系统动力学与动态系统描述-方程

系统动力学与动态系统描述
李旭教授
复旦大学管理学院
从库存系统开始认识SD方程
•对右图的库存系统考虑：
–库存是如何变化的？
–如何进行订货决策？
–如何用数学方法描述？
•库存变化规律：
•销售量的描述：
•决策过程描述：
•辅助计算描述：
方程及其理解
•SD方程的概念：
–SD方程是在流图基础上对系统要素之间的关系定量描述的一组数学关系式；
–SD方程是从一组已知的初始状态开始确定下一组状态的递推关系式；
–SD方程中要有一个恰当的时间间隔，以完成方程的递推；
•SD方程的理解：
–SD方程的实质是微分方程组，由于规模和非线性等原因不能求得解析解，所以只能求其数值解。

即差分化处理后仿真；
–按照上述规则递推就可以得到各个变量随时间变化的曲线。

即系统的变化过程。

SD方程的种类•水平方程(L)
•速率方程(R)
•辅助方程(A)
•常量方程(C)
•初值方程(N)
•为了完成递推计算，需要首先明确三个基本时间参数：时点、区间、差分步长。

•时间参数的描述：
–K ：现在时刻；
–J ：前一个时刻；
–L ：下一个时刻；
–JK ：时刻J 和K 之间的区间；
–KL ：时刻K 和L 之间的区间；
–DT ：差分步长。

SD 方程中的时间描述
J K L t
JK KL DT DT
水平方程（L）
•反映系统状态随时间的变化，是变化对时间的积累。

因此具有固定的形式：
•SD中采用差分方程的形式：
L 方程的理解
•对水平方程的理解：
–水平方程是一个一阶差分方程，具有固定的表现形式；
–水平方程是一个有记忆的量，方程中一定有其前一时刻的状态值；
–水平方程是将决策变成行动，即将速率变量转换成水平量的方程，因此方程中一定含有速率量；
–水平方程是变化对时间的积累，因此方程中一定含有
DT，并且DT 只能出现在水平方程中。

速率方程（R）
观测状态
偏差行动→R 目标状态
•方程原理：
–系统变化的自然规律。

例如，人口的死亡。

–人们控制系统的主观愿望。

例如，订货决策。

•一般形式：
R 方程的理解
•速率方程的实质是自然规律或决策策略，由这些规律或决策策略改变系统的状态；
•速率方程最终是水平变量和常量的函数，但为了更好地描述决策过程或表达清楚，速率方程中经常包括辅助变量；
•速率方程中不出现具有积分意义的差分步长DT。

常见R 方程的形式
•R = Level×Const
–例如：
•R = Level/Life
–例如：
常见R 方程的形式
•R = (Goal-Level)/Adjustment
–例如：
EIR：监禁率；
PC：监狱容量；
ASL：平均服刑期
CR：容量比；
ECTS：容量比对服刑期的影响
ATS：实际服刑时间
•R = Normal×Effect
–例如：
常见R 方程的形式
•R = Normal + Effect
–例如：
＝＋被捕食者死亡数量被捕食者自然死亡数量捕食者吃掉的数量
辅助方程（A）•从理论上看：
–水平方程
–速率方程
–常量、初始条件完全确定和计算系统的状态
•问题：
–计算式过于冗长、复杂；
–不便于描述自然规律或决策过程；
–不便于利用中间结果分析问题。

辅助方程（A）
•辅助方程及其作用：
–A 方程是计算R 方程的子方程，即用于计算辅助变量的取值；
–A 方程描述自然规律或决策过程；
–A 方程一般具有实际意义。

•辅助方程的建立：
–建立辅助方程一般采用“跟踪”法，按逻辑顺序计算；
–变量之间的运算规则，可以根据实际意义确定；
–量纲分析是建立辅助方程的重要技巧；
–辅助方程之间不能出现“环”。

辅助方程之间的“环”•
环：辅助变量“闭合”引用：
•用水平变量解开“环”：
A B
C
D
B
C
D A
人口问题(1)
人口问题(1)
人口问题(2)
人口问题(2)
库存问题(1)
库存问题(1)
库存问题(2)
库存问题(2)
传染病问题(1)
传染病问题(1)
传染病问题(2)
传染病问题(2)
捕食者与被捕食者问题
•X：被捕食者数量；
•BX：被捕食者出生数量；
•DX：被捕食者死亡数量；
•Y：捕食者数量；
•BY：捕食者出生数量；
•DY：捕食者死亡数量；
•BXY：被捕食者数量对捕食者成活率的影响；
•DYX：单位捕食者、单位时间内，作为食物，对被捕食者的需求。

捕食者与被捕食者问题
捕食者与被捕食者问题
方程的计算
•计算顺序如下：
J K L J
K L t 计算K 时刻
的水平量计算K 时刻的辅助变量计算KL 区间的速率量
时间向前推进一个DT
•0时刻(取DT＝1)：
–L: IL=5;
–A: Error=DIL-IL=10-5=5;
–R: OR=Error/AT=5/2=2.5.
•1时刻：
–L: IL=IL+OR×DT=5+2.5=7.5;
–A: Error=DIL-IL=10-7.5=2.5;
–R: OR=Error/AT=2.5/2=1.25.
•2时刻：
–L: IL=IL+OR×DT=7.5+1.25=8.75;
–A: Error=DIL-IL=10-8.75=1.25;
–R: OR=Error/AT=1.25/2=0.625
•3时刻：
–L: IL=IL+OR×DT=8.75+0.625=9.375;
–A: Error=DIL-IL=10-9.375=0.625;
–R: OR=Error/AT=0.625/2=0.3125.
•4时刻：
–L: IL=IL+OR×DT=9.375+0.3125=9.6875;
–A: Error=DIL-IL=10-9.6875=0.3125;
–R: OR=Error/AT=0.3125/2=0.15625.
•5时刻：
–L: IL=IL+OR×DT=9.6875+0.15625=9.84375;
–A: Error=DIL-IL=10-9.84375=0.15625;
–R: OR=Error/AT=0.15625/2=0.078125.
DT的选择
01234•DT选择的原则：
–DT太大：计算速度快，但计算精度低；
–DT太小：计算精度高，但计算速度低；
–为了兼顾计算“精度”和“速度”，应在能保证波形
不失真的条件下，尽可能大地选择DT。

•DT选择的方法：
–一阶系统：DT=(0.1-0.5)×Min(T)；
–高阶系统：DT=0.5×Min(延迟常数)/延迟阶数；
–根据实际情况确定。

SD分析问题过程小结
•整个分析过程从定
性到定量，步步深
入，简单直观，具有较好的科学性和实用性。

为分析复杂系统提供了一般的方法。

因果关系图
实际系统
关键要素
流图
方程
仿真分析
了解和认识系统
深入理解和分析
区分变量性质、
明确控制作用
定量描述
仿真平台(Vensim)
SD分析问题过程小结(续)
•系统中的回路有两种：
–增长回路：正反馈回路，系统中的引擎作用；
–调节回路：负反馈回路，系统中的控制作用。

•内在规律：
–水平变量是影响系统复杂性的重要参数。

一般来讲，系统中水平变量越多系统越复杂。

–速率变量反映了系统的决策或变化幅度。

–辅助变量描述了系统的决策或变化过程。

SD分析问题过程小结(续)•反馈回路(闭合的边界)
–L 和R ：反馈回路内的子结构
•目标、观测值、偏差和控制作用：R 方程内的次级
子结构
•进一步理解：
–只有R 能够改变L；
–R 只依赖L 和C；
–R 方程是一个政策表达式。