[精品]2016-2017年浙江省9+1联盟高二下学期期中数学试卷及解析答案word版
浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题答案
2022学年第二学期9+1高中联盟期中考试高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CDABACDB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ABC AD BCABD 三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.2-14.21n -15.1316.(]0,2e 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）令1n =，可求11a =，由22n n n S a a =+得21112n n n S a a ---=+，可知()()1110n n n n a a a a --+--=，从而11n n a a --=，则{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以n a n=……………5分（2）由错位相减法可知212222n n n S =++⋅⋅⋅+，2311122222n n n S +=++⋅⋅⋅+，可知222n nn S +=-，从而2n S <…………10分18.解：（1）函数的定义域为()0,∞+，又()2(1)()f x x-'=，当0a >时，()f x 的减区间为20,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为24,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，()f x 的减区间为20,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为21,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.……………………6分（2）由()y f x =的图象与x 轴没有公共点，由（1）中函数的单调性可得，当0a >时，()22min 4412ln 0f x f a a ⎛⎫==->⎪⎝⎭，即142a e ->.当0a <时，()()22min 122ln 0f x f a a⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，即1a e <-，综上：142a e ->或1a e<-.……………………12分19.解：（1）设i A i A =“第天去餐厅用餐”，i B i B =“第天去餐厅用餐”,其中1,2i =，则11A B Ω= ,由题知()()110.5P A P B ==,()21|0.6P A A =，()21|0.8P A B =，由全概率公式可知()()()()()2211211||0.7P A P A A P A P A B P B =+=……………………5分（2）由超几何分布知()()()()()125351511543nn n n C C P X n n n C +-===+++，令()()()()151543n n n a n n n -=+++，若1n n a a +≥，可得()()()()1361n n n n ++≥+-，即9n ≤，所以当9n =或10时()1P X =最大为4591.……………………12分20.解：（1）易知()()12f x f x +-=，故21n a n =-……………………5分（2）易知2n S n =，()()2111112121482121n n n S n a a n n n n +⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭，可知()1111482142n n n n T n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭，故()142n n n λ+≥+，令()()142n g n n n +=+，则()()124161g n n n =++-+，易知()()max 113g n g ==，故13λ≥.…………………12分21.解：（1）由题知，随机变量X 服从二项分布，X ～由P (X ＝5)＝P (X ＝95)，得n ＝100，E (X )＝50.……………………4分（2）①设事件A 为“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”，P (A )＝[C 110p (1－p )9]3·[C 210p 2(1－p )8]3·[C 310p 3(1－p )7]2·[C 410p 4(1－p )6][C 610p 6(1－p )4]，P (A )＝(C 110)3(C 210)3(C 310)2(C 410)2p 25(1－p )75.②记g (p )＝ln[(C 110)3(C 210)3(C 310)2(C 410)2]＋25ln p ＋75ln(1－p )，则g ′(p )＝25p －751－p ＝25－100p p （1－p ），当0<p <14时，g ′(p )>0，g (p )单调递增；当14p <1时，g ′(p )<0，g (p )单调递减.当p ＝14时，g (p )取得最大值，即P (A )取得最大值.在团队A 提出的函数模型p ＝ln(1＋θ)－23θ2中，记函数f 1(x )＝ln(1＋x )－23x 2，所以f ′1(x )＝()()()2321141331x x xx x +--=-++，当0<x <12时，f ′1(x )>0，f 1(x )单调递增；当12<x <1时，f ′1(x )<0，f 1(x )单调递减.所以当x ＝12时，f 1(x )取得最大值311ln 264-<，则θ不可以估计.在团队B 提出的函数模型p ＝12(1－e －θ)中，记函数f 2(x )＝12(1－e －x )，f 2(x )单调递增，令f 2(x )＝14，解得x ＝ln 2，则θ＝ln 2是θ的最大似然估计.……………………12分22.解：（1）易知()()2x f x x e ax a '=--，则20xe ax a --=一个根为0x =，即12a =，经检验，0x =不是极值点;……………………4分（2）当12a <，令()2x e g x x =+，则()g x a =有两个非零交点，可知11,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12210x x -<<-<<，30x =，同时满足()112x e a x =+，()222xe a x =+，即212122x x x ex -+=+，令()21212x t t x +=>+，即()()21112ln x x t x t -=-+=，从而1ln 21t x t =--，()1211122ln 41t x x t x t t t ++=++-=--，由123533ln 24,1e x x x e -⎡⎤++∈-⎢-⎣⎦可知，11ln 3ln 2,11t e t t e ++⎡⎤∈⎢⎥--⎣⎦，令()1ln 1t h t t t +=-，可知()()212ln 1t tt h t t --=-，易知12ln 0t t t -->，即()h t 在()1,+∞上单调递增，且()23ln 2h =，()11e h e e +=-，故[]2,t e ∈.…………………………12分。
【数学】浙江省9+1联盟2016-2017学年高二下学期期中考试试题
参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1．A 2．B 3．C 4．C 5．D6．C7．B 8．A二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每空4分，共36分） 9．433，12 10．12，31411．0，[)3,+∞ 12．2，43y x =． 13．22314.21415.3三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由()2cos cos cosC 2cos2Ca Bb A a a +=-得： ()2sin cos sin cos cosC sin 2cos12C A B B A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即：()sin cos sin cos cosC sin cos A B B A A C +=…………4分 即：sin cos sin cos C C A C =…………6分故2C A C π==或，ABC ∆为直角三角形或等腰三角形…………8分 （2）若23B π=，则6A C π==，设2c m =，则23b m = 在ACD ∆中，22222cos 7CD AC AD AC AD A m =+-⋅⋅=…………10分故7=71m m =，…………12分1sin 32ABC S AC AB A ∆=⋅=…………14分17．（本题满分15分）解：（Ⅰ）取AB 的中点E 点，连接DE ，PE .PAB ∆ 为等边三角形，AB PE ∴⊥，CA AB ∴⊥，AB DE ∴⊥，所以AB PDE ⊥平面，所以AB PD ⊥，………3分且PED ∠为二面角P AB D --的平面角，由余弦定理可知222222+(23)23cos 232232PE DE PD PD PED PE DE -+-∠===⋅⋅⋅，得到22PD =， 而22BD =，满足222BD PD PB +=，所以PD BD ⊥，………………………6分由PD BCPD ABC PD AB⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面，又因为PD PBC ⊂平面，所以PBC ABC ⊥平面平面………………………7分（Ⅱ）BD PAD ⊥ 平面，过N 点作//NN AD '交AD 于N '点，连接NM ，N M '.所以NN PAD '⊥平面，且322NN '=，………………………10分 则NMN '∠为直线NM 与平面PAD 所成的角，且sin NN NMN NM''∠=………12分 而33132N M '≤≤，所以6sin 3θ≤，所以3cos 3θ≥…………………15分 方法2：建立空间直角坐标系，酌情给分. 18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）当2n =时，22221222324621a a --=+=+=- , 当3n =时，3233132339182731a a --=+=+=- , …………2分 因为21231n n n na a n n --=+- ,所以21231n n n a a n n n --=+- ,当2n ≥时，由累加法得 22122323 (231)n n a a n --=+⨯+⨯++⨯, 因为11a =,所以2n ≥时， 有()112131313n n na n ---=+=-，即()132n n a n n -=≥ ，又1n =时，111131a -== ， 故()13n n a n n N -*=∈. …………7分 （Ⅱ）n N *∈时,131n n n b a n-==,则21111...232n n S =++++. …………8分记函数()21111...232n n f n S n n ⎛⎫=-=++++- ⎪⎝⎭，所以()()111111...1232n f n n +⎛⎫+=++++-+ ⎪⎝⎭, 则()()111121 (1102122)221n n n n n f n f n +⎛⎫+-=+++-<-< ⎪+++⎝⎭,所以()()1f n f n +<.………………………10分 由于()121111102f S ⎛⎫=-=+-> ⎪⎝⎭, 此时121S >，()2211122120234f S ⎛⎫=-=+++-> ⎪⎝⎭,此时222S >,……………12分 ()321111111331302345678f S ⎛⎫=-=+++++++-< ⎪⎝⎭,此时323S <,由于()()1f n f n +<,故3n ≥时，()()30f n f ≤<，此时2n S n <. 综上所述，当1,2n =时,2n S n >;当()3n n N *≥∈时,2n S n <. ………………15分19．（本题满分15分）解：（Ⅰ）2214x y +=…………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1AT 的方程为：(2)6my x =+， 直线2A T 的方程为：(2)2my x =-， 11112221111(2)(2)66(2)(2)144m m y x y x x x x y y ⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-+⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩，因为12x ≠-，所以得到2121829m x m -=+，从而1269my m =+，即2221826(,)99m m M m m -++，同理222222(,)11m m N m m --++，……7分 （1）当12x x =时，则由22221822291m m m m --=++，及0m >，解得3m =，直线MN 方程为1x =，此时32OMN S ∆=.……………………9分（2）当12x x ≠时，直线MN 方程为，232222222422262222262291()()18222119191m mm m m m m m m y x x m m m m m m m m -+-+-+++=-=---++-+-++，整理得3426(1)9m my x m+=--，所以直线MN 恒过定点(1,0)G ，……………11分 222222322422122623919134()3(1)(9)4129(9)(1)101122910OMN OGM OGN m m m m m m m m m m m m m m m S m m m m m m m S S OG y y ∆∆∆--+++++++++=+=-==+===++++++ …………………………………………………13分12x x ≠ ，0,3m m ∴>≠且令323t m m =+>，则2444344422323OMN t S t t t ∆==<=+++， 综上（1）（2）max 3()2OMN S ∆=……………………………………15分 20．（本题满分15分） 解：(Ⅰ)()f x '=21()g x x '=-，=g (1)1k '=-切，而 3(1)2f =， 所以在处的切线方程为：52y x =-+，………………………3分(Ⅱ) 所以()f x =x xln ，因为()f x '=2ln 1x x -=0得x e =可以得出:（0，e ）是递增区间；(e ,)∞+是递减区间……………………5分 所以当n e >时()(1)g n g n >+,即ln ln(1)1n n n n +>+1(1)n n n n +∴>+ 即111(1)nn n n +>+112017201620172016∴<…………………………7分（Ⅲ）由题意得上恒成立，令()ln 2x h x b x =-， ()y f x =1x =],1[2ln e x x b m 在-<则2()(0),2b xh x x x-'=>则()h x 在(0,2)b 上是增函数，在(2,)b +∞上是减函数， ………………………8分（1）当上是减函数， 故………………9分 （2）当上是减函数， 又 故①当②当………………11分（3）当 ………………12分综上，当 故当…………14分 又因为对于任意正实数b ，不等式 ………………15分],1[)(,210,120e x h b b 在时即≤<≤<;2)()(mineb e h x h -==],2[,]2,1[)(,221,221e b b x h eb b 在上是增函数在时即<<<<,21)()1(,2)(,21)1(b e e h h e b e h h --=--=-=;2)()(,2121min e b e h x h e b -==-<<时;21)1()(,221min -==<<-h x h e b e 时;21)1()(,],1[)(,2,2min -==≥≥h x h e x h e b e b 故上是增函数在时即时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->--≤<-=∈21,21210,2)(,],1[mine b e b e b x h e x 时.21,21;2,210-<->-<-≤<m e b e b m e b 时当时.2,],1[2)(em e m x x bf -≤+>所以上恒成立在。
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁U A＝（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4分）函数的定义域是（）A．B．C．D．3．（4分）已知，，，则＝（）A．B．C．D．4．（4分）复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）“sinα＝cosα”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）为了得到的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．（4分）已知函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．12B．24C．36D．729．（4分）已知函数f（x）满足，则f（1）+f（2020）的最大值是（）A．B．2C．D．410．（4分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤0D．0≤a≤2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）已知向量||＝1，，，的夹角为，则＝，||＝．12．（6分）已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X）＝，则n＝，p ＝．13．（6分）二项式（1+2x）5展开式中，第三项的系数为；所有的二项式系数之和为．14．（6分）在数列{a n}中，已知a1＝2，，则a2＝，归纳可知a n＝．15．（4分）已知函数f（x）＝3x﹣2，若存在使得不等式成立，则实数λ的最小值为．16．（4分）设a＞0且a≠1，函数f（x）＝为奇函数，则f（g（2））＝．17．（4分）已知D是△ABC中AC所在边上的一点，，，，则在上投影的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f（x）的取值范围．19．（15分）中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔．选手F与A，B，C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手F是否会入选；（Ⅱ）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望．20．（15分）已知向量与，其中．（Ⅰ）若⊥，求tan x的值；（Ⅱ）记函数f（x）＝•，且f（a）＝，求sinα的值．21．（15分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）＝0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0），讨论函数g（x）在区间（﹣1，2）上零点个数的所有情况．22．（15分）已知函数f（x）＝mxln（x+1）+x+1，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤e x，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合．【解答】解：根据补集的定义，∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件． ∁U A ＝{2，4，5} 故选：C ．【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题． 2．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可． 【解答】解：由题意得，，解得x ＞，则函数的定义域是，故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题． 3．【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题．【解答】解：根据题意设＝x +y ，则（﹣1，2）＝x （1，1）+y （1，﹣1） ∴x +y ＝﹣1 ① x ﹣y ＝2 ②由①②知，x ＝，y ＝﹣∴＝﹣故选：D ．【点评】本题考查平面向量的坐标表示．4．【分析】将复数化简整理，得z＝﹣+i，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限．【解答】解：＝＝﹣+i∴复数在复平面内对应的点为Z（﹣，），为第二象限内的点故选：B．【点评】本题将一个复数化为最简形式，找出它在复平面内对应的点所在的象限，着重考查了复数四则运算和复数的几何意义等知识，属于基础题．5．【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“sinα＝cosα”得：α＝kπ+，k∈Z，故sinα＝cosα是“”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．6．【分析】先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝sin2x＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y＝cos（2x+﹣）＝cos（2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7．【分析】先对函数进行求导，根据函数函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，列出不等式组，进而可解出a的范围．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2，∵函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2＝0在区间（1，+∞）上有1个实根，（﹣∞，1]上有1个根．，解得a＜．故选：A．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及二次函数根的分布问题，体现了转化和数形结合的思想．属中档题．8．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，有C42＝6种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分派方法；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9．【分析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g（x）＝2f（x）﹣f2（x），然后利用基本不等式的性质，转化为关于f（1）+f（2020）的一元二次不等式，进行求解即可．【解答】解：由，得2f（x）﹣f2（x）≥0，得0≤f（x）≤2，平方得f2（x+1）＝1+2+2f（x）﹣f2（x），①∴2f（x+1）＝2+2②②﹣①得2f（x+1）﹣f2（x+1）＝2+2﹣[1+2+2f（x）﹣f2（x）]＝1﹣[2f（x）﹣f2（x）]，即2f（x+1）﹣f2（x+1）+2f（x）﹣f2（x）＝1，③设g（x）＝2f（x）﹣f2（x），则③等价为g（x+1）+g（x）＝1，即g（x+2）+g（x+1）＝g（x+1）+g（x）＝1，∴g（x+2）＝g（x），则g（0）＝g（2）＝g（4）＝…＝g（2020），g（1）＝g（3）＝g（5）＝…＝g（2021），则g（1）+g（2020）＝g（1）+g（0）＝1，∴2f（1）﹣f2（1）+2f（2020）﹣f2（2020）＝1，即2[f（1）+f（2020）]﹣[f2（1）+f2（2020）]＝1即2[f（1）+f（2020）]﹣[f（1）+f（2020）]2\+2f（1）f（2020）]＝12f（1）f（2020）＝1+[f（1）+f（2020）]2\﹣2[f（1）+f（2020）]≤2×[]2＝[f（1）+f（2020）]2，设t＝f（1）+f（2020），则不等式等价为1+t2﹣2t≤t2，整理得t2﹣4t+2≤0，得2≤t≤2+，即2≤f（1）+f（2020）≤2+，则f（1）+f（2020）的最大值为2+，故选：C．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为一元二次不等式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．10．【分析】根据条件先计算f（x2），将不等式等价转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，结合函数单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）＝alnx﹣2x，x＞0，∴f（x2）＝alnx2﹣2x2＝2alnx﹣2x2，则不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，等价为2alnx﹣2x2≤f（2x﹣1），即f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，∵x2﹣（2x﹣1）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，即x2＞2x﹣1，∴等价为函数f（x）在（1，+∞）为减函数即可，函数的导数f′（x）≤0即可，∵f′（x）＝﹣2，∴由f′（x）＝﹣2≤0，即≤2，则a≤2x，在（1，+∞）上恒成立，∵2x＞2，∴a≤2，即实数a的取值范围是a≤2，故选：A．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用条件转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，以及利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可，通过向量的模转化求解即可．【解答】解：向量||＝1，，，的夹角为，则＝||||cos＝1×＝1，||＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．12．【分析】直接利用离散型随机变量的期望与方差，列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X﹣B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝，可得np＝2，np（1﹣p）＝，解得p＝．n＝8故答案为：8；．【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查计算能力．13．【分析】由二项式定理及二项式系数得：二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，得解．【解答】解：由二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，故答案为：40 32．【点评】本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．14．【分析】根据数列的递推关系进行计算，利用取倒数法，结合等差数列的定义进行求解即可．【解答】解：∵a1＝2，，∴a2＝＝＝，由，取倒数得＝＝3+，得得﹣＝3，即数列{}是以公差d＝3的等差数列，首项为，则＝+3（n﹣1）＝，即a n＝，n∈N•故答案为：，【点评】本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推公式，利用取倒数法是解决本题的关键．15．【分析】令f（x）≥﹣解得x＞，若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，化为存在θ∈（0，]，不等式cos2θ+λsinθ﹣1＞成立，即sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，求g（θ）的最小值小于或等于0即可．【解答】解：函数f（x）＝3x﹣2，令f（x）≥﹣，解得：x≥；若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，则存在θ∈（0，]，cos2θ+λsinθ﹣1≥成立，即1﹣sin2θ+λsinθ﹣1≥成立，所以sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，则g（θ）＝+﹣，由θ∈（0，]，得sinθ∈（0，1]；所以λ≤0时，g（θ）在（0，]上单调递增，则g（θ）＞g（0）＝，不满足题意；0＜λ≤2时，g（θ）在（0，]上先增或减，则g（θ）＞g（0）＝﹣，令﹣≤0，解得λ≥或λ≤﹣（不合题意，舍去），所以≤λ≤2；λ＞2时，g（θ）在（0，]上单调递减，则g（θ）＞g（）＝1﹣λ+＝﹣λ，令﹣λ≤0，解得λ≥，所以＞2；综上所述，λ的取值范围是[，+∞），所以λ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了不等式成立应用问题，也考查了等价转化与应用问题，是难题．16．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，即有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a ＝2，则f（x）＝，据此结合函数解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a＝2，则f（x）＝，f（﹣2）＝2﹣1﹣2＝﹣，则g（2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝，g（）＝f（）＝﹣f（﹣）＝2﹣，则f（g（2））＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．17．【分析】依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6），然后根据数量积可以求出•的最小值，从而可求出在上投影的最小值【解答】解：依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6）∵•＝（﹣）•＝•﹣•＝4×6×﹣6（6﹣t）＝6t﹣≥﹣（t＝0时取等，此时D与C重合），∴在上投影为＝≥﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．【分析】（Ⅰ）由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．（Ⅱ）当时，利用正弦函数定义域和值域，求出f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝，故它的周期．（Ⅱ）∵，∴，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，即．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）选手F与A，B，C的对抗赛获胜，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可．（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）…………（5分）∵∴F会入选………………（7分）（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝××+××+××＝；P（X＝2）＝×+××+××＝，P（X＝3）＝××＝所以，X的分布列为：………………（15分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．【分析】（Ⅰ）通过向量的表达式，结合⊥，利用二倍角公式化简求tan x的值；（Ⅱ）化简函数f（x）＝•，且f（a）＝，列出关系式，通过两角和与差的三角函数，转化求sinα的值．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）向量与，其中．．………………（4分）∴………………（7分）（Ⅱ），∴………………（9分）∵，∴，∴………………（12分）∴＝＝………………（15分）【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．21．【分析】（Ⅰ）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可（Ⅱ）求出g（x）的解析式，当当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解，则只需要讨论当时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题，利用一元二次函数的性质进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（0）＝0，∴c＝0，∵对于任意x∈R，都有，∴函数f（x）的对称轴为，即，得a＝b………………（3分）又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R，都成立，∴a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b＝1，a＝1．∴f（x）＝x2+x．………………（6分）（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|＝x2+x﹣|λx﹣1|，∵λ＞0，则即求方程x2+x﹣λ|x﹣|，在（﹣1，2）内的解的个数问题．∵λ＞0，当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解．………………（8分）只需考虑时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题．即x2+（1﹣λ）x+1＝0，判别式△＝（1﹣λ）2﹣4＝λ2﹣2λ﹣3＝（λ+1）（λ﹣3），当△＝0时，可得λ＝3．此时x＝1．在（，2）上，此时有一解；当△＜0时，可得0＜λ＜3．此时f（x）＝0无解，即此时在内无解；当△＞0时，可得λ＞3．记两解为x1，x2，（x1＜x2），∵x1•x2＝1，必有之间，取x＝2，若2λ﹣1＜f（2）即时，解x2∈（1，2）；若2λ﹣1＞f（2），即，x2∈[2，+∞）；………………（14分）综上，当0＜λ＜3时，g（x）在（﹣1，2）内有一个零点；当λ＝3或时，g（x）在（﹣1，2）内有两个零点；当时，g（x）在（﹣1，2）内有三个零点；………………（15分）【点评】本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题．22．【分析】（Ⅰ）推导出函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，f′（0）＝1．利用导数性质能求出函数f（x）在x＝0处的切线方程．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，推导出e x ≥x+1．m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x ﹣x﹣1，证明：≥．由此能求出实数m的取值范围．（Ⅲ）当时，，从而，令，推导出，利用累加法能证明（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝mxln（x+1）+x+1，令x＝0时，f（0）＝1，∴函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，∴f′（0）＝1．∵函数f（x）在x＝0处的切线方程为：y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，∴x≥0时，函数g（x）单调递增，因此g（x）≥g（0）＝0，因此e x≥x+1．①若f（x）＝mxln（x+1）+x+1≤x+1，则f（x）≤e x，则mxln（x+1）≤0，可得：m≤0．∴m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．②m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x﹣x﹣1，x＝0时，化为0≤0，恒成立，m∈R．x＞0时，化为：m≤．下面证明：≥．令h（x）＝2e x﹣2x﹣2﹣xln（x+1），h（0）＝0．h′（x）＝2e x﹣2﹣ln（x+1）﹣．h′（0）＝0．h″（x）＝2e x﹣﹣≥h″（0）＝0，∴h′（x）≥0．∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0．∴≥成立，并且是其最小值．∴m≤．综上可得：实数m的取值范围是（﹣∞，）．（Ⅲ）由（2）知：当时，，∴，令，∴，∴，累加得：∴，∴（n∈N*）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线的斜率、不等式的解法与性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省湖州市2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题-Word版含答案
2016学年第二学期期中考试高二数学试题卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集R U =,}0{>=x x A ,}1{>=x x B ,则=B C A U ( )A ．}10{<≤x xB ．}10{≤<x xC ．}0{<x xD ．}1{>x x2. “0<x ”是“0)1ln(<+x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知l ，m 是两条不同直线, α是一个平面,则下列命题中正确的是( )A ．若α//l ，α//m ，则m l //B ．若m l ⊥，α//m ，则α⊥lC ．若α⊥l ，α⊥m ，则m l //D ． 若m l ⊥，α⊥l ，则α//m4. 已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01241y x y x x ,则y x z +=2的最大值为( )A ．3B ．4 C. 6 D ．75. 已知a ，b ,c R ∈函数c bx ax x f ++=2)(.若)4()3()1(f f f >=,则( )A ．0>a ，04=+b aB ．0<a ，04=+b a C. 0>a ，02=+b aD ．0<a ，02=+b a6. 设}{n a 是等差数列,下列结论中正确的是( )A ．若021>+a a ，则032>+a aB ．若021<+a a ，则032<+a aC. 若210a a <<，则312a a a >D ．若01<a ，则0))((3212<--a a a a 7. 函数1sin )(2+=x x x f 的图象大致为( )A B C D8. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 相交于A ，B 两点,双曲线的一条渐近线方程是x y 334=,点F 是抛物线的焦点.若FAB ∆是等边三角形,则该双曲线的标准方程是( ) A ．183222=-y x B ．131622=-y x C. 132622=-y x D ．116322=-y x 9. 将函数332)(2-++-=x x x f （]2,0[∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ (θ为锐角),若所得曲线仍是函数的图象,则θ的最大值为( )A ．6π B ．4π C. 3π D ．125π 10. 在直三棱柱ABC C B A -111中, 2π=∠BAC ,11===AA AC AB ,已知G 和E 分别为11B A 和1CC 的中点, D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点),若EF GD ⊥,则线段DF 的长度的取值范围为( )A ．)1,55[B ．]1,55[ C. )1,552( D ．)1,552[ 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知函数⎩⎨⎧>≤-=)1(3)1(1)(x x x x f x ,则=-))2((f f ______,若2)(=a f ,则=a ．12.动直线l :)(1R k k kx y ∈+-=经过的定点坐标为 ，若l 和圆C ：222r y x =+恒有公共点，则半径r 的最小值是_______.13.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为 cm ，体积为______3cm .14.函数)sin(2)(ϕω+=x x f （0>ω，0<<-ϕπ）的部分图象如图所示，则=ω ，=ϕ________.15.已知正实数x ，y ，z 满足032=+-z y x ，则xzy 2的最小值为________.16.若向量a ，b 2==的取值范围是________.17.已知函数a x x y --=sin 4sin 2的最大值为4，则常数=a _________.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 在ABC ∆中， 角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B a A b 2sin sin =． （Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若10=b ，ac c a =+，求ABC ∆的面积.19. 如图,点B 是以AC 为直径的圆周上的一点，BC AB PA ==,4=AC ，⊥PA 平面ABC ，点E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：平面⊥AEC 平面PBC ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PAC 所成角的大小.20. 已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称,且x x x f +=2)(.(Ⅰ)求函数)(x g 的解析式；（Ⅱ）若1)()()(+-=x f x g x h λ在[-1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.21. 如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ，过点),0(b -，)0,(a 的直线与原点的距离为2，),(00y x M 是椭圆上任一点，从原点O 向圆M ：2)()(2020=-+-y y x x 作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若记直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，试求21k k 的值.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知数列}{n a 满足11=a ，121+=+n n n a a a . （Ⅰ）求证：n n a a <+1；（Ⅱ）求证：4232211-∙≤≤-n n n n a .2016学年第二学期期中考试高二数学参考答案一、选择题1-5:BBCDB 6-10:CADCA二、填空题11.27，-1； 12.（1,1），2； 13. 344127++，20； 14.2，3π-； 15. 3； 16. ]4,34[； 17. 1 三、解答题18. 解：（Ⅰ）由正弦定理和B a A b 2sin sin =得B A A B 2sin sin sin sin =所以B B A A B cos sin sin 2sin sin =，所以21cos =B ． 又B 是三角形内角，所以3π=B ； （Ⅱ）∵3π=B ，∴B ac c a b cos 2222-+=ac c a -+=22ac c a 3)(2-+=， 又10=b ，ac c a =+，∴103)(2=-ac ac ，0)2)(5(=+-ac ac ，∴5=ac 或2-=ac （舍去）435sin 21==∆B ac S ABC . 19.解：（Ⅰ）证明⇒⎭⎬⎫⊥⊥PA BC AB BC ⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAB AE PAB BC 平面平面⇒⎭⎬⎫∆∆⊥Rt PAB PBC AE 为等腰平面 ⊥AE 平面PBC ⇒平面⊥AEC 平面PBC .（Ⅱ）⊥BO 平面PAC 取PO 的中点G ，连EG ，则BO EG //⊥⇒EG 平面PAC ，连AG ，EAG ∠就是直线AE 与平面PAC 所成角，221==PB AE ，121==OB GE ， 所以21sin ==∠AE GE EAG ， AE 与平面PAC 所成角为6π. 20.解：（Ⅰ）设函数)(x f y =的图象上任一点),(00y x Q 关于原点的对称点为),(y x P ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+020200y y x x 即⎩⎨⎧-=-=y y x x 00∵点),(00y x Q 在)(x f y =上， ∴)()(2x x y -+-=-.即x x y +-=2，故x x x g +-=2)(. （Ⅱ）1)1()1()(2+-++-=x x x h λλ.①当1-=λ时，12)(+=x x h 在[-1,1]上是增函数∴1-=λ， ②当1-≠λ时，对称轴为)1(21λλ+-=x ， （ⅰ）当1-<λ时，1)1(21-≤+-λλ，解得13-<≤-λ， （ⅱ）当1->λ时，1)1(21≥+-λλ，解得311-≤<-λ.综上，313-≤≤-λ. 21.解：（Ⅰ）因为离心率22=e ，所以22=a c ，而222b a c -=， 所以21222=-a b a ，即222b a =① 设过点),0(b -，)0,(a 的直线方程为1=-+by a x ， 即0=--ab ay bx ， 因为直线与原点的距离为2， 所以222=+ba ab ，整理得：22222=+b a b a ② 由①②得⎩⎨⎧==3622b a ， 所以椭圆的方程为13622=+y x . （Ⅱ）因为直线OP ：x k y 1=，OQ ：x k y 2=，与圆M 相切，由直线和圆相切的条件：r d =，可得2112200221001=+-=+-k y x k k y x k ，平方整理，可得022)2(200012021=-++-y y x k x k ，022)2(200022022=-++-y y x k x k ，所以1k ，2k 是方程022)22(2000202=-++-y y kx x k 的两个不相等的实数根，20202122x y k k --=，因为点),(00y x R 在椭圆C 上，所以1362020=+y x ，即)61(32020x y -=20213x -=，所以2122132202021-=-+-=x x k k 为定值； 22.解：（Ⅰ）由11=a ，121+=+n n n a a a 得)(0N n a n ∈>，n n n n n a a a a a -+=-+1210123<+-=n n a a ，所以n n a a <+1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知10≤<n a ，又121+=+n n n a a a ，∴1121+=+n n n a a a 21≥即n n a a 211≥+， 所以221)21(21--≥≥n n n a a a n n a 21)21(...11=≥≥-，即121-≥n n a . 由121+=+n n n a a a 得n n n a a a 111+=+，∴n n n a a a =-+111， ∴111112==-a a a ，2111223==-a a a ，2334)21(11≥=-a a a … 211)21(11---≥=-n n n n a a a ， 累加得+++≥- (2)11111a a n 22)21(2)21(---=n n ，而11=a ， 所以2)21(31--≥n n a n n n n 2423212322-∙=-∙=--，所以4232-∙≤n n n a . 综上得4232211-∙≤≤-n nn n a .。
浙江省9+1联盟2016-2017学年高一下学期期中数学试卷 (Word版含答案)
2016-2017学年浙江省9+1联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N等于（）A．{1}B．{5}C．{1，2}D．{2，5}2．已知、是两个不共线向量，设=，=λ，=2+，若A，B，C三点共线，则实数λ的值等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．满足A=60°，a=2，b=4的△ABC的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3=，则a7等于（）4．若数列{a n}满足：a1=2，a n+1A．2 B．C．﹣1 D．20185．函数f（x）=cosx+|cosx|，x∈R是（）A．最小正周期是πB．区间[0，2]上的增函数C．图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称D．周期函数且图象有无数条对称轴6．已知等比数列{a n}的公比是q，首项a1＜0，前n项和为S n，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若S k＜5S k，则正整数k的最大值是（）﹣4A．4 B．5 C．14 D．157．已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（）A．B．C．D．8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a3=b3=a，a6=b6=b，若a＞b，则下列正确的是（）A．若ab＞0，则a4＞b4 B．若a4＞b4，则ab＞0C．若ab＜0，则（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0 D．若（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0，则ab＜09．将函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．存在实数x0，使得g（x0）=1 B．当x1＜x2时，必有g（x1）＜g（x2）C．g（2）的取值与实数a有关D．函数g（f（x））的图象必过定点10．平面内三个向量（i=1，2，3）满足⊥，|﹣|=1（规定=），则（）A．（•）min=0 B．（•）min=﹣1C．（•）max=D．（•）max=二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分）.11．lg2+lg5=，log42+2=．12．角α终边过点（﹣1，），则tanα=，cos2α=．13．已知sin（θ﹣）=，则sin（θ+）=，cos（θ﹣）=．14．正项等比数列{a n}中，公比q≠1，=a11，则k=．15．如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为．16．数列{a n}、{b n}满足a1=1，且a n+1、1+a n是函数f（x）=x2﹣b n x+a n的两个零点，则a2=，当b n＞时，n的最大值为．17．等差数列{a n}满足a12+a2n+12=1，则an+12+a3n+12的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=8，S10=﹣10．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|，求T n．19．如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B分别是f （x）的图象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为、的两点，CD∥x轴，A，B，D共线．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间[，]上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．20．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC在BC边上的中线长为1，求△ABC的周长．21．如图，梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，E为AB中点，=λ（0≤λ≤1）．（Ⅰ）当λ=，用向量，表示的向量；（Ⅱ）若||=t（t为大于零的常数），求||的最小值并指出相应的实数λ的值．22．数列{a n}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+a n=4（a n﹣1）．﹣1（Ⅰ）求a2，a3，并证明，数列{a n﹣2a n}为常数列；+1（Ⅱ）设c n=，若对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+c n＜10a恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年浙江省9+1联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N等于（）A．{1}B．{5}C．{1，2}D．{2，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接求解交集即可．【解答】解：集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N=（1，2}．故选：C．2．已知、是两个不共线向量，设=，=λ，=2+，若A，B，C三点共线，则实数λ的值等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的共线性质即可求出．【解答】解：∵=，=λ，=2+，∴=﹣=λ﹣，=﹣=+，∵A，B，C三点共线，不妨设=μ，∴λ﹣=μ（+），∴，解得λ=﹣1，故选：C3．满足A=60°，a=2，b=4的△ABC的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】HX：解三角形．【分析】利用正弦定理求出B，判断三角形的个数即可．【解答】解：由正弦定理得，即，解得sinB=1，∴B=90°，∴△ABC是直角三角形，C=30°．故符合条件的三角形只有1个．故选B．=，则a7等于（）4．若数列{a n}满足：a1=2，a n+1A．2 B．C．﹣1 D．2018【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，a3==﹣1a4==2a5==，a6==﹣1．a7==2．故选：A．5．函数f（x）=cosx+|cosx|，x∈R是（）A．最小正周期是πB．区间[0，2]上的增函数C．图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称D．周期函数且图象有无数条对称轴【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数f（x），根据函数的图象与性质判断四个选项是否正确即可．【解答】解：函数f（x）=cosx+|cosx|=，∴f（x）是周期函数，且最小正周期为2π，A错误；∵2＞，∴x∈[0，2]时，f（x）不是增函数，B错误；f（x）的图象不关于点（kπ，0）（k∈Z）对称，C错误；f（x）是周期函数且图象有无数条对称轴为x=kπ，k∈Z，D正确．故选：D．6．已知等比数列{a n}的公比是q，首项a1＜0，前n项和为S n，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若S k＜5S k﹣4，则正整数k的最大值是（）A．4 B．5 C．14 D．15【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的定义，可得公比，再由等比数列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值．【解答】解：若a1，a4，a3﹣a1成等差数列，可得2a4=a1+a3﹣a1=a3，即有公比q==，由S k＜5S k﹣4，可得＜5•，由a1＜0，化简可得1﹣＞5﹣，即为2k＜，可得正整数k的最大值为k为4．故选：A．7．已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据图象变换规律即可得出答案．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x﹣1），∴f（x）的图象向右平移一个单位后，再沿x轴对折后与原图重合，显然C不符合题意．故选C．8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a3=b3=a，a6=b6=b，若a＞b，则下列正确的是（）A．若ab＞0，则a4＞b4 B．若a4＞b4，则ab＞0C．若ab＜0，则（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0 D．若（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0，则ab＜0【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】利用a3=b3=a，a6=b6=b，求出公差、公比，利用数列的通项和三元均值不等式，通过取特殊值，即可得出结论．【解答】解：设数列{a n}，{b n}的公差、公比分别是d，q，则∵a3=b3=a，a6=b6=b，∴a+3d=b，aq3=b，∴d=，q=，即有a4﹣b4=a+d﹣aq=﹣a•，a5﹣b5=a+2d﹣aq2=﹣a•，当a，b＞0时，有＞••，即a4＞b4，若a，b＜0，则a4＜b4，当a，b＞0时，有＞••，即a5＞b5，若a，b＜0，则a5＜b5，当ab＜0时，可取a=8，b=﹣1，计算a4=5，b4=﹣4，a5=2，b5=2，即有a4＞b4，a5=b5，故A，B，C均错，D正确．故选D．9．将函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．存在实数x0，使得g（x0）=1 B．当x1＜x2时，必有g（x1）＜g（x2）C．g（2）的取值与实数a有关D．函数g（f（x））的图象必过定点【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数平移以及变化规律，求得g（x）的解析式，再逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：将函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）=a x﹣2 +1的图象，由于a x﹣2 ＞0，故不存在实数x0，使得g（x0）=1，故排除A；由于a的范围不能进一步确定，故不能判断g（x）=a x﹣2 +1的单调性，故排除B；由于g（2）=2，它的取值与实数a无关，故排除C；由于g[f（x）]=a[f（x）﹣2]+1，故当x=0时，f（x）=2，g[f（x）]=a0+1=2，故D正确，故选：D．10．平面内三个向量（i=1，2，3）满足⊥，|﹣|=1（规定=），则（）A．（•）min=0 B．（•）min=﹣1C．（•）max=D．（•）max=【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】由题意可知三向量起点在圆上，终点组成边长为1的等边三角形，建立坐标系，设起点坐标，表示出各向量的数量积，利用三角恒等变换求出最值即可得出结论．【解答】解：设，，=，∵|﹣|=1，∴△ABC是边长为1的等边三角形，∵，∴M在以AB为直径的圆上，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系，则A（﹣，0），B（，0），C（0，），设M（cosα，sinα），则=（﹣﹣cosα，﹣sinα），=（cosα，﹣sinα），=（﹣cosα，﹣sinα），∴=cosα（+cosα）+sinα（sinα﹣）=+（cosα﹣sinα）=+cos（α+），∴的最大值为=，最小值为﹣=﹣．由图形的对称性可知的最大值为，最小值为﹣．又=0，∴（）max=，（）min=﹣．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分）. 11．lg2+lg5=1，log42+2=2．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：lg2+lg5=lg10=1，log42+2=+3×=2，故答案为：1，2．12．角α终边过点（﹣1，），则tanα=﹣，cos2α=﹣．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据角α的终边过点（﹣1，），可先求出tanα，cosα的值，进而由二倍角公式可得答案．【解答】解：设角α终边过点P（﹣1，），则tanα==﹣，则|OP|=，则cosα==﹣，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故答案为：﹣，﹣．13．已知sin（θ﹣）=，则sin（θ+）=﹣，cos（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的式子三角函数式，可得结果．【解答】解：∵sin（θ﹣）=，则sin（θ+）=sin[π+（θ﹣）]=﹣sin（θ﹣）=﹣；cos（θ﹣）=cos[（θ﹣）﹣]=cos[﹣（θ﹣）]=sin（θ﹣）=，故答案为：﹣；．14．正项等比数列{a n}中，公比q≠1，=a11，则k=21．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式得a1×a2×…×a k=，再由a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=，能求出k的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，公比q≠1，=a11，∴a1×a2×…×a k=，∵a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=，∴k=21．故答案为：21．15．如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为2﹣．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】利用扇形的面积公式求出S 扇形ADE 及S 阴影BCD ，结合图形计算即可． 【解答】解：设AB=1，∠EAD=α， ∵S 扇形ADE =S 阴影BCD ，∴则由题意可得：×12×α=12﹣，∴解得：α=2﹣．故答案为：2﹣．16．数列{a n }、{b n }满足a 1=1，且a n +1、1+a n 是函数f （x ）=x 2﹣b n x +a n 的两个零点，则a 2=，当b n ＞时，n 的最大值为 5 ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用根与系数的关系得出{a n }的递推公式，从而得出a n ，b n 的通项公式，在解不等式得出n 的值．【解答】解：∵a n +1、1+a n 是函数f （x ）=x 2﹣b n x +a n 的两个零点，∴a n +1（1+a n ）=a n ，即a n +1=，∴﹣=1，又a 1=1，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴=n ，即a n =，∴a 2=，又由根与系数的关系得：b n =a n +1+（1+a n ）=+1，令+1＞，得n 2﹣5n ﹣3＜0，解得＜n ＜，又n ∈N ，故n 的最大值为5．故答案为：，5．17．等差数列{a n }满足a 12+a 2n +12=1，则a n +12+a 3n +12的取值范围是 [2，+∞） ．【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的性质、基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵a 12+a 2n +12=1，∴a 2n +12∈[0，1]，∴a n +12+a 3n +12≥==2≥2．当且仅当a n +1=a 3n +1时取前一个等号，a 2n +1=±1时取后一个等号． 故答案为：[2，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．18．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=8，S 10=﹣10． （Ⅰ）求a n ，S n ；（Ⅱ）设T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求T n ． 【考点】8E ：数列的求和．【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=8，S 10=﹣10．利用求和公式与通项公式即可得出．（II ）由a n =10﹣2n ≥0，解得n ≤5．可得n ≤5时，T n =S n ．n ≥6时，T n =2S 5﹣S n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=8，S 10=﹣10．∴=﹣10，解得d=﹣2．∴a n =8﹣2（n ﹣1）=10﹣2n ．S n ==﹣n 2+9n ．（II ）由a n =10﹣2n ≥0，解得n ≤5．∴n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =﹣n 2+9n ．n ≥6时，T n =S 5﹣a 6﹣…﹣a n =2S 5﹣S n =2×（﹣52+9×5）﹣（﹣n 2+9n ）=n2﹣9n+40．∴T n=（n∈N*）．19．如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B分别是f （x）的图象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为、的两点，CD∥x轴，A，B，D共线．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间[，]上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）根据题意，求出B点的横坐标，线段CD中点坐标，再求出f（x）的最小正周期T，从而求出ω的值，再根据f（0）与f（）互为相反数求出φ的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式，把f（x）=k+sin2x化为k=sin（2x+）﹣sin2x=cos（2x+），设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，结合图形求出y=k与g（x）恰有唯一交点时实数k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，点A与点D关于点B对称，∴B点的横坐标为=；又点C与点D关于直线x==对称，∴f（x）的最小正周期T满足=﹣=，解得T=π，即ω==2；又f（0）=sinφ，f（）=sin（2×+φ）=sin（+φ）=﹣sin（+φ）=﹣sinφ，且0＜φ＜π，∴φ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）=sin（2x+），∴f（x）=k+sin2x为sin（2x+）=k+sin2x，∴k=sin（2x+）﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x=cos（2x+），设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，则2x∈[，π]，2x+∈[，]，画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，如图所示；根据题意，y=k与g（x）恰有唯一交点，∴实数k应满足﹣＜k≤或k=﹣1．20．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC在BC边上的中线长为1，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理．【分析】（I）由=，利用正弦定理可得：=，化简再利用余弦定理即可得出．（II）设∠ADB=α．在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：﹣cosα，b2=﹣×cos（π﹣α），可得b2+c2=．又b2+c2﹣3=bc，联立解得b+c即可得出．【解答】解：（I）由=，利用正弦定理可得：=，化为：b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA==，A∈（0，π）．∴A=．（II）设∠ADB=α．在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：﹣cosα，b2=﹣×cos（π﹣α），∴b2+c2=2+=．又b2+c2﹣3=bc，联立解得b+c=2．∴△ABC的周长为2+．21．如图，梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，E为AB中点，=λ（0≤λ≤1）．（Ⅰ）当λ=，用向量，表示的向量；（Ⅱ）若||=t（t为大于零的常数），求||的最小值并指出相应的实数λ的值．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】（I）过C作CF∥AB，交AD于F，则F为AD中点，用表示出，利用三角形法则即可得出结论；（II）根据（I）得出的表达式，两边平方得出关于λ的二次函数，根据二次函数的性质求出最值．【解答】解：（I）过C作CF∥AB，交AD于F，则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点，∴===﹣=﹣，λ=时，，∴==++﹣=+．（II）∵=λ，∴=（1﹣λ），∴==（1﹣λ）++﹣=（）+，∵=2tcos60°=t，=t2，=4，∴2=（）2t2++（）t=[（）t+]2+，∴当（﹣λ）t=﹣时即λ=+时，2取得最小值．∴的最小值为，此时λ=+．22．数列{a n}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+a n=4（a n﹣1）．﹣1（Ⅰ）求a2，a3，并证明，数列{a n﹣2a n}为常数列；+1（Ⅱ）设c n=，若对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+c n＜10a恒成立，求实数a的取值范围．【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）根据题意，分别令n=2，3求出a2，a3，并猜想即，并用数﹣2a n}为常数列，学归纳法证明，即可证明数列{a n+1（Ⅱ）利用放缩法可得≤c1+c2+…+c n＜，即可求出a的范围【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+a n=4（a n﹣1），﹣1∴a2=4（a1﹣1）=4（2﹣1）=4，a2+a3=4（a2﹣1），即4+a3=4（4﹣1）=12，解得a3=8．由此猜想{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，即，用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=2，成立．②假设当n=k时，等式成立，即a2+a3+…+a k=4（a k﹣1﹣1），∴22+23+…+2k=4（2k﹣1﹣1），当n=k+1时，a2+a3+…+a k+a k+1=4（2k﹣1﹣1）+2k+1=2k+1﹣4+2k+1=4（2k﹣1）=4（a k﹣1），成立，由①②，得，∴a n﹣2a n=2n+1﹣2•2n=0，+1∴数列{a n﹣2a n}为常数列．+1（Ⅱ）∵c n==，当n=1时，c1=，c n=≤，∴c1+c2+…+c n＜+++…+=+=+（1﹣）＜+=，∴=c1＜c1+c2+…+c n＜，∵对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+c n＜10a恒成立，∴，解得≤a＜，故实数a的取值范围为[，）．2017年6月18日。
高二数学下学期期中检测卷(解析版)
高二数学下学期期中检测卷(解析版)高二数学下学期期中检测卷(解析版)注意：本试卷共120分，考试时间120分钟。
第一部分：选择题（共70分）本部分共10小题，每小题7分。
从每小题所给的四个选项中，选出一个最佳答案，并将其标号填入答题卡相应的位置。
1. 已知直线L1的斜率为k1，点A(x1, y1)在直线L1上，若直线L1与直线L2垂直，则直线L2的斜率为（）。
A. -1/k1B. 1/k1C. k1D. -k12. 已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1,3），则a+b+c的值为（）。
A. 3B. -3C. 1D. -13. 设f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中a，b，c，d都是正数，且a+b+c+d=16，abc+abd+acd+bcd=60，则abcd的值为（）。
A. 70B. 80C. 90D. 1004. 函数f(x)=x³+3x²+3x+1的单调递减区间为（）。
A. (-∞, -1)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (1, +∞)5. 已知集合A={x|x²-2x-8<0}，则A的解集为（）。
A. x∈(-∞,-2)U(4, +∞)B. x∈(-∞,-2)U(2, +∞)C. x∈(-∞,-4)U(2, +∞)D. x∈(-∞,-4)U(4, +∞)6. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，则三角形ABC中斜边AB的长度为（）。
A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知函数y=ln(x+1)+a是函数y=f(x)=ln(x)的图像上任意一点(x, y)的图像，若f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2x-1，则a的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 48. 设集合A={x|log₂(x+1)≥0}，则A的解集为（）。
A. x≥-1B. x>-1C. x>-2D. x≥-29. 已知向量a=(2,3)和b=(4,5)，则向量a与向量b的数量积为（）。
高二数学下学期期中考试试卷含答案
高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。
$(-\infty。
-1]\cup [2,+\infty)$B。
$(-1,+\infty)$C。
$(-\infty,1]$D。
$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。
$5x-y-3=0$B。
$5x-y+3=0$C。
$3x-y-1=0$D。
$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。
$x=\frac{\pi}{6}$B。
$x=\frac{\pi}{4}$C。
$x=\frac{\pi}{3}$D。
$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。
$90^\circ$B。
$60^\circ$C。
$45^\circ$D。
[精品]2016-2017年浙江省名校协作体高二下学期联考数学试卷及解析答案word版
![[精品]2016-2017年浙江省名校协作体高二下学期联考数学试卷及解析答案word版](https://img.taocdn.com/s3/m/5655736df242336c1eb95e9e.png)
2016-2017学年浙江省名校协作体高二（下）联考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填写在答题卷的相应位置上．1．（5分）已知直线l1：x+my+7=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则实数m=（）A．m=﹣1或3 B．m=﹣1 C．m=﹣3 D．m=1或m=﹣32．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则α⊥β是m⊥β的）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A．24πB．18πC．10πD．6π4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．5．（5分）定义点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0（a2+b2≠0）的有向距离为：．已知点P1、P2到直线l的有向距离分别是d1、d2．以下命题正确的是（）A．若d1=d2=1，则直线P1P2与直线l平行B．若d1=1，d2=﹣1，则直线P1P2与直线l垂直C．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1•d2≤0，则直线P1P2与直线l相交6．（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．（5分）在所有棱长都相等的三棱锥A﹣BCD中，P、Q分别是AD、BC的中点，点R在平面ABC内运动，若直线PQ与直线DR成30°角．则R在平面ABC内的轨迹是（）A．双曲线B．圆C．椭圆D．直线8．（5分）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG∥F1F2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．9．（6分）双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．10．（6分）已知点A（0，1），直线l1：x﹣y﹣1=0，直线l2：x﹣2y+2=0，则点A 关于直线l1的对称点B的坐标为，直线l2关于直线l1的对称直线方程是．11．（6分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是；表面积是．12．（6分）如图，三棱锥S﹣ABC中，若，SA=SB=SC=AB=BC=4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为，直线AC与平面SAB所成的角为．13．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）14．（4分）两定点A（﹣2，0），B（2，0）及定直线，点P是l上一个动点，过B作BP的垂线与AP交于点Q，则点Q的轨迹方程为．15．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=6，，O为AC的中点，过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D．若∠DPR=∠CPR，则三棱锥P﹣ABC 体积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知直线l1：x﹣y﹣1=0，直线l2：x+y﹣3=0（I）求直线l1与直线l2的交点P的坐标；=4（O （II）过点P的直线与x轴的非负半轴交于点A，与y轴交于点B，且S△AOB为坐标原点），求直线AB的斜率k．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=1，BC=2，S，点D是AB的中点．（I）证明：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）在线段AB上找一点P，使得直线AC1与CP所成角的为60°，求的值．18．（15分）已知圆O：x2+y2=4及一点P（﹣1，0），Q在圆O上运动一周，PQ 的中点M形成轨迹C．（1）求轨迹C的方程；（2）若直线PQ的斜率为1，该直线与轨迹C交于异于M的一点N，求△CMN的面积．19．（15分）如图，四棱锥A﹣OBCD中，已知平面AOC⊥面OBCD，AO=2，OB=BC=2，CD=4，∠OBC=∠BCD=120°．（I）求证：平面ACD⊥平面AOC；（II）直线AO与平面OBCD所成角为60°，求二面角A﹣BC﹣D的平面角的正切值．20．（15分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M在椭圆上，△MF1F2的周长为，面积的最大值为2．（I）求椭圆C的方程；（II）直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B，连接AF2，BF2并延长交椭圆C于D，E，连接DE．探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由．2016-2017学年浙江省名校协作体高二（下）联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填写在答题卷的相应位置上．1．（5分）已知直线l1：x+my+7=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则实数m=（）A．m=﹣1或3 B．m=﹣1 C．m=﹣3 D．m=1或m=﹣3【解答】解：由m（m﹣2）﹣3=0，解得m=3或﹣1．经过验证都满足两条直线平行，∴m=3或﹣1．故选：A．2．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则α⊥β是m⊥β的）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知，m为平面α内的一条直线，如果m⊥β，则α⊥β；反过来m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”可能有m∥β，m∩β=p，可能有m ⊥β三种情况．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．3．（5分）三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A．24πB．18πC．10πD．6π【解答】解：∵三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三条侧棱长分别为，∴可将其补充为一个长宽高分别为的长方体，∴其外接球的直径2R==，∴三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=6π，故选：D．4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示；取正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱AB、BC、CC1的中点L、K、Q，连接NL，LK、KQ、QP，则六边形PQKLNM是过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为NQ=2，其面积为6×××=12．故选：D．5．（5分）定义点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0（a2+b2≠0）的有向距离为：．已知点P1、P2到直线l的有向距离分别是d1、d2．以下命题正确的是（）A．若d1=d2=1，则直线P1P2与直线l平行B．若d1=1，d2=﹣1，则直线P1P2与直线l垂直C．若d 1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1•d2≤0，则直线P1P2与直线l相交【解答】解：对于A，若d1=d2=1，则ax1+by1+c=ax2+by2+c=，直线P1P2与直线l平行，∴正确．对于B，点P1、P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，∴错误．对于C，由A知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时ax1+by1+c=ax2+by2+c=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴C错误；对于D，若d1•d2≤0，即（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）≤0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧或直线上，∴直线P1P2与直线l相交或重合，∴不正确．故选：A．6．（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．7．（5分）在所有棱长都相等的三棱锥A﹣BCD中，P、Q分别是AD、BC的中点，点R在平面ABC内运动，若直线PQ与直线DR成30°角．则R在平面ABC内的轨迹是（）A．双曲线B．圆C．椭圆D．直线【解答】解：由题意，平面ABC截圆锥面，截面与旋转轴的夹角大于母线与旋转轴的夹角，轨迹为椭圆，即R在平面ABC内的轨迹是椭圆．故选B．8．（5分）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG∥F1F2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得重心G（，）即（，），设△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N，与边PF1的切点为K，与边PF2上的切点为Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同．由双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a．①由圆的切线性质|PF1|﹣PF2|=|F I K|﹣|F2Q|=|F1N|﹣|F2N|=2a，∵|F1N|+|F2N|=|F1F2|=2c，∴|F2N|=c﹣a，|ON|=a，即有M（a，a），由MG∥F1F2，则△PF1F2的重心为G（，a），即t=3a，由△PF1F2的面积为•2c•3a=a（|PF1|+|PF2|+2c），可得|PF1|+|PF2|=4c②由①②可得|PF2|=2c﹣a，由右准线方程x=，双曲线的第二定义可得e==，解得s=2a，即有P（2a，3a），代入双曲线的方程可得﹣=1，可得b=a，c==2a，即e==2．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．9．（6分）双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为3．【解答】解：双曲线的a=4，b=3，c=5，可得离心率为：．双曲线的一条渐近线方程为：3x+4y=0，一个焦点坐标（5，0），焦点到渐近线的距离为：=3．故答案为：，3．10．（6分）已知点A（0，1），直线l1：x﹣y﹣1=0，直线l2：x﹣2y+2=0，则点A 关于直线l1的对称点B的坐标为（2，﹣1），直线l2关于直线l1的对称直线方程是2x﹣y﹣5=0．【解答】解：设点A（0，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点B的坐标为（a，b），则由，求得a=2，b=﹣1，故点B（2，﹣1），设直线l1到直线l的夹角为θ，依题意知，直线l到l2的夹角也是θ，由到角公式得，解得：k=2，由直线l1：x﹣y﹣1=0，直线l2：x﹣2y+2=0联立解得直线l过该点（4，3），∴直线l的方程为：y﹣3=2（x﹣4），整理得：2x﹣y﹣5=0．故答案为（2，﹣1），2x﹣y﹣5=0．11．（6分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是2；表面积是2+3+．【解答】解：由三视图可知，这个四棱锥的侧面都是直角三角形，其底面为一个对角线长为2的正方形，正方形的边长为2sin45°=，其底面积为=2．由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形，由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3，此棱锥的体积为=2，又直角三角形的直角边为=，则其表面积为：S=2+2×××3+2×××=2+3+．故答案为：．12．（6分）如图，三棱锥S﹣ABC中，若，SA=SB=SC=AB=BC=4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为，直线AC与平面SAB所成的角为600．【解答】解：（1）取SA的中点F，连接EF，BF，∵E为棱SC的中点，∴EF∥AC，∴∠BEF（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，∵AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=4，∴BE=BF=2．EF=，在等腰△BEF中，cos∠BEF=．（2）取SB中点O，连结CO，AO．∵SA=SB=SC=AB=BC=4，∴AO=CO=AC=2．AO⊥SB，CO⊥SB，即SB⊥面ACO，∴∠OAC是直线AC与平面SAB所成的角，可得∠OAC=60°．故答案为：，60013．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中真命题的编号是①③④（写出所有真命题的编号）【解答】解：对于①：∵点P是直线BC1的动点，∴△AD1P的面积是定值，∵点C到平面AD1P的距离不变，∴①正确；对于②：∵随着P点的移动，与平面ACD1的法向量的夹角也是变化的，∴②错误；对于③：∵平面PD1A平面ACD1的法向量的夹角是不变的，∴③正确；对于④：∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴M点的轨迹是线段DC1在空间的垂直平分线与面A1B1C1D1的交点，故其轨迹是直线A1D1，故④正确．故答案为，①③④14．（4分）两定点A（﹣2，0），B（2，0）及定直线，点P是l上一个动点，过B作BP的垂线与AP交于点Q，则点Q的轨迹方程为+y2=1．【解答】解：设P（，m），Q（x，y），则k BP==，k BQ=，∵BP⊥BQ，∴=﹣1，即4x+3my﹣8=0，∵A，P，Q三点共线，∴，∴m=，代入4x+3my﹣8=0得．故答案为：．15．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=6，，O为AC的中点，过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D．若∠DPR=∠CPR，则三棱锥P﹣ABC 体积的最大值为3．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，，∴AC==4，∴cos，∴∠BCA=60°，∵O为AC的中点，∴OA=OB=OC，∴△BOC是正三角形，∵过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D．∠DPR=∠CPR，∴∠BCR=30°，CR=，CD==4，∴DR=1，∵∠DPR=∠CPR，∴PR是∠DPC的平分线，∴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图，设P（x，y），则=，整理，得（x+）+y2=，∴，∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：V max===3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知直线l1：x﹣y﹣1=0，直线l2：x+y﹣3=0（I）求直线l1与直线l2的交点P的坐标；=4（O （II）过点P的直线与x轴的非负半轴交于点A，与y轴交于点B，且S△AOB为坐标原点），求直线AB的斜率k．【解答】解：（1）联立两条直线方程：，解得，所以直线l1与直线l2的交点P的坐标为（2，1）；（2）设直线方程为：y﹣1=k（x﹣2），令x=0得y=1﹣2k，因此B（0，1﹣2k）；令y=0得x=2﹣，因此，，∴，解得k=﹣或．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=1，BC=2，S，点D是AB的中点．（I）证明：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）在线段AB上找一点P，使得直线AC1与CP所成角的为60°，求的值．【解答】（Ⅰ）证明：设CB 1与C1B相交于E，连结DE，…．（2分）∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，…．（6分）∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．…．（7分）（Ⅱ）建立空间直角坐标系，CC1为z轴，CA为x轴，CB为y轴，…．（9分）设，，所以即求=…15分．（向量写出，夹角公式写出，计算答案错误至少给2分）非向量做法：指出角给（2分），其他视情况相应给分18．（15分）已知圆O：x2+y2=4及一点P（﹣1，0），Q在圆O上运动一周，PQ 的中点M形成轨迹C．（1）求轨迹C的方程；（2）若直线PQ的斜率为1，该直线与轨迹C交于异于M的一点N，求△CMN 的面积．【解答】解：（1）设M（x，y），则Q（2x+1，2y），∵Q在圆x2+y2=4上，∴（2x+1）2+4y2=4，即（x+）2+y2=1．∴轨迹C的方程是（x+）2+y2=1．（2）直线PQ方程为：y=x+1，圆心C到直线PQ的距离为d==，∴|MN|=2=，∴△CMN的面积为==．19．（15分）如图，四棱锥A﹣OBCD中，已知平面AOC⊥面OBCD，AO=2，OB=BC=2，CD=4，∠OBC=∠BCD=120°．（I）求证：平面ACD⊥平面AOC；（II）直线AO与平面OBCD所成角为60°，求二面角A﹣BC﹣D的平面角的正切值．【解答】（1）证明：OB=BC=2，CD=4，∠OBC=∠BCD=120°．可得OC=2，∠DCO=120°﹣30°=90°，∴CD⊥OC，…2分因为平面AOC⊥面OBCD，∴CD⊥面AOC…4分又CD⊆面ACD，所以平面ACD⊥平面AOC…6分（2）过A作OC的垂线，垂足为H，则∠AOH=60°，AH=3…8分过H作BC的垂线，垂足为M，连AM，则AM⊥BC则∠AMH为所求…11分…15分（求对一条边长给2分）20．（15分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M在椭圆上，△MF1F2的周长为，面积的最大值为2．（I）求椭圆C的方程；（II）直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B，连接AF2，BF2并延长交椭圆C于D，E，连接DE．探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由．【解答】解：（I），…2′，，…4′得，所以．…6′（2）（II）设A（x0，y0），则B（﹣x0，﹣y0）．直线，…8′代入得，因为，代入化简得，设，则，所以，．…12′直线，同理可得，．所以=，所以k DE ：k=9． …15′ （其他解法酌情给分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
浙江省2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题
高二年级数学学科 试题命题：衢州二中 刘玉青 慈溪中学 张军考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷制定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交题答卷。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题公共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合A={x|2x ＞4}，B={x|1-x 3x +≤0}，则（B A C ）u 等于 A.{x|-2≤x ＜1} B.{x|-3≤x ＜2} C.{x|-2≤x ＜2} D.{x|-3≤x ≤2} 2.关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是 A.若l ∥α，α β=m ，则l ∥m B.若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β C.若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α D.若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α3.已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+1x 025-y 5x 303y 4-x ，记z=ax-y （其中a ＞0）的最小值为f （a ），若f （a ）≥53，则实数a 的最小值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 64.已知f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧x log 32x ）＞（）（0x 0x ≤，则方程f （f （x ））=1的实数根的个数是A. 4B. 5C. 6D. 7 5.已知函数f （x ）=|sinx|•cosx ，则下列说法正确的是A.f （x ）的图像关于直线对称2π B.f （x ）的周期为πC.若|f （1x ）|=|f （2x ）|，则1x =2x +2k π（k ∈Z ）D.f （x ）在区间[43,4π，π]上单调递减 6.设数列{，＜t s 033tx ≤+且s ，t ∈z}中所有的数从小到大排列成的数列，即4a 1=，，，，，，36a 30a 28a 12a 10a 65432=====…，将数列{}na 中各项按照上下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：的值为则200a 36302812104⋯⋯A.19933+B.191033+C.20933+D.201033+7.已知抛物线2x =4y 的焦点为F ，设A （11y x ，），B （22y x ，）是抛物线上的两个动点，若满足B A 3322y y 21=++,则∠AFB 的最大值为 A.3π B.32π C.43π D.65π 8.已知函数f （x ）=cos （x 32π）+（a-1）sin （x 3π)+a ，g （x ）=x 3-x ，若f （g （x ））≤0对任意的x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是A.(]13,-∞-B.](0,∞-C.][130-，D.](31,-∞- 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
精选2016--2017学年高二数学下学期期中联考试题(含解析)
衢州四校2017学年第二学期高二年级期中联考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. ）C. D.【答案】A集的定义可求。
A。
点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识。
意在考查学生的计算求解能力。
2. ，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C，变形得-1,-2），判断点所在象限。
所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2），故复数在复平面内对应的点在第三象限。
故选C。
点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。
意在考查学生的转化与计算求解能力。
3. 已知（）B. C. D.【答案】B，再求根据分段函数求。
，所以因为-1<0，所以。
故选B。
点睛：（1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。
（24. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.C. D.【答案】D【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除A；两面垂直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，故排除B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除C；由直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项D正确。
详解：对于选项A A错；对于选项BB错；对于选项C C错；对于选项D，若，由平面与平面垂直的判定定理可知D正确。
故选D。
点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系，以及判定定理、性质定理。
5. ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B”，那么，故选B。
点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进而可解决问题。
2016-2017学年浙江省名校协作体高二下学期考试数学试卷(带解析)
【解析】
设 ，则 ，所以
15．
【解析】
由题意得 ,因为 ，所以 ,由阿波罗斯圆知 到直线 最远距离为圆的半径 ，（设 ，则由 得 ）因此三棱锥 体积的最大值为
16．（1） ；（2） 或 ．
【解析】
试题分析：（1）由两直线方程联立方程组,解方程组可得交点坐标,（2）先根据题意按点斜式写出直线方程,并确定斜率取值范围,再分别令 得点 坐标,根据直角三角形面积公式可得方程,解方程解得直线 的斜率 ．
试题解析：（Ⅰ）证明：设 与 相交于 ，连结 ,
是 的中点， 是 的中点,
∥
平面 ， 平面 , ∥平面
（Ⅱ）建立空间直角坐标系， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
设
，
所以
18．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）转移法求动点轨迹,先设所求 动点坐标及 点坐标,再根据中点坐标公式得两者坐标关系,用 动点坐标表示 点坐标,最后代入圆方程,化简得轨迹的方程,（2）先根据点斜式写出直线 的方程,再根据圆心到直线方程距离得三角形的高,利用垂径定理可得弦长,即三角形底边边长,最后根据三角形面积公式得结果.
7．B
【解析】
直线 看作圆锥面轴线,直线 看作为圆锥面一条母线,夹角为 ,平面 与轴线 夹角正切值为 ,即大于 ,小于 ,所以 在平面 内的轨迹是椭圆,选B.
8．C
【解析】
由 得 ，所以 ,
由 ,因此 ,选C.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
试题解析：（1）设 ，则 ，
2016-2017学年浙江省宁波市九校联考高二(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，1）∪（2，3）B．[﹣1，1]∪[2，3]C．（1，2）D．R2．（4分）i是虚数单位，计算＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i3．（4分）已知曲线f（x）＝lnx在点（2，f（2））处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．B．﹣2C．2D．4．（4分）下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分条件是（）A．a﹣1＞b B．a+1＞b C．|a|＞|b|D．a3＞b35．（4分）已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）从1，2，3，…，9这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．62B．64C．65D．667．（4分）已知1＜a＜b，m＝a b﹣1，n＝b a﹣1，则m，n的大小关系为（）A．m＜nB．m＝nC．m＞nD．m，n的大小关系不确定，与a，b的取值有关8．（4分）已知下列各式：①f（|x|+1）＝x2+1；②；③f（x2﹣2x）＝|x|；④f （|x|）＝3x+3﹣x．其中存在函数f（x）对任意的x∈R都成立的是（）A．①④B．③④C．①②D．①③9．（4分）设函数f（x）＝log2x+ax+b（a＞0），若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t+2]（t ＞0）都有|f（x）|≤1+a，则t的最小值是（）A．2B．1C．D．10．（4分）定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，当x∈（﹣∞，0]时f'（x）＜3x2，实数a满足f（1﹣a）﹣f（a）≥﹣2a3+3a2﹣3a+1，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）已知log a2＝m，log a3＝n，则a2m+n＝，用m，n表示log46为．12．（6分）已知的展开式中二项式系数和为64，则n＝，该展开式中常数项为．13．（6分）已知函数f（x）＝，其中a＞0且a≠1．若a＝时方程f（x）＝b有两个不同的实根，则实数b的取值范围是；若f（x）的值域为[2，+∞），则实数a的取值范围是．14．（6分）函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣e﹣x的奇偶性为，在R上的增减性为（填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）．15．（4分）小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为．16．（4分）已知（x＞0）的最小值为．则实数a ＝．17．（4分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1]上有零点x0，则的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知n∈N*，S n＝（n+1）（n+2）…（n+n），．（Ⅰ）求S1，S2，S3，T1，T2，T3；（Ⅱ）猜想S n与T n的关系，并用数学归纳法证明．19．（15分）（Ⅰ）已知，其中a i∈R，i＝1，2，…10．（i）求a0+a1+a2+…+a10；（ii）求a7．（Ⅱ）2017年5月，北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛．组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位．（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？（ii）若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？20．（15分）已知a∈R，函数f（x）满足f（2x）＝x2﹣2ax+a2﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）在上的值域为[﹣1，0]，求实数a的取值范围．21．（15分）已知函数f（x）＝e﹣x﹣．（Ⅰ）证明：当x∈[0，3]时，．（Ⅱ）证明：当x∈[2，3]时，．22．（15分）已知a＜﹣1，函数f（x）＝|x3﹣1|+x3+ax（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知存在实数m，n（m＜n≤1），对任意t0∈（m，n），总存在两个不同的t1，t2∈（1，+∞），使得f（t0）﹣2＝f（t1）＝f（t2），求证：．2016-2017学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}＝[1，2]，则A∩（∁R B）＝[﹣1，3]∩[[2，+∞）∪（﹣∞，1]]＝[2，3]∪[﹣1，1]，故选：B．2．【解答】解：＝＝＝i．故选：C．3．【解答】解：f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，可得曲线f（x）＝lnx在点（2，f（2））处的切线斜率为，切线与直线ax+y+1＝0垂直，可得﹣a•＝﹣1，解得a＝2．故选：C．4．【解答】解：∵a＞b，∴a+1＞b，反之不一定成立．例如取a＝，b＝1．∴使a＞b成立的必要而不充分条件是a+1＞b．故选：B．5．【解答】解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．6．【解答】解：根据题意，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数需要分3种情况讨论：①、当取出的4个数都是奇数，有C54＝5种情况，②、当取出的4个数有2个奇数、2个偶数，有C52×C42＝10×6＝60种情况，③、当取出的4个数都是偶数，当取出的数字没有奇数有C44＝1种情况，根据分类计数原理总共有5+60+1＝66种取法；故选：D．7．【解答】解：∵1＜a＜b，∴b﹣1＞a﹣1＞0，m＝a b﹣1，n＝b a﹣1，可得lnm＝（b﹣1）lna，lnn＝（a﹣1）lnb，相除可得＝，设f（x）＝（x＞1），可得f′（x）＝＜0，可得f（x）在x＞1递减，可得＞1，则m＞n，故选：C．8．【解答】解：①f（|x|+1）＝x2+1，由t＝|x|+1（t≥1），可得|x|＝t﹣1，则f（t）＝（t﹣1）2+1，即有f（x）＝（x﹣1）2+1对x∈R均成立；②，令t＝（0＜t≤1），x＝±，对0＜t≤1，y＝f（t）不能构成函数，故不成立；③f（x2﹣2x）＝|x|，令t＝x2﹣2x，若t＜﹣1时，x∈∅；t≥﹣1，可得x＝1±（t≥﹣1），y＝f（t）不能构成函数；④f（|x|）＝3x+3﹣x．当x≥0时，f（x）＝3x+3﹣x；当x＜0时，f（﹣x）＝3x+3﹣x；将x换为﹣x可得f（x）＝3x+3﹣x；故恒成立．综上可得①④符合条件．故选：A．9．【解答】解：函数f（x）＝log2x+ax+b（a＞0），由y＝log2x，y＝ax+b在（0，+∞）递增，可得f（x）在（0，+∞）递增，由对任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，可得﹣1﹣a≤f（x）≤1+a恒成立，即有﹣1﹣a≤f（x）min＝f（t）＝log2t+at+b，①1+a≥f（x）max＝log2（t+2）+a（t+2）+b，即为﹣1﹣a≤﹣log2（t+2）﹣a（t+2）﹣b，②①+②可得﹣2﹣2a≤log2t+at+b﹣log2（t+2）﹣a（t+2）﹣b，化为log2≥﹣2，解得≥，解得t≥，则t的最小值为，故选：D．10．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x3，则g（﹣x）＝f（﹣x）﹣x3，则g（x）﹣g（﹣x）＝f（x）﹣f（﹣x）﹣2x3＝0，得g（x）为R上的偶函数，∵x＜0时，g'（x）＝f'（x）﹣3x2＜0，故g（x）在（﹣∞，0）单调递减，再结合g（x）为偶函数，知g（x）在（0，+∞）单调递增，又g（1﹣a）﹣g（a）＝f（1﹣a）﹣（1﹣a）3﹣（f（a）﹣a3）＝f（1﹣a）﹣f（a）+2a3﹣3a2+3a﹣1＝0，则g（1﹣a）≥g（a）等价于|1﹣a|≥|，解得a≤，即a∈（﹣∞，]．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．【解答】解：∵log a2＝m，log a3＝n，∴a m＝2，a n＝3，a2m+n＝（a m）2×a n＝22×3＝12，log46＝＝＝．故答案为：12，．12．【解答】解：由（2﹣）n展开式中的二项式系数和为64，可得2n＝64，∴n＝6．则展开式的通项公式为T r+1＝26﹣r•（﹣）r，令＝0，解得r＝2，故该展开式中的常数项为×24•C62＝60，故答案为6，60．13．【解答】解：作出f（x）＝的图象，由a＝时方程f（x）＝b有两个不同的实根，可得b＞2，且b＜2+0.52＝，即有b∈（2，）；函数f（x）＝，当0＜a＜1时，x≤2时，f（x）＝4﹣x≥2，x＞2时，f（x）＝a x+2a+1递减，可得2a+1＜f（x）＜a2+2a+1，f（x）的值域为[2，+∞），可得2a+1≥2，解得≤a＜1；当a＞1时，x≤2时，f（x）＝4﹣x≥2，x＞2时，f（x）＝a x+2a+1递增，可得f（x）＞a2+2a+1＞4，则f（x）的值域为[2，+∞）成立，a＞1恒成立．综上可得a∈[，1）∪（1，+∞）．故答案为：（2，），[，1）∪（1，+∞）．14．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣e﹣x，∴它的定义域为R，且满足f（﹣x）＝﹣x3+x+e﹣x﹣e x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．由于函数的导数f′（x）＝3x2﹣2+（e x+e﹣x）≥3x2﹣2+2＝3x2≥0，故函数在R上单调递增，故答案为：奇；单调递增．15．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21＝2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22＝2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32＝12种安排方法，此时有2×2×12＝48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2＝4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33＝6种情况，此时有2×2×6＝24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22＝2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33＝6种情况，此时，共有2×6＝12种不同坐法；则一共有48+24+12＝84种不同坐法；故答案为：84．16．【解答】解：≥＝＝，当且仅当，即x＝1时，上式等号成立．由，解得a＝．故答案为：．17．【解答】解：由f（x0）＝0得b＝﹣x02﹣ax0，∴ab＝﹣ax02﹣a2x0＝x0[a（﹣x0﹣a）]≤x0•＝．（当且仅当a＝﹣x0﹣a即x0＝﹣2a时取等号）∴ab（）≤（﹣+），令g（x0）＝﹣+，则g′（x0）＝x03﹣x02+＝x0（x0﹣）（x0﹣），∴g（x0）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，1）上单调递增，又g（）＝，g（1）＝＝，∴g（x0）的最大值为．∴的最大值为＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．【解答】解：（Ⅰ）S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120；（Ⅱ）猜想：S n＝T n（n∈N*），证明：（1）当n＝1时，S1＝T1；（2）假设当n＝k（k≥1且k∈N*）时，S k＝T k，即（k+1）（k+2）…（k+k）＝2k×1×3×…（2k﹣1），则当n＝k+1时S k+1＝（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k﹣1）（k+1+k）（k+1+k+1）＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2）＝＝2k+1×1×3×…（2k﹣1）（2k+1）＝T k+1．即n＝k+1时也成立，由（1）（2）可知n∈N*，S n＝T n成立．19．【解答】解：（Ⅰ）（i）在（2x﹣1）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10中，令x＝2可得a0+a1+a2+…+a10＝310，（ii）令x﹣1＝y，则x＝y+1；∴（1+2y）10＝a0+a1y+a2y2+…+a10y10，∴a7＝C10727＝15360；（Ⅱ）（i）每个岗位至少有一人参加，每人不准兼职，则有一个岗位2人参加，故有分配方案（种）；（ii）根据题意，4个岗位3个人参加，且每人身兼2职，不同的分配方案有﹣（+•（﹣））＝114（种）．20．【解答】解：（Ⅰ）令2x＝t＞0，则x＝log2t，则，即．定义域为：（0，+∞）；（Ⅱ）令g（x）＝f（2x），则f（x）＝，∴f（x）在上的值域为[﹣1，0]等价于g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣1在区间[a﹣1，a2﹣2a+2]上的值域为[﹣1，0]．∵g（a）＝﹣1∈[﹣1，0]，∴a∈[a﹣1，a2﹣2a+2]，且g（x）在区间[a﹣1，a2﹣2a+2]上的最大值应在区间端点处取得．又g（a﹣1）＝0恰为g（x）在该区间上的最大值，故a必在区间右半部分，即，解得或．21．【解答】（本小题满分15分）证明：（Ⅰ）要证，也即证e x≤1+9x．…（2分）令F（x）＝e x﹣9x﹣1，则F′（x）＝e x﹣9．令F′（x）＞0，则x＞2ln3．∴当0≤x＜2ln3时，有F′（x）＜0，∴F（x）在[0，2ln3]上单调递减，2ln3＜x≤3时，有F′（x）＞0，∴F（x）在[2ln3，3]上单调递增．…（5分）∴F（x）在[0，3]上的最大值为max{F（0），F（3）}．又F（0）＝0，F（3）＝e3﹣28＜0．∴F（x）≤0，x∈[0，3]成立，即e x≤1+9x，x∈[0，3]成立．∴当x∈[0，3]时，．…（7分）（Ⅱ）由（I）得：当x∈[2，3]时，f（x）＝≥，令，则t′（x）＝﹣（1+9x）﹣2•9+（1+x）﹣2＝＝＝≥0，x∈[2，3]．（9分）∴t（x）在[2，3]上单调递增，即t（x）≥t（2）＝﹣＝﹣，x∈[2，3]．∴f（x）＞﹣得证．…（12分）下证f（x）＜0．即证e x＞x+1，令h（x）＝e x﹣（x+1），则h′（x）＝e x﹣1＞0，∴h（x）在[2，3]上单调递增，∴h（x）＝e x﹣（x+1）≥e2﹣3＞0，得证．∴当x∈[2，3]时，．…（15分）22．【解答】解：（Ⅰ），记，则f2′（x）＝6x2+a，因为a＜﹣1则由f2′（x）＝0可得x＝±，（i），f1（x）在（﹣∞，1）上递减，f2（x）在[1，+∞）上递增，所以[f（x）]min＝f（1）＝a+1；（ii），f1（x）在（﹣∞，1）上递减，，所以．综上，；（Ⅱ）证明：不妨设t1＜t2，则由（1）知，若﹣6≤a＜﹣1，则f2（x）在（1，+∞）上递增，不满足题意，所以a＜﹣6．所以，且，（i）a+1﹣2＞，即即，解得，即，所以，所以，所以；（ii）a+1﹣2≤，即，即，解得，所以，所以m≥1+，n≤，所以n﹣m≤﹣1﹣令＝u∈（1，]，则﹣1﹣＝u﹣1+，令φ（u）＝u﹣1+，则，所以φ（u）＝u﹣1+在u∈（1，]递增，所以φ（u）≤φ（）＝，所以n﹣m≤φ（u）≤．。
2016-2017学年下学期期中考高二数学理科参考答案 精品
2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 参考答案13．514．-10 15．1416．3 三、解答题（共6题，共70分） 17．【解析】（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是304236C C 1C 5=；…3分 （2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分()124236C C 1P X 1,C 5===()214236C C P X 2C ===35，()304236C C 1P X 3C 5===，………7分∴X 8分8()5E X =。
………………………………………………………10分18．【解析】(1)连接AC 交BD 于点O ，连接OE ；在△CPA 中，E ，O 分别是边CP ，CA 的中点，∴OE ∥PA ，而OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . ……………………4分(2)如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2.则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0),∴ DE ＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，……………………5分设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0220y z x y ⎧⎨⎩＋＝，＋＝取y ＝－1，得n ＝(1，－1,1)， 又DA＝(2,0,0)是平面DEC 的一个法向量．……………………9分∴cos 〈n ，DA 〉＝n DA n DA⋅⋅3＝.……………………11分 故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为3……………………12分 19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.()25210209C P C ξ===，()1155210519C C P C ξ===，()25210229C P C ξ===，………6分∴ξ的分布列为数学期望为0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………8分（3）设(),1,2,3,4i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5,6x y ==，()()()1217 1.45ˆni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑6 1.4 2.5ˆ 2.5ˆa y bx =-=-⨯=， 得线性回归方程： 1.4 2.5y x =+.………………………………11分 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分20将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ， ∴在犯错误概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ?·,i 0,1,2,3444X B P X C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫~=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：()94E X np ==.………………………………………………………………………12分 21．（Ⅰ）当2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=- 1'(1)1,(1),2f f =-=()fx 在(1,(1))f 处的切线方程为()112y x -=--，即2230.x y +-=……………4分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,fx x ==得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此，()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =． ②若21e,1e ,a<<<<即在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减;在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此，在()f x 区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-． 综上，()2min221,01,21()1ln ,1,21,.2a f x a a a e e a a e ⎧<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<．所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…12分 22．【解析】(I )椭圆的长轴长为a =又与椭圆22124x y +=有相同的离心率2e =,故2, 2.c b == 所以椭圆M 的方程为22184x y +=………………………………………………4分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故r =， 即()2221m r k =+. ①……………………………………5分又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-=…………6分设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1x +2x =24,12kmk -+12x x =222812m k -+，由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② ……………………………………………………8分联立①②得283r =。
浙江省宁波市-2017学年高二数学下学期期中试题(含解析)
2016学年第二学期高二年级期中考试数学试卷选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1. 已知函数则的值为( )A. -20B. -10C. 10D. 20【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，，故选D.考点：导数的定义及对数函数求导.2. 从一批产品中取出三件，设=“三件产品全不是次品”，=“三件产品全是次品”，=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A. A与C互斥B. B与C互斥C. 任两个均互斥D. 任两个均不互斥【答案】B【解析】试题分析：事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件C同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果．解：由题意知事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件C中不包含B事件，事件C和事件B不能同时发生，∴B与C互斥，故选B．点评：本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论．3. 二项式的展开式中的有理项共有（）A. 4项B. 5项C. 6项D. 7项【答案】C【解析】二项式的展开式中通项公式为，令为整数，可得r=0，2，4，6，8，10，共计6项，本题选择C选项.4. 2017年4月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件=“取到的两个为同一种馅”，事件= “取到的两个都是豆沙馅”，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，,，故选：A．【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．5. 设函数在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数图象可能为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】函数的图象可知,x<0时,函数是增函数,f′(x)>0，函数f(x)有两个极值点，导函数的图象与x轴有2个交点，排除A，C；x>0的极大值前是增函数，导函数为正值，排除B.本题选择D选项.6. 已知，若~,则和分别是（）A. 6和2.4B. 2和2.4C. 2和5.6D. 6和5.6【答案】B【解析】由已知随机变量X+Y=8，所以有Y=8-X.因此，E(Y)=8-E(X)=8-10×0.6=2，D(Y)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.本题选择B选项.7. 某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：种，.....................则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：本题选择C选项.8. 已知可导函数满足，则当时，大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：所以函数为增函数考点：函数导数与单调性9. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )A. 360B. 520C. 600D. 720【答案】C【解析】试题分析：分两种情况：一种是甲乙有一人参加共有,一种是甲乙都参加共有综上共有600种，选C．考点：有条件的排列问题，不相邻问题．10. 设函数，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设g(x)=e x(2x−1)，y=ax−a，由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax−a的下方，∵g′(x)=e x(2x−1)+2e x=e x(2x+1)，∴当时,g′(x)<0,当时,g′(x)>0，∴当时,g(x)取最小值，当x=0时,g(0)=−1,当x=1时,g(1)=e>0，直线y=ax−a恒过定点(1,0)且斜率为a，故−a>g(0)=−1且g(−1)=−3e−1⩾−a−a,解得本题选择D选项.二．填空题: 本大题共7小题, 多空每空3分，单空每题4分, 共36分．把答案填在答题卷的相应位置．11. 在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。
2017学年第二学期高二数学期中考试试卷答案
考试答案一、填空题：w W w .x K b 1.c o M1、异面、平行；2、；3、；4、；5、垂直；6、；7、；8、；9、；10、③④；11、；12、取中点R，P地轨迹即为线段RC.二、选择题：13、A；14、D；15、A；16、A；17、A；18、C三、解答题：19、<1）由………3分故：两根为所以：………6分新课标第一网<2）证明:假设直线与共面，设该平面为.………2分可知直线与在平面上，所以……………4分即即直线为共面直线，与已知为异面直线矛盾.故原假设不成立，则直线与为异面直线.……………6分20、解：<1）………3分<2）………4分..........6分………8分21、解：(1>,将代入，得....3分<2）设，中点..........6分新课标第一网将代入得：AB中点轨迹为8分22、<1）延长DB与交于点P，P即为所求点.<图略）……………4分<2）过N点作交AB于点E，连结CN,CE.可知即为异面直线AM、CN所成角.......6分.，可求得.......9分则……………………10分X k B 1 . c o m23、<1）结论：上述直线上所有地点都是“点”………2分由题意得：直线……………3分设，由A为BP中点，可知由A、B两点在抛物线上，则：w W w .x K b 1.c o M化简得关于地方程:<*）…………5分其判别式恒成立，可知对方程<*）恒有解.即对直线上所有地点P，存在过P点地直线交抛物线于A、B两点，使得A为BP中点.…………8分<2）设直线地斜率为，直线，直线与抛物线地交点，…………2分斜率和为定值0……………4分如存在满足条件地点M，使得为定值仅当，即时，……………8分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
浙江宁波市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷(含解析)
2016-2017学年浙江省宁波市高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．p ＞0是抛物线y 2=2px 的焦点落在x 轴上的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数中，周期为π的奇函数是（ ）A ．y=sinxB ．y=sin2xC ．y=tan2xD ．y=cos2x3．函数f （x ）=xlnx ﹣1的零点所在区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）4．若{a n }为等差数列，且a 2+a 5+a 8=39，则a 1+a 2+…+a 9的值为（ ）A ．117B ．114C ．111D ．1085．已知两条直线m 、n 与两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥n ，m ⊥β，则n ∥β6．设变量x 、y 满足约束条件：，则z=x ﹣3y 的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．﹣2 D ．﹣87．将函数y=sinxcosx 的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A ．y=cos 2xB ．y=sin 2xC ．D ． 8．若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g （x ）=log a （x+k ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．双曲线﹣=1（b ＞a ＞0）与圆x 2+y 2=（c ﹣）2无交点，c 2=a 2+b 2，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，）B ．（，）C ．、（，2）D ．（，2）10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F ∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值t 构成的集合是（ ）A ．{t|} B ．{t|≤t ≤2} C ．{t|2}D ．{t|2} 二．填空题：本大题共7小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分满分36分.11．已知集合A={0，1}，B={y|x 2+y 2=1，x ∈A}，则A ∪B= ，∁B A 的子集个数是 ．12．已知F 1，F 2是椭圆C ： =1的左、右焦点，直线l 经过F 2与椭圆C 交于A ，B ，则△ABF 1的周长是 ，椭圆C 的离心率是 ．13．在△ABC 中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最小边长为 ，外接圆的面积为 ．14．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 ，其全面积是 ．15．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是．16．已知函数f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则不等式g（x）＞h（0）的解集是．17．设实数a＞﹣1，b＞0，且满足ab+a+b=1，则的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．18．设函数f（x）=x+1（ω＞0）直线y=2与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=2，a+c=6，求△ABC面积．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥平面PAB；（2）设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ，求cosθ的值．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1（a∈R）．（1）当a=2时，求f（x）在x∈[1，4]上的最值；（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，求a的取值集合．21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过F2的直线l交椭圆于P、Q两点，且满足△POQ的面积为，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．22．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有S n，S n+2，S n+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知b n=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（T n ﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．p＞0是抛物线y2=2px的焦点落在x轴上的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】p＞0⇒抛物线y2=2px的焦点落在x轴上，反之不成立．【解答】解：p＞0⇒抛物线y2=2px的焦点落在x轴上，反之不成立，例如取p=﹣1，则抛物线的焦点在x轴上．故选：A．2．下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y=sinx B．y=sin2x C．y=tan2x D．y=cos2x【考点】3K：函数奇偶性的判断；H3：正弦函数的奇偶性；H8：余弦函数的奇偶性．【分析】利用三角函数的奇偶性与周期性判断即可．【解答】解：∵y=sinx的周期T=2π，y=tan2x的周期T=，可排除A，C；又∵cos（﹣x）=cosx，∴y=cosx为偶函数，可排除D；y=sin2x的周期T=π，sin（﹣2x）=﹣sin2x，∴y=sin2x为奇函数，∴B正确；故选B．3．函数f（x）=xlnx﹣1的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用根的存在定理分别判断端点值的符号关系．【解答】解：∵f（1）=﹣1＜0，f（2）=2ln2﹣1=ln＞0，∴函数f（x）=xlnx﹣1的零点所在区间是（1，2）．故选：B．4．若{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+…+a9的值为（）A．117 B．114 C．111 D．108【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质可得，a2+a5+a8=3a5，从而可求a5，而a1+a2+…+a9=9a5，代入可求【解答】解：由等差数列的性质可得，a2+a5+a8=3a5=39∴a5=13∴a1+a2+…+a9=9a5=9×13=117故选A5．已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥n，m⊥β，则n∥β【考点】LS：直线与平面平行的判定；LU：平面与平面平行的判定．【分析】对于A，平行于同一平面的两条直线可以平行、相交，也可以异面；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交；对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β；对于D，只有n也不在β内时成立．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则当m平行于α，β的交线时，也成立，故不正确；对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β，故正确；对于D，若m⊥n，m⊥β，则n∥β，n也可以在β内故选C．6．设变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为（）A．4 B．8 C．﹣2 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最小值即可．【解答】解：由z=x﹣3y，得z=x﹣3y，即y=x﹣，作出不等式组：，对应的平面区域如图平移直线y=x，当直线经过点A时，直线y=x的截距最大，此时z最小，由得A（﹣2，2）．代入z=x﹣3y得z=﹣2﹣3×2=﹣8，∴z的最小值为﹣8．故选：D．7．将函数y=sinxcosx的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=sin2xC． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据函数图象平移的原则可知，平移后得到y=sin（2x+）+，利用二倍角公式化简后即可得到答案．【解答】解：函数y=sinxcosx=sin2x的图象向左平移个单位得y=sin（2x+），再向上平移个单位得y=sin（2x+）+=+cos2x=cos2x．故选：A．8．若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C9．双曲线﹣=1（b＞a＞0）与圆x2+y2=（c﹣）2无交点，c2=a2+b2，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，） B．（，）C．、（，2）D．（，2）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用b＞a＞0，可得，利用双曲线与圆无交点，可得，由此可确定双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：∵b＞a＞0，∴∵双曲线与圆无交点，∴∴∴4c2﹣8ac+4a2＜c2﹣a2∴3c2﹣8ac+5a2＜0∴3e2﹣8e+5＜0∴∴故选B．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|} B．{t|≤t≤2} C．{t|2}D．{t|2}【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点．分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A1MN∥平面D1AE，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D二．填空题：本大题共7小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分满分36分.11．已知集合A={0，1}，B={y|x2+y2=1，x∈A}，则A∪B= {﹣1，0，1} ，∁B A的子集个数是 2 ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∪B，∁B A={﹣1}，进而能求出∁B A的子集个数．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={y|x2+y2=1，x∈A}={0，﹣1，1}，∴A∪B={﹣1，0，1}，∁B A={﹣1}，∴∁B A的子集个数是2．故答案为：{﹣1，0，1}，2．12．已知F1，F2是椭圆C： =1的左、右焦点，直线l经过F2与椭圆C交于A，B，则△ABF1的周长是8 ，椭圆C的离心率是．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．求出椭圆半焦距然后求解离心率即可．【解答】解：根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=4，并且|BF1|+|BF2|=2a=4，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8．a=2，b=，c=1，所以椭圆的离心率为：．故答案为：8；．13．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最小边长为，外接圆的面积为25π．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据题意，由A、C的大小可得B=75°，由三角形的角边关系分析可得c为最小边；进而由正弦定理=，变形可得c=，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，在△ABC中，B=135°，C=15°，则A=180°﹣135°﹣15°=30°，则有B＞A＞C，则c为最小边，由正弦定理可得：c===，外接圆的半径R===5，可得：外接圆的面积S=πR2=25π．故答案为：，25π．14．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是，其全面积是16++．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图知四棱锥是侧放的直四棱锥，结合题意画出该四棱锥的直观图，计算它的体积和全面积．【解答】解：根据四棱锥的三视图知，则四棱锥是侧放的直四棱锥，且底面四边形是矩形，边长分别为4和2，高为，如图所示；所以该四棱锥的体积为V四棱锥=×4×2×=；其全面积为S=2×4+2××2×4+×2×+×2×=16++．故答案为：，16++．15．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】将平方，转化可得=0， =3，令=， =，==，数形结合求得cos∠AOC 的值，可得∠AOC 的值，即为所求．【解答】解：由已知得．化简①得=0，再化简②可得=3．令=， =， ==，则由=0以及=3，可得四边形OACB为矩形，∠AOC即为向量与的夹角．令OA=1，则OC=2，直角三角形OBC中，cos∠AOC==，∴∠AOC=，故答案为．16．已知函数f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则不等式g（x）＞h（0）的解集是（1+，+∞）．【考点】3L：函数奇偶性的性质；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据题意，有g（x）+h（x）=2x①，结合函数奇偶性的性质可得f（﹣x）=﹣g（x）+h（x）=2﹣x②，联立①②解可得h（x）与g（x）的解析式，进而可以将g（x）＞h（0）转化为（2x﹣2﹣x）＞（20+2﹣0）=1，变形可得2x﹣2﹣x＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），即g（x）+h（x）=2x，①则有f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x）=2﹣x，又由g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则f（﹣x）=﹣g（x）+h（x）=2﹣x，②联立①②，解可得h（x）=（2x+2﹣x），g（x）=（2x﹣2﹣x），不等式g（x）＞h（0）即（2x﹣2﹣x）＞（20+2﹣0）=1，即2x﹣2﹣x＞2，解可得2x＞1+，则有x＞log2（1+），即不等式g（x）＞h（0）的解集是（1+，+∞）；故答案为：（1+，+∞）．17．设实数a＞﹣1，b＞0，且满足ab+a+b=1，则的最大值为6﹣4．【考点】7F：基本不等式．【分析】由已知条件可得b=且﹣1＜a＜1，代入消元并变形可得=﹣[（a+3）+]+6，由基本不等式求最值的方法可得．【解答】解：∵a＞﹣1，b＞0，且满足ab+a+b=1，∴（a+1）b=1﹣a，∴b=，由b=＞0可得﹣1＜a＜1，∴====﹣（a+3）﹣+6=﹣[（a+3）+]+6≤﹣2+6=6﹣4当且仅当（a+3）=即a=3﹣2时取等号，∵a=3﹣2满足﹣1＜a＜1，∴的最大值为：6﹣4故答案为：6﹣4．三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．18．设函数f（x）=x+1（ω＞0）直线y=2与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=2，a+c=6，求△ABC面积．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用二倍角余弦公式及变形，两角差的正弦公式化简解析式，由题意和正弦函数的图象与性质求出周期，由三角函数的周期公式求出ω的值；（2）由正弦函数图象的对称中心和题意列出方程，由内角的范围求出角B，根据余弦定理可求ac的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）=sinωx﹣2cos2+1=sinωx﹣（1+cosωx）+1=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣），…∵直线y=2与函数f（x）的图象相邻两交点的距离为π，∴周期T=π=，解得ω=2，…∴f（x）=2sin（2x﹣），…（2）∵点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，∴2×﹣=kπ（k∈Z），则B=2kπ+，（k∈Z），由0＜B＜π，得B=，…∵b=2，a+c=6，∴由余弦定理可得：12=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=36﹣3ac，解得：ac=8，…∴S△ABC=acsinB==2．…19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥平面PAB；（2）设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ，求cosθ的值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由线面垂直，得PA⊥CM，由正三角形性质，得CM⊥AB，由此能证明CM⊥平面PAB．（Ⅱ）以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．【解答】（本题15分）（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥CM．┅因为△ABC是正三角形，M是AB的中点，所以CM⊥AB．┅所以，CM⊥平面PAB．┅（Ⅱ）解：以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图．， =（2，2，0）．设=（x，y，z）是平面APC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣，0）．┅，．设是平面BPC的法向量，则，取a=，得．┅故cosθ=|cos＜＞|==．┅20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1（a∈R）．（1）当a=2时，求f（x）在x∈[1，4]上的最值；（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，求a的取值集合．【考点】3R：函数恒成立问题；3W：二次函数的性质．【分析】（1）通过当a=2时，求出f（x）的对称轴为x，然后利用二次函数的性质求解最小值与最大值即可．（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，转化为x2﹣2ax﹣x+4≥0，分离变量，利用函数的单调性求解函数的最值即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2∈[1，4]，当x=2时f（x）min=f（2）=﹣3；…当x=4时f（x）max=f（4）=1；…（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，∵f（x）≥x﹣3⇒x2﹣2ax﹣x+4≥0，∵x∈[1，4]，∴x＞0，∴，…∵在x∈[1，2]上递减，在x∈[2，4]上递增，∴x=2时取得最小值为4，…∴，∴，故a的取值集合为…注：利用二次函数图象进行分类讨论，可参照上述予以分步给分即可．21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过F2的直线l交椭圆于P、Q两点，且满足△POQ的面积为，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设F2（c，0）（c＞0），由椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．列出方程求出a，b，即可求解椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，化简利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，然后求解直线l的方程．当直线l垂直于x轴时，运算即可．【解答】解：（1）设F2（c，0）（c＞0），由得，，∴b=c，∵，直线即，∵，∴即所求椭圆的方程为．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程得：（1+2k2）x﹣4k2x+2k2﹣2=0，k2…点O到直线l的距离…，解得k2=1，∴k=±1…所以，直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0当直线l垂直于x轴时，，不符合…所以，所求直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．…22．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有S n，S n+2，S n+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知b n=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（T n ﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和；8I：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于任意的n∈N+有S n，S n+2，S n+1成等差得2S3=S1+S2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n和已知b n=n代入整理，然后利用错位相减法求T n，把T n 代入（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）后分离变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵对于任意的n∈N+有S n，S n+2，S n+1成等差，∴2．整理得：．∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=．又，把q=代入后可得．所以，；（Ⅱ）∵b n=n，，∴，∴．．∴=∴．若（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）•（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，∴m≥对于n≥2恒成立，令，∵=∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．∴m．所以，（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．。
浙江省金华市2016-2017学年高二数学下学期期中试题
2016—2017学年第二学期期中考试高二数学试题卷本卷满分：100分，时间：80分钟一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
）1、设集合{}{}01,32>+=≤≤-=x x B x x A ，则集合B A ⋂= （ ） {}{}{}{}31.31.12.12.≤<≤<--<≤--≤≤-x x D x x C x x B x x A2、原命题P:设",,,"22bc ac b a R c b a >>∈，则若以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 43、函数)6(log 3)(2x x x f -++=的定义域是 （ ） ()()()[)6,3.,3.6,3.,6.-+∞--+∞D C B A4、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当=--=≥)1(,2)(02f x x x f x 则时， （ ）A. -3B. -1C. 1D. 35、当3101+=≠>-x a y a a 时，函数且的图像一定经过点 （ ）A. （4，1）B. （1，4）C. （1，3）D. （-1，3）6、=-+-1)21(2lg 225lg （ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -27、已知的是则q p x x q x p ,02:;2:2<--< （ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件； 8、已知函数=-⎩⎨⎧<-≥=))2((,0)(log 02)(2f f x x x x f x则 （ ） A. -1 B. 2 C. 1 D. -29、设1.31.138.0,2,7log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系为 （ ）b c a D a b c C b a c B ca b A <<<<<<<<.... 10、函数121-=x y 的图象关于x 轴对称的图象大致是 ( )11、设函数2ln )(-+=x x x f ，则该函数的零点所在的区间是 （ ）A. （0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）12、已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 713、双曲线122=-y x 的离心率为 （ ） A. 22 B. 2 C. 21 D. 2 14、已知抛物线2ax y =的准线方程为02=-y ，则a = （ ） A. 81 B. 81- C. 8 D. 8- 15、设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,P 是C 上的点，0212160,=∠⊥F PF PF PF ，则椭圆C 的离心率为 （ ） 32.23.13.63.--D C B A16、已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （3,0），过点F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆E 的方程为 （ ） 1918.11827.12736.13645.22222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x A 17、对实数b a ,定义运算⊗：⎩⎨⎧>-≤-=⊗1,1,b a b b a a b a ，设函数R x x x x f ∈-⊗-=),1()2()(2，若函数c x f y -=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 （ ） (]()(](]()(][]1,2.2,12,.2,11,2.,21,1.--⋃-∞-⋃--+∞⋃-D C B A18、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，以1F 为圆心，21F F 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于B A ,两点，若A F B F 213=，则该双曲线的离心率为 （ ） 2.23.34.45.D C B A二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。
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2016-2017学年浙江省9+1联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞4}，B={x|≤0}，则（∁U A）∩B等于（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣3≤x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|﹣3≤x≤2} 2．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α3．（5分）已知实数x，y满足，记z=ax﹣y（其中a＞0）的最小值为f（a）．若，则实数a的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）已知f（x）=，则方程f（f（x））=1的实数根的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）已知函数f（x）=|sinx|•cosx，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的周期为πC．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z）D．f（x）在区间[，]上单调递减6．（5分）设数列{a n}是集合{3s+3t|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{a n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图等腰直角三角形数表，a200的值为（）A．39+319B．310+319C．319+320D．310+3207．（5分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，设A（x 1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，如满足y1+y2+2=|AB|，则∠AFB的最大值（）A．B． C． D．8．（5分）已知函数f（x）=cos（x）+（a﹣1）sin（x）+a，g（x）=3x﹣x，若f（g（x））≤0对任意的x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．（﹣∞，1﹣]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）. 9．（6分）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是，表面积为．10．（6分）已知等比数列{a n}满足|a2﹣a1|=2，a1a2a3=8，则公比q=，前5项和S5=．11．（6分）设函数f（x）=，则f（2）=．若f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是．12．（6分）设直线3x+4y﹣5=0与圆C1：x2+y2=9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2半径的最大值是；此时C2C1所在的直线方程为．13．（4分）在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A、B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的体积为．14．（4分）如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．15．（4分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（acosB+bcosA）cosC=2acos2﹣a（1）判断△ABC的形状；（2）若B=，点D为AB边的中点，CD=，求△ABC的面积．17．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，D是BC的中点，△PAB为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，且二面角P﹣AB﹣D的余弦值为．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面PBC；（Ⅱ）若点M是线段AP上一动点，点N为线段AB的四等分点（靠近B点），求直线NM与平面PAD所成角的余弦值的最小值．18．（15分）已知数列{a n}中，a1=1，且a n=a n﹣1+2n•3n﹣2（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3的值以及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，试比较S与n的大小，并说明理由．19．（15分）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为，|F1F2|=2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0，求△OMN的面积S的最大值．20．（15分）已知函数f（x）=，g（x）=+（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间并比较2017与2016的大小；（Ⅲ）若对于任意正实数b，关于x的不等式bf（x）＞g（x）在区间[1，e]上恒成立，求实数m的取值范围．（其中e=2.71828…）2016-2017学年浙江省9+1联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞4}，B={x|≤0}，则（∁U A）∩B等于（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣3≤x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|﹣3≤x≤2}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，B={x|≤0}={x|﹣3≤x＜1}，∴CA={x|﹣2≤x≤2}，∪∴（∁U A）∩B={x|﹣2≤x＜1}．故选：A．2．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α【解答】解：A中若l∥α，α∩β=m，则l∥m或与m异面，故错误；B中若l⊥α，l∥β，则存在直线b，使得b⊂β，且b∥l，则b⊥α，故α⊥β，故正确；C中若l∥m，m⊂α，则l∥α，或l⊂α，故错误；D中若l∥α，m⊥l，则m⊥α，显然错误．故选：B．3．（5分）已知实数x，y满足，记z=ax﹣y（其中a＞0）的最小值为f（a）．若，则实数a的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，），由z=ax﹣y，得y=ax﹣z，由图可知，当直线y=ax﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为f（a）=a﹣．由，得，∴a≥5，即a的最小值为5，故选：C．4．（5分）已知f（x）=，则方程f（f（x））=1的实数根的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：令3x=1得x=0，令|log2x|=1得x=2或x=，∵f（f（x））=1，∴f（x）=0或f（x）=2或x=，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）=0只有一解，f（x）=2有两解，f（x）=有三解，∴f（f（x））=1共有6解．故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=|sinx|•cosx，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的周期为πC．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z）D．f（x）在区间[，]上单调递减【解答】解：∵f（x）=|sinx|•cosx=，故函数的图象关于直线x=kπ，k∈Z对称，故A错误；f（x）的周期为2π，故B错误；函数|f（x）|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z），故C 错误；f（x）在区间[，]上单调递减，故D正确；故选：D．6．（5分）设数列{a n}是集合{3s+3t|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{a n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图等腰直角三角形数表，a200的值为（）A．39+319B．310+319C．319+320D．310+320【解答】解：如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，28=（0，3）=30+33，30=（1，3）=31+33，36=（2，3）=32+33，…．利用归纳推理即可得：t+1表示从左到右的个数代表行数，s表示行数，当t=19时，最后一项为1+2+…+19=190，当t=20时，最后一项为1+2+…+20=210，第191为第20行第一个数，210﹣190=t+1，∴t=19．∴a200一定在第20行，则a200=（19，20），则a200=319+320，故选：C．7．（5分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，如满足y1+y2+2=|AB|，则∠AFB的最大值（）A．B． C． D．【解答】解：如图，∵y1+y2+2=|AB|，又|AF|+|BF|=y1+y2+2，∴|AF|+|BF|=|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB====．又|AF|+|BF|=|AB|≥2，∴|AF|•|BF|≤．∴cos∠AFB≥，∴∠AFB的最大值为，故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=cos（x）+（a﹣1）sin（x）+a，g（x）=3x﹣x，若f（g（x））≤0对任意的x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．（﹣∞，1﹣]【解答】解：g（x）=3x﹣x，x∈[0，1]，g′（x）=3x ln3﹣1在[0，1]上为增函数，则g′（x）≥g′（0）=ln3﹣1＞0，则函数g（x）在[0，1]上单调递增，∴g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，2]，令t=g（x），则t∈[1，2]，∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，∴f（t）≤0对任意t∈[1，2]恒成立，即cos（t）+（a﹣1）sin（t）+a ≤0对任意t∈[1，2]恒成立，分离参数a，得a≤=2sin﹣1，令h（t）=2sin﹣1，t∈[1，2]，则h（t）min=2sin﹣1=﹣1，∴a，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）. 9．（6分）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是，表面积为12．【解答】解：由三视图得到几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为，所以体积为；表面积为；故答案为：；12．10．（6分）已知等比数列{a n}满足|a2﹣a1|=2，a1a2a3=8，则公比q=，前5项和S5=．【解答】解：由等比数列{a n}满足：a1a2a3=8，可得=8，解得a2=2．由|a2﹣a1|=2，a1≠0，∴a1=4．则公比q==，前5项和S5==．故答案为：，．11．（6分）设函数f（x）=，则f（2）=0．若f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：f（2）=﹣22+2×2=0，当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤﹣1，∵f（f（x））≥9，∴f（x）≤﹣3，∴﹣x2+2x≤﹣3且x＞0，解得x≥3，故答案为：0，[3，+∞）12．（6分）设直线3x+4y﹣5=0与圆C1：x2+y2=9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2半径的最大值是2；此时C2C1所在的直线方程为4x﹣3y=0．【解答】解：由圆C1：x2+y2=9，可得圆心O（0，0），半径R=3，如图，当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．联立直线与圆的方程得，消去y得到25x2﹣30x﹣119=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，∴线段AB的中点Q的横坐标为，把x=代入直线方程中解得y=，∴Q（，），∴两圆心之间的距离OQ=d==1，∵两圆内切，所以圆c2的最大半径r=R﹣d=3﹣1=2．此时C2C1所在的直线方程为：=，即4x﹣3y=0．故答案为：2，4x﹣3y=0．13．（4分）在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A、B之间的距离为2，则三棱锥M﹣ABC的体积为．【解答】解：在△ABC中，AB=4，AM=MB=MC=2，由△AMC为等边三角形，取CM中点D，则AD⊥CM，设AD交BC与E，则AD=，DE=，CE=．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，又cos∠ECA==．∴AE2=CA2+CE2﹣2CA•CEcos∠ECA=，于是AC2=AE2+CE2．∴∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，∴AE⊥DE，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A﹣BCM的高，AE=．=×=，∵S△BCM∴V A===．﹣BCM故答案为：．14．（4分）如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．15．（4分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为．【解答】解：设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，由tan∠F1F2P=可得cos∠F1F2P==，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠F1F2P，即有9a2=a2+4c2﹣2a•2c•，化简可得，c2=3a2，则双曲线的离心率e==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（acosB+bcosA）cosC=2acos2﹣a（1）判断△ABC的形状；（2）若B=，点D为AB边的中点，CD=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵（acosB+bcosA）cosC=2acos2﹣a，∴由正弦定理可得（sinAcosB+sinBcosA）•cosC=sinA•（2﹣1），即sin（A+B）•cosC=sinA•cosC，即sinC•cosC=sinA•cosC，即cosC•（sinC﹣sinA）=0，∴cosC=0 或sinC=sinA，∴C=，或C=A，故△ABC为直角三角形或等腰三角形．（2）若B=，则△ABC为等腰三角形，则A=C=，BC=2BD=a，如图所示：∵点D为AB边的中点，CD=，△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cosB，即7=a2+﹣2a••cos，∴a2=，∴△ABC的面积S=•a•a•sin=．17．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，D是BC的中点，△PAB为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，且二面角P﹣AB﹣D的余弦值为．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面PBC；（Ⅱ）若点M是线段AP上一动点，点N为线段AB的四等分点（靠近B点），求直线NM与平面PAD所成角的余弦值的最小值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB中点E，连接DE，PE，则DE∥AC，∵AC⊥AB，∴DE⊥AB，∵PAB为正三角形，∴PE⊥AB，则∠PED为二面角P﹣AB﹣D的平面角，cos∠PED=．∵DE=，PE=，由余弦定理可得PD2=PE2+DE2﹣2×PE×DE=12+4﹣2×=8．在等腰直角三角形ABC中，可得AD=，满足PD2+AD2=8+8=16=PA2，∴AD⊥PD，又AD⊥BC且PD∩BC=D，∴AD⊥平面PBC，又AD⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PD2+DB2=PB2，则PD⊥CB，以D为坐标原点，分别以DA、DB、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则N（），A（，0，0），P（0，0，），设M（x，0，z），且（0≤λ≤1），则（，0，z）=（，0，），∴x=，z=，则M（，0，）．∴．平面PAD的一个法向量，∴直线NM与平面PAD所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=．∴当λ=0时，直线NM与平面PAD所成角的正弦值最大，即余弦值最小为．18．（15分）已知数列{a n}中，a1=1，且a n=a n﹣1+2n•3n﹣2（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3的值以及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，试比较S与n的大小，并说明理由．【解答】解：（I）a2=2a1+4=6，a3=a2+18=27．∵a n=a n﹣1+2n•3n﹣2（n≥2，n∈N*）．∴﹣=2×3n﹣2，﹣=2×3n﹣3，…﹣=2×30，以上各式相加得：﹣a1=2×（3n﹣2+3n﹣3+…+30）=2×=3n﹣1﹣1，∴=3n﹣1，∴a n=n•3n﹣1．（II）b n==，数列{b n}的前n项和为S n=+…+．则S=+…+++…++．n=1，S2=1+＞1；n=2时，=+＞2．n=3时，=+…+＜3．猜想：当n≥3时，S＜n，下面用数学归纳法给出证明，（1）显然n=3时，S＜3，（2）假设n=k（k≥3）时，＜n．即1++…+＜k，则1++…++++…+＜k+++…+＜k++++…=k+＜k+1，即S＜k+1，∴当n=k+1时，猜想也成立．综上可得：n=1，2时，＞n；n≥3时，＜n．19．（15分）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为，|F1F2|=2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0，求△OMN的面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，|F 1F 2|=2，∴，∴a=2，c=，则b=1∴椭圆C 的方程的方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）得A 1（﹣2，0），A 2（2，0）， 直线PA 1，PA 1的方程分别为：y=，y=由得（9+m 2）x 2+4m 2x +4m 2﹣36=0∴﹣2+x M =，可得.，=由，可得（1+m 2）x 2﹣4mx +4m 2﹣4=0∴2+x N =，可得x N =，=，直线MN 的方程为：，y===可得直线MN 过定点（1，0），故设MN 的方程为：x=ty +1由得（t2+4）y2+2ty﹣3=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，|y1﹣y2|==∴△OMN的面积S=（y1﹣y2）=2令，则s=∵，且函数f（d）=d+在[，+∞）递增，∴当d=，s取得最小值20．（15分）已知函数f（x）=，g（x）=+（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间并比较2017与2016的大小；（Ⅲ）若对于任意正实数b，关于x的不等式bf（x）＞g（x）在区间[1，e]上恒成立，求实数m的取值范围．（其中e=2.71828…）【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，g（x）=+，∴g′（x）=﹣，∴k=g′（1）=﹣1，g（1）=1+=，∴曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣5=0，（Ⅱ）∵f（x）=的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=e，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∵2017＞2016，∴＜，即ln2017＜ln2016，∴2017＜2016，（Ⅲ）对于任意正实数b，关于x的不等式bf（x）＞g（x）在区间[1，e]上恒成立，∴bxf（x）＞xg（x），即blnx＞m+在区间[1，e]上恒成立，当b＞0，∴函数blnx在[1，e]上单调递增；∴x=1时，函数blnx取最小值0；∴m+＜0，∴﹣＞m在x∈[1，e]上恒成立；﹣在[1，e]上的最小值为﹣；∴﹣＞m，即m＜﹣∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。