2020高考数学二轮复习寒假作业二十三不等式选讲注意解题的准度理
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题八 第二讲 不等式选讲
第二讲 不等式选讲高考考点考点解读不等式的证明与不等式的性质相结合，考查综合法在比较大小中的应用绝对值不等式的解法 1.求解绝对值不等式的解集2．与集合、概率等内容相结合命题3．与不等式的恒成立相结合考查求解参数的取值范围备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题．题型多为解答题，难度为中档．Z 知识整合hi shi zheng he 1．绝对值不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法①|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c .②|ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(2)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．3．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．4．二维形式的柯西不等式若a ，b ，c ，d ∈R ，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．,Y易错警示 i cuo jing shi 1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.1．(2018·全国卷Ⅰ，23)已知f ＝－.(x )|x ＋1||ax －1|(1)当a ＝1时，求不等式f >1的解集；(x )(2)若x ∈时不等式f >x 成立，求a 的取值范围．(0，1)(x )[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝Error!结合函数图象可知，不等式f (x )＞1的解集为.{x |x ＞12}(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为0＜x ＜，2a 所以≥1，故0＜a ≤2.2a 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．(2018·全国卷Ⅱ，23)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集．(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝Error!可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2，所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·全国卷Ⅲ，23)设函数f ＝＋.(x )|2x ＋1||x －1|(1)画出y ＝f 的图象；(x )(2)当x ∈时， f ≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．[0，＋∞)(x )[解析] (1)f (x )＝Error!y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．(2018·江苏卷，21D)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．[解析] 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2.因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当＝＝时，不等式取等号，此时x ＝，y ＝，z ＝，x 1y2z2234343所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.5．(2017·全国卷Ⅰ，23)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤.－1＋172所以f (x )≥g (x )的解集为{x |－1≤x ≤}．－1＋172(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．命题方向1 绝对值不等式的解法例1 (2018·昆明一模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9.(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9，即|x ＋5|＋|x －2|>9，故有Error!①；或Error!②；或Error!③.解①求得x <－6；解②求得x ∈∅，解③求得x >3.综上可得，原不等式的解集为{x |x <－6或x >3}．(2)设关于x 的不等式f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x |－1≤x ≤2}，如果A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以Error!即Error!求得－1≤a ≤0，故实数a 的范围为[－1,0]．『规律总结』1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间，去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值符号的不等式(组)；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．2．图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．G跟踪训练en zong xun lian (2016·全国卷Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(Ⅰ)画出y ＝f (x )的图像；(Ⅱ)求不等式|f (x )|﹥1的解集．[解析] (Ⅰ)f (x )＝Error!y ＝f (x )的图像如图所示．(Ⅱ)由f (x )的表达式及图像知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝或x ＝5.13故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为{x |x <或x >5}．13所以|f (x )|>1的解集为{x |x <或1<x <3或x >5}．13命题方向2 不等式的证明例2 设a >0，b >0，且a ＋b ＝＋.1a 1b 证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．[证明] 由a ＋b ＝＋＝，a >0，b >0.1a 1b a ＋bab 得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2＝2，ab 即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．『规律总结』本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注．G跟踪训练en zong xun lian (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝＋，M 为不等式f (x )<2的解集．|x －12||x ＋12|(1)求M .(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.[解析] (1)当x <－时，f (x )＝－x －x －＝－2x <2，解得－1<x <－；12121212当－≤x ≤时，f (x )＝－x ＋x ＋＝1<2恒成立；12121212当x >时，f (x )＝2x <2，解得<x <1.1212综上可得，M ＝{x |－1<x <1}．(2)当a ，b ∈(－1,1)时，有(a 2－1)(b 2－1)>0，即a 2b 2＋1>a 2＋b 2，则a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，则(ab ＋1)2>(a ＋b )2，即|a ＋b |<|ab ＋1|.命题方向3 绝对值不等式恒成立(存在)问题例3 (2018·汉中二模)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3.(2)如果任意x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3有|x －1|＋|x ＋1|≥3，据绝对值几何意义求解．|x －1|＋|x ＋1|≥3几何意义是数轴上表示实数x 的点距离实数1，－1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数－左侧的点与数右侧的点与数－1与1的距离之和不小于3，3232所以所求不等式解集为(－∞，－]∪[，＋∞)．3232(2)由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a 的距离之和大于等于2恒成立，则1与a 之间的距离必大于等于2，从而有a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．『规律总结』1．求含绝对值号函数的值的两种方法(1)利用|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求解．(2)将函数化为分段函数，数形结合求解．2．恒成立(存在)问题的等价转化f (x )≥Mf (x )≤M 任意x 恒成立⇔f (x )min ≥M f (x )max ≤M 存在x 成立⇔f (x )max ≥Mf (x )min ≤MG跟踪训练en zong xun lian 已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.(1)若存在x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的范围．(2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．[解析] (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝Error!当2<x <5时，－3<7－2x <3，所以－3≤f (x )≤3，所以m ≥－3.(2)不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0，即－f (x )≥x 2－8x ＋15由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15，即x 2－10x ＋22≤0，所以5－≤x <5，3即x 2－8x ＋12≤0，所以5≤x ≤6；当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15，综上，原不等式的解集为{x |5－≤x ≤6}．3A 组1．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝Error!当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解；当≤x ≤2时，5－3x >0，即x <，解得≤x <；32533253当x <时，x －1>0，即x >1，解得1<x <.3232∴不等式解集为{x |1<x <}．53(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >恒成立．a ＋23∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4.2．(2018·南宁二模)设实数x ，y 满足x ＋＝1.y4(1)若|7－y |<2x ＋3，求x 的取值范围．(2)若x >0，y >0，求证：≥xy .xy [解析] (1)根据题意，x ＋＝1，y4则4x ＋y ＝4，即y ＝4－4x ，则由|7－y |<2x ＋3，可得|4x ＋3|<2x ＋3，即－(2x ＋3)<4x ＋3<2x ＋3，解得－1<x <0.(2)x >0，y >0，1＝x ＋≥2＝，y 4x ·y 4xy 即≤1，xy －xy ＝(1－)，xy xy xy 又由0<≤1，xy 则－xy ＝(1－)≥0，xy xy xy 即≥xy .xy 3．(2018·西安二模)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a )．(1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域．(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值．[解析] (1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|>7；①当x>2时，得x＋1＋x－2>7，解得x>4；②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x>7，无解；③当x<－1时，得－x－1－x＋2>7，解得x<－3；所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8；因为x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3；又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8解集是R；所以a＋8≤3，即a≤－5.所以a的最大值为－5.4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若关于x的不等式f(x)≥ax＋1恒成立，试求实数a的取值范围．[解析] (1)由于f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|＝Error!则函数y＝f(x)的图象如图所示．(2)当x＝2时，f(2)＝3.当直线y＝ax＋1过点(2,3)时，a＝1.由函数y＝f(x)与函数y＝ax＋1的图象知，当且仅当－3≤a≤1时，函数y＝f(x)的图象没有在函数y＝ax＋1的图象的下方，因此f(x)≥ax＋1恒成立时，a的取值范围为[－3，1]．B组1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|.(1)解不等式f (x )>0；(2)已知关于x 的不等式a ＋3<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|＝Error!∴不等式f (x )>0化为Error!或Error!或Error!∴x <－4或x >，23即不等式的解集为(－∞，－4)∪(，＋∞)．23(2)∵f (x )min ＝－，∴要使a ＋3<f (x )恒成立，只要a ＋3<－，∴a <－.72721322．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝0时，解关于x 的不等式f (x )>4；(2)若∃x ∈R ，使得不等式|x －3|＋|x －a |<4成立，求实数a 的取值范围．[分析] (1)按x ＝0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解．(2)∃x ∈R ，使不等式f (x )<4成立，即f (x )的最小值小于4.[解析] (1)由a ＝0知原不等式为|x －3|＋|x |>4当x ≥3时，2x －3>4，解得x >.72当0≤x <3时，3>4，无解．当x <0时，－2x ＋3>4，解得x <－.12故解集为{x |x <－或x >}．1272(2)由∃x ∈R ，|x －3|＋|x －a |<4成立可得，(|x －3|＋|x －a |)min <4.又|x －3|＋|x －a |≥|x －3－(x －a )|＝|a －3|，即(|x －3|＋|x －a |)min ＝|a －3|<4.解得－1<a <7.3．(2018·临川二模)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |.(1)若f (1)<3，求实数a 的取值范围．(2)若a ≥1，x ∈R ，求证：f (x )≥2.[解析] (1)因为f (1)<3，所以|a |＋|1－2a |<3.①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a )<3，解得a >－，所以－<a ≤0；2323②当0<a <时，得a ＋(1－2a )<3，12解得a >－2，所以0<a <；12③当a ≥时，得a －(1－2a )<3，12解得a <，所以≤a <；431243综上所述，实数a 的取值范围是(－，)．2343(2)因为a ≥1，x ∈R ，所以f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|(x ＋a －1)－(x －2a )|＝|3a －1|＝3a －1≥2.4．(2018·安徽江南十校3月模拟)已知函数f (x )＝|x |－|2x －1|，记不等式f (x )>－1的解集为M .(1)求M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与的大小．1a [解析] (1)f (x )＝|x |－|2x －1|＝Error!由f (x )>－1，得Error!或Error!或Error!解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}．(2)由(1)，知0<a <2，因为a 2－a ＋1－＝＝，1a a 3－a 2＋a －1a (a －1)(a 2＋1)a 当0<a <1时，<0，(a －1)(a 2＋1)a所以a 2－a ＋1<.1a 当a ＝1时，＝0，(a －1)(a 2＋1)a 所以a 2－a ＋1＝.1a当1<a <2时，>0，(a －1)(a 2＋1)a 所以a 2－a ＋1>.1a 综上所述：当0<a <1时，a 2－a ＋1<.1a 当a ＝1时，a 2－a ＋1＝.1a 当1<a <2时，a 2－a ＋1>.1a。
高考数学23题不等式多种题型及解法
高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学中的不等式题型占据了相当重要的比重，其中第23题更是被认为是难度较高的题目之一。
不同的不等式类型呈现多种解法，本文将以该题为例，分别探讨不同类型不等式的解法。
1. 绝对值不等式第23题题干如下：若$x+y+z=1$，那么$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$最大值为多少？解法：显然这是一个求最值的问题，用$M\leq\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})}$来解决本题。
2. 平均数不等式第23题变形如下：设$a,b,c$是正数，且满足$abc=(1-a)(1-b)(1-c)$，求最大值：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$解法：根据平均数不等式，得到：$$9(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$$即：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$ 3. 夹逼定理第23题变形如下：对所有的正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$解法：通过夹逼定理，得到：$$2n\sqrt{n}<2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}<2n\sqrt{n+1}$$ 即：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$4. 柯西不等式第23题变形如下：对于任意正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}<\frac{2}{\sqrt{n+ 1}}$$解法：通过柯西不等式，得到：$$\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)(n+1+n+2+...+ 2n)\geq (\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+...+\sqrt{2n})^2$$即：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}\geq\frac{2}{\sqrt{n+1}}$$结语：高考数学中的不等式题型固然需要掌握多种解法，但更需要在平时的学习中悉心积累、勤于实践。
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 23 填空题解题方法与技巧(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B)＝_________. 【解析】因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}， 所以A ∪B ＝{1,3,4}， 因为全集U ＝{1,2,3,4}， 所以∁U (A ∪B)＝{2}． 【答案】{2}2．已知复数z ＝1－i2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．【解析】z ＝1－i 2i ＝i 1－i 2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12.【答案】－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．【解析】设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8.【答案】84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．【解析】由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.【答案】55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________． 【解析】从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13.【答案】136．设x ∈R ，则p ：“log 2x<1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)【解析】由log 2x<1，得0<x<2，由x 2－x －2<0可得－1<x<2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．【解析】由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.【答案】58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________． 【解析】由题意q≠1，设等比数列的公比为q(q≠1)， 由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q －5(1＋q)＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31.【答案】319.已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x<π)，且f(α)＝f(β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 【解析】由0≤x<π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f(α)＝f(β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 【答案】7π610．不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－12]∪[12，＋∞)【解析】由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f(x)＝4－x 2，g(x)＝kx －1，显然函数f(x)和g(x)的定义域都为[－2,2]．令y ＝4－x 2，两边平方得x 2＋y 2＝4，故函数f(x)的图象是以原点O 为圆心，2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分．而函数g(x)的图象是直线l ：y ＝kx －1在[－2,2]内的部分，该直线过点C(0，－1)，斜率为k. 如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点，可知k 的几何意义就是半圆上的点与点C(0，－1)连线的斜率．由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故k AC ＝0－－1－2－0＝－12，k BC ＝0－－12－0＝12.要使直线和半圆有公共点，则k≥12或k≤－12.所以k 的取值范围为(－∞，－12]∪[12，＋∞)．11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6，则B ＝________.【答案】π3【解析】由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋ac 2bc ＝a ＋c 2b ＝32，∴a ＋c ＝3b ，由正弦定理得：sinA ＋sinC＝3sinB ，又C ＝5π6－B ，∴sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－B ＝3sinB ，即12＋12cosB ＋32sinB ＝3sinB ，即12cosB －32sinB ＝cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－12，∴B ＋π3＝2π3，B ＝π3. 12．a ＝ln 12012－12012，b ＝ln 12013－12013，c ＝ln 12014－12014，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】a>b>c【解析】令f(x)＝lnx －x ，则f ′(x)＝1x －1＝1－x x .当0<x<1时，f ′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数． ∵1>12012>12013>12014>0，∴a>b>c. 13.如图，已知球O 的球面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【答案】6π【解析】如图，以DA 、AB 、BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD|＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.14．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx 的最大值为________．【答案】3＋22【解析】设yx ＝k ，则可转化为直线kx －y ＝0与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点时k 的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d≤r)解决．15.已知P(x ，y)是椭圆x 216＋y 29＝1上的一个动点，则x ＋y 的最大值是________．【答案】5【解析】令x ＋y ＝t ，则问题转化为直线x ＋y ＝t 与椭圆有公共点时，t 的取值范围问题． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 29＝1y ＝－x ＋t 消去y 得，25x 2－32tx ＋16t 2－144＝0， ∴Δ＝(－32t)2－100(16t 2－144)＝－576t 2＋14400≥0， ∴－5≤t≤5，∴x ＋y 的最大值为5.16．已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________． 【答案】[6，＋∞)【解析】∵a 、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4m －12≥0，m>0，m ＋3>0.解得m≥6，即a ＋b≥6，故a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．17.已知x>0，比较x 与ln(1＋x)的大小，结果为________． 【答案】x>ln(1＋x)【解析】解法一：令x ＝1，则有1>ln2， ∴x>ln(1＋x)．解法二：令f(x)＝x －ln(x ＋1)． ∵x>0，f′(x)＝1－11＋x ＝x 1＋x >0，又因为函数f(x)在x ＝0处连续， ∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 从而当x>0时，f(x)＝x －ln(1＋x)>f(0)＝0. ∴x>ln(1＋x)．解法三：在同一坐标系中画出函数y ＝x 与y ＝ln(1＋x)的图象，可见x>0时，x>ln(1＋x)．18．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值为________．【答案】2【解析】将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM ，过点O 作ON ⊥CM 于N ，则ON ⊥平面ABC ．∴OM 与平面ABC 所成的角是∠OMC ．在Rt △OMC 中，tan ∠OMC ＝OC OM ＝OC22OC ＝2，即OM 与平面ABC 所成角的正切值为 2.19．sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α的值等于________． 【答案】12【解析】问此式的“值”等于多少？隐含此结果与α无关，于是不妨对α进行特殊化处理．不妨取α＝0°，则sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α＝14＋14－0＝12.20．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________．【答案】1【解析】依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a 5＝5，a 3＝9满足条件．可求得S 9＝S 5＝45，故S 9S 5＝1.21．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lnx －x 2＋2x x>02x ＋1 x≤0的零点个数为________个．【答案】3【解析】依题意，在x>0时可以画出y ＝lnx 与y ＝x 2－2x 的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．22.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．【答案】212【解析】a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33. 所以a n n ＝33n ＋n －1，设f(x)＝33x ＋x －1(x>0)，令f ′(x)＝－33x 2＋1>0，则f(x)在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f(x)有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.23．已知函数f(x)＝(2x ＋1)e x ，f′(x)为函数y ＝f(x)的导函数，则f′(0)＝________． 【解析】∵f(x)＝(2x ＋1)e x ， ∴f′(x)＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， ∴f′(0)＝3e 0＝3. 【答案】324．在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．【解析】由题意，以AB 为直径的圆过坐标原点O(0，0)，当O(0，0)到直线2x ＋y －4＝0距离为圆的直径时，圆C 的面积最小． 由点到直线的距离2r ＝|2×0＋0－4|22＋12＝45，因此r ＝25，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.【答案】4π525．若函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f(2)＝________． 【解析】∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2， 又f(2)＝f(0)＝0，因此f ⎝⎛⎭⎫－52＋f(2)＝－2＋0＝－2. 【答案】－226．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．【解析】用正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．【答案】①②④27．如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．【解析】∵S 扇形＝2×12×12×π4＋14×π×12＝π2，∴S M ＝12×2×2－S 扇形＝2－π2，∴所求概率为P ＝2－π22＝1－π4.【答案】1－π428．知函数f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】由题意可以画出函数f(x)在[－3，4]上的图象，如图所示，函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点，即y ＝f(x)与y ＝a 有10个交点，由图可知实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.【答案】⎝⎛⎭⎫0，12 29．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b)⊥(a －2b)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．【解析】由(a ＋2b)⊥(a －2b)，得(a ＋2b)·(a －2b)＝0，即|a|2－4|b|2＝0，则|a|＝2|b|， cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b)·(a －b) |a ＋b||a －b|＝a 2－b 2a 2＋2a·b ＋b 2·a 2－2a·b ＋b 2＝3b 221b 2＝217. 【答案】21730．已知函数f(x)＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，f(x 0)≤0，则实数t 的取值范围为________．【解析】若t ＜0，令x ＝1t ，则f ⎝⎛⎭⎫1t ＝e 1t －1－1＜1e －1＜0；若t ＝0，f(x)＝e x －1＞0，不合题意；若t ＞0，只需f(x)min ≤0，求导数，得f′(x)＝e x －1－t ，令f′(x)＝0，解得x ＝ln t ＋1.当x ＜ln t ＋1时，f′(x)＜0，f(x)在区间(－∞，ln t ＋1)上是减函数；当x ＞ln t ＋1时，f′(x)＞0，f(x)在区间(ln t ＋1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x ＝ln t ＋1处取得最小值f(ln t ＋1)＝t －t(ln t ＋1)＝－tln t ．所以－tln t≤0，由t ＞0，得ln t≥0，所以t≥1，综上，t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪[1，＋∞)31．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d≠0，且a 2，a 5，a 9依次成等比数列，则使a 1＋a 2＋…＋a k ＞100a 1的最小正整数k 的值是________．【解析】设数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d ，a 9＝a 1＋8d. 由a 2，a 5，a 9依次成等比数列得a 2a 9＝a 25， 即(a 1＋d)(a 1＋8d)＝(a 1＋4d)2， 化简上式得 a 1d ＝8d 2， 又d ＞0，所以a 1＝8d.所以a 1＋a 2＋…＋a ka 1＝a 1k ＋k(k －1)2da 1＝k ＋k(k －1)16＞100，k ∈N *，解得k min ＝34.【答案】34 32．抛物线y 2＝2px(p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2,0)，而双曲线的另一个焦点为F 1，抛物线和双曲线交于点B ，C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是________．【解析】由题意，抛物线方程为y 2＝8x ，且a 2＋b 2＝4，设B(x 0，y 0)，C(x 0，－y 0) (x 0＞0，y 0＞0)．则可知∠BF 1C 为直角，△BCF 1是等腰直角三角形，故y 0＝x 0＋2，y 20＝8x 0，解得x 0＝2，y 0＝4，将其代入双曲线方程得4a 2－16b 2＝1.再由a 2＋b 2＝4，解得a ＝22－2，所以e ＝222－2＝2＋1.【答案】2＋133．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C ，则cos Acos Bcos C＝________.【解析】由题意及正弦定理得tan A 2＝tan B 3＝tan C6，可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C ，于是k ＝116，从而cos Acos Bcos C ＝320×215×112＝110. 【答案】11034．已知函数f(x)＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f(x)最大值是________．【解析】法一：当x ＝0时，原式值为0；当x≠0时，由f(x)＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3＝2x ＋7＋6x x ＋4＋3x ，令t ＝2x ＋7＋6x ，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f(x)＝g(t)＝2t t 2＋1＝2t ＋1t .而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f(x)≤12.即f(x)的最大值为12.法二：f(x)＝2x(x 2＋4x ＋3)－x 2x 2＋4x ＋3＝2x x 2＋4x ＋3－⎝⎛⎭⎫x x 2＋4x ＋32， 于是令t ＝xx 2＋4x ＋3，所求的代数式为y ＝2t －t 2.当x ＝0时，t ＝0；当x≠0时，有t ＝1x ＋4＋3x ≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝ 3.【答案】1235．已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z －2＋az ＝0，则|z ＋a |＝________.【解析】由题意得z －＝1＋3i ，所以z －2＋az ＝－2＋23i ＋a －a 3i ＝(a －2)－(a －2)3i ＝0，所以a ＝2，则|z ＋a |＝|1－3i ＋2|＝32＋(3)2＝2 3.【答案】2336．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________；f (－t )＝________. 【解析】因为函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)，所以f (π)＝π2sin π＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1.设g (x )＝x 2sin x ，则易得函数g (x )为奇函数，又因为f (t )＝g (t )＋1＝2，所以g (t )＝1，g (－t )＝－g (t )＝－1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.【答案】1 037．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则a n ＝________，T n ＝________.【解析】由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n －1)＝3n－1，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，则T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 【答案】3n －1 23(4n －1) 38．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为________；体积为________．【解析】由三视图知，该几何体为长、宽、高分别为2,2,3的长方体挖去同底等高的正四棱锥后所得．因为四棱锥的侧棱长为32＋(2)2＝11，所以四棱锥的侧面高为(11)2－12＝10，所以该几何体的表面积S ＝22＋4×2×3＋4×12×2×10＝28＋410，体积V ＝22×3－13×22×3＝8. 【答案】28＋410 839．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x 2 017，则各项系数之和为________，a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．【解析】令x ＝1，则各项系数之和为(1－2×1)2 017 ＝－1.令x ＝0得a 0＝(1－2×0)2 017＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017a2 017＝－a 0＝－1. 【答案】－1 －140．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________．【解析】因为x ，y 为正实数，所以由xy ＋2x ＋3y ＝42得y ＝42－2x x ＋3>0，所以0<x <21，则xy ＋5x ＋4y ＝x (42－2x )x ＋3＋5x ＋4(42－2x )x ＋3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋3＋16x ＋3＋31≥3×2 (x ＋3)·16x ＋3＋31＝55，当且仅当x ＋3＝16x ＋3，即x ＝1时等号成立，所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55.【答案】5541．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎡⎦⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．【解析】如图①，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图②中，由旋转的性质易得点A 在以点O 为圆心，AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132，当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102，则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62，则易得△OEA 2是以O 为顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理易得cos ∠EOA 1＝－12，所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角为∠A 1OA 2＝30°的圆弧，所以轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.【答案】312π。
【人教A版】2020年高考数学二轮复习《不等式选讲》讲义案及基础题型精讲卷
(| x 5 | | x 3 |)min 8 , 要 使 | x 5 | | x 3 | a 无 解 , 只 需 a 8 . 故 实 数 a 的 取 值 范 围 是
(,8] .
4.已知函数 f (x) | 2x 1| | 2x a | , g(x) x 3.
（1） a2 b2 2ab （当且仅当等号成立条件为 a b ）
a 0,b 0, a b 2 ab
（2）
2
（当且仅当等号成立条件为 a b ）；
a 0,b 0, c 0, a b c 3 abc
3
（当且仅当 a b c 时等号成立）
（3）柯西不等式
（合成后为必要条件） 2.同解变形
（1） a b a c b c ；
（2） a b c 0, ac bc c 0, ac bc ；
ab0 1 10 a b 0
（3）
ba
.
（变形后为充要条件）
3.作差比较法
a b a b 0, a b a b 0
以 3 a 1 3 ,所以 2 a 4 .
x2 x | a 1 | | a | 0
3.已知 a R ，关于 x 的方程
4
有实根，求 a 的取值范围.
x2 x | a 1 | | a | 0
解析 方程
4
有实根,
则
1
4
a
1 4
a
解析
（1）因为
3 2
A,
且
1 2
A
|
，所以
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题13 不等式选讲(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题13 不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破. 【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑ni ＝1a 2i )(∑ni ＝1b 2i )≥(∑ni ＝1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．【复习要求】（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：① ;b a b a +≤+② ;b c c a b a -+-≤-（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c b ax ≤+ c b ax ≥+ a b x c x ≥-+-（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。
2020高考数学二轮复习寒假作业二十三小题限时保分练__郑州质检试题节选注意命题点分布文
寒假作业(二十三) 小题限时保分练——郑州质检试题节选(注意命题点分布)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |－1≤x ≤1}D ．∅解析：选A 依题意得A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}． 2．已知向量a ＝(－2，－3)，b ＝(λ，2)，若(a ＋b )⊥a ，则λ等于( ) A.12 B.72 C ．－12D ．－72解析：选B 依题意得(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，即13－2λ－6＝0，解得λ＝72.3．若1＋tan α1－tan α＝2，则cos 2α＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选A 依题意得1＋tan α＝2－2tan α，tan α＝13，cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝45. 4．复数z ＝1－3i3＋i 的虚部为( )A.12iB.12 C ．－iD ．－1解析：选D 依题意得，复数z ＝1－3i 3＋i ＝－i 2－3i 3＋i＝－i 3＋i 3＋i＝－i ，所以z 的虚部是－1.5．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )A.176升B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：选A 设自上而下各节的容积构成等差数列{a n }，则自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.6．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线与直线3x －2y ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 依题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x ，于是有3a ＝32，解得a ＝2.7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 依题意，结合题中的程序框图，注意到sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＝3＋32<3，sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＝32＋3>3，因此输出的n 的值为5.8．设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则m －n 的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 3C. 3D. 2解析：选 A 依题意得，圆心(0,0)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离等于圆的半径1，于是有2m ＋12＋n ＋12＝1，即(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝4，设m ＋1＝2cos θ，n ＋1＝2sin θ，则m －n ＝(m ＋1)－(n ＋1)＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤22，当且仅当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时取等号，因此m －n 的最大值是22，选A.9．若x >y >0,1>z >0，则下列结论正确的是( ) A ．log y z >log x z B ．x z<y zC ．log z y >log z xD ．z y<z x解析：选C 依题意，对于A ，注意到当x ＝4>y ＝2，z ＝12时，log y z ＝－1<log x z ＝－12，因此A 不正确；对于B ，当x ＝4>y ＝2，z ＝12时，x z ＝2>y z＝2，因此B 不正确；对于C ，注意到此时函数f (t )＝log z t 在(0，＋∞)上单调递减，因此有log z y >log z x ，因此C 正确；对于D ，注意到此时函数g (t )＝z t在(－∞，＋∞)上单调递减，因此有z y>z x，选项D 不正确．综上所述，选C.10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3C ．5π D.55π6解析：选D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，∴球半径为R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＝1＋14＝54，∴该球的体积V ＝43πR 3＝55π6. 11．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵0<x <π2，∴0<sin x <1，故x sin 2x <x sin x ，若“x sin x <1”，则“x sin 2x <1”，若“x sin 2x <1”，则x sin x <1sin x ，1sin x>1，此时x sin x <1可能不成立．由此可知，“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[m －2，m ]，不等式f (x ＋m )－9f (x )≤0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4,0)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)解析：选D 依题意，函数f (x )在R 上单调递增，且当x ∈[m －2，m ]时，f (x ＋m )≤9f (x )＝f (3x )，所以x ＋m ≤3x ，x ≥m 2恒成立，于是有m2≤m －2，解得m ≥4，即实数m 的取值范围是[4，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分)13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝5，cos A ＝45，在△ABC 内任取一点P ，则△PAB 面积大于1的概率为________．解析：依题意，sin A ＝35，作CD ⊥AB 于D ，则有CD ＝AC ·sin A＝3，在线段CD 上取点E ，使得DE ＝1，过点E 作AB 的平行线与边AC 交于点M ，与边BC 交于点N ，当点P 位于线段MN 上时，△PAB 的面积为1.由MN ∥AB ，得MN AB ＝CE DC ＝23，则MN ＝43，因此，要使△PAB 的面积大于1，相应的点P 应位于△CMN 内，故所求的概率P ＝S △CMN S △ABC ＝12×43×23＝49.答案：4914．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －4y ＋1的最小值是________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x －4y ＝0，平移该直线，当该直线经过平面区域内的点(1,0)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时x－4y 取得最大值1－4×0＝1，z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －4y ＋1＝14，所以z 的最小值是14.答案：1415．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是________．解析：由三视图可知此几何体是如图所示的四棱锥，底面是对角线长为2的正方形，顶点E 在底面的射影落在点A ，高为2，EC 的中点O 为外接球的球心．因为△EBC ，△EDC ，△EAC 都是直角三角形，所以点O 到顶点的距离都等于12EC ，根据勾股定理，得EC ＝22，即外接球的半径R ＝2，所以其体积V ＝43πR 3＝82π3.答案：82π316．给出下列命题：①实验测得四组数据(x ，y )的值为(1,2.1)，(2,2.8)，(3,4.1)，(4,5)，则y 与x 的回归直线方程为y ＝2x ＋1；②函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )＝2sin 3x 的图象； ③当x ∈[0,1]时，函数y ＝x 1－x 2的最大值为12；④幂函数f (x )的图象经过点A (4,2)，则它在A 点处的切线方程为x －4y ＋4＝0. 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，注意到x ＝14×(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14×(2.1＋2.8＋4.1＋5)＝3.5，样本点的中心(2.5,3.5)不在直线y ＝2x ＋1上，因此①不正确；对于②，将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向右平移π4个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin(3x －π)＝－2sin 3x 的图象，因此②不正确；对于③，注意到当x ∈[0,1]时，y ＝x 1－x 2＝x21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，x ∈[0,1]，即x ＝22时取等号，因此y ＝x 1－x 2的最大值为12，③正确；对于④，设f (x )＝x α，则有f (4)＝4α＝22α＝2，α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x －12，f ′(4)＝12×4－12＝14，因此函数f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －2＝14(x －4)，即x －4y ＋4＝0，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.答案：③④。
冲刺2020年高考满分数学32不等式选讲(学生版)理科
专题32 不等式选讲（原卷版）易错点1：含绝对值不等式的解法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法．易错点2：不等式的证明(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中,适当“放”“缩”是常用的推证技巧．易错点3：柯西不等式的应用(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．题组一1. （2019全国II 理23）已知（1）当时,求不等式的解集；（2）若时,,求的取值范围.()|||2|().f x x a x x x a =-+--1a =()0f x <(,1)x ∈-∞()0f x <a2．(2018全国卷Ⅱ) 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时,求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ,求a 的取值范围．3．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时,求不等式()6f x ≤的解集；题组二4．(2018全国卷Ⅰ)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立,求a 的取值范围．5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++,()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,求a 的取值范围．题组三6．(2018全国卷Ⅲ)设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时,()f x ax b +≤,求a b +的最小值．7．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集．题组四8．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空,求m 的取值范围． 9．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--,0a >．（Ⅰ）当1a =时,求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围．10．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <,求a 的取值范围．题组五11．（2013新课标1）已知函数=,=.（Ⅰ）当=-2时,求不等式＜的解集；（Ⅱ）设＞-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围. 12．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时,求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -…的解集包含]2,1[,求a 的取值范围．13．（2011新课标）设函数,其中．（Ⅰ）当时,求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为 ,求a 的值．题组六14.（2019全国I 理23）已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1．证明： （1）； ()f x |21||2|x x a -++()g x 3x +a ()f x ()g x a x 2a -12()f x ()g x a ()3f x x a x =-+0a >1a =()32f x x ≥+()0f x ≤{}|1x x ≤-222111a b c a b c++≤++（2）． 15.（2019全国III 理23）设,且.（1）求的最小值； （2）若成立,证明：或. 16．（2017新课标Ⅱ）已知0a >,0b >,332a b +=,证明：(1)55()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．17．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+,证明： （Ⅰ）若ab >cd ,>>||||a b c d -<- 的充要条件．18．（2014新课标1）若0,0a b >>,且11a b+=． (Ⅰ) 求33a b +的最小值； （Ⅱ）是否存在,a b ,使得236a b +=？并说明理由．19．（2013新课标2）设均为正数,且,证明：（Ⅰ） （Ⅱ） 333()()()24a b b c c a +++≥++,,x y z ∈R 1x y z ++=222(1)(1)(1)x y z -++++2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥3a ≤-1a ≥-,,a b c 1a b c ++=13ab bc ca ++≤2221a b c b c a++≥20．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ； （II ）证明：当a ,b M ∈时,1a b ab +<+．。
2020版高考数学大二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲限时规范训练理
第二讲 不等式选讲1．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解析：(1)a ＝1时，f (x )≥3x ＋2， 即|x －1|≥2，解得x ≥3成x ≤－1. 故不等式的解集是{}x | x ≥3或x ≤－1. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥ax －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a－(x －a )＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x ≤a4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式的解集为{x |x ≤－a2}， 由题意得－a2＝－1，故a ＝2.2．(2019·浉河区校级月考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2.求证： (1)a b ＋b a ≤2； (2)2≤a 2＋b 2<16.证明：(1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝2， ∴2≥2ab >0，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，∴0<ab ≤1，∴a b ＋b a ＝ab (a ＋b )＝2ab ≤2. (2)∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，∴a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ，∴a 2＋b 2＝16－16ab ＋4ab －2ab ＝2ab －16ab ＋16＝2(ab －8ab ＋16)－16＝2(ab －4)2－16＝2(4－ab )2－16，∵0<ab ≤1， ∴3≤4－ab <4，∴9≤(4－ab )2<16， ∴2≤2(4－ab )2－16<16， 故2≤a 2＋b 2<16.3．(2019·烟台一模)已知函数f (x )＝|2x －1|－m |x ＋2|. (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若存在实数m 使得不等式f (x －2)>m 在x ∈[－1,1]恒成立，求m 的取值范围． 解析：(1)当m ＝1时，|2x －1|－|x ＋2|≥2，当x ≤－2时，原不等式转化为1－2x ＋x ＋2≥2，解得x ≤－2； 当－2<x ≤12时，原不等式转化为1－2x －x －2≥2，解得－2<x ≤－1；当x >12时，原不等式转化为2x －1－x －2≥2，解得x ≥5；综上，不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥5}．(2)由已知得：f (x －2)＝|2x －5|－m |x |>m ，即m <|2x －5||x |＋1.设g (x )＝|2x －5||x |＋1，x ∈[－1,1]，由题意m <g (x )min .当x ∈[0,1]时，g (x )＝－2x ＋5x ＋1＝－2＋7x ＋1为减函数，此时最小值为g (1)＝32；当x ∈[－1,0)时，g (x )＝－2x ＋5－x ＋1＝2－3x －1为增函数，此时最小值为g (－1)＝72.又32<72，所以g (x )min ＝32. 所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <32. 4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，求a 的取值范围． 解析：(1)因为函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|， 故f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－(3－2x )≥1，①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－(3－2x )≥1，②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－(2x －3)≥1.③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32.综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max . ∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4，∴f (x )max ＝4. ∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|， 故g (x )min ＝|a ＋1|.∴|a ＋1|≥4，解得a ≥3或a ≤－5. 故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}． 5．(2019·南昌模拟)设函数f (x )＝|2x －3|. (1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值． 解析：(1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5，∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2；当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，∴－2<x <0；当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2.综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |.∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解析：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23.由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
高考数学二轮复习寒假作业二十三不等式选讲注意解题的准度理38
寒假作业(二十三) 选修4－5 不等式选讲(注意解题的准度)1．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若a ＝1，解不等式：f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n＝a (m >0，n >0)，求mn 的最小值． 解：(1)当a ＝1时，不等式为|x －1|≥4－|x －1|，即|x －1|≥2，∴x －1≥2或x －1≤－2，即x ≥3或x ≤－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)f (x )≤1⇔|x －a |≤1⇔－1≤x －a ≤1⇔a －1≤x ≤a ＋1，∵f (x )≤1的解集为[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝2，得a ＝1.∴1m ＋12n ＝1≥212mn (m >0，n >0)， ∴mn ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当1m ＝12n ＝12，即m ＝2，n ＝1时取等号. ∴mn 的最小值为2.2．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc .(1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；(2)若t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围．解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数，得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ，所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 所以t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )．由于a 4＋c 4≥ 2ac, b 4＋d 4≥ 2bd ， 又已知t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝ a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥ 2(ac ＋bd )，故t ≥ 2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号． 所以实数t 的取值范围为[2，＋∞)．3．(2017·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R.(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解：(1)由f (x )≤2－|x －1|，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1. 而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1， 即0≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[0,4]．(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a <2，即a 2<1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1，x <a 2，x －a ＋1，a 2≤x ≤1，3x －a －1，x >1.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3， 得a ＝－4<2(符合题意)，故a ＝－4.4．(2017·洛阳统考)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x >12，函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立． ∵1a ＋4b≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立， ∴|2x －1|－|x ＋1|≤3，结合图象知－1≤x ≤5，∴x 的取值范围是[－1,5]．。
高考数学二轮复习寒假作业二十一不等式选讲注意解题的准度文65.doc
寒假作业(二十一) 选修4－5 不等式选讲(注意解题的准度)1．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若a ＝1，解不等式：f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n＝a (m >0，n >0)，求mn 的最小值． 解：(1)当a ＝1时，不等式为|x －1|≥4－|x －1|，即|x －1|≥2，∴x －1≥2或x －1≤－2，即x ≥3或x ≤－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)f (x )≤1⇔|x －a |≤1⇔－1≤x －a ≤1⇔a －1≤x ≤a ＋1，∵f (x )≤1的解集为[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝2，得a ＝1.∴1m ＋12n ＝1≥212mn (m >0，n >0)， ∴mn ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当1m ＝12n ＝12，即m ＝2，n ＝1时取等号. ∴mn 的最小值为2.2．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc .(1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；(2)若t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围．解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数，得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ，所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 所以t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )．由于a 4＋c 4≥ 2ac, b 4＋d 4≥ 2bd ， 又已知t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝ a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥ 2(ac ＋bd )，故t ≥ 2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号． 所以实数t 的取值范围为[2，＋∞)．3．(2017·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R.(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解：(1)由f (x )≤2－|x －1|，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1. 而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1， 即0≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[0,4]．(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a <2，即a 2<1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1，x <a 2，x －a ＋1，a 2≤x ≤1，3x －a －1，x >1.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3， 得a ＝－4<2(符合题意)，故a ＝－4.4．(2017·洛阳统考)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x >12，函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立． ∵1a ＋4b≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立， ∴|2x －1|－|x ＋1|≤3，结合图象知－1≤x ≤5，∴x 的取值范围是[－1,5]．。
高考数学二轮复习寒假作业二十一不等式选讲注意解题的准度文
寒假作业(二十一) 选修4－5 不等式选讲(注意解题的准度)1．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若a ＝1，解不等式：f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n＝a (m >0，n >0)，求mn 的最小值． 解：(1)当a ＝1时，不等式为|x －1|≥4－|x －1|，即|x －1|≥2，∴x －1≥2或x －1≤－2，即x ≥3或x ≤－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)f (x )≤1⇔|x －a |≤1⇔－1≤x －a ≤1⇔a －1≤x ≤a ＋1，∵f (x )≤1的解集为[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝2，得a ＝1.∴1m ＋12n ＝1≥212mn (m >0，n >0)， ∴mn ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当1m ＝12n ＝12，即m ＝2，n ＝1时取等号. ∴mn 的最小值为2.2．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc .(1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；(2)若t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围．解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数，得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ，所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 所以t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )．由于a 4＋c 4≥ 2ac, b 4＋d 4≥ 2bd ， 又已知t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝ a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥ 2(ac ＋bd )，故t ≥ 2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号． 所以实数t 的取值范围为[2，＋∞)．3．(2017·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R.(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解：(1)由f (x )≤2－|x －1|，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1. 而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1， 即0≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[0,4]．(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a <2，即a 2<1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1，x <a 2，x －a ＋1，a 2≤x ≤1，3x －a －1，x >1.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3， 得a ＝－4<2(符合题意)，故a ＝－4.4．(2017·洛阳统考)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x >12，函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b＝23时等号成立． ∵1a ＋4b≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立， ∴|2x －1|－|x ＋1|≤3，结合图象知－1≤x ≤5，∴x 的取值范围是[－1,5]．。
2020版高考数学大二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲限时规范训练理
第二讲 不等式选讲1．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解析：(1)a ＝1时，f (x )≥3x ＋2，即|x －1|≥2，解得x ≥3成x ≤－1.故不等式的解集是{}x | x ≥3或x ≤－1.(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a x －a ＋3x ≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a －(x －a )＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式的解集为{x |x ≤－a 2}， 由题意得－a 2＝－1，故a ＝2. 2．(2019·浉河区校级月考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2.求证：(1)a b ＋b a ≤2；(2)2≤a 2＋b 2<16.证明：(1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝2， ∴2≥2ab >0，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，∴0<ab ≤1，∴a b ＋b a ＝ab (a ＋b )＝2ab ≤2.(2)∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，∴a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ，∴a 2＋b 2＝16－16ab ＋4ab －2ab ＝2ab －16ab ＋16＝2(ab －8ab ＋16)－16＝2(ab －4)2－16＝2(4－ab )2－16，∵0<ab ≤1， ∴3≤4－ab <4，∴9≤(4－ab )2<16， ∴2≤2(4－ab )2－16<16，故2≤a 2＋b 2<16.3．(2019·烟台一模)已知函数f (x )＝|2x －1|－m |x ＋2|.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若存在实数m 使得不等式f (x －2)>m 在x ∈[－1,1]恒成立，求m 的取值范围． 解析：(1)当m ＝1时，|2x －1|－|x ＋2|≥2，当x ≤－2时，原不等式转化为1－2x ＋x ＋2≥2，解得x ≤－2；当－2<x ≤12时，原不等式转化为1－2x －x －2≥2， 解得－2<x ≤－1；当x >12时，原不等式转化为2x －1－x －2≥2，解得x ≥5； 综上，不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥5}．(2)由已知得：f (x －2)＝|2x －5|－m |x |>m ，即m <|2x －5||x |＋1.设g (x )＝|2x －5||x |＋1，x ∈[－1,1]，由题意m <g (x )min .当x ∈[0,1]时，g (x )＝－2x ＋5x ＋1＝－2＋7x ＋1为减函数，此时最小值为g (1)＝32； 当x ∈[－1,0)时，g (x )＝－2x ＋5－x ＋1＝2－3x －1为增函数，此时最小值为g (－1)＝72. 又32<72，所以g (x )min ＝32. 所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <32. 4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |.(1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，求a 的取值范围．解析：(1)因为函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，故f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x －1－(3－2x )≥1，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，2x ＋1－(3－2x )≥1，②或⎩⎪⎨⎪⎧ x >32，2x ＋1－(2x －3)≥1.③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32. 综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max .∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4，∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|.∴|a ＋1|≥4，解得a ≥3或a ≤－5.故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}．5．(2019·南昌模拟)设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值．解析：(1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5，∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2； 当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5， 解得x <0，∴－2<x <0；当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2. 综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |.∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 解析：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43， 当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23， 当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立． 所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23. 由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
主题23 不等式选讲(解析版)
2020届高考数学23题对对碰【二轮精品】第三篇主题23 不等式选讲【主题考法】本主题考题形式为解答题，主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想，难度为基础题，分值为10分.【主题考前回扣】1.绝对值不等式的性质定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.(2)利用零点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.4.基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立.定理3：如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥n a1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立.【易错点提醒】1.解绝对不等式时，分类整合考虑不全面致错.2.应用基本不等式求最值时，忽视条件致错,【主题考向】考向一 绝对值不等式的解法【解决法宝】1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解. 例1【2020·四川省三模】已知函数()|21|f x x =+． （1）解不等式：()(2)6f x f x +-； （2）求证：()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-．【分析】（1）代入得()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质，()22(1)22f x af x a +--+，222232323x a x a a a a ++++--+，比较22323,22a a a -++大小即可.【解析】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-， 于是原不等式化为|21||23|6x x ++-，若21x <-，则21(23)6x x ----，解得112x -<-； 若1322x -，则21(23)6x x --+-，解得1322x -； 若32x >，则21(23)6x x ++-，解得322x <．综上所述，不等式解集为{|12}x x -． （2）由已知条件， 对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+．又()22222232232323x a x a aa a a a a ++++-+--=-+，由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以222232323x a x a aa a ++++--+．又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-，于是2232322a a a -++． 所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-．考向二 不等式的证明【解决法宝】1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.例2【2020·武汉一中二模】已知函数()12f x x x =--+. （Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.【分析】(Ⅰ)原问题等价于()1max f x m ≥-.由绝对值三角不等式可得123x x --+≤=，则13m -≤，实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+，即34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).【解析】(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”). 考向三 绝对值不等式有关的最值问题【解决法宝】1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决2.本题分离参数m ，对含绝对值符号的函数g (x )分段讨论，求出g(x)的最大值，进而求出m 的取值范围，优化解题过程.例3【2020甘肃甘南一中期末】设函数()121f x x x =++-．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为a ，且x y z a ++=，求()()22212x y z ++++的最小值．【分析】（1）讨论1x <-，112x ≤≤-，12x >三种情况，分别计算得到答案. （2）计算得到32x y z ++=，再利用均值不等式计算得到答案. 【解析】（1）()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，由33x -≥，解得1x <-； 当112x ≤≤-时，由23x -+≥，解得1x =-； 当12x >时，由33x ≥，解得1x ≥． 所以所求不等式的解集为{1x x ≤-或}1x ≥． （2）根据函数图像知：当12x =时，()min 32a f x ==，所以32x y z ++=． 因为()()212x y z ++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2221221212x y z x y x z y z =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()222312x y z ⎡⎤≤++++⎣⎦，由32x y z ++=，可知()()281124x y z ++++=⎡⎤⎣⎦， 所以()()22227124x y z ++++≥，当且仅当32x =，12y =，12z =-时，等号成立．所以()()22212x y z ++++的最小值为274．【主题集训】1.【2020·深圳高中三月考】已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 （2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a ，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围为[－3，0]．2.【2020辽宁省辽师大附中期中】已知函数()54f x x x =-++ （1）求不等式()12f x ≥的解集； （2）若13()210af x ---≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）原不等式等价于55412x x x >⎧⎨-++≥⎩或()455412x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩，或()4,5412,x x x <-⎧⎨--+≥⎩解得132x ≥或112x ≤- 所以不等式()12f x ≥的解集为111322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 （2）据题意，得135421ax x --++≥+对x R ∀∈成立.又因为()min549x x -++=，所以1-3921a ≥+，解得23a ≥-. 故所求实数a 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3.【2020·四川成都七中二模】已知()1f x x x a =-++()a R ∈. （Ⅰ） 若1a =，求不等式()4f x >的解集； （Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，014()1f x m m+>-，求实数a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）当1a =时，2,1()112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩，1()424x f x x ≥⎧>⇔⎨>⎩，或1124x -<<⎧⎨>⎩，或124x x ≤-⎧⎨->⎩ 2x ⇔>，或2x <-所以不等式()4f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞； （Ⅱ）因为()1()(1)1f x x x a x a x a =-++≥+--=+(0,1)m ∀∈，又[]1414()(1)11m m m m m m+=++--- 4151m m m m-=++-59≥+=（当13m =时等号成立），依题意，(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，有014()1f x m m+>-，则19a +<，解之得108a -<<， 故实数a 的取值范围是(10,8)-.4.【2020·四川省绵阳南山中学三模】设函数()1,f x x x R =-∈. （1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--，123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤， 所以03x ≤≤，故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立，而()()1f x f x x a ≤+-- 101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 5.【2020·四川绵阳南山中学三模】已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． （1）解关于x 的不等式()()1g x f x x ≥--；（2）如果对x R ∀∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围． 【解析】（1）∵函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称， ∴()()22g x f x x x =--=-+，∴ 原不等式可化为212x x -≥，即212x x -≥或212x x -≤-， 解得不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不等式()()1g x c f x x +≤--可化为：212x x c -≤-，即22212x c x x c -+≤-≤-，即()()22210210x x c x x c ⎧+-+≥⎪⎨-+-≥⎪⎩，则只需()()18101810c c ⎧++≤⎪⎨--≤⎪⎩， 解得，c 的取值范围是9,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.6.【2020吉林三模】已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即223x x <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，2x <-或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即5283x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，83x ≥综上：2x ≤或83x ≥， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[],22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，又[],22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-.所以21449a a a a ≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤， 结合24a <≤， 所以1325a <≤， 即a 的取值范围为132,5⎛⎤⎥⎝⎦. 7.【2019届湖南省六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知函数.（1）设，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求实数的值.【解析】（1）时，.当时，即为，解得.当时， ，解得.当时， ，解得. 综上，的解集为.（2）.，由的图象知，，或，8.【2020·广东三月考】已知函数()f x x t =+的单调递增区间为[)2,-+∞. （Ⅰ）求不等式()121f x x +<+的解集M ； （Ⅱ）设,a b M ∈，证明：1a b ab +<+. 【解析】（Ⅰ）依题意得2t =，所以不等式()121f x x +<+化为2121x x ++<+，当2x <-时，原不等式化为2121x x --+<--，0x <，得2x <-，当122x -≤<-时，原不等式化为2121x x ++<--，43x <-，得423x -≤<-.当21x ≥-时，原不等式化为2121x x ++<+，2x >，得2x >.所以，不等式()121f x x +<+的解集{43M x x =<-或}2x >.（Ⅱ）要证明1a b ab +<+，只需证明()222212ab a a a b b b ++>++， 即要证明()22210a ab b --+>， 因为{4,3a b x x ∈<-或}2x >，所以2169a ≥，2169b ≥， 因为()()222222111a b abb ab --+=--+()()22110b a =-->，所以()22210a ab b --+>， 即1a b ab +<+得证.9.【2020·河北石家庄二中月考】已知两个正数,a b 满足22a b +=. （1）求22a b +的最小值；（2）若不等式2411342x x a b ab -+++≥+-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）两个正数a ，b 满足22a b +=，可得22a b =-， 22222244(22)5845()55a b b b b b b +=-+=-+=-+，由0a >，0b >，可得220b ->，即有01b <<， 则当45b =时，22a b +的最小值为45；（2）不等式|24||1|1342x x a b ab -++++-对任意的x ∈R 恒成立，|24||1|1|2|(|2||1|)10|21|14x x x x x x x -+++=-+-++++---+=，当且仅当2x =时取得等号，则|24||1|1x x -+++的最小值为4， 可得3424a b ab +-，又220b a =->，即02a <<，①再由34232(2)(2)4a b ab a a a a +-=+---，化为20a a -，即01a ，② 由①②可得01a <．10.【2020·黑龙江省牡丹江一中月考】设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-. （1）若62f π⎛⎫>⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a≥--+恒成立. 【解析】（1）∵62f π⎛⎫>⎪⎝⎭，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为3143a a a -+->⎧⎨≥⎩，∴4a >当13a <<时，不等式化为(3)(1)413a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解当1a ≤时，不等式化为(3)(1)41a a a -+->⎧⎨≤⎩，∴0a <综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞（2）要证x R ∀∈，1()|3|1f x a a≥--+恒成立 即证x R ∀∈，12sin |1|1x a a≥---+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a-++≥ 又11|1|111a a a a -++≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1|1|12a a-++≥成立，∴原题得证 11.【2020·吉林二模】（已知函数()|1||1|f x ax x =++-. （1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫-⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意. 当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意； 若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞.12.【2020·甘肃月考】已知函数()|||1|f x x a x =++-. （1）当1a =时，求不等式()4f x x ≥+的解集；（2）若不等式2()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）不等式为114x x x ++-≥+，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩， 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. （Ⅱ）()()()min 11f x x a x a =+--=+， 所以211a a +≥- 21,11a a a <-⎧⇔⎨--≥-⎩或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩， 解得a ∈∅或12a -≤≤. 所以实数a 的取值范围是[]1,2-.13.【2020·河南许昌二模】已知函数()31f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足224a b M +=，证明：24a b ab +≥.【解析】（1）()42,12,1324,3x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，不等式()6f x ≤，即1426x x ≤⎧⎨-≤⎩或3246x x ≥⎧⎨-≤⎩或1326x <<⎧⎨≤⎩，即有11x -≤≤或35x ≤≤或13x <<， 所以所求不等式的解集为[]1,5-.（2）()31312f x x x x x =++-≥--+=，2M =， 因为0a >，0b >，所以要证24a b ab +≥，只需证()222216a b a b +≥， 即证22224416a b ab a b ++≥，因为2242a b +=，所以只要证222416ab a b +≥， 即证()28210ab ab --≤，即证()()41210ab ab +-≤，因为410ab +>，所以只需证12≤ab ， 因为22244a b ab =+≥，所以12≤ab 成立， 所以24a b ab +≥.14.【2020·新疆哈密一中期末】设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥．由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞． 15.【2020·湖南长郡中学月考】设函数()|21|f x x =-． （1）若函数()()F x f x ax =+有最小值，求a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()|21|||f x x x m +-+的解集为A ，且3,24A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围．【解析】（1）1(2)1,2()()1(2)1,2a x x F x f x ax a x x ⎧+-⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩，使()F x 有最小值的充要条件为2020a a +⎧⎨-⎩．即[2,2]a ∈-． （2）由题知：|21||21|||x x x m -+-+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．即||21(21)x m x x ++--．即||2x m +在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立． 则22x m -+．故max min (2)(2)x m x ---+． 得1104m -． 故实数m 的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 16.【2020·内蒙通辽二模】已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式()1f x ≤；（2）记函数()f x 的最大值为s ，若(),,0a b c s a b c ++=>，证明：2222223a b b c c a abc ++≥. 【解析】（1）()12f x x x =+--3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩①当1x ≤-时，31-≤恒成立，∴1x ≤-；②当12x -<<时，211x -≤，即1x ≤，∴11x -<≤；③当2x ≥时，31≤显然不成立，不合题意； 综上所述，不等式的解集为(],1-∞. （2）由（1）知max ()3f x s ==， 于是3a b c ++=由基本不等式可得222222a b b c ab c +≥= （当且仅当a c =时取等号）222222b c c a abc +≥ （当且仅当b a =时取等号）222222c a a b a bc +≥=（当且仅当c b =时取等号） 上述三式相加可得()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++（当且仅当a b c ==时取等号）3a b c ++=，∴2222223a b b c c a abc ++≥，故得证.17.【2020·湖南衡阳八中月考】己知0a >，函数()f x x a =-. （1）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（2）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，()()12,13213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，由125x -≤，解得21x -≤<-； 当12x -≤<时，由35≤，解得12x -≤<； 当2x ≥时，由215x -≤，解得23x ≤≤.综上可知，原不等式的解集为{}|23x x -≤≤. （2）()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+.存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，等价于()2max 2g x a a ≥-.又因为2x a x a x a x a a --+≤---=，所以222a a a ≥-，即240a a -≤. 解得04a ≤≤，结合0a >，所以实数a 的取值范围为(]0,4. 18.【2020·黑龙江大庆二模】已知函数()|2||4|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若函数()f x 的图象恒在直线|1|y m =-的上方，求实数m 的取值范围【解析】（1）由26,2()2,2426,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩.若2x ≤时，()264f x x =-+≤，解得12x ≤≤； 若24x <<时，()24f x =≤，解得24x <<； 若4x ≥时，()264f x x =-≤，解得45x ≤≤； 故不等式()4f x ≤的解集为[1,5].（2）由()|(2)(4)|2f x x x ≥---=，有|1|2m -<，得13m -<<， 故实数m 的取值范围为(1,3)-.19.【2020·湖北十堰一中月考】已知函数()|1||42|f x x x =+--. （1）求不等式1()(1)3f x x -的解集； （2）若函数()f x 的最大值为m ，且2(0,0)a b m a b +=>>，求21a b+的最小值. 【解析】（1）5,1,()14233,12,5, 2.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+--=--⎨⎪-+>⎩因为1()(1)3f x x-，故1,15(1)3xx x<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩或12,133(1)3xx x-⎧⎪⎨--⎪⎩或2,15(1),3xx x>⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩解得12x或24x<，故不等式1()(1)3f x x-的解集为[1,4].（2）画出函数图像，根据图像可知()f x的最大值(2)3m f==.因为23(0,0)a b a b+=>>，所以211211221(2)5(225)3333a ba ba b a b b a⎛⎫⎛⎫+=++=++⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b==时，等号成立，故21a b+的最小值是3.20.【2020河南南阳一中期末】已知函数()121f x x x=--+.（1）解不等式()12f x x≥；（2）设()f x的最大值为m，若222ab bc ca m++=，a､b､c+∈R，求a b c++的最小值.【解析】（1）由题意，函数()3,131,113,1x xf x x xx x+<-⎧⎪=---≤<⎨⎪--≥⎩，因为()12f x x ≥，可得1321x x x ⎧+≥⎪⎨⎪<-⎩或131211x x x ⎧--≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或1321x x x ⎧--≥⎪⎨⎪>⎩， 解得267x -≤≤-， 所以不等式解集为：267x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知，当1x =-时，()max 2f x = 所以2m =，可得0a >，0b >，0c >，所以2222222222222222ab bc ca a b b c c a a b c =++≤+++++=++， 所以()23a b c ++≥，即a b c ++≥当且仅当22213a b c ===时取等号， 即a b c ++。
新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测二十三不等式选讲文
专题过关检测（二十三） 不等式选讲1．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )＝(x －1)(x ＋|x －2|)≥0. 所以不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2019·合肥第二次质量检测)已知f (x )＝|3x ＋2|. (1)求f (x )≤1的解集；(2)若f (x 2)≥a |x |恒成立，求实数a 的最大值． 解：(1)由f (x )≤1得|3x ＋2|≤1， 所以－1≤3x ＋2≤1，解得－1≤x ≤－13，所以f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13. (2)f (x 2)≥a |x |恒成立，即3x 2＋2≥a |x |恒成立． 当x ＝0时，a ∈R.当x ≠0时，a ≤3x 2＋2|x |＝3|x |＋2|x |恒成立．因为3|x |＋2|x |≥26⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3|x |＝2|x |，即|x |＝63时等号成立，所以a ≤2 6.综上，知a 的最大值是2 6.3．(2019·安徽考试试题)已知f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋1>f (2x )；(2)若f (m )≤1，f (2n )≤2，求|m －2n －1|的最大值，并求此时实数m ，n 的取值． 解：(1)原不等式等价于|x －2|＋1>2|x －1|，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <1，2－x ＋1>2－2x 或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2－x ＋1>2x －2或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x －2＋1>2x －2，∴－1<x <1或1≤x <53或∅，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. (2)由题意得f (m )＝|m －2|≤1，f (2n )＝|2n －2|≤2，∴|n －1|≤1，∴|m －2n －1|＝|(m －2)－2(n －1)－1|≤|m －2|＋2|n －1|＋1≤4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2时，|m －2n －1|取得最大值4.4．已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5.(2)若|a |>1，且f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，证明：|b |>2. 解：(1)|x －2|＋|x －1|≥5，当x >2时，(x －2)＋(x －1)≥5，x ≥4；当1≤x ≤2时，(2－x )＋(x －1)≥5,1≥5，无解； 当x <1时，(2－x )＋(1－x )≥5，x ≤－1. 综上，不等式的解集为{x |x ≥4或x ≤－1}． (2)证明：f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a⇔|ab －2|>|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a－2⇔|ab －2|>|b －2a | ⇔(ab －2)2>(b －2a )2⇔a 2b 2＋4－b 2－4a 2>0⇔(a 2－1)(b 2－4)>0.因为|a |>1，所以a 2－1>0， 所以b 2－4>0，|b |>2.5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且2a 4b＝2. (1)求2a ＋1b的最小值；(2)若存在a ，b ∈(0，＋∞)，使得不等式|x －1|＋|2x －3|≥2a ＋1b成立，求实数x 的取值范围．解：(1)由2a 4b＝2可知a ＋2b ＝1， 又因为2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝4b a ＋ab＋4，由a ，b ∈(0，＋∞)可知4b a ＋ab＋4≥24b a ·ab＋4＝8，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以2a ＋1b的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x －1|＋|2x －3|≥8，①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋(3－2x )≥8，所以x ≤－43.②⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32，x －1＋3－2x ≥8，无解，③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x －1＋2x －3≥8，所以x ≥4.综上，实数x 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[4，＋∞)． 6．(2020届高三·河北九校第二次联考)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>2；(2)记函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|<g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1，于是得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x >2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x >2，解得x <－23或0<x <1或x ≥1.故不等式f (x )>2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23或x >0.(2)g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1|＋(|2x ＋1|＋|2x －1|)≥|(x －1)－(x ＋1)|＋|(2x ＋1)－(2x －1)|＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x ＋1)≤0，(2x －1)(2x ＋1)≤0，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时取等号，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|<g (x )恒成立，则|k －1|<g (x )min ＝4， 所以－4<k －1<4，解得－3<k <5，即实数k 的取值范围为(－3,5)． 7．(2019·广州调研)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R)．(1)当a ＝2时，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≥1； (2)设不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12⊆M ，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3， ①当x ≤13时，1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13<x <2时，3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x <2；③当x ≥2时，3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}．(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ， 依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上恒成立， 所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.8．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)·(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)]≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23.由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
2020届高考理数复习常考题型大通关(全国卷)： 不等式选讲
第23题 不等式选讲1、已知函数()()2,1f x a a g x x =+=-．（Ⅰ）若()()2f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()12.f x x x =+-（1）求不等式()6f x ≤-的解集（2）若()f x 的图像与直线y a =围成图形的面积不小于14,求实数a 的取值范围.3、设函数()213f x x x =--+．（Ⅰ）解不等式()0f x >；（Ⅱ）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围．4、【选修4-5：不等式选讲】已知函数()121f x x x =++-．（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图像最低点为(),m n ，正数a ，b 满足2ma nb +=，求21a b+的取值范围．5、[选修4-5：不等式选讲](10分） 已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 6、已知函数()224f x x x =-++（1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 最小值为a ，且()20,0m n a m n +=>>，求211m n++的最小值. 7、设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．8、已知关于x 的不等式()110ax ax a a -+-≥>（1）当 1a =时,求此不等式的解集;（2）若此不等式的解集为R,求实数a 的取值范围9、已知关于x 的不等式2|1()x m m -≤∈|R 的解集为[0,1].（1）求m 的值；（2）若,,a b c 均为正数，且a b c m ++=，求111313131a b c +++++的最小值. 10、已知函数()4,f x x a x a =-+∈R .(1)若不等式2()f x a …对x ∀∈R 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设实数m 为(1)中a 的最大值,若实数,,x y z 满足42,x y z m ++=求222()x y y z +++的最小值.答案以及解析1答案及解析： 答案：Ⅰ）函数()()2,1f x x a g x x =+=-．()()2221f x g x x a x +=++-()22222x a x a x a x =++-≥+--21a =+=，解得1a =-或3a =-； （Ⅱ）1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()1f x g x +<，即：211x a x ++-<，可得：211x a x ++-<，∴2x a x +<．∴3a x a -<<-， 不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 即：132a -<且1a ->，∴312a -<<-.实数a 的取值范围：3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 解析：2答案及解析：答案：（1）1,1,()12{31,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-=+-=+-≤≤->则不等式()6f x ≤-等价于1,{16x x <--≤-或10,{316x x -≤≤+≤-或0,{16,x x >-≤- 得5x ≤-或7x ≥故不等式()6f x ≤-的解集为{|5x x ≤-或7}x ≥（2）作出函数()f x 的图象,如图.若()f x 的图象与直线y a =围成的图形是三角形,则当2?a =-时,ABC ∆的面积取得最大值14362⨯⨯=,()f x ∴的图象与直线y a =围成图形的面积不小于1414,该图形一定是四边形,即 2.a <-ABC ∆的面积是6,∴梯形ABED 的面积不小于8?∵4,(1,),(1,),2,AB D a a E a a DE a =+-=-21(42)(2)1468,12.2a a a ∴⨯-⨯--≥-=≥ 又2,a <-则23,a ≤-故实数a 的取值范围是(,23].-∞-解析：3答案及解析：答案：（Ⅰ）解法一：当12x ≥时，()21(3)40f x x x x =--+=->，解得4x >； 当132x -≤<时,()21(3)320f x x x x =-+-+=-->，解得233x -≤<-； 当3x <-时，()21(3)40f x x x x =-+++=-+>，解得3x <-，综上,原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x > ； 解法二：()0f x >213x x ⇔->+，两边平方整理得，231080x x -->，解得23x <-或4x >，所以，原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x >； （Ⅱ）()332123|21(26)|7f x x x x x x ++=-++≥--+=，当132x -≤≤时等号成立，所以7a ≤ ．故实数a 的取值范围为(,7]-∞．解析：4答案及解析：答案：（1）当1x ≤-时，()313f x x =-+≤，得23x ≥-，∴x ∈∅； 当11x -<<时，()33f x x =-+≤，得0x ≥，∴01x ≤<；当1x ≥时，()313f x x =-≤，得43x ≤，∴413x ≤≤， 综上，403x ≤≤，∴不等式的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由()31,13,11 31,1x xf x x xx x-+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪+≤⎩的图像最低点为()1,2，即1m=，2n=，∴22a b+=，∵0a>，0b>，∴()()21121141244244222b aa ba b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当21a b==时等号成立，∴21a b+的取值范围[)4,+∞．解析：5答案及解析：答案：（1）当1a=时，()121f x x x=++-，即()3,112,1213,2x xf x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，作函数()121f x x x=++-的图象，它与直线3y=的交点为()()1,3,1,3A B-，所以，()3f x>的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a aa<<∴-+-<Q则()()()()12,,1112122,,212,2a x xaf x ax x a x xaa x x⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x在1,a⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增．所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 因为对x R ∀∈，()32f x a≥恒成立， 所以()min 3122a f x a=+≥． 又因0a >，所以2230a a +-≥，解得1a ≥（3a ≤-不合题意）． 所以a 的最小值为1解析：6答案及解析：答案：（1）当2x <-时，3234x x --≥-+，无解当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得122x -≤≤ 当2x >时，3234x x +≥-+，得2x > 所以不等式解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）()()()224222222f x x x x x x x x x =-++=-++++≥--+++当且仅当22x -≤≤时取等424x =++≥ 当且仅当2x =-时取等所以当2x =-时，()f x 最小值为4， 4a =,所以24m n += 所以()()21211211221516161m n m n m n m n n m +⎛⎫⎛⎫+=+++=++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭13562⎛ ≥+= ⎝ 当且仅当()2121m n n m +=+且24m n +=即1,2m n ==时取“=” 所以211m n ++最小值为32 解析：7答案及解析：答案：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ．解析：8答案及解析：答案：（1）当1a =时,可得211,x -≥即112x -≥, 解得32x ≥或12x ≤,∴ 不等式的解集为13,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ （2）∵ 不等式11ax ax a -+-≥解集为R ,等价于11a -≥.解得2,a ≥或0a ≤. 又∵0,2a a >∴≥.∴ 实数a 的取值范围为[)2,+∞解析：9答案及解析：答案：（1）112|112122m m x m x m x -+-≤⇒-≤-≤⇒≤≤， 由已知解集为[0,1]得102112m m -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得1m =； （2）1a b c ++=[(31)(31)3(1)]a b c +++++2111(111)313131a b c ⎛⎫++≥++ ⎪+++⎝⎭当且仅当13a b c ===时，111313131a b c +++++的最小值32解析：10答案及解析：答案：解：（1）因为()4f x x a x =-+…44x a x a --= 所以24,a a …解得4 4.a -剟故a 的取值范围为[]4,4.-（2）由（1）知，4,m =即42 4.x y z ++=根据柯西不等式2222221()()21x y y z x y y z ⎡⎤+++=+++⎣⎦22214(2)121⎡⎤⋅+-+⎣⎦…[]2164()2,21x y y z +-+= 等号在42x yyz +==-即884,,72121x y z ==-=时取得.所以222()x y y z +++的最小值为1621.解析：。
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寒假作业(二十三) 选修4－5 不等式选讲(注意解题的准度)
1．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f (x )＝|x －a |.
(1)若a ＝1，解不等式：f (x )≥4－|x －1|；
(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n
＝a (m >0，n >0)，求mn 的最小值． 解：(1)当a ＝1时，不等式为|x －1|≥4－|x －1|，
即|x －1|≥2，
∴x －1≥2或x －1≤－2，即x ≥3或x ≤－1，
∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(2)f (x )≤1⇔|x －a |≤1⇔－1≤x －a ≤1⇔a －1≤x ≤a ＋1，
∵f (x )≤1的解集为[0,2]，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝2，得a ＝1.
∴1m ＋12n ＝1≥212mn (m >0，n >0)， ∴mn ≥2⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当1m ＝12n ＝12，即m ＝2，n ＝1时取等号. ∴mn 的最小值为2.
2．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc .
(1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；
(2)若t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围．
解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数，
得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ，
所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.
(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 所以t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )．
由于a 4＋c 4≥ 2ac, b 4＋d 4≥ 2bd ， 又已知t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝ a 4＋c 4＋b 4＋d 4，
则t (ac ＋bd )≥ 2(ac ＋bd )，故t ≥ 2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号． 所以实数t 的取值范围为[2，＋∞)．
3．(2017·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R.
(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；
(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．
解：(1)由f (x )≤2－|x －1|，可得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.
而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪
⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a 2－1≤1， 即0≤a ≤4.
故实数a 的取值范围是[0,4]．
(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a <2，即a 2<1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1，x <a 2，x －a ＋1，a 2≤x ≤1，3x －a －1，x >1.
所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3， 得a ＝－4<2(符合题意)，
故a ＝－4.
4．(2017·洛阳统考)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.
(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；
(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b
≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x <－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x >12
，
函数f (x )的图象如图所示．
(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，
∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立． ∵1a ＋4b ≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立，
∴|2x －1|－|x ＋1|≤3，
结合图象知－1≤x ≤5，
∴x的取值范围是[－1,5]．。