浅谈正态分布的重要性质1

浅谈正态分布的重要性质

摘 要：正态分布是概率论中最常见、最重要的一个分布，原因有三：一、许多实际问题中的变量都服从或者近似服从正态分布；二、正态分布的密度函数和分布函数具有各种优良性质；三、一些重要分布的极限分布为正态分布。四、一般正态变量都可以变换为标准正态变量，而人们制定了标准正态变量的分布函数值以供查询，这给有关正态分布的计算问题带来了极大的方便。本文就正态分布的这些特点做简要归纳。

关键词：正态分布；正态变量；性质

以下首先介绍正态分布的定义，接着介绍正态变量的数字特征、曲线性质、

取值范围，然后说明一般正态变量与标准正态变量的关系以及多个正态变量的和分布。最后介绍正态分布与其他分布的关系。 1正态分布的定义

如果一个连续型随机变量ξ的密度函数为 2

22)(21)(σμσ

π--=

x e

x f ，

其中,(0)μσσ>为常数，那么就称ξ服从正态分布，记作),(~2σμξN .正态分布也叫高斯（Gauss ）分布。 2实际问题中的正态变量

在实际问题中，气象学中的温度、湿度、降雨量，有机体的长度、重量，实验中的测量误差、热力学中理想气体分子的速度、经济学中的众多度量等都服从或者近似服从正态分布. 3 正态变量的重要性质 3.1数学期望和方差

若正态变量),(~2σμξN ，则2,σξμξ==D E .即正态变量的两个参数正是它的期望和方差。 证明 有

dx e

x E x ⎰∞

+∞

---

⋅

=2

22)(21σμσ

πξ

令 σμ

-=

x z ，则

dz e

z E z 2

2)(21

-

∞

+∞

-⎰+=

μσπ

ξ

=

dz e dz ze z z ⎰

⎰

∞

+∞

--∞

+∞

--+

2

2

2222π

μπ

σ

=μ

ξD =2)(ξξE E -=

dx e

x x 2

22)(2

21)(σμσ

πμ--

∞

+∞

-⎰

-

令 σ

μ

-=x y ，则有

ξD =

⎰∞

+∞

--

dy e

y y 2

22

2

2π

σ

⎰∞

+∞

--

-=

)(22

2

2

y e

yd π

σ

=

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+∞-∞+-⎰∞+∞---dy e ye y y 222

222π

σ =

⎰∞+∞

--

dy e

y 2

2

2

2π

σ

=2σ

3.2图形性质

正态分布的密度曲线图形呈钟形，关于μ=x 对称，在μ=x 时取最大值

σ

π21.当μ不变时，σ越大，图形越平、越宽，在μ点附近取值的概率越小；σ

越小，图形越尖、越窄，在μ点附近取值的概率越大。当σ不变时，μ变大，图形往右移，μ变小，图形往左移.直观地说，正态变量在μ点附近取值概率最大，在远离μ点处取值概率很小。

3.3 ”“σ3法则

若),(~2σμξN ，则有

6866.0)1()1()(=--=+≤≤-φφσμξσμP

9544.0)2()2()22(=--=+≤≤-φφσμξσμP 9974.0)3()3()33(=--=+≤≤-φφσμξσμP

由此可知，正态变量ξ落在区间[]σμσμ3,3+-外的概率不到0.003，这样的事件在数学上被称作小概率事件，在一次试验中被认为是不可能发生的。即正

态变量几乎一定落在区间[]σμσμ3,3+-内，这被称为”“σ3法则.

3.4 可标准化

引理 设随机变量),(~2σμξN ，则

（1）))(,(~2σμξηa b a N b a ++=，其中(0),a a b ≠为常数. （2）)1,0(~N σ

μ

ξη-=

. 证明 （1）分别记η的分布函数与密度函数为()F y η与()f y η， 先设0a >即有

)()()()()(a b

y F a b y P y b a P y P y F -=-≤=≤+=≤=ξηξξη 若0a <，则有

)(1)()()()(a

b

y F a b y P y b a P y P y F --=-≥=≤+=≤=ξηξξη 将以上两式分别关于y 求导,得 []])(2/[)(221

||1)(||1)(σμξησ

πa b a y e a a b y f a y f +--=-=

故))(,(~2σμξηa b a N b a ++=.

（2）在引理中取1/,/a b σμσ==-，即得 )1.0(~N η.

由这一引理知，若),(~2σμξN ，则它的分布函数()F x 和密度函数()f x 可以分别写成

);()(

)()(σμ

φσμσμξξ-=-≤-=≤=x x P x P x F )(1)()('σ

μ

ϕσ-==x x F x f .