北京市2016-2017学年高一数学上册(必修4)1.2.1 任意角的三角函数(课时练习02)
人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(作业纸)
课题：§1.2任意角的三角函数（二）作业 总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1．如果角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在函数5y x =- (0)x <的 图象上，那么cos α的值为 .2．若点P 在3π的终边上，且2OP =，则点P 的坐标 ． 3．角α的终边终过点(3,5)P a a -，那么2sin 3cos αα-的值是 ． 4．已知点(cos ,tan )p θθ在第三象限 ,则在区间[0,2)π内θ的取值范围是 . 5. 已知角α的终边上一点P 与点(3,2)A -关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关 于原点对称，则2sin 3sin αβ+的值为 ．6．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．则α的值为 . 7．若π4 <α < π2，则 sinα、cosα、tanα的大小关系为 < <________.8．若－2π３ ≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ．9．在(0,2)π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是 ．10．若0 < α < 2π，且sinα<23，cosα> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是 .二、解答题：11．试作出角（1）πα43-=，（2）314π的正弦线、余弦线、正切线．12. 若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较α，sin α,tan α之间 的大小关系。
13、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．⑴ sin x ≥22； ⑵ cos x ≤ 12 ； ⑶ tan x ≥－1 ；三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
高中数学必修4第一章(第3课时)任意角的三角函数(1)
课 题：1.2.1 任意角的三角函数（一）教学目的：1.理解并掌握任意角三角函数的定义.2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学重点：任意角三角函数的定义.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解.通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点之目的. 使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学过程：一、复习引入：1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:c b =αsin c a =αcos a b =αtan ba=αcot2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数. 二、讲解新课：对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r2．比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r叫做α的正割 记作： xr =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述六个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；当角α的终边在横轴上时，即α＝ｋπ（ｋ∈Z ）时，终边上任意一点P 的纵坐标ｙ都为0，所以cot α、csc α无意义，除此之外，对于确定的角α，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数. 3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域：对于正弦函数r y =αsin ，因为ｒ＞0，所以r y 恒有意义，即α取任意实数，ry恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数x y =αtan ，因为x ＝0时，xy无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，xy恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是)(2Z ∈+≠k k ππα.从而有αααtan cos sin ===y y y )(2Z k k RR∈+≠ππα αααcsc sec cot ===y y y )()(2)(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παππαπα 4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.(2)OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin ”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关. (5)比值只与角的大小有关.(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离， 正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标.(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 三、讲解范例：例1 已知角α的终边经过点P (2，－3)(如图)，求α的六个三角函数值.解：∵x ＝2，ｙ＝－3∴13)3(222=-+=r于是13133133sin -=-==r y α 13132132cos ===r x α 23tan -==x y α 32cot -==y x α 213sec ==x r α 313csc -==y r α 例2求下列各角的六个三角函数值. (1)0 (2)π (3)23π (4) 2π解：(1)因为当α＝0时，x ＝ｒ，ｙ＝0，所以sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0sec0=1 csc0(2)因为当α＝π时，x ＝－ｒ，ｙ＝0sin π＝0 cos π＝－1 tan π＝0 cot πsec π＝－1 csc π(3)因为当23πα=时，x ＝0，ｙ＝－ｒ 023cos 123sin=-=ππ23tan π不存在 023cot=π23secπ不存在 123csc -=π(4)当α=2π时 r y x ==,0,所以sin 2π=1 ， cos 2π=0 ，tan 2π不存在，cot 2π=0例3填表：例4 ⑴ 已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值⑵已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0)求2sin α+cos α的值 解：⑴由定义 ：5=r sin α=-53cos α=54 ∴2sin α+cos α=-52 ⑵若0>a a r 5= 则sin α=-53cos α=54 ∴2sin α+cos α=-52若0<a a r 5-= 则sin α=53cos α=-54 ∴2sin α+cos α=52例5 求函数xxxx y tan tan cos cos +=的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上 又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 当x 是第Ⅱ象限角时,0,0><y x |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2 当x 是第Ⅲ象限角时, 0,0<<y x |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0 当x 是第Ⅳ象限角时, 0,0<>y x |cosx|=cosx |tanx|=-tanx ∴y=0 四、课堂练习：五、小结 本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到. 六、课后作业： 七.课后记:。
【高中数学必修四】1.2.1任意角的三角函数(第三课时)
练习．说出有向线段OM， MO， AT，
TA ，MP， AO, OA表示的数．
y T M(-1,0) y=x
O
P
A(1,0) x
三角函数线： ⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin 的有向线段．
y 的终边
P(x , y)
的终边 y
P(x , y)
O
M
x
M
O
x
从P作x轴垂线，M为垂足，MP为所求．
的终边 的终边 y y
P(x , y) P(x , y)
O
M
x
M
O
x
从P作x轴垂线，M为垂足，OM为所求．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的 有向线段．
y M
y
O
x
M
O
x P(x , y)
P(x , y)
从P作x轴垂线，M为垂足，OM为所求．
三角函数线：
y
P P
y M O y x
画三角函数线的步骤： ⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长线)交于T．
例1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线. 5 (1) ; ( 2) ; 3 6
2 ( 3) ; 3
13 ( 4) . 6
M
O M y
M O P
x
x
O
P
x
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线
想一想： y 由于tan = ，能否找到使x = 1的点？ 过点A(1,0)的切线上的点.
能否找到有向线段使
x
y 其能表示 ？ x y AT =
北京市2016-2017学年高一数学上册(必修4)1.2.2 同角三角函数的基本关系(课时练习)
必修四 1.2.2 同角三角函数的基本关系一、选择题1、已知31sin =θ，),2(ππθ∈，则=θcos （ ） A ．322 B ．32- C ．322- D ．1312- 【答案】C【解析】试题分析：由 322sin 1cos 2-=--=θθ，正确答案为C. 考点：同角三角函数的基本关系. 2、若135sin -=α，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A.512 B.512- C.125 D. 125- 【答案】D【解析】试题分析：α 为第四象限角，512sin 5sin cos ,tan 1313cos 12ααααα=-∴===- 考点：同角三角函数基本关系式3、已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=-（ ）. （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-【答案】C【解析】试题分析：因为tan αsin 1cos 2αα== ，则cos sin cos sin αααα+-1tan 1tan αα+=-3=,故选C. 考点：同角三角函数切化弦的应用. 4．已知1sin 3α=，且α为第二象限角，则tan α=（ ）A ．B ．4C ．D ．- 【答案】A【解析】试题分析：因为α为第二象限角，所以cos α==，所以s i n 2t a n c o s 4ααα==-，故选A ． 考点：同角三角形函数间的基本关系．二、填空题5．已知54sin =α，且α是第二象限角，那么αtan 的值为_____________ 【答案】34-【解析】试题分析：1sin cos 22=+αα，又因为α是第二象限角，所以53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=αα，那么34cos sin tan -==ααα. 考点：同角三角函数基本关系6．已知tan 3α=，则sin cos αα的值是 . 【答案】310【解析】 试题分析：222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110αααααααα====+++. 考点：同角三角函数的基本关系式.7．若tan 3θ=，则2cos sin cos θθθ+= _________. 【答案】25. 【解析】 试题分析：tan 3θ= ，2222cos sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+∴+=+221tan 132tan 1315θθ++===++ 故答案应填：25． 考点：同角三角函数间的基本关系．三、解答题8. （1）已知sin α＝－2cos α，求sin α、cos α、tan α.（2）已知角θ的终边上有一点P （x ，－1）（x ≠0），且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ的值．【答案】（1）分多种情况，详见解析；（2）分多种情况，详见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给条件可得tan α ，进一步讨论α的象限，用来判断sin cos αα、的符号，再结合同角间基本关系式221sin cos αα+= 可得sin cos αα、值；（2）根据正切函数的定义，可得出x 的值，再根据sin cos αα、的定义来进行求值.试题解析：（1）∵sin α=-2cos α,∴=-2,即tan α=-2,且α是第二或第四象限角.当α是第二象限角时,将sin α=-2cos α代入sin 2α+cos 2α=1中,得5cos 2α=1,∴cos α=-5,sin α=-2×（-5）=5.当α是第四象限角时,同理可得5cos 2α=1.故cos α=5,sin α=-2×5=-5. （2）∵θ的终边过点（x ，－1）（x ≠0），∴tan θ＝－1x ，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－2，cos θ＝2；当x ＝－1时，sin θ＝－2，cos θ＝－2.cos α=5,sin α=-2×5=-5. 考点：三角函数定义，同角间基本关系式，象限角的三角函数符号判定。
人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(学生版)
学习重点：三角函数线的定义
学习难点：利用三角函数线解决问题
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈
问题1：研究任意角的三角函数定义时，将角放置在平面直角坐标系内有何规定？若角的终边上任意一点P(x，y),到原点的距离为r，则角的正弦、余弦、正切值如何表示？它们在四个象限内的符号有何规律？
问题2：何为有向线段？有向线段MO与OM相同吗？若有向线段MO= - 2，则有向线段
cos=OM,tan=AT ?
二、知识建构与应用：
1.（1）有向线段：。
有向线段的数量：。
（2）单位圆：。
2.请在下边作出终边在不同象限时的三角函数线:
三、例题
例1作出下列各角的三角函数线
（1） （2）
例2利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1） 与 （2)tan 与tan
例3利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角的范围。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）sinα=，（2）sin≥；(3)tan
思考:
1．根据单位圆上的三角函数线，探究：
（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
（2）正弦函数、余弦函数在 上的单调性；
（3）正切函数在区间 上的单调性。
2．当角 , 满足什么条件时有sin =sin ？
3．若sin >cos ,则 的取值范围是.
四、巩固练习
OM=,有向线段的数值由什么来确定，其中的负号意味着什么？
问题3：什么是单位圆？设任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则OP=;过点P作x轴的垂线，垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然与y轴平行，设它与角的终边或其反向延长线相交于点T，请说明为什么OM = x,MP = y ?为什么sin=MP,
2017人教a版高中数学必修四1.2.1-1任意角的三角函数教
1.2.1任意角的三角函数(一)一、教学目标：一、知识与技术（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的概念方式；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值别离用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.二、进程与方式初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把那个概念推行到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终取得任意角三角函数的概念.按照角终边所在位置不同,别离探讨各三角函数的概念域和这三种函数的值在各象限的符号.最后主如果借助有向线段进一步熟悉三角函数.讲解例题，总结方式，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数能够有不同的概念方式，而且各类概念都有自己的特点.过去适应于用角的终边上点的坐标的“比值”来概念，这种概念方式能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推行，有利于引导学生从自己已有认知基础动身学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有必然的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能取得，这与函数值是一个肯定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标概念任意角的正弦函数、余弦函数.那个概念清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数能够有不同的概念方式，本节利用单位圆上点的坐标概念任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，如此的概念使得三角函数所反映的数与形的关系加倍直接，数形结合加倍紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数加倍好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学假想第一课时任意角的三角函数（一）提问：锐角O的正弦、余弦、正切如何表示？借助右图直角三角形，温习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
人教版2017高中数学(必修四)1.2.1 任意角的三角函数 PPT课件
三角函数 ． 称为____________
2．三角函数值的符号 如图所示：
一二 象限正，________ 三四 象限负； 正弦：________ 二三 象限负； 一四 象限正，________ 余弦：________
3.若sin α＜0且tan α＞0,则α的终边在( A．第一象限 B．第二象限
C)
C．第三象限
D．第四象限
1 2 2 2 4．sin 390°＝________ ，cos 765°＝________ ．
三角函数的定义
5π (1)求 的正弦、余弦和正切值； 3 (2)已知角 α 的终边经过点 P0(－ 3，－4)，求角 α 的正弦、 余弦和正切值． (链接教材 P12 的例 1，例 2)
5π [解 ] (1)在直角坐标系中，作∠ AOB＝ (如图 )．易知∠ 3 1 3 AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 ，－ ，所以， 2 2 5π 3 sin ＝－ ， 3 2 5π 1 cos ＝ ， 3 2 5π tan ＝－ 3. 3
(2)由已知可得： |OP0|＝ （－3） 2＋（－ 4） 2＝ 5. 如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x， y)． 分别过点 P、P0 作 x 轴的垂线 MP、 M0P0，则 |M0P0|＝ 4， |MP|＝－ y， |OM0|＝ 3， |OM|＝－ x， △ OMP∽△ OM0P0， 于是， y － |MP| |M0P0| 4 sin α＝ y＝ ＝ ＝－ ＝－ ； 1 5 |OP| |OP0| x － |OM| |OM0| 3 cos α＝ x＝ ＝ ＝－ ＝－ ； 1 5 |OP| |OP0| y sin α 4 tan α＝ ＝ ＝ . x cos α 3
【同步练习】必修四 1.2.1 任意角的三角函数-高一数学人教版(必修4)(解析版)
第一章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数一、选择题1．已知sin α+cos α=–15，α∈（0，π），则tan α的值为A ．–43或–34B ．–43C ．–34D ．34【答案】C【解析】∵sin α+cos α=–15，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin 2α+cos 2α=1，∴sin α=35，cos α=–45，则tan α=sin cos αα=–34，故选C ． 2．若点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，则sin α的值为A ．12-B ．12C ．3D 3 【答案】C【解析】因为点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，即点132⎛- ⎝⎭，在角α的终边上，则3sin α=，故选C ．3．若角α的终边过点P （3，–4），则cos α等于A ．35B ．34-C ．45-D ．45【答案】A【解析】∵角α的终边过点P （3，–4），∴r =5，∴cos α=35，故选A ．4．如果角θ的终边经过点（3，–4），那么sin θ的值是A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】D【解析】∵角θ的终边经过点（3，–4），∴x =3，y =–4，r 22x y +，∴sin θ=y r=–45，故选D ．5．若sinαtanα<0，且costanαα<0，则角α是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵sinαtanα<0，可知α是第二或第三象限角，又costanαα<0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选C．6．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，则x的值为A．5 B．–5 C．4 D．–4 【答案】D【解析】∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，∴cosθ=29x+=–45，∴x=–4．故选D．7．若点P（sinα，tanα）在第三象限，则角α是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】∵点P（sinα，tanα）在第三象限，∴sinα<0，tanα<0．∴角α是第四象限角．故选D．8．如果角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），则sinα的值等于A．12B．–12C．–3D．–3【答案】B【解析】角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），即（31-，），由任意角的三角函数的定义可知：sinα=()()221 231=-+-．故选B．9．若角120°的终边上有一点（–4，a），则a的值是A．43B．43-C．43±D．310．已知4sin5α=，并且P（–1，m）是α终边上一点，那么tanα的值等于A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】∵4sin5α=，并且P （–1，m ）是α45=，∴m =43，那么tan α=1m-= –m =–43，故选A ． 11．已知sin α<0，且tan α>0，则α的终边所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵sin α<0，∴α的终边在第三、第四象限或在y 轴负半轴上，∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选C ． 12．若角α终边经过点P （sin2π2πcos 33，），则sin α=A ．12BC ．12-D ． 【答案】C【解析】∵角α终边经过点P （sin 2π2πcos 33，），即点P ，–12），∴x ，y =–12，r =|OP |=1，则sin α=y r=y =–12，故选C ．13．已知角α的终边过点12P ⎛ ⎝⎭，，则sin α=A ．12B C D ． 【答案】C【解析】由题意可得，x =12，y ，r =|OP |=1，∴sin α=y r，故选C ．14．已知角α的终点经过点（–3，4），则–cos α=A ．35B ．–35C ．45D ．–45【答案】A【解析】∵角α的终点经过点（–3，4），∴x =–3，y =4，r =|OP |=5，则–cos α=–35x r =，故选A ． 二、填空题15．若角α的终边与单位圆交于P （–35，45），则sin α=45；cos α=___________；tan α=___________．【答案】45；35-；43- 【解析】∵角α的终边与单位圆交于P （–35，45），|OP |=223455⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1，∴由任意角的三角函数的定义可知：sin α=44515=，同理可得cos α=35-；tan α=445335=--；故答案为：45；35-；43-．16．已知23cos 4a x a-=-，x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是__________．17．已知角α的终边经过点P （–2，4），则sin α–cos α的值等于__________．35【解析】∵角α的终边经过点P （–2，4），∴x =–2，y =4，r =|OP 5，∴sin α=25y r =，cos α=xr= 5，则sin α–cos α3535． 18．适合条件|sin α|=–sin α的角α是__________．【答案】[2k π–π，2k π]，k ∈Z【解析】∵|sin α|=–sin α，∴–sin α≥0，∴sin α≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2k π–π，2k π]，k ∈Z ，故答案为：[2k π–π，2k π]，k ∈Z ．19．若角α的终边经过点（–1，–2），则tan α=___________．【答案】2【解析】∵角α的终边经过点（–1，–2），∴由三角函数定义得tan α=21--=2．故答案为：2． 20．已知角θ的终边经过点P （x ，2），且1cos 3θ=，则x =___________．2 【解析】∵角θ的终边经过点P （x ，2），且21cos 34x θ==+，解得x 22．21．若sinθ<0，cosθ>0，则θ在第___________象限．【答案】四【解析】由sinθ<0，可知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角．由cosθ<0，可知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上的角．取交集可得，θ在第四象限．故答案为：四．三、解答题22．已知点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．【解析】因为点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，所以x=3m，y=–2m，r=–13m，sinα=21313yr==，cosα=31313xr=-=-，tanα=32yx=-．23．确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6.24．已知角α的终边在直线y=2x上，分别求出sinα，cosα及tanα的值．【解析】当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上任意取一点P（1，2），则x=1，y=2，r=|OP5，∴sinα=255yr==cosα=55xr=，tanα=yx=2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上任意取一点P（–1，–2），则x=–1，y=–2，r=|OP|=5，∴sinα=yr=5=25，cosα=xr=5=5，tanα=yx=2．25．已知角α的终边上一点P （m ）（m ≠0），且sin α=4，求cos α，tan α的值．【解析】设P （x ，y ）．由题设知x=y=m ，所以r 2=|OP|2=（2+m 2（O 为原点），，所以sin α=mr =4，所以=，3+m 2=8，解得当r=，x=所以cos =，tan当m=r=，x=y=所以cos =，tan26．已知角α终边上一点P （m ，1），cos α=–13．（1）求实数m 的值； （2）求tan α的值．【解析】（1）角α终边上一点P （m ，1），∴x =m ，y =1，r =|OP∴cos α=–13，解得m =．（2）由（1）可知tan α=1m。
人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(1)(教师版)
课题：§1.2.1任意角的三角函数(1)总第____课时班级_______________【学习目标】1．掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义；2【重点难点】学习重点：任意角的正弦，余弦，正切的定义.学习难点：理解三角函数的定义,掌握三角函数的定义域和值域【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题1：初中课本中是如何定义锐角三角函数的？问题2：如右图，点P是半径为R的圆O上一点，点P在圆O上运动，当点P从点A位置运动到点P位置时，∠AOP =α. 如果我们以O为坐标原点，OA为x轴正方向建立平面直角坐标系。
我们是不是可以用（r，α）来准确地表示点P的位置？点P的位置可以用它的坐标(x，y)来表示，你能找出（r，α）与(x，y)的关系吗？问题3：填表（课前先完成30°，45°，60°填空）：二、知识建构与应用：1．给出任意角三角函数的定义:如图： 在平面直角坐标系中， 设角α的终边上除原点外任意一点P 的坐标是),(y x ， 它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。
我们规定：αsin = ;αcos = ，αtan = .问题：点P 的位置不同，会不会改变三角函数值？2．三角函数的定义域3．由定义指出每个象限内的角对应的三角函数值的符号，总结规律.三、例题例1 已知α的终边经过点P(2,-3)，分别求α的正弦、余弦、正切值.变式⑴： 已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值.变式⑵： 已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0) 求2sin α+cos α的值.例2 确定下列三角函数值的符号：（1）cos 7π12 ; (2)sin(-465°) ; (3) tan 11π3例3 （1）若0sin <α且0tan <α,试确定α为第几象限角. （2）使0cos sin <⋅αα成立的角α的集合.例4 确定下列三角函数的符号：（1）sin2 (2)cos(-3) (3) )108tan(310cos 0-四、巩固练习1．已知角α的终边经过点P ，求α的正弦、余弦、正切值。
高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。
高一数学必修4课件：1-2-1 任意角的三角函数
3．已知角α＝2 rad，则角α的终边在第________象限． [答案] 二 [解析] 由2×57.3°＝114.6°知在第二象限．
4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为____． [答案] {α|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z}
新课引入
春暖花开，“野芳发而幽香”，夏阳似火，“佳木秀而 繁荫”，草枯草绿几度秋，冬去春来又一年，以季节为x轴， 以寒热为y轴，冷冷暖暖，一年一次循环，一年一个周期．
[小结]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相 等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在 者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个 角与之对应．
已知sin5.1°＝m，则sin365.1°＝( )
A．1＋m
B．－m
C．m
D．与m无关
[答案] C
已知α与β的终边相同，则下列正确的是( )
函数 ，分别记作y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx.
[破疑点]由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关 系，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，即实数→ 角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)，其关系如下 图所示：
(5)定义域：如表所示， 三角函数 解析式 正弦函数 y＝sinx 余弦函数 y＝cosx
[解析] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点
P(1,2)，由r＝|OP|＝ 12＋22＝ 5，得sinα＝ 25＝255，cosα＝
1＝ 5
55，tanα＝21＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－
2)，
由r＝|OQ|＝ －12＋－22＝ 5，得：
sinα＝－52＝－255，cosα＝－51＝－ 55，tanα＝－ －21＝2.
北京市2016-2017学年高一数学上册(必修4)1.2.1 任意角的三角函数(教学设计02)
必修四1。
2。
1任意角的三角函数（第二课时）【教学目标】1。
知识与技能：（1）三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一．(2）三角函数线的概念及应用．2。
过程与方法：（1)通过三角函数值在各个象限内的符号的学习,培养学生发现数学规律的思维方法和能力．(2）通过三角函数诱导公式一的学习，正确理解三角函数的基本变换在三角函数计算中的应用．(3）逐步发现三角函数值与单位圆中的“有向线段”的对应，分类讨论及数形结合的数学思想的运用。
3。
情感态度价值观：让学生通过经历由不确定的对应建立确定的对应的过程，体会发现的艰辛，享受发现的乐趣.【重点难点】1。
教学重点:三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一和三角函数线的概念及应用。
2。
教学难点：理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，三角函数线的应用．【教学策略与方法】1。
教学方法：启发讲授式与问题探究式．2。
教具准备：多媒体【教学过程】习引入2、前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl=α,其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径。
特别地， 当1=r 时,l =α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值,那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.学生：学生开始思考熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原有的知识发生联系,符合学生学习的认知规律。
从而引入课题。
环节二：讲解新一、三角函数值的符号 思考1：αααtan cos sin 、、在各象限的符号问题？教师引导：提出问题学生求解:积极回教师以问题引课（1）sin αry=；（2）cos αrx=；（3)tan (0)y x xα=≠.例1、求证：当且仅当下列不等式组成立时，角 θ为第三象限角. 解:因为sin θ＜0，所以θ在第三象限或第 四象限，或θ的终边落在y 轴的负半轴上。
因为tan θ＞0．所以θ在第一象限或第三 象 限。
2016-2017学年高一数学人教B版必修4教案1.2.1任意三角函数的定义(2)
1．21 任意三角函数的定义（二）
一。
、教学目标
1．知识目标：
（1）. 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
（2）三角函数定义及符号的应用
2．能力目标：（1）培养学生分析数学问题的能力；
（2）判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
二、教学重点；
（1）判断.三角函数值在各象限内的符号.
例3 确定下列三角函数值的符号
(1)cos250°。
北京市2016-2017学年高一数学上册(必修4)1.2.2 同角三角函数的基本关系(教学设计)
必修四1。
2。
2 同角三角函数的基本关系【教学目标】1。
知识与技能:（1）能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；（2) 熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法．2。
过程与方法：牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力。
3。
情感态度价值观:通过多做题让学生加深特殊角的三角函数值的记忆,为以后学习三角函数打好基础积极主动的参与社会实践活动。
【重点难点】1。
教学重点：运用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式、证明三角恒等式.2。
教学难点：运用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式、证明三角恒等式。
【教学策略与方法】1。
教学方法：启发讲授式与问题探究式．2。
教具准备：多媒体【教学过程】习引入2．若角α在第二象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线．学生:学生开始思考并回答问题熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原有的知识发生联系，符合学生学习的认知规律。
从而引入课题.环节二:讲一、探讨新知观察：观察下图，你能教师引导:提出问题教师以问课 MP 、余弦线OM 以及半径OP 之间围成怎样的几何图形呢?如图，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1。
由勾股定理有,122=+MP OM因此,122=+y x即.1cos sin22=+αα思考：当角α的终边与坐标轴重合时， 这个公式是否也成立呢？①当角α的终边落在x 轴的非负半轴上时,____sin =α；____cos =α。
②当角α的终边落在x 轴的非正半轴上时,____sin =α；____cos =α。
察并积极回答问题并解决问题。
教师:运用ppt 给出问题学生：同桌之间交流、讨论、思考、探究。
教师引导：提出问题学生求解：积极回答问题并解决问题.在教师的引导下，导，让学生自主探究和合作交流，经历知识的形成过程,培养学生自主归纳、善于发现问题的能力。
高一数学人教A版必修四教案：1.2.1 任意角的三角函数 Word版含答案
任意角的三角函数教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
授课类型：新授课 教学模式：讲练结合教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1：已知角α的终边上一点()P m ，且sin α=，求cos ,sin αα的值。
解：由题设知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =从而sin4α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒=当0m =时，r x ==cos 1,tan 0x yr xαα==-==；当m =r x ==cos tan x y r x αα====；当m =r x ==cos tan x y r x αα==== 2．三角函数的符号：练习2：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222ααα的符号。
3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值： （1）9cos4π， （2）11tan()6π-， （3）9sin 2π．二、讲解新课：当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MPr α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====． 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
高中数学步步高必修4资料第一章 1.2.1 (一)
1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答 不会.思考3 在问题1中，取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .1.单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 3.三角函数的定义域知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 三角函数在各象限的符号由什么来确定？答 由三角函数的定义知三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 知识点三 诱导公式思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的三角函数值有什么关系？为什么？ 答 相等，因为它们的终边重合. 诱导公式一类型一 三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2，tan α＝b a.跟踪训练1 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值.解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.类型二 三角函数值符号的判断 例2 (1)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π，π＜4＜32π，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.(2)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D.跟踪训练2 (1)点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角. (2)若三角形的两内角A ，B ，满足sin A cos B ＜0，则此三角形必为( ) A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能 答案 (1)二 (2)B解析 (1)由题意知，tan α＜0且cos α＜0， ∴α是第二象限角.(2)由题意知，A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＞0，cos B ＜0，∴B 为钝角.故选B. 类型三 诱导公式一的简单应用例3 (1)若750°角的终边上有一点(4，a )，则a ＝________. 答案433解析 tan 750°＝tan(2×360°＋30°)＝tan 30°＝a4，a ＝433.(2)求下列各式的值. ①cos25π3＋tan(－15π4)； ②sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 ①原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.②原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°) －cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练3 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin (－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.1.sin 1 860°等于( ) A.12 B.－12 C.32 D.－32 答案 C解析 sin 1 860°＝sin(60°＋5×360°)＝sin 60°＝32. 2.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35， ∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4.点P (tan 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限. 答案 四解析 2 016°＝5×360°＋212°，∴2 016°是第三象限角，则tan 2 016°＞0，cos 2 016°＜0. 5.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.答案32解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切函数值.一、选择题1.sin(－1 380°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 D解析 sin (－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32. 2.已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6D.11π6答案 D 解析 ∵sin2π3＝32，cos 2π3＝－12. ∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6.3.已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A.390°B.420°C.450°D.480°答案 B4.已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t 等于( )A.－916B.916C.34D.－34答案 A解析 sin(2k π＋α)＝sin α＝－35＜0，则α的终边在第三或第四象限，又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角.所以t ＜0，又sin α＝4t 9＋16t 2，则4t9＋16t 2＝－35，所以t ＝－916.5.若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限.故选D.6.某点从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 A解析 由三角函数定义可得：Q ⎝⎛⎭⎫cos 2π3，sin 2π3， cos2π3＝－12，sin 2π3＝32. 7.如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 C解析 由题意知：sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角. 二、填空题8.函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x |tan x |的值域为________.答案 {2，－2,0} 解析 分四个象限讨论9.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________. 答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.10.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m . ∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 三、解答题 11.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. 解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan(3×360°＋45°) ＝a 2＋b 2＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.12.已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值.解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2；当角α的终边在第三象限时， 在角α的终边上取点P ′(－1，－2)， 由r ＝|OP ′|＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.13.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义.(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值. 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0，① 由lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.②由①②得，角α在第四象限. (2)∵点M (35，m )在单位圆上，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角， ∴m ＜0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.。
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必修四 1.2.1任意角的三角函数（第二课时）
一、选择题
1、下列各命题正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90度的角都是锐角 【答案】C 【解析】
试题分析：A 选项，终边相同的角不一定相等，例如：6
π与13
6π的终边相同，但却不相等；B 选项，第一象限的角不一定是锐角，不如13
6
π 为第一象限的角，
但不是锐角;D 选项，小于90︒的角除了锐角还有负角. 考点：终边角，任意角.
2、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】
试题分析：因为点在第三象限，因此则有0cos sin <θθ，0cos 2<θ0cos <∴θ，0sin >θ，利用三角函数的符号可知，角θ所在的象限是第二象限. 考点：角所在的象限与三角函数值的符号的关系. 3、已知角α是第二象限角，且cos
cos
2
2
α
α
=-，则角
2
α
是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 【答案】C 【解析】
试题分析： 因为角α是第二象限角，所以角
2
α
是第一、三象限角，又cos
cos
2
2
α
α
=-，∴
cos
02α
<，所以角
2
α
是第三象限角.故选C ．
考点：1、象限角；2、任意角的三角函数的定义．
4．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）
A ．5(,)(,)424ππ
ππ B ．35(,)(,)244πππ
π C ．)23,45()2,4(ππππ D ．33(,)(,)244
ππππ
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得sin cos 0tan 0
ααα->⎧⎨
>⎩，由[0,2)απ∈可得α的取值范围是5(,)(,)424πππ
π .
考点：三角函数线的应用. 二、填空题
5．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限． 【答案】四
【解析】由题意，得tan α＜0且cos α＞0，所以角α的终边在第四象限． 考点：象限角的符号.
6．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角． 【答案】三或四
【解析】易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角． 考点：象限角的符号.
7．已知点)sin ,(tan θθP 在第四象限，则角2
θ
的终边在第__________象限．
【答案】二或四
【解析】由题意知0sin ,0tan <<θθ，所以θ是第四象限角，所以2
θ
的终边在第二或四象限．
考点：象限角的符号.
三、解答题
8. 已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合；(2)求
2α终边所在的象限；(3)试判断tan 2αsin 2αcos 2
α
的符号． 【答案】（1）()4212,2k k k Z παπαπ⎧
⎫
+<<+∈⎨⎬⎩
⎭
（2）第二、四象限 （3）见解析
【解析】解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为()4212,2k k k Z παπαπ⎧⎫+<<+
∈⎨⎬⎩
⎭
.
(2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋32π，得k π＋2π<2α<k π＋34
π
，k ∈Z ，故2α终边在第二、四象
限．
(3)当
2α在第二象限时，tan 2α<0，sin 2α>0，cos 2α<0，所以tan 2αsin 2αcos 2α
取正号； 当2α在第四象限时，tan 2α<0，sin 2α<0，cos 2α>0，所以tan 2αsin 2αcos 2
α
也取正号． 因此，tan 2αsin 2αcos 2
α
取正号．
考点：象限角的符号.。