【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第十一章 概率与统计11.4离散型随机变量及其分布列试题 理(
【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.5二项分布及其应用课时作业 理
课时作业58 二项分布及其应用一、选择题1．某道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒．某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是( )．A.35192B.25192C.35576D.651922．某人射击一次击中目标的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )．A.81125B.54125C.36125D.271253．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )．A.12B.512C.14D.164．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测，方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚，国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2，则( )．A ．p 1＝p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＞p 2D ．以上三种情况都有可能5．电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则3只灯泡在使用1 000小时后最多有1只坏了的概率是( )．A ．0.401B ．0.410C ．0.014D ．0.1046．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是( )．A.110B.210C.810D.9107．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )．A.16625B.96625C.624625D.4625二、填空题8．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________． 9．如图，EFGH 是一个以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内，”则(1)P (A )＝__________；(2)P (B |A )＝__________. 10．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率为34和45，且各次射击相互独立．按甲、乙、甲……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是__________．三、解答题11．(2012天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X， Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．参考答案一、选择题1．A 解析：三处都不停车的概率是P (ABC )＝2560×3560×4560＝35192. 2．A3．B 解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝23×14＋13×34＝512. 4．B 解析：p 1＝1－0.9910＝1－0.980 15，p 2＝1－2992100C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5＝1－0.985，∴p 1＜p 2.5．D 解析：3只灯泡在1 000小时后最多有1只坏了这个事件，也就是3只灯泡中至少有2只灯泡的使用时数在1 000小时以上，相当于3次独立重复试验有2次或3次发生的概率，故P ＝23C ×0.22×(1－0.2)＋33C ×0.23＝0.104. 6．A 解析：设A 为“第一次失败”，B 为“第二次成功”，则P (A )＝910， P (B |A )＝19， ∴P (AB )＝P (A )P (B |A )＝110. 7．B 解析：据题意取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故中奖的概率为266C ＝25，故4人中有3人中奖的概率为34C ⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625. 二、填空题8.35 解析：设该队员每次罚球的命中率为p ，则1－p 2＝1625，解得p ＝35. 9.2π 14解析：该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2， ∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4. 故P (A )＝2π， P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12π2π＝14. 10.19400解析：停止射击时甲射击了两次，分两种情况：①甲未中、乙未中、甲命中的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×34＝380； ②甲未中、乙未中、甲未中、乙命中的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×45＝1100.停止射击时甲射击了两次的概率是380＋1100＝19400. 三、解答题11．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝4C i⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝24C ⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝34C ⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋44C ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋2×81＋4×81＝14881.。
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第11章 概率与统计11.4抽样方法练习(含解析)苏教版
课时作业55 抽样方法一、填空题1．某学校从高三年级学生中随机抽取90人做抽样调查，发现其中有20人在学期初从高三年级学生随机抽取100人的抽样调查中也被抽到过，则该校高三年级学生人数为__________．2．一个班级有5个小组，每一个小组有10名学生，随机编号为1～10号，为了了解他们的学习情况，要求抽取每组的2号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是__________．3．(2012某某高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__________名学生．4．(2012某某某某高三期末)某年级有三个班级，人数分别为45,50,55，为加强班级学生某某化管理，拟就某项决策进行问卷调查，按分层抽样的方法抽取30人，则各个班级被抽取的人数分别为__________．5．(2012某某某某高三一调)用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人，25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为__________人．6．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参加了.为了了解学生对本次活动其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参加登山的人数占总人数的5的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参加跑步的学生中应抽取__________人．7．最近网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，某校高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为__________．8．某车间新出厂3 000件衣服，为检查质量是否合格，现采用系统抽样的方法从中抽取150件进行检查，若第一组抽出的是11，则第六十一组抽出的为______．9．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若从第5组抽出的为22，则从第8组抽出的应是__________．若用分层抽样方法，则在40岁以下年龄段应抽取__________人．二、解答题10．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检验这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知在甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列，求乙生产线生产的产品数．11.某公路某某有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.12．某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)求x (2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y ≥96，z ≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．参考答案一、填空题1．450 解析：设该校高三年级学生人数为x ，因为是随机抽样，所以两次抽取的人数与总人数的比例是相等的，故有2090＝100x ，解得x ＝450. 2．系统抽样法 解析：因为是按一定规则进行抽样，所以是系统抽样法．3．15 解析：由题意可得高二年级应该抽取学生50×33＋3＋4＝15(名)． 4．9,10,11 解析：按比例分配得，各个班级被抽取的人数分别为30×45150＝9,30×50150＝10，30×55150＝11. 5．700 解析：由题意知，高一、高二总共抽取了10＋25＝35(人)，从而高三抽取的为55－35＝20(人)，从而高一、高二年级学生总数为400×3520＝700(人)． 6．36 解析：∵登山的占总数的25，故跑步的占总数的35，又跑步中高二年级占32＋3＋5＝310， ∴高二年级跑步的占总人数的35×310＝950. 设从高二年级参加跑步的学生中应抽取x 人，由950＝x 200得x ＝36. 7．57 解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成以3为首项，6为公差的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.8．1 211 解析：每组件数：d ＝3 000150＝20，这些组成以11为首项，20为公差的等差数列．故a 61＝11＋60×20＝1 211.9．37 20 解析：由系统抽样知，在第5组抽出的为22而分段间隔为5，则在第6组抽取的应为27，在第7组抽取的应为32，在第8组抽取的应为37.由图知40岁以下的人数为100，则抽取的比例为40200＝15， ∴100×15＝20为抽取人数． 二、解答题10．解：因为在甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数依次组成一个等差数列，则可设三项分别为a －x ，a ，a ＋x ，故样本容量为3a ，因而每个个体被抽到的概率为3a 16 800＝a 5 600.所以乙生产线生产的产品数为a a 5 600＝5 600. 11．解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36. 抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员的人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，总体容量为35人，系统抽样的间隔为35n ＋1， 因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6. 12．解：(1)由x 900＝0.16， 解得x ＝144.(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12. ∴应在第三批次中抽取12名教职工．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多为事件A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝200(y ，z N ，y ≥96，z ≥96)，则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个，而事件A 包含的基本事件有：(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共4个，∴P (A )＝49.。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.4离散型随机变量及其分布列教学案 新人教B版
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
2021年高考数学一轮复习 11.4 离散型随机变量及分布列课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 11.4 离散型随机变量及分布列课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是( )A.C120C410C530B.C220C310C530C.C320C210C530D.C420C110C530解析：X服从超几何分布，P(X＝2)＝C220C310 C530.答案：B2．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为( )A．1 B.12 C.13D.15解析：设X的分布列为：即“X＝0”表示试验失败，“X p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝1 3 .答案：C3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2155解析：X＝4表示取2个旧的，1个新的，∴P (X ＝4)＝C 23·C 19C 312＝27220.答案：C4．随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 解析：∵P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56. 答案：D 二、填空题5．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ，y ”代替)，其表如下：X 1 2 3 4 5 6 P0.200.100.x 50.100.1y0.20解析：由于0.20＋0.10＋(0.1x ＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y )＋0.20＝1， 得10x ＋y ＝25，于是两个数据分别为2,5. 答案：2,56．随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 x 3 Pp 1p 2p 3若p 1，p 2，p 3． 解析：由题意p 2＝p 1＋d ，p 3＝p 1＋2d .则p 1＋p 2＋p 3＝3p 1＋3d ＝1，∴p 1＝13－d .又0≤p 1≤1，∴0≤13－d ≤1，即－23≤d ≤13.同理，由0≤p 3≤1，得－13≤d ≤23，∴－13≤d ≤13.答案：－13≤d ≤137．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.解析：由已知，ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为ξ 7 8 9 10 P1531025110∴P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－22C 35＝5.答案：45三、解答题8．(xx·北京卷节选)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列．解：设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝Ø(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213. (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝4 13，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4 13，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5 13.所以X的分布列为：X 01 2P 5134134139.(xx·江西卷节选)戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a ，再由乙猜甲写的数字，记为b ，已知a ，b ∈{0,1,2,3,4,5}．若|a －b |≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖． (1)求甲、乙两人玩此游戏获奖的概率；(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X ，求X 的分布列．解：(1)记事件A 为甲乙两人一次竞猜成功，则P (A )＝6＋5×2C 16·C 16＝49，则甲乙两人获奖的概率为P ＝1－P (0)－P (1)＝1－C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫490⎝ ⎛⎭⎪⎫593－C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫491⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝304729.(2)由题意可知6人中选取4人，双胞胎的对数X 取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝C 12·C 12·C 22C 46＝415，P (X ＝1)＝C 12C 12C 12＋C 22C 46＝23，P (X ＝2)＝C 22C 46＝115， 分布列如下：X 0 1 2 P4152311511.(xx·江西宜春模拟)支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：支教次数 0 1 2 3 人数5102015(1)从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数f (x )＝x 2－ηx －1在区间(4,5)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P 1；(2)从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解：(1)函数f (x )＝x 2－ηx －1过(0，－1)点，在区间(4,5)上有且只有一个零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f 4<0f 5>0即：⎩⎪⎨⎪⎧16－4η－1<025－5η－1>0，解得：154<η<245所以，η＝4当η＝4时，P 1＝C 220＋C 110C 115C 250＝68245. (2)从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值， 则ξ的可能取值分别是0,1,2,3， 于是P (ξ＝0)＝C 25＋C 210＋C 220＋C 215C 250＝27， P (ξ＝1)＝C 15C 110＋C 110C 120＋C 115C 120C 250＝2249 P (ξ＝2)＝C 15C 120＋C 110C 115C 250＝1049， P (ξ＝3)＝C 15C 115C 250＝349从而ξ的分布列：ξ 0 1 2 3P 2722491049349ξ的数学期望：E(ξ)＝0×7＋1×49＋2×49＋3×49＝49.12．(xx·安徽省江南十校高三开学第一考)某校高二(4)班组织学生报名参加国学社和摄影社，已知报名的每位学生至少报了一个社团，其中报名参加国学社的学生有2人，参加摄影社团的学生有5人，现从中选2人．设ξ为选出的学生中既报名参加国学社又报名参加摄影社的人数，且P(ξ>0)＝7 10.(1)求高二(4)班报名参加社团的学生人数；(2)写出ξ的分布列并计算E(ξ)．解：设既报名参加国学社又报名参加摄影社的有x人，则该班报名总人数为(7－x)人．(1)∵P(ξ>0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝7 10，∴P(ξ＝0)＝310，即C27－2xC27－x＝310，∴7－2x6－2x7－x6－x＝310，解得x＝2.故高二(4)班参加社团的学生有5人．(2)P(ξ＝0)＝310，P(ξ＝1)＝C12·C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C25＝110.所以ξ的分布列为：ξ01 2P31035110∴E(ξ)＝0×310＋1×35＋2×10＝5.[热点预测]13．(xx·北京朝阳期末考试)某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70) a第3组[70,80)200.40第4组[80,90)0.08第5组[90,100]2b合计(1)写出a，b，x(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；(3)在(2)的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．解：(1)由题意可知，a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004，(2)由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有C26＝15种情况．设事件A：随机抽取的2名同学来自同一组，则P(A)＝C24＋C22C26＝715.所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715.(3)由(2)可知，ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝C24C26＝615＝25，P(ξ＝1)＝C14C12C26＝815，P(ξ＝2)＝C22C26＝115.所以，ξ的分布列为E(ξ)＝0×25＋1×815＋2×15＝3.d35326 89FE 觾24694 6076 恶23717 5CA5 岥34517 86D5 蛕34071 8517 蔗30052 7564 畤G32200 7DC8 緈35410 8A52 詒}yz25418 634A 捊。
《志鸿优化设计》2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案：第11章概率与统计11.3几何概型
11.3 几何概型考纲要求了解几何概型的意义，会求与几何概型相交汇的线性规划、圆及其他图形的概率．1．几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理的随机试验，称为几何概型．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有______个；(2)等可能性：每个基本事件出现的________．3．几何概型的计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度. 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是__________．2．(2019江苏泰州期末)已知ABCD 是半径为2的圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P ，点P 落在正方形ABCD 内部的概率为__________．3．(2019江苏连云港测试卷)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________．4．已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是__________．5．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈ [－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是__________． 古典概型与几何概型的区别是什么？ 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个．一、与长度、角度有关的几何概型问题【例1】 (2019江苏南京金陵中学预测卷)设函数f (x )＝x 2－3x －4，x ∈ [－3,6]，则对任意x 0∈ [－3,6]，使f (x 0)≤0的概率为__________．方法提炼解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．请做针对训练1二、与面积有关的几何概型【例2】 (2019江苏高考名校名师押题卷)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人15分钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是__________． 方法提炼几何概型的概率计算公式中的“测度”，既包含面积，又包含线段的长度、几何体的体积等，而且这个“测度”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．请做针对训练2三、与体积有关的几何概型【例3】在铸铁过程中，经常出现铸件里面混入气泡的情况，但是如果在加工过程中气泡不暴露在表面，对产品就不会造成影响，否则产品就会不合格．在一个棱长为4 cm的正方体铸件中不小心混入一个半径为0.1 cm的球形气泡，在加工这个铸件的过程中，如果将铸件去掉0.5 cm的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡)，产品就合格，问产品合格的概率是多少？方法提炼解决几何概型问题，当考察对象为点，点的活动范围在空间区域内时，常用体积比计算．请做针对训练3从近三年高考试题来看，对几何概型考查较少，属中档题，主要考查基础知识．几何概型的基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们占据的区域是有限的，根据等可能性，这些点落在某区域的概率与该区域的测度成正比，而与该区域的位置和形状无关．1．某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均为每小时一班，此人等车时间不多于10分钟的概率为________．2．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于__________．3．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P ABC＜12V SABC的概率是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理2．(1)无限 (2)可能性相等基础自测 1.25 解析：以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25. 2.2π 解析：利用几何概型计算公式即得． 3.4－π4D 解析：设事件A ：点到坐标原点的距离大于2. 如图，P (A )＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4. 4.π6 解析：设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫a 23＝π6a 3，故M 在球O 内的概率为π6a 3a 3＝π6. 5.25解析：区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P ＝25. 考点探究突破【例1】 59解析：函数f (x )＝x 2－3x －4＝(x ＋1)(x －4)， 因此当x ∈[－1,4]时，f (x )≤0，所以对任意x 0∈[－3,6]，使f (x 0)≤0的概率为4－(－1)6－(－3)＝59. 【例2】 716解析：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示的平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以两人能会面的概率是716. 【例3】 解：记产品合格为事件A ，试验的全部结果所构成的区域是棱长为4 c m 的正方体的体积．由条件可以发现要使产品合格，球心距离正方体表面要0.6 c m ，所以球心必须在正方体内的一个棱长为2.8 c m 的正方体内部才符合题意，所以构成事件A 的区域是棱长为2.8 c m 的正方体的体积，这样产品合格的概率P (A )＝2.8343＝0.343. 演练巩固提升针对训练1.16解析：设A ＝{等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内，由几何概型的概率公式，得P (A )＝60－5060＝16. ∴所求的概率为16. 2.12 解析：这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABE S 矩形ABCD＝12·|AB |·|AD ||AB |·|AD |＝12. 3.78 解析：若V P ABC ＝12V SABC ，则P 点到面ABC 的距离与S 点到面ABC 的距离之比为12. 如图所示，A ′，B ′，C ′分别为SA ，SB ，SC 的中点，若P 点在△A ′B ′C ′内(包括边界)，则V P ABC ＝12V SABC .若P 在三棱台A ′B ′C ′ABC 内，则V P ABC ＜12V SABC ，因为V SA ′B ′C ′V SABC＝18，故所求概率为78.。
《志鸿优化设计》2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案：第11章概率与统计11.4抽样方法
11.4 抽样方法考纲要求1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法，或根据分层抽样比计算总体或样本中的个体数．1．简单随机抽样 (1)定义从个体数为N 的总体中__________取出n (n ＜N )个个体作为________，如果每个个体都有__________被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)分类简单随机抽样⎩⎪⎨⎪⎧， .2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n (n ＜N )的样本，系统抽样的步骤为： (1)采用______的方式将总体中的N 个个体编号．(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，k ＝________；当Nn不是整数时，从总体中__________，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时k ＝__________，并将剩下的总体重新编号．(3)在第一段中用简单随机抽样确定______的个体编号l .(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，______，______，…，________的个体抽出．3．分层抽样当总体由________的几个部分组成时，为了使______更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按________分成__________的几部分，然后按各部分在总体中__________实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的序号是__________．①1 000名学生是总体 ②每个学生是个体③1 000名学生的成绩是一个个体 ④样本的容量是1002．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是__________．3．(2019江苏盐城二模)某校共有学生2 000名，各年级人数如下表所示：年级 高一 高二 高三 人数 800 600 600__________．4．(2019江苏徐州质检)某校高一、高二、高三学生共有3 200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生中抽取的人数是__________．三种抽样方法有什么异同点？类别 共同点 各自特点 相互联系适用范围 简单随机从总体中逐个抽总体中的个体数抽样 取较少 系统抽样将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多分层 抽样抽样过程中每个个体被抽取的机会均等将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成一、系统抽样【例1】 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为_________________．方法提炼解决系统抽样问题要掌握系统抽样的以下特点： (1)元素个数多且均衡的总体； (2)各个个体被抽到的机会均等； (3)起始用简单随机抽样；(4)k ＝Nn(不能整除的，剔出余数)．请做针对训练2二、分层抽样【例2】 某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解职工对政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本．试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．方法提炼分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分组成的情况，这样更能反映总体的情况，是等可能抽样．当各层抽取的个体数目确定后，每层中的样本抽取可用简单随机抽样或系统抽样的方法．用分层抽样法抽样的关键是确定抽样比，抽样比＝样本容量总体中的个体数＝每层抽取的个体数该层的个体数.用抽样比乘以该层的个体数等于在该层中抽取的个体数．请做针对训练3从近三年高考试题来看，本节考查的重点是分层抽样．牢记从各部分抽取的个体数与该部分个体数的比值等于样本容量与总体的个体数的比值，是正确解决此问题的关键，抽样过程为不放回抽样，且必须保证每个个体被抽到的可能性相同．该部分题型多以填空题为主，属于容易题．1．用随机数表从100名学生(其中男生25人)中抽取20人进行评教，某男生被抽到的概率是__________．2．(2019江苏南京金陵中学预测卷)高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________．3．某工厂生产了某种产品3 000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则乙生产线生产了__________件产品．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)逐个不放回地 样本 相同的机会 (2)抽签法 随机数表法2．(1)随机 (2)Nn 剔除一些个体 N ′n(3)起始 (4)l ＋k l ＋2k l ＋(n －1)k3．差异明显 样本 不同的特点 层次比较分明 所占的比 基础自测1．④ 解析：①中1 000名学生的成绩是总体，②中每个学生的成绩是个体，③中一名学生的成绩是一个个体．2．系统抽样 解析：由所给的数据可以看出这种抽样方法为系统抽样．3．36 解析：按比例分配得120×600800＋600＋600＝36(人)．4．40 解析：160×14＝40.考点探究突破【例1】 25,17,8 解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(k －1)≤495得1034＜k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.所以第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8.【例2】解：因机构改革关系到每人的不同利益，故采用分层抽样的方法为妥． ∵10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4， ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． 因副处级以上干部与工人人数都较少，把他们分别按1～10编号与1～20编号，然后制作号签，采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．演练巩固提升 针对训练 1.15解析：简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性相同． 2．20 解析：采用系统抽样，所抽出的样本成等差数列，故另一个同学的学号应是20. 3．1 000 解析：因为a ，b ，c 构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3 000件，所以乙生产线生产了1 000件产品．。
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.5条件概率与事件的独立性教学案 新人教B版
11.5 条件概率与事件的独立性考纲要求1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．1．条件概率对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做__________，用符号“P(B|A)”来表示．我们把由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的__________(或__________)，记做D＝A∩B(或D＝AB)．一般地，我们有条件概率公式P(B|A)＝__________，P(A)＞0.2．事件的相互独立性事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝__________，这时，我们称两个事件A，B__________，并把这两个事件叫做__________．一般地，当事件A，B相互独立时，A与__________，__________与B，A与__________也相互独立．3．独立重复试验与二项分布在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．一般地，事件A在n次试验中发生k次，共有C k n种情形，由试验的独立性知A在k次试验中发生，而在其余n－k次试验中不发生的概率都是p k(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k )＝__________(k ＝0,1,2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )．1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )．A.320B.15C.25D.9202．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为__________．一、条件概率【例1－1】甲乙两市位于长江下游，根据一百多年来的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率； (2)甲乙两市至少一市下雨的概率．【例1－2】把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率．方法提炼1．求P (B |A )时，可把A 看作新的基本事件空间来计算B 发生的概率，也就是说把B 发生的样本空间缩小为A 所包含的基本事件．2．若事件B ，C 互斥，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，先求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．请做演练巩固提升2二、相互独立事件同时发生的概率【例2】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)签约人数ξ的分布列． 方法提炼1．当从意义上不易判定两个事件是否相互独立时，可运用公式P (AB )＝P (A )P (B )计算判定．求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立．若能把复杂事件分解为若干简单事件，则运用对立事件可把问题简化．2．由两个事件相互独立的定义，可推广到三个或三个以上相互独立事件的概率计算公式，即若A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．3．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义．若能把相关事件正确地表示出来，同时注意使用逆向思考的方法，常常能使问题的解答变得简便．请做演练巩固提升3 三、二项分布【例3】 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C 表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P (C )． 方法提炼1．独立重复试验是相互独立事件的特例，注意二者的区别．独立重复试验必须具备如下的条件：(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变；(2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立；(3)每次试验只有两种结果，这两种可能结果的发生是对立的．2．判断某随机变量是否服从二项分布，主要看以下两点：(1)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生；(2)在每一次试验中，事件发生的概率相同．若满足，则在n 次独立重复试验中就可把事件发生的次数作为随机变量，此时该随机变量服从二项分布．在写二项分布时，首先要确定X 的取值，再直接用公式P (X ＝k )计算概率即可．请做演练巩固提升4服从二项分布的随机变量的求解【典例】 (12分)(2012四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.规范解答：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110·p ＝4950.(4分)解得p ＝15.(5分)(2)由题意，P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，(6分)P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000，(7分)P (ξ＝2)＝C 23110·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000，(8分) P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000.(9分) 所以，随机变量ξ的概率分布列为ξ 0 1 2 3P 11 000 271 000 2431 000 7291 000故随机变量ξ的数学期望：(11分)E (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.(12分)答题指导：解决离散型随机变量分布列时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对随机变量的理解不到位，造成对随机变量的取值求解错误；(2)求错随机变量取值的概率，造成所求解的分布列概率之和大于1或小于1，不满足分布列的性质；(3)要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象．1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．A.12B.35C.23D.342．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB )，P (A |B )．3．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．4．某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期五对一周内所学过的单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)．(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为45，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为35；若老师从后三天所学过的单词中各抽取了一个进行检测，求该学生能默写对的单词数ξ的分布列．参考答案基础梳理自测知识梳理1．条件概率 交 积P (A ∩B )P (A )2．P (B ) 相互独立 相互独立事件 B A B 3．C n k p k(1－p )n －k基础自测1．C 解析：记甲去某地的概率是P (A )＝14，乙去此地的概率是P (B )＝15，故至少有1人去此地的概率为1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－34×45＝25.2.23 解析：设此射手的命中率为p ，由1－(1－p )4＝8081，得p ＝23. 考点探究突破【例1－1】 解：分别用A ，B 表示事件“甲下雨”和“乙下雨”，按题意有，P (A )＝20%，P (B )＝18%，P (AB )＝12%.(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1218＝23.(2)甲乙两市至少一市下雨的概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝20%＋18%－12%＝26%.【例1－2】 解：设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}， B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}， R ＝{第二次取出的球是红球}， W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310，P (R |A )＝12，P (W |A )＝12，P (R |B )＝45，P (W |B )＝15.事件“试验成功”表示为RA ∪RB ，又事件RA 与事件RB 互斥，故由概率的加法公式，得P (RA ∪RB )＝P (RA )＋P (RB ) ＝P (R |A )P (A )＋P (R |B )P (B ) ＝12×710＋45×310＝0.59. 【例2】 解：用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (ξ＝2)＝P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＝18， P (ξ＝3)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝18.所以，ξ的分布列是ξ0 1 2 3 P 38 38 18 18【例3】 解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝33C ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 127 29 49 827(2)甲得2分，乙得1分，两事件是独立的，由上表可知，甲得2分，其概率P (ξ＝2)＝49，乙得1分，其概率为P ＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518.根据独立事件概率公式，得P (C )＝49×518＝1081.演练巩固提升1．D 解析：由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为12，甲要获得冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为12；第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢．则其概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝14.故甲获得冠军的概率为12＋14＝34.2．解：由图可知，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，n (AB )＝1，所以P (AB )＝19，P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.3．解：分别记这段时间内开关J A ，J B ，J C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意可知，这段时间内该3个开关是否能够闭合相互之间是没有影响的．根据相互独立事件的概率乘法公式，可得这段时间内3个开关都不闭合的概率是P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.只要这段时间内至少有1个开关能够闭合，线路就能正常工作，从而使线路能正常工作的概率是1－P (A B C )＝1－0.027＝0.973.4．解：(1)设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A ，则由题意可得P (A )＝314666412C C C C +＝311. (2)由题意可得ξ可取：0,1,2,3，则有：P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝2125，P (ξ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫45×15×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×35＝19125，P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×25＋C 12×45×15×35＝56125， P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×35＝48125.所以ξ的分布列为ξ 0 123 P 2125 1912556125 48125。
【优化设计】高考数学一轮复习第十一章概率与统计事件与概率教学案理新人教A版
第十一章 概率与统计 11.1 事件与概率考纲要求1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．1．事件的分类事件⎩⎨⎧确定事件⎩⎪⎨⎪⎧必然事件不可能事件随机事件2．频数、频率、概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称________________________为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例____________为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率______________________，那么把这个常数记作______，称为事件A 发生的概率．定义 符号表示包含关系如果事件A____，则事件B ____，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )____(或____) 相等关系 若B ⊇A 且____，那么称事件A 与事件B 相等A ＝B并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)____ (或____)交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)____ (或____)互斥事件 若A ∩B 为______事件，那么事件A 与事件B 互斥A ∩B ＝∅对立事件 若A ∩B 为______事件，A ∪B为____，那么称事件A 与事件B 互为对立事件(1)概率的取值范围：________. (2)必然事件的概率P ＝____. (3)不可能事件的概率P ＝____. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝________.若事件A 与B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝____，P (A )＝________.1．在下列六个事件中，随机事件的个数为( )．①如果a ，b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a ；②从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在101 kPa 下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A ．2B ．3C ．4D ．52．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )．A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝12C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝343．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )． A ．至多有1次中靶 B ．2次都中 C ．2次都不中靶 D ．只有1次中靶4．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是__________．5．下列说法：①频率反映了事件发生的频繁程度，概率反映了事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率就是事件A 发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的、不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有__________．一、随机事件及其概率【例射击次数n 10 20 50 100 200 500击中10环次数m 8 19 44 93 178453 击中10环频率m n(1)(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率是多少？(结果精确到0.1) 方法提炼频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生可能性的大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．通过大量重复试验可以发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某个固定的值，这个值就是概率．请做演练巩固提升1二、互斥事件、对立事件的概率【例2－1】袋中有12个除颜色外其余均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 【例2－2】现有7名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率． 方法提炼求随机事件的概率的方法有：(1)通过大量重复试验，求出事件发生的频率，以此估计事件的概率． (2)根据互斥事件的概率加法公式计算概率．(3)转化为对立事件，运用公式P (A )＝1－P (A )求概率．请做演练巩固提升3莫忽略对事件是否彼此互斥的说明【典例】(12分)(2012湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 规范解答：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(4分)(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14.(7分)因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝320＋310＋14＝710.(11分) 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.(12分)答题指导：1．先判断事件是否彼此互斥，再套用概率加法公式；2．解决互斥事件与对立事件的问题时，要正确地判断互斥事件与对立事件的关系．1．在深圳世界大学生运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )．A ．310B ．58C ．710D ．252．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )．A ．15B ．310C ．25D ．123．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝“抽到一等品”，事件B ＝“抽到二等品”，事件C ＝“抽到三等品”，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )．A ．0.65B ．0.35C ．0.3D ．0.0054．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为__________．5．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________，__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理2．(1)n 次试验中事件A 出现的次数n Afn (A )＝n An(2)逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上 P (A )3．发生 一定发生 B ⊇A A ⊆B A ⊇B A ∪B A ＋B A ∩B AB 不可能 不可能必然事件4．(1)0≤P ≤1 (2)1 (3)0 (4)P (A )＋P (B ) 1 1－P (B ) 基础自测1．A 解析：①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．2．D 解析：P (M )＝12，P (N )＝1－12×12＝34.3．C 4．56 解析：P ＝12＋13＝56. 5．①④⑤ 考点探究突破【例1】解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.(2)随着射击次数的增加，频率基本稳定在0.9，并在其附近摆动，由此可估计该运动员击中10环的概率约为0.9.【例2－1】解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，D . 由于A ，B ，C ，D 为互斥事件， 根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧14＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，13.【例2－2】解：(1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．C 1恰被选中有6个基本事件：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)， 记事件“C 1被选中”为M .因而P (M )＝612＝12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以事件N 由两个基本事件组成，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.演练巩固提升1．A 解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.2．C 解析：因为取到两个黑球的概率为310，取到两个红球的概率为110，所以恰好取到两个同色球的概率为310＋110＝25.3．B 解析：∵抽到一等品的概率为P (A )＝0.65， ∴抽到的不是一等品的概率为1－P (A )＝0.35. 4．23解析：∵“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥， ∴P ＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.5．0.97 0.03 解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97，于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.。
【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.8用样本估计总体教学案 理
11.8 用样本估计总体考纲要求1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．用样本的频率分布估计总体分布(1)频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况．绘制频率分布直方图的步骤为：①________；②___________；③____________；④____________；⑤___________.(2)频率分布折线图连接频率分布直方图中______________，就得到频率分布折线图．(3)总体密度曲线总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息．(4)茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指____的一列数，叶是从茎的____生长出来的数．2．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：x＝____________，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差：s＝_________________，反映了样本数据的离散程度．(5)方差：s2＝________________，反映了样本数据的离散程度．1．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有( )．A．75辆B．120辆C．180辆D．270辆2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，其中，中位数为22，则x等于( )．A．21 B．22 C．23 D．203．如图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )．A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,44．甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5,6,9,10,5，那么这两人中成绩较稳定的是__________．5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数为__________．一、用样本的频率分布估计总体分布【例1－1】为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是__________．【例1－2】从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15； [80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例．方法提炼频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，表示数据分布的规律．图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，它直观反映了数据在各个小组的频率的大小．请做演练巩固提升2,4二、用样本的数字特征估计总体【例2】从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm) 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？方法提炼1．用样本的平均数、方差可以估计总体的平均数和方差．平均数可反映总体取值的平均水平，方差可以反映总体的稳定性，方差越大，稳定性越差，方差越小，稳定性越好．2．茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．但是茎叶图不能直接反映总体的分布情况，往往要根据茎叶图所给数据求出其数字特征，进一步估计总体情况．请做演练巩固提升1,3巧用中点值来估算【典例】 (12分)(2012广东高考)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(3分)(2)平均分约为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.(7分)(3)易得数学成绩在[50,90)内的人数为5＋20＋40＋25＝90，(10分)∴数学成绩在[50,90)之外的人数为100－90＝10.(12分)答题指导：1.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．若取值x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x＋b，方差为a2s2.1．(2012陕西高考) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )．A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,532．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则( )．A．m e＝m o＝x B．m e＝m o＜xC．m e＜m o＜x D．m o＜m e＜x3.甲、乙两个体能康复训练小组各有10名组员，经过一段时间训练后，某项体能测试结果的茎叶图如图所示，则这两个小组中体能测试平均成绩较高的是__________组．4．(2012山东高考)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)①求极差 ②决定组距与组数 ③将数据分组 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图(2)各小长方形上端的中点 (4)中间 旁边2．(3)x 1＋x 2＋…＋x n n(4)1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] (5)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] 基础自测1．C 解析：据直方图可得300辆中车速低于限速的汽车所占的频率为10×0.025＋10×0.035＝0.6，故其频数为300×0.6＝180. 2．A 解析：因为样本数据个数为偶数，中位数为x ＋232＝22，故x ＝21. 3．C 解析：去掉最高分93，最低分79.平均分为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85， 方差s 2＝15[(84－85)2＋ (84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 4．乙 解析：x 乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，2s 乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝4.4，∵2s 甲＞2s 乙， ∴乙的成绩较稳定．5．30 解析：样本数据在[1,4)和[5,6]上的频率为(0.05＋0.10＋0.15＋0.40)×1＝0.7，故样本数据在[4,5)上的频率为1－0.7＝0.3，其频数为100×0.3＝30.考点探究突破【例1－1】 48 解析：据图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.037＋0.013)＝0.25，故前3个小组的频率之和为1－0.25＝0.75，即第2小组的频率为0.75×26＝0.25.又第2小组的频数为12，故样本容量为120.25＝48. 【例1－2】 解：(1)(2)(3)成绩在[60,90)的学生比例即为学生成绩在[60,90)的频率，即估计成绩在[60,90)分的学生比例为(0.20＋0.30＋0.24)×100%＝74%.【例2】 解：(1)x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31， ∴x 甲＜x 乙．(2)2s 甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2， 同理2s 乙＝128.8，∴2s 甲＜2s 乙．∴乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐．演练巩固提升1．A 解析：由茎叶图可知中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.故选A.2．D 解析：由题目所给的统计图示可知，30个得分中，按大小顺序排好后，中间的两个得分为5,6，故中位数m e ＝6＋52＝5.5， 又众数m o ＝5，平均值 x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930，∴m o ＜m e ＜x . 3．甲 解析：由茎叶图所给数据依次确定两组体能测试的平均成绩分别为x 甲＝63＋65＋66＋71＋77＋77＋79＋81＋84＋9210＝75.5， x 乙＝58＋68＋69＋74＋75＋78＋79＋80＋82＋9110＝75.4， 故平均成绩较高的是甲组．4．9 解析：由于组距为1，则样本中平均气温低于22.5 ℃的城市频率为 0．10＋0.12＝0.22.平均气温低于22.5℃的城市个数为11，所以样本容量为110.22＝50. 而平均气温高于25.5 ℃的城市频率为0.18，所以，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.。
高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.9 离散型随机变量的均值与方差、
11.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布真题演练集训理新人教A版的全部内容。
11.9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布真题演练集训理新人教A版1．［2016·四川卷］同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．答案：错误!解析:由题意知,试验成功的概率p＝错误!,故X～B错误!，所以E(X)＝2×错误!＝错误!.2．［2014·新课标全国卷Ⅰ］从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数错误!和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数错误!，σ2近似为样本方差s2。
①利用该正态分布,求P（187。
8<Z〈212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用①的结果，求E(X）．附：错误!≈12.2.若Z~N（μ,σ2），则P（μ－σ〈Z<μ＋σ）＝0。
【志鸿优化设计】(湖北专用)2014届高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.3几何概型教学案 理
11.3 几何概型考纲要求1．了解随机数的意义，能运用模拟试验的方法估计概率．2．了解几何概型的意义．1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(________或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为__________．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式：P (A )＝__________________________.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．5．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解．6．用随机数估计事件发生的概率：利用计算机或计算器产生一些满足一定条件的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以替代我们进行大量的重复试验，从而估计得到事件的概率．1．如图所示，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为( )．A.2πB.1πC.23D.132．在长为6 m 的木棒AB 上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )．A.14B.13C.12D.233．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )．A.π4B.π8C.π6D.π124．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )．A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.15．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为__________．一、几何概型及其应用【例1－1】 如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )．A.14B.13C.12D.23【例1－2】 在铸铁过程中，经常出现铸件里面混入气泡的情况，但是如果在加工过程中气泡不暴露在表面，对产品就不会造成影响，否则产品就会不合格．在一个棱长为4 cm 的正方体铸件中不小心混入一个半径为0.1 cm 的球形气泡，在加工这个铸件的过程中，如果将铸件去掉0.5 cm 的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡)，产品就合格，问产品合格的概率是多少？方法提炼1．几何概型的特征：一是基本事件的无穷性，二是基本事件的等可能性．常见的几何概型问题有：与长度有关的几何概型、与面积有关的几何概型、与体积有关的几何概型．2．解决几何概型问题的一般步骤：(1)明确取点的区域Ω；(2)确定所求概率的事件中的点的区域A ；(3)计算区域Ω和区域A 的几何度量μΩ和μA ；(4)计算所求问题的概率P (A )＝μA μΩ. 请做演练巩固提升1,3二、用随机模拟的方法估计概率【例2】 种植某种树苗，每株的成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．方法提炼用均匀随机数模拟试验时，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围．(3)由事件A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式．请做演练巩固提升2不能正确画出几何概型的图示而致误【典例】 (2012辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )．A.16B.13C.23D.45解析：此概型为几何概型，由于在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20 cm 2的点在C 1与C 2之间的部分，如图所示．因此所求概率为812，即23，故选C. 答案：C答题指导：1.计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题转化为相应类型的几何概型问题．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．1．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率为( )． A.14 B.12 C.34 D.232．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )．A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.153．(2012北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )．A.π4B.π－22C.π6D.4－π44．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( )．A.127B.2627C.827D.185．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．长度 面积 体积 几何概型2．构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)基础自测1．A 解析：此试验属几何概型，设圆的半径为1，则圆的面积为π，正方形的面积为2，所以投中正方形区域的概率为2π. 2．B 解析：将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13. 3．C 解析：设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6. 4．C 解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P ＝0.12＝120＝0.05. 5．16解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠xOT 内的概率为60360＝16. 考点探究突破【例1－1】 C 解析：由题意知，该题考查几何概型，故P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12AB ·BC AB ·BC ＝12. 【例1－2】 解：记产品合格为事件A ，试验的全部结果所构成的区域是棱长为 4 cm 的正方体．由条件可以发现要使产品合格，球心距离正方体表面要大于0.6 cm ，所以球心必须在正方体内的一个棱长为2.8 cm 的正方体内部才符合题意，所以构成事件A 的区域是棱长为2.8 cm 的正方体，这样产品合格的概率P (A )＝2.8343＝0.343. 【例2】 解：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9，因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数．69801 66097 77124 22961 7423531516 29747 24945 57558 6525874130 23224 37445 44344 3331527120 21782 58555 61017 4524144134 92201 70362 83005 9497656173 34783 16624 30344 01117这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，其中有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率为930＝0.3. 演练巩固提升1．C 解析：由△ABC ，△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，这是一个几何概型，∴P ＝AE AB ＝34. 2．B 解析：由题意可知，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的随机数为：191,271,932,812,393，共5组随机数，故所求概率为520＝0.25. 3．D 解析：由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得P (A )＝22－14×π×2222＝4－π4.4．A 解析：正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率为P ＝V 1V ＝127. 5.π16解析：如图，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.。
【志鸿优化设计】(山东专用)高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.3随机数与几何概型练习 理 新
课时作业57 随机数与几何概型一、选择题1．如图，矩形长为6，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )．A ．3.84B ．4.84C ．8.16D ．9.162．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．A ．14B ．13C ．427D ．415 3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )．A ．14B ．12C ．34D ．234．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )．A ．25B ．25C ．35D ．32105．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )． A ．13 B ．2π C ．12 D ．236．(2012湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．A ．12－1πB ．1πC ．1－2πD ．2π7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )．A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6二、填空题8．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为__________．9．在区域M ＝{x ，y|⎩⎪⎨⎪⎧0<x <20<y <4}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y <4y >xx >0}内的概率是__________．10．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．三、解答题11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．12．一只蚂蚁在边长分别为5,6，13的三角形区域内随机爬行，试求其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．参考答案一、选择题1．C 解析：矩形的面积为12， 设椭圆的面积为S ， 则S 12≈300－96300，解得S ≈8.16. 2．A 解析：面积为36 cm 2时，边长AM ＝6 cm ；面积为81 cm 2时，边长AM ＝9 cm.∴P ＝9－612＝312＝14.3．C 解析：如图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动，则所求概率为AP ′AB ＝34. 4．B 解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.5．A 解析：如图，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上任取x,0＜cos x ＜12的x 的取值范围是x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.记“cos x 的值介于0到12之间”为事件A ，则P (A )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π＝13.6．C 解析：设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S 阴影＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2，故所求的概率是(π－2)R 2πR 2＝1－2π.7．B 解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.二、填空题 8．13 解析：[－1,2]的区间长度为3，[0,1]的区间长度为1，根据几何概型知所求概率为13.9．12解析：画出区域M ，N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．S 阴影＝12×4×2＝4，故所求概率P ＝44×2＝12. 10．23解析：圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧12M M 的长度为2，B 点落在优弧12M M 上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23.三、解答题 11．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}； 画出图形如下图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.12．解：由题意，画出示意图(如图所示)．在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝62＋52－(13)22×6×5＝45.于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.所以S △ABC ＝12×5×6×35＝9.又图中阴影部分的面积为△AB C 的面积减去半径为1的半圆的面积，即为S 阴影＝9－π2，所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P ＝9－π29＝1－π18.。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.9回归分析与独立性检验教学案 新人教B版
11.9 回归分析与独立性检验考纲要求1．会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的回归直线方程系数公式建立回归直线方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)．3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．1．相关关系与函数关系不同，相关关系是一种__________性关系． 2．散点图若点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________；若点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________．3．回归直线 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，就称两个变量之间具有__________关系，这条直线叫做________．4．回归直线方程(1)最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到它的____________的方法叫做最小二乘法．(2)回归直线方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝ ＝ ，a ^＝ .5．样本相关系数r ＝∑ni ＝1 x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2∑ni ＝1y i －y2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2∑ni ＝1y 2i －n y2.(1)r 具有以下性质：|r |≤1，并且|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱．(2)检验的步骤如下：①作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系；②根据小概率0.05与n －2在附表中查出r 的一个临界值r 0.05； ③根据样本相关系数的计算公式算出r 的值；④作统计推断．如果|r |＞r 0.05，表明有95%的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系． 如果|r |≤r 0.05，没有理由拒绝原来的假设．这时寻找回归直线方程是毫无意义的． 6．独立性检验(1)假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y 1 y 2 合计 x 1 n 11 n 12 n 1＋ x 2 n 21 n 22 n 2＋ 合计 n ＋1 n ＋2 n χ2＝____________________________(其中n ＝______________________为样本容量)． (2)两个临界值：3.841和6.635.当χ2＞________时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当χ2＞________时，有99%的把握说事件A 与B 有关；当χ2≤________时，认为事件A 与B 是无关的．1．下列两个变量之间是相关关系的是( )． A ．圆的面积与半径 B ．球的体积与半径 C ．角度与它的正弦值D ．一个考生的数学成绩与物理成绩2．已知变量x ，y 呈线性相关关系，回归方程y ^＝0.5＋2x ，则变量x ，y 是( )． A ．线性正相关关系B ．由回归方程无法判断其正负相关C ．线性负相关关系D ．不存在线性相关关系3．关于独立性检验的说法中，错误的是( )． A ．独立性检验依据小概率原理B ．独立性检验原理得到的结论一定正确C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D ．独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法4．为了考察长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空．经常头晕 很少头晕 合计 长发 35 ① 121 短发 37 143 ② 合计 72 ③ ④ 则空格中的数据应分别为：①__________；②__________；③__________；④__________.一、变量间的相关性【例1】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下： 零件数x /个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y /分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程．(3)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？ 方法提炼1．散点图可以直观地反映两个变量间的相关关系，并且根据散点的分布规律可以判断出这两个变量是正相关还是负相关．2．求线性回归直线方程的步骤(1)作出散点图，判断两个变量是否线性相关；(2)如果是，利用公式求出a ^，b ^的值，写出回归直线方程；(3)利用求出的方程进行估计．由于求回归直线方程时的计算量较大，所以计算时要仔细、谨慎，可分层进行，避免因计算产生失误．特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的回归直线方程才有意义．请做演练巩固提升4二、回归方程的求法及回归分析【例2】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量/万吨 236 246 257 276 286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量． 方法提炼1．最小二乘法估计的一般步骤： (1)作出散点图，判断是否线性相关；(2)如果线性相关，利用公式求a ^，b ^，写出回归直线方程； (3)根据方程进行估计．2．回归直线方程恒过点(x ，y )．请做演练巩固提升2 三、独立性检验【例3】 某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语看是否有效果，并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计，具体数据如下：损坏餐椅数 未损坏餐椅数 合计文明标语张贴前 39 157 196 文明标语张贴后 29 167 196合计 68 324 392 请你判断在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数是否有效果？ 方法提炼1．所谓独立性检验，就是根据所采集样本的数据，利用公式计算χ2的值，比较与临界值的大小关系，来判断事件X 与Y 是否有关的问题．2．独立性检验的思想来自于统计上的假设检验思想，它与反证法类似，它们都是先假设结论不成立，然后根据是否能推出“矛盾”来判定结论是否成立．但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是指不符合逻辑的事件发生；而假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事件发生，即在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的发生．请做演练巩固提升3要重视对线性回归方程意义的理解【典例】 (2012湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )( i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )．A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案：D解析：D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为：0.85×170－85.71＝58.79 kg.故D 不正确．答题指导：1.求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为b ^，常数项为a ^，这与一次函数的习惯表示不同．)2．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．3．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．1．(2012课标全国高考)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )．A ．－1B ．0C ．12D ．12．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm) 175 175 176 177 177 则y 对x 的线性回归方程为( )．A.y ^＝x －1B.y ^＝x ＋1C.y ^＝88＋12x D.y ^＝1763．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋24．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：x /吨 3 4 5 6 y /吨 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前10吨甲产品的生产能耗为9吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产10吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考答案基础梳理自测知识梳理1．非确定 2.正相关 负相关 3．线性相关 回归直线 4．(1)离差平方和最小(2)∑n i ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2 ∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x i 2－n x 2y －b ^x 6．(1)n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2n 11＋n 21＋n 12＋n 22(2)3.841 6.635 3.841 基础自测1．D 解析：相关关系不是确定的函数关系，这里A ，B ，C 都是确定的函数关系． 2．A 解析：因为b ＝2＞0，所以x ，y 是正相关关系．3．B 解析：因为利用独立性原理检验时与样本的选取有关，所以得到的结论可能有失误，不是一定正确．4．①86 ②180 ③229 ④301解析：最右侧的合计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而最下面的合计是相应的列上两个数据的和，由刚才的结果可求得③④.5．58.5 解析：回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，经过点(x ，y )，由x ＝9，知y ＝58.5.考点探究突破【例1】解：(1)作出如下散点图：显然，图中的散点大致分布在一条直线附近，因此y 与x 具有线性相关关系． (2)列出下表： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122xiy i620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x i 2＝38 500，∑i ＝110y i 2＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950，设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x i 2－10x2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668， a ^＝y －b ^x ＝91.7－0.668×55＝54.96.因此，所求的回归直线方程为y ^＝0.668x ＋54.96. (3)当x ＝200时，y 的估计值为 y ^＝0.668×200＋54.96＝188.56≈189.因此，加工200个零件所用的时间约为189分钟．【例2】 解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程．为此对数据预处理如下：年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5， a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝b (x －2 006)＋a＝6.5(x －2 006)＋3.2.即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5×(2 012－2 006)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨) ≈300(万吨)．【例3】 解：根据题中的数据，由χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，得χ2＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.78.因为1.78＜3.841，所以我们没有理由说在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数有效果，即效果不明显． 演练巩固提升1．D 解析：样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y ＝12x＋1上，样本的相关系数应为1.可得C 为正确答案．法二：将表中的五组数值分别代入选项验证，可知y ^＝88＋12x 最适合．3．解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)由公式得χ2＝500×(40×270－30×160)2200×300×70×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，要先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．4．解：(1)如下图．(2)∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝1nx i 2＝32＋42＋52＋62＝86.b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此所求的回归直线方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归直线方程的预测，现在生产10吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×10＋0.35＝7.35，故能耗减少了9－7.35＝1.65(吨)．。
高考数学一轮复习第11章概率4离散型随机变量的数字特征课件新人教版
(2)假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同,现从两家公司各随机
抽取一名“快递小哥”,并记录其100天的送货单数,得到如下条形图.若将频
率视为概率,回答下列问题:
①记乙快递公司的“快递小哥”的日工资为X(单位:元),求X的分布列和均
值;
②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作,如果仅从日收入
=1
学期望简称期望.
温馨提示均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合
了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
2.离散型随机变量的方差
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
考虑X的所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xnE(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概
=
4
C8
C12 C12 C12 C12
8
P(X=1)=
= ,
4
35
C8
C24 C22 C22
3
P(X=2)= 4 = ,
35
C8
P(X=-1)=
故 E(X)=-1×
24
,
35
24
8
3
2
+1×
+2×
=.
35
35
35 7
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
离散型随机变量的均值与方差
例1 已知随机变量X的分布列为
解得 m=n= .
3
1
2
2
(湖北专用)高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布教学
11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量(1)均值：称E(X)＝________________为随机变量X的均值或______，它反映了离散型随机变量取值的______．(2)方差：称D(X)＝________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的______，其算术平方根D(X)为随机变量X的______．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝______；(2)D(aX＋b)＝______(a，b为实数)．3．两点分布和二项分布的均值和方差若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝____.若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝______.4．正态分布(1)正态曲线：如果连续型随机变量X的概率密度函数为φμ，σ(x)＝1 2πσ2()2exμσ--，x∈(－∞，＋∞)，其中μ，σ为参数，则称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝ba⎰φμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布．(3)正态分布的性质：①曲线位于____轴的上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于______对称；③曲线在X＝μ时达到峰值______；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______；⑤曲线与x轴之间的面积为____．1．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ＜3)＝( )．A.15B.14C.13D.122．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )．A．10% B．20%C．30% D．40%3．设随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，则( )．A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.454．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝__________.5．随机变量ξ其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是__________．一、离散型随机变量的均值【例(1)求(2)若Y ＝2X －3，求E (Y )． 方法提炼1．求数学期望(均值)的关键是求出其分布列．若已知离散型分布列，可直接套用公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求其数学期望(均值)．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算．2．若X 是随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (Y )＝aE (X )＋b .请做演练巩固提升4二、离散型随机变量的方差【例2】 袋中有20个大小相同的球，其中标号为0号的有10个，标号为n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 方法提炼均值仅体现了随机变量取值的平均水平．如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．请做演练巩固提升3三、二项分布的均值与方差【例3】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62.(1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 方法提炼1．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )； 2．若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 请做演练巩固提升2 四、正态分布及其应用【例4－1】在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为__________．【例4－2】设X ～N (1,22)，试求： (1) P (－1＜X ≤3)； (2)P (3＜X ≤5)； (3)P (X ≥5)． 方法提炼1．若连续型随机变量ξ服从正态分布，即ξ～N (μ，σ2)，则E (ξ)＝μ，D (ξ)＝σ2，这里μ，σ的意义是期望和标准差．μ在正态分布曲线中确定曲线的位置，而σ确定曲线的形状．如果给出两条正态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的μ和σ的大小关系．2．正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等．正态曲线与x 轴之间的面积为1.请做演练巩固提升1正态分布性质的正确理解【典例】 已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( )．A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977解析：P (－2≤ξ≤2)＝1－2P (ξ＞2)＝1－0.046＝0.954. 答案：C 答题指导：1．本题易在以下两点出错：(1)找不到P (ξ＞2)与P (－2≤ξ≤2)之间的关系． (2)对正态分布定义及性质理解不到位．2．在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(范围)：(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]与已知概率值进行联系求解．1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有 ( )．A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ22．某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车，分配到附近的A ，B ， C ，D 四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车．若这五辆消防车中去A 村的辆数为随机变量ξ，则E (ξ)的值为( )．A ．14B ．34C ．1D ．543．(2012上海高考)设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)，D (ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则( )．A ．D (ξ1)＞D (ξ2)B ．D (ξ1)＝D (ξ2)C ．D (ξ1)＜D (ξ2) D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )．A ．100B ．200C ．300D ．4005．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n数学期望 平均水平 (2)∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i平均偏离程度 标准差2．(1)aE (X )＋b (2)a 2D (X ) 3．p p (1－p ) np np (1－p )4．(3)x x ＝μ 1σ2π集中 分散 1基础自测1．D 解析：ξ服从正态分布N (3，σ2)，曲线关于x ＝3对称，P (ξ＜3)＝12.2．D 解析：由题意可知，120分以上的人数也占10%，故90分至120分之间的考生人数所占百分比约为1－20%2＝40%.3．A 解析：由E (ξ)＝np ＝1.6，D (ξ)＝np (1－p )＝1.28，检验可知n ＝8，p ＝0.2符合．4．53 解析：P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p )2＝112，∴p ＝12. P (X ＝1)＝13，P (X ＝2)＝512，P (X ＝3)＝16，∴随机变量XE (X )＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝0＋3＋6＋2＝3.5.59解析：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c .又∵a ＋b ＋c ＝1，E (ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13.所以a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59. 考点探究突破【例1】 解：(1)由离散型随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16，∴E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)方法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215.方法二：由于Y ＝∴E (Y )＝(－7)×4＋(－5)×3＋(－3)×5＋(－1)×6＋1×20＝－6215.【例2】 解：(1)X∴E (X )＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4. 【例3】 解：(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p＝12. ξ(2)则P (A )＝P (ξ≤3)，得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P (A )＝1－P (ξ＞3)＝1－15＋6＋164＝2132.【例4－1】 0.1 解析：由正态分布的特征易得P (ξ＞2)＝12×[1－2P (0＜ξ＜1)]＝12×(1－0.8)＝0.1.【例4－2】 解：∵X ～N (1,22)， ∴μ＝1，σ＝2.(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ) ＝0.682 6.(2)∵P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)，∴P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)]＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)]＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8. 演练巩固提升1．A 解析：正态分布曲线关于直线x ＝μ对称，它是在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；反过来，σ越小，曲线越“瘦高”．2．D 解析：由题意知，随机变量ξ的取值是1,2， “ξ＝2”是指“有两辆消防车同时去A 村”，则P (ξ＝2)＝23532454C A C A ＝14， 所以P (ξ＝1)＝34.所以E (ξ)＝1×34＋2×14＝54.3．A4．B 解析：E (X )＝1 000×0.9×0＋1 000×0.1×2＝200.5．解：(1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A ，B 相互独立．∴P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C 4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k＝C 4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)．∴变量ξE (ξ)＝0×116＋1×4＋2×8＋3×4＋4×16＝2(或E (ξ)＝np ＝4×12＝2)．。
【志鸿优化设计】(湖北专用)2014届高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.4离散型随机变量及其
课时作业58 离散型随机变量及其分布列 一、选择题 1．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2P a 13 16 F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值X 围是[1,2)时，F (x )＝( )．A ．13B ．16C ．12D ．56 2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －1 0 1P 121－2q q 2 则q 等于( )．A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22 3．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )．A ．310B ．67C ．35D ．454．若随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )． A.23B.34C.45D.565．设随机变量ξ的分布列由P (ξ＝i )＝C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23i 确定，i ＝1,2,3，则C 的值为( )． A.1738B.2738C.1719D.27196．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( )．A ．(1－a )(1－b )B ．1－a (1－b )C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )7．某农科院在3×3的9块试验田中选出6块种植某品种水稻，则每行每列都有两块试验田种植水稻的概率为( )．A.156B.17C.114D.314二、填空题8．设随机变量X X 1 2 3 4P 13 m 14 16则P (|X －3|＝1)＝9．对于下列分布列有P (|ξ －2 0 2P a 35c 10个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为__________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1三、解答题11．某中学动员学生在2012年春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；(3)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．12．(2012某某高考)设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．参考答案一、选择题1．D 解析：∵a ＋13＋16＝1， ∴a ＝12.∵x ∈[1，2)， ∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56. 2．C 解析：由12＋1－2q ＋q 2＝1，得q 2－2q ＋12＝0，q ＝2±4－22， ∴q ＝1＋22＞1(舍去)或q ＝1－22. 3．C 解析：从5只羊中选两只羊，有C 25＝10种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有C 12·C 13＝6种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为C 12·C 13C 25＝610＝35. 4．D 解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3. 而P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝54×23＝56. 5．B 解析：∵P (ξ＝i )＝C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23i， ∴P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝C ·3827＝1， ∴C ＝2738. 6．C 解析：由分布列的性质得P (m ≤ξ≤n )＝P (ξ≥m )＋P (ξ≤n )－1＝(1－a )＋(1－b )－1＝1－(a ＋b )，故选C.7．C 解析：所求概率为P ＝C 23C 12C 69＝6C 39＝114. 二、填空题8.512解析：由13＋m ＋14＋16＝1，得m ＝14. ∴P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝16＋14＝512. 9.25解析：P (|ξ|＝2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝－2)＝a ＋c ＝1－35＝25. 10．935解析：由自由职业者64人抽取4人可得，每一个个体被抽入样的概率为464＝116，则公务员应当抽取32×116＝2人，教师应当抽取48×116＝3人，由此可得调查小组共有2＋3＋4＝9人．从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为P ＝C 12·C 13C 25＝35. 三、解答题11．解：根据统计图知参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10，50，40.(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为x ＝1×10＋2×50＋3×40100＝2.3. (2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率P 0＝C 210＋C 250＋C 240C 2100＝4199. (3)随机变量ξ12．解：(1)1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ6 11＋2×111＝6＋211.因此E(ξ)＝1×。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业58 离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1．设随机变量X
F (x )＝P (X ≤x )，则当x )．
A.13
B.16
C.12
D.56
2．设X
则q 等于( )．
A ．1
B ．1±22
C ．1－22
D ．1＋22
3．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )．
A.310
B.67
C.35
D.45 4．若随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a
n n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，
则P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<X <52的值为( )． A.23 B.34
C.45 D ．56
5．设随机变量ξ的分布列由P (ξ＝i )＝C ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23i 确定，i ＝1,2,3，则C 的值为( )． A ．1738 B ．2738 C ．1719 D ．2719
6．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( )．
A ．(1－a )(1－b )
B ．1－a (1－b )
C ．1－(a ＋b )
D ．1－b (1－a )
7．某农科院在3×3的9块试验田中选出6块种植某品种水稻，则每行每列都有两块试验田种植水稻的概率为( )．
A ．156
B ．17
C ．114
D ．314
二、填空题
8．设随机变量X
则P (|X －3|＝1)＝9．对于下列分布列有P (|ξ
10个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为
__________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1
三、解答题
11．某中学动员学生在2012年春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；
(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
(3)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．
12．(2012江苏高考)设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.
(1)求概率P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．
参考答案
一、选择题
1．D 解析：∵a ＋13＋16
＝1， ∴a ＝12
.∵x ∈[1,2)， ∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56
. 2．C 解析：由12＋1－2q ＋q 2＝1，得q 2－2q ＋12＝0，q ＝2±4－22
， ∴q ＝1＋22＞1(舍去)或q ＝1－22
. 3．C 解析：从5只羊中选两只羊，有25C ＝10种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只
被选中的结果有1
2C ·113C ＝6种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为
112325
C C C ⋅＝610＝35. 4．
D 解析：P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3. 而P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－15＝1， ∴a ＝54
. ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝54×23＝56
. 5．B 解析：∵P (ξ＝i )＝C ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23i ， ∴P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C ·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝C ·3827＝1， ∴C ＝2738
. 6．C 解析：由分布列的性质得P (m ≤ξ≤n )＝P (ξ≥m )＋P (ξ≤n )－1＝(1－a )＋(1－b )－1＝1－(a ＋b )，故选C.
7．C 解析：所求概率为P ＝213269C C C ＝39
6C ＝114. 二、填空题
8．512 解析：由13＋m ＋14＋16＝1，得m ＝14
. ∴P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝16＋14＝512
. 9．25 解析：P (|ξ|＝2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝－2)＝a ＋c ＝1－35＝25
. 10．9 35 解析：由自由职业者64人抽取4人可得，每一个个体被抽入样的概率为464
＝116，则公务员应当抽取32×116＝2人，教师应当抽取48×116
＝3人，由此可得调查小组共有2＋3＋4＝9人．从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1
人来自公务员的概率为P ＝1
12325
C C C ⋅＝35. 三、解答题
11．解：根据统计图知参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10,50,40.
(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为x ＝1×10＋2×50＋3×40100
＝2.3. (2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率P 0＝2221050402100
C C C C ++＝4199
. (3)随机变量ξ
12．解：(1)1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有2
38C 对相交棱，因此P (ξ＝0)＝232128C C ＝8×366＝411. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，
故P (ξ＝2)＝212
6C ＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611
， 所以随机变量ξ
因此E (ξ)＝1×611＋2。