江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测18Word版含答案

18 存在与恒成立问题

1．(2013·课标全国Ⅱ改编)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－1，＋∞) 解析 ∵2x (x －a )<1，

∴a >x －1

2

x .

令f (x )＝x －1

2x ，

∴f ′(x )＝1＋2－

x ln 2>0.

∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．

2．已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋3

2，若任意给定的x 0∈[0,2]，总存在两个不同

的x i (i ＝1,2)∈[0,2]，使得f (x i )＝g (x 0)成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)

解析 当a ＝0时，显然不成立；

当a >0时，注意到f ′(x )＝6ax 2－6ax ＝6ax (x －1)， 即f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，

又f (0)＝1<3

2＝g (0)，

当x 0＝0时，结论不可能成立；

进一步，可知a <0，此时g (x )在[0,2]上是增函数，

且取值范围是[3

2，－a 2＋3

2]，

同时f (x )在0≤x ≤1时，函数值从1增大到1－a ， 在1≤x ≤2时，函数值从1－a 减少到1＋4a ， 所以“任意给定的x 0∈[0,2]， 总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]， 使得f (x i )＝g (x 0)成立” 当且仅当⎩

⎪⎨⎪⎧

f (x )的最大值>

g (x )的最大值，

f (x )的最小值<

g (x )的最小值，

即⎩⎨⎧

1－a >－a 2＋32

，

1＋4a <3

2

，解得a <－1.

3．(2014·课标全国Ⅱ改编)设函数f (x )＝3sin πx m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 2

0＋[f (x 0)]2

则m 的取值范围是____________________．

答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析 ∵f (x )＝3sin πx

m

的极值点即为函数图象中的最高点或最低点的横坐标，由三角函数的

性质可知T ＝2ππm ＝2m ，∴x 0＝m

2

＋km (k ∈Z )．假设不存在这样的x 0，即对任意的x 0都有x 20＋[f (x 0)]2≥m 2，则(m 2＋km )2＋3≥m 2，整理得m 2(k 2＋k －34)＋3≥0，即k 2＋k －34≥－3

m 2恒成立，

因为y ＝k 2＋k －34的最小值为－3

4(当k ＝－1或0时取得)，故－2≤m ≤2，因此原存在性命题成

立的条件是m >2或m <－2.

4．(2014·山东改编)已知实数x ，y 满足a x

①1x 2＋1>1

y 2＋1； ②ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)； ③sin x >sin y; ④x 3>y 3. 答案 ④

解析 因为0y .采用赋值法判断，①中，当x ＝1，y ＝0时，1

2<1，①不成

立．②中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1

5．若函数f (x )＝ln x －1

2ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是

________________． 答案 －10 解析 对函数f (x )求导，

得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1

x

(x >0)．

依题意，得f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解， 即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解，

∴Δ＝4＋4a >0且方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正根， ∴a >－1，又∵a ≠0，∴－10.

6．(2014·辽宁改编)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．

答案 [－6，－2]

解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .

当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2

－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3

，

∴a ≥

⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3

x 3

，

φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2

x 6

＝－x 2－8x －9x 4

＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.

当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3

x 3

，

∴a ≤

⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3

，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)

x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.

∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．

而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3

－1＝－2，

∴a ≤－2.

综上知－6≤a ≤－2.

7．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 答案 4

解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；

当x >0时，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1

x

3.

即g (x )＝3x 2－1

x

3，

则g ′(x )＝3(1－2x )

x 4

，

所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[1

2，1]上单调递减，

因此g (x )max ＝g (1

2

)＝4，从而a ≥4.

当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1

x

3.