回归分析线性回归Logistic回归对数线性模型
七种回归分析方法个个经典
七种回归分析方法个个经典什么是回归分析？回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。
这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。
回归分析是建模和分析数据的重要工具。
在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。
我会在接下来的部分详细解释这一点。
我们为什么使用回归分析？如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。
下面，让我们举一个简单的例子来理解它：比如说，在当前的经济条件下，你要估计一家公司的销售额增长情况。
现在，你有公司最新的数据，这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。
那么使用回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。
使用回归分析的好处良多。
具体如下：1.它表明自变量和因变量之间的显著关系；2.它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。
回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。
这些有利于帮助市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量，用来构建预测模型。
我们有多少种回归技术？有各种各样的回归技术用于预测。
这些技术主要有三个度量（自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。
我们将在下面的部分详细讨论它们。
对于那些有创意的人，如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合，你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。
但在你开始之前，先了解如下最常用的回归方法：1.Linear Regression线性回归它是最为人熟知的建模技术之一。
线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。
在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。
线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和一个或多个自变量（X）之间建立一种关系。
logistic回归模型系数估计原理 -回复
logistic回归模型系数估计原理-回复中括号内的内容为主题的文章题目为：“Logistic回归模型系数估计原理”。
一、引言Logistic回归是一种常用的分类算法，广泛应用于各个领域，如医学、金融、市场营销等。
而Logistic回归模型的系数估计原理是理解该模型的基础之一。
本文将一步一步深入地回答中括号内的问题，阐述Logistic回归模型系数估计的原理和方法。
二、Logistic回归模型Logistic回归是一种广义线性模型，用于解决二分类问题。
它通过对输入变量的线性组合应用sigmoid函数将线性输出转换为概率。
Logistic回归模型可以表示为：p(y=1 x) = 1 / (1 + exp(-z))其中，p(y=1 x)代表给定输入变量x时目标变量y为1的概率，z为线性输出。
Logistic回归模型的目标是通过调整参数来最大化似然函数或最小化损失函数，从而找到最佳拟合的模型。
三、最大似然估计对于Logistic回归模型而言，参数估计常常采用最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）方法。
MLE的基本思想是找到使观察数据出现的概率最大的参数值。
1. 似然函数似然函数是参数的函数，表示在给定参数下观察到数据的概率。
对于Logistic回归而言，似然函数可以表示为：L(θ) = ∏[p(y=1 x)]^y * [1 - p(y=1 x)]^(1-y)其中，θ表示参数向量，y为目标变量，x为输入变量。
似然函数是一个乘积项，每一项由给定x和y的概率构成。
2. 对数似然函数为了方便计算和优化，通常将似然函数取对数。
对数似然函数可以表示为：l(θ) = ∑[y * log(p) + (1-y) * log(1-p)]对数似然函数对参数取导数可以得到似然方程，进而用数值方法求解参数。
四、梯度下降法对于无解析解的情况，可以利用梯度下降法来求解参数。
梯度下降法是一种迭代的优化算法，通过不断调整参数值来减小目标函数的值。
logistic回归模型——方法与应用
logistic回归模型——方法与应用
logistic回归模型是一种广泛应用于分类问题的统计学习方法。
它主要用于预测二分类问题，但也可以通过多类logistic回归
处理多分类问题。
方法：
1. 模型定义：logistic回归模型是一种线性分类模型，它
使用一个Logistic函数(也称为sigmoid函数)将线性模型生成
的线性组合转换为概率分数。
Logistic函数将线性组合映射到
0到1之间的值，表示输入属于正面类别的概率。
2. 模型训练：logistic回归模型的训练目标是找到一个权
重向量，使得模型能够最大化正面类别的概率。
训练算法通常采用最大似然估计方法，通过迭代优化权重向量来最小化负对数似然损失函数。
3. 预测：给定一个测试样本，logistic回归模型通过计算
样本的得分(也称为Logit)，将其映射到0到1之间的概率分数。
如果概率分数超过一个预先定义的阈值，则将测试样本分类为正面类别，否则将其分类为负面类别。
应用：
1. 二分类问题：logistic回归模型最常用于解决二分类问题，例如垃圾邮件过滤、欺诈检测等。
2. 多类问题：通过多类logistic回归模型，可以将多个类别映射到0到1之间的概率分数，然后根据概率分数将测试样本分配到不同的类别中。
3. 特征选择：logistic回归模型可以用于特征选择，通过计算每个特征的卡方得分，选择与类别最相关的特征。
4. 文本分类：logistic回归模型在文本分类问题中得到广泛应用，例如情感分析、主题分类等。
对数线性模型
双向无序列联表； 单向有序列联表； 双向有序且属性不同的列联表； 双向有序且属性相同的列联表
3、列联表的优势
约束条件少 清晰 可以快速准确进行判断
4、列联表的劣势：对于多关系变量 两个以上 研究：不能被清晰解读
失去了对多变量之间的交互联系的分析 进行两变量间关联分析时缺乏统计控制 不能准确定量描述一个变量对另一个变量的作用幅度
密度函数和似然函数 带着参数的密度函数 是相同的,但前者视参数是固定的且数据时变化的,后者视参数变化的且数据时固定的。 1 写出似然函数； 2 对似然函数取对数,并整理； 3 求导数 ； 4 解似然方程
三、对数线性模型的假设检验
1、假设检验的作用 统计推论中包括参数估计与假设检验两部分,上面我们已经介绍了参数估计,那估计的可信度有多少,还要经过假设检验。不经过统计检验,研究者便不能肯定得到的参数估计是不是仅仅源于抽样误差,因而不能肯定在总体中是否存在相同情况。所有结论只能限于这个样本之内,不能肯定再抽一个样本能否得到类似结果。
上两式的数学变换使各种效应项相乘的关系被转换成相加的关系,使各项效应独立化了。 常数效应； A因素效应； B因素效应； 主效应 A、B两因素的交互效应；
主效应和多元交互列表涉及因素数量相等； 交互效应的总数则为所有因素各阶组合数之和。 对数线性模型有一个限制条件： 模型中每一项效应的各类参数之和等于0； 如果每项效应中只有一类的参数未知,那么可以由已知参数推算出来。
5、对数线性模型：多维度列联表解决之道,以及模型自身特点
通过数学方法 方差分析+逻辑变换 来描述多元频数分布。 综合性：同时囊括多个变量于一个模型之中。 控制性：可以在控制其他变量的条件下研究两个分类变量之间的关联。 饱和性：将多元频数分布分解成具体的各项主效应和各项交互效应,以及高阶效应,不会漏项。 饱和模型与不饱和模型 定量性：以发生比的形式来表示自变量的类型不同反映在因变量频数分布上的差异。 可检验性：不仅可以对所有参数估计进行检验,使抽样数据可以推论总体,且能够通过不同模型的统计检验结果,对备选模型进行筛选和评价,进而确定具有最大解释能力且最简单的模型。 消除抽样波动所带来的明显的不规则性
脑卒中与代谢综合征的对数线性模型与Logistic回归分析
学表 达式。 结果
脑卒 中的发病 与代谢 综合 征高度相关 ； 出了代谢 综合征 的组分 中高血糖 、 得 高血压、 体重与 超 预 防脑卒 中的发 生首先要 有效地控制代谢紊乱 。 文章 编号 ：６ ２— ４ ４ ２ １ ）２— １０—０ １７ ７ ４ （０ ０ ０ ０ ７ ３
SPSS专题2 回归分析(线性回归、Logistic回归、对数线性模型)
19
Correlation s lif e_ expectanc y _ f emale(y ear) .503** .000 164 1.000 . 192 .676**
cleanwateraccess_rura... life_expectancy_femal... Die before 5 per 1000
Model 1 2
R .930
a
R Square .866 .879
Model 1
df 1 54 55 2 53 55
Regres sion Residual Total Regres sion Residual Total
Mean Square 54229.658 155.861 27534.985 142.946
2
回归分析 • 一旦建立了回归模型 • 可以对各种变量的关系有了进一步的定量理解 • 还可以利用该模型（函数）通过自变量对因变量做 预测。 • 这里所说的预测，是用已知的自变量的值通过模型 对未知的因变量值进行估计；它并不一定涉及时间 先后的概念。
3
例1 有50个从初中升到高中的学生.为了比较初三的成绩是否和高中的成绩 相关,得到了他们在初三和高一的各科平均成绩(数据:highschool.sav)
50名同学初三和高一成绩的散点图
100
90
80
70
60
高 一成 绩
50
40 40
从这张图可以看出什么呢?
50 60 70 80 90 100 110
4
初三成绩
还有定性变量 • 该数据中，除了初三和高一的成绩之外，还有 一个定性变量 • 它是学生在高一时的家庭收入状况；它有三个 水平：低、中、高，分别在数据中用1、2、3 表示。
回归分析线性回归Logistic回归对数线性模型
逻辑回归的模型为 (P(Y=1) = frac{1}{1+e^{-z}})，其中 (z = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ... + beta_nX_n)。
逻辑斯蒂函数
பைடு நூலகம்
定义
逻辑斯蒂函数是逻辑回归模型中用来描述自变量与因变量之 间关系的函数，其形式为 (f(x) = frac{1}{1+e^{-x}})。
。
在样本量较小的情况下， logistic回归的预测精度可能高 于线性回归。
线性回归的系数解释较为直观 ，而logistic回归的系数解释相 对较为复杂。
对数线性模型与其他模型的比较
对数线性模型假设因变量和自变量之间存在对 数关系，而其他模型的假设条件各不相同。
对数线性模型的解释性较强，可以用于探索自变量之 间的交互作用和效应大小。
THANKS
感谢您的观看
预测市场细分中的消费者行为等。
对数线性模型还可以用于探索性数据分析，以发现数 据中的模式和关联。
Part
04
比较与选择
线性回归与logistic回归的比较
线性回归适用于因变量和自变 量之间存在线性关系的场景， 而logistic回归适用于因变量为
二分类或多分类的场景。
线性回归的假设条件较为严格 ，要求因变量和自变量之间存 在严格的线性关系，而logistic 回归的假设条件相对较为宽松
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，用于最小化预测值与实际观测值之间的平方误差总和。
通过最小二乘法，可以估计回归系数，使得预测值与实际观测值之间的差距最小化。
最小二乘法的数学公式为：最小化 Σ(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ...))^2，其中Yi是实际观 测值，X1i, X2i, ...是自变量的观测值。
机器学习：线性回归和逻辑回归的比较
机器学习：线性回归和逻辑回归的比较在机器学习算法中，线性回归和逻辑回归是最常用的两种算法。
它们在解决不同类型问题时具有显着不同的表现。
本文将比较这两种算法的细节，讨论它们优缺点并在末尾给出结论。
一、线性回归（Linear Regression）线性回归是一种基础模型，用于分析两个变量之间的线性关系。
它假设目标变量y与输入特征x之间具有线性关系。
即y=f(x)+ε，其中f(x)是一个关于x的线性方程，ε是残差项。
线性回归通过最小化残差平方和（RSS）来最小化预测值与实际值之间的差异，以使得预测与实际值之间的差异尽可能小。
线性回归算法的优点：1.算法简单易懂，容易产生可解释的结果。
2.在大数据集情况下具有显著的高效性。
3.相对于其他算法，线性回归具有更少的统计偏差。
线性回归算法的缺点：1.它假设目标变量与输入特征之间呈线性关系，如果实际情况不符合此假设，将导致模型表现不佳。
2.线性回归非常容易受到极端值以及特征之间的共线性的影响，这可能会影响预测的准确性。
3.对于非线性关系无法建模，需要使用其他算法。
二、逻辑回归（Logistic Regression)逻辑回归是一种二元分类算法，它有助于了解两个变量之间的关系。
它输出一个在0到1之间的概率，然后将其按照一个阈值进行分类。
逻辑回归将线性回归的思想应用于分类问题，输出值为一个逻辑函数（Sigmoid函数）的输出，而不是一个连续值。
逻辑回归通常用于二元分类问题，但也可用于多元分类问题（多类别分类问题），但需要引入一些技巧。
逻辑回归算法的优点：1.逻辑回归是一种简单而有效的算法，而且易于解释。
2.与线性回归相比，逻辑回归对极端值和共线性的鲁棒性更强。
3.逻辑回归可以处理多元分类问题，当目标变量具有两个或多个值时非常有用。
逻辑回归算法的缺点：1.它假设特征之间的关系是对数线性的，这不一定总是对的。
2.在出现不能线性分离的情况下，逻辑回归可能会出现欠拟合的情况。
对数线性模型分析(精)
自变量之间的交互效应就很繁杂，可能需要
建立很多哑变量。
16
3、对数线性模型：可以直接分析各种类型的分 类变量，对于名义变量，也不需要事先建立哑变
量，可以直接分析变量的主效应和交互效应。对
数线性模型不仅可以解决卡方分析中常遇到的高
维列联表的“压缩”问题，又可以解决logistic回
归分析中多个自变量的交互效应问题。
不如线性回归模型易理解。
22
建议：
1）在变量类别较少，特别是二类的情况下，
建议还是用logistic回归分析。
2）在变量较多或变量水平较多的情况下，可
以先用对数线性模型分析主效应和交互效
应，对没有统计意义的变量或水平作适当
的维数或水平的压缩，将数据简化后再用
logistic回归分析拟合模型。
23
【例2】四家医院对同一病症采用四种不同手术， 手术后病人出现并发症，其严重性分成三级。数 据例在下表中。
3
第一节 对数线性模型的基本概念
一、频数分布：
1、列联表 (contingency table)
2、 维数 (dimension)
3、行(row)、列(column)、层(layer)变量
4、格子频数 (cell frequency)
4
第二节 对数线性模型
二维对数线性模型：
总均值
主效应A 主效应B
24
其中，变量HP 表示医院(hospital：1,2,3,4) ，变量 TRT 表示手术处理方法(treatment：A,B,C,D) ， 变量SEV表示术后并发症的严重程度(severity：0= 没有，1=轻度，2=中度) ，变量WT表示频数。
25
【SAS程序】 data eg9_3； input hp trt $ sev wt @@ ； cards； 1 A 0 23 1 A 1 7 1 A 2 2 …… 4 D 0 13 4 D 1 6 4 D 2 4 run； proc catmod； weight wt； model hp*trt*sev=_response_/oneway； loglin hp|trt hp|sev trt|sev ； run；
SPSS专题2_回归分析(线性回归、Logistic回归、对数线性模型)
还有定性变量
下面是对三种收入对高一成绩和高一与初三成绩差的盒 形图
高一成绩与初三成绩之差 高一成绩
110
100
90
80
70
60
50
39 25
40
30
N=
11
27
12
1
2
3
家庭收入
30
20
10
0
-10
-20
-30
N=
11
27
12
1
2
3
家庭收入
6
s1
例1：相关系数
100.00
90.00
80.00
70.00
回归分析
线性回归 Logistic回归 对数线性模型
吴喜之
回归分析
• 顾客对商品和服务的反映对于商家是至关重要的,但是仅仅 有满意顾客的比例是不够的,商家希望了解什么是影响顾客 观点的因素以及这些因素是如何起作用的。 • 一般来说，统计可以根据目前所拥有的信息（数据）建立 人们所关心的变量和其他有关变量的关系（称为模型）。 • 假如用Y表示感兴趣的变量，用X表示其他可能有关的变 量（可能是若干变量组成的向量）。则所需要的是建立一个 函数关系Y=f(X)。这里Y称为因变量或响应变量，而X称为 自变量或解释变量或协变量。 • 建立这种关系的过程就叫做回归。
50名同学初三和高一成绩的散点图
100
90
80
70
60
50
从这张图可以看出什么呢? 40
40
50
60
70
80
90
100
110
4ห้องสมุดไป่ตู้
初三成绩
高一成绩
趋势分析和回归分析，线性、对数、多项式、盛幂、指数、移动...-READ
趋势分析和回归分析，线性、对数、多项式、盛幂、指数、移动平均分析有何不同？1 趋势分析法趋势分析法称之趋势曲线分析、曲线拟合或曲线回归，它是迄今为止研究最多，也最为流行的定量预测方法。
它是根据已知的历史资料来拟合一条曲线，使得这条曲线能反映负荷本身的增长趋势，然后按照这个增长趋势曲线，对要求的未来某一点估计出该时刻的负荷预测值。
常用的趋势模型有线性趋势模型、多项式趋势模型、线性趋势模型、对数趋势模型、幂函数趋势模型、指数趋势模型、逻辑斯蒂(logistic)模型、龚伯茨(gompertz)模型等，寻求趋势模型的过程是比较简单的，这种方法本身是一种确定的外推，在处理历史资料、拟合曲线，得到模拟曲线的过程，都不考虑随机误差。
采用趋势分析拟合的曲线，其精确度原则上是对拟合的全区间都一致的。
在很多情况下，选择合适的趋势曲线，确实也能给出较好的预测结果。
但不同的模型给出的结果相差会很大，使用的关键是根据地区发展情况，选择适当的模型。
分析珠海市1995年以来的用电量历史数据，发现具有比较明显的二项式增长趋势，模型曲线为y=0.229565x2-914.8523x+911472.65，利用该模型曲线得到2005年到2010年的用电量水平分别为52.78亿kwh和85.08亿kwh。
拟合曲线如图1所示。
2 回归分析法回归分析法(又称统计分析法)，也是目前广泛应用的定量预测方法。
其任务是确定预测值和影响因子之间的关系。
电力负荷回归分析法是通过对影响因子值(比如国民生产总值、工农业总产值、人口、气候等)和用电的历史资料进行统计分析，确定用电量和影响因子之间的函数关系，从而实现预测。
但由于回归分析中，选用何种因子和该因子系用何种表达式有时只是一种推测，而且影响用电因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归分析在某些情况下受到限制。
对珠海市历年用电量和国内生产总值gdp、人口popu等数据进行分析，求得回归方程为：y=-3.9848+0.0727gdp+0.10307popu，用该模型预测2005年和2010年的用电量水平分别为47.11亿kwh和70.98亿kwh。
logistic回归的模型公式
logistic回归的模型公式Logistic回归是一种常用的分类算法，通过将线性回归模型的结果经过一个sigmoid函数进行转换，将连续的输出转换为概率值，从而进行分类预测。
在Logistic回归中，我们需要构建一个模型来预测某个事件发生的概率。
这个模型的输出值介于0和1之间，表示事件发生的概率。
我们可以将这个输出值看作是样本属于某个类别的概率，并将阈值设置为0.5，当输出值大于0.5时，我们将样本分类为正例，否则分类为负例。
Logistic回归的模型公式如下：$$P(y=1|x) = \frac{1}{1+e^{-z}}$$其中，$y$表示样本的类别，$x$表示样本的特征，$z$表示线性回归模型的输出。
$P(y=1|x)$表示样本属于类别1的概率。
这个概率值是根据样本的特征经过线性回归模型计算出来的。
在构建模型之前，我们需要对特征进行处理。
通常，我们会对特征进行标准化处理，使得特征的均值为0，方差为1。
这样可以提高模型的收敛速度和预测效果。
接下来，我们需要确定模型的参数。
在Logistic回归中，我们需要通过最大似然估计方法来确定参数的值。
最大似然估计方法是一种常用的参数估计方法，通过最大化样本的似然函数来确定参数的值。
似然函数表示给定参数的情况下，观察到当前样本的概率。
在Logistic回归中，似然函数可以表示为：$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{m} P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)$$其中，$m$表示样本的数量，$y^{(i)}$表示第$i$个样本的类别，$x^{(i)}$表示第$i$个样本的特征，$\theta$表示模型的参数。
我们的目标是最大化似然函数，即找到最优的参数值$\hat{\theta}$，使得似然函数取得最大值。
由于似然函数通常比较复杂，我们通常采用对数似然函数来进行优化。
对数似然函数可以表示为：$$l(\theta) = \sum_{i=1}^{m} \log P(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)$$通过最大化对数似然函数，我们可以得到最优的参数估计值$\hat{\theta}$。
logistic回归模型
logistic回归模型一、模型简介在实际分析中，有时候因变量为分类变量，例如阴性阳性、性别、血型等，此时使用线性回归模型进行拟合会出现问题。
因此，我们需要找出其他解决思路，那就是logit变换（逻辑变换）。
逻辑变换将某种结果出现的概率和不出现的概率之比称为优势比P/(1-P)，并取其对数，使之与自变量之间呈线性关系，从而解决了线性回归模型无法保证因变量只有两个取值的问题。
经过逻辑变换的线性模型称为logistic回归模型（逻辑回归模型），属于广义线性回归模型的范畴。
逻辑回归可以预测某个结果出现的概率，对因变量进行变换的方法很多，并不只有逻辑变换一种。
二、模型估计方法逻辑回归不能使用普通最小二乘估计，而使用极大似然估计或迭代重加权最小二乘法IRLS(XXX)。
使用极大似然估计的好处是，这是一种概率论在参数估计中的应用，正好和我们对因变量的概率预测相符合。
极大似然估计基于这样的思想：如果某些参数能使这个样本出现的概率最大，那就把这个参数作为估计的真实值。
三、优势比odds根据因变量的取值不同，逻辑回归可以分为四种：二分类逻辑回归、有序多分类逻辑回归、无序多分类逻辑回归、配对逻辑回归。
优势比odds是逻辑回归中的一个重要概念，指某种结果出现的概率和不出现的概率之比，通过逻辑变换，优势比可以被用作因变量进行拟合。
对于一些特殊情况，还需具体问题具体分析，不能一味地使用逻辑变换。
在二分类逻辑回归中，自变量可以是连续变量、二分类变量和多分类变量。
对于多分类变量，需要引入哑变量进行处理。
哑变量也称为虚拟变量，取值通常为0或1，代表参照分类和比较分类。
需要注意避免共线性，定义k-1个哑变量（包含截距）或k个哑变量（不包含截距）。
有序多分类变量指各因变量之间存在等级或程度差异。
对于因变量为有序分类变量的数据，可以通过拟合因变量个数-1个的逻辑回归模型，称为累积逻辑模型来进行。
这种方式依次将因变量按不同的取值水平分割成若干个二分类变量，然后再依次拟合二分类逻辑回归模型。
logistic回归模型的一般形式
logistic回归模型的一般形式
logistic回归模型是一种广义的线性回归分析模型，常用于数据挖掘、疾病自动诊断、经济预测等领域。
其一般形式可表达为：logit(p) = α+β1*X1+β2*X2+β3*X3+.....+βk*Xk。
其中，logit(p)表示Y的对数发生比，p为Y事件发生的概率；α为常数项，βi（i=1，2，3，...，k）为自变量Xi的回归系数。
与传统的线性回归模型不同，logistic 模型中的因变量是分类变量而不是连续变量。
它反映了自变量对因变量的线性影响，常用于探讨引发疾病的危险因素，并根据危险因素预测疾病发生的概率等。
在实际应用中，logistic 回归模型的形式可能会根据具体问题和数据特点进行调整和扩展。
[线性模型]对数几率回归（LogisticRegression）
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[线性模型]对数⼏率回归（LogisticRegression）公式推导对数⼏率回归⽤于处理⼆分类问题，其数学基础为对数⼏率函数，是⼀种 Sigmoid 函数y = \frac{1}{1+e^{-z}} \tag 1其函数图像如下取z = \boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}+b，并对式(1)进⾏⼀定变换，得\ln\frac{y}{1-y}= \boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}+b \tag 2\\ 可以理解为，使⽤线性回归的预测结果逼近真实标记的对数⼏率. 当y>0.5时，左式⼤于0；当y<0.5时，左式⼩于0.按照线性回归模型的求解过程，推导出求解\boldsymbol w和b的迭代公式. 将式(2)中的y看作类后验概率估计p(y=1|\boldsymbol x), 代⼊式(2)可以推出\begin{align} p(y=1|\boldsymbol x) = \frac{e^{\boldsymbol w^T\boldsymbol x+b}}{1+e^{\boldsymbol w^T \boldsymbol x+b}} \tag 3\\p(y=0|\boldsymbol x) = \frac{1}{1+e^{\boldsymbol w^T \boldsymbol x+b}} \tag 4\\ \end{align}令\hat{\boldsymbol w} = (\boldsymbol w;b), \hat{\boldsymbol x_i}=(\boldsymbol x_i;1)采⽤极⼤似然估计法估计\hat{\boldsymbol w} ,最⼤化函数L(\hat{\boldsymbol w}) = \sum\limits_{i=1}^m\ln p(y_i|\hat{\boldsymbol x_i},\hat{\boldsymbol w}) \tag 5\\令p_1(\hat{\boldsymbol x_i},\hat{\boldsymbol w}) = p(y=1|\hat{\boldsymbol x_i},\hat{\boldsymbol w}), p_0 = 1-p_1(\hat{\boldsymbolx_i},\hat{\boldsymbol w})，代⼊式(5)，得L(\hat{\boldsymbol w}) = \sum\limits_{i=1}^m\ln (y_ip_1(\hat{\boldsymbol x_i},\hat{\boldsymbol w})+(1-y_i)p_0(\hat{\boldsymbolx_i},\hat{\boldsymbol w})) \tag 6\\代⼊式(3)(4)，最⼤化式(6)等价于最⼩化L(\hat{\boldsymbol w}) = \sum\limits_{i=1}^m (-y_i\hat{\boldsymbol w}^T\hat{\boldsymbol x_i}+\ln(1+e^{\hat{\boldsymbolw}^T\hat{\boldsymbol x_i}}))\tag 7\\使⽤⽜顿迭代法得到迭代更新公式\begin{align} \hat{\boldsymbol w} &\leftarrow \hat{\boldsymbol w}-\left(\frac{\partial^2L(\hat{\boldsymbol w})}{\partial \hat{\boldsymbol w}\partial\hat{\boldsymbol w}^T} \right )^{-1}\frac{\partial L(\hat{\boldsymbol w})}{\partial\hat{\boldsymbol w}} \tag 8\\ \frac{\partialL(\hat{\boldsymbol w})}{\partial\hat{\boldsymbol w}} &=-\sum\limits_{i=1}^m \hat{\boldsymbol x_i}(y_i-p_1(\hat{\boldsymbolx_i},\hat{\boldsymbol w})) \tag 9\\ \frac{\partial^2L(\hat{\boldsymbol w})}{\partial \hat{\boldsymbol w} \partial\hat{\boldsymbol w}^T}&=\sum\limits_{i=1}^m\hat{\boldsymbol x_i}\hat{\boldsymbol x_i}^Tp_1(\hat{\boldsymbol x_i},\hat{\boldsymbol w})(1-p_1(\hat{\boldsymbol x_i},\hat{\boldsymbol w})) \tag {10} \end{align}其中式(9)可以向量化为\frac{\partial L(\hat{\boldsymbol w})}{\partial\hat{\boldsymbol w}} = \boldsymbol X^T(p_1({\boldsymbol X},\hat{\boldsymbol w})-\boldsymbol y) \tag{11}MATLAB 实现% ⽣成随机训练样本，直线 y=0.7x+200 上⽅的为正例，下⽅为反例% 输出训练样本在坐标轴上的分布x = zeros(100, 2);y = zeros(100, 1);kb = [0.7,200];figure;hold on;for i = 1:100x(i,1) = randi(1000,1);x(i,2) = randi(1000,1);if kb(1)*x(i,1)+kb(2)>x(i,2)plot(x(i,1), x(i,2), 'r*');y(i) = 1;elseplot(x(i,1),x(i,2), 'b*');y(i) = 0;endend% ⽜顿迭代法解权重function w = cal(X,y,eps)[m,n] = size(X);X = [X ones(m,1)];n = n + 1;w = zeros(n, 1);w(3) = 1000;prew = zeros(n, 1);while (true)flag = 0;sum1 = X'*(1-1./(1+exp(X*prew))-y);sum2 = 0;for i = 1:msum2 = sum2 + X(i,:)*X(i,:)'*(1-1./(1+exp(X(i,:)*prew)))*(1./(1+exp(X(i,:)*prew))); endw = prew - sum1./sum2;for i = 1:nif abs(w(i)-prew(i))>epsflag = 1;endendif flag==0break;endprew = w;endend% 测试并输出训练效果图像eps = 0.0001;w = cal(x, y, eps);figure;hold on;for i=1:100yy = w(1)*x(i,1)+w(2)*x(i,2)+w(3);if yy>0plot(x(i,1), x(i,2), 'r*');elseplot(x(i,1), x(i,2), 'b*');endend训练集的真实分布（红⾊正例、蓝⾊反例）：模型的分类效果：Processing math: 0%。
logistic回归与线性回归的比较
logistic回归与线性回归的⽐较可以参考如下⽂章第⼀节中说了，logistic 回归和线性回归的区别是：线性回归是根据样本X各个维度的Xi的线性叠加（线性叠加的权重系数wi就是模型的参数）来得到预测值的Y，然后最⼩化所有的样本预测值Y与真实值y'的误差来求得模型参数。
我们看到这⾥的模型的值Y是样本X各个维度的Xi的线性叠加，是线性的。
Y=WX (假设W>0),Y的⼤⼩是随着X各个维度的叠加和的⼤⼩线性增加的，如图（x为了⽅便取1维）：然后再来看看我们这⾥的logistic 回归模型，模型公式是：，这⾥假设W>0,Y与X各维度叠加和（这⾥都是线性叠加W）的图形关系，如图（x为了⽅便取1维）：我们看到Y的值⼤⼩不是随X叠加和的⼤⼩线性的变化了，⽽是⼀种平滑的变化，这种变化在x的叠加和为0附近的时候变化的很快，⽽在很⼤很⼤或很⼩很⼩的时候，X叠加和再⼤或再⼩，Y值的变化⼏乎就已经很⼩了。
当X各维度叠加和取⽆穷⼤的时候，Y趋近于1，当X各维度叠加和取⽆穷⼩的时候，Y趋近于0.这种变量与因变量的变化形式就叫做logistic变化。
（注意不是说X各个维度和为⽆穷⼤的时候，Y值就趋近1，这是在基于W>0的基础上，（如果W<0,n那么Y趋近于0）⽽W是根据样本训练出来，可能是⼤于0，也可能是⼩0，还可能W1>0，W2<0…所以这个w值是样本⾃动训练出来的，也因此不是说你只要x1，x2，x3…各个维度都很⼤，那么Y值就趋近于1，这是错误的。
凭直觉想⼀下也不对，因为你连样本都还没训练，你的模型就有⼀个特点：X很⼤的时候Y就很⼤。
这种强假设肯定是不对的。
因为可能样本的特点是X很⼤的时候Y就很⼩。
）所以我们看到，在logistic回归中，X各维度叠加和（或X各维度）与Y不是线性关系，⽽是logistic关系。
⽽在线性回归中，X各维度叠加和就是Y，也就是Y与X就是线性的了。
logistic回归和线性回归
logistic回归和线性回归1.输出：线性回归输出是连续的、具体的值（如具体房价123万元）回归逻辑回归的输出是0~1之间的概率，但可以把它理解成回答“是”或者“否”（即离散的⼆分类）的问题分类2.假设函数线性回归：θ数量与x的维度相同。
x是向量，表⽰⼀条训练数据逻辑回归：增加了sigmoid函数逻辑斯蒂回归是针对线性可分问题的⼀种易于实现⽽且性能优异的分类模型，是使⽤最为⼴泛的分类模型之⼀。
sigmoid函数来由假设某件事发⽣的概率为p，那么这件事不发⽣的概率为(1-p)，我们称p/(1-p)为这件事情发⽣的⼏率。
取这件事情发⽣⼏率的对数，定义为logit(p)，所以logit(p)为因为logit函数的输⼊取值范围为[0,1](因为p为某件事情发⽣的概率)，所以通过logit函数可以将输⼊区间为[0,1]转换到整个实数范围内的输出,log函数图像如下将对数⼏率记为输⼊特征值的线性表达式如下：其中,p(y=1|x)为，当输⼊为x时，它被分为1类的概率为hθ(x)，也属于1类别的条件概率。
⽽实际上我们需要的是给定⼀个样本的特征输⼊x，⽽输出是⼀个该样本属于某类别的概率。
所以，我们取logit函数的反函数，也被称为logistic函数也就是sigmoid函数ϕ(z)中的z为样本特征与权重的线性组合（即前⾯的ΘT x）。
通过函数图像可以发现sigmoid函数的⼏个特点，当z趋于正⽆穷⼤的时候，ϕ(z)趋近于1，因为当z趋于⽆穷⼤的时候，e^(-z)趋于零，所以分母会趋于1，当z趋于负⽆穷⼤的时候，e^(-z)会趋于正⽆穷⼤，所以ϕ(z)会趋于0。
如在预测天⽓的时候，我们需要预测出明天属于晴天和⾬天的概率，已知根天⽓相关的特征和权重，定义y=1为晴天，y=-1为⾬天，根据天⽓的相关特征和权重可以获得z，然后再通过sigmoid函数可以获取到明天属于晴天的概率ϕ(z)=P(y=1|x)，如果属于晴天的概率为80%，属于⾬天的概率为20%，那么当ϕ(z)>=0.8时，就属于⾬天，⼩于0.8时就属于晴天。
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-5.147 410.150 -4.896 -.237
.276 18.817 .284 .098
-.930
-.885 -.124
-17.252 -2.425
a. Dependent Variabl e: Di e before 5 per 1000
模型：女性预期寿命 模型：农村干净水的％
选中女性预期寿命和农村干净水的％作为自变量（第二个自变量 相对不那么显著pvalue=0.019） 18
Kendal l's tau_b
cleanwateraccess_ rural(%) li fe_expectancy_ female(year)
Spearman's rho
Reg ression Residual Total Reg ression Residual Total
Sum of Squares 54229.658 8416.467 62646.125 55069.969 7576.156 62646.125
df 1 54 55 2 53 55
Mean Square 54229.658 155.861 27534.985 142.946
5
还有定性变量
下面是对三种收入对高一成绩和高一与初三成绩差的盒 形图
110 100
30
20
一 绩 初 成 之 高 成 与 三 绩 差
90 80 70 60
10
0
-10
50 40 30
N= 11 27 12 39 25
一 绩 高 成
-20
-30
N= 11 27 12
1
2
3
1
2
3
家庭 收入
家庭 收入
6
100.00
90.00
s1
80.00
s1
70.00
Spearman's rho
j3
60.00
s1
50.00
40.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
**. Correlation is si gni ficant at the 0.01 l evel (2-tailed).
**. Correlation i s sig nificant at the 0.01 level (2-tail ed).
Correlatio ns Kendal l's tau_b j3 Correlation Coefficient Sig . (2-tai led) N Correlation Coefficient Sig . (2-tai led) N Correlation Coefficient Sig . (2-tai led) N Correlation Coefficient Sig . (2-tai led) N j3 1.000 . 50 .595** .000 50 1.000 . 50 .758** .000 50 s1 .595** .000 50 1.000 . 50 .758** .000 50 1.000 . 50
Model 1
a. Predi ctors: (Constant), life_expectancy_femal e(year) b. Predi ctors: (Constant), life_expectancy_femal e(year), cleanwateraccess_rural(%)
2
14
15
例子：RISKFAC.sav • 该数据有许多相关的变量和许多缺失值 • 假定要用各种变量描述 每千个出生中5岁前
死亡人数(因变量)
• 可以先做两两相关 • 也可以做定量变量的两两散点图等等 • 或者用逐步回归淘汰变量 • 目的在于摸清关系的底细
16
例子：RISKFAC.sav:相关
17
Correlatio ns cleanwateracc ess_rural(%) li fe_ ex pectancy_ female(year)
cleanwateraccess_ rural(%) li fe_expectancy_ female(year)
Pearson Correlation Sig . (2-tai led) N Pearson Correlation Sig . (2-tai led) N
S ig. . 0 00
a
a. P ict :(Co t t),j3 red ors nsan b. De nde V pe nt ariab s1 le:
Coefficents i Un an rdize st da d Co f ie s efic nt B Sd.E r t rro 2644 . 4 5. 96 3 . 1 65 . 2 07
y 0 1 x1 2 x2 k xk
如何解释拟合直线?
什么是逐步回归方法?
例子：RISKFAC.sav
• 不算序号和(192个)国家有21个变量 • 包括地区(Region)、(在城镇和乡村)使用干净水的 ％ 、 生 活 污 水 处 理 的 ％ 、 饮 酒 量 (litre/yearperson)、(每万人中)内科医生数目、护 士和助产士数、卫生工作者数、病床数、护士助产 士和内科医生之比、卫生开支占总开支的％、占政 府开支的％、人均卫生开支$、成人识字率、人均 收入$、每千个出生中5岁前死亡人数、人口增长率 ％、(男女的)预期寿命(年)、每10万生育的母亲死 亡数
Model 1
2
(Constant) li fe_expectancy_ female(year) (Constant) li fe_expectancy_ female(year) cleanwateraccess_ rural(%)
t 20.882 -18.653 21.797
Sig . .000 .000 .000 .000 .019
10
回到例1：R2等
Mode l 1 R . 5 79
a
Mode S l umm ary RS are qu . 2 63
b
A t djused RS are qu . 5 62
Sd.E r of t rro t E tim te he s a 7. 209 2 1
a. P icors (Co ta ),j3 red t : ns nt
回归分析
线性回归 Logistic回归 对数线性模型 吴喜之
回归分析
• 顾客对商品和服务的反映对于商家是至关重要的,但是仅仅 有满意顾客的比例是不够的,商家希望了解什么是影响顾客 观点的因素以及这些因素是如何起作用的。 • 一般来说，统计可以根据目前所拥有的信息（数据）建立 人们所关心的变量和其他有关变量的关系（称为模型）。 • 假如用Y表示感兴趣的变量，用X表示其他可能有关的变 量（可能是若干变量组成的向量）。则所需要的是建立一 个函数关系Y=f(X)。这里Y称为因变量或响应变量，而X 称为自变量或解释变量或协变量。 • 建立这种关系的过程就叫做回归。
2
回归分析 • 一旦建立了回归模型 • 可以对各种变量的关系有了进一步的定量理解 • 还可以利用该模型（函数）通过自变量对因变量做 预测。 • 这里所说的预测，是用已知的自变量的值通过模型 对未知的因变量值进行估计；它并不一定涉及时间 先后的概念。
3
例1 有50个从初中升到高中的学生.为了比较初三的成绩是否和高中的成绩 相关,得到了他们在初三和高一的各科平均成绩(数据:highschool.sav)
cleanwateraccess_rura... life_expectancy_femal... Die before 5 per 1000
RISKFAC.sav：散点图及自变量相关性Pearson相 关
Die before 5 per 1000
.657** .000 164
life_expectancy_female (year)
j3
7
定量变量的线性回归分析
• 对例1中的两个变量的数据进行线性回归，就是要找到一条直线 来最好地代表散点图中的那些点。
y 0 1 x
S1 60 70 80 90
100
y 26.44 0.65 x
40 50 60 70 J3 80 90 100
40
50
9
检验问题等
• 对于系数1=0的检验 • 对于拟合的F检验 2 (决定系数) ＝SSR/SST,可能会由 •R 于独立变量增加而增加(有按自由度修 2)， 正的决定系数：adjusted R • 简单回归时R等于相关系数
a
Mode l 1
Sand ize t ard d Co f ie s efic nt B a et . 5 79
(Co ta ) ns nt j3
t 4. 01 9 9. 89 0
S ig. . 0 00 . 0 11 00
a. De nde V pe nt ariab s le: 1
多个自变量的回归
例1：相关系数
Correlations j3 j3 Pearson Correlation Sig . (2-tai led) N Pearson Correlation Sig . (2-tai led) N 1 50 .795** .000 50 s1 .795** .000 50 1 50
s1
cleanwateraccess_rural (%)
**. Correlation is sig ni ficant at the 0.01 l evel (2-tai led).
19
Correlatio ns li fe_ cleanwateracc ex pectancy_ ess_rural(%) female(year) Correlation Coefficient 1.000 .503** Sig . (2-tai led) . .000 N 164 164 Correlation Coefficient .503** 1.000 Sig . (2-tai led) .000 . N 164 192 Correlation Coefficient 1.000 .676** Sig . (2-tai led) . .000 Die before 5 per 1000 life_expectancy_female (year) N 164 164 Correlation Coefficient .676** 1.000 Sig . (2-tai led) .000 . N 164 192