．再考虑x ＝12时，由f ⎝⎛⎭⎫12＝0，得a ＝2(e －1)． 综上所述，当a ≤1或a >e －1或a ＝2(e －1)时，g (x )在[0,1]上有两个零点； 当1<a ≤e －1且a ≠2(e －1)时，g (x )在[0,1]上有三个零点．4．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，g (x )＝x e x －2. (1)求函数f (x )的极值；(2)若对任意给定的x 0∈(0，e]，方程f (x )＝g (x 0)在(0，e]上总有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝(2x ＋1)(－ax ＋1)x(x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <1a； 令f ′(x )<0，得x >1a. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，∴f (x )存在极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋1a－1，无极小值． 综上所述，当a ≤0时，f (x )无极值；当a >0时，f (x )存在极大值，极大值为ln 1a ＋1a－1，无极小值． (2)g (x )＝x e x －2，g ′(x )＝1－x e x ， 令g ′(x )>0，得x <1；令g ′(x )<0，得x >1.则g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∵g (0)＝－2，g (1)＝1e －2，g (e)＝e e e －2>－2， ∴当x ∈(0，e]时，g (x )∈⎝⎛⎦⎤－2，1e －2. 由(1)得，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时在(0，e]上f (x )＝g (x 0)总有两个不相等的实数根不成立，因此a >0.当a >0时，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<1a <e ，f ⎝⎛⎭⎫1a >g (x )max ，f (e )≤－2，由f (e)＝1－a e 2＋2e －e a ≤－2，得a ≥3＋2e e 2＋e， 由f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋1a －1>1e－2， 即ln a －1a ＋1e <1，令h (x )＝ln x －1x ＋1e(x >0)， 易知h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (e)＝1，∴ln a －1a ＋1e<1，得a ∈(0，e)． 综上所述，3＋2e e 2＋e≤a <e ， 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋2e e 2＋e ，e .。
利用导数研究函数零点(完美总结)
利用导数研究含参函数零点问题利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：（1）利用导数研究函数 f （ x ）的最（极）值，转化为函数 f （x ） 图像与 x 轴的交点问题，主 要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题； （2）分离参变量， 即由 f （x ） 0分离参变量， 得 a g （x ），研究 y a 与 y g （x ）图像交 点问题。
x1例 1．已知函数 f x a x e x 1 lna （ a 0且 a 1）， e 为自然对数的底数．a （Ⅰ）当 a e 时，求函数 y f x 在区间 x 0,2 上的最大值；（Ⅱ）若函数 f x 只有一个零点，求 a 的值．Ⅰ）求函数 f x 的单调区间；Ⅱ）当 m 0 时，讨论函数 f x 与 g x 图像的交点个数．例 2.（2014 年湖北卷 ）已知函数 f x lnx 1ax 2（ a R ）变 1：设函数1 x2 mln x ， 2 gx x 2 m 1 x ．2（1）求函数f x 的单调区间；（2）讨论函数f x 在区间1,e2上零点的个数.变2：（2017 年全国卷1）已知函数f （x） a e2x（a 2） e x x （1）讨论f （ x）的单调性；（2）若f （x）有两个零点，求 a 的取值范围.练习1．( 2018 年全国卷2)已知函数 f (x) e x ax2．(1)若 a 1 ，证明：当x≥0时， f (x)≥1； (2)若f(x)在(0, )只有一个零点，求a．12.(2018 年福建联考)已知函数f (x) (x 1)e x ax22 ( 1)讨论f ( x) 的单调性；( 2)若f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围.3. ( 2019年衡水联考金卷)已知函数f (x) (x 3)e x a(x 2) 2，其中e为自然对数的底数，a R ；(1)若f ( x)恰有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)当a 0,x 1时，求证：e x f (x) e x 9e x. (参考数据：e2 7.389 )(x 2)e x a(x 1)2有两个零点，4. (2016 年新课标1卷)已知函数f(x)1)求a 的取值范围；2)设x1,x2是f (x)的两个零点，证明：x1 x2 2.作业：2x1. 设 a>1，函数 f(x) ＝(1＋x )e －a.(1) 求 f(x) 的单调区间；(2) 证明： f(x) 在( －∞，＋∞ )上仅有一个零点．k 为常数．(1) 当 k ＝4 时，求函数的单调区间；(2) 若曲线 y ＝ f(x) 与直线 y ＝k 只有一个交点，求实数 (1) 当 a ＝－ 1 时，求函数 f(x) 的极值；(2) 若函数 F(x) ＝f(x) ＋1 没有零点，求实数 a 的取值范围．3. 已知函数 f(x) (a<0)k 的取值范围． 2. 函数 f(x) 其中实数4. 已知函数f(x) ＝(x ＋a)e x，其中 e 是自然对数的底数，a∈R.(1) 求函数f(x) 的单调区间；(2) 当a<1 时，试确定函数g(x) ＝f(x －a) －x2的零点个数，并说明理由．125. 已知函数f (x) ln x ax2bx.2(1) 若b 1 a ，讨论f (x) 的单调性；(2) 若a 0时函数有两个不同的零点，求实数b 的取值范围ax 16(. 2015年广东卷21第2问)已知函数f(x) xe ax lnx e(a R)，设g(x) ln x e,x若函数y f (x)与y g( x)的图像有两个不同的交点，求实数 a 的取值范围.xb7. ( 2019 年深圳三模)已知函数f(x) ln ax (a 0,b 0),对于任意的x 0，都2x4 有f (x) f( ) 0.x(1)讨论f (x) 的单调性；2)当f ( x)存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围。
导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法(原卷版)
导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法一、函数零点问题常规求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x 轴（或y=k）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数。
二、利用导数确定函数零点的常用方法1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
三、利用函数的零点求参数范围的方法1、分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a 与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
四、导函数的零点不可直接求时的应对策略1、“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循一下原则：①当含有ln x 的函数中，通常选取k x e =，特别的，选当0k =时，1x =来试探；②在含有x e 的函数中，通常选取ln x k =，特别的，选取当1k =时，0x =来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决。
2、“虚设和代换法”：当导函数()f x '的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为0x ，接下来通常有两个方向：①由0()0f x '=得到一个关于0x 的方程，再将这个关于0x 的方程的整体或局部代入0()f x ，从而求得0()f x ，然后解决相关的问题；②根据导函数()f x '的单调性，得出0x 两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。
导数在研究函数零点中的运用
导数在研究函数零点问题中的运用导数是研究函数图像和性质的有力工具，利用导数可以确定函数的单调性、极值，描绘出函数的图象，而借助函数的图象，则可判断函数的零点个数（方程的根）；把函数的“零点存在性定理”与函数的单调性有机的结合在一起，则可说明或证明函数零点的存在性和唯一性。
下面就谈谈导数在研究函数零点问题中的一些运用。
一、如何运用导数来判断函数的零点个数用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。
例1. 讨论函数32()6910f x x x x a =-+--()a R ∈零点的个数？解：)3)(1(39123)(2/--=+-=x x x x x f令0)(=x f ,得3,121==x x当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：由上表知：()(1)6f x f a ==--极大值 ()(3)10f x f a ==--极小值 下面讨论函数)(x f 的零点个数情况（1）当()100,10f x a a =--><-极小值即时，函数)(x f 有1个零点； （2）当()100,10f x a a =--==-极小值即时，函数)(x f 有2个零点； （3）当()0()0f x f x >⎧⎪⎨<⎪⎩极大值极小值 ，即106a -<<-时， 函数)(x f 有3个零点；（4）当()60f x a =--=极大值，即6a =-时，函数)(x f 有2个零点；（5）当()0()0f x f x <⎧⎪⎨<⎪⎩极大值极小值 ，即6a >-时， 函数)(x f 有1个零点；综上得：当10a <-或6a >-时，函数)(x f 有1个零点；当10a =-或6a =-时，函数)(x f 有2个零点；当106a -<<-时， 函数)(x f 有3个零点；例2.设函数2()x xf x c e=+(e =2.71828是自然对数的底数,c R ∈). 试讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.解：方程ln ()x f x =根的个数等价于方程2ln x x xe c --=根的个数令2()ln x g x x xe -=-，则：222ln (1)()(1)ln (01x x x xe x g x e x x xe x ---⎧->⎪=-=⎨⎪--<<故1x >时，函数()g x 为增函数。
【数学】利用导数研究函数的零点问题讲评课件
答案见解析
【分析】将函数 的零点转个数化为 =
−
与
=
图像交点个
数，利用导数求得 的单调性和极值，进而求得函数 的零点个
数.
【详解】令 = ，得 = − ，
当 = 时， = − 无解，∴ 无零点，
当 ≠
时，
第10讲 利用导数研究函数零点问题
知识点一 讨论函数的零点问题
知识点二 根据函数的零点求参数的取值
知识点一 讨论函数的零点问题
例1
已知函数f x = ex + 2f ′ 0 x − cosx.
(1)求f x 的解析式；
【答案】 = − −
【分析】对函数求导后令 = 可得 ′ = −，即可求得
2e
a =______
【分析】常数分离得
=
= 有唯一的解，求出 的单调性与
极值，由 有且仅有一个零点可得 = .
【详解】当 = 时， = ≥ 恒成立， 在[, ]上无零点.
当 ≠ 时，即有 = = 在[, ]上有且仅有一个解.
即 ′ 在 , +∞ 上单调递增.
又 ′ = −＜， ′ = + − ＞，
根据零点存在定理可知∃ ∈ , ，使得 ′ = .
当��＜＜ 时， ′ ＜，所以 在 , 上单调递减；
当＞ 时， ′ ＞，所以 在 , +∞ 上单调递增.
上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为 、 ，且 ＜ ，
−
由图可知，当 ＜＜ 或 ＜＜时，＞ ，此时，
利用导数研究函数的零点
利用导数研究函数的零点导数是求解函数零点的重要工具之一、对于给定函数，如果我们能够求出函数的导数，就可以通过导数的性质来研究函数的零点，进而求解函数的解析解或者近似解。
首先，让我们回顾导数的定义。
对于函数f(x)，其在其中一点x处的导数f'(x)定义为：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h根据导数的定义，我们可以得到一些重要的性质。
第一，如果函数在其中一点x处的导数f'(x)等于零，则在该点上函数的值f(x)达到一个极值。
这是因为导数表示了函数的变化率，当导数等于零时，说明函数在该点附近的变化率变得非常小，可能是一个极大值或一个极小值。
第二，如果函数在其中一点x处的导数不存在，则在该点上可能存在一个间断点或者一个垂直渐近线。
这是因为导数表示了函数的变化率，当导数不存在时，说明函数在该点不可导，也就是说函数在该点有一个间断或者是一个垂直渐近线。
根据这些性质，我们可以通过导数来研究函数的零点。
首先，我们需要找到函数的导函数。
导函数是指原函数求导后得到的新函数。
它可以用来描述原函数的斜率函数。
对于一些基本函数，我们可以通过已知的求导法则来求导，例如，对于常数函数 f(x) = c，其导数f'(x) = 0；对于幂函数 f(x) = x^n，其导数 f'(x) = nx^(n-1)；对于指数函数 f(x) = a^x，其导数 f'(x) = ln(a) * a^x；对于对数函数f(x) = log_a(x)，其导数 f'(x) = 1 / (x * ln(a))等等。
然后，我们可以利用导数的零点来确定函数的零点。
一个函数的零点定义为函数的取值为零的点，即f(x)=0的点。
根据第一性质，我们可以找到函数在导数为零的点上的极值点。
通过计算导数等于零的方程，我们可以得到这些极值点，然后将其带入原函数，就可以得到函数的零点。
导数研究函数零点问题
利用导数钻研圆程的根之阳早格格创做函数与x 轴即圆程根的个数问题解题步调第一步：绘出二个图像即“脱线图”（即解导数不等式）战“趋势图”即三次函数的大概趋势“是先删后减再删”仍旧“先减后删再减”； 第二步：由趋势图分离接面个数或者根的个数写不等式（组）；主要瞅极大值战极小值与0的闭系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,xf x x =∈R .(Ⅰ) 供f(x)的反函数的图象上图象上面(1,0)处的切线圆程; (Ⅱ) 说明: 直线y = f (x) 与直线2112y x x=++有唯一大众面.【问案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过面(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'==⇒=k .过面(1,0)的切线圆程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 说明直线y=f(x)与直线1212++=x x y 有唯一大众面,历程如下.0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数果此,所以,直线y=f(x)与直线1212++=x x y 惟有唯一大众面(0,1).(证毕)2、已知函数()1x af x x e=-+(a R ∈,e 为自然对于数的底数). (1)供函数()f x 的极值;(2)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与直线()y f x =不大众面,供k 的最大值.(1)()1x a f x e'=-,①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的删函数,所以函数()f x 无极值.②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 正在(),ln a -∞上单调递减,正在()ln ,a +∞上单调递加,故()f x 正在ln x a =处博得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 正在ln x a =处博得极小值ln a ,无极大值. (2)当1a =时,()11x f x x e=-+.直线l :1y kx =-与直线()y f x =不大众面, 等价于闭于x 的圆程111xkx x e -=-+正在R 上不真数解,即闭于x 的圆程: ()11xk x e -=(*)正在R 上不真数解.①当1k =时,圆程(*)可化为10xe =,正在R 上不真数解. ②当1k ≠时,圆程(*)化为11x xe k =-. 令()x g x xe =,则有()()1x g x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,当x 变更时,()g x '的变更情况如下表:当1x =-时,()min 1g x e=-,共时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞,进而()g x 的与值范畴为1,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,圆程(*)无真数解,解得k 的与值范畴是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.3、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 正在区间),2(+∞上为删函数．（1） 供真数k 的与值范畴；（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个分歧的接面，供真数k 的与值范畴．解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-='∵)(x f 正在区间),2(+∞上为删函数，∴0)1()(2>+-='x k x x f 正在区间),2(+∞上恒创造即x k <+1恒创造，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的与值范畴为1≤k（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， 令0)(='x h 得k x =或者1=x 由（1）知1≤k ，①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 正在R 上递加，隐然分歧题意… ②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变更情况如下表：由于02<，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个分歧的接面，即圆程0)(=x h 有三个分歧的真根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k 综上，所供k 的与值范畴为31-<k4、已知函数()()ln ()x f x e a a =+为常数是真数集R 上的偶函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[一1，1]上的减函数．(I)供a 的值；(II) 若()21g x t t λ≤++正在x ∈[一1，1]上恒创造，供t 的与值范畴．(Ⅲ)计划闭于x 的圆程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数.解：（I ）)ln()(a e x f x +=是偶函数，则(0)0f =恒创造.0ln()0.e a ∴+=01,0.e a a ∴+=∴=（II ）又)(x g 正在[－1，1]上单调递减，,1sin )1()(max --=-=∴λg x g ,11sin 2++≤--∴t t λλ只需.)1(011sin )1(2恒成立其中-≤≥++++∴λλt t 令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h则⎩⎨⎧≥+++--≤+,011sin 1012t t t ,01sin 01sin 122恒成立而≥+-⎩⎨⎧≥+--≤∴t t t t t 1-≤∴t . （III ）由（I ）知,2ln ,)(2m ex x xx x x f +-=∴=方程为 令m ex x x f xx x f +-==2)(,ln )(221，21ln 1)(xxx f -=' ，当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为删函数；),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数，当e x =时，.1)()(1max 1ee f x f ==而222)()(e m e x x f -+-=，)(1x f 函数∴、)(2x f 正在共一坐标系的大概图象如图所示，∴①当ee m ee m 1,122+>>-即时，圆程无解. ②当ee m ee m 1,122+==-即时，圆程有一个根.③当ee m ee m 1,122+<<-即时，圆程有二个根.5、.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且正在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）供函数f(x)的剖析式；(2)推断函数f(x)正在（0，π）内的整面个数，并加以说明.（I ）33()sin 22f x ax x π-=-≤正在]2,0[π上恒创造，且能与到等号()sin 2g x x x aπ⇔=≤正在]2,0[π上恒创造，且能与到等号()sin cos 0()g x x x x y g x '=+>⇒=正在]2,0[π上单调递加（II ）3()sin ()()sin cos 2f x x x h x f x x x x '=-⇒==+①当x ∈]2,0[π时，()0()f x y f x '≥⇒=正在(0,]2π上单调递加33(0)()0()222f f y f x ππ-=-⨯<⇒=正在(0,]2π上有唯一整面②当x ∈[,]2ππ时，()2cos sin 0()h x x x x f x ''=-<⇒当x ∈[,]2ππ上单调递减2()()022f f πππ'=-<⇒存留唯一0(,)2x ππ∈使0()0f x '=得：()f x 正在0[,)2x π上单调递加，0(,]x π上单调递减得：x ∈0[,]2x π时，()0f x >，x ∈0[,]x π时，0()()0f x f π<，()y f x =正在0[,]x π上有唯一整面由①②得：函数)(x f 正在),0(π内有二个整面.6、已知函数32()f x ax bx cx =++正在面0x 处博得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的与值范畴为(1,3)，供：（1）()f x 的剖析式；（2）若过面(1,)P m -可做直线()y f x =的三条切线，供真数m 的与值范畴． 解：（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<∴正在(,1)-∞上'()0f x <；正在(1,3)上'()0f x >；正在(3,)+∞上'()0f x <果此()f x 正在01x =处博得极小值4-∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③由①②③联坐得：169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴32()69f x x x x =-+-（2）设切面Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=-22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=，供得：1,2t t =-=，圆程()0g t =有三个根.需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩1611m m <⎧⇒⎨>-⎩故：1116m -<<；果此所供真数m 的范畴为：(11,16)-7、已知32()4f x x ax x =--（a 为常数）正在2x =时博得一个极值， （1）决定真数t 的与值范畴，使函数()f x 正在区间[,2]t 上是单调函数； （2）若通过面A （2，c ）（8c ≠-）可做直线()y f x =的三条切线，供c 的与值范畴． 解：（1）∵函数()f x 正在2x =时博得一个极值，且2()324f x x ax '=--，(2)12440f a '∴=--=，2a ∴=2()344(32)(2)f x x x x x '∴=--=+-．23x ∴=-或者2x =时，2()0,3f x x '=<-或者2x >时，2()0,23f x x '>-<<时，()0f x '<，()f x ∴正在2(,],[2,)3-∞-+∞上皆是删函数，正在2[,2]3-上是减函数．∴使()f x 正在区间[,2]t 上是单调函数的t 的与值范畴是2[,2)3- （2）由（1）知32()24f x x x x =--．设切面为00(,)P x y ，则切线的斜率2000()344k f x x x '==--，所以切线圆程为：322000000(24)(344)()y x x x x x x x ---=---．将面(2,)A c 代人上述圆程，整治得：3200028880x x x c +++=-．∵通过面(2,)(8)A c c ≠-可做直线()y f x =的三条切线，∴圆程3200028880x x x c -++-=有三个分歧的真根．设320000()2888g x x x x c =--++，则2000002()6168023g x x x x x '=-+=⇒==或，0()g x 正在2(,)3-∞上单调递加，正在2(,2)3上单调递减，正在(2,)+∞上单调递加， 故2()0,3(2)0,g g g g ⎧=>⎪⎨⎪=<⎩极大极小得：280827c -<<-．。
导数研究函数零点问题
利用导数研究方程的根函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'==⇒=k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 有唯一公共点,过程如下.0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数 因此,所以,曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x af x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值; (2)当1a=的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.(1)()1x a f x e'=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值.(2)当1a=时,()11x f x x e=-+. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111x kx x e-=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e-=(*)在R 上没有实数解.①当1k=时,方程(*)可化为10x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-.令()x gx xe =,则有()()1x g x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()gx 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -.综上,得k 的最大值为1. 3、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1） 求实数k 的取值范围；（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立即x k<+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：由于02<，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k 综上，所求k 的取值范围为31-<k4、 已知函数()()ln ()x f x e a a =+为常数是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[一1，1]上的减函数． (I)求a 的值； (II) 若()21gx t t λ≤++在x ∈[一1，1]上恒成立，求t 的取值范围． (Ⅲ) 讨论关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数。
利用导数研究函数零点
思维升华
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问 题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号 (或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数. (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导 数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间 上零点的个数.
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(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 解 y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋ 1的图象有两个不同的交点. 由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 故f(x)min＝f(1)＝－1. 由题意得，m＋1>－1， 即m>－2，① 当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.
利用导数研究函数零点
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1.解决函数y＝f(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展 趋势，观察图象与x轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零 点是否存在及零点的个数等.
2.通过等价变形，可将“函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点”与“方程f(x)＝g(x)的解” 相互转化.
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当x>0且x→0时，f(x)→0； 当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞. 由图象可知，m＋1<0， 即m<－1，② 由①②可得－2<m<－1. 所以m的取值范围是(－2，－1).
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思维升华
与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点， 并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进 而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问 题.
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当 x∈(0 , x0)，h(x)<0,f´(x)<0,f(x)递减
当 x∈(x0,+∞)，h(x)>0,f´(x)>0,f(x)递增 ∴x0 是 f(x)唯一的极值点，且是极小值点
f(x)min=f(x0)=x0ex0－lnx0－x0－2 =1－lne-x0－x0－2= -1
隐零点小结： S1：先求导，用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，由 并结合单调性得到零点的大致范围；
S2：以零点为分界点，说明导函数的正负，原来函数的增减性， 进而得到函数的极值；
S3：将零点方程适当变设而不求形，整体代入最值式子；将超越 式化为常见函数形式；
利用导数研究零点问题
[基础知识回顾] 1．函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的 零点． 2．函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零 点，即存在 x0∈(a，b)，使得 f(x0)＝0，这个 x0 也就是方程 f(x) ＝0 的根．
4 【2019 年全国Ⅱ卷 21 题】已知函数 f(x)=(x－1)lnx－x－1.证明： （1）f(x)存在唯一的极值点； （2）f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
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f x = x(ax - a - lnx)，则f(x) 0等价于ax - a - lnx 0， a=1
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图象
与 x 轴的交点 (x1,0)，(x2,0)
零点个数
2
(x1,0) 1
无交点 0
4x)的图象与 x 轴有交点⇔
函数 y＝f(x)有零点．
利用导数研究函数零点或方程根的方法
所以x=x0是f(x)的唯一极大值点，f(x0)=(x0)2－x0－x0lnx0 =(x0)2－x0－x0(2x0－2)=－(x0)2+x0<
6 已知函数 f (x)＝xex－lnx－x－2， 求证：函数 f (x)有且仅有一个极值点．且 f (x)≥－1
【解答】因为 f ´(x)＝(x+1)ex－x+1=x+1(xex－1) xx
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判 断函数图象走势，画出草图数形结合从而判断零点个数或者通过零点个 数求参数范围.
(2)构造函数法研究函数零点
根据条件构造函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据 函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，结合零点存在定 理从而求解.
例22：已知函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的 零点，求实数a的值
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定义域为（0,+∞）所以 f ′(x)＝2lnx＋2x-1－1=2lnx－1+1
x
x
由 lnx 和－1x均为（0,+∞）上的增函数，
则 f´(x)为（0,+∞）上的增函数
∵f ′(1)＝2ln1－1+1=0
x∈（0,1）时，f ´(x)<0, f (x)减；x∈（1,+∞）时，f ´(x)>0, f (x)增
f (x)min=f (1)= -1
所以由零点存在性定理知，函数 f (x)在区间(0，＋∞)内有且仅有两个零点．
4 【2019 年全国Ⅱ卷 21 题】已知函数 f(x)=(x－1)lnx－x－1.证明： （1）f(x)存在唯一的极值点； （2）f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
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8 已知函数 f (x)＝xlnx－exx，求证：函数 f (x)在区间(1， ＋∞)内有且仅有一个零点．
【解答】因为 f (x)＝xlnx－exx， 所以f ′(x)＝lnx＋1＋(x－1)e－x， 当x>1时，f ′(x)＞0，故f (x)在(1，＋∞)上单调递增， 而 f (1)＝－1e＜0，f (2)＝ln4－e22＞0， 所以由零点存在性定理知， 必存在唯一x0∈(1,2)⊂(1，＋∞)，使得f (x0)＝0， 即函数 f (x)在区间(1，＋∞)内有且仅有一个零点．