34定积分的应用
定积分在医学和经济学中的应用
定积分在医学和经济学中的应用
定积分在医学和经济学中的应用
一、定积分在医学的应用
1、采用定积分法求出体积密度的温度指数
定积分法是一种用来衡量体积密度的温度指数的有效方法，它通过推算出物体某一温度下的体积密度，再用这个温度值求出体积密度的温度指数。
2、定积分法求解医学中人体的各种比热容和抵抗力
定积分法可以帮助医学研究人员求解出人体各种比热容和抵抗力，这些数据可以用于研究人体对环境变化的反应。
3、定积分用于细胞学研究
定积分法可以用于细胞学研究，其中，可以推算出细胞的朗道数量。
朗道数量是衡量细胞活动能力的重要标志，对于病理的预测和研究有重要意义。
二、定积分在经济学中的应用
1、获得投资回报率和投资风险的指标
定积分法可以用来衡量一项投资的回报率，以及投资风险的大小。
如果某个项目的回报率较高，可以判定这个投资项目较为稳健，而投资风险较低。
2、分析市场消费者群体行为模式
定积分法可以用来分析市场消费者群体的行为模式，可以推算出消费者群体的消费习惯，再根据消费习惯进行市场细分。
3、定积分法求解企业的长期成长趋势
定积分法可以用来求解企业的长期成长趋势，可以精确进行企业财务成绩的预测，从而为企业管理决策提供依据。
3.4定积分的计算(二)、应用
简证： F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则 设
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
又 F ( ( t )) f ( (t )) (t )
( t )dt F ( ( t )) F ( ( )) F ( ( )) f ( ( t ))
3,
1
令 若作如下运算： x t , 2xdx dt , dx
2
1 2 t
dt ,
于是
2
1
x dx 1
2
4
1 tdt 1 4 tdt t 3 2 t 2 1
2
3 4 2 1
7 . 3
这显然是错误的，原因在于 x t不是单值的.
3.4.3 定积分的分部积分法
a a
0 f ( x )dx a 2 0 f ( x )dx
当 f ( x ) 为奇函数 当 f ( x ) 为偶函数
例4 解
计算
I
2 x 2
2
4 x 2 dx.
x 2 2
2 2 2
4 x 2 dx
2 2
x 4 x dx 2
a
udv vdu
b b a a
b
a
udv uv vdu 分部积分公式
a a
b
b
例5 解
计算
2
1
x ln xdx .
2
1
1 2 x ln xdx ln xd ( x 2 ) 2 1
1 2 1 2 2 1 x ln x x dx 2 2 1 x 1
3.3 定积分的应用
面图形①绕������轴, ②绕������轴旋转一周所得旋转体的体积.
解： ②取������为积分变量，������ ∈ [������, ������]
V
V1
b [ f (x)]2 dx
a
y
r2h
4
[
y ]2 dy
0
22 4
4
ydy
−2 O
解决方法：通过分割和近似代替，将每个小区间上 的曲边用直边来代替，每个小区间上的变力用恒力 来代替！
思想：以直代曲，以恒代变！
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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3.3.1 微元法
y
1.微元法
以计算曲边梯形面积为例：
分割： 区间分割成n个小区间
O
近似：
求和：
取极限：
������ ������
y f2(x)
形面积
A
b
a
f2(x)
f1 ( x) dx
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
y f1( x)
������ ������
������ ������
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3.3.2 定积分在几何上的应用 1.求平面图形的面积
解: 由
得交点(������, ������),(������, ������)
在 [������, ������ + ������������]上的面积微元： d A ( x x2) dx
y
y2 xx (1,1)
1
AdA (
x x2)dx
0
1 3
定积分的应用
图1-1图1-2a =x x x x x x x i1定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。
在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。
恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。
凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。
正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。
以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。
1 定积分的概念的提出问题的提出曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形。
其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。
不妨假定0)(≥x f ，下面来求曲边梯形的面积。
由于cx f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大。
于是可用如下方法求曲边梯形的面积。
（1） 分割 用直线1x x =，2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =，n x b =。
区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1）， 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和，即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同，i ξ选取不同是不一样的，即近似值与分割及i ξ选取有关（图1－2）。
(完整版)定积分在生活中的应用
PINGDINGSHAN UNIVERSITY院系 : 经济与管理学院题目 : 定积分在生活中的应用年级专业: 11级市场营销班**** : ***定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。
微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=,把区间[],a b 分成n个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆（1,2,,i n =）， ③作出和 ()1ni i i S f x ξ==∆∑。
记{}12max ,,,n P x x x =∆∆∆作极限()01lim ni i P i f x ξ→=∆∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()ba f x dx ⎰，即()b af x dx ⎰=I =()01lim ni iP i f x ξ→=∆∑,其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。
定积分的几何应用
定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是在几何学中的应用。
本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。
一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。
假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。
我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。
由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。
通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。
二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。
假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。
我们希望计算出曲线L的弧长。
与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。
同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。
三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。
当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。
定积分的应用
定积分的应用在我们的生活中，有很多场景都需要用到定积分。
而在数学上，定积分也起到了重要的作用。
定积分可以计算曲线下的面积，如求函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的面积。
接下来，我们将介绍一些常见的定积分的应用。
一、曲线下的面积假设我们有一个区间 $[a,b]$，以及一个函数 $f(x)$。
我们可以使用定积分来计算这个函数在该区间上的曲线下的面积。
这个面积可以用下面的式子来计算：$$ S=\int_{a}^{b}f(x)dx $$ 其中，$\int$ 表示定积分。
如果我们以 $f(x)\geq 0$ 的形式进行了定义，那么定积分就可以计算出曲线下的正面积。
例如，如果我们要计算函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积，我们可以通过下面的定积分来计算：$$ S=\int_{0}^{1}x^2dx $$利用积分的定义，可以将该式子化简为：$$ S=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\Delta x $$ 其中，$\Delta x=\frac{1}{n}$ 且 $x_i=i\Delta x$。
如果我们取 $n=100$，你会发现：$$ S=0.010050167\cdots $$ 这时，我们就可以知道函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积为约为 $0.010050167$。
二、体积类似于计算曲线下的面积，定积分也可以用于计算体积。
我们可以使用定积分来计算旋转曲面的体积，例如旋转曲面、扫描曲面等。
例如，假设我们需要计算曲线 $y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围在 $y$ 轴旋转一周所形成的立体的体积，我们可以使用下面的公式计算出体积：$$ V=\int_{0}^{1}\pi y^2dx $$替换掉 $y=x^2$ 的值，我们得到：$$ V=\int_{0}^{1}\pi x^4dx $$ 计算该定积分的结果为：$$ V=\frac{\pi}{5} $$ 所以，曲线$y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围所形成的立体的体积为$\frac{\pi}{5}$。
定积分的计算与应用
定积分的计算与应用定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下的面积、质量、体积等问题。
本文将介绍定积分的计算方法和应用场景。
一、定积分的计算方法定积分的计算基于微积分中的积分运算，可以通过以下方法进行计算：1. 几何解释法：定积分可以视为曲线下的面积，因此可以利用几何图形的面积公式进行计算。
将曲线下的区域分割成无数个小矩形，并求取它们的面积之和，即可得到定积分的近似值。
通过增加小矩形的个数，可以不断提高计算精度。
2. 集合解释法：定积分可以被视为一组数的和，其中这组数是将函数值与对应的间隔长度相乘而得到的。
通过将曲线下的区域分割成若干个小区间，并计算每个小区间内的函数值与对应的间隔长度的乘积，再将这些乘积进行加和，即可得到定积分的近似值。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：对于可微函数，可以使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分的计算。
该公式表达了函数的原函数（即不定积分）与定积分之间的关系。
通过求取函数的原函数，并在积分的上下限处进行代入计算，即可得到定积分的准确值。
二、定积分的应用场景定积分在物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
以下将介绍一些常见的应用场景：1. 面积计算：最简单的应用是计算平面图形的面积。
通过确定曲线的方程以及积分的上下限，可以计算出曲线所围成区域的面积。
2. 质量计算：如果将曲线下的区域视为物体的密度分布，则可以利用定积分计算物体的质量。
通过将物体分割成无数个小区域，并计算每个小区域内的密度值与对应的区域面积的乘积，再将这些乘积进行加和，即可得到物体的总质量。
3. 体积计算：类似质量计算，定积分可以被用于计算三维物体的体积。
通过将物体分割成无数个小体积，并计算每个小体积的大小，再将这些体积进行加和，即可得到物体的总体积。
4. 概率计算：在概率论中，定积分可以用于计算随机变量的概率密度函数下的概率。
通过计算概率密度函数在某个区间上的定积分，可以得到该区间内事件发生的概率。
5. 积累量计算：定积分还可以用于计算积累量，例如距离、速度、加速度等。
3.4 定积分的应用(弧长、面积)
n
λ →0
i =1
a
上述四步中，第二步是关键， 上述四步中，第二步是关键，即确定所求量 A 在第 i 个小 关键。 区间 [ x i −1 , x i ] 上的部分量 ∆Ai 的近似值 f (ξ i )∆x i 是关键。
3
3.4.1-3 定积分的应用 定积分的应用——弧长、面积和体积 弧长、 弧长
说 明： 有关。 （ 1）所求量（面积 A）与自变量 x 的变化区间 [a , b] 有关。 ）所求量（ ） 具有可加性， （2）所求量对区间 [a , b] 具有可加性，即 A = ∑ ∆Ai 。 所求量对区间
i= 1 n
（3）用 f (ξ i )∆x i 近似代替部分量 ∆Ai 时，它们只差一个 高阶的无穷小量。 比 ∆x i 高阶的无穷小量。 因此 A = ∫ f ( x )dx = lim ∑ f (ξ i )∆x i 。
3.4.1-3 定积分的应用 定积分的应用——弧长、面积和体积 弧长、 弧长
第三步求和： 第三步求和
A ≈ ∑ f (ξ i )∆x i ；
i =1
n
第四步取极限：令 第四步取极限 令 λ = max ∆x i ，
1≤ i ≤ n
则 A = lim ∑ f (ξ i )∆x i = ∫ f ( x )dx 。
( i = 1, 2, L , n) ，设第 i 个小曲边梯形的面积 为 ∆Ai ，则 n y A = ∑ ∆Ai y = f ( x)
i =1
第二步取近似： 第二步取近似 ∀ξ i ∈ [ x i −1 , x i ] ，
A
பைடு நூலகம்o a
b x
2
∆Ai ≈ f (ξ i )∆x i
( i = 1,2, L , n)
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将对定积分的应用公式进行总结，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 面积与定积分。
定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴之间的面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x) ≥ 0，则曲线y = f(x)与x轴所围成的图形的面积为。
A = ∫[a, b] f(x) dx。
这就是定积分的几何意义，它表示曲线与x轴之间的面积。
2. 物理学中的应用。
在物理学中，定积分常常用来计算曲线下方的面积，从而得到某一变量的总量。
例如，如果我们知道一个物体在 t 时刻的速度 v(t)（单位时间内的位移），则该物体在时间区间 [a, b] 内的位移为。
S = ∫[a, b] v(t) dt。
这里的 S 就表示了物体在时间区间 [a, b] 内的总位移。
3. 概率统计中的应用。
在概率统计中，定积分也有着重要的应用。
例如，如果我们知道某一随机变量X 的概率密度函数为 f(x)，则 X 落在区间 [a, b] 内的概率为。
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx。
这里的 P(a ≤ X ≤ b) 表示了随机变量 X 落在区间 [a, b] 内的概率。
4. 工程中的应用。
在工程领域，定积分也有着广泛的应用。
例如，在计算流体的体积、质量、密度、压力等问题时，定积分常常是不可或缺的工具。
另外，在电路分析、信号处理、控制系统等领域，定积分也有着重要的作用。
5. 经济学中的应用。
在经济学中，定积分常常用来描述某一商品的总收益、总成本、总利润等。
例如，如果知道某一商品的需求函数为 D(p)，则该商品在价格区间 [a, b] 内的总收益为。
R = ∫[a, b] p D(p) dp。
这里的 R 表示了商品在价格区间 [a, b] 内的总收益。
总结。
定积分的应用远不止以上几个领域，它在数学、物理、工程、经济等众多领域都有着重要的作用。
定积分应用与意义
定积分应用与意义定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学和实际应用中都具有广泛的意义和应用。
定积分的概念和定义虽然较为复杂，但是通过对定积分的研究和应用，我们可以更深入地理解数学的内涵，并将其应用于实际问题的解决中。
1. 定积分的基本概念定积分的概念最早由数学家牛顿和莱布尼茨同时独立提出，它是微积分的核心理论之一。
定积分的基本概念可以通过对微小变化的累加来得到，即将一个函数在某个区间上的微小变化进行累加，得到整体的变化情况。
定积分用于计算曲线与坐标轴所夹的面积，也可以用于计算函数在某个区间上的平均值等。
2. 定积分的数学意义定积分在数学上的意义非常重要，它在微积分的理论体系中起着重要的作用。
定积分可以用于求解函数的原函数，从而得到函数的不定积分。
同时，定积分可以通过数值计算的方式求解，从而得到函数在某个区间上的数值结果。
这为数学的理论研究和实际计算提供了基础。
3. 定积分在几何中的应用定积分在几何中有着广泛的应用。
例如，可以通过定积分计算曲线与坐标轴所夹的面积，从而解决几何问题。
同时，定积分还可以用于计算曲线的弧长，计算曲线的质心坐标等。
这些几何应用使得定积分成为几何分析中不可或缺的工具。
4. 定积分在物理中的应用定积分在物理学中也有着重要的应用。
在物理学中，许多物理量都可以通过定积分进行计算。
例如，通过定积分可以计算物体在某一时间段内的位移、速度和加速度等。
同时，定积分还可以用于计算物体在力场中所受的力和功等。
这些物理应用使得定积分在物理学中具有重要的意义。
5. 定积分在经济学中的应用定积分在经济学中也有着广泛的应用。
经济学中的许多问题需要通过定积分进行计算和求解。
例如，通过定积分可以计算收益曲线和成本曲线所围成的利润。
同时，定积分还可以用于计算市场需求曲线和供给曲线之间的均衡点。
这些经济应用使得定积分成为经济学中必不可少的工具。
综上所述，定积分在数学和实际应用中具有重要的意义和应用。
它不仅丰富了数学的理论体系，还在几何学、物理学、经济学等领域中发挥着重要的作用。
初中数学知识归纳定积分的计算和应用
初中数学知识归纳定积分的计算和应用初中数学知识归纳——定积分的计算和应用定积分是数学中重要的概念之一，具体来说，它是用来计算曲线与x轴之间的面积的。
在初中数学中，我们通常不会涉及具体的计算过程，但是了解其基本原理和应用是十分重要的。
下面将介绍定积分的计算方法和应用。
一、定积分的计算方法1. 几何意义定积分的计算可以理解为曲线与x轴之间的面积计算。
对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算函数在区间[a, b]上的点与x轴之间的面积。
具体而言，这个面积可以被分成许多矩形的和，每一个矩形的高度为f(x)，宽度为dx。
当我们将这些矩形的面积相加，并让dx无限接近于0时，我们就可以得到一个近似的结果。
通过极限的推导，我们可以得到定积分的计算公式：∫[a, b] f(x)dx。
2. 基本计算方法在初中数学中，我们主要了解一些基础的函数的定积分计算方法，例如多项式函数、幂函数和三角函数等。
对于多项式函数，我们可以使用基本的求导公式来计算其定积分。
例如，对于函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以使用公式∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数，来计算其定积分。
对于幂函数和三角函数，我们可以使用换元法和分部积分法来计算其定积分。
通过合适的变量替换和部分积分，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而进行计算。
3. 数值计算方法在实际问题中，我们常常无法找到函数的原函数，无法直接计算定积分。
这时，我们可以使用数值计算方法来近似计算定积分的值。
常用的数值计算方法有矩形法和梯形法。
矩形法将区间分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为定积分的近似值。
梯形法则是将区间分成若干个梯形，计算这些梯形的面积之和作为定积分的近似值。
随着小矩形或梯形越来越多，近似值也会越来越接近真实值。
二、定积分的应用1. 几何应用定积分的最主要的应用之一就是计算曲线与x轴之间的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算椭圆、抛物线和心形线等曲线的面积。
定积分的概念定积分应用
THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限 确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力 和位移的乘积来计算。然而，当作用 力是变力时，不能简单地用力和位移 的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定 积分的概念。通过将变力函数在位移 区间上进行积分，可以得到变力做功 的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿 意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积， 即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者 愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差 额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的 面积，即总生产者剩余。
定积分的计算方法与应用
定积分的计算方法与应用定积分是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
本文将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、定积分的计算方法定积分是求解曲线下面的面积或者曲线上某一区间的长度的数学工具。
在计算定积分时，我们可以使用以下方法：1. 几何解法：当曲线形状较简单且易于几何分析时，可以采用几何解法。
例如，计算一个常数函数在给定区间上的定积分，可以直接计算该区间内的矩形面积。
2. 分割求和法：定积分可以通过将曲线分割为若干个小区间，在每个小区间内取样点，并计算每个小区间的面积或长度，再将这些结果求和得到近似解。
随着小区间的数量增加，这种方法的近似解将逐渐接近准确值。
3. 定积分的定义：根据数学定义，定积分可以通过极限求和的方式得到准确解。
该方法需要将曲线分割为无穷多个微小的小区间，并进行求和。
具体的计算步骤可以参照定积分的定义公式。
二、定积分在实际问题中的应用定积分作为一种数学工具，在许多实际问题的求解中起到了重要作用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线下的面积，例如求解两条曲线之间的面积或计算曲线所围成的区域的面积。
这在建筑设计、地理测量等领域中有广泛应用。
2. 物理学应用：定积分可以用于计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
例如，在力学中，通过计算质点沿某一曲线的运动轨迹所做的功，可以使用定积分求得。
3. 统计学应用：定积分可以应用于计算概率密度函数下的概率。
在统计学中，通过计算概率密度曲线下的面积，可以得到某一区间内事件发生的概率。
4. 经济学应用：定积分可以用于计算经济学中的消费总额、产出总额等指标。
例如，计算某一产品的总销售额可以通过对销售函数进行定积分得到。
5. 工程学应用：定积分可以应用于计算工程中的功耗、能量损失等问题。
例如，计算电路中的功耗可以通过对电流和电压的乘积进行定积分来求解。
在实际问题中，我们可以根据具体情况将问题转化为曲线的面积或长度的计算，然后应用定积分的方法进行求解。
定积分在生活中的应用
PINGDINGSHANUNIVERSITY院系：经济与管理学院题目：定积分在生活中的应用年级专业:11级市场营销班学生姓名 :孙天鹏定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。
微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律,此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展,而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数()f x 在区间[],a b 上有界。
①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=，把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-,221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆（1,2,,i n =）,③作出和()1ni i i S f x ξ==∆∑。
记{}12max ,,,n P x x x =∆∆∆作极限()01lim ni i P i f x ξ→=∆∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分）,记作()ba f x dx ⎰，即()b af x dx ⎰=I =()01lim niiP i f x ξ→=∆∑,其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。
第3章3.3 定积分的应用
x [a , b ] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a
b
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x2 x2 y b 1 2 , y b 1 2 a a
所围成的平面图形，故 由面积公式可得椭圆面积为
x2 x2 S b 1 2 b 1 2 dx a a a
a
x2 x2 S b 1 2 b 1 2 dx a a a
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
2 [ ( y )] dy
V
d
c
பைடு நூலகம்
d
x ( y)
c O x
x2 y 2 例4 求椭圆 2 2 1绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积 a b 2 b 解：将椭圆方程化为 y 2 2 (a 2 x 2 ) y a
2
y2 x 2
y2 2 x
( 2,2), (8,4).
选 y 为积分变量
4
y [2, 4]
y2 A y4 dy 18. 2 2
x2 y2 例 3 求椭圆 2 2 1所围成的面积. a b 解 椭圆可看作直线x=－a,
x=a 以及连续曲线
面 积 元 素
[ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
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§3.4 定积分的应用一、平面图形的面积 1.直角坐标系 模型Ⅰ []121()()ba S y x y x dx =-ò其中[]21()(),y x y x x a b 澄，模型Ⅱ []221()()dc S x y x y dy =-ò其中[]21()(),x y x y yc d 澄，注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型Ⅰ或模型Ⅱ加以计算，然后再相加．【例l 】 求星形线222333x y a +=所围图形的面积解 用参数方程 3cos x a t =,3sin y a t =320244sin (3cos sin )aS ydx a t a t t dt p ==-蝌＝2422012sin cos at tdtpò.＝2422012sin (1sin )at t dt p-ò＝238a p【例2】 求曲线22y x =在点112⎛⎫ ⎪⎝⎭，处法线与曲线所围成图形的面积解 先找出法线方程()12111221y yy y y=''===，，，法线方程()131122y x x y ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭， 曲线22y x =和法线32x y +=的另一交点为932⎛⎫- ⎪⎝⎭，所求面积213316223y S y dy -⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 2．极坐标系模型Ⅰ 211()2S r d b aq q =ò模型Ⅱ 222211()()2S r r d b a q q q 轾=-犏臌ò3．参数形式表出的曲线所围成的面积设 曲线C 的参数方程()()x t y t j y ì=ïïíï=ïî()t a b ＃()a j a =，()b y b =，()t j 在[]αβ，（或[]βα，）上有连续导数，且()t j ¢不变号，()0t j ³且连续则曲边梯形面积（曲线C 与直线x a =，x b =和x 轴所围成)()()b aS ydx t t dt b ay j ¢==蝌二、平面曲线的弧长(数学一和数学二)1．直角坐标系设光滑曲线()y y x =，(a ≤x ≤b )[也即y (x )有连续的导数]弧长 aS =ò而dS =也称为弧微分 2.极坐标系设光滑曲线()r r q =，（a q b ＃）［()r q 在[]αβ，上有连续导数］弧长 S baq =ò 3．参数方程所表曲线的弧长设光滑曲线C ()()x x t y y t ì=ïïíï=ïî()ta b ＃［()x t ，()y t 在[]αβ，上有连续的导数］曲线C 的弧长 S ba=ò 【例1】 求星形线222333x y a +=周长解 星形线的参数方程()33cos sin 02x a t y a t t π==≤≤，，周长20412sin cos l a t tdt π==⎰226sin 6a t a π==【例2】 求心形线()()1cos 02r a θθπ=+≤≤，的周长解 022l a ππθθ==⎰⎰022cos 82a d a πθθ==⎰三、特殊的空间图形的体积1．已知平行截面面积的立体体积．设空间一个立体由一个曲面和垂直于z 轴两平面z =c 和z =d 所围成，z 轴每一点z (c ≤ z ≤d)且垂直于z 轴的立体截面的面积S(z)为已知的连续函数．则立体体积()dcV S z dz =ò2.绕坐标轴旋转的旋转体体积(1)平面图形由曲线()y f x =(≥O)与直线x a =，x b =和x 轴围成绕x 轴旋转一周的体积2()bx aV f x dxp=ò；绕y 轴旋转一周的体积2()by aV xf x dx p=ò(2)平面图形由曲线()x g y =(≥O)与直线y c =，y d =和y 轴围成绕y 轴旋转一周的体积2()dy cV g y dyp=ò。
绕x 轴旋转一周的体积2()dx cV yg y dy p=ò【例1】 求由曲线22y x x =-和直线0y =，1x =，3x =所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.解一 平面图形1A 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积(2111116V dy πππ-=+-=⎰ 平面图形2A 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积(2320432716V dy πππ=-+=⎰ 所求体积129y V V V π=+= 解二 32122y V x x x dx π=-⎰()()232212222x x x dx x x x dx π⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰4433232229123443x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】 设1D 是由抛物线22y x =和直线2x a x ==，及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =的直线x a =，y=0所围成的平面区域，其中02a <<。
（1） 试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴而成的旋转体体积2V （如图）。
（2） 问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值。
解 （1）()()2225142325a V xdx a ππ==-⎰ 222242022a yV a a dy a πππ=-=⎰ ，（2）54124(32)5V V V a a p p =+=-+.由34(1)0V a a p ¢=-=，得区间 (,2)a 内的惟一驻点1a =. 又140a V p =ⅱ=-<，因此1a =是极大值点，也是最大值点.此时12V V +的最大值为1295p . 四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积(数学一和数学二)设平面曲线»C AB =位于x 轴上方．它绕x 轴一周所得旋转曲面的面积为S ．1.设»AB 的方程为()y f x = （a ≤x ≤b ）则 2(ba S f x p=ò 2.设»AB 的极坐标方程为()r r q = （α≤θ≤β）则 2()sin S r ba pq q =ò 3.设»AB 的参数方程为()x x t =，()y y t = （α≤t ≤β）则 2(S y t bap=ò 4.设»AB 以弧长S 为参数的参数方程()x x s =，()y y s = （0≤s ≤l ） 则 02()lS y s ds p=ò【例1】 求下列旋转面的面积（1）()sin 00y x x y π=≤≤=，围成的图形绕x 轴旋转所得曲面； （2）()()1cos 0r a a θ=+>绕极轴旋转所成曲面。
解 （1）该旋转面的面积22sin S ππππ==⎰⎰()2cos x ππ=-⎰1024ππ-==⎰⎰(114ln 02u π⎤=+⎥⎦()2ln 1π=+（2）这是心形线()()1cos r a θθ=+，则()()r r θθ-=，曲线判刑极轴对称，在极轴上方部分，于是它绕极轴转所成曲面的面积为()1cos 0r a θθπ=+≤≤，，于是()2sin S r ππθθ=⎰(021cos a d ππθθθ=+⎰()()322021cos 1cos d ππθθ=-++⎰()52222321cos 52a ππθπ=-+===］五、几何应用的证明题【例1】 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内()0f x '>，证明()a b ξ∃∈，，且惟一，使得()()y f x y f x a ξ===，，，所围面积1S 是()()y f x y f x b ξ===，，所围面积2S 的三倍。
证 令()()()()()3t ba t F t f t f x dx f x f t dx =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ∵()()()30b aF a f x f a dx =--<⎡⎤⎣⎦⎰()()()0a bF b f b f x dx =->⎡⎤⎣⎦⎰ 由连续函数介值定理的推论可知()a b ξ∃∈，，使()0F ξ= 再由()0f x '>，可知()f x 的单调增加性，则ξ惟一。