复变函数第7章

方法：分离变量法/傅立叶解法/傅立叶级数法 所得解称为傅立叶解
(7.2) (7.3) (7.4)
分离变量法 求解步骤：
1、分离变量： 2、求解特征值问题 3、求解定解问题
1、分离变量
i）分离变量形式解：设形式解为u(x,t)＝T(t)X(x).
ii) 分离方程：将形式解代入泛定方程(7.2)得 TX = a2TX T X （为一常数） 即 2 a T X
r1 r2 r1 r2 r r i
二阶常系数微分方程的通解：
y C1e r1x C2e r2 x rx rx y C1e C2 xe y e x (C cos x C sin x) 1 2
X X 0 2、求解特征值问题 X (0) X (l ) 0
3、求解定解问题
由叠加原理得，方程(7.2)满足边界条件(7.3)的解为
n at n at n x u ( x, t ) (Cn cos Dn sin )sin l l l n 1

n x ( x) u ( x, 0) Cn sin l n 1 ( x) u ( x, 0) D n a sin n x t n l l n 1
X X 0 故得特征值问题 X (0) X (l ) 0
注：① 的值为该常微分方程边值问题的特征值（或本征值或固有值） ② 相应的非平凡解称为特征函数（或本证函数或固有函数） ③ 求特征值和特征函数的问题称为特征值问题（或本证函数问题或固有函数问题）
补充：
特征值问题是二阶常系数微分方程的求解问题， 所以考虑二阶常微分方程：y"+py'+qy=0的通解. 特征方程：r2+pr+q=0 的根分三种情况：
f n ( x) f n ( x) dx 1 (n 1, 2, ),
则称函数系{fn(x)}为区间[a, b]上的一个标准正交函 数系。
nπt nπt 如： sin (n 1, 2, ), cos (n 0,1, 2, ) l l
均为区间[0, l] (l >0)上的正交函数系
月 琴 吉它 筝
琵 琶
2 数学物理模型的建立 （1）紧拉、柔软、弹性、均匀轻弦：
●静止的弦是一维的，弦上任意一点可用一维坐标来描写；
松驰弦
●有完全恢复形变的能力 ；
紧拉弦
●在其横向可发生位置移动（振动）；
×
不折断 ●质量分布均匀且重力可以忽略。
不变形
弦的质量与弦长成正比，比例常数为线质量密度(M=x, G0).
将上述解代入初始条件(7.4)得，
则
2 l n Cn ( )sin d l 0 l l 2 n D ( )sin d n 0 n a l
n 1, 2,3,
例7.1 求解混合问题
utt u xx (0 x 1, t 0) u(1, t ) 0 (t 0) u (0, t ) 0, u ( x, 0) sin 2 x, u ( x, 0) x(1 x) (0 x 1) t
第一边界条件（狄利克雷边界条件）：
u(0, t ) (t ), u(l , t ) (t )
第二边界条件（诺伊曼边界条件）：
ux (0, t ) (t ), ux (l , t ) (t )
第三边界条件（罗宾边界条件）：
ux (0, t ) hu(0, t ) (t )
Tn (t ) Cn cos n t Dn sin n t
（3）求解定解问题
由叠加原理得，方程满足边界条件的解为:
u ( x, t ) (Cn cos n t Dn sin n t )sin n x
X X 0 于是得到两个常微分方程 2 T a T 0
(7.5) (7.6)
u (0, t ) T (t ) X (0) 0 X (0) 0 iii) 分离边界条件： u (l , t ) T (t ) X (l ) 0 X (l ) 0
于是得到满足方程及边界条件的可分离变量的一系 列特解：
un ( x, t ) Tn (t ) X n ( x) n at n at n x (Cn cos Dn sin )sin l l l
每一个特解un均满足方程和边界条件，但不满足 初始条件。这样方程的完整解就应是各个单解的 迭加。
补二、傅里叶级数
定理 函数 fl(t) 以 l(>0) 为周期，在区间 [-l/2, l/2] 上连续 （或在区间[-l/2, l/2]上满足狄利克雷条件： (1)至多有有限个第一类间断点； (2)至多有限个极值点）， 则 fl(t)在[-l/2, l/2]上可以展成傅里叶级数（三角形式）
a0 2nπt 2nπt fl (t ) (an cos bn sin ), 2 n1 l l
x : T cos T cos 0 ' ' u : T sin T sin F x x utt
' '
（5）一级近似处理： 小振动
1 2 1 4 cos 1 2! 4!
0
cos 1 ' cos 1
X X 0 T T 0
X X 0 故得特征值问题 X (0) X (l ) 0
(2) 求解特征值问题
X X 0 X (0) X (l ) 0
(i) λ0，方程X"+X=0只有平凡解.
l
n x 相应的特征函数为 X n ( x) Bn sin n x Bn sin l 对应每一特征值n, 方程T+a2T=0的的通解为
n at n at Tn (t ) Cn cos n at Dn sin n at Cn cos Dn sin l l
第二节 齐次方程混合问题的傅立叶解
补一、正交函数系 定义 设函数系{fn(x)} (n=1,2,…)中的每个函数都是定 义在区间[a, b]上实变量函数，若

若还满足
b
a
f n ( x) f m ( x) dx 0
(m n),
则称函数系{fn(x)}为区间[a, b]上的正交函数系。

b
a
(ii) >0，二阶常微分方程的通解为X ( x) A cos x B sin x
A B0 0 代入边界条件得： A cos B sin 0 A 0, 2 2 n , n 1, 2,3,
特征值为n = n22, n =1,2,， 相应的特征函数为Xn=Bnsin nx, 其中Bn为任意常数. 对应每一特征值n, 方程T+T=0的的通解为
第七章
学习要求
一维波动方程的傅里叶解
1、理解弦振动方程的建立方法 2、理解边值条件的意义
3、理解初值条件的意义 4、掌握齐次方程混合问题的傅里叶解的解法
5、理解强迫振动方程的解法
第一节 一维波动方程 — 弦振动方程的建立
§7.1.1 弦振动方程的建立
1 实例：用运动方程描述琴、吉它、琵琶、筝等弹奏弦 乐器的运动规律。
2 定解问题：
方程+定解条件（边界条件和初始条件都称为定解条件 ）
(1) 初值问题问题（柯西问题）：方程+初值条件 (2) 边值问题（诺伊曼问题）；方程+边值条件 (3) 混合问题（罗宾问题）：方程+边值条件+初值条件
3 定解问题求解步骤
第一步：找出形式解； 第二步：解的适定性； 第三步：解的物理意义.
（2）小振动弦：弦的振幅与弦长相比很小。
3 振动方程的建立 （1）建立坐标系：
（2）确定分析对象：
在区间(x,
x+x)所对应的微小段弦。
（3）微小段弦的受力分析：
F x
T'
F—单位x坐标 长度所受的力 1、外力； 2、左边弦施 加的弹力；
3、右边弦施 加的弹力
'

T
（4）根据运动定律建立运动方程：
其中
2 l /2 2nπt an fl (t ) cos dt , n 0,1, 2, l l /2 l 2 l /2 2nπt bn fl (t )sin dt , n 1, 2, . l l /2 l
齐次方程混合问题的傅立叶解
utt a 2u xx (0 x l , t 0) (I) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0 (t 0) u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) (0 x l ) t
(ii) =0 二阶常系数微分方程的解为 X(x)=Ax+B.
A B 0 代入边界条件得： Al B 0
解得：A=B=0， X(x) 0. 这时方程X"+X=0只有平凡解.
(iii) > 0 二阶常系数微分方程的解为 X ( x) A cos x B sin x X (0) A B 0 0 代入边界条件得： X (l ) A cos l B sin l 0 A0 l n , n 1, 2,3, 解得： sin l 0 n 2 2 故，特征值为 n 2
解：（1）分离变量 i) 分离变量形式解：设形式解为u(x,t)＝T(t)X(x). ii) 分离方程：将形式解代入方程得TX = TX，即 T X (为一常数) T X
于是得到两个常微分方程
u (0, t ) T (t ) X (0) 0 X (0) 0 iii) 分离边界条件： u (l , t ) T (t ) X (l ) 0 X (l ) 0
二阶常系数微分方程X"+X=0的特征方程为r2+=0.
(i) λ<0
二阶常系数微分方程的通解为
X ( x) Ae
l
x
Be
x
A B 0 代入边界条件得： l Ae Be
解得：A=B=0， X(x) 0.
0
这时方程X"+X=0只有平凡解.
sin
T T
'
1 3 sin 3! 2 3 tan 3!
sin tan
tan
sin tan
u tan x
u sin x
u tan x u x ( x, t ) x ,t tan ' u u x ( x x, t ) x x x ,t
ux ux ( x x, t ) ux ( x, t ) u x x u xx x x
T ' sin ' T sin F x x utt
T uxx x F x x utt
T uxx F utt
Tuxx F utt
令： a
2

T

,f
F

则得到弦的强迫横振动方程 ：
utt a uxx f
2
若f = 0, 则有自由弦振动方程：
utt a uxx
2
§7.1.2. 定解条件的Fra bibliotek出 1 定解条件
(1) 初值（初始）条件：u ( x,0)
(2) 边界（边值）条件：
( x), ut ( x,0) ( x)