2019年芜湖市初三数学下期中试题带答案

2019年芜湖市初三数学下期中试题带答案
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，tan∠B＝2，则AC的长为（）
A．1B．2C．5D．25
2．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函
数y=k
x
（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（）
A．y=12
x
B．y=
24
x
C．y=
32
x
D．y=
40
x
3．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）
A．a B．a C．a D．a
4．反比例函数
k
y
x
=与1(0)
y kx k
=-+≠在同一坐标系的图象可能为（）
A．B．C．D．
5．在同一直角坐标系中，函数
k
y
x
=和y=kx﹣3的图象大致是（）
A．B．C．
D ．
6．已知2x =3y ，则下列比例式成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在ABC V 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，:1:2AD BD =，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是( )
A ．12DE BC =
B ．31DE B
C = C ．12AE AC =
D ．3
1AE AC = 8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252- B ．25- C ．251- D ．52-
9．若△ABC ∽△A′B′C′且
34AB A B ='',△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ）cm.
A ．18
B ．20
C ．154
D ．803
10．如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A ．8tan20°
B ．
C ．8sin20°
D ．8cos20°
11．在△ABC 中，若32=0，则∠C 的度数是( ) A ．45° B ．60°
C ．75°
D ．105° 12．制作一块3m×
2m 长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A ．360元 B ．720元 C ．1080元 D ．2160元
二、填空题
13．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.
14．如图，等腰△ABC 中，底边BC 长为8，腰长为6，点D 是BC 边上一点，过点B 作AC 的平行线与过A 、B 、D 三点的圆交于点E ，连接DE ，则DE 的最小值是___．
15．如图，直立在点B 处的标杆AB ＝2.5m ，站立在点F 处的观测者从点E 看到标杆顶A ，树顶C 在同一直线上(点F ，B ，D 也在同一直线上)．已知BD ＝10m,FB ＝3m,人的高度EF ＝1.7 m,则树高DC 是________．(精确到0.1 m)
16．在ABC ∆中，若45B ∠=o ，102AB =，55AC =，则ABC ∆的面积是______．
17．反比例函数y ＝
k x
的图象经过点P(a 、b )，其中a 、b 是一元二次方程x 2＋k x ＋4＝0的两根，那么点P 的坐标是________． 18．如图，矩形ABCD 的顶点,A C 都在曲线k y x
= （常数0k ≥，0x >）上，若顶点D 的坐标为()5,3，则直线BD 的函数表达式是_.
19．如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为_______．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC 以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q 分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．
三、解答题
21．如图，一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝k
x
(k≠0)在第一象限的图象交
于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OAM的面积S；
(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．
22．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝1
3
，cos C＝
2
2
，AC＝2.求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．
23．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
24．如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60︒．已知坡面10CD =米，山坡的坡度1:3i =（坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB 高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：3 1.73≈，2 1.41≈）
25．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AC 2=AB•AD ，∠ADC=90°，点E 为AB 的中点．
（1）求证：△ADC ∽△ACB ．
（2）若AD=2，AB=3，求的值．
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一、选择题
1．B
【解析】【分析】
根据正切的定义得到BC=1
2
AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，
∴AC
BC
=2，
∴BC=1
2 AC，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（5）2=AC2+（1
2
AC）2，
解得，AC=2，
故选B．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做
∠A的正切是解题的关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC，AB ∥OC，OA∥BC，求出∠AOM=∠BCN，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B点的坐标，把B的坐标代入
y=kx求出k即可．
【详解】
过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
则∠AMO=∠BNC=90°，
∵四边形AOCB是菱形，
∴OA=BC=AB=OC,AB∥OC,OA∥BC，
∴∠AOM=∠BCN，
∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，
即OC=OA=AB=BC=5，
在△AOM 和△BCN 中
AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOM ≌△BCN(AAS)，
∴BN=AM=4，CN=OM=3，
∴ON=5+3=8，
即B 点的坐标是(8,4)，
把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，
即y=32x
， 故答案选C.
【点睛】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵∠DAC=∠B ，∠C=∠C ，
∴△ACD ∽△BCA ，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，
∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3，
∵△ABD 的面积为a ，
∴△ACD 的面积为a ，
故选C ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】
A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】
分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．
【详解】
A．变成等积式是：xy=6，故错误；
B．变成等积式是：3x+3y=4y，即3x=y，故错误；
C．变成等积式是：2x=3y，故正确；
D．变成等积式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【详解】
如图，
可假设DE∥BC，则可得
1
2
AD AE
DB EC
==，
1
3
AD AE
AB AC
==，
但若只有
1
3
DE AD
BC AB
==，并不能得出线段DE∥BC．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
8．A
解析：A
【解析】
根据黄金比的定义得：
51
AP
AB
-
=，得
51
4252
AP
-
== .故选A.
9．B
解析：B 【解析】
∵△ABC∽△A′B′C′，∴
3
4 ABC AB
A B C A B
''
=
''
=
'
V
V
的周长
的周长
，
∵△ABC的周长为15cm，∴△A′B′C′的周长为20cm．故选B．10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．【详解】
设木桩上升了h米，
∴由已知图形可得：tan20°=8
h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°
故选B. 11．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出sinA 及tanB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的值，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
∵|sin A B )2=0，
∴sinA=2
，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C ．
【点睛】
（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【详解】
3m×2m=6m 2，
∴长方形广告牌的成本是120÷
6=20元/m 2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×
6=54m 2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×
20=1080元， 故选C ．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
二、填空题
13．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度【详解】解：
∵OA⊥DACE⊥DA∴∠CED=∠OAB=90°∵CD∥OE∴∠CDA=∠OBA∴△AOB∽△E
解析：16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】
解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴CE OA16OA
,
DE AB220
==，
解得OA=16．
故答案为16．
14．【解析】【分析】如图连接AEADOEOD作AJ⊥BC于JOK⊥DE于K首先证明∠EOD＝2∠C＝定值推出⊙O的半径最小时DE的值最小推出当AB是直径时DE 的值最小【详解】如图连接AEADOEOD作A
5
【解析】
【分析】
如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C ＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．【详解】
如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．
∵BE ∥AC ，
∴∠EBC+∠C ＝180°，
∵∠EBC+∠EAD ＝180°，
∴∠EAD ＝∠C ，
∵∠EOD ＝2∠EAD ，
∴∠EOD ＝2∠C ＝定值，
∴⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，
∴当AB 是⊙O 的直径时，DE 的值最小，
∵AB ＝AC ＝6，AJ ⊥BC ，
∴BJ ＝CJ ＝4，
∴AJ 22A C CJ -2264-5
∵OK ⊥DE ，
∴EK ＝DK ，
∵AB ＝6，
∴OE ＝OD ＝3，
∵∠EOK ＝∠DOK ＝∠C ，
∴sin ∠EOK ＝sin ∠C ＝256
， ∴3EK 25， ∴EK 5
∴DE ＝5
∴DE 的最小值为5
故答案为5
【点睛】
本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．2m 【解析】【详解】解：过点E 作EM⊥CD 交AB 与点N∴故答案为52m 【点睛】本题是考查相似三角形的判定和性质关键是做出辅助线构造相似三角形利用相似三角形的性质得出结论即可这类题型可以作垂直也可以作
解析：2m
【解析】
【详解】
解：过点E 作EM ⊥CD,交AB 与点N.∴,EN AN EAN ECM EM CM
V V ~∴= 30.82.5, 1.7,0.8,10,313AB m EF m AN m BD m FB m CM ==∴===∴
=Q Q ,()3.47CM m ∴≈ ()1.7 3.47 5.2.CD m ∴=+≈
故答案为5.2m ．
【点睛】
本题是考查相似三角形的判定和性质．关键是做出辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出结论即可.这类题型可以作垂直也可以作平行线，构造相似三角形．
16．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25
解析：75或25
【解析】
【分析】
过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积．
【详解】
解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．
在Rt ABD ∆中，sin 10AD AB B =⋅=，cos 10BD AB B =⋅=；
在Rt ACD ∆中，10AD =，55AC =
∴225CD AC AD =-=，
∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=， ∴1752ABC S BC AD ∆=
⋅=或25． 故答案为：75或25．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键．
17．（-2-2）【解析】【分析】先根据点P （ab ）是反比例函数y=的图象上的点把点P 的坐标代入解析式得到关于abk 的等式ab=k ；又因为ab 是一元二次方程x2+kx+4=0的两根得到a+b=-kab=4
解析：（-2，-2）．
【解析】
【分析】
先根据点P （a ，b ）是反比例函数y=k x
的图象上的点，把点P 的坐标代入解析式，得到关于a 、b 、k 的等式ab=k ；又因为a 、b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两根，得到a+b=-k ，ab=4，根据以上关系式求出a 、b 的值即可．
【详解】
把点P （a ，b ）代入y=k x
得，ab=k ， 因为a 、b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两根，根据根与系数的关系得：a+b=-k ，ab=4， 于是有：
a b 4{ab 4
+=-=， 解得a 2 {b 2
=-=-， ∴点P 的坐标是（-2，-2）．
18．【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3）C （5）所以B （）然后利用待定系数法求直线BD 的解析式【详解】∵D
（53）∴A（3）C （5）∴B（）设直线BD 的解析式为y=m 解析：35y x =
【解析】
【分析】
利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3k ，3），C （5，5
k ），所以
B （3k ，5k ），然后利用待定系数法求直线BD 的解析式． 【详解】 ∵D （5，3），
∴A （
3k ，3），C （5，5k ）， ∴B （3k ，5
k ）， 设直线BD 的解析式为y=mx+n ， 把D （5，3），B （
3k ，5k ）代入得 5335m n k k m n ＝＝+⎧⎪⎨+⎪⎩，解得350
m n ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线BD 的解析式为35y x =
． 故答案为35y x =
． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x
（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．也考查了矩形的性质．
19．cm 【解析】【分析】将杯子侧面展开建立A 关于EF 的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求【详解】解:如答图将杯子侧面展开作A 关于EF 的对称点A′连接A′B 则A′B 即为最短距离根据勾股
解析：cm ．
【解析】
【分析】
将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求.
【详解】
解:如答图，将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离．
根据勾股定理，得（cm ）．
故答案为：20cm.
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
20．8或【解析】【分析】根据题意可分两种情况①当CP和CB是对应边时
△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时△CPQ∽△CAB根据相似三角形的性质分别求出时间t即可【详解】①CP和CB是对应边时△CP
解析：8或64 11
【解析】
【分析】
根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.
【详解】
①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以CP
CB
＝
CQ
CA
，
即162
16
t
-
＝
12
t
，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以CP
CA
＝
CQ
CB
，
即162
12
t
-
＝
16
t
，
解得t＝64 11
.
综上所述，当t＝4.8或64
11
时，△CPQ与△CBA相似．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.
三、解答题
21．（1）y=4
x
；y＝－x
＋5（2）2（3）（0，
17
5
）
【解析】
分析：（1）根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；
（2）根据反比例函数的性质，xy=k＜直接求出面积即可；
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
详解：（1）将B（4，1）代入y＝
k
x
得：1＝
4
k
，
∴k=4，
∴y＝
4
x
，
将B（4，1）代入y=mx+5，
得：1=4m+5，
∴m=-1，
∴y=-x+5，
（2）在y＝
4
x
中，令x=1，
解得y=4，
∴A（1，4），
∴S=
1
2
×1×4=2，（6分）
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），
连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
设直线BN的关系式为y=kx+b，
由
41
4
k b
k b
＝
＝
+
⎧
⎨
-+
⎩
，得
3
5
17
5
k
b
⎧
-
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
＝
＝
，
∴y＝−3 5 x
+
17
5
，
∴P（0，
17
5
）
点睛：此题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．
22．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝
2
2
.
【解析】
（1）如图，作AE⊥BC，
∴CE=AC•cos C=1，∴AE=CE=1，
1
tan
3
B=，
∴BE=3AE=3，∴BC=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，
∴∠ADC=45°，∴
2
sin
2
ADC
∠=．
23．（1）
100(0 1.5)
225
( 1.5)
x x
y
x
x
⎧
⎪
=⎨
⎪⎩
剟
…
；（2）第二天早上7：00不能驾车去上班，见解析．
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；
（2）根据题意得出x=10时y的值进而得出答案．
【详解】
（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y=kx，则150=1.5k，解得：
k=100，故y=100x，当1.5≤x时，设函数关系式为：y
a
x
=，则a=150×1.5=225，解得：a=225，故y
225
x
=（x≥1.5）．
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y
()
()
1000 1.5
225
1.5
x x
x
x
⎧≤≤
⎪
=⎨
≥
⎪⎩
；
（2）第二天早上7：00不能驾车去上班．理由如下：
∵晚上21：00到第二天早上7：00，有10小时，∴x=10时，y
225
10
==22.5＞20，∴第二
天早上7：00不能驾车去上班．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题，属于中考常考题型．
24．楼房AB 高度约为23.7米
【解析】
【分析】
过D 作DG BC ⊥于G ，DH AB ⊥于H ，交AE 于F ，作FP BC ⊥于P ，则
DG FP BH ==，DF GP =，求出30DCG ∠=︒，得出152FP DG CD ===，353CG DG ==，求出20310DF GP ==
+，证出30DAF ADF ∠=︒=∠，得出20310AF DF ==+，得出110352FH AF ==+，因此31053AH FH ==+，即可得出答案．
【详解】
解：过D 作DG BC ⊥于G ，DH AB ⊥于H ，交AE 于F ，作FP BC ⊥于P ，如图所示：
则,DG FP BH DF GP ===，
∵坡面10CD =米，山坡的坡度3i =
∴30DCG ∠=︒，
∴152
FP DG CD ===， ∴353CG DG ==
∵60FEP ∠=︒，
∴35FP EP ==，
∴53EP = ∴5320353101033DF GP ==+
=+， ∵60AEB ∠=︒，
∴30EAB ∠=︒，
∵30ADH ∠=︒，
∴60DAH ∠=︒，
∴30DAF ADF ∠=︒=∠， ∴20310AF DF ==
+， ∴110352FH AF ==+， ∴31053AH FH ==+， ∴105351553155 1.7323.7AB AH BH =+=++=+≈+⨯≈（米）， 答：楼房AB 高度约为23.7米．
【点睛】
此题是解直角三角形的应用--仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
25．(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB ，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得 到 CE=AE ，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明
=，由相似三角形的性
质列出比例式，计算即可．
【详解】
(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC=∠CAB ，
∵AC 2=AB•AD ，
∴= ， ∴△ADC ∽△ACB ；
(2)∵△ADC ∽△ACB ，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵点 E 为 AB 的中点，
∴CE=AE= AB= ，
∴∠EAC=∠ECA ，
∴∠DAC=∠EAC ，
∴∠DAC=∠ECA ，
∴CE∥AD；
∴==，
∴=．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。