235薛定谔方程解氢原子
量子力学补充3-薛定谔方程解氢原子
的基态电子为例： l 以n=1， 0, ml 0r
即：4
4 2 2 a1 100 (r ) 3 r e a1 r
d100 (r ) 令： 0 dr
2r a1
2r 2r 0 a1
a1
[2re 3
2
2 a1
2 r ( nl )e ] 0 a1100 (r )
a1 2
45a 6
1
20 (r )
r / a1
8
10
r Y
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin
1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 r sin 40 r
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 40 r 其解： r sin
的,并非人为假设. 2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值 l 0.1.2(n 1) 量子力学中通常用 小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S
角量子数(
p
d
f
g 4
h 5
l)
0 0
1
2
3
角动量(L)
2
6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的 角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴 方向,则角动量在Z轴上的分量: 磁量子数
……………….
r ( 2 )e 3 a1 32a1 r
1
下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论:
1）能量是量子化的
注意: n称为主量子 数,氢原子的能量是 不连续的,这些不连 续的能量状态称为 能级.
氢原子方程的解
五、方程（5）的解
在方程（5）中，令 x cos ，则
d d dx sin d
d dx d
dx
d sin d
d
dx
代入（5）中得
d [(1 x2 ) d ] ( m2 ) 0
dx
dx
1 x2
此即连带勒让德方程
由于 在 0 到 之间变化，则 x 在-1 到 1 之间变化，此限制决定了 ( ) 的解的特性。
12/12
Pl[m ] ( x) ( Pl ) m阶导数
m
(x)
p
m l
(x)
(1
x2)
2
p
[ l
m
]
(
x
)
由归一化条件得：
(x) (1)m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Plm
(cos
)
六、方程（4）的解------球谐函数 方程（4）的解，可由方程（5）、（6）的解相乘得到
Y ( ,) ( )()
1 6
Zr a0
Zr
)re 3a0
R32 (r )
4 81 30
(Z a0
Zr
)7 / 2 re 3a0
7/12
十一、波函数图 （1）、径向波函数，概率密度图
8/12
（2）、角向波函数，概率密度图
9/12
10/12
（3）、总图
11/12
十二、轨道能级图 （1）、氢原子轨道能级图
（2）、多电子原子轨道能级图
归一化系数是：
Nlm
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
1 2
归一化的 Y ( , ) 解是缔合勒让德函数：
Ylm ( ,) NlmYlm ( ,) (1)m
第一节氢原子的薛定谔方程
氢原子的量子力学
]Θ
=0
（2）
12
用分离变量法解此方程，设解为： = R ( r )Θ (θ )Φ (φ ） ψ （ r,θ ,φ ） 代入方程分别得三个微分方程：
dΦ + m 2 2 lΦ = 0 dt 1 d d Θ l ( l +1) sin [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
2 1 d 2dR 2m e r ( ) + 2 2 [E + h r dr dr 4 π ε r
53
=0
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 （1） 2 lΦ = 0 dt 在求解方程（1）时，Φ (φ ) 必须满足标准 条件，自然得到 m l 只能取0，或正负整数 ml ] 0 2 = Θ sinθ 在求解上述方程时，得到的解要求 m l l
54
2
值。 1 d sin d Θ l ( l +1) [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
n =4 4s n =5 5s
4p
5p
4d
5d
4f
5f 5g
31
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s n =3 3s 2p 3p 3d
n =4 4s n =5 5s n =6 6s
4p
5p
4d
h μ ν
0
β
B
1 E +μ β B l 0 E l E 1 μβ B
0 0 0
l
E0
f
ν
(μ β =
0
ν
0
eB 4π m
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程是一个著名的电子结构理论，可以用来描述一个原子的电子状态。
它是一个带有四个变量的复合实现方程，被称为薛定谔方程。
它由20世纪伟大的物理学家Ernst Schrdinger发明，他是量子力学的创始人。
当谈到氢原子时，薛定谔方程还可以用来解释它的电子状态。
氢原子只有一个电子，因此为了解释它的电子状态，只需要一个薛定谔方程。
薛定谔方程可以如下表达：
iψ/t = ^2/2m·^2ψ + Vψ
其中，ψ表示波函数；i是虚数单位；表示普朗克常数，ψ/t表示时间导数；m是电子的质量；^2表示laplace算符；V表示电子的势能。
薛定谔方程简写为：
Hψ = εψ
其中，H表示哈密顿量，ε表示电子的能量。
对氢原子的薛定谔方程可以写为：
[^2/2m·^2+ V(r)E]ψ(r) = 0
其中，V(r)表示电子势能，E表示电子能量，r表示电子的位置半径。
解决氢原子的薛定谔方程需要一些技巧——定义一个适应性正交基函数组，利用拉普拉斯算符变换到正交空间，然后使用矩阵方法解决。
有时，哈密顿量可以被简化为一个对角矩阵，这一点取决于电
子势能的类型。
任何时候，电子能量的计算都是从在某个特定的位置的电子的能量开始的。
氢原子可以通过薛定谔方程来解释，并且可以计算出它的电子能量，解释的结果可以用来解释它的原子结构。
薛定谔方程对氢原子的电子状态起着至关重要的作用。
薛定谔方程 求解氢原子
薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。
氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解
r1
m1 R
m2 m2r
m1 m2
, r2
R
m1r m1 m2
x
r1
m1 C
R r2
m2 y
Ekin
1 2 1 2
m1r12
1 2
m2r22
m1( R
m2r m1 m2
)2
1 2
m2 ( R
两粒子体系示 意m1图r )2
m1 m2
1 2
(m1
m2 )R2
1 2
m1m2 m1 m2
1 r2
d dr
(r 2
dR dr
)
[
2
2
(E
Ze2 )
4 0r
l
(l r2
1)
]R
0
这是一个连属拉盖尔方程, 需要用级数法解.
求解条件: 边界条件? 无;
合格波函数条件: 有限(级数要有收敛的解)
要得到收敛结果, 无穷级数需变成多项式, 即在某
项后截断, 这要求(能量为负值时)me
2. 氢原子与类氢离子的定态
薛定谔方程的球极坐标表达式
球极坐标及其与直角坐标的关系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
r x2 y2 z2
d r 2 sindrdd
X
0 r , 0 , 0 2
Z
r
O
P(x,y,z) (r,,) Y
函数为:
n,l,m (r, , ) Rn,l (r) Θl,m ( ) Φm ( )
nl
c{ ci i1
(
Zr a0
) l i 1
Zr
e na0
}Pl
m
薛定谔方程求解氢原子
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )
E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数 来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为
En,l
13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能 存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角 动量L=0！所以不存在方向问题！对应 的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1
氢原子薛定谔方程的解
l 1 为缔合勒盖尔多项式。 L2 n l
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
讨论n、l、ml 参数的物理意义
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
在球坐标系下： x r sin cos ,
z
y r sin sin , z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程 求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的 角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴 方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解 （3）角动量的空间取向量子化
第十一章 量子物理学基础
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆 周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而 只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设
氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动轨道平面在空间的取向不是任意的而只能取有限的特定方位这既是轨道空间量子化假设第十一章量子物理学基础氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院如图即为n4l0123电子的角动量空间取向量子化的情形
高二物理竞赛氢原子的薛定谔方程课件
和相 S。
S
电子带负电，磁矩的方 向和自旋的方向应相反。
s 10
向（相z对）于S， 外有磁朝场上方
和朝下两种取向。
B
z
S
这一经典图象
受到了泡利的责难。
S
若把电子视为r =10 -16 m的小球，按 S 估 算出的电子表面速度 > c !
面对按经典图象理解所给出的“荒谬”结果， 乌、古二人(当时不到25岁)曾想撤回自旋的论文，
ml B
Bz z
●
原子射线
不加 磁场
加了 磁场
7
斯特恩正在观测
银原子束通过非均 匀的磁场时，分裂
成了两束
8
斯特恩 — 盖拉赫实验 的意义
(1) 证明了空间量子化的存在 原子沉积层不是连续一片，而是分开的线， 说明角动量空间量子化的存在。 (2)提出了新的矛盾 l = 0，应有一条沉积线。 实验结果却有
11
但他们的导师埃伦菲斯特(P.Ehrenfest)鼓励 道： “You are both young enough to allow yourselves
some foolishness!”
自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍
然和角动量有关。类比轨道角动量的量子化， 可给出自旋角动量的量子化： 轨道角动量 L l(l 1) ， Lz ml
4 r13
er / r1
3
电子的分布概率
p(r) r1
p(r) r 2 2
o r1
r
电子云
4
由于电子带电，电子绕原子核作轨道运动， 就相当于一个闭合载流线圈一样。
其磁矩为
z( B ) L
v
-e
= is i……电流强度 s……载流线圈面积
第一节氢原子的薛定谔方程(共26张PPT)
ħ2 2m
1 r2
[ ∂∂r
(r2
∂ ∂r
)ψ] +
+
si1nθ[
∂ ∂θ
(sinθ∂∂θ )ψ] +
1 ∂2 + [ sin2θ∂φ2 ψ]
+（
Ze2 r
+
E）ψ=
0
根据变量分离原理，令：
ψ(r,θ,φ) = R(r) Y(θ,φ）= R(r) Θ(θ〕Φ(φ)
z
在研究氢原子或类氢离子中电子的运动时，可
把原子核近似地看成相对固定不动，把原子核选作
坐标系的原点。
+
-e y
2.动能
T（e） >> T（p）
电子的 动能
原子核的 动能
x
电子对核的相对运动
经典物理学的动能
Ek =
1 2
mv2
电子的运动“速度”>>核的运 动“速度”。
3.势能 若把氢原子中的核近似地看成相对固定不动，并把原子核选作坐标系的
1 sinθ
[
∂ ∂θ
(sinθ
∂∂θ)Y
]
+
[
1 sin2θ
∂2 ∂φ2
Y
]
由于 r、θ、φ三个均为独立变量，要使方程成立，方程两端必须等于 某一常量。
设此常量为β，则有：
1 R
[
d dr
(r2
d dr
)
R]
2mr2 Ze2 + ħ2（ r +
E）=
β
1 Y
si1nθ[
∂∂θ(sinθ
氢原子轨道量子化公式
氢原子轨道量子化公式首先，我们需要了解氢原子的哈密顿量（H）的形式：H=-(h^2/8π^2m)(∇^2)-e^2/(4πε_0r)其中，h是普朗克常数，m是电子的质量，Δ^2是拉普拉斯运算符（表示动能），e是元电荷，ε_0是真空介电常数，r是电子与原子核之间的距离。
量子化公式基于薛定谔方程，该方程描述了波函数在不同时间和空间的变化规律。
对于氢原子轨道，薛定谔方程可以简化为：Hψ=Eψ其中，ψ是波函数，E是能量，H是哈密顿量。
为了求解薛定谔方程，我们可以采用分离变量法，将波函数分解为径向部分和角度部分的乘积：ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)其中，R(r)是径向波函数，Y(θ,φ)是角度波函数。
将此波函数形式代入薛定谔方程，可以得到两个方程：径向方程和角度方程。
径向方程可以写作：1/r^2 d/dr (r^2 dR/dr) + [2m/h^2(E - V(r)) - l(l+1)/r^2]R = 0其中，l是角量子数，取值为0、1、2、3…，E是能量，V(r)是势能函数。
角度方程可以写作：d^2Y(θ, φ)/dθ^2 + cotθ dY(θ, φ)/dθ + [l(l+1)/sin^2θ] Y(θ, φ) + 2m/h^2(E-V(r))Y(θ, φ) = 0通过求解这两个方程，我们可以得到氢原子轨道的径向和角度波函数，进而得到能级和能量的信息。
E_n=-(m_ee^4)/(2h^2ε_0^2n^2)其中，E_n是第n个能级的能量，m_e是电子的质量，e是元电荷，h是普朗克常数，ε_0是真空介电常数，n是主量子数，取值为1、2、3…。
总结起来，氢原子轨道量子化公式是描述氢原子电子轨道能级的数学表达式，它基于薛定谔方程，并通过求解径向和角度方程得到氢原子的波函数解。
这个公式揭示了氢原子中电子能级的量子化特性，为我们理解原子结构和量子力学奠定了基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
sin
drdd
4）(概r)率dV密度 与2V电V0子nnlm云lm202drV2nslXmin2rd2rsdZinddrsdindrrdddrY
r (r)dr
称径向几率密度
r (r) r2
2
d
0
0
nlm
2
sin
d
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r )
4 a13
r
r 2e 2a1
的,并非人为假设.
2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值
l 0.1.2 (n 1) 量子力学中通常用
小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S pd
f
gh
角量子数( l ) 0 1 2 3 4 5
角动量(L) 0 2 6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的
角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴
讨论后者，U（r）与时间无关，故满足 Schrödinger方程：
2
2m 2
(
E
e2 ) 4 0 r
0
2
2 2
2m 2 (E
2
e2 ) 4 0 r
2m (E
0 e2
) 0
x2 y2 z 2 2
4 0 r
Z
Z
Y
r
X
0
Y
X
r x2 y2 z2 x r sin cos
y r sin sin
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r ) 200(r)
4
r
r 2e 2a1
a13
1 8a13
(2
r a1
r
)r 2e 2a1
X
200(r) 211(r) 21(1) (r)
Z r sin
d
dr
dr
Y
1
r2(
r
r
)2 e a1
4!a13 a1
……………..
nl 100(r) 210(r) 200(r)
2 r 2drd ( . )d
d
(.)
2 r 2dr
电子单位立体角 中的几率密度
0
Z
r sin
d
r
电子单位立体角
ds 中的几率密度
dr
(.)
2 r 2dr
0
d
Y下面列出几种不同量子数的
X
10200( . )
1
4
200( . ) 200( . )
3 cos2 4 21(1) ( . )
64a13 a1
……………….
下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论:
1）能量是量子化的
En
1
me4
n2
其中：
(4
m0 )e2422
n 1.2.3
（主量子数）
En
注意:
n称为n1主2 量(14子3.6e0nV)=212时,2En=-1133..66eevV,称为基态;
数,氢原子的能量是 n=2、3、4….
化为球面坐标：
z r cos
2
x 2
2
y 2
Z
2
z 2
2m 2
(
E
Z
e2 ) 4 0 r
0
Y
r
X
0
Y
X
1 r2
r
(r 2
)
r
1
r 2 sin
(sin
)
1
r 2 sin 2
2 2
2m 2
(
E
e2 ) 4 0 r
0
1 r2
r
(r 2
)
r
1
r 2 sin
(sin
)
方向,则角动量在Z轴上的分量:
磁量子数
LZ ml ml 0. 1. 2. 3 l
L注意:取这l向意(l只味有着1角)2l量子1数个为,故在l Z的轴电上子的,角投动影量LZ在也空只间有的
2l 1 个.
Z
B B
L0
0
Z
2 2
6
B L
0
L
2
l 0
l 1
l 2
Z
B B
L0
0
2 B L
Z
r / a1
2 4 6 8 10
立体角定义：
r S
= S /r2
单位：球面度(sr)
r
S r2
4 r 2
r2
4
( sr )
下面求一立体角内粒子出现的几率--粒子角分布
Z r sin
d
ds
d
ds r2
r dr
d
Y
rd
r
sin r2
d
X
sin dd
d内出现粒子的几率：
2 dV d 2 r 2 sin drdd
不连续的,这些不连 续的能量状态称为
En
1 n2
13.6eV
能级.
称为激发态
2)电子“轨道”角动量是量子化的
··················································L
l(l 1) l 0.1.2
(n 1)
注意: 1)角动量量子化是通过解Schrödinger 得出
其解：
1
r 2 sin 2
2 2
2m 2
(
E
e2 ) 4 0 r
0
i Et
nlm(r. ..t) nlm(r. . )e
nlm(r. .) Rnl (r)Ylm ( .)
波函数是由三个量子数决定的，下面给出n、l、m
取不同的值的定态波函数 nlm(r. . )
100
1
r
e a1
二）薛定谔方程应用举例 Application Examples of
Schrödinger Equation to Hydrogenous Atom
4)氢原子
设核静止，电子处在库仑场中
M +
rn
m
M>>m
运动。
U (r)
e2
电子能量： 40r
E Ek U (r) 0 自由电子 E Ek U (r) 0 束缚电子
如H原子能量主要依赖于主量子数n，
但n相同时，还有ml l.m0不. 同1的. 状2态. 。3 l
“简并度”---同一能级中具有的量子态总数 （Degeneracy）
量子数为n的H原子能级的简并度
ln1 l
l n1
ml (2l 1) n2
l 0 ml l
4）概率密度与电子云
l 0
电子在体元中的几率： dw dV 2 dV
a13
100
200
210
211 21(1)
1
a13 1
r
e a1
a1
4 02
me4
(2
r
r
)e 2a1
=5.2910-11m 玻尔半径
32a13
1(
r
ar 1
)e 2a1 cos
32a13
1
(
a1 r )e
r 2 a1
sin
ei
64a13
1
a1
(
r
r
)e 2a1
sin
ei
2
0
6 L
2
L l(l 1) l 0.1.2 (n 1)
LZ ml ml 0. 1. 2. 3 l
每个角动量与Z轴的夹角
arccos LZ arccos ml
arccos L ml
l(l 1)
l(l 1)
简并度的概念
“简并”---同一的能级中还可对应不同的量子态 的现象。
4）概率密度与电子云
电子在体元中的几率：dw dV 2 dV
Z r sin
dV dr rd r sin d r2 sin drdd
d
r
dr
在r--r+dr的球面内电子出 现的几率：
d
Y (r)dV 2 dV
X
V 2 r2 sin drdd
2
0
0
nlm
2
r2