2017-2018年广东省韶关市南雄中学高一上学期数学期末试卷和解析

2017-2018学年广东省韶关市南雄中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）设集合A={x|﹣2＜x＜7 }，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5.00分）两条直线a，b满足a∥b，b⊂α，则a与平面α的关系是（）A．a∥αB．a与α相交C．a与α不相交D．a⊂α3．（5.00分）方程的e x=的根所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）4．（5.00分）函数y=x（x2﹣1）的大致图象是（）A．B． C．D．5．（5.00分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5.00分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=3，则长方体ABCD ﹣A1B1C1D1的外接球的直径为（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5.00分）圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180° D．240°8．（5.00分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°9．（5.00分）若方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．D．（﹣∞，1）10．（5.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．511．（5.00分）已知函数f（x）=x2+log2|x|，则不等式f（x+1）﹣f（2）＜0的解集（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（1，3）12．（5.00分）已知f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（a＞0且a≠1），若f（4）•g （﹣4）＜0，则y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知不等式x2+px﹣6＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则p=．14．（5.00分）=．15．（5.00分）函数y=+lg（2x+1）的定义域是．16．（5.00分）函数y=x﹣log2（x+2）在[﹣1，1]上的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）全集U=R，函数f（x）=+lg（3﹣x）的定义域为集合A，集合B={x|x2﹣a＜0}．（1）求∁U A；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的零点；（2）求不等式f（x）＞0的解集．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠A=90°，BD⊥DC，将△ABD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面BDC．（1）求证：平面EBD⊥平面EDC；（2）求ED与BC所成的角．20．（12.00分）一块边长为10cm的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）试把容器的容积V表示为x的函数（2）若x=6，求图2的主视图的面积21．（12.00分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求点B1到平面ABC的距离．22．（12.00分）已知函数（k∈R），且满足f（﹣1）=f（1）．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；（3）若函数，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h （x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年广东省韶关市南雄中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）设集合A={x|﹣2＜x＜7 }，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：因为B={x|x＞1，x∈N}，且A={x|﹣2＜x＜7 }，所以，A∩B={x||﹣2＜x＜7，且x＞1，x∈N}即A∩B={2，3，4，5，6}，因此，A与B的交集中含有5个元素，故选：C．2．（5.00分）两条直线a，b满足a∥b，b⊂α，则a与平面α的关系是（）A．a∥αB．a与α相交C．a与α不相交D．a⊂α【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB⊂平面ABCD，A1B1∥平面ABCD，AB∥CD，A⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴两条直线a，b满足a∥b，b⊂α，则a与平面α的关系是a∥α或a⊂α，∴a与α不相交．故选：C．3．（5.00分）方程的e x=的根所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：构建函数f（x）=e x﹣，x∈（0，+∞）∴f′（x）=e x+，当x∈（0，+∞）∴f′（x）＞0∴函数为单调增函数∵f（1）=e﹣1＞0，f（）=﹣2＜0，f（1）f（）＜0．∴方程的e x=的根所在的区间是（，1）故选：B．4．（5.00分）函数y=x（x2﹣1）的大致图象是（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数y=x（x2﹣1），令f（x）=x（x2﹣1），则f（﹣x）=﹣x（x2﹣1）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，又当0＜x＜1时，f（x）＜0，综上所述，函数y=x（x2﹣1）的大致图象是选项A．故选：A．5．（5.00分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，EF是三角形ASC的中位线，EF∥SC，且EF=SC，则EF与BE的成角是BE与SC的成角，BF=，AB=，EF=，三角形SAB是等腰三角形，从S作SG⊥AB，cosA===，根据余弦定理，BE2=AE2+AB2﹣2AE•AB•cos A=2，BE=，在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2﹣2EF•BEcos∠BEF，cos∠BEF=，∠BEF=60°；异面直线BE与SC所成角的大小60°．故选：C．6．（5.00分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=3，则长方体ABCD ﹣A1B1C1D1的外接球的直径为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=3，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的直径为：2R===5．故选：D．7．（5.00分）圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180° D．240°【解答】解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为θ，根据条件得：πrl+πr2=3πr2，即l=2r，根据扇形面积公式得：=πrl，即==180°．故选：C．8．（5.00分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选：D．9．（5.00分）若方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．D．（﹣∞，1）【解答】解：分别画出y=|lnx|和y=（）x﹣a的图象，由题意可得方程有两个不等的实数根，即为y=|lnx|和y=（）x﹣a的图象有两个不同的交点，可得x=1，y=0时，a=，通过图象平移可得a的取值范围是（﹣∞，）．故选：C．10．（5.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．5【解答】解：由三视图知几何体是边长为2的正方体削去一个三棱锥，其直观图如图：截面三角形为等边三角形，边长为，∴截面的面积为，∴几何体的表面积S=3×1×1++=．故选：C．11．（5.00分）已知函数f（x）=x2+log2|x|，则不等式f（x+1）﹣f（2）＜0的解集（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（1，3）【解答】解：不等式f（x+1）﹣f（2）＜0等价为f（x+1）＜f（2），∵f（x）=x2+log2|x|，∴f（﹣x）=（﹣x）2+log2|﹣x|=x2+log2|x|=f（x），则函数f（x）是偶函数，且当x＞0时，f（x）=x2+log2x为增函数，则不等式f（x+1）＜f（2）等价为f（|x+1|）＜f（2），即|x+1|＜2且x+1≠0，即﹣2＜x+1＜2且x≠﹣1，即﹣3＜x＜1且x≠﹣1，即不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1），故选：C．12．（5.00分）已知f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（a＞0且a≠1），若f（4）•g （﹣4）＜0，则y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f（x）=a x﹣2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）•g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由此特征可以确定C、D两选项不正确，A，B两选项中，在（0，+∞）上，函数是减函数，故其底数a∈（0，1）由此知f（x）=a x﹣2，是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知不等式x2+px﹣6＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则p=1．【解答】解：因为不等式x2+px﹣6＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，所以﹣3，2是方程x2+px﹣6=0的两个根所以﹣3+2=﹣p所以p=1故答案为114．（5.00分）=2．【解答】解：原式==2（lg2+lg5）=2lg10=2故答案为215．（5.00分）函数y=+lg（2x+1）的定义域是{x|} ．【解答】解：要使函数有意义，则，解得．∴函数y=+lg（2x+1）的定义域是{x|}．故答案为：{x|}．16．（5.00分）函数y=x﹣log2（x+2）在[﹣1，1]上的最大值为3．【解答】解：因为单调递减，y=log2（x+2）单调递增，所以函数y=﹣log2（x+2）在区间[﹣1，1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f（﹣1）=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）全集U=R，函数f（x）=+lg（3﹣x）的定义域为集合A，集合B={x|x2﹣a＜0}．（1）求∁U A；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵x+2＞0，且3﹣x＞0，∴﹣2＜x＜3，∴A=（﹣2，3），∴∁U A=（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；（2）当a≤0时，B=∅满足A∪B=A；当a＞0时，B=（﹣，），∵A∪B=A，∴B⊆A，∴，∴0＜a≤4，综上所述：实数a的范围是a≤4．18．（12.00分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的零点；（2）求不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=当x≤0时，f（x）=（）x﹣2=0，解可得x=﹣1，当x＞0时，f（x）=log2（x+1）﹣1=0，解可得x=1，则f（x）的零点为﹣1，1；（2）若函数f（x）=当x≤0时，f（x）=（）x﹣2，若f（x）＞0，有（）x﹣2＞0，解可得x＜﹣1，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），若f（x）＞0，有log2（x+1）﹣1＞0，解可得x＞1，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠A=90°，BD⊥DC，将△ABD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面BDC．（1）求证：平面EBD⊥平面EDC；（2）求ED与BC所成的角．【解答】（1）证明：∵平面EBD⊥平面BDC，且平面EBD∩平面BDC=BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面EBD，∵CD⊂平面EDC，∴平面EBD⊥平面EDC．（2）解：如答图，连接EA，取BD的中点M，连接AM，EM，∵AD∥BC，∴∠EDA即为ED与BC所成的角．又∵AD=AB，∴ED=EB．∴EM⊥BD，∴EM⊥平面ABCD．设AB=a，则ED=AD=a，EM=MA=a，∴AE=a，∴∠EDA=60°．即ED与BC所成的角为60°．20．（12.00分）一块边长为10cm的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）试把容器的容积V表示为x的函数（2）若x=6，求图2的主视图的面积【解答】解：（1）设所截等腰三角形的底边边长为x cm．在Rt△EOF中，EF=5cm，OF=x cm，所以EO=．于是V=x2（cm3）．依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}．（2）主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，底边上的高为四棱锥的高=EO==4，S==12（cm2）21．（12.00分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求点B1到平面ABC的距离．【解答】（1）证明：∵侧面ABB1A1为矩形，D为AA1的中点，AB=1，AA1=，AD=，∴在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，∴∠AB1B=∠ABD，∵∠BAB 1+∠AB1B=90°，∴∠BAB1+∠ABD=90°，∴∠BAB1+∠ABD=90°，即∠BOA=90°，即BD⊥AB1，∵OC⊥侧面ABB1A1，∴OC⊥AB1，∵OC∩BD=O，OC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB1⊥平面BCD，∵BC⊂平面BCD，∴BC⊥AB1．（2）解：∵在Rt△ABB1中，BO⊥AB，∴AB2=AO•AB1，∴A0===，∵OC=OA，∴OC=，S△ABB1=•AB•BB1=×1×=，=OC•S△ABB1=××=，∴V C﹣ABB1∵OC=OA=，∴AC==，OB==，BC==1，∴S=××=，△ABC设B1到平面ABC的距离为d，=•d•S△ABC=•d=V C﹣ABB1=，则V B1﹣ABC∴d=，即B1到平面ABC的距离为22．（12.00分）已知函数（k∈R），且满足f（﹣1）=f（1）．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；（3）若函数，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h （x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=f（1），即∴…5分（2）由题意知方程即方程无解，令，则函数y=g（x）的图象与直线y=a无交点∵任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，∴．∴，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是单调减函数．∵，∴．∴a的取值范围是（﹣∞，0]．…9分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分．…9分（3）由题意h（x）=4x+m×2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，φ（t）=t2+mt，t∈[1，3]，∵开口向上，对称轴．当，，m=﹣1当，，m=0（舍去）当，即m＜﹣6，φ（t）min=φ（3）=9+3m=0，m=﹣3（舍去）∴存在m=﹣1得h（x）最小值为0…12分赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。