1.2_概率的定义
§1.2 概率的定义与古典概型
设有k 个不同的球, 每个球等可能地落入N 个盒子中（）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:N k ≤（1）某指定的k 个盒子中各有一球；（4）恰有k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；k m ≤（2）某指定的一个盒子恰有m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例2（分房模型）例7两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1 到达码头的时刻为x，0 ≤x < 24船2 到达码头的时刻为y，0 ≤y < 24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头设Ω是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件A 的概率，这种赋值满足下面的三个条件：非负性：0)(,≥⊂∀A P A Ω 规范性：1)(=ΩP ∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P U 可列可加性：L ,,21A A 其中为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.三、概率的公理化定义6、加法公式：对任意两个事件A, B, 有)()()()(ABPBPAPBAP−+=∪)()()(BPAPBAP+≤∪推广：) ()()() ()( )()()(ABC PBCP ACPAB PCP BPAPCBAP+−−−+ +=∪∪)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i nj i j i ni i ni i A A A P A A A P A A P A P A P L L U −≤<<≤≤<≤==−++++−=∑∑∑一般：右端共有项.12−n例9 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是？2.07.0×若是的话, 则应有)()()(2121A P A P A A P =而现在题中并未给出这一条件.在§1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.21,A A例10设A , B 满足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何条件下，P (AB ) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪)()()()(B A P B P A P AB P ∪−+=3.01)()(=−+≥B P A P 1)(=∪B A P 最小值在时取得6.0)()(=≤A P AB P ——最小值——最大值)()(B P B A P =∪最大值在时取得。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
概率论与数理统计课件1.2概率的定义与性质
6
概率论与数理统计
一、概率的公理化定义 设 E 是随机试验, S 是它的样本空间.对于 E 的每一个事件 A,
赋予一个实数, 记为 P( A) , 如果 P() 满足下列条件 , 则称P( A)为事 件 A 的概率： (1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P( A) 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S, 有 P(S) 1; (3)可列可加性 : 设 A1 , A2 , 是两两互不相容的事件 , 即对于 i j , Ai Aj , i , j 1, 2 , , 则有
表1
1
0.4
2
0.6
3
0.2
4
1.0
5
0.2
6
0.4
7
0.8
8
0.4
9
0.6
10
0.6
n=50 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
n=500 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516
P() 0
8
概率论与数理统计
2.(有限可加性) 若 A1 , A2 , , An 是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 An ) P(A1 ) P(A2 ) P(An ).
证明 令 An1 An2 , 则Ai Aj , i j, i, j 1,2,.
5
概率论与数理统计
频率的性质
f n ( A)
nA n
(1) 非负有界 : 对于每一个事件 A, 有 0 fn ( A) 1; (0 nA n)
高中数学概率知识点总结
高中数学概率知识点总结一、概率的基本概念1.1 概率的定义在日常生活中，我们经常会遇到很多不确定的事件，比如掷骰子的结果、抽奖的中奖情况等等。
而概率就是用来描述这些不确定事件发生的可能性的。
概率可以理解为某件事情发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
1.2 样本空间和事件在进行概率计算时，通常需要确定一个样本空间，即所有可能发生的结果的集合。
比如掷一枚骰子，样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
事件则是样本空间的一个子集，表示我们关心的那部分结果。
比如“出现奇数点数”的事件为{1,3,5}。
1.3 古典概率和频率概率古典概率是指在所有可能结果等可能时，事件发生的概率即为事件发生的次数与样本空间元素总数的比值。
而频率概率是指在实际观察中，某一事件发生的次数与总次数的比值。
古典概率适用于理论计算，而频率概率适用于实际观测。
1.4 概率的性质概率具有以下几个重要性质：（1）非负性：任何事件的概率都大于等于0；（2）规范性：全集事件的概率为1；（3）可列可加性：对于两个互不相容的事件，它们的概率之和等于这两个事件并起来的概率。
二、概率的计算方法2.1 古典概率的计算在古典概率中，当每个事件发生的可能性相等时，概率等于事件发生的次数除以总事件数，即P(A)=n(A)/n(S)。
2.2 几何概率的计算几何概率是通过几何模型中的面积、长度或体积来计算概率的方法。
比如说，在一个正方形的面积中，事件发生的可能性可以表示为事件的面积与总面积的比值。
2.3 频率概率的计算频率概率是通过实验次数和事件发生次数的比值来计算概率的方法，即P(A)=n(A)/n。
2.4 排列和组合排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按一定的次序排成一列，不同元素的个数为n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素，不考虑次序的情况，不同元素的个数为n!/(m!(n-m)!)。
1.2概率的统计定义与概率的公理化定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , 是它的
样本空间 ,对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA
与之对应，如果集合函数P满足下列三条公理 : 1 非负性 对于每一事件A,都有P A 0 ;
2 规范性：对于必然事件，有P 1 ;
3 可列可加性：对于两两互斥事件 A1, A2,, 有
nA n
为事件
A
在
n
次试验中出现的频率
, 记为
fn A
,
即
fn A
n
.
概率论
频率所具有的三个性质:
1 0 PA 1;
2 P 1 ;
3 设 A1 , A2 ,, Ak 是两两互斥事件 , 则 PA1 A2 Ak PA1 PA2 PAk
概率论
抛掷钱币试验记录
试验者 抛币次数n “正面向上”次数 频率 fn( A)
P AB
PBC
0,
P AC
1
.求
A、B、C
4
至少有
8
一个发生的概率 .
解 PA B C
PA PB PC PAB PAC
PBC PABC
31 1 10 5. 248 8
概率论
三、小结
频率的定义 概率的公理化定义及概率的性质 事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发 生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率 是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标. 它介于0与1之间.
概率论
性质 3 对于任何事件A ,有
PA 1 PA .
证 因为 A A ,且 AA .
所以 PA A P 1 .
并且 PA A PA PA
由以上两式可得, PA PA 1
概率的定义及其确定方法
1.2 概率的定义及其确定方法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率方法、古典方法、几何方法及主观方法。
主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利用频率方法、古典方法、几何方法及主观方法计算事件的概率。
概率是对随机事件发生可能性大小的数值度量。
1.随机事件的发生是带有偶然性的，但随机事件的发生的可能性是有大小之分的；2. 随机事件的发生的可能性是可以度量的，犹如长度和面积一样；3.在日常生活中往往用百分比来表示。
这里也是如此在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。
1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公里化定义。
一、概率的公理化定义1.定义 设Ω为一样本空间，为Ω上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件A ∈，定义在上的一个实值函数P （A ）满足： （1）非负性公理：()0;P A ≥ （2）正则性公理：()1;P A = （3）可列可加性公理：若12,,,n A A A 两两互不相容，有11()();n n n n P A P A +∞+∞===∑则称P （A ）为事件A 的概率，称三元素(,,)P Ω为概率空间。
1.并没有告诉我们应如何确定概率。
但概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在一定的场合下确定概率的方法。
由于计算概率要用到排列与组合的公式。
2.概率是关于事件的函数。
二、排列与组合公式1.两大计数原理（1）乘法原理 ：如果某件事需要经过k 步才能完成，做完第一步有1m 种方法，做完第二步有2m 种方法，…，做完第k 步有k m 种方法，那么完成这件事共有12n m m m ⨯⨯⨯种方法。
如某班共有45位同学，他们生日完全不相同的情况有365×364×363×…×321种。
（2）加法原理：如果某件事可由k 类不同的办法之一去完成，在第一类办法中有1m 种完成方法，在第二类办法中有2m 种方法，…，在第k 类办法中有k m 种方法，那么完成这件事共有12n m m m +++种方法。
全概率知识点总结大全
全概率知识点总结大全1. 概率的基本概念1.1 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
它用来衡量事件发生的可能性大小，通常用0到1之间的一个实数表示，事件发生可能性越大，概率值越接近1；事件不发生的可能性越大，概率值越接近0。
1.2 随机事件随机事件是指在一定条件下，无法准确预测其具体结果的事件。
例如掷骰子的结果、抛硬币的正反面等都属于随机事件。
1.3 样本空间和事件样本空间是指所有可能结果的集合，用S表示。
事件是指样本空间中的子集，表示一组可能发生的结果。
2. 概率的计算2.1 古典概率古典概率适用于有限元素的事件。
概率的计算公式为P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A包含的基本事件数，n(S)表示样本空间包含的基本事件数。
2.2 几何概率几何概率适用于连续性事件。
概率的计算公式为P(A) = (事件A的面积) / (总体的面积)。
2.3 条件概率在给定B发生的条件下，A发生的概率称为条件概率，记为P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示A和B同时发生的概率，P(B)表示B发生的概率。
2.4 边际概率当A和B是两个事件时，以及P(A) = P(AB) + P(A¬B)。
而P(B) = P(AB) + P(B¬A)。
3. 全概率公式和贝叶斯定理3.1 全概率公式全概率公式指的是如果事件A可以划分为互斥事件B1、B2、···、Bn，那么P(A) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+···+P(A|Bn)P(Bn)。
3.2 贝叶斯定理贝叶斯定理是一种在已知P(A|Bi)的情况下求得P(Bi|A)的方法，公式为P(Bi|A) =(P(A|Bi)P(Bi)) / ΣP(A|Bj)P(Bj)，其中Σ表示对所有可能的i求和。
4. 概率分布4.1 离散概率分布离散概率分布适用于有限个数的情况，常见的离散概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
01.2古典概率几何概率统计概率
54
P( A)
C52 C82
2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
概率论_课件 1.2
三.乘法原理:
完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方法, 第二步有 m2 种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则完成这件 事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法,特点是各个步骤连 续完成.
解：设A表示第k 次取得白球，考虑前k个球
样本空间中样本点的总数为
Ak ab
，
事件
A
所包含的样本点个数为
Aa1
Ak1 ab1
.
P( A)
A A 1 k 1 a ab1 Ak ab
a a b
结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。
抽签原理
1.有多种解法 2.注意与上题的区别
3
2012-3-8
例6 （分房模型）设有 k 个不同的球, 每个
ANk Nk
mA5
Nk
C
k N
k!
P( A5)
Nk
CNk k! Nk
1
P(A4 )
mA6
C
k N
k!
P( A6 ) P( A4 )
例6的“分房模型”可应用于很多类似场合
“球” 可视为
人 人 信
钥匙 男舞伴
“盒子” 相应
视为
房子 生日 信封 门锁
女舞伴
应用: 生日问题 （1）班级中有n个学 生， 问：没有人同一天生日
C152
22
不放回地 取5次,每次一个 = 一次任取5个
例4 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按
概率1.2
五、概率的几何定义
如果试验的所有可能结果为无限多个，每个试验 结果出现的可能性相等，古典定义就不适用，这时 可借助于几何上的度量 (比如面积，长度) 来合理地 规定的概率，称为概率的几何概型.
几何概型的特点： 有限区域、无限样本点; 等可能性.
定义1.2.4 概率的几何定义（几何概率）
在几何概型试验中，设样本空间为 ,事件 则事件A发生的概率为
0.0021
0.0016 0.0005 0.0002
维 尼
2. 概率的统计定义
定义1.2.2 事件A发生的频率 f n ( A) 在某常数 p 附近摆动，且 n越 大，摆动幅度越小，称常数 p为事件A的概率，记作
P A,
即
P A p.
因此，在实际应用中，当重复试验的次数较大时，可用 事件的频率作为概率的近似值.
则称P(A)为事件A的概率.
2. 概率的性质 性质 1 不可能事件的概率为0，即
P 0.
反之是否成立呢？即概率为0的事件一定不可能发生 吗？
概率为1的事件一定发生吗？
性质 2 （有限可加性）
若事件
A1 , A2 ,, An 两两互不相容，则
n n P Ai P Ai . i 1 i 1
60 x
六、 概率的公理化定义
1. 定义1.2.5 设随机试验E的样本空间为
， 对试验
E的任一随机事件A，定义实值函数P(A)，若它满足以下三 个公理：
非负性：
规范性： 可列可加性：
P A 0； P 1；
对两两互不相容的事件
A1 , A2 ,,
有
P Ai P Ai , i 1 i 1
概率的基本概念
概率的基本概念概率是数学领域中的一个重要概念，广泛应用于统计学、计算机科学、金融学等各个领域。
它用于描述事件发生的可能性，并为我们提供了一种量化的方法来评估不确定性。
在本文中，我们将介绍概率的基本概念，包括概率的定义、性质以及常见概率分布等内容。
一、概率的定义和性质1.1 概率的定义概率可以用来描述事件发生的可能性。
通常，我们用一个介于0和1之间的数来表示概率，其中0表示不可能发生，1表示必定发生。
设A为一个事件，那么事件A的概率可以用P(A)来表示。
1.2 概率的性质概率具有以下几个基本性质：（1）非负性：对于任何事件A，其概率P(A)大于或等于零，即0 ≤ P(A)。
（2）规范性：对于必然事件S，其概率为1，即P(S) = 1。
（3）加法性：对于任意两个互斥事件A和B，其概率的和等于各自概率的和，即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
（4）减法性：对于任意两个事件A和B，其差集的概率等于事件A的概率减去事件A与B的交集的概率，即P(A-B) = P(A) - P(A ∩ B)。
1.3 条件概率条件概率是在给定其他事件发生的条件下，某个事件发生的概率。
设A和B为两个事件，且P(B) > 0，则在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率记作P(A|B)。
二、常见概率分布2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量取得一系列离散值的概率分布。
常见的离散概率分布包括伯努利分布、多项分布和泊松分布等。
（1）伯努利分布：伯努利分布是指随机变量只取两个值（例如0和1）的概率分布。
常用于描述二元事件的发生情况。
（2）多项分布：多项分布是指随机变量取得多个离散值的概率分布。
常用于描述多元事件的发生情况，例如掷骰子的结果。
（3）泊松分布：泊松分布是指随机事件在一段时间内发生的次数的概率分布。
常用于描述一定时间内事件发生的频率。
2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量取得连续值的概率分布。
常见的连续概率分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
第一章第二节概率的定义及其确定方法
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数 事件Ａ由其中的m个基本事件组成
P( A) = A所含的基本事件个数 基本事件总数
= A 所含样本点的数目 样本空间的样本点总数
m n
古典概率的计算：抛掷骰子
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
所求概率为 P(1) 1 , P(2) 2
5
9
所以 P( A) 11 , P(B) 5 .
36
36
4、包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与 乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？
解： 总的基本事件数为 10!
排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P88C91C21
排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P88C91C21 P88C21
0xT，0yT。
（1）则样本空间是由点(x，y)构成的边长为T正 方形。
（2）依题意，收音机受到干扰的充分必要条件是
|x-y|t .
T 由等可能性知，所求
概率为
t
A
P(A) S A S
Ot
T
x
阴影部分面积 正方形面积
T 2 (T t)2 T2
1 1 t T
2
一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘 客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件 的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同 的楼层下}；A3={10人都在第15层下}；A4={10人恰有 4人在第8层下}。 解：
P( A)
A 的度量 S的度量
( A) (S)
概率的定义及其确定方法
§1.2 概率的定义及其确定方法在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。
本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。
随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。
例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。
既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。
这个数字就称为事件的概率。
然而，对于给定的事件A ，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A 的特殊性，不能一概而论。
在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。
这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。
那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展.1. 概率的公理化定义定义1.2.1 设Ω为样本空间,F 为Ω的某些子集组成的事件域.))((F A A P ∈是定义在事件域F 上的实值集函数,如果它满足:(1) 非负性公理 对于任一F A ∈,有0)(≥A P ;(2) 正则性公理 1)(=ΩP ;(3) 可列可加性公理 若,,21A A …,,n A …两两互不相容,则∑∞=∞==11)()(n n n n A P A P U则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体),,(P F Ω为概率空间.概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。
概率说课稿(说课稿)
概率说课稿(说课稿)概率说课稿引言概述：概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性。
概率在现实生活中有着广泛的应用，如天气预报、股票市场分析、医学诊断等。
本文将从概率的基本概念、概率的计算方法、概率的应用、概率的实际案例和概率的发展趋势等五个方面，详细阐述概率的相关内容。
一、概率的基本概念：1.1 概率的定义：概率是指某一事件发生的可能性大小，用一个介于0和1之间的数表示。
1.2 概率的基本性质：概率是非负的，且所有可能事件的概率之和为1。
1.3 概率的分类：概率可以分为经典概率、几何概率和统计概率等不同类型。
二、概率的计算方法：2.1 经典概率的计算：经典概率是指在样本空间中，所有可能事件发生的概率相等的情况下，计算某一事件发生的概率。
2.2 条件概率的计算：条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，计算另一事件发生的概率。
2.3 事件的独立性：独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，计算独立事件的概率可以通过乘法原理进行计算。
三、概率的应用：3.1 概率在天气预报中的应用：根据历史数据和气象模型，通过计算概率可以预测未来一段时间内的天气情况。
3.2 概率在股票市场分析中的应用：根据历史数据和技术指标，通过计算概率可以评估股票价格的涨跌概率，辅助投资决策。
3.3 概率在医学诊断中的应用：根据患者的症状和检查结果，通过计算概率可以评估患某种疾病的可能性，辅助医学诊断。
四、概率的实际案例：4.1 蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于概率的数值计算方法，通过随机抽样和统计分析，模拟复杂系统的行为。
4.2 随机森林算法：随机森林是一种基于概率的机器学习算法，通过构建多个决策树并进行投票，提高模型的预测准确性。
4.3 马尔科夫链：马尔科夫链是一种基于概率的数学模型，描述状态之间的转移概率，广泛应用于自然语言处理和图像处理等领域。
五、概率的发展趋势：5.1 大数据时代的概率应用：随着大数据技术的发展，概率在数据分析和决策支持中的应用将更加广泛。
2.第一章第2节概率的公理化定义;第3节等可能概型、几何概型
故
P(A)=r∕n= 9*8∕81=72∕81=8/9
例1-21 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到的
两个球颜色相同的概率。
解
2 从8个球中任意取两个,共有 C8 种取法,即基本事件总
2 n C 数 8 .
记A表示“取到的两个球颜色相同”,A包含两种可 能:
全是白球或全是黑球 . 2 2 C3 C5 全是白球有 种取法 ,全是黑球有 种取法,由加法原理 2 2 C5 C3 知,A的取法共 中, 2 2 C5 C3 即A包含的基本事件数 2r = 2 r C C 13 故 P A 5 2 3 .
m( A) P ( A) m( )
(其 中m( ) 是 样 本 空 间 的 度 量 , m( A) 是 构 成 事 件 A 的子区域的度量 ) 这 样借 助 于几 何 上的量 度来合 理 规定的概率称为 几何概率 . 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
会面问题
会面问题
例1 甲、乙两船均为7点至8点到达某码头，且 两船到达时间是随机的，每只船卸货需要20分钟， 码头同时仅能允许一只船卸货，试计算两只船使 用码头冲突的概率. 解 设 x, y 分别为甲乙两船到达的时刻 , , 那末
0 x 60, 0 y 60.
x y 20,
两船会面的充要条件为
(1)0 P ( A) 1; (2) P ( ) 0, P ( ) 1;
(3)当A与B互不相容时，有P(AUB)=P(A)+P(B). 这个性质可以推广：当A1，A2，…Am互不相容时，有
m m P Ak P ( Ak ), k 1 k 1
其中m是正整数. 当A1，A2，…Am互不相容时，有
第1.2节 概率的定义及其确定方法
例1 掷两枚硬币, 求出现一个正面一个反面的概率。 提示：{(二正),(二反）,(一正一反)}不具有等概性。 思考？ 掷两枚骰子，莱布尼兹认为其出现的点数之和的可能
数值为2，3，…，12，因此掷出11和12点的可能性相等， 都是 1 . 因为只有一种情况可掷出12点，即一个骰子是 11 6点，另一个骰子也是6点；同样也只有一种情况可掷出11
演示实验
考虑用一个天平称物时的误差，这个试验的结果就有
无限多个，而且这些结果也不具有前述几何概率定义中的 “等可能性”. 如何知道误差落在某个范围内的概率呢？
一射手向一目标射击，“中靶” 与“脱靶”一般不
是等可能的，那么，又如何知道他中靶的概率呢？
3.概率的频率方法---统计定义
确定概率的频率方法是一种最常用的方法，其基本思想： （1）大量重复 （2）在n次重复实验中记n(A)为随机事件A出现的次数，称 n( A) f n ( A) 为事件A出现的频率。 n （3）长期经验表明：随着实验重复次数n的增加,频率 f n ( A) 会稳定在某一常数a附近，这个常数为频率的稳定值,即可作 为我们所说的概率。
注意： (1) 在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件. “等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要 根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是 等可能的. 在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基 本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.
(2) 在用排列组合公式计算古典概率时， 必须注意不要重 复计数，也不要遗漏. 例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有 两只配成一双”（事件A）的概率是多少？
从甲地到乙地共有多少种方法? 甲地 回答是 4 + 2 种方法 乙地
2024年余丙森概率论辅导讲义
2024年余丙森概率论辅导讲义第一节：概率论基础1.1 概率论的起源和发展概率论是研究随机现象的数学分支，起源于古代赌博和游戏。
随着时间的推移，概率论逐渐发展成为一门独立的学科，并在各个领域中得到广泛应用。
1.2 概率的定义和性质概率是描述某个事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示。
概率具有可加性、非负性、规范性等基本性质。
1.3 随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学建模。
概率分布描述了随机变量的取值及其对应的概率。
1.4 条件概率与独立性条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
独立性是指两个事件的发生与否互不影响。
1.5 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量。
第二节：概率分布2.1 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量只能取有限或可数个数值，其概率分布由概率质量函数表示，例如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.2 连续型随机变量与概率密度函数连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布由概率密度函数表示，例如均匀分布、正态分布、指数分布等。
2.3 两个重要的分布：正态分布和泊松分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，具有对称性和稳定性，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数。
第三节：随机变量的特征函数和大数定律3.1 随机变量的特征函数特征函数是随机变量的一个重要特征，通过特征函数可以唯一确定随机变量的分布。
3.2 大数定律大数定律是概率论中的重要定理，描述了随机事件重复进行时，频率逐渐趋近于概率的现象。
第四节：中心极限定理与统计推断4.1 中心极限定理中心极限定理是概率论中的核心定理之一，描述了大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布的现象。
4.2 统计推断统计推断是利用样本信息对总体进行推断和决策的方法，包括参数估计和假设检验两个方面。
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华南农业大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
2014年1月7日星期二 1
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第一章 随机事件和概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5
2014年1月7日星期二
随机事件 概率的定义 条件概率、全概率公式和 贝叶斯公式 事件的独立性 伯努利（Bernoulli）概型
10
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概率的性质
3、对任意事件 A ，有 P( A) 1 P( A) ．
证明
因为 A A , AA ，所以
P( A) P( A) P( A A ) P ( 1 ， )
移项即得公式成立 。
2014年1月7日星期二
11
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概率的性质
解 设事件 A, B 分别表示“能答出甲、乙类问题” ，则 P( A) 0.7 ， P( B) 0.2 ， P( AB) 0.1 ，所以有
(1) P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 ； (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.7 0.2 0.1 0.8; （ ）= 8 (3) P( A B) P( A B) 1 P A B 1- 0. 0.2 ; (4) P( A B ) P( AB) 1 P( AB) 1 0.1 0.9 .
2014年1月7日星期二 6
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概率的统计定义
在相同的条件下，独立重复作 n 次试验，当试验 次数 n 很大时，如果某事件 A 发生的频率 f n ( A) 稳定 地在[0， 1]上的某一数值 p 附近摆动， 而且一般来说 随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小， 则称数值 p 为事件 A 发生的概率(probability)，记 为 P( A) p ．
4、 P( A B) P( A) P( AB) ．特别，若 B A ， 则 P(A B)＝P( A) P( B) 且 P( B) P( A) ．
证明 因为 A＝( A B) AB 且 ( A B) AB＝ ， 所 以 P( A)＝P(( A B) AB) P( A B) P( AB) ， 移项即证．又由概率的非负性知 P( A B) 0 ，所 以 P( B) P( A) .
P( A1 A2 An ) P( Ai )
n i 1 1i j n
P( Ai Aj )
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An ) ．
特别地，有
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC)
2014年1月7日星期二 15
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1 【例 4】已知 P( A) = P( B) = P(C ) ， P( AB) = 0， 4 1 P( AC ) = P( BC ) ．则事件 A、B、C 全不发生的概率为 9 多少？
解 P ( A B C ) 1 P( A B C )
2014年1月7日星期二
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【例 3】小王参加“智力大冲浪”游戏，他能答出甲、 乙两类问题的概率分别为 0.7 和 0.2，两类问题都能答 出的概率为 0.1．求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率； (2) 至少有一类问题能答出的概率； (3) 两类问题都答不出的概率； (4) 至少一类问题答不出的概率．
i 1 i 1 n n
2014年1月7日星期二
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பைடு நூலகம்
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概率的性质
2、有限可加性：若 A1 ， A2 ，…， An 两两互不相 容，即 Ai Aj , (i j ) ，则有 P( Ai ) P ( Ai ) ．
i 1 i 1 n n
证明 因为 Ai ＝ Ai ，所以
0.0186 0.0156 0.0102 0.0060 0.0016 0.0010 0.0009 0.0006
2014年1月7日星期二
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人们在长期的实践活动中，观察到随机事件 A 出现的频 率 f n ( A) 有如下特点： 在一次具体的试验中，事件 A 出现的频率是一个具 体的数值，在试验次数 n 较小时，频率 f n ( A) 在 0 到 1 之 间波动较大，但当试验次数 n 逐渐增大时，频率 f n ( A) 逐 渐接近于某一个常数．频率的这种特性称“频率的稳定 性” ，也就是通常所说的统计规律性．因此，用频率的这 一稳定值来刻画事件 A 发生的可能性大小是合适的．实 践中， 人们常常是让试验重复大量次数， 计算频率 f n ( A) ， 以它来表征事件 A 发生的概率．这个概率就是统计定义 下的概率．
n! A n (n 1) (n m 1) (n m)!
m n
n 若 m n ，则称为全排列．显然， An n !
2014年1月7日星期二
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1、排列与组合
（4） 重复排列 从 n 个不同元素中选取 m 个元素排成一列， 其中每 个元素都可以重复选取， 称从 n 个不同元素中取 m 个元 素的重复排列(permutation with repetition)．此种 重复排列数共有 n m 个，注意这里的 m 允许大于 n ．
2014年1月7日星期二
20
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1、排列与组合
（5） 组合 从 n 个不同的元素中任取 m(m n) 个元素组成一 组(不考虑元素先后次序)，称为一个组合 m (combination)， 这种组合的总数称为组合数， 记为 Cn
n 或 ． m
m n
A n (n 1) (n m 1) n! C m! m! m !(n m)!
2
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§1.2 概率的定义
一、概率的统计定义
二、概率的公理化定义及概率的性质
三、概率的古典定义
四、概率的几何定义
2014年1月7日星期二
3
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一、概率的统计定义
1、频率及频率的性质
定义 1 在相同的条件下，重复进行了 n 次试验，事件 A nA 发生的次数 n A 称为事件 A 发生的频数，比值 称为事 n 件 A 发生的频率(frequency)，记为 f n ( A) ．
性质： (1) 非负性：对任意 A ，有 f n ( A) 0 ；
(2) 规范性： f n () 1 ；
(3) 有限可加性：
k k f n Ai f n Ai . i 1 i 1
2014年1月7日星期二 4
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【例 2】在英文中某些字母出现的频率远远高于其它字 母．当观察字母的个数 n (试验的总次数)较小时，频率 有较大幅度的随机波动，但当 n 增大时，频率呈现出稳 定性．
2014年1月7日星期二 7
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二、概率的公理化定义及概率的性质
定义 3 设随机试验 E 的样本空间为 ，对 E 的每一个 事件 A 赋予一个实数，记为 P( A) ，称为事件 A 的概率， 如果集合函数 P( A) 满足下列三条公理：
公理一(非负性)：对任意事件 A ，有 P( A) 0 ；
m1 m2 mk 种方法．
譬如， 由甲地到乙地去旅游有三类交通工具： 汽车、 火车和飞机．而汽车有 5 个班次，火车有 3 个班次，飞 机有 2 个班次，则从甲地到乙地共有 5+3+2=10 个班次 供旅游者选择．
2014年1月7日星期二
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1、排列与组合
(2) 乘法原理 如果完成某件事情需经 k 步才能完成，在第一步中 有 m1 种方法，在第二步中有 m2 种，……，在第 k 步中 有 mk 种方法， 那么完成这件事共有 m1 m2 mk 种方 法．
i 1 i 1
n
n
P(Ai ) P(Ai ) P( A1 ) P( An ) P() P( Ai )
i 1 i 1 i 1
n
n
n
特别地，若 AB ，则 P( A B) P( A) P( B) ．
2014年1月7日星期二
譬如，由甲地到乙地去旅游有 3 条路线，由乙地到 丙地去旅游有 2 条路线， 则由甲地经乙地去丙地旅游共 有 3 2 6 条路线．
2014年1月7日星期二
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1、排列与组合
（3） 排列 从 n 个不同的元素中任取 m(m n) 个元素排成一 列(考虑元素先后次序 )，称为一个排列 m (permutation)， 这种排列的总数称为排列数， 记为 An ．
证明 因为 ，由公理三有 P() P() P() ， 又 P() 为非负实数，所以 P() 0 ．
2、有限可加性：若 A1 ， A2 ，…， An 两两互不相 容，即 Ai Aj , (i j ) ，则有 P( Ai ) P( Ai ) ．
m n
规定 0! 1.
2014年1月7日星期二 21
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